ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Μεταπτυχιακό πρόγραμμα σπουδών. «Προχωρημένες Σπουδές στην Φυσική» ΠΣΦ 61: Δομή της Ύλης και του Σύμπαντος

Transcript

1 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Μεταπτυχιακό πρόγραμμα σπουδών «Προχωρημένες Σπουδές στην Φυσική» ΠΣΦ 6: Δομή της Ύλης και του Σύμπαντος Φοιτητής : Νικολιδάκης Γεώργιος nikoligeo@gmail.com

2 Θέμα Περιγράψτε τι εννοούμε όταν λέμε τοπικό αναλλοίωτο βαθμίδας κάτω από μια ομάδα μετασχηματισμών (local gauge invariance under a set of transformations) που δημιουργούν. την ομάδα συμμετρίας U() 2. την ομάδα συμμετρίας SU(2) Δώστε από ένα παράδειγμα για κάθε μετασχηματισμό Λύση Σήμερα στη φυσική κάθε θεωρία που θέλει να περιγράφει τη φύση πρέπει να είναι μια θεωρία βαθμίδας, η οποία βασίζεται στην ιδέα ότι κάποιοι μετασχηματισμοί συμμετρίας μπορούν να εφαρμοστούν και τοπικά και ολικά. Οι θεωρίες αυτές είναι πολύ σημαντικές καθώς παρέχουν έναν ενιαίο φορμαλισμό περιγραφής των κβαντικών θεωριών πεδίου. Στην Κβαντική Θεωρία Πεδίου συνδυάζεται η κβαντομηχανική με την ειδική σχετικότητα. Στην κβαντική μηχανική, το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο αντιμετωπίζεται ως πεδίο, με το συνδεδεμένο σωματίδιο να είναι το φωτόνιο αλλά τώρα έχουμε και σχετικιστικά σωματίδια ύλης που αντιμετωπίζονται σαν πεδία π.χ. το πεδίο ηλεκτρονίων. Στην κβαντική θεωρία πεδίου περιγράφονται τρεις από τις τέσσερις θεμελιώδεις δυνάμεις της φύσης αρκετά καλά. Αυτές οι τρεις δυνάμεις είναι ηλεκτρομαγνητισμός που περιγράφεται με την κβαντική ηλεκτροδυναμική QED, η ασθενής πυρηνική που περιγράφεται από την ηλεκτρασθενή θεωρία EWT και η ισχυρή πυρηνική που περιγράφεται από την κβαντική χρομωδυναμική QCD. (Feynman, 998). Στις θεωρίες βαθμίδος τα πεδία βαθμίδας είναι οι φορείς της δύναμης και στην πραγματικότητα όλα τα πεδία της σωματιδιακής φυσικής που μεταφέρουν τη δύναμη είναι πεδία βαθμίδος. Οι μετασχηματισμοί βαθμίδας αφήνουν τη δράση των εξισώσεων κίνησης αμετάβλητη και είναι πολύ σημαντικές διότι οδηγούν σε συμμετρίες που στην φυσική έχουν πρωταρχικό ρόλο διότι κρύβουν φυσικούς μηχανισμούς όπου αφήνουν αναλλοίωτα μεγέθη σε γενικούς μετασχηματισμούς. Έτσι σύμφωνα με το θεώρημα Noether (Tamvakis,204) το αναλλοίωτο σε χωρικές μεταθέσεις οδηγεί σε διατήρηση της ορμής, το αναλλοίωτο σε στροφές σε διατήρηση της στροφορμής και το αναλλοίωτο σε χρονικές μεταθέσεις σε διατήρηση της ενέργειας. 2

