Poglavlje 2. Dodatak qetvrtoj lekciji

Transcript

1 Poglavlje 2 Dodatak qetvrtoj lekcj 15

2 16 Poglavlje 2. Dodatak qetvrtoj lekcj 2.1 Hevsajdov razvoj funkcje X (s) Postavlja se ptanje kako se određuje orgnal funkcje ako je poznata njena Laplasova transformacja? X (s) x (t)? Pr tome je X (s) realna raconalna funkcja. Defncja 2.1 Za funkcju X (s) se kaжe da je realna raconalna funkcja akko je: 1. gde su p (s) q (s) polnom po s, X (s) = p (s) q (s) 2. za svaku realnu vrednost broja s, X (s) je takođe realno: s = σ R = X (s) R. Neka su: p (s) = b k s k ; q (s) = a k s k ; m n Nule funkcje X (s) Defncja 2.2 Broj s je ogranqena nula r tog reda funkcje X (s) u oznac s 0 akko je taj broj s nula r tog reda polnoma p (s) u brojocu funkcje X (s). Ako funkcja X (s) ma vxe ogranqenh nula npr. M one se oznaqavaju sa: s 0 1, s 0 2,, s 0 M. Vxestrukost k te nule se oznaqava sa ν0 k tako da je: ν ν ν 0 M = m Polov funkcje X (s) Defncja 2.3 Broj s je ogranqen pol r tog reda funkcje X (s) u oznac s akko je taj broj s nula r tog reda polnoma q (s) u menocu funkcje X (s). Ako funkcja X (s) ma vxe ogranqenh polova npr. µ on se oznaqavaju sa: s 1, s 2,, s µ. Vxestrukost k tog pola se oznaqava sa ν k tako da je: ν 1 + ν ν µ = n Hevsajdov razvoj funkcje X (s) Neka je po pretpostavc: n m

3 2.1. Hevsajdov razvoj funkcje X (s) 17 Tada je: 1, k ν k = 2, k =. X (s) = R 0 + R 1 s s + + R 1 1 s s + R +1 1 s s + + R µ +1 s s + (2.1) µ + R 1 s s + R 2 Rν + + (s s )2 (s s )ν Hevsajdov razvoj funkcje X (s) u njenm polovma, koj je potpuno određen sa s k, ν k, R k R j. U zrazu 2.1 s k ν k su polov funkcje X (s) koj se dobjaju rexavanjem jednaqne: q (s) = 0 njhove vxestrukost. Takođe, u zrazu 2.1 R 0, R k, R 1 su rezdjum (ostac) funkcje X (s) u njenm polovma, +, jednostrukm vxestrukom. Pr tome je: R 0 = X (+ ), R k = p (s) q (s), s=s k, ν k =1 R j = 1 d ν j [ (ν j)! ds ν j (s s ) ν X (s)] s=s. (2.2), ν 2 Oqgledno, na osnovu zraza 2.2 rezdjum R 1 u tom vxestrukom polu je: 1 d ν 1 [ R 1 = (ν 1)! ds ν 1 (s s ) ν X (s)] s=s., ν 2 Svak sabrak Hevsajdovog razvoja je tablqn sluqaj, tako da se dobja orgnal: x (t) = R 0 δ (t) + ν µ R k e s k t R j t j 1 h (t) + (j 1)! es t h (t). k=1 k Dferencjalna jednaqna ponaxanja kao jedan oblk matematqkog modela Posmatra se jednostruko prenosn sstem S (koj ma samo jednu ulaznu jednu zlaznu velqnu) qj je djagram predstavljen na slc 2.1. j=1

4 18 Poglavlje 2. Dodatak qetvrtoj lekcj X u S X Slka 2.1: Jednostruko prenosn sstem S Sstem S je takav da je njegovo ponaxanje matematqk opsano skalarnom obqnom lnearnom dferencjalnom jednaqnom sa konstantnm koefcjentma (skalar a k b k ), kompaktno: l u razvjenom oblku: a k X (k) (t) = b k X (k) u (t) (2.3) a n X (n) (t) + a n 1 X (n 1) (t) + + a 1 X (t) + a 0 X (t) = = b 0 X u (t) + b 1 X u (t) + + b m X (m) (t) koja se nazva skalarna dferencjalna jednaqna ponaxanja. Slqno, na slc 2.2 prkazan je vxestruko prenosn sstem S (ukupan zbr njegovh ulaznh zlaznh velqna je ve l jednak tr, M + N 3). u X u S X Slka 2.2: Djagram vxestrukoprenosnog sstema S Sstem S sa slke 2.2 je takav da je njegovo ponaxanje matematqk opsano vektorskom obqnom lnearnom dferencjalnom jednaqnom sa konstantnm koefcjentma (matrce A k B k ), kompaktno: l l u razvjenom oblku: gde je: A k X (k) (t) = B k X (k) u (t) (2.4) A l X (l) (t) + A l 1 X (l 1) (t) + + A 1 X (t) + A 0 X (t) = = B 0 X u (t) + B 1 X u (t) + + B m X (m) (t) A k R N N, k = 0, 1,, l; B k R N M, k = 0, 1,, m; X u R M ; X R N koja se nazva vektorska dferencjalna jednaqna ponaxanja. U jednaqnama velka slova oznaqavaju totalne vrednost odgovaraju h promenljvh velqna (ulaznh, zlaznh, ulaza zlaza). u

