Modeli u diskretnom vremenu Bojan Basrak, PMF MO Zagreb. Financijski praktikum 22. ožujka 2017.

Transcript

1 Modeli u diskretnom vremenu Bojan Basrak, PMF MO Zagreb Financijski praktikum 22. ožujka

2 Tržište u diskretnom vremenu 2

3 Pretpostavke cijene svih imovina su poznate u trenutku t = 0 sve informacije su javno dostupne (efficient market hypothesis) nema transakcijskih troškova imovina je djeljiva, likvidna i short selling je dozvoljen vrijednost nerizične imovine se mijenja unaprijed poznatom dinamikom t r t nema dividendi ni troškova posjedovanja imovine 3

4 rizična imovina (dionica) S t = vrijednost u času t Komponente modela nerizična imovina (obveznica), uz fiksnu kamatnu stopu r r t = (1 + r) t vrijednost u času t vremenski horizont T u kojem pratimo tržište i vjerojatnosni prostor (Ω, F, P). Portfelj ϕ t = (ϕ 0 t, ϕ 1 t) za period [t 1, t] odred en je u trenutku t 1 t.d. ϕ 0 t = broj jedinica nerizične imovine ϕ 1 t = broj jedinica rizične imovine 4

5 Filtracija (F t ) odred ena je sa F 0 = {, Ω} i F t = σ{s 1,..., S t } za t 1. Pretpostavljamo i da je sl. proces (ϕ t ) predvidiv u odn. na tu filtraciju, tj. ϕ t je F t 1 izmjeriv slučajni vektor. Vrijednost portfelja u t Diskontirana vrijednost portfelja u t V t (ϕ t ) = ϕ 0 t(1 + r) t + ϕ 1 ts t. Ṽ t (ϕ t ) = V t (ϕ t )(1 + r) t = ϕ 0 t + ϕ 1 ts t (1 + r) t. 5

6 Portfelj za koji je V t (ϕ) 0 za svaki t 0 zovemo dopustivim, a ako zadovoljava V t (ϕ 0 t, ϕ 1 t) = V t (ϕ 0 t+1, ϕ 1 t+1). kažemo da je samofinancirajući. Ako samofinancirajući, dopustiv portfelj zadovoljava i naziva se arbitraža. V 0 (ϕ) = 0, te P(V T (ϕ) > 0) > 0 Arbitraža dakle predstavlja mogućnost zarade bez rizika. 6

7 Matematička teorija je vrlo elegantna i široko korištena. U nekim primjerima možemo naći alternativnu vjerojatnost P u odn. na koju su diskontirane vrijednosti svim imovina martingali, tada je i diskontirana vrijednost svakog samofinancirajućeg portfelja martingal. Teorem (prvi fundamentalni) Takva mjera postoji akko je tržište bez arbitraže. Na tzv. potpunim tržištima se svaka izvedenica može replicirati samofinancirajućim portfeljom. Teorem (drugi fundamentalni) Model tržišta je potpun akko je takva vjerojatnost P jedinstvena. 7

8 Cox Ross Rubinsteinov model Nakon S 0 = s 0 vrijedi S t = S t 1 Y t, gdje je za 1 a < b i q = 1 p, p (0, 1) Y t = 1 + X t, X t njd ( a b q p ). Pokazuje se CRR model je bez arbitraže akko a < r < b. 8

9 Za a < r < b, možemo konstruirati njd niz (X t ) na nekom vjerojatnosnom prostoru (Ω, F, P ) t.d. ( ) njd a b X t, za q p p = r a b a, tako da E X k = r, pa za S k = S k /(1 + r) k vrijedi [ ] [ ] 1 + E S k F k 1 = E Xk 1 + r S k 1 F k 1 = S k 1. 9

10 Odnosno, ( S k ) je martingal u odn. na P. 10

11 Slučajni zahtjevi Slučajne zahtjeve modeliramo proizvoljnim slučajnim varijablama C na istom vjerojatnosnom prostoru. Ako je C izmjeriva u odn. na σ{s k : k T }, t.j. ako C = h(s 0,..., S T ), zovemo je i izvedenica. Primjer EU call opcija: daje pravo, ali ne i obavezu na kupnju jedne dionice po cijeni izvršenja K i na datum dospjeća T. U T ima vrijednost C = (S T K) +. EU put opcija: daje pravo, ali ne i obavezu na prodaju jedne dionice po cijeni K i na datum dospjeća T. U T ima vrijednost C = (K S T ) +. 11