3 Πίσω από κάθε νόμο διατήρησης λοιπόν υπάρχει ένα παρατηρήσιμο μέγεθος και ένας συμμετρικός μετασχηματισμός. Σαν αποτέλεσμα η Lagrangian του προβλήματος παραμένει αναλλοίωτη κάτω από τέτοιους μετασχηματισμούς δl = 0. Μαθηματικά μια συμμετρία U είναι ένας γραμμικός μοναδιακός μετασχηματισμός στον χώρο Hilbert που εκφράζεται από ένα ερμητιανό τελεστή που μετατίθεται με την Χαμιλτονιανή [U, Η] = 0. (Raamsdonk 20) Το σύνολο των πιθανών μετασχηματισμών βαθμίδας από μια ομάδα είναι γνωστή σαν ομάδα βαθμίδας και είναι μια ομάδα Lie όπου o γεννήτοράς της σχηματίζει την άλγεβρα Lie. Στο καθιερωμένο πρότυπο των σωματιδίων έχουμε τις ομάδες U(), SU(2)και SU(3). Η ομάδα SU(N) αποτελείται από όλους του ειδικούς μοναδιαίους (Special Unitary) πίνακες Ν Ν που εκπληρώνουν τις ιδιότητες U U = UU =, det U = (Steven Gottlieb) H ομάδα συμμετρίας U() αποτελείται από όλους τους μοναδιαίους (μιγαδικούς) πίνακες όπως για παράδειγμα την οικογένεια μετασχηματισμών φάσης U(a) = e ia και είναι μια μονοπαραμετρική αβελιανή ομάδα και συμβολίζεται με U() η οποία οδηγεί σε διατήρηση του ρεύματος και συνεπώς του φορτίου. Σημειώνουμε ότι Αβελιανή ομάδα είναι η ομάδα μου υποστηρίζει την αντιμεταθετότητα U(a )U(a 2 ) = U(a 2 )U(a ) ή αλλιώς δύο στοιχεία της ομάδας μετατίθενται [U(a ), U(a 2 )] = 0 Στο μιγαδικό επίπεδο παριστάνει τον μοναδιαίο κύκλο Στον ηλεκτρομαγνητισμό η U() περιγράφει την ηλεκτρομαγνητική αλληλεπίδραση με το φορέα αλληλεπίδρασης το φωτόνιο και κβαντικό αριθμό το φορτίο. Η Lagrangian που περιγράφει το ηλεκτρόνιο στην Κβαντική θεωρία πεδίου έχει δύο όρους τον όρο του φωτονίου και τον όρο του ηλεκτρονίου και περιγράφεται από την εξίσωση L = ψ (iγ μ μ m e )ψ. Η Λαγκρανσιανή. παραμένει αναλλοίωτη κάτω από τον μετασχηματισμό φάσης U() που περιγράφεται από τις εξισώσεις ψ ψ = e ia ψ, ψ ψ = ψ e ia.2 Οι εξισώσεςι.2 περιγράφουν ένα μετασχηματισμό ο οποίος είναι ίδιος για όλα τα σημεία του χωρόχρονου και γιαυτό λέγεται ολικός μετασχηματισμός (global) ο οποίος αλλάζει την φάση της κυματοσυνάρτησης κατά μια σταθερή ποσότητα η οποία είναι ανεξάρτητη της χωρο-χρονικής συντεταγμένης. (Aitchison, at all 203). 3

4 Κάτω από τον μετασχηματισμό.2 η Lagrangian L L που προκύπτει από την μετατόπιση φάσης είναι ίση με την αρχική L όπως αποδεικνύεται παρακάτω. L = ψ iγ μ μ ψ m e ψ = ψ e ia iγ μ μ (e ia ψ) ψ e ia m e e ia ψ = ψ e ia e ia iγ μ μ ψ ψ m e e ia e ia ψ = ψ (iγ μ μ m e )ψ = L Εάν στην σχέση.2 αναγάγουμε την σταθερή ποσότητα α της φάσης με τέτοιο τρόπο ώστε το άνυσμα της μετατόπισης να είναι διαφορετικό για κάθε σημείο του χωροχρόνου, αυτό πρακτικά θα συνεπάγεται ότι αντί για τη σταθερή ποσότητα α στην φάση να εισάγουμε την συνάρτηση α(x) και ο μετασχηματισμός να γίνει ψ ψ = e iqa(x) ψ, ψ ψ = ψ e iqa(x).4 Το πεδίο που δημιουργεί το a(x) στην θεωρία πεδίου λέγεται πεδίο ύλης και στην περίπτωση αυτή έχουμε τον λεγόμενο τοπικό μετασχηματισμό βαθμίδας και είναι μια πιο γενικευμένη περίπτωση της οικογένειας μετασχηματισμών U() με τοπική εξάρτηση του α από την χωρο-χρονική συντεταγμένη x = (t, x). Αυτός ο μετασχηματισμός όμως δεν αφήνει αναλλοίωτη την Langrangian. και ο λόγος είναι ότι διατηρείται η πυκνότητα πιθανότητας ψ ψ αλλά ταυτόχρονα ένα όρος ανεπιθύμητος δημιουργείται από την δράση της παραγώγου πάνω στην φάση μ (e iqa(x) ψ) = iq μ a(x)e iqa(x) ψ + e iqa(x) μ ψ με αποτέλεσμα να μην έχουμε αναλλοιότητα της Langrangian όπως αποδεικνύεται παρακάτω. L = ψ iγ μ μ ψ m e ψ = ψ e iqa(x) iγ μ μ (e iqa(x) ψ) ψ e iqa(x) m e e iqa(x) ψ = ψ e iqa(x) iγ μ (iq μ a(x)e iqa(x) ψ + e iq(x) μ ψ) ψ m e e iqa(x) e iqa(x) ψ = ψ e iqa(x) iγ μ iq ( μ a(x)) e iqa(x) ψ + ψ e iqa(x) iγ μ e iqa(x) μ ψ ψ m e ψ = ψ iγ μ μ ψ ψ m e ψ ψ γ μ q ( μ a(x)) ψ = L ψ γ μ q ( μ a(x)) ψ Παρατηρούμε ότι στην μετασχηματισμένη Λαγκραζιανή πυκνότητα παίρνουμε την παλιά Λανγκρασιανή και περισσεύει ένας όρος. Εάν θέλουμε να απαιτήσουμε αναλλοιότητα U() της Lagrangian. κάτω από τον μετασχηματισμό.4 θα πρέπει να γίνει σύζευξη ενός διανυσματικού πεδίου βαθμίδας Α μ (x, t) με το πεδίο ύλης α(x). Αυτό το πεδίο μπορεί να ερμηνευτεί ως το πεδίο των φωτονίων και έτσι επιτυγχάνεται η ηλεκτρομαγνητική αλληλεπίδραση όπως θα φανεί στην.9. Αυτή η σύζευξη πρακτικά επιτυγχάνεται αντικαθιστώντας στην Λαγκρασιανή το 4