5 2.1. Hevsajdov razvoj funkcje X (s) Stvarna dnamqka ponaxanja nomnalno (жeljeno) dnamqko ponaxanje sstema Uobqajeno je da se za sstem uopxte, kao na prmer na slc 2.2 propsano, zadano dnamqko ponaxanje nazva nomnalno dnamqko ponaxanje ono se zraжava sa X N (t). Ako je posmatran sstem objekt upravljanja (O) onda se propsano, zadano dnamqko ponaxanje nazva жeljeno dnamqko ponaxanje ono se zraжava sa X ž (t). Na slc 2.3 prkazano je stvarno nomnalno dnamqko ponaxanje za sstem S sa slke 2.2 sa razlqtm koordnatnm sstemma u kojma se ova dnamqka ponaxanja posmatraju. x N x (t) X (t) 0 X (t) x 1 x 2 X N 0 X (t) N, [ X (t)] t X2 X 1 Slka 2.3: Stvarno nomnalno dnamqko ponaxanje sstema S Na slc 2.3 koordnatn sstem (0, X 1, X 2,, X N ) je tzv. totaln koordnatn sstem koj je vezan za vremensku osu u kome se sve velqne predstavljaju svojm totalnm vrednostma a oznaqavaju velkm slovma. Na stoj slc prkazan je koordnatn sstem (0, x 1, x 2,, x N ) koj je vezan za nomnalno dnamqko ponaxanje tj. жeljeno dnamqko ponaxanje u sluqaju kada je sstem S objekt upravljanja O u kome se sve velqne predstavljaju svojm odstupanjma a oznaqavaju malm slovma. Veza zmeđu totalnh koordnata sstema odstupanja je poznata od ranje a defnsana tz. Ljapunovljevom transformacjom koordnata: = x u = X u X un (2.5) x = X X N. (2.6) x u = 0 u X u = X un x = 0 X = X N. Jednaqna 2.4 vaж za nomnaln radn reжm glas: l m A k X (k) N (t) = B k X (k) un (t). (2.7)

6 20 Poglavlje 2. Dodatak qetvrtoj lekcj Na osnovu sled: l A k [X (t) X N (t)] (k) = B k [X u (t) X un (t)] (k). (2.8) Na osnovu 2.5, dobja se vektorska dferencjalna jednaqna ponaxanja po odstupanjma: l A k x (k) (t) = B k x (k) u (t). (2.9) Upoređuju zakljuquje se da pr prelasku sa totalnh koordnata na odstupanja vektorska dferencjalna jednaqna ponaxanja zadrжava st oblk, st red ste koefcjente. 2.2 Prenosna funkcja prenosna matrca sstema Na slc 2.4 prkazan je djagram jednostruko prenosnog sstema S. Pretpostavka je da su ulazna zlazna velqna zraжene u odstupanjma. x u S x Slka 2.4: Djagram jednostruko prenosnog sstema S Defncja 2.4 Prenosna funkcja sstema S u oznac W (s) je kolqnk levh Laplasovh transformacja njegove zlazne velqne x (t) njegove ulazne velqne x u (t) pr svm poqetnm uslovma jednakm nul: W (s) = L {x (t)} L {x u (t)} = X (s) Xu (s) (2.10) x (k) Iz zraza 2.10 = = 0, k = 0, 1,, n 1; x (k) u = 0, k = 0, 1,, m 1. X (s) = W (s) X u (s) pr svm poqetnm uslovma jednakm nul. Na slc 2.5 prkazan su djagram vxestruko prenosnog sstema S na dva naqna, jedan na kome su detaljno prkazane sve ulazne zlazne

