OSNOVE STATISTIKE I KINEZIOMETRIJE
|
|
|
- Ευδοκία Γαλάνη
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 OSNOVE STATISTIKE I KINEZIOMETRIJE Statistika se bavi prikupljanjem, sređivanjem, sažimanjem i grafičkim prikazivanjem podataka koji su dobiveni nekim mjerenjem. Kineziometrija (kinezis kretanje, metrija mjerenje) - predstavlja znanstvenu disciplinu koja se bavi problemima mjerenja u kineziologiji.
2 OSNOVNI STATISTIČKI POJMOVI statistika???? Statistka - skup metoda i postupaka za sređivanje, analiziranje i grafičko prikazivanje velike količine podataka.
3 OSNOVNI STATISTIČKI POJMOVI Statistika - skup metoda i postupaka za sređivanje, analiziranje i grafičko prikazivanje velike količine podataka. podatak????
4 OSNOVNI STATISTIČKI POJMOVI Podatak - određena kvantitativna ili kvalitativna vrijednost kojom je opisno određeno obilježje (svojstvo) nekog entiteta. entitet????
5 OSNOVNI STATISTIČKI POJMOVI Entitet - jedinka nekog skupa osoba, objekata, stvari, pojava, procesa i sl. koja je opisana određenim obilježjima ili svojstvima. varijabla????
6 OSNOVNI STATISTIČKI POJMOVI Varijabla - svojstva, obilježja, osobine, sposobnosti, motorička znanja, itd. po kojim se entiteti međusobno razlikuju. Šime Marko Mate TV=192 cm TV=174 cm TV=186 cm TM=87 kg TM=68 kg TM=75 kg
7 Varijabla - bilo koja pojava koja se mijenja na bilo koji način Kvalitativne ili kategorijalne boja očiju, tip dijagnoze, mjesto rođenja Kvantitativne težina, visina, krvni tlak
8 Mjerne skale Nominalna Ordinalna Intervalna Omjerna
9 Nominalna mjerna skala mjerenje nominalnom skalom znači razvrstavanje pojava u grupe ili kategorije. ovom skalom se ne prenose ili ne utvrđuju kvantitativne informacije, niti informacije o poretku (rangu), nego kvalitativne informacije. 10/1/2014 9
10 Nominalna mjerna skala nominalna skala je više kvalitativna nego kvantitativna. na ovoj skali se najčešće prikupljaju informacije o spolu, rasi, zanimanju, boji očiju i sl. 10/1/
11 Ordinalna mjerna skala skala ranga. mjeriti ordinarnim skalama znači poredati neke pojave tako da rednim brojem označimo poredak tih pojava po veličini. iako su numerički intervali između susjednih stupnjeva na ovoj skali jednaki razlike među susjednim veličinama ne moraju nužno biti jednake. 10/1/
12 Ordinalna mjerna skala najniža vrijednost na skali je arbitrarna - može biti 1, 0, ali i neka druga vrijednost. skala može biti orijentirana tako da ide od manjih vrijednosti ka većima ili obrnuto od većih ka manjima. Što znači da stvarna najveća vrijednost može dobiti najnižu ili najvišu vrijednost na ordinalnoj skali. 10/1/
13 Intervalna mjerna skala osobina intervalne mjerne skale je ekvidistantnost, što znači da su udaljenosti između susjednih jedinica jednake na cijeloj dužini skale. intervalna skala nema apsolutnu (pravu) nulu. Radi toga nije moguće utvrditi koliko puta je neka veličina veća od druge. temperatura izražene u C i IQ su primjeri mjernih jedinica izraženih na intervalnoj skali. 10/1/
14 Omjerna mjerna skala Za omjerne skale vrijedi sve što i za intervalne uz dodatak što one imaju apsolutnu (pravu) nulu. Dobar primjer za prethodnu tvrdnju je mjera za dužinu - metar. Tako da je neki predmet dužine 1 metar duplo kraći od predmeta koji je dugačak 2 metra. 10/1/
15 Primjeri skala Označavanje dresova sportaša brojevima Broj zdravstvenog osiguranja Redanje ljudi po visini (od oka) Mjerenje ljudi po visini (pomoću metra) Telefonski brojevi Ukupni iznos na računu iz trgovine Treće mjesto na Eurosongu
16 Primjeri skala Očitavanje brzine od 60 km/h na brzinomjeru Skala za procjenu zadovoljstva poslom Registracijski broj vozila
17 OSNOVNI STATISTIČKI POJMOVI Populacija entiteta - skup svih entiteta čija su obilježja predmet statističke analize (statistički skup, univerzum entiteta) - skupina osoba ili objekata koji udovoljavaju određenim kriterijima
18 OSNOVNI STATISTIČKI POJMOVI Uzorak entiteta - podskup entiteta izabran iz populacije u skladu s nekim pravilom, a s ciljem da je što bolje reprezentira.
