2. Ανάλυση Γραμμικών Χρονικά Αμετάβλητων Συστημάτων (ΓΧΑΣ) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1

Transcript

1 2. Ανάλυση Γραμμικών Χρονικά Αμετάβλητων Συστημάτων (ΓΧΑΣ) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1

2 Επίλυση Εξισώσεων Κατάστασης Δεδοµένου του ΓΧΑΣ nn nm pn pm όπου A R B R C R D R Τίθεται το ζήτηµα της επίλυσης (ολοκλήρωσης) της ΔΕ Εξισώσεων Κατάστασης, για δεδοµένη είσοδο u(t). Γιατί? Προφανώς, η αλγεβρική µορφή της Εξίσωσης Εξόδου δεν εισάγει δυσκολία. Ας θεωρήσουµε την µονοδιάστατη περίπτωση πρώτα... Προφανώς Από το Βασικό Θεώρηµα του Λογισµού και την παραπάνω σχέση t t at ( t) d a t a t ( ) ( 0 ) dt t t ( ( τ ) ( )) ( τ ) ( ) e x t x t e x d e b u d = = τ τ τ τ 0 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 0 2

3 Επίλυση Εξισώσεων Κατάστασης Πολλαπλασιάζοντας και τις 2 πλευρές της e ( ) at t 0 at ( t) ( ) t a ( 0 ) t t ( τ ) µε παίρνουµε µετά από πράξεις την απόκριση της κατάστασης ( τ) 0 0 e x t x t = e b u d 0 τ Απόκριση µηδενικής αρχικής κατάστασης Απόκριση µηδενικής εισόδου (δηλ. ένεκα εισόδου) (δηλ. ένεκα αρχικών συνθηκών) Στη περίπτωση αυτού του µονοδιάστατου συστήµατος η εξίσωση εξόδου είναι Βάσει της απόκρισης κατάστασης, η απόκριση εξόδου γίνεται : Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 3

4 Επίλυση Εξισώσεων Κατάστασης Επίλυση µε Laplace: θεωρούµε, χωρίς απώλεια της γενικότητας, ότι t 0 =0 oπότε Laplace Inverse Laplace..από την ιδιότητα συνέλιξης του Laplace Για την έξοδο προφανώς: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) yt = cxt + dut Y s= cx s+ dus οπότε µε βάση την απόκριση κατάστασης που βρηκαµε παραπάνω, αυτή γίνεται 1 b Y s = c x0 + c + d U s s a s a Και αν θεωρήσουµε µηδενική αρχική κατάσταση (x 0 =0), παίρνουµε την συνάρτηση µεταφοράς Y( s) b = c + d U s s a ( ) ( ) ( ) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 4

5 Επίλυση Εξισώσεων Κατάστασης : Στην πολυδιάστατη περίπτωση του ΓΧΑΣ θα δοθεί λύση για γενικευµένη είσοδο u(t). Οµογενής: X! ( t) = A X( t) X( t0 ) = I n n Θεωρούµε τη άπειρη δυναµοσειρά (power series) όπου, προφανώς, X0 = X( t0) = I n n. Εισάγοντάς την στην οµογενή ΔΕ και κάνοντας κατάλληλη µετατόπιση των δεικτών της σειράς...!x = k X k t t 0 = k X k t t 0 =" k=0 ( ) k 1 Εξισώνοντας του όρους ιδίας k=1 δύναµης των όρων (t - t 0 ).. Ομογενής Λύση ( ) k 1 που για Χ 0 =Ι επιδέχεται τη λύση Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 5

6 Κατά συνέπεια Επίλυση Εξισώσεων Κατάστασης: Ομογενής Λύση Υπενθυµίζουµε ότι αν αναλύσουµε κατά Taylor την εκθετική συνάρτηση Με βάση αυτή τη παρατήρηση, κατ αναλογίαν ορίζουµε οπότε η λύση της οµογενούς ΔΕ είναι ( ) X t = ( ) A t t e 0 At e Πρέπει να τονισθεί ότι ο όρος είναι απλά και µόνο συνοπτική (συµβολική) µορφή παράστασης της σχετικής δυναµοσειράς Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 6

