ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 1.Δίνεται η εξίσωση f x x 4x. Να βρείτε την τιμή του πραγματικού αριθμού λ για την οποία η

Transcript

1 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δίνεται η εξίσωση fx x 4x Να βρείτε την τιμή του πραγματικού αριθμού λ για την οποία η εξίσωση f x 0 έχει: α) ρίζα το β) δύο ρίζες πραγματικές και άνισες γ) ρίζες ετερόσημες δ) Αν 3, τότε i να βρείτε τις τιμές του χ για τις οποίες η γραφική παράσταση της f βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ χ ii να λύσετε την εξίσωση f x 4x 4 x Δίνεται η συνάρτηση f x 3x x x α) Να αποδείξετε ότι f x x x, x β) Να λύσετε την εξίσωση f x 0 γ) Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες ισχύει: f x 0 δ) να λύσετε την εξίσωση f x f x 8 0 f x x k x k 3Έστω η συνάρτηση α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση fx 0 έχει πραγματικές ρίζες για κάθε τιμή του πραγματικού αριθμού k β) Να βρείτε την τιμή του k, αν είναι γνωστό ότι για τις ρίζες x, x της εξίσωσης ισχύει ότι: x x 5 γ) Αν k, τότε: i Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα x x ii Να λύσετε την ανίσωση f x 0 x 9 iii Να λύσετε την ανίσωση 0 f x f x 0 4Δίνεται η συνάρτηση f(x) x 3( )x 4, α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) 0 έχει δύο άνισες ρίζες x,x για κάθε β) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες οι ρίζες x,x είναι θετικές γ) Αν, τότε: i Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες ii Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον άξονα χ χ iiiνα βρείτε την εξίσωση δευτέρου βαθμού που έχει ρίζες τα x και x 5Δίνεται το τριώνυμο f(x) x x α) Να αποδειχθεί ότι το τριώνυμο έχει πάντοτε πραγματικές ρίζες β) Έστω x, x οι ρίζες του τριωνύμου Να βρείτε τις τιμές του λ, ώστε x x 4 γ) Να βρείτε τις τιμές του λ, ώστε x x x x Blogsschgr/patsimas

2 δ) Για 3 να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες αληθεύει η σχέση f x x 9 0 6Δίνεται η συνάρτηση f(x) x α) Να γράψετε τον τύπο της συνάρτησης f, χωρίς το σύμβολο της απόλυτης τιμής β) Να κάνετε τη γραφική της παράσταση f x γ) Να λύσετε την εξίσωση δ) Να λύσετε την ανίσωση f x ε) να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τη γραφική παράσταση της συνάρτησης gx x 5 7Δίνεται η συνάρτηση f(x) 4 x x α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της β) Να αποδείξετε ότι η γραφική της παράσταση έχει άξονα συμμετρίας τον y y γ) Να λύσετε την ανίσωση 60 f(x) δ) Να βρείτε το σημείο τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με τον άξονα y y 8Δίνεται η συνάρτηση f x x x, x α) Να λύσετε την εξίσωση: f x f x 3f 5 β) Να λύσετε την εξίσωση: f x x x 3 γ) Να λύσετε την ανίσωση f x x 4f δ) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f δεν τέμνει τον άξονα χ χ ε) Να αποδείξετε ότι f f f f f f 9Δίνεται η συνάρτηση fx 4x 4 x 6 4 α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f β) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες γ) Να εξετάσετε αν η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο M8,6 4 δ) Να αποδείξετε ότι f 7 f 6 0Δίνεται η συνάρτηση f x x x x α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της β) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f γ) Αν η γραφική της παράσταση τέμνει τον άξονα x x στο Α και τον άξονα y y στο Β, να, είναι ορθογώνιο αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ με Δίνονται οι παραστάσεις A x και B x 3 Blogsschgr/patsimas

3 A 4 5 A α) Να λύσετε τη εξίσωση 3 3 β) Να λύσετε την εξίσωση A B γ) Αν x 3, τότε: i να μετατρέψετε τη παράσταση B A σε ισοδύναμη με ρητό παρονομαστή ii Να αποδείξετε ότι 3 3 A A A f x Δίνεται η συνάρτηση x 8, x x 8x 7, x f 3 f 0, f, f, f 3 α) Να υπολογίσετε τις τιμές, β) Να αποδείξετε ότι: f0 f f f3 γ) Να λύσετε την εξίσωση fx 0 δ) Για κάθε x 0, να αποδείξετε ότι 3 3Δίνεται η συνάρτηση fx x α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f x f x β) Να λύσετε την εξίσωση fx fx 3 γ) Να λύσετε την ανίσωση x 0 f x δ) Να αποδείξετε ότι f 3 i ii f f 4Δίνεται η συνάρτηση 8 3 x χ f x x x λ α) Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού λ, για τις οποίες η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το β) Αν, τότε: i Να λύσετε την ανίσωση x f f 0 ii Να αποδείξετε ότι 9f 0 6 iii Να λύσετε την εξίσωση x f 0 3 5Από 38 άτομα μιας τάξης, που ρωτήθηκαν, οι 4 απάντησαν ότι έγραψαν άριστα σ ένα διαγώνισμα (Α), οι 3 ότι έγραψαν άριστα σ ένα διαγώνισμα (Β) και οι 5 έγραψαν άριστα και στα δύο Αν επιλέξουμε τυχαία ένα άτομο να βρεθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων: α) Το άτομο δεν έγραψε άριστα σε κανένα διαγώνισμα β) Το άτομο έγραψε άριστα μόνο στο (Α) γ) Το άτομο έγραψε άριστα μόνο στο (Β) Blogsschgr/patsimas