19 SLUČAJNI UZORAK najbolja vrsta uzorka jer svaki član populacije ima jednaku šansu da bude izabran u uzorak SUSTAVNI / SISTEMATSKI UZORAK jedna od vrsta slučajnog uzorka prvi član populacije izvlači se slučajno, a nakon toga se bira svaki n-ti u uzorak
20 STRATIFICIRANI UZORAK populacija se podijeli u slojeve ili stratume pa se iz svakog stratuma odabere proporcionalan broj jedinki po slučaju npr godina 38% godina 25% godina 17% godina 11% 101 i više 9%
21 PRIGODNI UZORAK uzimamo ispitanike koji su nam pri ruci najlošiji uzorak zbog smanjenje mogućnosti generalizacije rezultata
22 OSNOVE KINEZIOMETRIJE Kineziometrija (kinezis kretanje, metrija mjerenje) - predstavlja znanstvenu disciplinu koja se bavi problemima mjerenja u kineziologiji. Mjerenje - operacija kojom se nekom objektu pridružije oznaka ili numerička vrijednost koja odgovara razvijenosti mjerene karakteristike, odnosno određivanje pozicije subjekta ili objekta na nekoj od mjernih ljestvica. U postupak mjerenja moguće je uočiti nekoliko neizbježnih elemenata. To su: objekt mjerenja predmet mjerenja mjerilac mjerna skala mjerni instrument doc.dr.sc. Dražan Dizdar
23 OSNOVE KINEZIOMETRIJE Objekt mjerenja - u kineziološkim istraživanjima objekti mjernja (entiteti, ispitanici) najčešće se ljudi, ali mogu biti i sportske ekipe, poslovi u igri, itd. Općenito, objekti mjerenja ili entiteti su nosioci informacija koje je moguće prikupiti (kvantificirati) nekim postupkom mjerenja, a kojima se može opisati stanje nekog entiteta. Predmet mjerenja - predstavlja određeno svojstvo, obilježje, karakteristiku, osobinu, sposobnost nekog objekata. Valja naglasiti da su predmeti mjerenja u kineziološkim istraživanjima najčešće latentini (skriveni), odnosno da nisu izravno mjerljivi, već se procjenjuju na temelju većeg broja mjerljivih manifestacija (pojavnih oblik). doc.dr.sc. Dražan Dizdar
24 OSNOVE KINEZIOMETRIJE Mjerni instrument - predstavlja odgovarajući operator putem kojeg se određuje pozicija objekta mjerenja na nekoj mjernoj skali kojom se procjenjuje predmet mjerenja. Vrste mjernih instrumenata: testovi tipa papir olovka potpuno objektivni mjerni instrumenti, jer postignuti rezultati ne zavise od pogreške mjerioca, već isključivo o ispitaniku. Koristi se za utvrđivanje kognitivnih sposobnosti, konativnih obilježja, stavova, socijalnog statusa, razine znanja itd doc.dr.sc. Dražan Dizdar
25 OSNOVE KINEZIOMETRIJE Mjerni instrument - predstavlja odgovarajući operator putem kojeg se određuje pozicija objekta mjerenja na nekoj mjernoj skali kojom se procjenjuje predmet mjerenja. Vrste mjernih instrumenata: aparatura za mjerenje razna tehnička pomagala kojima maipulira mjerilac u postupku mjerenja. Primjerice, instrumenti za mjerenje morfoloških obilježja - antropometar, kaliper, itd., fizioloških funkcija - sirometar, aparatura za mjerenje aerobnog i anaerobnog kapaciteta, itd. doc.dr.sc. Dražan Dizdar
26 OSNOVE KINEZIOMETRIJE Mjerni instrument - predstavlja odgovarajući operator putem kojeg se određuje pozicija objekta mjerenja na nekoj mjernoj skali kojom se procjenjuje predmet mjerenja. Vrste mjernih instrumenata: primjena vježbe (motoričkih zadatka) različiti motorički zadaci kojima se u nekoj poznatoj mjeri aktivira određena motorička spsobnost. Primjerice, skok u dalj s mjesta za procjenu eksplozivne snaga, taping rukom za procjenu frekvencije pokreta, okretnost na tlu za procjenu koordinacije, itd). doc.dr.sc. Dražan Dizdar
27 OSNOVE KINEZIOMETRIJE Mjerni instrument - predstavlja odgovarajući operator putem kojeg se određuje pozicija objekta mjerenja na nekoj mjernoj skali kojom se procjenjuje predmet mjerenja. Vrste mjernih instrumenata: subjektivna procjena mjerioca za procjenu nekih složenih sposobnosti, znanja i vještina, odnosno kvalitete izvedbe koristi subjektivna procjena kompetentnih mjerilaca (primjerice, u sportskoj gimnastici, klizanju na ledu, skokovima u vodu itd.). doc.dr.sc. Dražan Dizdar
28 OSNOVE KINEZIOMETRIJE Većina mjerenja u antropološkim znanostima obavlja se pomoću tzv. kompozitnih mjernih instrumenata. Kompozitni mjerni instrument se sastoji od većeg broja dijelova, tzv. čestica (item), a koje mogu biti: pitanja (zadaci), ponavljana mjerenja i suci - mjerioci. doc.dr.sc. Dražan Dizdar
29 Metrijske osobine postupka mjerenja i mjernih instrumenata pouzdanost valjanost objektivnost osjetljivost baždarenost
30 Pouzdanost konzistentnost, stabilnost i točnost mjerenja ako je mjerni postupak pouzdan, tada će njegovo ponavljanje na istoj pojavi, koja u međuvremenu nije promijenila svoju veličinu, dati isti rezultat.
31 Provjera pouzdanosti test retest mjera nutarnje konzistencije Cronbach alpha koeficijent najčešća mjera pouzdanosti POUZDANOST JE NUŽAN PREDUVJET ZA VALJANOST.