7 Επίλυση Εξισώσεων Κατάστασης: Ομογενής Λύση ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ της e At Για κάθε Α R n n η εκθετική µορφή e At έχει τις παρακάτω ιδιότητες: Είναι ο µοναδικός πίνακας που ικανοποιεί την t 1,t 2 ισχύει. Κατά συνέπεια, t, ισχύει και εποµένως ο πίνακας e At είναι πάντοτε αντιστρέψιµος και ισχύει t ισχύει t ισχύει ( ) A+ B t At Bt e = e e t A B= B A Β R n n ισχύει: Η πρώτη ιδιότητα είναι κατάλληλη για να ελεχθεί αν κάποια συνάρτηση X(t) είναι λύση. Αυτό γίνεται ελέγχοντας απλά τις X! ( t) = A X( t) X( t ) = I 0 n n Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 7

8 Παράδειγμα- 1 At 1 k k Αν τότε για να υπολογισθεί το e = A t πρέπει k! να υπολογισθούν οι όροι Α k. Επειδή συνεπάγεται ότι Α k = 0, k 4 Κατά συνέπεια k= 0 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 8

9 Παράδειγμα- 1 Το προηγούµενο παραδειγµα µπορεί να γενικευθεί µε πράγµα που µπορεί να πιστοποιηθεί µε χρήση της πρώτης ιδιότητας του e At, δηλαδή της και πιστοποίηση των ( ) ( ) ( ) X! t = A X t X t = I 0 n n Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 9

10 Παράδειγμα- 2 Αν τότε και εποµένως Και επειδή, ως γνωστόν e λ i t 1 = λi t k! k= 0 k k...είναι προφανές ότι e At = Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 10

11 Επίλυση Εξισώσεων Κατάστασης: Υπολογισμός Ομογενούς Λύσης e At = 1 A t k k Η εκφραση (λόγω του απείρου αθροίσµατος) δεν είναι k= 0 k! υπολογιστικά κατάλληλη. Όµως, µπορεί να αποδειχθεί, ότι αυτό το άπειρο άθροισµα µπορεί να αποδοθεί από έκφραση της µορφής όπου Εφαρµόζοντας την 1 η ιδιότητα της e At, δηλ. : Από το Θ. Cayley-Hamilton : αναλυτικές µονοδιάστατες συναρτήσεις. = k n ( t) A α ( ) n 1 1 k 1 α! k 0 k k 0 k t A + = = Αυτό εφαρµόζεται στην δεξιά πλευρά της παραπάνω ισότητας Προσοχη: τα «αλφα» είναι διαφορετικά Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 11

12 Επίλυση Εξισώσεων Κατάστασης: Υπολογισμός Ομογενούς Λύσης C-H k n ( t) A = α ( ) n 1 1 k 1 α! k 0 k k 0 k t A + = = Και επειδή, απο προηγουµένως, ισχύει n 1 α! k k = 0 ( ) t A k k n ( t) A = α ( ) n 1 1 k 1! α k 0 k k 0 k t A + = = Εξισώνοντας τους όρους που ανστιστοιχούν στα διάφορα A k δηλαδή για k =0,1,,n-1 παίρνουµε : Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 12

13 Επίλυση Εξισώσεων Κατάστασης: Υπολογισμός Ομογενούς Λύσης... την µορφή, σε πίνακα Δ.Ε. των συντελεστών Με αρχική συνθήκη Η αρχική συνθήκη προκύπτει, υπενθυµίζοντας τον τύπο λύσης που αναζητουµε και Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 13

14 Επίλυση Εξισώσεων Κατάστασης: Η προηγούµενη ΔΕ µπορεί να είναι (όπως θα φανεί παρακάτω) κατάλληλη για λόγους ανάλυσης, αλλά απο υπολογιστικής απόψεως ΔΕΝ είναι ιδιαίτερα χρήσιµη δεδοµένου ότι ανάγει το πρόβληµα ευρέσεως της λύσης µιας ΔΕ στην επίλυση µιας άλλης ΔΕ... Ευτυχώς υπάρχει παράκαµψη αυτού του προβλήµατος που παρουσίαζεται εδώ για την παρακάτω περίπτωση: Ο Α έχει n διακριτές ιδιοτιµές λ 1, λ 2,..., λ n : σε αυτή τη περίπτωση που οδηγεί στο σύστηµα Υπολογισμός Ομογενούς Λύσης At n 1 ( ) 0 ( λ ) 0 α ( ) f A f e t A k = i = = k= 0 k Πίνακας Vandermonde (µη-ιδιόµορφος όταν και µόνο όταν όλες οι ιδιοτιµές είναι διακριτές) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 14

15 Παράδειγμα - 1 ( ) { 0, 1, 2} eig A = Με βάση τις ιδιοτιµές, υπολογίζουµε τον πίνακα Vandermonde... και οδηγούµαστε στον υπολογισµό της e At Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 15