5 συνηθισμένο διαφορικό τελεστή μ με τον συναλλοίωτο διαφορικό τελεστή D μ που ορίζεται ώς : (Aitchison, at all 203). D μ = μ + iqα μ.5 όπου q είναι μια σταθερά που καθορίζει την σύζευξη (θα μπορούσε να είναι το φορτίο του ηλεκτρονίου). Κάτω από τον μετασχηματισμό U() η συναλλοίωτη παράγωγος μετασχηματίζεται ως εξής D μ = μ + iqα μ.6 Με αυτό τον μετασχηματισμό απαιτούμε το βαθμωτό πεδίο να μετασχηματίζεται τοπικά ως εξής Α μ (x) Α μ (x) + q μa(x).7 ώστε τελικά να αντισταθμιστεί η τοπική διαφορά φάσης και η Λανγρανσιανή να παραμένει αμετάβλητη. Αντικαθιστώντας λοιπόν στην Lagrangian την μ με την συναλλοίωτη D μ έχουμε L = ψ (iγ μ D μ m e )ψ.8 Έτσι τώρα η Λαγκρανσιανή κάτω από τους τοπικούς μετασχηματισμούς όπως ο.4 γίνεται L = ψ (iγ μ D μ m e )ψ = ψ e iqa(x) (iγ μ μ + iγ μ iqα μ m e )e iqa(x) ψ = ψ e iqa(x) iγ μ μ (e iqa(x) ψ) + ψ e iqa(x) i 2 qγ μ Α μ e iqa(x) ψ ψ e iqa(x) m e e iqa(x) ψ = ψ e iqa(x) iγ μ μ (e iqa(x) ψ) + ψ e iqa(x) i 2 qγ μ (Α μ q μa(x)) e iqa(x) ψ ψ m e ψ = ψ e iqa(x) i 2 γ μ q μ a(x)e iqa(x) ψ + ψ e iqa(x) iγ μ e iqa(x) μ ψ + ψ e iqa(x) i 2 qγ μ Α μ e iqa(x) ψ ψ e iqa(x) i 2 qγ μ μ a(x)e iqa(x) ψ ψ m e ψ = ψ iγ μ μ ψ ψ qγ μ Α μ ψ ψ m e ψ = ψ (iγ μ μ m e )ψ ψ qγ μ Α μ ψ.9 Παρατηρούμε ότι με τον τοπικό μετασχηματισμό.6 στην Λαγκρανσιανή παίρνουμε την αρχική Λαγκρανσιανή του dirac. συν ένα επιπλέον όρο ο οποίος είναι ένα όρος αλληλεπίδρασης. Είναι στην πραγματικότητα η αλληλεπίδραση του φορτίου με το φωτόνιο αν το q παριστάνει το φορτίο και το Α μ περιγράφει το πεδίο του φωτονίου όπως περιγράφεται 5

