ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ

Transcript

1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ i) Να αποδείξετε την ταυτότητα α β γ αββγγα α β βγ γα ii) Να αποδείξετε ότι για όλους τους αβγ,, ισχύει Πότε ισχύει ισότητα; α β γ αβ βγ γα Λέμε ότι μια τριάδα θετικών ακεραίων β, γα, είναι πυθαγόρεια τριάδα όταν β γ αείναι πλευρές ορθογωνίου τριγώνου, δηλαδή όταν οι,, β γ α i) Αν β, γα, είναι μια πυθαγόρεια τριάδα και κ είναι ένας θετικός ακέραιος, να αποδείξετε ότι και η τριάδα κβ, κγ, κα είναι επίσης πυθαγόρεια τριάδα ii) Αν μ και ν θετικοί ακέραιοι με μ ν, να δείξετε ότι η τριάδα μ ν, μν, μ ν είναι πυθαγόρεια τριάδα Στη συνέχεια να συμπληρώσετε τον πίνακα με τις πυθαγόρειες τριάδες που αντιστοιχούν στις τιμές των μ και ν που δίνονται στις δυο πρώτες στήλες: μ ν μ ν μν μ ν α β Α) Να αποδείξετε ότι αβ Τι σημαίνει η ανισότητα αυτή για ένα ορθογώνιο με διαστάσεις α και β ; Πότε ισχύει η ισότητα; Β) Με τη βοήθεια της παραπάνω ανισότητας (ή και με άλλο τρόπο), να αποδείξετε ότι: i) Από όλα τα ορθογώνια με σταθερή περίμετρο P το τετράγωνο έχει το μεγαλύτερο εμβαδό ii) Από όλα τα ορθογώνια με σταθερό εμβαδό E το τετράγωνο έχει την ελάχιστη περίμετρο

2 06 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Δίνεται η εξίσωση x αx, α i) Να λύσετε την εξίσωση για τις διάφορες τιμές του α ii) Για ποιες τιμές του α η εξίσωση έχει λύση μεγαλύτερη του; Δίνεται η εξίσωση λ x λ x, λ i) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση αυτή γράφεται ισοδύναμα: λ λ x λ λ ii) Να λύσετε την εξίσωση για τις διάφορες τιμές του λ iii) Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες η εξίσωση έχει ρίζα τον αριθμό 6 Από τη φυσική γνωρίζουμε ότι στην κατακόρυφη βολή ενός σώματος με αρχική ταχύτητα v 0, το ύψος h του σώματος συναρτήσει του χρόνου t της κίνησης του δίνεται από τον τύπο ht vt 0 gt, όπου g η επιτάχυνση της βαρύτητας Α) Αν v0 60 m sec και g 0 m sec : i) Να βρείτε πότε το σώμα θα φθάσει σε ύψος h =80 μέτρα ii) Να βρείτε πότε το σώμα θα βρεθεί σε ύψος h =00 μέτρα Ποια είναι η ερμηνεία των προηγούμενων απαντήσεων; Β) Στη γενική περίπτωση όπου ht vt 0 gt, με τα v 0 και g σταθερά, να βρείτε τη συνθήκη που πρέπει να ισχύει, ώστε το σώμα να φθάσει σε δεδομένο ύψος h 0 7 Στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις f x x και g x x και στη συνέχεια να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και g 8 A) Στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f x x και g x x και με τη βοήθεια αυτών να βρείτε τις λύσεις της ανίσωσης x- < x- B) Στη συνέχεια να επιβεβαιώσετε αλγεβρικά τα προηγούμενα συμπεράσματα