12 Azijska call opcija: s cijenom izvršenja K i datumom dospjeća T, u T ima vrijednost ( ) S0 + + S T C = K. T Postoje opcije i čiji trenutak izvršenja nije fiksan, kao npr. američke opcije, ali i egzotičnije opcije kao npr. pariške, ruske i razne druge. 12

13 Slučaj T = 1 posebno je jednostavan jer za proizvoljnu izvedenicu C možemo naći portfelj (ϕ 0, ϕ 1 ) t.d. V 1 (ϕ 0, ϕ 1 ) = ϕ 0 (1 + r) + ϕ 1 S 1 = C kažemo da takav portfelj replicira slučajni zahtjev C. hedging strategija. On se naziva i Njegova vrijednost u t = 0, C 0 = V 0 (ϕ 0, ϕ 1 ) = ϕ 0 + ϕ 1 s 0 je jedina nearbitražna cijena zahtjeva C!! 13

14 Tržište (model) u kojem je moguće replicirati svaki zahtjev je potpuno. A CRR model je takav čim a < r < b. U potpunom CRR modelu je diskontirana vrijednost svakog samofinancirajućeg portfelja ϕ t Ṽt(ϕ t ) nužno martingal u odn. na P (kao martingalna transformacija martingala S t ). 14

15 Kako martingali imaju konstantna očekivanja, ako (ϕ t ) replicira C, nearbitražna cijena zahtjeva C mora biti C 0 = E V 0 (ϕ 1 ) = E Ṽ0(ϕ 1 ) = E ṼT(ϕ [ ] T ) = E C. (1 + r) T Posebno ako je C = h(s 0,..., S T ), (i 1,..., i T ) {a, b} T gdje su C 0 = (i 1,...,i T ) # b (i) = # b (i 1,..., i T ) = k I i k =b, # a (i) = # a (i 1,..., i T ) = k I i k =a. p # b(i) (1 p) # a(i) h(s 0,..., s 0 (1 + i 1 ) (1 + i T )) (1 + r) T 15

16 Traženo očekivanje C 0 je katkad lako izračunati, no za velike T gornja suma ima veliki broj članova, pa je za komplicirane funkcije h, razumno koristiti Monte Carlo metodu. 16

17 Traženje replicirajućeg portfelja Za T = 1 hedging portfelj smo pronašli rješavajući sustav linearnih jednadžbi, za općeniti T ponavljamo isto no rekurzivno krećući od t = T, T 1,... prema trenutku t = 1. 17

18 CRR model kao slučajna šetnja Za t 1 pa je S t = Y t Y 1 s 0, L t = log S t /S 0 = log Y t + + log Y 1 slučajna šetnja i po centralnom graničnom teoremu vrijedi L t tµ t d σz gdje je µ = E log Y i, σ = var log Y i a Z N(0, 1). 18

19 Kako je a jasno i S t = s 0 e L t, L t d µt + tσz, S t d s0 e µt+ tσz, no vrijedi i više, cijeli put šetnje L t, pa prema tome i S t mogu se opisati korištenjem tzv. funkcionalnog graničnog teorema (Donsker, 1950tih), naime ( ) L st stµ t s [0,1] gdje je (B s ) standardno Brownovo gibanje. d σ(b s ) s [0,1], 19

20 Markovljevi lanci Monte Carlo 20

21 Jasno u CRR modelu (S t /s 0 ) je multiplikativna slučajna šetnja, pa prema tome i Markovljev lanac, a i vrlo ju jednostavno simulirati. Sličan slučaj je i s proizvoljnim Markovljevim lancem (X n ) n 0 na prebrojivom skupu stanja S, naime ako ima početnu razdiobu p (0) = (p (0) j ) j S i matricu prijelaza P = (p ij ) j S (X n ) možemo simulirati sljedećim algoritmom Algoritam > sample X 0 p (0) > n = 0, s = X 0 repeat > sample X n+1 (p s, ) > n = n + 1, s = X n until n > N 21

22 Ako je (X n ) ireducibilan sa stacionarnom razdiobom π, a mi tražimo ergodski teorem povlači I = E π f(x 0 ) <, Ĩ n = 1 n n f(x i ) i=1 gs I. Ovdje je CGT složeniji, ipak ako je S konačan npr. (ili ako vrijede dodatni tehnički uvjeti) d n (Ĩn I) N(0, v) no sad je v = var π f(x 0 ) + 2 cov π (f(x 0 ), f(x i )) i=1 22