32 Valjanost Mjerimo li zaista pojavu za koju mislimo da je mjerimo? Valjan je onaj za kojeg možemo dokazati da porast u izmjerenim veličinama odgovara porastu mjerene varijable npr. konstrukcija mjernog instrumenta za mjerenje stavova ili inteligencije
33 Objektivnost objektivno mjerenje je ono kod kojeg konačni rezultat ovisi isključivo o veličini ispitivane pojave. čovjek kao opažač stupanj slaganja između procjenjivača npr. ispitivanje znanja, ocjene na različitim natjecanjima; različite kazne
34 Osjetljivost osjetljivo je ono mjerenje koje nam omogućava uočavanje i malih razlika u nekoj mjerenoj pojavi. efekt poda efekt stropa
35 Baždarenost ili standardizacija baždarenost mjernih postupaka znači da su za te mjerne postupke poznate norme i uvjeti korištenja za domaću populaciju.
36 OSNOVNI POSTUPCI ZA UREĐIVANJE I PRIKAZIVANJE PODATAKA Grupiranje podataka - predstavlja statistički postupak razvrstavanja entiteta s istim oblikom obilježja u određeni broj disjunktnih podskupova. Frekvencija - broj entiteta koji imaju isti oblik obilježja, odnosno, broj entiteta u određenoj grupi (klasi, kategoriji, razredu). Prikazivanje grupiranih podataka - putem tablica i grafikona.
37 OSNOVNI POSTUPCI ZA UREĐIVANJE I PRIKAZIVANJE PODATAKA Grupiranje i grafičko prikazivanje kvantitativnih podataka Primjer - broj osobnih pogrešaka (OP) 18 košarkaša (entiteta) na jednoj košarkaškoj utakmici. ENTITETI OP ANZU-V 4 ERJA-M 2 KRST-V 1 MILA-D 4 MILL-M 3 NORI-M 1 NOVO-K 4 SAMA-A 2 SUBO-S 3 VANJ-M 5 VOLO-D 3 VUJI-I 2 BAZD-M 3 BLAS-M 3 GIRI-G 4 KRUN-D 3 MALI-M 3 MAMI-M 2
38 OSNOVNI POSTUPCI ZA UREĐIVANJE I PRIKAZIVANJE PODATAKA Grupiranje i grafičko prikazivanje kvantitativnih podataka Primjer - broj osobnih pogrešaka (OP) 18 košarkaša (entiteta) na jednoj košarkaškoj utakmici. ENTITETI OP KRST-V 1 NORI-M 1 MAMI-M 2 ERJA-M 2 SAMA-A 2 VUJI-I 2 MILL-M 3 SUBO-S 3 VOLO-D 3 BAZD-M 3 BLAS-M 3 KRUN-D 3 MALI-M 3 ANZU-V 4 NOVO-K 4 GIRI-G 4 MILA-D 4 VANJ-M 5
39 OSNOVNI POSTUPCI ZA UREĐIVANJE I PRIKAZIVANJE PODATAKA Grupiranje i grafičko prikazivanje kvantitativnih podataka Broj entiteta s jednakom vrijednosti kvantitativnog obilježja predstavlja frekvenciju, a uređeni niz kvantitativnih vrijednosti s pripadajućim frekvencijama distribuciju frekvencija. BROJ OSOBNIH POGREŠAKA FREKVENCIJA UKUPNO 18
40 OSNOVNI POSTUPCI ZA UREĐIVANJE I PRIKAZIVANJE PODATAKA Grupiranje i grafičko prikazivanje kvantitativnih podataka 8 7 HISTOGRAM FREKVENCIJA 6 5 Frekvencije
41 OSNOVNI POSTUPCI ZA UREĐIVANJE I PRIKAZIVANJE PODATAKA Grupiranje i grafičko prikazivanje kvantitativnih podataka POLIGON FREKVENCIJA
42 OSNOVNI POSTUPCI ZA UREĐIVANJE I PRIKAZIVANJE PODATAKA Grupiranje i grafičko prikazivanje kvantitativnih podataka Ukoliko diskretna varijabla ima veliki broj pojavnih oblika ili ako se radi o kontinuiranoj varijabli tada se podaci grupiraju u manji broj razreda. Za uspješno grupiranje potrebno je odrediti prikladan broj razreda i njihovu veličinu (interval razreda). Primjer - grupiranje 60 mladih judaša u 5 razreda u varijabli skok udalj s mjesta Intervali razreda f rf (%) 120<x<= ,67 140<x<= ,00 160<x<= ,33 180<x<= ,67 200<x<= ,33
43 OSNOVNI POSTUPCI ZA UREĐIVANJE I PRIKAZIVANJE PODATAKA Grupiranje i grafičko prikazivanje kvantitativnih podataka HISTOGRAM FREKVENCIJA
44 OSNOVNI POSTUPCI ZA UREĐIVANJE I PRIKAZIVANJE PODATAKA Grupiranje i grafičko prikazivanje kvantitativnih podataka 30 POLIGON FREKVENCIJA x<= <x<= <x<= <x<= <x<= <x<= <x
45 2) Za 25 ispitanika jedne bolnice prikupljani su podaci o broju dana provedenih godišnje u bolnici: Tablica 1. Podaci o broju provedenih dana u radnoj terapiji nakon ozljede glave za 25 ispitanika: Za ovaj skup podataka napravi distribuciju frekvencija broja dana provedenih u radnoj terapiji 2. Grafički prikaži distribuciju broja dana provedenih u radnoj terapiji histogramom poligonom frekvencija
46 DESKRIPTIVNI POKAZATELJI Deskriptivni pokazatelji koriste se za opis varijabli putem: mjera centralne tendencije ili središnjih mjera, mjera varijabilnosti ili disperzije, mjera asimetrije i zakrivljenosti (izduženosti ili spljoštenosti) distribucije.