3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 07 9 Α) Σε ένα καρτεσιανό επίπεδο να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: f x x g x, x και hx ( ) x Β) Με τη βοήθεια των παραπάνω γραφικών παραστάσεων να προσδιορίσετε το πλήθος των λύσεων του συστήματος y x y α για τις διάφορες τιμές του α 0 Σε ένα επίπεδο σχεδιάζουμε ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Oxy i) Να δείξετε ότι η εξίσωση y x 0 παριστάνει τις διχοτόμους δ και δ των γωνιών των αξόνων τις οποίες και να σχεδιάσετε M xy του επιπέδου από το ii) Ποια είναι η απόσταση ενός σημείου, σημείο K α,0του άξονα x x ; Να δείξετε ότι η εξίσωση x α y, α παριστάνει στο επίπεδο κύκλο C με κέντρο K και ακτίνα Σχεδιάστε τον κύκλο για μια τιμή του α iii) Με τη βοήθεια των παραπάνω γραφικών παραστάσεων να προσδιορίσετε το πλήθος των λύσεων του συστήματος y x 0 x α y για τις διάφορες τιμές του α Στο διπλανό σχήμα τα C και C είναι ημικύκλια με κέντρα Κ και Λ και ακτίνες R = 6cm και R = cm αντιστοίχως, ενώ το Μ είναι ένα σημείο της διακέντρου ΚΛ και η ΜΔ είναι κάθετη στην ΚΛ Να βρείτε το μήκος x του τμήματος ΛΜ, αν γνωρίζουμε ότι το σημείο Γ είναι μέσο του ΜΔ Θεωρούμε έναν άξονα x ' x και παίρνουμε πάνω σ αυτόν τα σταθερά σημεία Α, Β και ένα μεταβλητό σημείο και gx ( ) ΜΑ ΜΒ f( x) ΜΑ ΜΒ Μ x Θέτουμε

4 08 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ i) Να αποδείξετε ότι : f( x) = x+ + x- και gx ( ) = x+ - x- ii) Να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις f και g iii) Να βρείτε με τη βοήθεια των παραπάνω γραφικών παραστάσεων την ελάχιστη και τη μέγιστη τιμή (εφόσον υπάρχουν) των συναρτήσεων f και g, καθώς και τις θέσεις στις οποίες παρουσιάζονται Στα παρακάτω σχήματα δίνονται οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: f( x) = x +, x x gx ( ) = & hx ( ) = x + x + i) Από τις γραφικές παραστάσεις να βρείτε τα ολικά ακρότατα των συναρτήσεων f, g, h, καθώς και τις θέσεις των ακροτάτων αυτών ii) Να επιβεβαιώσετε αλγεβρικά τα προηγούμενα συμπεράσματα Α) Δίνεται η συνάρτηση f x x i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f ii) Να αποδείξετε ότι αν το σημείο M ( αβ, ) ανήκει στη γραφική παράσταση της f, το σημείο M '( β, α ) ανήκει στη γραφική παράστα- ση της συνάρτησης g x x iii) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να σχεδιάσετε πρώτα τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g και στη συνέχεια, με τη βοήθεια του προηγούμενου ερωτήματος, να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f Ποιο είναι το είδος της μονοτονίας και ποιο το ακρότατο της συνάρτησης f ; Β) Να δείξετε ότι η συνάρτηση hx ( ) να χαράξετε τη γραφική της παράσταση x είναι άρτια και στη συνέχεια Γ) Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της f ( x) x

5 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 09 Αν Α', Β', Γ ',, Μ ', Ν ' είναι τα σημεία της γραφικής παράστασης της f με τετμημένες,,,, ν, ν αντιστοίχως, να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΒΑ' Β', Γ ΒΓ ' ',, ΝΜ' Ν' είναι ισοσκελή Μία γέφυρα έχει ένα παραβολικό τόξο του οποίου το πλάτος είναι 8m και ύψος είναι,6m Κάτω από τη γέφυρα θέλει να περάσει γεωργικό μηχάνημα του οποίου η καρότσα έχει πλάτος 6m και ύψος m Μπορεί το μηχάνημα να περάσει; 6 Δίνεται ένα τετράγωνο ΑΒΓΔ με πλευρά 0cm και το μέσον Ο της ΑΔ Ένα κινητό σημείο Μ ξεκινά από το Α και, διαγράφοντας την πολυγωνική γραμμή ΑΒΓΔ, καταλήγει στο Δ Αν με x συμβολίσουμε το μήκος της διαδρομής που έκανε το κινητό Μ και με f ( x ) το εμβαδόν του σκιασμένου χωρίου, i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού και τον τύπο της συνάρτησης f ii) Να παραστήσετε γραφικά την f iii) Να βρείτε την τιμή του x για την οποία ισχύει f( x) 0 cm 7 Στο διπλανό σχήμα το ΑΒΓΔ είναι τετράγωνο πλευράς μ και το M είναι ένα σημείο της διαγωνίου ΑΓ με ( ΑΡ) x Συμβολίζουμε με f g x το εμβαδόν του τραπεζίου ΜΓΔΣ x το εμβαδόν του τριγώνου ΜΑΒ και με i) Να αποδείξετε ότι f x x, 0 x και g x 0, x, 0 x

