Κεφάλαιο 5 Ευστάθεια Ελεγξιµότητα - Παρατηρησιµότητα

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κεφάλαιο 5 Ευστάθεια Ελεγξιµότητα - Παρατηρησιµότητα"

Transcript

1 Κεφάλαιο 5 Ευστάθεια Ελεγξιµότητα - Παρατηρησιµότητα u Συστήµατα από Δειγµατοληπτικά Δεδοµένα (Επανάληψη Ασκήσεις) u Στο πεδίο Συχνότητας (Συναρτήσεις Μεταφορά) u Στο πεδίο Χρόνου (Εξισώσεις Κατάστασης) u Ευστάθεια Ευστάθεια κατά Lyapunov Ασυµπτωτική Ευστάθεια Κριτήρια Ευστάθειας u Ελεγξιµότητα u Παρατηρησιµότητα u Επίδραση της Δειγµατοληψίας στην Ελεγξιµότητα και Παρατηρησιµότητα

2 Συστήµατα Οδηγούµενα από S/H: Συναρτήσεις Μεταφοράς z.o.h Plant G(s) s s e G s e G s G s G ( z) = Z G( s) Z Z ( z ) Z s = = s s s ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ z.o.h /s G ( z) = Z e s s G s = Z G s s Z e s G s s = 3 = ( z ) Z s 3 = ( z ) z z + z = ( z ) Z G s s = Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές z + ( z )

3 Συστήµατα Οδηγούµενα από S/H: Χώρος Κατάστασης z.o.h x =Φ x +Θ u + Plant!x = A x + B u y = D x + E u ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Α =, Β = Φ( ) = e A Θ, C = Φ ( ) = e A = = e A τ Τ B dτ = e A τ Θ B dτ = Τ Τ G ( ) Θ ( ) = ( z) = C z I Φ z + z Προφανώς ίδια µε αυτή που βγήκε από το προηγούµενο παράδειγµα αφου αναφερόµαστε στο ίδιο σύστηµα Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές 3

4 Ευστάθεια Εξίσωση Γ.Χ.Α.Σ. : Χ.Α.Σ. : x = A + x + B u x = + f x, u,! ειδική περίπτωση του Αρχική Κατάσταση : Αλληλουχία σηµάτων εισόδου : x u = { u,u,,u } u =ϕ x x : «επίλυση», δηλαδή αλληλουχία καταστάσεων που προκύπτει µε είσοδο u και αρχική κτάσταση x, x u x u u x x = x =ϕ x u, Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές 4

5 Αν υπάρχει xe Ευστάθεια συνεχ. έτσι ώστε x = + f x, u, = τότε x e : «κατάσταση ισορροπίας» δηλαδή x f ( x ) e e,, Για Γ.Χ.Α.Σ. x A x B u x A x A I x = + = = + e e e Αν λ = eig ( A) τότε η παραπάνω εξίσωση έχει λύση µόνο το x e = που, κατά συνέπεια, είναι το µοναδικό Σ.Ι. του ΓΧΑΣ. Ειδάλλως, υπάρχουν άπειρα Σ.Ι. και είναι αυτά που αντιστοιχούν στα ιδιοδυανύσµατα του για. A λ = Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές 5

6 Ευστάθεια κατά Lyapunov Μία κατάσταση ισορροπίας συστήµατος ευσταθής αν : ενός είναι για κάθε σφαιρική περιοχή γύρω από το xe µε ακτίνα ε > είναι δυνατόν να ευρεθεί µία άλλη σφαιρική N x e, περιοχή δ, γύρω από την e, µε ακτίνα, έτσι ώστε δ ε > αν το σύστηµα εκκινήσει από µία κατάσταση ( x ) xe δ εντός αυτής (δηλ. της στήµατος δεν πρόκειται να εξέλθει της, δηλαδή όπου x = ϕ x µε u = u i =, i =,,, u x e x = + f x, u, ( ), Nε x e x Nε x e N x e ) τότε η πορεία του ελευθέρου συ ε u { } x x < ε e Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές 6.

7 Μία κατάσταση ισορροπίας x e ενός συστήµατος x =, είναι ασυµ+ f x, u, πτωτικα ευσταθής αν για κάθε σφαιρική περιοχή N x e γύρω από την µε ακτίνα είναι ε e δυνατόν να ευρεθεί µία άλλη σφαιρική περιοχή N x e δ γύρω από την e µε ακτίνα, έτσι ώστε αν το σύστηµα εκκινήσει από µία κατάσταση εντός αυτής u τότε η πορεία του ελευθέρου συστήµατος u = u i =, i =,,, : δεν πρόκειται να εξέλθει της, δηλαδή και u e θα ανήκει τελικά εντός της N ( x e ), δηλαδή x δ u ( ) x e < δ + ε, δ, Δηλαδή όταν η κατάσταση ισορροπίας x e είναι ασυµπτωτικά ευσταθής τότε : είναι ευσταθής κατά Lyapunov και. Ασυµπτωτική Ευστάθεια x ε > x ( ) δ ε, > ( x ) xe δ = ϕ x x, lim x = x e { } ε N x e x x < ε Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές 7

8 Ασυµπτωτική Ευστάθεια: ΓΧΑΣ Κριτήρια Ευστάθειας Δεδοµένου ότι το Σ.Ι. είναι: Όµως επειδή: πρέπει Προκύπτει η αναγκαία και ικανή συνθήκη για ασυµπτωτική ευστάθεια: x = limx = x = = = e e + x A x x A x lim A =. Δεδοµένου ότι: A eig A = λi λi eig A [ ] λi < λi eig A Συγκρίνετε την µε την αντίστοιχη για συνεχή ΓΧΑΣ!!! [ ] Ζ s Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές 8

9 Ασυµπτωτική Ευστάθεια: ΓΧΑΣ Κριτήρια Ευστάθειας Τρόπος ελέγχου ευστάθειας ψηφιακού ΓΧΑΣ: Βήµα : χρήση µετασχηµατισµού Mobius w + w (µετασχηµατίζει το δεξιό µιγαδικό ηµιεπίπεδο στο εσωτερικό του µοναδιαίου κύκλου) Βήµα : χρήση του κριτηρίου Routh-Hurwitz. Χαρ. Πολυώνυµο ψηφιακού ΓΧΑΣ: f z Πολυώνυµο στο οποίο εφαρµόζεται το Routh-Hurwitz: z = = a n z n + a n z n + + a z + a = w + F w f w w = ( ) n Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές 9

10 Ελεγξιµότητα Η ελεγξιµότητα είναι αναγκαία συνθήκη για µία σειρά προβληµάτων που σχετίζονται µε τον αυτόµατο έλεγχο π.χ. τοποθέτηση πόλων, βέλτιστος έλεγχος κλπ. x = A x + + B u A. Ας θεωρήσουµε το Γ.Χ.Α. σύστηµα µε Το σύστηµα είναι ελέγξιµο αν είναι δυνατόν να ευρεθεί µία σειρά εισόδων ελέγχου { u,u,,u } l που οδηγεί το σύστηµα από οιαδήποτε αρχική κατάσταση x σε f n µία τελική κατάσταση x R µέσω ενός πεπερασµένου αριθµού βηµάτων l x u x f x u x u l Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές

11 Ελεγξιµότητα συνεχ. Η λύση του Γ.Χ.Α. συστήµατος αν εφαρµοσθεί η ακολουθία ελέγχων u,u,,u l είναι { } και επειδή απαιτούµε l x f = x l = A l x + A l j B u j = A l x + B AB! A l B j= x f A l x = C l U l x x l = A l x + f l j= = x παίρνουµε l όπου A l j B u j C l = B AB! A l B U l = u l " u u Αναγκαία συνθήκη υπάρξεως ακολουθίας εισόδων υπάρξεως λύσεων γιά το U l = u l! u u u,u,,u l ran C l { } είναι: = n (δηλ. u l " u u Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές

12 Ελεγξιµότητα συνεχ. Αν ran C l < n µήπως, επειδή C l+ = B AB! A l B πράγµα που συνεπάγεται ότι, µπορούµε να συνεχίσουµε την αύξηση των βηµάτων έως ότου:??? ran( C ) l+ ran( C ) l ran ( C ) l + = = C A l B l n Απάντηση: Το Θεώρηµα Caley-Hamilton είναι a n A n + a n A n + + a A + a I = A n = a n που σηµαίνει ότι ο πίνακας A n, A n,, A οπότε και ο A n B, A n B,, AB,B n A n AB. Κατά συνέπεια a n A n + + a A + a I γράφεται σαν γραµµικός συνδυασµός των είναι γραµµικός συνδυασµός των ran C =ran C. n+ n Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές

13 Ελεγξιµότητα συνεχ. Κατά συνέπεια, η µέγιστη τάξη που µπορεί να επιτευχθεί είναι για l = n οπότε η συνθήκη ελεγξιµότητας (δηλ. υπάρξεως ακολουθίας εισόδων ) είναι: ran( C) = n C = C n = B AB! A n B Πίνακας Ελεγξιµότητας Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές 3

14 Παρατηρησιµότητα Δυαδική (dual) ιδιότητα της ελεγξιµότητας. Καθορίζει, το κατά πόσο είναι δυνατόν να καθορισθεί η αρχική κατάσταση x ενός συστήµατος µε βάση την παρακολούθηση της ακολουθίας σηµάτων εισόδου - εξόδου. Το Γ.Χ.Α.Σ x + A x B u = + y = C x πεπερασµένος αριθµός είναι παρατηρήσιµο αν υπάρχει ένας βηµάτων που επιτρέπει, µε βάση τις παρατηρήσεις των ακολουθιών εισόδου και εξόδου, τον προσδιορισµό της αρχικής κατάστασης. l { } y, y,, y l u,u,,u l x { } Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές 4

15 Παρατηρησιµότητα συνεχ Η λύση του Γ.Χ.Α.Σ. είναι και επειδή y = C x j j j= j j= x = A x + A B u παίρνουµε { } u,u,,u l y = C A x + C A B u Δεδοµένου ότι οι είσοδοι και οι έξοδοι είναι διαθέσιµες, είναι γνωστή και η διαφορά Δ e = y C A j B u j = C A x =,,,,l j= C e που γράφεται σε µορφή πινάκων ως CA e x! = O l x = E l! CA l e l Αναγκαία συνθήκη ευρέσεως της αρχική κατάστασης είναι: ran O l = n x { } y, y,, y l j Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές 5

16 Αν = O l ran( O ) l < n ( A ) l C Παρατηρησιµότητα µήπως, επειδή πράγµα που συνεπάγεται ότι, µπο- ρούµε να συνεχίσουµε την αύξηση των βηµάτων έως ότου:??? Απάντηση: Το Θεώρηµα Caley-Hamilton είναι a n A n + a n A n + + a A + a I = A n = a n που σηµαίνει ότι ο πίνακας A n, A n,, A, I CA n,ca n,,ca,c οπότε και ο O l+ = C A C! A ran O l+ n A n CA. Κατά συνέπεια συνεχ. l C ran( O ) l = n ran O l+ a n A n + + a A + a I γράφεται σαν γραµµικός συνδυασµός των είναι γραµµικός συνδυασµός των ran( O ) n+ = ran( O ) n. = Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές 6

17 Παρατηρησιµότητα συνεχ. Κατά συνέπεια, η µέγιστη τάξη που µπορεί να επιτευχθεί είναι για l = n οπότε η συνθήκη παρατηρησιµότητας (δηλ. δυνατότητας ευρέσεως της αρχικής συνθήκης) είναι: ran( O) = n O = O n = C CA! CA n Πίνακας Παρατηρησιµότητας Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές 7

18 Ελεγξιµότητα Παρατηρησιµότητα Για το εν λόγω σύστηµα, να ελεγχθούν η ελεγξιµότητα & παρατηρησιµότητα τόσο στην συνεχή (αναλογική) µορφή όσο και σε αυτή που προκύπτει σε διάταξη δειγµατοληπτικών δεδοµένων. Λύση: A ω = = εποµένως οι πίνακες ελεγξιµότητας και παρατηρησιµότητας είναι: παράδειγµα: B C = [ ]!x!x y = = ω x x x x + C = [ B AB] = ( C) ran = C O = = ran ( O ) = CA u Εποµένως το Συνεχές σύστηµα είναι ελέγξιµο και παρατηρήσιµο. Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές 8

19 Ελεγξιµότητα Παρατηρησιµότητα παράδειγµα: A ω = B = [ ]!x = A x + B u y = C x A cosω sinω Φ = e = ω ωsinω cosω ( cos ω ) ω Θ ( ) = Φ( τ) B dτ = sin ω ω x ( ) x ( ) u ( cosω ) cosω sinω ω x+ = ω x + u ωsin ω cosω sinω ω y = x =Φ +Θ + y = C x Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές 9

20 Οι πίνακες ελεγξιµότητας και παρατηρησιµότητας είναι: Εποµένως το σύστηµα είναι ελέγξιµο και παρατηρήσιµο, εκτός όταν ισχύει Γιατί? «Φυσική Εξήγηση»: Για Παρατηρησιµότητα ω = κ π ω = κ π ( cosω ) cosω sinω ω x+ = ω x + u ωsinω cosω sinω ω y = [ ] x συνεχ. ω ω C = [ Θ ΦΘ ] = sinω sinω sin ω ω ω C O = C = Φ cosω sinω ω κ =,, κ =,, ( cosω ) ( cosω cos ω) ( ) το σύστηµα γίνεται λ ± x x ω = u + ± y = [ ] x + Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές

21 Παρατηρησιµότητα συνεχ. λ λ ± x + ± x + u x+ = x ω u ω + = ± x + ± x y = [ ] x y = x x ( ) Που δείχνει ότι η : α) εξελίσσεται χωρίς «έλεγχο» (άµεσο µέσω u( ) ή έµµεσο µέσω x ( )) και β) δεν µπορεί να «παρατηρηθεί» (ούτε άµεσα µέσω της εξόδου y = x ( ) ούτε έµµεσα µέσω της εφόσον δεν την επηρεάζει αυτή). x ( ) Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές

Κεφάλαιο 5 Ευστάθεια Ελεγξιµότητα - Παρατηρησιµότητα

Κεφάλαιο 5 Ευστάθεια Ελεγξιµότητα - Παρατηρησιµότητα Κεφάλαιο 5 Ευστάθεια Ελεγξιµότητα - Παρατηρησιµότητα u u u u Ευστάθεια Ευστάθεια κατά Lyapunov Ασυµπτωτική Ευστάθεια Κριτήρια Ευστάθειας Ελεγξιµότητα Παρατηρησιµότητα Επίδραση της Δειγµατοληψίας στην Ελεγξιµότητα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Έλεγχος στο Πεδίο της Συχνότητας. Τόπος Ριζών Διάγραµµα Bode Διάγραµµα Nyquist Ψηφιακός PID

Κεφάλαιο 6. Έλεγχος στο Πεδίο της Συχνότητας. Τόπος Ριζών Διάγραµµα Bode Διάγραµµα Nyquist Ψηφιακός PID Κεφάλαιο 6 Έλεγχος στο Πεδίο της Συχνότητας u Έλεγχος στο Πεδίο της Συχνότητας Τόπος Ριζών Διάγραµµα Bode Διάγραµµα Nyquist Ψηφιακός PID Τόπος Ριζών Για τον τόπο των ριζών δεν χρειάζεται καµία ιδιαίτερη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Σχεδίαση Συστηµάτων Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές - Συνεχής Σχεδίαση

Κεφάλαιο 4 Σχεδίαση Συστηµάτων Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές - Συνεχής Σχεδίαση Κεφάλαιο 4 Σχεδίαση Συστηµάτων Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές - Συνεχής Σχεδίαση Επανάληψη στα Συστήµατα από Δειγµατοληπτικά Δεδοµένα στα Πεδία Συχνότητας και Χρόνου Ψηφιακός Έλεγχος µε Συνεχή Σχεδιασµό Χαρακτηριστικά

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://)

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://) Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://) Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Καθηγητής ΕΜΠ (h>p://users.ntua.gr/kkyria/) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1 Δομή της Ύλης του Μαθήματος Εισαγωγη

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα: Θεωρία Δικτύων

Μάθημα: Θεωρία Δικτύων Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχ/κών και Μηχ/κών Υπολογιστών, Ε.Μ.Π., Ακαδημαϊκό Έτος 7-8, 5ο Εξάμηνο Μάθημα: Θεωρία Δικτύων Ανάλυση Ευσταθείας Κων/νος Τζαφέστας Τομέας Σημάτων, Ελέγχου & Ρομποτικής Σχολή Ηλεκτρ.

Διαβάστε περισσότερα

ΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΕΣΩ ΜΙΚΡΟΫΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ

ΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΕΣΩ ΜΙΚΡΟΫΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΗΧΑΝ/ΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ & ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος, Καθηγητής ΗΡΩΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟΥ 9, ΖΩΓΡΑΦΟΣ,

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο 6 Nicola Tapaouli Λύση εξισώσεων ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [4]: Κεφάλαιο 5: Ενότητες 5.-5. Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Χώρος Κατάστασης. Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Χώρος Κατάστασης. Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Χώρος Κατάστασης Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Από τις Καταστατικές Εξισώσεις στη Συνάρτηση Μεταφοράς bx x y bx I X b I Y Καταστατικές

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 Διαχείριση Σηµάτων σε Ψηφιακά Συστήµατα Ελέγχου

Κεφάλαιο 2 Διαχείριση Σηµάτων σε Ψηφιακά Συστήµατα Ελέγχου Κεφάλαιο 2 Διαχείριση Σηµάτων σε Ψηφιακά Συστήµατα Ελέγχου Μετατροπή Αναλογικού Σήµατος σε Ψηφιακό (A/D Conversion) Ο µετασχηµατισµός Ζ Μαθηµατική Ανάλυση της ιαδικασίας A/D Μετατροπή Ψηφιακού Σήµατος

Διαβάστε περισσότερα

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι Βασικές Έννοιες Σήματα Κατηγορίες Σημάτων Συνεχούς/ Διακριτού Χρόνου, Αναλογικά/ Ψηφιακά Μετασχηματισμοί Σημάτων Χρόνου: Αντιστροφή, Κλιμάκωση, Μετατόπιση Πλάτους Βασικά

Διαβάστε περισσότερα

Ευστάθεια Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αλγεβρικά κριτήρια

Ευστάθεια Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αλγεβρικά κριτήρια ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ευστάθεια Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αλγεβρικά κριτήρια 6 Nicol Tptouli Ευστάθεια και θέση πόλων Σ.Α.Ε ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Παράδειγμα 1 Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με _ + Σχήμα 1 στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Α) Γράψτε το σύστημα ευθέως κλάδου σε κανονική παρατηρήσιμη μορφή στο χώρο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων. σύνολο τιμών. F(k,y k,y. =0, k=0,1,2, δείκτη των y k. =0 είναι 2 ης τάξης 1.

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων. σύνολο τιμών. F(k,y k,y. =0, k=0,1,2, δείκτη των y k. =0 είναι 2 ης τάξης 1. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: Οι Εξισώσεις Διαφορών (ε.δ.) είναι εξισώσεις που περιέχουν διακριτές αλλαγές και διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων Εμφανίζονται σε μαθηματικά μοντέλα, όπου η μεταβλητή παίρνει

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Στην

Διαβάστε περισσότερα

Στα θέματα πολλαπλής επιλογής η λανθασμένη απάντηση βαθμολογείται αρνητικά όσο και η ορθή. Επιτρέπεται η χρήση του βιβλίου των Dorf & Bishop

Στα θέματα πολλαπλής επιλογής η λανθασμένη απάντηση βαθμολογείται αρνητικά όσο και η ορθή. Επιτρέπεται η χρήση του βιβλίου των Dorf & Bishop Ε.Μ.Π. ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ: Σ. Ε. Ρ. ΜΑΘΗΜΑ: Εισαγωγή στον Αυτόματο Έλεγχο ΕΞΑΜΗΝΟ: 5 ο ΚΑΘΗΓΗΤEΣ: Τ. Γ. Κουσιουρής Γ. Παπαβασιλόπουλος Αριθμός Μητρώου Ονοματεπώνυμο

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα

Σήματα και Συστήματα Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 12: Ιδιότητες του Μετασχηματισμού aplace Ο αντίστροφος Μετασχηματισμός aplace Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Ιδιότητες του Μετασχηματισμού aplace 1. Ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

Ακαδηµαϊκό Έτος , Εαρινό Εξάµηνο ιδάσκων Καθ.: Νίκος Τσαπατσούλης

Ακαδηµαϊκό Έτος , Εαρινό Εξάµηνο ιδάσκων Καθ.: Νίκος Τσαπατσούλης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ, ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΚΕΣ 1: ΑΥΤΟΜΑΤΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Ακαδηµαϊκό Έτος 5 6, Εαρινό Εξάµηνο Καθ.: Νίκος Τσαπατσούλης ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Το τρέχον έγγραφο αποτελεί υπόδειγµα

Διαβάστε περισσότερα

2. Ανάλυση Γραμμικών Χρονικά Αμετάβλητων Συστημάτων (ΓΧΑΣ) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1

2. Ανάλυση Γραμμικών Χρονικά Αμετάβλητων Συστημάτων (ΓΧΑΣ) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1 2. Ανάλυση Γραμμικών Χρονικά Αμετάβλητων Συστημάτων (ΓΧΑΣ) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1 Επίλυση Εξισώσεων Κατάστασης Δεδοµένου του ΓΧΑΣ nn nm pn pm όπου A R B R C R D R Τίθεται το ζήτηµα της επίλυσης