6 στην κβαντική ηλετροδυναμική (QED). Επομένως το πεδίο βαθμίδας στην QED είναι το πεδίο του φωτονίου. (Aitchison, at all 203). Ο ομάδα συμμετρίας Special Unitary (SU) αποτελεί μια γενικότερη ομάδα συμμετριών που ονομάζονται ομάδες Lie. Η ειδική μοναδιαία ομάδα συμμετρίας SU(n) είναι το υποσύνολο της U(n) και αποτελείται από πίνακες n n με ορίζουσα ίση με την μονάδα. Για n = 2 έχουμε την ομάδα SU(2) η οποία στην περίπτωση του ολικού μετασχηματισμού και στο πυρηνικό επίπεδο των στοιχειωδών σωματιδίων θα περιγράφει την συμμετρία του Ισοτοπικού σπίν (Isospin) της ισχυρής αλληλεπίδρασης. Στην απλούστερη περίπτωση περιγράφει τις δύο καταστάσεις που έχουμε στον πυρήνα, την ψ p που περιγράφει το πρωτόνιο και την κατάσταση ψ n που περιγράφει το νετρόνιο. Αν θεωρήσουμε ότι το πρωτόνιο και το νετρόνιο έχουν την ίδια μάζα τότε θα έχουμε την λεγόμενη θεμελιώδη αναπαράσταση με την μορφή της κατάστασης διπλέτα (doublet) s = 2. (Παπαδόπουλος) ψ 2 ( ψ p ).0 ψ n όπου εφαρμόζουμε τους παρακάτω μετασχηματισμούς. ψ p ψ p = aψ p + βψ n. ψ n ψ n = γψ p + δψ n.2 Οι ιδιοτιμές της χαμιλτονιανής είναι η ενέργεια η οποία θεωρούμε ότι είναι ίδια και για τις δύο καταστάσεις Από το οποίο συμπεραίνουμε ότι Ηψ p = Εψ p.3 Ηψ n = Εψ n.4 Ηψ p = Η(aψ p + βψ n ) = αηψ p + βηψ n = E(aψ p + βψ n ) Ηψ p = Eψ p.5 Ηψ n = Η(γψ p + δψ n ) = γηψ p + δηψ n = E(γψ p + δψ n ) Ηψ n = Eψ n.6 6

7 Βλέπουμε λοιπόν ότι κάτω από τους μετασχηματισμούς. και.2 η χαμιλτονιανή παραμένει αναλλοίωτη. Οι μετασχηματισμένες καταστάσεις.5 και.6 έχουν την ίδια ενέργεια με τις αρχικές.3 και.4, άρα η συμμετρία που φαίνεται παραπάνω, αφήνει αναλλοίωτη την φυσική περιγραφή του προβλήματος. Ο Heisenberg εισήγαγε αυτή την περιγραφή του πρωτονίου και του νετρονίου σε μια περιγραφή που ονομάζεται νουκλεόνιο που απαρτίζεται από δύο καταστάσεις σε πλήρη αντιστοιχία με το ισοτοπικό σπιν που αντιστοιχεί σε ένα εσωτερικό βαθμό ελευθερίας όπου η πάνω και κάτω κατάσταση αντιστοιχεί με τις δύο καταστάσεις που έχουμε στον πυρήνα δηλαδή στο πρωτόνιο και το νετρόνιο. (Aitchison, at all 203). Οι παραπάνω μετασχηματισμοί περιγράφονται από ένα πίνακα 2 2 που εκπληρώνουν τις ιδιότητες U U = UU =, det U = Οι πίνακες που περιγράφουν αυτό που ονομάζεται θεμελιώδης αναπαράσταση της ομάδας είναι οι γνωστοί μοναδιαίοι πίνακες 2 2 Pauli του spin σ x = ( 0 0 ), σ y = ( 0 i i 0 ), σ z = ( 0 0 ) και συνδέονται με το γεννήτορα πίνακα Τ α της ομάδας Τ 2 i σ i 2.7 H σχέση μετάθεσης που ορίζει την ομάδα SU(2) είναι. (Rikard Enberg 204) [Τ 2 i, Τ 2 2 j ] = iε ijk Τ k.8 οπό όπου προκύπτει ότι η ομάδα SU (2) δεν είναι αβελιανή ομάδα. ένα στοιχείο V της ομάδας της ομάδας Lie θα είναι ένας μοναδιαίος πίνακας και θα ορίζεται ως εξής V = e ia σ 2.9 Όπου α = (α, α 2, α 3 ) είναι οι τρείς παράμετροι που αντιστοιχούν στον ολικό μετασχηματισμό και είναι σταθεροί για όλο τον χωρόχρονο και a σ 2 είναι η γενική έκφραση για ένα οποιοδήποτε πίνακα που έχει τα χαρακτηριστικά που τον κατατάσσουν στην ομάδα Lie. Έτσι σύμφωνα με τα παραπάνω ένας μετασχηματισμός κατ αντιστοιχία με τον μετασχηματισμό.2 που εφαρμόσαμε στον ηλεκτρομαγνητισμό θα είναι 7