23 Markovljev lanac možemo definirati (a i simulirati) i na općenitom skupu stanja. Primjer i) slučajna šetnja: neka su Z t F njd i neka je S t = S t 1 + Z t, t 1. ii) AR(1) (autoregresivni proces reda 1): za neki ϕ < 1, i Z t F njd, neka vrijedi X t = ϕx t 1 + Z t. iii) GARCH (1,1): za neke α 0, α 1, β 1 > 0 i Z t N(0, 1) njd neka vrijedi X t = σ t Z t, σ 2 t = α 0 + α 1 X 2 t 1 + β 1 σ 2 t 1. Ovdje je (X t, σ t ) Markovljev lanac uočite. 23

24 Niz (X n ) je Markovljev lanac s početnom razdiobom λ na S i vjerojatnosnom jezgrom P (, ) : S F S R + za koju vrijedi za fiksni A F S, x P (x, A) je izmjerivo preslikavanje na S za fiksni x S, P (x, ) je vjerojatnost na (S, F S ) ako P(X 0 A 0,..., X n A n ) = λ(dx 0 )P (x 0, dx 1 ) P (x n 1, A n ) x 0 A 0 x n 1 A n 1 za sve A 1,..., A n F S. 24

25 Primjer i) (X n ) njd s razdiobom µ čine Markovljev lanac: početna razdioba je µ, a P (x, ) = µ( ) za sve x. ii) X n = X, X µ 0 čine Markovljev lanac: početna razdioba je µ, a P (x, ) = δ x ( ), gdje je δ x tzv. Diracova mjera. iii) neka su Z t F njd i nezavisne od S 0 ν te neka je S t = S t 1 + Z t, t 1. (S n ) čine Markovljev lanac: početna razdioba je ν, a P (x, ) = P (x + Z ) = P (Z x) za sve x. 25

26 iv) Na prebrojivom skupu S sa σ algebrom P(S) matrica prijelaza P = (p ij ) j S zadaje vjerojatnosnu jezgru P (x, A) = j A p xj, v) Ako je S podskup od R d, početna razdioba λ i vjerojatnosna jezgra P mogu biti neprekidne, tj. posjedovati gustoće u odn. na Lebesgueovu mjeru, tako da vrijedi λ(a) = q(x)dx, A P (x, A) = p(x, y)dy, za sve x i A. I AR(1), ARMA(1,1), GARCH(1,1),... procese je moguće promatrati kao Markovljeve lance. A 26

27 Slučajan proces (pa i Markovljev lanac) je stacionaran ako (X t1 +h,..., X tk +h) d = (X t1,..., X tk ), za sve k N i sve t 1 t k N 0. Posebno, za sve t je X t d = X 0. Razdioba π stacionarna je razdioba Markovljevog lanca ako vrijedi π(dy)p (y, A) = π(a), ili simbolički πp = π. 27

28 Puno je situacija, čak i u diskretnom slučaju kad ne znamo simulirati direktno iz razdiobe π, takav je slučaj npr. kad nam je gustoća q od π poznata samo do na konstantu, tj. q(x) = 1 c q 0(x) za neku nenegativnu funkciju q 0 takvu da naravno S q0 (x)dx = c. Ili u diskretnom slučaju π i = 1 c π0 i, za neki niz (π 0 j) takav da j π 0 j = c. Ipak i tada je moguće konstruirati Markovljev lanac (tj. vjerojatnosnu jezgru) kojoj je π stacionarna razdioba. Takve konstrukcije se tipično zasnivaju na uvjetu detaljne ravnoteže. 28

29 Teorem (stacionarnost iz detaljne ravnoteže) Pretpostavimo da vrijedi jedan od sljedeća dva uvjeta: i) razdioba π i vjerojatnosna jezgra P su neprekidne i takve da im gustoće zadovoljavaju za sve x, y S q(x)p(x, y) = q(y)p(y, x). ii) S je diskretan prostor, a razdioba π i matrica prijelaza (p ij ) zadovoljavaju za sve i, j S π i p ij = π j p ji. Tada je π stacionarna razdioba pripadnog Markovljevog lanca tj. vrijedi πp = π. 29