7 2.2. Prenosna funkcja prenosna matrca sstema 21 xu1 x x x x um S x 1 N u S Slka 2.5: Detaljan kompaktan djagram sstema S gde su sve ulazno zlazne velqne skazane preko odstupanja velqne pojednaqno, drug kompaktan gde su ulaz zlaz prkazan u vdu dvostrukh strelca. Pretpostavka je da su sve ulazne zlazne velqne zraжene u odstupanjma. Svaka ulazna velqna deluje, u opxtem sluqaju, na svaku zlaznu velqnu. Defncja 2.5 W jk (s) je (j, k) ta parcjalna prenosna funkcja sstema S u odnosu na njegovu j tu zlaznu velqnu x j (t) njegovu k tu ulaznu velqnu x uk (t): W jk (s) = X j (s) X pr svm poqetnm uslovma jednakm nul = uk (s), X j (s) = W jk (s) X uk (s) ; j = 1, 2,, N; k = 1, 2,, M. (2.11) Oqgledno, posmatran sstem S sa slke 2.5 ma N M parcjalnh prenosnh funkcja. Defncja 2.6 Prenosna matrca sstema S je N M matrqna funkcja qj je (j, k) t element njegova (j, k) ta prenosna funkcja W jk (s) oznaqava se sa W (s): W (s) = Na osnovu zraza sled: W 11 (s) W 12 (s) W 1M (s) W 21 (s) W 22 (s) W 2M (s). W N1 (s) W N2 (s) W NM (s). (2.12) X (s) = W (s) X u (s) pr svm poqetnm uslovma jednakm nul Odzv sstema prmenom Laplasove transformacje na jednaqnu ponaxanja Neka je skalarna dferencjalna jednaqna ponaxanja jednostruko prenosnog sstema skazana preko odstupanja: a k x (k) (t) = b k x (k) u (t). (2.13)

8 22 Poglavlje 2. Dodatak qetvrtoj lekcj Prmenom Laplasove transformacje na levu desnu stranu ove jednaqne dobja se: { n } { m } L a k x (k) (t) = L b k x (k) u (t). Na osnovu osobne lnearnost Laplasovog operatora sled: { } a k L x (k) (t) = { } b k L x (k) u (t). Dalje, na osnovu Laplasove transformacje k tog zvoda funkcje pr svm poqetnm uslovma jednakm nul, sled: a k s k X (s) = b k s k Xu (s). U prethodnom zrazu X (s) X u (s) mogu da se kao qnoc zvuku spred suma: (s) a k s k = Xu (s) b k s k = X X (s) = b k s k Xu (s) = a k s k W (s) = b k s k. (2.14) a k s k Slqno, prmenom Laplasove transformacje na jednaqnu 2.9 dobja se: { l } { m } L A k x (k) (t) = L B k x (k) u (t) = l { } A k L x (k) (t) = ( l ) A k s k X { } B k L x (k) u (t) = ( m ) (s) = B k s k X u (s) pr svm poqetnm uslovma jednakm nul X (s) = ( l ) 1 ( m ) A k s k B k s k X u (s) =

9 2.3. Frekventna karakterstka frekventna matrca sstema 23 ( l ) 1 ( m ) W (s) = A k s k B k s k. (2.15) Na osnovu zraza vd se da kako prenosna funkcja tako prenosna matrca ne zavse od ulaznh zlaznh velqna, odnosno ulaza zlaza (njhovh Laplasovh transformacja) ve samo od koefcjenata a k, b k odnosno A k, B k. Prenosna funkcja sstema W (s) odnosno prenosna matrca sstema W (s) su oblk matematqkog modela sstema koj u seb sadrж nformacje o osobnama sstema Fzqko tumaqenje prenosne funkcje prenosne matrce sstema Imaju u vdu da je: X (s) = W (s) X u (s) = 1. Prenosna funkcja sstema opsuje u kompleksnom domenu kompleksnog broja s, zakon po kome sstem dejstvo ulazne velqne prenos na zlaznu velqnu u toku vremena. 2. x u (t) = δ (t) = x (t) = (t) = X u (s) = 1, L { (t)} = I (s) = I (s) = W (s) 1 = W (s) = L { (t)} tj. prenosna funkcja sstema je leva Laplasova transformacja njegovog jednqnog mpulsnog odzva pr svm poqetnm uslovma jednakm nul. 2.3 Frekventna karakterstka frekventna matrca sstema Furjeova transformacja Defncja 2.7 Furjeova transformacja funkcje x (t) u oznac F {x (t)} = X (jω) je nesvojstven ntegral: F {x (t)} = x (t) e jωt dt ukolko on postoj. Imaju u vdu da za funkcju x (t) vaж da je: x (t) = 0, t < 0 = F {x (t)} = 0 x (t) e jωt dt.