8 ψ 2 ( ψ p ) ψ ψ 2 ψ p ( n ψ ) = eia σ 2 ( ψ p ) = e n ψ ia σ 2 ψ 2.20 n Σε αυτή την έκφραση είναι φανερό ότι έχουμε μια γενίκευση της έκφρασης.2 όπου έχουμε τρεις «γωνίες φάσης» που ορίζονται από το γινόμενο των πινάκων α σ, α 2 σ 2, α 3 σ 3 Στα ίδια συμπεράσματα καταλήγουμε αν εφαρμόσουμε την συμμετρία SU(2) και τον ολικό μετασχηματισμό για τα λεγόμενα κουάρκ γεύσης (flavor) όπου εκεί θα έχουμε τις δύο καταστάσεις με τα πάνω (up) και κάτω (down) κουάρκ. (Aitchison, at all 203). Στην περίπτωση της εφαρμογής της τοπικής θεωρίας βαθμίδος για την συμμετρία SU(2) τότε αυτή περιγράφει τις ασθενείς αλληλεπιδράσεις όπου έχουμε αλληλεπιδράσεις μεταξύ σωματιδίων ύλης τα λεπτόνια και των πεδίων αλληλεπίδρασης. Τα πεδία της ασθενούς αλληλεπίδρασης για την SU(2) οφείλονται σε τρείς γεννήτορες που προβλέπονται από την θεωρία (2 2 ) και είναι τα τρία είδη μποζονίων βαθμίδας τα W +, W, Z. Να σημειώσουμε ότι εάν μια θεωρία βαθμίδας περιγράφεται από την ομάδα SU(N), τότε στην ομάδα αυτή υπάρχουν N 2 μποζόνια βαθμίδας. Για παράδειγμα η ομάδα SU (3) είναι η ομάδα βαθμίδας της θεωρίας των ισχυρών αλληλεπιδράσεων, γνωστή και ως κβαντική χρωμοδυναμική QCD. Το Άμαζο πεδίο βαθμίδας αυτής της θεωρίας είναι γνωστό ως γκλουόνιο. Η ομάδα SU (3) έχει οκτώ γεννήτορες (σύμφωνα με τον παραπάνω τύπο), και διαπιστώθηκε ότι αυτό σημαίνει ότι υπάρχουν και οκτώ είδη γκλουονίων που προβλέπεται σωστά από τη θεωρία. (Gottlieb) Στην περίπτωση της γενίκευσης για την τοπική θεωρία βαθμίδας SU(2) οι παράμετροι α στην εξίσωση.9 που μέχρι τώρα τους είχαμε θεωρήσει σταθερούς θα πρέπει να έχουνε εξάρτηση από την χωροχρονική μεταβλητή x και να έχουμε α(x) έτσι θα έχουμε (Παπαδόπουλος CD) ψ 2 = e iga(x) σ 2 ψ 2.2 Είδαμε ότι η Λανγκραζιανή μετασχηματίζεται κάτω από την ομάδα συμμετρίας και μπορούμε να κατασκευάσουμε την συναλλοίωτη παράγωγο με τον ίδιο τρόπο όπως στην.5 D μ = μ + iqα μ όμως τώρα το διανυσματικό πεδίο που εδώ το ονομάζουμε W μ προκύπτει από την άλγεβρα Lie και θα είναι τρία διανυσματικά πεδία W μ (x) = (W μ, W 2 μ, W 3 μ ) που αντιστοιχούν στα τρία μποζόνια W +, W, Z 8