4 6Από 0 μαθητές ενός Λυκείου, 4 μαθητές συμμετέχουν στο διαγωνισμό της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας, 0 μαθητές συμμετέχουν στο διαγωνισμό της Ένωσης Ελλήνων Φυσικών και μαθητές συμμετέχουν και στους δύο διαγωνισμούς Επιλέγουμε τυχαία ένα μαθητή Ποια είναι η πιθανότητα ο μαθητής: α) Να συμμετέχει σ έναν τουλάχιστον από τους δύο διαγωνισμούς; β) Να συμμετέχει μόνο σ έναν από τους δύο διαγωνισμούς; γ) Να μην συμμετέχει σε κανέναν από τους δύο διαγωνισμούς; 7Έστω Α,Β ενδεχόμενα δειγματικού χώρου Ω και PA,PB PA 4 3PA 9 0, το τότε: α) Να βρείτε το PA β) Να βρείτε το PB οι πιθανότητές τους, αντίστοιχα Αν P B είναι ρίζα της εξίσωσης γ) Να βρείτε τη πιθανότητα να πραγματοποιηθούν ταυτόχρονα τα Α και Β δ) Να λύσετε την ανίσωση x P A x 6P A 0 4x 9x 0 και PA B 3 4, 8Έστω τα σημεία Α 3,, Β(,-) και Γ 3, Να βρείτε τα, για τα οποία: α) τα σημεία Α,Β να είναι συμμετρικά ως προς την αρχή των αξόνων β) Α,Γ να είναι συμμετρικά ως προς τον y y γ) Β,Γ να είναι συμμετρικά ως προς την διχοτόμο της γωνίας x y δ) το σημείο Α να ανήκει στην ευθεία 9 y x 4 9 Δίνεται η ευθεία (ε) : y 3P(A)x, όπου PA Β(,3) α) Να βρείτε το PA β) Αν P B η τετμημένη του σημείου τομής της (ε) με την ευθεία (δ) : η πιθανότητα ενός ενδεχομένου Α και το σημείο της y 5PB x ( PB είναι η πιθανότητα ενός ενδεχομένου B) και τα ενδεχόμενα Α,Β είναι ασυμβίβαστα να βρείτε τη πιθανότητα να πραγματοποιηθεί ένα τουλάχιστον από τα ενδεχόμενα Α,Β γ) αν PB και P B A, να βρείτε τη πιθανότητα να πραγματοποιηθεί ένα τουλάχιστον από τα 3 ενδεχόμενα Α,Β 0Δίνονται τα σύνολα A x R/ x 4x 3 και α)να γραφούν με αναγραφή τα σύνολα β) Να βρείτε την ένωση και τη τομή τους γ) Να εξετάσετε αν το Α είναι υποσύνολο του Β B xn/ x 5x (x ) 0 Δίνεται η εξίσωση ()x, Αν η εξίσωση είναι αόριστη τότε: α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( )x 4 είναι αδύνατη x β) Να αποδείξετε ότι για κάθε x γ) Να λυθεί η ανίσωση x 3 x Blogsschgr/patsimas

5 Δίνεται η συνάρτηση x, x f(x) 3x 6, x α) Να βρείτε τα f,f,f f β) Να κάνετε τη γραφική της παράσταση γ) Να λύσετε την εξίσωση f x δ) Να λύσετε την ανίσωση f x 3Δίνεται η συνάρτηση f(x) x x, α) Να βρείτε το λ αν το είναι ρίζα της εξίσωσης f x 0 β)για την θετική τιμή του λ του α) ερωτήματος να βρείτε τα σημεία τομής της γ) Να λυθεί η εξίσωση f x 0 δ) Να βρεθεί το λ,ώστε η εξίσωση f x 0 να έχει μία διπλή ρίζα Cf με τους άξονες 4Δίνονται οι παραστάσεις A dx,4, α) Να αποδείξετε ότι B β) Να αποδείξετε ότι 8 3 γ) Να λύσετε την εξίσωση A B δ) Να λύσετε την ανίσωση Α Γ x, B και ( 3)( 3) x 3 5Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) x και x 3 g(x) x α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f β) Να Να βρείτε το πεδίο ορισμού της g γ) Να βρεθούν τα σημεία τομής των f και g με τους άξονες δ) Να εξετάσετε αν τα σημεία Α 3 0,, B0,4 ανήκουν στη γραφική παράσταση των συναρτήσεων 6Ένα κουνούπι κινείται στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f με f(x) x 4x 3 και μία μύγα στη γραφική παράσταση της συνάρτησης g(x) x x α) Να βρείτε i αν θα συναντηθούν η μύγα και το κουνούπι και αν ναι σε ποιο σημείο; ii για ποιες τιμές του x το κουνούπι θα βρίσκεται πάνω από τον χ χ και για ποιες κάτω β)αν ο x x παριστάνει την επιφάνεια της θάλασσας i να δείξετε ότι η μύγα δεν πρόκειται να πνιγεί ii να βρείτε αν υπάρχουν σημεία τα οποία πρέπει να αποφύγει το κουνούπι ώστε να μη πέσει στη θάλασσα A, 8 να βρείτε την θέση που θα βρίσκεται το iiiαν ένα ψάρι βρίσκεται στο σημείο κουνούπι,αν το ψάρι και το κουνούπι ακολουθούν συμμετρική πορεία ως προς τον χ χ γ) Αν ένας άνθρωπος κινείται στην ευθεία y 4x 7,να βρείτε πόσες φορές θα τον τσιμπήσει το κουνούπι Blogsschgr/patsimas