10 24 Poglavlje 2. Dodatak qetvrtoj lekcj Stav 2.8 Furjeova transformacja je lnearan operator: F {α 1 x 1 (t) + α 2 x 2 (t)} = α 1 F {x 1 (t)} + α 2 F {x 2 (t)}. Stav 2.9 Ako je funkcja x (t) defnsana, neprekdna k puta dferencjablna ako su sv poqetn uslov jednak nul onda je Furjeova transformacja k tog zvoda funkcje x (t) određena sa: { } F x (k) (t) = (jω) k F {x (t)}, x (r) (0) = 0 r = 0, 1,, k Frekventna karakterstka frekventna matrca Posmatra se sstem S prkazan na slc 2.4. Defncja 2.10 Frekventna karakterstka sstema S u oznac F (jω) je kolqnk Furjeovh transformacja njegove zlazne velqne x (t) njegove ulazne velqne x u (t) pr svm poqetnm uslovma jednakm nul: x (k) Iz zraza 2.16 = F (jω) = F {x (t)} F {x u (t)} = X (jω) X u (jω) = 0, k = 0, 1,, n 1; x (k) u = 0, k = 0, 1,, m 1. X (jω) = F (jω) X u (jω) pr svm poqetnm uslovma jednakm nul. Posmatra se sstem S prkazan na slc 2.5. (2.16) Defncja 2.11 F jk (jω) je (j, k) ta parcjalna frekventna karakterstka sstema S u odnosu na njegovu j tu zlaznu velqnu x j (t) njegovu k tu ulaznu velqnu x uk (t): F jk (jω) = X j (jω), pr svm poqetnm uslovma jednakm nul = X uk (jω) X j (jω) = F jk (jω) X uk (jω) ; j = 1, 2,, N; k = 1, 2,, M. (2.17) Oqgledno, posmatran sstem S sa slke 2.5 ma N M parcjalnh frekventnh karakterstka. Defncja 2.12 Frekventna matrca sstema S je N M matrqna funkcja od jω qj je (j, k) t element njegova (j, k) ta frekventna karakterstka F jk (jω) oznaqava se sa F (jω): F (jω) = Na osnovu zraza sled: F 11 (jω) F 12 (jω) F 1M (jω) F 21 (jω) F 22 (jω) F 2M (jω). F N1 (jω) F N2 (jω) F NM (jω) X (jω) = F (jω) X u (jω) pr svm poqetnm uslovma jednakm nul.. (2.18)

11 2.3. Frekventna karakterstka frekventna matrca sstema Osobne frekventne karakterstke frekventne matrce sstema Prmenom Furjeove transformacje na jednaqnu 2.13 dobja se frekventna karakterstka tog sstema: F (jω) = b k (jω) k a k (jω) k = r 1 (ω) + j 1 (ω) r 2 (ω) + j 2 (ω) = (2.19) gde je: F (jω) = R (ω) + ji (ω) R (ω) = Re F (jω) realn deo frekventne karakterstke I (ω) = Im F (jω) magnarn deo frekventne karakterstke. R (ω) = r 1 (ω) r 2 (ω) + 1 (ω) 2 (ω) r 2 2 (ω) (ω) I (ω) = r 2 (ω) 1 (ω) r 1 (ω) 2 (ω) r 2 2 (ω) (ω). Eksponencjaln oblk frekventne karakterstke je: F (jω) = A (ω) e jϕ(ω) pr qemu je: A (ω) = F (jω) ampltudno frekventna karakterstka, ϕ (ω) = arg F (jω) fazno frekventna karakterstka. Na slc 2.6 je prkazana jedna taqka frekventne karakterstke u frekventnoj ravn sa njenm realnm magnarnm delom kao njenm ampltudnm faznm delom. Sa slke 2.6 na osnovu zraza se dobja da je: A (ω) = r 2 R 2 (ω) + I 2 (ω) = 1 (ω) (ω) r 2 2 (ω) (ω), ϕ (ω) = arctan I (ω) R (ω) = arctan 1 (ω) r 1 (ω) arctan 2 (ω) r 2 (ω), R (ω) = A (ω) cos ϕ (ω), I (ω) = A (ω) sn ϕ (ω). Bez dokaza se daje slede a osobna: R (ω) R ( ω) parna funkcja od ω,

12 26 Poglavlje 2. Dodatak qetvrtoj lekcj ji ji( ) A( ) F(j ) ( ) 0 R( ) R Slka 2.6: Jedna taqka frekventne karakterstke F (jω) u frekventnoj ravn I (ω) I ( ω) neparna funkcja od ω, A (ω) A ( ω) parna funkcja od ω, ϕ (ω) ϕ ( ω) neparna funkcja od ω = Deo hodografa frekventne karakterstke za ω [, 0) smetrqan je delu hodografa frekventne karakterstke za ω [0, + ) u odnosu na realnu osu, xto je prkazano na slc 2.7. jimf(j ) F(-j ) ReF(j ) F(j ) Slka 2.7: Grafk frekventne karakterstke koj pokazuje smetrqnost u odnosu na realnu osu F frekventne kompleksne ravn

13 Lteratura [1] 27