16 Επίλυση Εξισώσεων Κατάστασης: Ομογενής Λύση ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ Το ΓΧΑΣ Φ(t 1, t 0 ) x 0 Φ(t 2, t 0 ) x 0 όταν u(t) = 0 ανάγεται στην οµογενή Δ.Ε. Φ(t, t 0 ) x 0 της οποίας η µοναδική λύση είναι. ( ) At t 0 Προφανώς αυτή η λύση µέσω της µήτρας δείχνει την µετάβαση από την κατάσταση x(t 0 ) = x 0 στις καταστάσεις x(t) µε τη διέλευση του χρόνου t όταν u(t) = 0. Η µήτρα αυτή ονοµάζεται Μήτρα Μεταβατικής Κατάστασης (State Transition Matrix) και συµβολίζεται ως (, ) 0 ( ) At t Φ tt = e 0 e x 0 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 16

17 Επίλυση Εξισώσεων Κατάστασης: Γενική Λύση Για την επίλυση του ΓΧΑΣ ας θεωρήσουµε την όπου Οπότε Προφανώς... και εποµένως... Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 17

18 Επίλυση Εξισώσεων Κατάστασης: Γενική Λύση Απόκριση µηδενικής εισόδου Απόκριση µηδενικής αρχικής κατάστασης Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 18

19 Επίλυση Εξισώσεων Κατάστασης: Γενική Λύση Από την οδηγούµαστε στην Απόκριση µηδενικής εισόδου Απόκριση µηδενικής αρχικής κατάστασης Υπενθύµιση: από τις εξισώσεις Dirac t 2 t 1 ( t ) u( ) d = u( t) t ( t, t ] δ τ τ τ 1 2 t δ(t-τ) u(τ) τ Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 19

20 Κρουστική Απόκριση Αν x(t 0 = 0) = 0 τότε Αν ορίσουµε τον Πίνακα Κρουστικής Απόκρισης (Impulse Response Matrix) : At p m ht = Ce B+ Dδ τ R ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) At τ οπότε ht τ = Ce B+ D δ t τ και t 2 t 1 ( t ) u( ) d = u( t) t ( t, t ] δ τ τ τ 1 2 Αυτός θα χρησιµοποιηθεί στον µέλλον, κατά την θεώριση ιδιοτήτων εισόδου-εξόδου Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 20

21 Διαχείριση στο χώρο Laplace Στο ΓΧΑΣ µε t 0 = 0 ασκούµε, στις εξισώσεις κατάστασης, τον τελεστή Laplace οπότε που οδηγεί στο Η ύπαρξη του s I A s I A 0 προαπαιτεί που ικανοποιείται επειδή το χαρακτηριστικό πολυώνυµο είναι µονικό και εποµένως όχι µηδενικό πολυώνυµο. Προφανώς ο είναι πίνακας n n απο πολυώνυµα το πολύ n-1 βαθµού. Άρα ο είναι πίνακας n n απο «αυστηρά κατάλληλα» (strictly proper) κλάσµατα πολυωνύµων του s (δηλ. µε αριθµητές που έχουν βαθµό πολυωνύµου αυστηρά χαµηλότερο απο αυτόν των παρανοµαστών. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 21

22 Διαχείριση στο χώρο Laplace Παρατηρείστε (από προηγουµένως) ότι Η αντιστοίχιση: ισχύει x 0 οπότε Μία µέθοδος εύρεσης του συνίσταται σε: e αρχικά, υπολογισµό της, και µετά εύρεση του αντιστρόφου Laplace. At Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 22

23 Διαχείριση στο χώρο Laplace Παρατηρείστε ότι 1 1 Y s = C X s + D U s = C si A x0 + C si A B+ D U s ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Η αντιστοίχιση: Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 23

24 Παράδειγμα - 1 Έστω ότι ένα ΓΧΑΣ περιγράφεται από τη ΔΕ µε είσοδο βαθµίδας ut ( ) = 3 u s ( t) και y( 0) = 0.1, y! ( 0) = Χαρακτηριστικό Πολυώνυµο: s + 7s+ 12= ( s+ 3)( s+ 4) Ιδιοτιµές Συστήµατος: s 1,2 = 3, 4 Απόκριση Συστήµατος: Αν ορίσουµε τότε µε Επιζητώντας λύση στο χώρο Laplace: και επειδή... L 3 u s ( t) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 24