Διαβάστε περισσότερα

Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών

Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών Το εκπαιδευτικό υλικό που ακολουθεί αναπτύχθηκε στα πλαίσια του έργου «Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών», του Μέτρου «Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακός Έλεγχος. 6 η διάλεξη Σχεδίαση στο χώρο κατάστασης. Ψηφιακός Έλεγχος 1

Ψηφιακός Έλεγχος. 6 η διάλεξη Σχεδίαση στο χώρο κατάστασης. Ψηφιακός Έλεγχος 1 Ψηφιακός Έλεγχος 6 η διάλεξη Σχεδίαση στο χώρο κατάστασης Ψηφιακός Έλεγχος Μέθοδος μετατόπισης ιδιοτιμών Έστω γραμμικό χρονικά αμετάβλητο σύστημα διακριτού χρόνου: ( + ) = + x k Ax k Bu k Εφαρμόζουμε γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδίαση Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου με χρήση Αλγεβρικών Τεχνικών

Σχεδίαση Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου με χρήση Αλγεβρικών Τεχνικών ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Σχεδίαση Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου με χρήση Αλγεβρικών Τεχνικών (Συνοπτικές σημειώσεις με παραδείγματα) ( Επίκουρος Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

Όταν θα έχουµε τελειώσει το Κεφάλαιο αυτό θα µπορούµε να:

Όταν θα έχουµε τελειώσει το Κεφάλαιο αυτό θα µπορούµε να: 6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Όταν θα έχουµε τελειώσει το Κεφάλαιο αυτό θα µπορούµε να: ορίσουµε το Μετασχηµατισµό Laplace (ML) και το Μονόπλευρο Μετασχηµατισµό Laplace (MML) και να περιγράψουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. Μετασχηµατισµός Laplace. Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. Μετασχηµατισµός Laplace. Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Μετασχηµατισµός Laplace Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αιτιατότητα Μη-Αιτιατότητα. Ευστάθεια. Περιοχή Σύγκλισης Μετασχηµατισµού Laplace

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΗΣ. ΘΕΜΑ Βαθμολογία Βαθμός Σπουδαστή ΘΕΜΑ ΘΕΜΑ

ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΗΣ. ΘΕΜΑ Βαθμολογία Βαθμός Σπουδαστή ΘΕΜΑ ΘΕΜΑ Ε.Μ.Π. ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ: Σ. Ε. Ρ. ΜΑΘΗΜΑ: Εισαγωγή στον Αυτόματο Έλεγχο ΕΞΑΜΗΝΟ: 5 ο ΚΑΘΗΓΗΤEΣ: Τ. Γ. Κουσιουρής Γ.Π. Παπαβασιλόπουλος Γ. Ρηγάτος ΠΕΡΙΟΔΟΣ:

Διαβάστε περισσότερα

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι HMY 0: Σήματα και Συστήματα Ι ΔΙΑΛΕΞΗ # Μετασχηματισμός Laplace και ΓΧΑ Συστήματα Συνάρτηση μεταφοράς αιτιατών και ευσταθών συστημάτων Συστήματα που περιγράφονται από ΔΕ Διαγράμματα Μπλοκ Μετασχηματισμός

Διαβάστε περισσότερα

10 2a 1 0 x. 1) Να εξεταστεί η ελεγξιμότητα και η παρατηρησιμότητα του συστήματος για τις διάφορες

10 2a 1 0 x. 1) Να εξεταστεί η ελεγξιμότητα και η παρατηρησιμότητα του συστήματος για τις διάφορες Ε.Μ.Π. ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ: Σ. Ε. Ρ. ΜΑΘΗΜΑ: Εισαγωγή στον Αυτόματο Έλεγχο Κ-Ω ΕΞΑΜΗΝΟ: 5 ο Ονοματεπώνυμο ΚΑΘΗΓΗΤEΣ: Τ. Γ. Κουσιουρής Γ. Παπαβασιλόπουλος ΠΕΡΙΟΔΟΣ:

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://)

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://) Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://) Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Καθηγητής ΕΜΠ (h>p://users.ntua.gr/kkyria/) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1 Δομή της Ύλης του Μαθήματος Εισαγωγη

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση: Ένα σύστηµα µε είσοδο u(t), έξοδο y(t) και διάνυσµα κατάστασης x(t) = (x 1 (t) x 2 (t)) T περιγράφεται από το ακόλουθο διάγραµµα:

Άσκηση: Ένα σύστηµα µε είσοδο u(t), έξοδο y(t) και διάνυσµα κατάστασης x(t) = (x 1 (t) x 2 (t)) T περιγράφεται από το ακόλουθο διάγραµµα: 1 Άσκηση: Ένα σύστηµα µε είσοδο u(t), έξοδο y(t) και διάνυσµα κατάστασης x(t) = (x 1 (t) x 2 (t)) T περιγράφεται από το ακόλουθο διάγραµµα: Όπου Κ R α) Να βρεθεί η περιγραφή στο χώρο κατάστασης και η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος «Ελάχιστης Ενέργειας»

Έλεγχος «Ελάχιστης Ενέργειας» Έλεγχος «Ελάχιστης Ενέργειας» Σε πολλές εφαρµογές, τόσο της αεροδιαστηµικής όσο και άλλων µορφών της τεχνολογίας µεταφορών κλπ, η βελτιστοποίηση επικεντρώνεται στο ζήτηµα της ενέργειας κατά την επίτευξη

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (http://)

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (http://) Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (http://) Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Καθηγητής ΕΜΠ (http://users.ntua.gr/kkyria/) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1 Δομή της Ύλης του Μαθήματος Εισαγωγη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα : ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Καθηγητής ΕΜΠ (hhp://users.ntua.gr/kkyria/) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1 Δομή της Ύλης του Μαθήματος Εισαγωγή στο Χώρο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧ/ΚΩΝ & ΜΗΧ/ΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧ/ΚΩΝ & ΜΗΧ/ΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧ/ΚΩΝ & ΜΗΧ/ΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Mάθηµα: "ΘΕΩΡΙΑ ΙΚΤΥΩΝ" ( ο εξάµηνο) Ακαδ. Έτος: - ο Τµήµα (Κ-Μ), ιδάσκων: Κ. Τζαφέστας Λύσεις ης Σειράς Ασκήσεων Άσκηση - (I-

Διαβάστε περισσότερα

Ισοδυναµία τοπολογιών βρόχων.

