Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» stvrentzou@gmail.com

Transcript

1 1 Πρόσημο τριωνύμου - λύση ανίσωσης ου βαθμού Έστω το τριώνυμο f(x) = x - 4x - 1. Θέλουμε να εξετάσουμε για ποιες τιμές της μεταβλητής x το τριώνυμο f(x) γίνεται θετικό, για ποιες τιμές του x γίνεται αρνητικό, ή πότε γίνεται μηδέν. Αφού βρούμε την διακρίνουσα (Δ = 64 >0) και τις ρίζες του ( x = -, x = 6 για τις οποίες το τριώνυμο μηδενίζεται). Κάνουμε έναν πίνακα, δίνοντας μερικές τιμές στο x και βρίσκοντας το f(x) Τιμές του x Τιμές του x 4x Πρόσημο του x 4x Από τον πίνακα παρατηρούμε ότι: Για τις τιμές του x που είναι ανάμεσα στις ρίζες - και 6 το τριώνυμο γίνεται αρνητικό (ετερόσημο του α = 1) ενώ για τις τιμές του x που είναι πριν το - και μετά το 6 το τριώνυμο γίνεται θετικό (ομόσημο του α = 1). «Το τριώνυμο είναι ετερόσημο του α για κάθε x ανάμεσα στις δύο ρίζες του, είναι ίσο με 0 ακριβώς στις ρίζες του και τέλος είναι ομόσημο του α σε κάθε άλλη περίπτωση» 1

2 Παρατηρήσεις 1. Προσέχουμε την σειρά των ριζών που βάζουμε στην πρώτη γραμμή: από τις μικρότερες προς τις μεγαλύτερες.. Στα - και + βάζουμε πάντοτε ανοικτό διάστημα. 3. Τα πρόσημα μπορούμε να τα βρούμε και με δοκιμές: αντικαθιστούμε σε κάθε παράσταση μια τιμή του x που να ανήκει στο διάστημα που μελετούμε και βρίσκουμε το πρόσημο του αποτελέσματος.

3 3 Συνοπτικά: Αν Δ>0 και x 1, x οι ρίζες τότε το τριώνυμο: γίνεται ομόσημο του α όταν το x είναι εκτός των ριζών γίνεται ετερόσημο του α όταν το x είναι μεταξύ των ριζών Αν Δ=0 και ρ η διπλή ρίζα τότε το τριώνυμο: γίνεται ομόσημο του α για κάθε x εκτός της διπλής ρίζας ΔΕΝ γίνεται πουθενά ετερόσημο του α Αν Δ<0 (δεν έχει ρίζες) τότε το τριώνυμο: γίνεται ομόσημο του α για κάθε x R ΔΕΝ γίνεται πουθενά ετερόσημο του α Την ίδια παρατήρηση κάνουμε αν κατασκευάσουμε την γραφική παράσταση του y = x 4x 1 και δούμε σε ποια διαστήματα βρίσκεται πάνω ή κάτω από τον άξονα x x. 3

4 4 Οι παρατηρήσεις αυτές για το πρόσημο του x - 4x - 1 μπορούν να γενικευθούν με τον πίνακα Τιμές του x Πρόσημο του x 4x Άρα: Στα διαστήματα (-, -) και (6,+ ) είναι x - 4x -1 > 0 και στο διάστημα (-,6) είναι x -4x-1 < 0 Παρατηρώντας λοιπόν την γραφική παράσταση ενός τριωνύμου ανάλογα με το πρόσημο των Δ και α έχουμε: Αν Δ>0 το τριώνυμο f(x) με ρίζες x 1,x : για x<x 1 ή x >x είναι ομόσημο του α, ενώ για x 1 <x<x είναι ετερόσημο του α Δ >0 α <0 Δ>0 α >0 Αν Δ=0 το τριώνυμο f(x) με διπλή ρίζα ρ : ομόσημο του α για x<ρ ή x >ρ είναι 4

5 5 Δ=0 α>0 Δ =0 α <0 Αν Δ<0 το τριώνυμο f(x) δεν έχει ρίζες και : για κάθε x R είναι ομόσημο του α y = x + x + y = x + x Δ < 0 α <0 Δ< 0 α>0 5