25 Παράδειγμα - 1 Αυτό οδηγεί στο οπότε µε ανάλυση σε κλάσµατα: Είναι φανερό ότι η λύση που ευρέθηκε µε την µεθοδολογία ανάλυσης της ΔΕ στο χώρο κατάστασης και χρήση Laplace δίνει την ίδια λύση µε τον κλασσικό τρόπο. Οι αποκρίσεις, φαίνονται παρακάτω: Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 25

26 Παράδειγμα - 2 Έστω το ΓΧΑΣ Έχουµε οπότε... και έτσι Οδηγούµενοι στην επίλυση, λαµβάνουµε την απόκριση (κατάστασης και εξόδου) µηδενικής εισόδου: Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 26

27 Παράδειγμα - 2 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 27

28 Παράδειγμα - 2 Οπότε οι αποκρίσεις (κατάστασης & εξόδου) στο πεδίο του χρόνου είναι και ο Πίνακας Μεταφοράς: που αντιστοιχεί στην κρουστική απόκριση: Σε αυτά τα αποτελέσµατα θα καταλήξουµε παρακάτω µε άλλη οπτική. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 28

29 Υλοποιήσεις στο Χώρο Κατάστασης Η έννοια της «υλοποίησης στο χώρο κατάστασης» έχει εισαχθεί προηγουµένως : Οι εξισώσεις κατάστασης είναι «υλοποίηση στο χώρο κατάστασης» (statespace realization) της συµπεριφοράς εισόδου-εξόδου ενός συστήµατος αν «αντιστοιχεί» είτε στη σχέση µεταφοράς Y(s)=H(s) U(s) είτε στη σχετική ΔΕ που σχετίζει τα y(t) και u(t) στο πεδίο του χρόνου (µηδενικές αρχικές συνθήκες). Με βάση τον ορισµό της εποµένως, µία «υλοποίηση στο χώρο κατάστασης» πρέπει να ικανοποιεί τις Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 29

30 Παράδειγμα Υλοποίησης στο Χώρο Θέλουµε να αποδείξουµε ότι οι Κατάστασης αποτελούν µία υλοποίηση (Controller Canonical Form) στο χώρο κατάστασης της Σ.Μ. Παρατηρούµε ότι Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 30

31 Παράδειγμα Υλοποίησης στο Χώρο Κατάστασης 1 s 2 s 1! n 2 s s 2 n 1 s s 1 ( si A) B a( s = ) = ( si A) B! a( s) n 2 s n 1 s Εποµένως Αυτη η υλοποίηση θα µας απασχολήσει και στα περι Ελεγξιµότητας. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 31

32 Μετασχηματισμοί Συντεταγμένων Δεδοµένου του ΓΧΑΣ Οιοσδήποτε µη-ιδιόµορφος (non-singular) πίνακας T R n n ορίζει τον µετασχηµατισµό συντεταγµένων που αν εφαρµοσθεί στο σύστηµα... T x(t) z(t) Οπότε, αν ορίσουµε: έχουµε τη νέα µορφή του ΓΧΑΣ Ο προτεινόµενος µετασχηµατισµός, ονοµάζεται µετασχηµατισµός οµοιότητας (similarity transformation), και έχει ορισµένες αξιοσηµείωτες ιδιότητες: Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 32

33 Ιδιότητες Μετασχηματισμού Ομοιότητας : το χαρακτηριστικό πολυώνυµο και (κατα συνέπεια) οι. ιδιοτιµές παραµένουν ίδιες. Απόδειξη:. Απόδειξη: άµεσα, από τον ορισµό, όπως και προηγουµένως. Απόδειξη: από την προηγούµενη. : δεδοµένης της «υλοποίησης» στο χώρο κατάστασης υπάρχουν άπειρες άλλες «υλοποιήσεις» που έχουν ίδια διάσταση. Απόδειξη: άµεσα, από τον ορισµό και την 2 η ιδιότητα, παραπάνω. : όπως και παραπάνω Απόδειξη: άµεσα, από τον ορισµό και την 3 η ιδιότητα, παραπάνω. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 33

34 Διαγώνια Κανονική Μορφή Αν ο πίνακας Α είναι διαγωνοποιήσιµος, τότε ο πίνακας µετασχηµατισµού συντεταγµένων TDCF = [ υ που αποτελείται από τα ιδιοδιανύσµατα R n 1 υ2! υn ] υi που αντιστοιχούν στις ιδιοτιµές λ i i= 1, 2,, n µετατρέπει τον Α στην Διαγώνια Κανονική Μορφή (Diagonal Canonical Form DCF): Κατά την οποία: ενώ τα ( ) = ( ) xt T zt DCF A T A T 1 2 DCF = DCF DCF = δεν έχουν κάποια συγκεκριµένη µορφή. λ1 0! 0 0 λ 0! " " # " 0 0! λn B = T B C = C T D = D 1 DCF DCF DCF DCF DCF Στο µέλλον θα δούµε τη σηµασία αυτής της µορφής στην εξέταση δοµικών ιδιοτήτων των ΓΧΑΣ (π.χ. Ελεγξιµότητα) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 34