Ισοδυναµία τοπολογιών βρόχων. Ισοδυναµία τοπολογιών βρόχων. Κατά κανόνα, συµφέρει να ανάγουµε τις «πολύπλοκες» τοπολογίες βρόχων σε έναν απλό κλειστό βρόχο, µε µία συνάρτηση µεταφοράς στον κατ ευθείαν κλάδο και µία συνάρτηση µεταφοράς

Διαβάστε περισσότερα

Ο Μετασχηματισμός Ζ. Ανάλυση συστημάτων με το μετασχηματισμό Ζ

Ο Μετασχηματισμός Ζ. Ανάλυση συστημάτων με το μετασχηματισμό Ζ Ο Μετασχηματισμός Ζ Ανάλυση συστημάτων με το μετασχηματισμό Ζ Ο μετασχηματισμός Z (Ζ-Τransform: ZT) χρήσιμο μαθηματικό εργαλείο για την ανάλυση των διακριτών σημάτων και συστημάτων αποτελεί ό,τι ο μετασχηματισμός

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου Ενότητα : Ευστάθεια Συστημάτων Ελέγχου Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 11: Μετασχηματισμός Laplace. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 11: Μετασχηματισμός Laplace. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Σήματα και Συστήματα Διάλεξη : Μετασχηματισμός Laplace Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Μετασχηματισμός Laplace. Μαθηματικός ορισμός μετασχηματισμού Laplace 2. Η περιοχή σύγκλισης του μετασχηματισμού

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. Μετασχηµατισµός Laplace. Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. Μετασχηµατισµός Laplace. Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Μετασχηµατισµός Laplace Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Διευρύνει τη κλάση των σηµάτων για τα οποία µπορεί να επιτευχθεί η µετάβαση

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου Ενότητα : Ψηφιακά Σ.Α.Ε: Περιγραφή στο Χώρο Κατάστασης Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Περιγραφή Σηµάτων Συνεχούς Χρόνου Συνάρτηση δέλτα Κατανοµές

ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Περιγραφή Σηµάτων Συνεχούς Χρόνου Συνάρτηση δέλτα Κατανοµές ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Περιγραφή Σηµάτων Συνεχούς Χρόνου Συνάρτηση δέλτα Κατανοµές Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Περιγραφή Σηµάτων Διακριτού Χρόνου Η Ακολουθία

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑ (Σεπτέμβριος 2008)

ΠΡΟΒΛΗΜΑ (Σεπτέμβριος 2008) ΠΡΟΒΛΗΜΑ (Σεπτέμβριος 008) Για τον Γεωμετρικό Τόπο των Ριζών της συνάρτησης μεταφοράς as + s + 9 G(s) s(s 5)(s + b) με Κ>0 δίδεται ότι η τομή των ασυμπτώτων είναι το σημείο σ -(0+Ν 0 ) όπου Ν 0 το τελευταίο

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγµα ενός ηλεκτρικού συστήµατος

Παράδειγµα ενός ηλεκτρικού συστήµατος ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Εισαγωγή στα Σήµατα Εισαγωγή στα Συστήµατα Ανάπτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourier Μετασχηµατισµός aplace Μετασχηµατισµός Z Εφαρµογές Παράδειγµα ενός ηλεκτρικού συστήµατος A R B i( ) i

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://courseware.mech.ntua.gr/ml23147/)

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://courseware.mech.ntua.gr/ml23147/) Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://courseware.mech.ntua.gr/ml23147/) Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Καθηγητής ΕΜΠ (h>p://users.ntua.gr/kkyria/) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1 Δομή

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµός FOURIER ιακριτού χρόνου DTFT

Μετασχηµατισµός FOURIER ιακριτού χρόνου DTFT Σ. Φωτόπουλος ΨΕΣ Κεφάλαιο 3 ο DTFT -7- Μετασχηµατισµός FOURIER ιακριτού χρόνου DTFT (discrete time Fourier transform) 3.. Εισαγωγικά. 3.. Είδη µετασχηµατισµών Fourier Με την ονοµασία Μετασχηµατισµοί Fourier

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Z. χρόνου και εξηγήσουµε έννοιες όπως περιοχή σύγκλισης, πόλος και µηδενικό.

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Z. χρόνου και εξηγήσουµε έννοιες όπως περιοχή σύγκλισης, πόλος και µηδενικό. 7. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Z Όταν θα έχουµε τελειώσει το Κεφάλαιο αυτό θα µπορούµε να: ορίσουµε τον µετασχηµατισµό και τον µονόπλευρο µετασχηµατισµό και να περιγράψουµε τις βασικές διαφορές τους. περιγράψουµε

Διαβάστε περισσότερα

(είσοδος) (έξοδος) καθώς το τείνει στο.

(είσοδος) (έξοδος) καθώς το τείνει στο. Υπενθυμίζουμε ότι αν ένα σύστημα είναι ευσταθές, τότε η απόκριση είναι άθροισμα μίας μεταβατικής και μίας μόνιμης. Δηλαδή, αν το σύστημα είναι ευσταθές όπου και Είθισται, σε ένα σύστημα αυτομάτου ελέγχου

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Μετασχηματισμός Laplace 1. Ο μετασχηματισμός

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου Ενότητα : Περιγραφή και Ανάλυση Συστημάτων Ελέγχου στο Χώρο Κατάστασης Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ

Διαβάστε περισσότερα

Μετατροπή Αναλογικού Σήµατος σε. Ψηφιακό (A/D Conversion) Μετατροπή Ψηφιακού Σήµατος σε Αναλογικό (D/A Conversion)

Μετατροπή Αναλογικού Σήµατος σε. Ψηφιακό (A/D Conversion) Μετατροπή Ψηφιακού Σήµατος σε Αναλογικό (D/A Conversion) Κεφάλαιο 2 Διαχείριση Σηµάτων σε Ψηφιακά Συστήµατα Ελέγχου Μετατροπή Αναλογικού Σήµατος σε Ο µετασχηµατισµός Ζ Ψηφιακό (A/D Conversion) Μαθηµατική Ανάλυση της ιαδικασίας A/D Μετατροπή Ψηφιακού Σήµατος

Διαβάστε περισσότερα

7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ z

7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ z 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Ο μετασχηματισμός είναι ο αντίστοιχος Laplace για σήματα διακριτού χρόνου και αποτελεί γενίκευση του μετασχηματισμού Fourier διακριτού χρόνου. Σκοπός του Κεφαλαίου είναι να ορίσει

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Στην

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις. Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές

Δυναμική Μηχανών I. Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις. Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές Δυναμική Μηχανών I Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις 5 3 Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://)

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://) Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://) Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Καθηγητής ΕΜΠ (h>p://users.ntua.gr/kkyria/) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1 Δομή της Ύλης του Μαθήματος Εισαγωγη

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµός Ζ (z-tranform)

Μετασχηµατισµός Ζ (z-tranform) Μετασχηµατισµός Ζ (-traform) Εργαλείο ανάλυσης σηµάτων και συστηµάτων διακριτού χρόνου ιεργασία ανάλογη του Μετ/σµού Laplace Απόκριση συχνότητας Εφαρµογές επίλυση γραµµικών εξισώσεων διαφορών µε σταθερούς

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα Β: Ευστάθεια Συστήματος (Α Μέρος) Όνομα Καθηγητή: Ραγκούση Μαρία Τμήμα: Ηλεκτρονικών Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη ευστάθειας και αστάθειας συστημάτων με το περιβάλλον Matlab

Μελέτη ευστάθειας και αστάθειας συστημάτων με το περιβάλλον Matlab ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Εργαστηριακές Ασκήσεις με χρήση του λογισμικού Matlab Μελέτη ευστάθειας και αστάθειας συστημάτων με το περιβάλλον Matlab ΣΚΟΠΟΣ: Ο βασικός σκοπός της άσκησης αυτής είναι η μελέτη