6 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ii) Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες τα δύο εμβαδά είναι ίσα iii) Να παραστήσετε γραφικά στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων τις συναρτήσεις f και g και να βρείτε, με τη βοήθεια των γραφικών παραστάσεων, με προσέγγιση την τιμή του x για την οποία τα δύο εμβαδά είναι ίσα 8 Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΟΑΒ είναι ορθογώνιο, το Μ είναι τυχαίο σημείο της ΟΑ και ΜΝ//ΟΒ Αν (ΟΑ)=, (ΟΒ)= και (ΟΜ)=x, και Ε(x) είναι το εμβαδόν του τριγώνου ΒΜΝ, i) Να αποδείξετε ότι: ( x) ( MN) και Ex ( ) x x 8 ii) Να βρείτε τη θέση του Μ για την οποία το εμβαδόν Ε(x) μεγιστοποιείται Ποια είναι η μέγιστη τιμή του Ε(x) 9 Σε ένα καρτεσιανό επίπεδο θεωρούμε τα σημεία Α (0,) και Β (,), καθώς και το σημείο Μ ( x,0) που κινείται κατά μήκος του άξονα x ' x i) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Γ στο οποίο τέμνει η ευθεία ΑΒ τον άξονα x ' x ii) Να εκφράσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΜΑΒ συναρτήσει της τετμημένης x του σημείου Μ και να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση αυτή 0 Σε ένα τμήμα ΑΒ 0km μιας λεωφόρου πέφτει συνεχώς χιόνι και το ύψος του χιονιού αυξάνεται cm την ώρα Όταν αρχίζει η χιονόπτωση ένα εκχιονιστικό μηχάνημα αρχίζει από το άκρο Α να καθαρίζει το χιόνι κινούμενο κατά μήκος του δρόμου με ταχύτητα 0km h Μόλις φτάσει στο Β γυρίζει και καθαρίζει το δρόμο αντιστρόφως από το Β προς το Α και συνεχίζει με τον ίδιο τρόπο i) Να σχεδιάσετε ένα διάγραμμα για το ύψος του χιονιού στο Α, παραβλέποντας το χρόνο στροφής στα Α και Β ii) Να κάνετε το ίδιο για το ύψος του χιονιού στο μέσο Μ του ΑΒ