6 6 Πώς λύνουμε ανίσωση ου βαθμού : αx + βx + γ >0 ή αx + βx + γ <0 Μεθοδολογία: Θέλουμε να λύσουμε ανισώσεις ου βαθμού, δηλαδή ανισώσεις της μορφής αx + βx+ γ 0 (ή ή < ή >). Βρίσκουμε την διακρίνουσα Δ και τις ρίζες (αν υπάρχουν) Καταστρώνουμε πίνακα και βρίσκουμε το πρόσημο του τριωνύμου της ανίσωσης Από τα συμπεράσματα του πίνακα δίνουμε την λύση της ανίσωσης Μεθοδολογία Α Να λύσετε την ανίσωση x Λύση: + 3x > 0 Ρίζες : ρ 1 = 1 και ρ =. Επειδή ο συντελεστής του x είναι το 1 < 0, για κάθε x ( 1, ) το τριώνυμο είναι θετικό (ετερόσημο του 1). Η ανίσωση ζητάει να είναι το τριώνυμο θετικό, άρα η λύση της ανίσωσης είναι x ( 1, ). Να λύσετε την ανίσωση x Λύση: + 3x 0. Όπως είδαμε οι ρίζες είναι 1, και ανάμεσα σε αυτές ( x ( 1, ) ) το τριώνυμο είναι θετικό (ετερόσημο του 1). Το τριώνυμο πρέπει να είναι αρνητικό (σύμφωνα με την ανίσωση) έτσι η λύση είναι x (,1] [, + ) 6

7 7 Να λύσετε την ανίσωση Λύση: x Το τριώνυμο αυτό δεν έχει ρίζες, έτσι είναι παντού θετικό (ομόσημο του 1). Το τριώνυμο πρέπει να είναι αρνητικό (σύμφωνα με την ανίσωση) οπότε η ανίσωση είναι αδύνατη. Να λυθει η ανισωση : (x - 1)(x - x + 5)(-x + 5x - 6) 0 Εξετάζουμε κάθε παρένθεση ξεχωριστά: x > 1 τότε x 1 > 0 x - 1 = 0 x = 1, οπότε για x < 1 τότε x 1 < 0 x - x + 5 = 0 τότε Δ = (-) = 4-0 = -16 < 0 οπότε x - x + 5 > 0 για κάθε x R. - x + 5x - 6 = 0 Δ = 1 χ 1 =, χ = 3 x + 5x 6 > 0 για < χ < 3 x + 5x 6 < 0 για > χ και χ > 3 x x x - x x + 5x F(x) Άρα το σύνολο λύσεων της ανίσωσης είναι : [1, ]U[3,+ ). 7

8 8 Μεθοδολογία Β Κάνουμε την γραφική παράσταση του αντίστοιχου τριωνύμου, δηλαδή του f( x) = αx + βx+ γ αφού πρώτα βρούμε τη διακρίνουσα και τις ρίζες. Εφόσον κάνουμε τη γραφική παράσταση ψάχνουμε στον άξονα xx ' να βρούμε τα διαστήματα (ή τα σημεία) που έθεσε η δεδομένη ανίσωση ( δες πίνακα γραφικών παραστάσεων. Αν α,β R με α < β, τότε ονομάζουμε διαστήματα με άκρα τα α, β καθένα από τα παρακάτω σύνολα: (α, β) ={x R /α < x <β}: ανοικτό διάστημα. [α, β] ={x R /α x β}: κλειστό διάστημα. [α, β) ={x R /α x <β}: κλειστό - ανοικτό διάστημα. (α, β] ={x R /α < x β}: ανοικτό - κλειστό διάστημα. AN TO ΤΡΙΩΝΥΜΟ ΔΙΑΤΗΡΕΙ ΣΤΑΘΕΡΟ ΠΡΟΣΗΜΟ Αν θέλουμε αχ +βχ+γ >0 (δηλαδή το τριώνυμο να διατηρεί θετικό πρόσημο) απαιτούμε: Δ<0 (ώστε το πρόσημο να διατηρείται) και α>0 (για είναι θετικό) Αν θέλουμε αχ +βχ+γ<0 (δηλαδή το τριώνυμο να διατηρεί αρνητικό πρόσημο) απαιτούμε: Δ<0 (ώστε το πρόσημο να διατηρείται) και α<0 (για είναι αρνητικό) Αν θέλουμε αχ +βχ+γ >0 απαιτούμε: Δ < 0 και α>0 Αν θέλουμε αχ +βχ+γ<0 απαιτούμε: Δ < 0 και α<0 8

9 9 9