Διαβάστε περισσότερα

Ο Γραμμικός Τετραγωνικός Ρυθμιστής: Ευρεση Νόμου Ελέγχου

Ο Γραμμικός Τετραγωνικός Ρυθμιστής: Ευρεση Νόμου Ελέγχου Ο Γραμμικός Τετραγωνικός Ρυθμιστής: Ευρεση Νόμου Ελέγχου Για την ανεύρεση της µορφής των λύσεων στρεφόµαστε προς τις αναγκαίες συνθήκες, αρχικά στις Εξισώσεις Euler-Lagrange: Τ Τ Τ! f d! f = 0 t t0, t

Διαβάστε περισσότερα

Ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace ορίζεται από το μιγαδικό ολοκλήρωμα : + +

Ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace ορίζεται από το μιγαδικό ολοκλήρωμα : + + Μετασχηματισμός aplace ορίζεται ως εξής : t X() [x( t)] xte () dt = = Ο αντίστροφος μετασχηματισμός aplace ορίζεται από το μιγαδικό ολοκλήρωμα : t x(t) = [ X()] = X() e dt π j c C είναι μία καμπύλη που

Διαβάστε περισσότερα

(1) L{a 1 x 1 + a 2 x 2 } = a 1 L{x 1 } + a 2 L{x 2 } (2) x(t) = δ(t t ) x(t ) dt x[i] = δ[i i ] x[i ] (3) h[i, i ] x[i ] (4)

(1) L{a 1 x 1 + a 2 x 2 } = a 1 L{x 1 } + a 2 L{x 2 } (2) x(t) = δ(t t ) x(t ) dt x[i] = δ[i i ] x[i ] (3) h[i, i ] x[i ] (4) Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΗΥ240: Θεωρία Σημάτων και Συστημάτων Γραμμικά χρονικά μεταβαλλόμενα συστήματα Συνάρτηση συστήματος Ένα σύστημα L απεικονίζει κάθε σήμα εισόδου x σε ένα σήμα εξόδου y, δηλ., συνεχής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 11: ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΕΝΟΤΗΤΑ 11: ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΗΜΕΘΟΔΟΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE

6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE 6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE Σκοπός του κεφαλαίου είναι να ορίσει τον αμφίπλευρο μετασχηματισμό aplace ή απλώς μετασχηματισμό aplace (Μ) και το μονόπλευρο μετασχηματισμό aplace (ΜΜ), να περιγράψει

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Εισαγωγή στα Σήµατα Εισαγωγή στα Συστήµατα Ανάπτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourier Μετασχηµατισµός Z

ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Εισαγωγή στα Σήµατα Εισαγωγή στα Συστήµατα Ανάπτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourier Μετασχηµατισµός Z ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Εισαγωγή στα Σήµατα Εισαγωγή στα Συστήµατα Ανάπτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourier Μετασχηµατισµός Laplace Μετασχηµατισµός Z Εφαρµογές Παράδειγµα ενός ηλεκτρικού συστήµατος Σύστηµα Παράδειγµα

Διαβάστε περισσότερα

4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER

4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER 4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER Σκοπός του κεφαλαίου είναι να παρουσιάσει μερικές εφαρμογές του Μετασχηματισμού Fourier (ΜF). Ειδικότερα στο κεφάλαιο αυτό θα περιγραφούν έμμεσοι τρόποι

Διαβάστε περισσότερα

Ο μετασχηματισμός z αντιστοιχεί στην ακολουθία συνάρτηση: Xz ()

Ο μετασχηματισμός z αντιστοιχεί στην ακολουθία συνάρτηση: Xz () Ο Ρ Ι Σ Μ Ο Σ Ο μετασχηματισμός αντιστοιχεί στην ακολουθία συνάρτηση: X x x τη X O Μετασχηματισμός,, της ακολουθίας είναι μιγαδική συνάρτηση, της μιγαδικής μεταβλητής x r j Ω Ο μονόπλευρος μετασχηματισμός

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΣΥΝΗΘΩΝ. Το τυπικό πρόβληµα αρχικών τιµών που θα µας απασχολήσει, είναι το ακόλουθο:

KΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΣΥΝΗΘΩΝ. Το τυπικό πρόβληµα αρχικών τιµών που θα µας απασχολήσει, είναι το ακόλουθο: KΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΣΥΝΗΘΩΝ ΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Έστω [ α, b], f :[ α, b], y. Το τυπικό πρόβληµα αρχικών τιµών που θα µας απασχολήσει, είναι το ακόλουθο: Ζητείται µια συνάρτηση y :[

Διαβάστε περισσότερα

EΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΨΗΦΙΑΚΗΣ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑΣ ΣΗΜΑΤΩΝ. Γραµµική Εκτίµηση Τυχαίων Σηµάτων

EΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΨΗΦΙΑΚΗΣ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑΣ ΣΗΜΑΤΩΝ. Γραµµική Εκτίµηση Τυχαίων Σηµάτων EΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΨΗΦΙΑΚΗΣ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑΣ ΣΗΜΑΤΩΝ Γραµµική Εκτίµηση Τυχαίων Σηµάτων Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Γραµµική Εκτίµηση Τυχαίων Σηµάτων FIR φίλτρα: Ορίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

Ζητείται να εξεταστεί η ευστάθειά του κατά BIBO. Η κρουστική απόκριση του συστήματος είναι L : =

Ζητείται να εξεταστεί η ευστάθειά του κατά BIBO. Η κρουστική απόκριση του συστήματος είναι L : = . Δίνεται το ΓΧΑ σύστημα με συνάρτηση μεταφοράς ++2 Ζητείται να εξεταστεί η ευστάθειά του κατά BIBO. Λύση : Α) +3 +2 ++2 2 + + 2+2 Η κρουστική απόκριση του συστήματος είναι L : 2 + 2 H είναι φραγμένη καθώς.

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (http://)

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (http://) Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (http://) Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Καθηγητής ΕΜΠ (http://users.ntua.gr/kkyria/) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1 Δομή της Ύλης του Μαθήματος Εισαγωγη

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΗΑ ΨΕΣ /4/2013 2:12 πµ

ΣΤΗΑ ΨΕΣ /4/2013 2:12 πµ ΣΤΗΑ ΨΕΣ -3 4/4/3 : πµ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Ψηφιακή Επεξεργασία Σήµατος ΨΕΣ Η Επεξεργασία Σήµατος µέσω της ψηφιοποίησής του και της επεξεργασίας µε ηλεκτρονικό υπολογιστή ή ειδικά ολοκληρωµένα κυκλώµατα

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://courseware.mech.ntua.gr/ml23147/)

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://courseware.mech.ntua.gr/ml23147/) Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://courseware.mech.ntua.gr/ml23147/) Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Καθηγητής ΕΜΠ (h>p://users.ntua.gr/kkyria/) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1 Δομή

Διαβάστε περισσότερα

Βαθµολογία Προβληµάτων ΘΕΜΑ 1 ΘΕΜΑ 2.1 ΘΕΜΑ 2.2 ΘΕΜΑ 2.3 ΘΕΜΑ 3.1 ΘΕΜΑ 3.2 ΘΕΜΑ 4 ΘΕΜΑ 5.1 ΘΕΜΑ 5.2. G(s)