7 ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ii) i) 000 ii) 9999 iii) ii) ii) 7 7 ν i) α ii) i) x y ii) α + α + xy x y i) ( α ) ii) i) Πάρτε τη διαφορά ii) Πάρτε τη διαφορά Άθροισμα τετραγώνων i), ii), i) 9, 8 και 0 ii) 0,9 και 0,7 iii) 6 και iv) 8, και 0, i) 0, και 6, ii) 6,8 και,68 6 Απαλοιφή παρονομαστών 7 x < 0 i) Απαλοιφή παρονομαστών, ii) απαλοιφή παρονομαστών Πάρτε τη διαφορά Εκτέλεση πράξεων i) Πολλαπλασιάστε με το ii) πολλαπλασιάστε με το i) π ii) π iii) iv) 0 i) ii) ή 0 ή 6 i) d(,7, D) 0,00 ii),6 και,7 Χρησιμοποιήστε τριγωνική ανισότητα, i) x= y= 0 ii) x 0 ή y 0 α β i) < < β α ii) Αρκεί να δειχθεί α β β < α i) 9, έως 0, ii), έως 6,8 iii),8π έως, π i)0 ii) iii) 0 x i) π ii) 0 iii) x iv) 0 i) 0 + iii) + ii) ( 7 + ) ii) Χρησιμοποιείστε το ερώτημα (i) i) 6 o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ii) ( α + ) a i) ii) iii) 7 iv) i) Αδύνατη ii) ταυτότητα i) Αν λ, τότε x =, αν λ =, ταυτότητα λ ii) Αν λ, τότε x =, λ αν λ =, αδύνατη iii) Αν λ 0 και λ, τότε x =, λ αν λ = 0, αδύνατη, αν λ =, ταυτότητα λ + iv) Αν λ 0 και λ, τότε x =, λ αν λ = 0, ταυτότητα, αν λ =, αδύνατη i) x =, ii) x = 70 και 0 8 v v0 RR 6 i) t = ii) R = α R R 7 i) και ii) και 8 i) 0 και ii) και 0

8 ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 9 i) και ii) και 0 i), και ii) και i) ii) αδύνατη, i) αδύνατη ii) x με x 0 και x iii) αδύνατη iv) x με x και x (,0, ), (,,) και (,, ) i) και ii) και iii) iv) αδύνατη i) και ii) αδύνατη 6 i) 9 και ii) και α β, α 0, β 0, 0ml λεπτά, α Αν α 0, τότε x =, αν α = 0, τότε x με x 0 6 x = 0, 7 και, 8 και i) ii) iii) i) ii) iii) i) 8 και 8 ii) και iii) και i) 0και ii) 0και iii) 0, και 9 6 i) ii) iii) και i) και ii) iii) αδύνατη i), και, ii) 0και iii) αδύνατη λ i) Δ = ( ) ii) ( ) και Δ = α β Δ = α β, ( ) 6 i) x x+ 6= 0 ii) iii) x 0x+ = 0 7 i) και ii) x x+ = και 8 i) και ii) και 9 ( α β) ( β α) + και 0 και 0 i),, και ii) και iii) 6, 6, και, 0 και +, και i) και ii) i) και ii) και iii) αδύνατη 7 και Θέτουμε όπου x το ρ i) α και ii) α β και α β 6 i) Δ = λ + ii) και, λ = 7, και 8 9 ώρες, ώρες 0 α = 9, ρίζες είναι οι :,, και o ΚΕΦΑΛΑΙΟ i) x < ii) αδύνατη iii) x 0 i) x <, Όχι, 0, και x, i) x (,) ii) [ ] iii) x (,) 6 i) x (, ] [, + ) ii) x (, ) (, + ) iii) x (, ] [, + ), 7 i) x ii) x, 8 i) (,) x ii) x 9 x [,8] 0 x + < [,0 ] 7 i) x, ii) i) x [, ] [, ] ii) x [,] [ 7,9] i) iii) x i) iii) x 7 x, i) ( x )( x ) ii) ( x )( x ) +