47 MJERA CENTRALNE TENDENCIJE je vrijednost koja najbolje reprezentira određeni skup podataka.
48 MJERE CENTRALNE TENDENCIJE Aritmetička sredina Centralna vrijednost Dominantna vrijednost
49 označava se s ARITMETIČKA SREDINA X ili M (mean) težište rezultata suma pozitivnih i negativnih odstupanja iznosi nula uzima svaki rezultat u obzir X x N
50 CENTRALNA VRIJEDNOST ILI MEDIJAN označava se s C vrijednost koja se nalazi točno na sredini niza rezultata poredanih po veličini, dakle, polovica rezultata je veća, a polovica rezultata je manja od centralne vrijednosti pozicija (mjesto) centralne vrijednosti Cr = N+1/2
51 DOMINANTNA VRIJEDNOST ILI MOD označava se s D rezultat s najvećom frekvencijom kod grupiranih rezultata D je sredina onog razreda koji ima najveću frekvenciju
52 USPOREDBA RAZLIČITIH MJERA CENTRALNE TENDENCIJE D se može koristiti na svim mjernim skalama, C se ne može koristiti na nominalnoj mjernoj skali, a X se računa samo na intervalnoj i omjernoj mjernoj skali. X je nepogodna kod prisutnosti ekstremnih rezultata, dok na D i C ne utječu ekstremni rezultati. Kod normalne distribucije sve tri mjere centralne tendencije su jednake, Xse smije računati samo kod normalne distribucije rezultata.
53 USPOREDBA RAZLIČITIH MJERA CENTRALNE TENDENCIJE D je osobito pogodna kada brojimo ljude s određenom osobinom, a neprimjerena je kod nestabilnih i multimodalnih distribucija. nedostatak C i aritmetičke sredine jest da njihova vrijednost najčešće uopće nije među rezultatima u smislu da je jedan od postojećih rezultata, dok za D taj nedostatak ne vrijedi. aritmetička sredina se najčešće koristi jer omogućuje daljnju obradu rezultata, i zato jer je izabrana na uzorku, najstabilnija je mjera centralne tendencije za populaciju.
54 MJERE CENTRALNE TENDENCIJE zadaci Izračunaj mjere centralne tendencije (aritmetičku sredinu( X), centralnu vrijednost (C), dominantnu vrijednost (D)) za slijedeće podatke: 1. Broj inženjera med.lab.dijagnostike po gradovima 10, 2, 9, 6, 9, 7 2, 6, 7, 9, 9, 10 N = 6 D = 9 Cr = 3.5 C = 8 X= Koliko student potroši kuna na kavu u jednom danu 5, 4, 6, 5, 4, 11, 10 4, 4, 5, 5, 6, 10, 11 N = 7 D = 4, 5 Cr = 4 C = 5 X= 6,42
55 3. Trajanje inkubacije virusa A u danima 9, 15, 12, 13 9, 12, 13, 15 N = 4 D = / Cr = 2.5 C = 12,5 X= 12,25 4. Kod 15 osoba određena je vrijednost hemoglobina u krvi. Vrijednosti iznose 87, 84, 90, 89, 87, 82, 85, 86, 89, 83, 85, 87, 84, 89, 90 82, 83, 84, 84, 85, 85, 86, 87, 87, 87, 89, 89, 89, 90, 90 N = 15 D = 87, 89 Cr = 8 C = 87 X= 86,46
56 MJERE CENTRALNE TENDENCIJE zadaci Izračunaj mjere centralne tendencije (aritmetičku sredinu, centralnu vrijednost, dominantnu vrijednost) za slijedeće podatke: 5. Broj hospitalnih infekcija po bolnicama 1, 7, 1, 4, 1, 1, 4, 2, 6 1, 1, 1, 1, 2, 4, 4, 6, 7 N = 9 D = 1 Cr = 5 C = 2 X= 3 6. Rezultati na upitniku boli 2, 4, 0, 3, 1, 0, 1, 5, 2 0, 0, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5 N = 9 D = 0, 1, 2 Cr = 5 C = 2 X = 2
57 DESKRIPTIVNI POKAZATELJI Mjere disperzije ili varijabilnosti Mjerama disperzije ili varijabilnosti ukazuje se na veličinu međusobnog razlikovanja rezultata entiteta u nakoj varijabli. To su: totalni raspon varijanca standardna devijacija
58 DESKRIPTIVNI POKAZATELJI Mjere disperzije ili varijabilnosti Totalni raspon Totalni raspn predstavlja razliku između maksimalne (x max ) i minimalne (x min ) vrijednosti. R tot x max x min Vrlo je nesigurana mjera varijabilnosti, jer jedan ekstremni rezultata znatno utječe na njegovu vrijednost. Povećenjem entiteta u uzorku obično se povećava i totalni raspon jer se povećava vjerojatnost uključivanja entiteta s ekstremnim (maksimalnim i minimalnim) vrijednostima.