Βαθµολογία Προβληµάτων ΘΕΜΑ 1 ΘΕΜΑ 2.1 ΘΕΜΑ 2.2 ΘΕΜΑ 2.3 ΘΕΜΑ 3.1 ΘΕΜΑ 3.2 ΘΕΜΑ 4 ΘΕΜΑ 5.1 ΘΕΜΑ 5.2. G(s) ΑΠΑΓΟΡΕΥΕΤΑΙ Η ΑΝΑΤΥΠΩΣΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΡΙΝ ΤΗΝ 3 Σεπτεµβρίου 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΙΙ - Τελική εξέταση Σεπτεµβρίου 4 Να επιστραφεί η εκφώνηση των θεµάτων (υπογεγραµµένη από τον εξεταστή) ΕΠΩΝΥΜΟ

Διαβάστε περισσότερα

Σχήµα 1: Χρήση ψηφιακών φίλτρων για επεξεργασία σηµάτων συνεχούς χρόνου

Σχήµα 1: Χρήση ψηφιακών φίλτρων για επεξεργασία σηµάτων συνεχούς χρόνου ΜΑΘΗΜΑ 6: ΣΧΕ ΙΑΣΗ ΦΙΛΤΡΩΝ 6. Εισαγωγή Τα φίλτρα είναι µια ειδική κατηγορία ΓΧΑ συστηµάτων τα οποία τροποποιούν συγκεκριµένες συχνότητες του σήµατος εισόδου σε σχέση µε κάποιες άλλες. Η σχεδίαση ψηφιακών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟ ΕΛΕΓΧΟ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Τρύφων Κουσιουρής

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟ ΕΛΕΓΧΟ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Τρύφων Κουσιουρής ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟ ΕΛΕΓΧΟ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Τρύφων Κουσιουρής Ακ. Έτος 005-006 ΠΡΟΒΛΗΜΑ ίδονται τα συστήµατα Σ, Σ µε συναρτήσεις µεταφοράς s+ -s+ G (s)= G (s)= s +s+ s +s+ α) Να προσδιοριστεί η βηµατική απόκριση

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΑΜΦΙΠΛΕΥΡΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Z

Ο ΑΜΦΙΠΛΕΥΡΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Z Ο ΑΜΦΙΠΛΕΥΡΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Z Ο µετασχηµατισµός είναι ο αντίστοιχος Laplace για σήµατα διακριτού χρόνου και αποτελεί γενίκευση του µετασχηµατισµού Fourier διακριτού χρόνου. Ο µετασχηµατισµός αντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΤΕΡΝΑ ΘΕΩΡΙΑ ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΙΙ Τμήμα Μαθηματικών - Τομέας Υπολογιστών & Αριθμητικής Ανάλυσης Εξετάσεις Σεπτεμβρίου 2016

ΜΟΝΤΕΡΝΑ ΘΕΩΡΙΑ ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΙΙ Τμήμα Μαθηματικών - Τομέας Υπολογιστών & Αριθμητικής Ανάλυσης Εξετάσεις Σεπτεμβρίου 2016 ΜΟΝΤΕΡΝΑ ΘΕΩΡΙΑ ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΙΙ Τμήμα Μαθηματικών - Τομέας Υπολογιστών & Αριθμητικής Ανάλυσης Εξετάσεις Σεπτεμβρίου 016 Θέμα 1. α) (Μον.1.5) Αποδείξτε ότι αν το σύστημα στο χώρο

Διαβάστε περισσότερα

() 1 = 17 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ LEGENDRE Ορισµοί

() 1 = 17 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ LEGENDRE Ορισµοί SECTION 7 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ LEGENDRE 7. Ορισµοί Οι συναρτήσεις που ικανοποιούν τη διαφορική εξίσωση Legere ( )y'' y' + ( + )y καλούνται συναρτήσεις Legere τάξης. Η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης του Legere

Διαβάστε περισσότερα

Εξεταστική Ιανουαρίου 2007 Μάθηµα: «Σήµατα και Συστήµατα»

Εξεταστική Ιανουαρίου 2007 Μάθηµα: «Σήµατα και Συστήµατα» Εξεταστική Ιανουαρίου 27 Μάθηµα: «Σήµατα και Συστήµατα» Θέµα 1 ο (3%) Έστω δύο διακριτά σήµατα: x(n) = {1,,, -1} και h(n) = {1,, 1} µε το πρώτο δείγµα να αντιστοιχεί σε n= και για τα δύο. Υπολογίστε τα

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρικη Θεωρια Ελεγχου

Γεωµετρικη Θεωρια Ελεγχου Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Σχολη Θετικων Επιστηµων Τµηµα Μαθηµατικων Χειµερινό Εξάµηνο 2016-2017 Γεωµετρικη Θεωρια Ελεγχου εύτερη Εργασία 1. Βρείτε δύο διαφορετικά παραδείγµατα συστηµάτων στο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Όταν θα έχουµε τελειώσει το κεφάλαιο αυτό θα µπορούµε να: υπολογίσουµε το µετασχηµατισµό aplace στοιχειωδών σηµάτων. αναφέρουµε τις ιδιότητες του µετασχηµατισµού aplace. Σεραφείµ Καραµπογιάς 6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών. στο χώρο της συχνότητας

HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών. στο χώρο της συχνότητας HMY 49: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών Σημάτων Διάλεξη 3: Σήματα και Συστήματα διακριτού χρόνου Διάλεξη 3: Σήματα και Συστήματα διακριτού χρόνου στο χώρο της συχνότητας Μιγαδικά εκθετικά σήματα και

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΑΜΦΙΠΛΕΥΡΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Z

Ο ΑΜΦΙΠΛΕΥΡΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Z Ο ΑΜΦΙΠΛΕΥΡΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Z Ο μετασχηματισμός είναι ο αντίστοιχος Laplace για σήματα διακριτού χρόνου και αποτελεί γενίκευση του μετασχηματισμού Fourier διακριτού χρόνου. Ο μετασχηματισμός αντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΑΝΩΜΑΛΑ ΣΗΜΕΙΑ, ΠΟΛΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΙΠΩΝ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Κολάσης Χαράλαμπος

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Ανάλυση και Προσοµοίωση Δυναµικών Συστηµάτων

Εισαγωγή στην Ανάλυση και Προσοµοίωση Δυναµικών Συστηµάτων Εισαγωγή στην Ανάλυση και Προσοµοίωση Δυναµικών Συστηµάτων Control Systems Laboratory Περιγραφή Δυναµικών Συστηµάτων Εξίσωση µεταβολής όγκου Η µεταβολή όγκου ισούται µε τη παροχή υγρού Q που σχετίζεται

Διαβάστε περισσότερα

x(t) ax 1 (t) y(t) = 1 ax 1 (t) = (1/a)y 1(t) x(t t 0 ) y(t t 0 ) =

x(t) ax 1 (t) y(t) = 1 ax 1 (t) = (1/a)y 1(t) x(t t 0 ) y(t t 0 ) = ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-25: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 26-7 ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού, Γ. Καφεντζής Λύσεις Τρίτης Σειράς Ασκήσεων Ηµεροµηνία Ανάθεσης

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση. 27 Οκτωβρίου Αριθµητική Ανάλυση 27 Οκτωβρίου / 72