35 Έστω το ΓΧΑΣ που εξετάσαµε και στο παρελθόν: Διαγώνια Κανονική Μορφή : Παράδειγμα - 1 Εύκολα διαπιστώνουµε ότι λ1 = 2, λ2 = 1 και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσµατα είναι 1 1 T T υ = υ = 1 2 οπότε [ ] [ ] 1 2 που οδηγεί στους Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 35

36 Διαγώνια Κανονική Μορφή : Το διαγωνοποιηµένο σύστηµα είναι Παράδειγμα - 1 στο οποίο, κάθε εξίσωση λύνεται ανεξάρτητα και οι αρχικές συνθήκες είναι Οπότε για u(t)=1 λαµβάνουµε Η λύση, εκφρασµένη στο αρχικό σύστηµα, για είσοδο συνάρτηση βαθµίδας, είναι xt ( ) = T zt ( ) = DCF Με βάση το C DCF, έχουµε: ( ) = ( ) yt z t Αυτή η λύση προφανώς συµφωνεί µε αυτήν που βρήκαµε και προηγουµένως µε άµεσο τρόπο επίλυσης της Δ.Ε. 2 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 36

37 Διαγώνια Κανονική Μορφή : Παράδειγμα - 1 Από προηγουµένως: Κατά συνέπεια: yt ( ) = Πράγµα που σηµαίνει ότι Σε αυτό το αποτέλεσµα οδηγηθήκαµε και µε την προηγούµενη ανάλυση αυτού του παραδείγµατος. Όµως εδώ αποκτά µια ιδιάιτερη σηµασία η παρατήρησου ότι η παρατηρούµενη συµπεριφορά εισόδου-εξόδου ως σύστηµα 1 ης τάξης ενώ το σύστηµα είναι 2 ης τάξης εξηγείται γιατί ισχύει Η έξοδος δηλαδή είναι γραµµικός συνδυασµός τµήµατος της κατάστασης, του οποίου τµήµατος η δυναµική ΔΕΝ εξαρτάται απο την «υπόλοιπη κατάσταση» παρά µόνο από το ίδιο αυτό το τµήµα. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 37

38 Διαγώνια Κανονική Μορφή : Παράδειγμα - 2 Θεωρούµε το 3-D, SISO ΓΧΑΣ Με ΧΠ: και ιδιοτιµές Αυτό οδηγεί σε λ =+ 2, i λ = 2, i λ = και 2 Δηλαδή το ζεύγος συζυγών ιδιοτιµών λ 1,2 οδήγησε σε ζεύγος συζυγών ιδιοδιανυσµάτων υ 1,2 που µε τη σειρά τους οδήγησαν σε Α DCF, Β DCF, C DCF µε µιγαδικά στοιχεία... Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 38

39 Διαγώνια Κανονική Μορφή : Μιγαδικές Ιδιοτιμές Όπως είδαµε προηγουµένως ζεύγη µιγαδικών (συζυγών πάντα...) ιδιοτιµών µπορούν να οδηγήσουν σε διαγώνιες µορφές µε µιγαδικά στοιχεία που ουσιαστικά δεν έχουν φυσική σηµασία. Για να οδηγηθούµε σε µορφές µε πραγµατικά στοιχεία θα πρέπει να αλλάξουµε το Τ DCF και αυτό θα γίνει ως εξής: Έστω ιδιοτιµές του Α: λ 1 =σ+jω, λ 2 =σ-jω, λ 2, λ 3,..., λ n και υ 1 =u+jw, υ 2 =u-jw τα ιδιοδιανύσµατα που σχετίζονται µε τις λ 1,2. Η γραµµική ανεξαρτησία των υ 1, υ 2 οδηγεί σε γραµµική ανεξαρτησία των u, w. Αν ληφθεί τότε επειδή Τ DCF θα λάβουµε πραγµατικά Παράδειγµα: Άν γίνει η παραπάνω διαδικασία στο προηγούµενο παράδειγµα τότε A 11 DCF = B DCF = C DCF = Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 39 [ ]