59 DESKRIPTIVNI POKAZATELJI Mjere disperzije ili varijabilnosti Varijanca i standardna devijacija Procjena stupnja disperzije moguća je i putem odstupanja vrijednosti članova niza od neke središnje vrijednosti, najčešće aritmetičke sredine. d i x i x n i 1 d i 0
60 DESKRIPTIVNI POKAZATELJI Mjere disperzije ili varijabilnosti Varijanca i standardna devijacija Varijanca prosječno kvadratno odstupanje rezultata entiteta od aritmetičke sredine s 2 n i 1 ( x i n 1 x ) Standardna devijacija korijen iz varijance s n i 1 ( x i n 1 x ) 2 2
61 DESKRIPTIVNI POKAZATELJI Mjere disperzije ili varijabilnosti Varijanca i standardna devijacija Primjer 10 entiteta postiglo sljedeće rezultate u nekom motoričkom xi 2 testu xi - x (x x i ) x s n i 2 ( x x) i ,33 1,15 n 1 3
62 Za slijedeći niz podataka utvrdi mjere varijabiliteta (raspon, SD): x: 9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18 Raspon: najveći - najmanji = SDX ( x X ) 2 N 1
63 X: 3, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 18 Raspon = 18-3 = 15 X X N = = SDX ( x X ) 2 N 1 ( 9 9) ( 3 9) (8 9) (8 9) ( 9 9) (8 9) ( 9 9) ( 18 9) , 143 4, 14
64 DESKRIPTIVNI POKAZATELJI Mjere asimetrije i izduženosti distribucije Skewness - mjera asimetrije distribucije POZITIVNO ASIMETRIČNA DISTRIBUCIJA
65 DESKRIPTIVNI POKAZATELJI Mjere asimetrije i izduženosti distribucije Skewness - mjera asimetrije distribucije NEGATIVNO ASIMETRIČNA DISTRIBUCIJA
66 DESKRIPTIVNI POKAZATELJI Mjere asimetrije i izduženosti distribucije Kurtosis - mjera izduženosti distribucije platikurtična mezokurtična leptokurtična a 4 < 3 a 4 = 3 a 4 > 3
67 TEORETSKE DISTRIBUCIJE Kontinuirane teoretske distribucije Normalna ili Gaussova distribucija 0, % 0, % 0, % 0,15 0, % %
68 STANDARDIZACIJA PODATAKA Z VRIJEDNOSTI služe za određivanje položaja pojedinog rezultata u skupini
69 Z VRIJEDNOSTI omogućuju uspoređivanje rezultata različitih mjerenja kod iste osobe izražavanje skupne ocjene iz različitih područja
70 STANDARDIZACIJA PODATAKA (Z - VRIJEDNOST) Primjer 1: Deset učenika natjecalo se u tri atletske discipline: - skok udalj (SD), - trčanje na 100 metara (T100m) i - bacanje kugle (BK) i postiglo rezultate navedene u tablici: SD T100M BK A.B ,6 561 D.F ,9 550 J.G ,7 538 K.L ,0 490 D.D ,2 518 E.D ,1 551 T.B ,5 589 Z.N ,3 602 R.G ,5 547 E.N ,8 510 Potrebno je utvrditi ukupan poredak (rang) ovog natjecanja?
71 STANDARDIZACIJA PODATAKA (Z - VRIJEDNOST) Prvi korak: Izračunati aritmetičke sredine i standardne devijacije za svaku varijablu (disciplinu). x SD T100m BK 370,4 13,36 545,6 45,66 0,73 34,21 SD T100M BK A.B ,6 561 D.F ,9 550 J.G ,7 538 K.L ,0 490 D.D ,2 518 E.D ,1 551 T.B ,5 589 Z.N ,3 602 R.G ,5 547 E.N ,8 510
72 STANDARDIZACIJA PODATAKA (Z - VRIJEDNOST) Drugi korak: Transformacija originalnih podataka u z - vrijednosti na temelju izračunatih aritmetičkih sredina i standardnih devijacija ,4 45,66 11,4 45,66 z AB, SD x SD T100m BK 370,4 13,36 545,6 45,66 0,73 34,21 0,25 SD T100M BK A.B ,6 561 D.F ,9 550 J.G ,7 538 K.L ,0 490 D.D ,2 518 E.D ,1 551 T.B ,5 589 Z.N ,3 602 R.G ,5 547 E.N ,8 510
73 STANDARDIZACIJA PODATAKA (Z - VRIJEDNOST) Drugi korak: Transformacija originalnih podataka u z - vrijednosti na temelju izračunatih aritmetičkih sredina i standardnih devijacija ,4 45,66 11,4 45,66 z AB, SD x SD T100m BK 370,4 13,36 545,6 45,66 0,73 34,21 0,25 SD T100M BK A.B. -0,25 0,33 0,45 D.F. -1,08 0,74 0,13 J.G. -0,53 0,46-0,22 K.L. -0,84 0,87-1,63 D.D. 1,74-1,58-0,81 E.D. -1,24 1,01 0,16 T.B 0,87-1,17 1,27 Z.N 1,20-1,44 1,65 R.G. -0,03 0,19 0,04 E.N. 0,17 0,60-1,04
74 STANDARDIZACIJA PODATAKA (Z - VRIJEDNOST) Treći korak: Prije kondenzacije rezultata potrebno je varijabe koje su obrnuto skalirane pomnožiti s -1, odnosno promjeniti im predznake. SD T100M BK A.B. -0,25-0,33 0,45 D.F. -1,08-0,74 0,13 J.G. -0,53-0,46-0,22 K.L. -0,84-0,87-1,63 D.D. 1,74 1,58-0,81 E.D. -1,24-1,01 0,16 T.B 0,87 1,17 1,27 Z.N 1,20 1,44 1,65 R.G. -0,03-0,19 0,04 E.N. 0,17-0,60-1,04 dr.sc. Dražan Dizdar