9 ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ( ) x x i) ii) x + x 7 i) x x > 0, για x (, ) (, + ) x x+ = x iii) x x+ > 0 για x ii) ( ) i) x + x > 0 για x (,) 9x + 6x = x iii) x + x < 0 για x ii) ( ) i) [ 0,] x ii) [,] x iii) x x 6 i) x (, ) (, + ) ii) x, 7 i) x, x ii) x = 8 i) Αδύνατη ii) x 9 x (,) 0 x (, ) (, ) x (, ) (,) i) ( α β) ( α β), ( α+ β) α β α β ii), α β και α β α β + ( ) ( x α)( x + β) x + β, x α και x α x α i) ii) λ < 0 ή λ > iii) 0 < λ < 0 < λ < 9 6 i) Δ = 8λ λ, λ < ή λ > 0 ii) λ < 7 Το Μ βρίσκεται ανάμεσα στα σημεία που τριχοτομούν την ΑΓ 8 ii) Α > 0 με αβ, ομόσημους, Α < 0 με αβ, ετερόσημους x P( x ) x + P( x ) x (,) (, + ) x [,0] [, + ) x (, ] { } [, + ) 6 x, (,) 7 i) x (, ) (, + ) ii) 8 x (, ] (, ] 7 i) x, x, ii) ( ] x x (, ] (,],, + i) x, [,] ii) x (, ), [, + ) x,0 ( 0, ),9 < x <, 6 < t < o ΚΕΦΑΛΑΙΟ i) { } ii) { 0,} iv) ( 0,+ ) iii) i) [, ] ii) (, ] [, + ) iii) [, ] iv) [ 0,) (, ) +,, i) f ( x) = ( x+ ), x ii),,8,0 i) x = ii) αδύνατο iii) x= ή x= < x < και < y < 6 i) (, ) ii) (, ) iii) (, ) iv) (, ) i) ii) iii) iv)

10 ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ = + i) ΑΒ = ΑΓ ii) ( ΒΓ) ( ΑΒ) ( ΑΓ) 6 ( ΑΒ) = ( ΒΓ) = ( ΓΔ) = ( ΔΑ) = 7 i) ii) iii) 0, 8 i) (,0 ), ( ) ii) (,0 ), (,0 ), ( 0,6 ) iii) (, 0 ), ( 0, ) iv) ( 0, ) v) (, 0 ) vi) (,0), (,0 ) 9 i) ( 0, ), (, 0 ),(, 0) x < x > 0 i) (, ), (, ) ii) < x < ii) ή i) ii) 60 iii) iv) 0 i) ii) iii) 0 iv) i) y = x+ ii) y = x+ iii) y = x i) y = x+ ii) y = x+ iii) y = iv) y = x+ 0 C 6 Αποτελείται από την ημιευθεία y = x+, x 0, το ευθ τμήμα y =, 0 x και την ημιευθεία y = x+, x 7 i), και, 0, ii) x (,) { }, x [,0] [, + ) 8 i) x [,], x (, ) (, + ) i) f ( 6) =, f ( ) =, ( ) f = 0, f ( ) =, f ( ) =, ( ) f ( 0) =, ( ) f ( ) = 0, ( ) f = 0, f =, f ( ) =, f =, f ( ) = ii) f ( x ) = 0 :,, f ( x ) = :, f ( x ) = : x [ 0,] { 6} iii) y = 0, x, x [,] { } y = x, x i) Β() t = t, 0 t 0, Δ( t) = t, 0 t 0, ii) t=7min f ( x) = x+ 8, 0 x 0 i) h () t = t+ 0,0 t h () t = t + 0, 0 t ii), h iii), h i) ( x ) ii) ( ) x iii) ( x + ) iv) ( ) x + f (,], f [, + ), g (,0], g [ 0, ], g [,+ ), h (, ] h [, 0], h [ 0, ], h [, + ), f () = ολικό ελάχιστο, η g δεν έχει ολικά ακρότατα, h = oλικό ελάχιστο h( ) =, ( ) i) Αρκεί f ( x) f ( ) ii) Αρκεί g ( x) g( ) i) Άρτια ii) άρτια iii) τίποτα iv) περιττή v) τίποτα vi) περιττή i) Άρτια ii) τίποτα iii) περιττή iv) περιττή v) άρτια vi) άρτια 6 i) Περιττή ii) άρτια iii) τίποτα, 7 i) Άρτια ii) περιττή iii) τίποτα ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ y = x x x x x > < ή > f (,0], f [ ) f ( 0) = 0, ελάχιστο i) α) β) x < x < x< x x, 0,+, x > x > x > x y = x 0 ή x x x <, 0 x x > < <, x x 0 ή x x <