30 MCMC (Markov Chain Monte Carlo) metode su skupina algoritama koji na osnovu gornjeg rezultata kontruiraju Markovljev lanac s proizvoljnom stacionarnom razdiobom. Najpoznatiji algoritmi tog tipa su Metropolis Hastingsov algoritam i Gibbsov algoritam. Iznimno su često korišteni u modernoj bayesovskoj statistici. Mi ćemo prikazati simetričnu diskretnu verziju Hastingsovog algoritma. Pretpostavimo da je S prebrojiv, te da je (r ij ) simetrična prijelazna matrica ireduciblnog Markovljevog lanca na S definirajmo q ij = r ij max{1, π j /π i }, j i, q ii = 1 j i q ij, Iz prethodnog teorema se lako vidi da Q = (q ij ) zadovoljava πq = π. 30

31 Da bismo dobili lanac s prijelaznom matricom Q koristimo Algoritam > sample X 0 p (0) > n = 0, s = X 0 repeat > sample Y (r s, ) > sample U Unif(0, 1) > if U < π Y /π s then X n+1 = Y else X n+1 = X n > n = n + 1, s = X n until n > N 31

32 Jasno (X n ) ima prijelaznu matricu Q pa mu je stacionarna razdioba π. Ako π nije uniformna ili je (r ij ) aperiodična, (q ij ) je aperiodična takod er. Lanac je ireducibilan na S π = {i S : π i > 0}, pa vrijedi ergodski teorem, tj. za izmjerivu funkciju f : S R takvu da f(i) π i <, vrijedi 1 n n f(x i ) i=1 gs π(f) = f(i)π i. 32

33 Primjer Jedan od najvažnijih modela statističke fizike uveden je 1920tih godina (zaslužni su Lenz i njegov student Ising). Možemo ga postaviti na dvodimenzionalnom torusu T n = {1,..., n} 2 gdje uvodimo relaciju izmed u susjednih vrhova. U svakom od n 2 vrhova postavimo tzv. spin: označimo ga sa σ i { 1, 1} i pretpostavimo da je konfiguracija spinova slučajna, ali tako da je vjerojatnost pojedine konfiguracije σ = (σ i ) i Tn proporcionalna e βh(σ) gdje je β 0 konstanta koja se naziva inverznom temperaturom, a funkcija H je tzv. hamiltonijan koji opisuje tzv. energiju sustava, jedan jednostavni oblik je H(σ) = σ i σ j. i j Jasno konstanta proporcionalnosti (u fizici se naziva particijska funkcija) je Z = σ e βh(σ) gdje sumiramo po svih 2 n2 konfiguracija, tako da ju je općenito gotovo nemoguće izračunati. Ovakav model preferira konfiguracije u kojima nema previše susjednih spinova različitog predznaka, izuzev ako je β = 0. Model se jednostavno može simulirati Hastingsovim algoritmom. 33

34 34

35 Naglasimo: ireducibilnost, aperiodičnost, povratnost,... mogu se definirati i za općenite lance i to tako da poopćuju definicije iz diskretnog slučaja. I tada uz blage uvjete vrijedi ergodski teorem, odn. ako je (X n ) Markovljev lanac sa stacionarnom razdiobom π, a izmjeriva funkcija f : S R zadovoljava f dπ <, tada 1 n n f(x i ) i=1 gs π(f) = f(y)π(dy). Dovoljno je npr. da je lanac ψ ireducibilan i Harris povratan tj. za neku mjeru ψ na S i svaki x S vrijedi ψ(a) > 0 P x (X n A beskonačno često) = 1. Čak i c.g.t. vrijedi uz neke dodatne uvjete. MCMC algoritmi konstruiraju baš takve lance. 35

36 Ukoliko je zadana gustoća f na R d i želimo konstruirati Markovljev lanac kojemu je ona stacionarna, ponovo može primijeniti istu ideju. Potrebno nam je samo znati simulirati lanac čija prijelazna jezgra ima gustoću g(x, ) za x R d. Algoritam (Metropolis Hastings) > sample X 0 λ 0 > n = 0, s = X 0 repeat > sample Y g(s, ) > sample U Unif(0, 1) > if U < > n = n + 1, s = X n until n > N f(y )g(s,y ) f(s)g(y,s) then X n+1 = Y else X n+1 = X n Uočite gustoću f moramo znati samo do na konstantu. 36