75 STANDARDIZACIJA PODATAKA (Z - VRIJEDNOST) Četvrti korak: Kondenzacija standardiziranih vrijednosti putem aritmetičke sredine. z z AB,SD z AB,T 100 z 3 0,25 ( 0,33 ) 0,45 3 AB AB,BK 0,04 SD T100M BK Z A.B. -0,25-0,33 0,45-0,04 D.F. -1,08-0,74 0,13-0,56 J.G. -0,53-0,46-0,22-0,41 K.L. -0,84-0,87-1,63-1,11 D.D. 1,74 1,58-0,81 0,84 E.D. -1,24-1,01 0,16-0,70 T.B 0,87 1,17 1,27 1,10 Z.N 1,20 1,44 1,65 1,43 R.G. -0,03-0,19 0,04-0,06 E.N. 0,17-0,60-1,04-0,49
76 STANDARDIZACIJA PODATAKA (Z - VRIJEDNOST) Četvrti korak: Kondenzacija standardiziranih vrijednosti putem aritmetičke sredine. z z AB,SD z AB,T 100 z 3 0,25 ( 0,33 ) 0,45 3 AB AB,BK 0,04 SD T100M BK Z A.B. -0,25-0,33 0,45-0,04 D.F. -1,08-0,74 0,13-0,56 J.G. -0,53-0,46-0,22-0,41 K.L. -0,84-0,87-1,63-1,11 D.D. 1,74 1,58-0,81 0,84 E.D. -1,24-1,01 0,16-0,70 T.B 0,87 1,17 1,27 1,10 Z.N 1,20 1,44 1,65 1,43 R.G. -0,03-0,19 0,04-0,06 E.N. 0,17-0,60-1,04-0,49
77 STANDARDIZACIJA PODATAKA (Z - VRIJEDNOST) Peti korak: Silazno (od većeg k manjem) sortiranje učenika po izračunatoj prosječnoj z - vrijednosti. Rang Učenik Z 1. Z.N 1,43 2. T.B 1,10 3. D.D. 0,84 4. A.B. -0,04 5. R.G. -0,06 6. J.G. -0,41 7. E.N. -0,49 8. D.F. -0,56 9. E.D. -0, K.L. -1,11 dr.sc. Dražan Dizdar
78 STANDARDIZACIJA PODATAKA (Z - VRIJEDNOST) Primjer 2: 257 dječaka izmjereno je testom za procjenu eksplozivne snage skok udalj s mjesta. Aritmetička sredina iznosila je 215 cm, a standardna devijacija 12 cm. Učenik XY postiga je rezultat 230 cm. Potrebno je procjeniti postotak (%) i broj učenika koji postižu lošije i bolje rezultate od učenika XY. z XY ,25
79 ODREĐIVANJE Z VRIJEDNOSTI Površina krivulje je p=1 (100%). Tablica A daje površinu od traženog z do bližeg kraja krivulje. Veličina površine ujedno znači i vjerojatnost pojavljivanja određenog rezultata.
80 STANDARDIZACIJA PODATAKA (Z - VRIJEDNOST) Primjer 2: 0,60 0,45 p = 0, ,44 % 0,30 p = 0, ,57 % 0,15 0, z = 1,25 p = 0, ,57 % z = 1,25
81 STANDARDIZACIJA PODATAKA (Z - VRIJEDNOST) Praktična korist od standardizacije rezultata ogleda se i u mogućnosti grafičkog prikazivanja rezultata entiteta u većem broju varijabli koje opisuju njegov antropološki profil. 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0-0,5-1 -1,5-2 -2,5-3 1 SDM IP NEB SKL T12min T20m KUS BP TR dr.sc. Dražan Dizdar
82 ZADACI: Iz populacije u kojoj se navedena pojava distribuira normalno, uzet je uzorak od 500 ispitanika, te su na njemu dobivene vrijednosti aritmetičke sredine X = 80, te SD = 10. Koliko otprilike ispitanika (ne postotak!) ima sa rezultatom: a)većim od 80 z = x-x/sd = 80-80/10 = 0/10 = 0 p = 0,5 N x 0,5 = 500 x 0,5 = 250 ispitanika b)većim od 85 z = 85-80/10 = 5/10 = 0,5 p = 0, x 0,3085 = 154,25 = 154
83 c)većim od 101 z = /10 = 2,1 p = 0, x 0,0179 = 8,95 = 9 d)manjim od 71 z = 71-80/10 = -0,9 p = 0, x 0,1841 = 92,05 = 93 e)manjim od 83 z = 83-80/10 = 0,3 p = 0, x 0,3821 = 191,05 = =309
84 UZORAK? POPULACIJA? PROCJENA ARITMETIČKE SREDINE PROCJENA STANDARDNE DEVIJACIJE
85 STANDARDNA POGREŠKA ARITMETIČKE SREDINE standardna devijacija distribucija aritmetičkih sredina uzoraka iste veličine oko prave aritmetičke sredine (μ) određuje granice pouzdanosti unutar kojih se nalazi prava aritmetička sredina S X SD N
86 STANDARDNA POGREŠKA ARITMETIČKE SREDINE Pogreška koja se veže uz svaku aritmetičku sredinu uzorka, bit će to veća što je pojava koju mjerimo više varijabilna i što je uzorak manji.
87 STANDARDNA POGREŠKA ARITMETIČKE SREDINE ZADACI: S X SD N a) X = 80 SD = 10 N = 500 c) X = 80 SD = 10 N = 100 b) X = 80 SD = 5 N = 500 d) X = 80 SD = 5 N = 100
88 GRANICE POUZDANOSTI Interval unutar kojeg se, uz određenu sigurnost, nalazi prava aritmetička sredina (aritmetička sredina populacije).