Αριθµητική Ανάλυση. 27 Οκτωβρίου Αριθµητική Ανάλυση 27 Οκτωβρίου / 72 Αριθµητική Ανάλυση 7 Οκτωβρίου 06 Αριθµητική Ανάλυση 7 Οκτωβρίου 06 / 7 Επαναληπτικές Μέθοδοι για την επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων ίνεται το γραµµικό σύστηµα Ax = b όπου A R n n είναι µη ιδιάζων πίνακας

Διαβάστε περισσότερα

7. ΑΝΩΜΑΛΑ ΣΗΜΕΙΑ, ΠΟΛΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΙΠΩΝ. και σε κάθε γειτονιά του z

7. ΑΝΩΜΑΛΑ ΣΗΜΕΙΑ, ΠΟΛΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΙΠΩΝ. και σε κάθε γειτονιά του z 7. ΑΝΩΜΑΛΑ ΣΗΜΕΙΑ, ΠΟΛΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΙΠΩΝ Ένα σημείο λέγεται ανώμαλο σημείο της συνάρτησης f( ) αν η f( ) δεν είναι αναλυτική στο και σε κάθε γειτονιά του υπάρχει ένα τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές

Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές Κων/νος Κυριακόπουλος Καθηγητής ΕΜΠ @ kkyria@central.ntua.gr! http://users.ntua.gr/kkyria ΑΕΡΟΔΙΑΣΤΗΜΙΚΗ ΡΟΜΠΟΤΙΚΗ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΟΣ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΣ Δομή

Διαβάστε περισσότερα

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι ΔΙΑΛΕΞΗ #9 Ιδιοτιμές και ιδιοσυναρτήσεις συστημάτων Απόκριση ΓΧΑ συστημάτων σε μιγαδικά εκθετικά σήματα Συνάρτηση μεταφοράς Ανάλυση Σημάτων/Συστημάτων με βασικά σήματα Συχνά

Διαβάστε περισσότερα

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ R - ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ - ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ [Κεφ..6: Μη Πεπερασμένο Όριο στο R - Κεφ..7: Όρια Συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ.Ε. ΜΕ ΚΡΟΥΣΤΙΚΕΣ ΙΕΓΕΡΣΕΙΣ

ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ.Ε. ΜΕ ΚΡΟΥΣΤΙΚΕΣ ΙΕΓΕΡΣΕΙΣ ΣΧΟΛΗ. Ν. ΟΚΙΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΩΡΙΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΙΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ Σ.Α.Ε. ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ.Ε. ΜΕ ΚΡΟΥΣΤΙΚΕΣ ΙΕΓΕΡΣΕΙΣ ρ. Α. Μαγουλάς Οκτώβριος 4 Η συνάρτηση δ ( και η παράγωγός της Ορίζεται ως εξής: δ ( ανωµαλο

Διαβάστε περισσότερα

Τυπική µορφή συστήµατος 2 ας τάξης

Τυπική µορφή συστήµατος 2 ας τάξης Τυπική µορφή συστήµατος 2 ας τάξης Έστω το γενικό σύστηµα 2 ας τάξεως µε σταθερό αριθµητή (1) Είθισται αυτό να γράφεται σε συγκεκριµένη µορφή, την εξής: θέτουµε ±, επιλέγοντας το πρόσηµο ούτως ώστε το

Διαβάστε περισσότερα

Χάος και Φράκταλ. ιδάσκων: Α.Μπούντης, Καθηγητής Ασκήσεις ΟΜΑ Α Α 1) Να δειχθεί ότι η οικογένεια των κλειστών καµπυλών x x e = c τείνει 2 1)

Χάος και Φράκταλ. ιδάσκων: Α.Μπούντης, Καθηγητής Ασκήσεις ΟΜΑ Α Α 1) Να δειχθεί ότι η οικογένεια των κλειστών καµπυλών x x e = c τείνει 2 1) Χάος και Φράκταλ ιδάσκων: ΑΜπούντης, Καθηγητής Ασκήσεις ΟΜΑ Α Α + ) ) Να δειχθεί ότι η οικογένεια των κλειστών καµπυλών e = c τείνει σε εκείνη των ελλείψεων ξ ξ + = K, όταν, ) b, a) Τα Κ,c είναι b a αυθαίρετες

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανολογικό Σχέδιο με τη Βοήθεια Υπολογιστή. Αφφινικοί Μετασχηματισμοί Αναπαράσταση Γεωμετρικών Μορφών

Μηχανολογικό Σχέδιο με τη Βοήθεια Υπολογιστή. Αφφινικοί Μετασχηματισμοί Αναπαράσταση Γεωμετρικών Μορφών Μηχανολογικό Σχέδιο με τη Βοήθεια Υπολογιστή Γεωμετρικός Πυρήνας Γεωμετρικός Πυρήνας Αφφινικοί Μετασχηματισμοί Αναπαράσταση Γεωμετρικών Μορφών Γεωμετρικός Πυρήνας Εξομάλυνση Σημεία Καμπύλες Επιφάνειες

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων

Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων Ενότητα : Συστήματα Διακριτού Χρόνου Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Συστήματα Διακριτού Χρόνου Εξισώσεις Διαφορών Επίλυση Εξισώσεων Διαφορών με Γραμμικούς Συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Περίληψη Ευστάθεια Συστημάτων Απόκριση ΓΧΑ Συστημάτων σε Διεγέρσεις

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ολοκλήρωση

Αριθµητική Ολοκλήρωση Κεφάλαιο 5 Αριθµητική Ολοκλήρωση 5. Εισαγωγή Για τη συντριπτική πλειοψηφία των συναρτήσεων f (x) δεν υπάρχουν ή είναι πολύ δύσχρηστοι οι τύποι της αντιπαραγώγου της f (x), δηλαδή της F(x) η οποία ικανοποιεί

Διαβάστε περισσότερα

x(t) 2 = e 2 t = e 2t, t > 0

x(t) 2 = e 2 t = e 2t, t > 0 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-215: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 216-17 ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού, Γ. Καφεντζής Λυµένες Ασκήσεις σε Σήµατα και Συστήµατα Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

Σεµινάριο Αυτοµάτου Ελέγχου

Σεµινάριο Αυτοµάτου Ελέγχου Σεµινάριο Αυτοµάτου Ελέγχου Μάθηµα 5 Εξισώσεις εσωτερικής κατάστασης Ελεγξιµότητα και Παρατηρησιµότητα Καλλιγερόπουλος 5 Εξισώσεις εσωτερικής κατάστασης Η εξωτερική συµπεριφορά ενός συστήµατος ορίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΠΑΡΟΝ ΕΠΙΣΤΡΕΦΕΤΑΙ. ΘΕΜΑ Βαθμολογία Βαθμός Σπουδαστή ΘΕΜΑ ΘΕΜΑ

ΤΟ ΠΑΡΟΝ ΕΠΙΣΤΡΕΦΕΤΑΙ. ΘΕΜΑ Βαθμολογία Βαθμός Σπουδαστή ΘΕΜΑ ΘΕΜΑ Ε.Μ.Π. ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ: Σ. Ε. Ρ. ΜΑΘΗΜΑ: Εισαγωγή στον Αυτόματο Έλεγχο ΕΞΑΜΗΝΟ: 5 ο ΠΕΡΙΟΔΟΣ: Σεπτεμβρίου ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 7/0/009 ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 3 ώρες Αριθμός Μητρώου

Διαβάστε περισσότερα