11 ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ x 0 x x > < < 6 y y = x + i) ( ) y = x ii) ( ) α) = ελάχιστο 9 β) g = 6 μέγιστο = x i) ii) iii), i) α < 0 ii) Δ > 0 iii) α =, γ = i) f ( x) = x + 0x ii) ( ) f = i) E= ( 6 8) x x + ii) ΜΑ=ΜΒ 0, 0 6ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 (, ) i) (, ) ii) i) (, ) ii) ( ),, i) Αδύνατο ii) άπειρες λύσεις της κ + μορφής: κ,, κ i) (, ) ii) (, ) 6 i) Μοναδική ii) άπειρες iii) αδύνατο (, κ) + +, κ 7 i) ( )( κ ) ii) αδύνατο,, ii) αδύνατο 0κ +, 6κ +, κ, κ 8 i) ( ) iii) ( ) i) ε: y = x+, ε : y = x ii), 0 δίκλινα, 6 τρίκλινα 00 παιδιά, 700 ενήλικες R = T ml, 60 ml 6 i) λ =, λ = ii) δεν υπάρχουν iii) α 7 i) Αν α ±, οι ευθείες έχουν μοναδικό κοινό σημείο, το,, α+ α+ αν α =, οι ευθείες ταυτίζονται, αν α + α+ α α =, οι ευθείες είναι παράλληλες ii) οι ευθείες έχουν μοναδικό κοινό σημείο για κάθε α 8 i) Αν λ ±, μοναδική λύση, αν λ =, αδύνατο, αν λ = αδύνατο, ii) αν μ ± μοναδική λύση, αν μ = άπειρες λύσεις, αν μ = αδύνατο 9 cm, cm, cm 0 x = τ α, y = τ β, z = τ γ,88 lt, 7,68 lt,, lt f ( x) = x x+, ( ) h( x) = 0,x x+ 6 (, ), (, ) ii), iii) (, ) = + +, g x x x i),,,,,, (, ), ( ), ( ), (, ), ( ), ( 0, ) (, 0 ), (,0 ), (, ), ( ), cm, 0 cm κ < 7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 x =, y =, ω ˆ = ΑΒ =, ΑΓ = i) 6 rad ii) rad iii) rad π π i) rad ii) rad 6 π iii) 7πrad iv) rad

12 6 ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ i) 8 ii) 0 iii) 60 iv) 8000 π 6 i),,, iii) 0, ii), 0, δεν ορίζεται iv) 0,, 0, δεν ορίζεται,,, i) 78, 7, 06 ii) 8 iii) v) + 8, 7 mm 7 συνx =, ημx =, σφx =, εφx =, 8 0 α i) iv) α ( -α ) 7 i) ημ 00 = εφ 00 = ii) ( 80 ) i) εφx =, εφx =, ημx =, ημx =, σφx = σφx = συνx = συνx = 6 i) Όχι, ii) όχι, iii) ναι α ii) α, ημ = εφ( 80 ) = 87π ημ =, 6, iii) α συν 00 =, σφ 00 =, ( 80 ) συν =, σφ 80 =, ( ) 87π συν =, 6 87π 87π εφ =, σφ = 6 6 π π ii) ημ =, συν =, π π εφ = σφ = ˆ ( ˆ ˆ Αˆ Βˆ + Γˆ Α+ Β+ Γ) = 80, + = 90 σφα 6 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ii) ii) < α < iii) λ = ή λ= 6 A) i) t = 6 ii) t =, t = 0 7 E = 8τμ 8 x < 9 Β) Αν α < 0, αδύνατο, αν α = 0, δύο λύσεις, αν 0< α < τέσσερις λύσεις, αν α = τρεις λύσεις, αν α > δύο λύσεις 0 iii) Αν α =± δύο λύσεις, αν 0< α< ή < α< 0, τέσσερις λύσεις, αν α = ± τρεις λύσεις, αν α< ή α> αδύνατο x = iii) f : ελάχιστο, g : ελάχιστο 0, μέγιστο, ναι,0 x x 0 6 i) f ( x) = 0x 00, 0 x 0 x+ 00, 0 x 60 iii) x = 7 ii) x = 8 ii) x =, E =,τμ 9 i), 0 ii) ( x) E = x