89 GRANICE POUZDANOSTI X 1S X granice pouzdanosti uz 32% rizika X 2S X granice pouzdanosti uz 5% rizika X 3S X granice pouzdanosti uz manje od 1% rizika
90 STANDARDNA POGREŠKA ARITMETIČKE SREDINE SD X SD ZADACI: U kojem se rasponu nalazi prava aritmetička sredina ( ) uz rizik od 5%? N a) X = 80 SD = 10 Sx = 0,45 N = 500 X min = 80 0,45x2 = 80 0,9 = 79,1 X max = ,9 = 80,9 b) X = 80 Sx = 0,22 X min SD = 5 N = 500 = 80 0,22x2 = 80 0,44 = 79,56 X max = ,44 = 80,44
91 KORELACIJA Govori o stupnju međusobne povezanosti različitih pojava (varijabli). Povezanost ili asocijacija među varijablama znači da je veličinu jedne varijable moguće predvidjeti na temelju poznavanja veličine druge varijable.
92 NAJČEŠĆA POGREŠKA PRI INTERPRETACIJI jest kauzalno interpretiranje korelacije: interpretira se kao da je jedna od varijabli uzrok drugoj. korelacija između rezultata na dva toplomjera povezanost između rezultata očitavanja dvaju satova broj djece i broj električnih aparata u kućanstvima broj svećenika i broj prostitutki broj kina i broj štakora broj prekršaja i broj koševa igrača (+0.93) povezanost pušenja majke i niske težine novorođenčeta
numeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1)
2.2 Srednje vrijednosti aritmetička sredina, medijan, mod Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 1 2.2.1 Aritmetička sredina X je numerička varijabla. Aritmetička sredina od (1) je broj:
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
16. UVOD U STATISTIKU Statistika je nauka o sakupljanju i analizi sakupljenih podatka u cilju donosenja zakljucaka o mogucem toku ili obliku neizvjesnosti koja se obradjuje. Frekventna distribucija - je
Aritmetička sredina Medijan Mod. Harmonijska sredina
MJERE CENTRALNE TENDENCIJE Aritmetička sredina Medijan Mod Geometrijska sredina Harmonijska sredina MJERA CENTRALNE TENDENCIJE ili središnja vrijednost jest brojčana vrijednost koja reprezentira skupinu
4. MJERE DISPERZIJE. Josipa Perkov, prof., pred. 1
4. MJERE DISPERZIJE Josipa Perkov, prof., pred. 1 Kod mnogih mjerenja se može opaziti da se rezultati grupiraju i skupljaju oko jedne srednje vrijednosti Srednja vrijednost dobro reprezentira rezultate
3 Populacija i uzorak
3 Populacija i uzorak 1 3.1 Slučajni uzorak X varijabla/stat. obilježje koje izučavamo Cilj statističke analize na osnovi uzorka izvesti odredene zaključke o (populacijskoj) razdiobi od X 2 Primjer 3.1.
Izbor statističkih testova Ana-Maria Šimundić
Izbor statističkih testova Ana-Maria Šimundić Klinički zavod za kemiju Klinička jedinica za medicinsku biokemiju s analitičkom toksikologijom KBC Sestre milosrdnice Izbor statističkog testa Tajna dobrog
ELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Uvod u neparametrijske testove. Usporedba. Neparametrijske inačice t-testa za dva nezavisna uzorka. dr. sc. Goran Kardum
Uvod u neparametrijske testove dr. sc. Goran Kardum 1 Usporedba NACRT ISTRAŽIVANJA PARAMETRIJSKA PROCEDURA NEPARAMETRIJSKA PROCEDURA Dva nezavisna uzorka T-test Mann-Whitney U-test Dva zavisna uzorka T-test
3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Statistika. 1. Uvodna razmatranja o statistici
Statistika 1. Uvodna razmatranja o statistici ZAŠTO STATISTIKA? Statistički način mišljenja jednog će dana za svakodnevni život građana postati jednako neophodan kao znanje čitanja i pisanja. H. G. Wells(1866-1946).
INTELIGENTNO UPRAVLJANJE
INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.
Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,
7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova
Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički
UVOD DEFINICIJA: Statistika planiranje i provođenje pokusa skupljanje podataka interpretacija
OSNOVE STATISTIKE UVOD DEFINICIJA: Statistika je grana matematike koja obuhvaća sakupljanje, analizu, interpretaciju i prezentaciju podataka te izradu predviđanja koja se temelje na tim podacima. Smatra
Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Operacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Edukacijsko-rehabilitacijski fakultet Sveučilišta u Zagreb S T A T I S T I K A. Skripta. Pripremio: Branko Nikolić. Zagreb 2015./2016.
Edukacijsko-rehabilitacijski fakultet Sveučilišta u Zagreb S T A T I S T I K A Skripta Pripremio: Branko Nikolić Zagreb 05./06. LITERATURA: Obvezna:. Petz B., Kolesarić, V., Ivanec, D. (0): Petzova statistika.
Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića
Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
STATISTIKA S M E I M N I AR R 7 : METODE UZORKA
Fakultet za menadžment u turizmu i ugotiteljtvu, Opatija Sveučilišni preddiplomki tudij Polovna ekonomija u turizmu i ugotiteljtvu Noitelj kolegija: Prof. dr. c. Suzana Marković Aitentica: Jelena Komšić
Teorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Ovisno o postojanju ovih svojstava kod objekata mjerenja, razlikuje se mjerna skala i vrsta mjerenja.