13 ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ ΟΡΩΝ Ακτίνα διαστήματος 0 Ευθεία εφαπτομένων 8 Ακτίνιο 8 «ή» 0 Ανεξάρτητη μεταβλητή 98 Ίσα σύνολα Ανισώσεις γινόμενο 9 Ισοδυναμία 0 Ανισώσεις δευτέρου βαθμού 8 «και» Ανισώσεις πηλίκο 9 Καρτεσιανές συντεταγμένες 0 Ανίσωση με απόλυτες τιμές 79 Κατακόρυφη μετατόπιση συνάρτησης 0 Ανίσωση πρώτου βαθμού 77 Κενό σύνολο 6 Απόλυτη τιμή 7 Κέντρο διαστήματος 0 Απόσταση αριθμών 9 Μέγιστο συνάρτησης 0 Απόσταση σημείων 06 Μέθοδος αντίθετων συντελεστών 6 Άρτια συνάρτηση Μέθοδος αντικατάστασης 6 Γνησίως αύξουσα συνάρτηση 8 Μέθοδος απαγωγής σε άτοπο Γνησίως μονότονη συνάρτηση 9 Μη γραμμικά συστήματα 7 Γνησίως φθίνουσα συνάρτηση 9 Μορφές τριωνύμου 8 Γραμμικό σύστημα x 6 Νιοστή ρίζα Γραμμικό σύστημα x 69 Ορθοκανονικό σύστημα 0 Γραφική επίλυση συστήματος x 6 Οριζόντια μετατόπιση συνάρτησης Γραφική παράσταση συνάρτησης 07 Ορίζουσα x 66 Γραφική παράσταση της f(x)=αx+β Παραμετρική εξίσωση 6 Γωνίες αντίθετες 9 Παράμετρος 6 Γωνίες με άθροισμα Παράσταση συνόλου με αναγραφή Γωνίες με άθροισμα Παράσταση συνόλου με περιγραφή Γωνίες που διαφέρουν Πεδίο ορισμού συνάρτησης 98 Διάγραμμα Venn 6 Περιττή συνάρτηση Διακρίνουσα 6 Πραγματική συνάρτηση 00 Διάστημα Πραγματικοί αριθμοί 9 Διάταξη πραγματικών αριθμών 0 Πρόσημο γινομένου 9 Διερεύνηση εξίσωσης 6 Πρόσημο τιμών τριωνύμου 8 Διερεύνηση συστήματος x 6 Σύζευξη Δύναμη αριθμού Συμπλήρωμα συνόλου 7 Δύναμη με ρητό εκθέτη 8 Συμπλήρωση τετραγώνου 6 Ελάχιστο συνάρτησης 0 Συνάρτηση 98 Ένωση συνόλων 7 Συνάρτηση f(x)= - /x 8 Εξαρτημένη μεταβλητή 98 Συνάρτηση f(x)= -x² Εξίσωση αx+βy=γ 9 Συνάρτηση f(x)=/x 6 Εξίσωση δευτέρου βαθμού 6 Συνάρτηση f(x)= x Εξίσωση πρώτου βαθμού Συνάρτηση f(x)=x² 0 Ευθεία Απόδειξη Συνάρτηση f(x)=α/x 8

14 Συνάρτηση f(x)=αx² Τετμημένη σημείου 0 Συνάρτηση f(x)=αx² +βx+γ Τετραγωνική ρίζα Συνάρτηση f(x)=αx Τομή συνόλων 7 Συνεπαγωγή 9 Τριγωνομετρικές ταυτότητες 90 Σύνολο Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας 79 Συντελεστής διεύθυνσης ευθείας Τριγωνομετρικός κύκλος 8 Σχετικές θέσεις δυο ευθειών Τύποι του Vietta 66 Ταυτότητες Υποσύνολο συνόλου Τεταγμένη σημείου 0