MJERENJE Mjerenje pridruživanje brojeva prema unaprijed utvrđenim đ pravilima Kvantifikacija atributa (zastupljenosti pojedinih obilježja) entiteta (živa bića, pojave, društvene grupe itd.) Izomorfnost
radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,
PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,
IZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
PISMENI ISPIT IZ STATISTIKE
1. a) Trgovina odjeće prodaje odjeću u tri različite veličine: 32% veličine S, 44% veličine M i ostatak veličine L. Pokazalo se da je postotak odjeće s greškom redom 1%, 5% i 2%. Ako je trgovina ustanovila
Matematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.
σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka
GLAZBENA UMJETNOST. Rezultati državne mature 2010.
GLAZBENA UJETNOST Rezultati državne mature 2010. Deskriptivna statistika ukupnog rezultata PARAETAR VRIJEDNOST N 112 k 61 72,5 St. pogreška mjerenja 5,06 edijan 76,0 od 86 St. devijacija 15,99 Raspon 66
Uvod u neparametarske testove
Str. 148 Uvod u neparametarske testove Predavač: Dr Mirko Savić savicmirko@ef.uns.ac.rs www.ef.uns.ac.rs Hi-kvadrat testovi c Str. 149 Koristi se za upoređivanje dve serije frekvencija. Vrste c testa:
a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA
: MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Dijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Kaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Program testirati pomoću podataka iz sledeće tabele:
Deo 2: Rešeni zadaci 135 Vrednost integrala je I = 2.40407 42. Napisati program za izračunavanje koeficijenta proste linearne korelacije (Pearsonovog koeficijenta) slučajnih veličina X = (x 1,..., x n
Elementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Slučajne varijable. Diskretna slučajna varijabla X je promjenjiva veličina koja poprima vrijednosti iz skupa
Slučajne varijable Statistički podaci su distribuirani po odredenoj zakonitosti. Za matematičko (apstraktno) opisivanje te zakonitosti potrebno je definirati slučajnu varijablu kojoj pripada odredena razdioba
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
3. OSNOVNI POKAZATELJI TLA
MEHANIKA TLA: Onovni paraetri tla 4. OSNONI POKAZATELJI TLA Tlo e atoji od tri faze: od čvrtih zrna, vode i vazduha i njihovo relativno učešće e opiuje odgovarajući pokazateljia.. Specifična težina (G)
MERE DISPERZIJE ( VARIJABILNOSTI )
MERE DISPERZIJE ( VARIJABILNOSTI ) 1. RASPON VARIJACIJE 2.KVARTILNO ODSTUPANJE 3.PROSEČNO ODSTUPANJE 4.STANDARDNA DEVIJACIJA 5.KORELACIJA 6.STATISTIČKI POSTUPCI PRI BAŽDARENJU MERE DISPERZIJE Pokazatelji
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE
**** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA
Testiranje statistiqkih hipoteza
Testiranje statistiqkih hipoteza Testiranje statistiqkih hipoteza Testiranje statistiqkih hipoteza je vid statistiqkog zakljuqivanja koji se primenjuje u situacijama: kada se unapred pretpostavlja postojanje određene
41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
(Hi-kvadrat test) r (f i f ti ) 2 H = f ti. i=1
χ 2 test (Hi-kvadrat test) Jedan od prvih statističkih testova je χ 2 -test. Predložio ga je K. Pearson 900. godine, pa je poznat i pod nazivom Pearsonov test. χ 2 test je neparametarski test. Pomoću χ
TRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE
SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE Ne postoji precizna definicija skupa (postoji ali nama nije zanimljiva u ovom trenutku), ali mi možemo koristiti jednu definiciju koja će nam donekle dočarati šta su zapravo
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
10. domaća zadaća. 3. Neka je X neprekidna slučajna varijabla takva da je X N(0, 1). S točnošću od odredite:
Napomena: U svim zadacima treba koristiti tablicu standardne normalne razdiobe. 1. Neka je X neprekidna slučajna varijabla takva da je X N(0, 1). S točnošću od 10 5 odredite: a) P(X 1.16), b) P(X 0.59);
Uvod u matematičku statistiku
Uvod u matematičku statistiku Pojam matematičke statistike. Pojednostavljeno rečeno, matematička statistika je znanstvena disciplina koja iz poznavanja određenih svojstava uzorka donosi zaključke o svojstvima
radni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka
NEPARAMETRIJSKE TEHNIKE
NEPARAMETRIJSKE TEHNIKE Neparametrijske tehnike se koriste za obradu podataka dobijenih na nominalnim i ordinalnim skalama. za testiranje značajnosti distribucije frekvencija po kategorijama jedne nominalne
( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =
x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},
OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK
OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika
Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Slučajne varijable Materijali za nastavu iz Statistike
Slučajne varijable Materijali za nastavu iz Statistike Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 1 Slučajna varijabla Slučajna varijabla je funkcija X koja elementarnim dogadajima pridružuje
Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
APROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo
Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra
π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Sistemi veštačke inteligencije primer 1
Sistemi veštačke inteligencije primer 1 1. Na jeziku predikatskog računa formalizovati rečenice: a) Miloš je slikar. b) Sava nije slikar. c) Svi slikari su umetnici. Uz pomoć metode rezolucije dokazati
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla
POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
STATISTIČKE I METRIJSKE KARAKTERISTIKE MOTORIČKIH MERNIH INSTRUMENATA
STATISTIČKE I METRIJSKE KARAKTERISTIKE MOTORIČKIH MERNIH INSTRUMENATA Pred istraživače se prilikom definisanja uzorka, odnosno baterije motoričkih testova, uvek postavljaju osnovna pitanja: koju motoričku
Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:
2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i