9 Η g είναι η σταθερά ζεύξης που στην αντίστοιχη ηλεκτρομαγνητική αλληλεπίδραση ήταν το φορτίο του σωματιδίου. Στην περίπτωση της ασθενούς αλληλεπίδρασης οι φορείς αλληλεπίδρασης αντιστοιχούν σε φορτισμένα σωματίδια ενώ η συναλλοίωτη παράγωγος μας δείχνει την αλληλεπίδραση των φερμιονίων με τα μποζόνια και θα ορίζεται ως (Aitchison, at all 203). D μ = μ + igσ W μ (x) 2.22 Κάτω από αυτούς τους μετασχηματισμούς η Langrangian παραμένει αμετάβλητη, όμως στην κβαντική θεωρία το πεδίο W μ συνδέεται με άμαζα μποζόνια. Από την μικρή ακτίνα δράσης των ασθενών αλληλεπιδράσεων συμπεραίνουμε ότι τα μποζόνια που είναι υπεύθυνα για την αλληλεπίδραση θα πρέπει να έχουν μάζα πράγμα που δεν επιτρέπεται. Εάν απαιτήσουμε μάζα για αυτά τα μποζόνια θα έχουμε στην Λαγκρανζιανή τον όρο 2 m Α 2 W μ W μ ο οποίος όπως θα δούμε και στην άσκηση 2 δεν είναι αναλλοίωτος κάτω από τοπικούς μετασχηματισμούς βαθμίδας. Έτσι για να έχουμε την αναλλοίωτη βαθμίδα θα έχουμε την απαίτηση να έχουμε άμαζα μποζόνια. Να σημειώσουμε ότι μποζόνια βαθμίδας μπορούν να πάρουν μάζα μέσω του μηχανισμού αυθόρμητου σπασίματος της συμμετρίας όπως τα μποζόνια W ±, Ζ 0 όπου το πεδίο Higgs σπάει την συμμετρία SU(2) της ασθενούς αλληλεπίδρασης για να δημιουργήσει μάζα. 9

10 Θέμα 2 Θεωρείστε υποθετικό μοντέλο QED με φωτόνιο μάζας. Το μοντέλο περιγράφεται από τη Λαγκρανζιανή L = ψ (iγ μ D μ m e )ψ 4 F μνf μν + 2 m Α 2 A μ Α μ. Δείξτε ότι ο όρος m 2 Α 2 A μ Α μ της μάζας φωτονίου παραβιάζει την συμμετρία βαθμίδας U(), η οποία αλλοιώς είναι συμφυής στο μοντέλο QED με άμαζο φωτόνιο. 2. Αναλύστε το μηχανισμό Higgs σε αυτό το μοντέλο, που δημιουργεί τη μάζα του φωτονίου. 3. Δείξτε ότι ο όρος Yukawa (interaction term) L = G Υ Φ ψ ψ μεταβάλλει τη μάζα του ηλεκτρονίου στο μοντέλο και εκφράστε τη μάζα του ηλεκτρονίου με όρους bare mass m e, Yukawa coupling G Υ και vacuum expectation του πεδίου Higgs υ Λύση. Η ελεύθερη Λαγκρασιανή πυκνότητα L ηλεκτρονίων και φωτονίων είναι (Griffiths, 204). Όπου ο όρος του ηλεκτρονίου είναι και L = L e + L γ 2. L e = ψ (iγ μ D μ m e )ψ 2.2 L γ = 4 F μνf μν 2.3 Με F μν ορίζουμε τον αντισυμμετρικό τανυστή πεδίου δεύτερης τάξης ο επιπλέον όρος που παρουσιάζεται στην Λαγκρασιανή που μας δίνεται 2 m Α 2 A μ Α μ 2.4 οφείλεται στην υπόθεση της μάζας του φωτονίου με Α μ = (V, A) είναι το ανταλλοίωτο τετραδυναμικό. 0

11 Για να είναι η Λαγκρασιανή αμετάβλητη κάτω από ένα σύνολο τοπικών μετασχηματισμών βαθμίδας θα πρέπει μετά την εφαρμογή των μετασχηματισμών να ξαναπάρουμε την αρχική Λαγκρασιανή αμετάβλητη. Σύμφωνα με την άσκηση θα εφαρμόσουμε τους μετασχηματισμούς κάτω από την τοπική συμμετρία βαθμίδας U(). Η συναλοίωτη παράγωγος D μ ορίζεται ώς (Aitchison, at all 203) D μ = (D 0, D) = ( t + iqv, iqa) 2.5 Οι τοπικοί μετασχηματισμοί για τις διάφορες παραμέτρους της Λαγκρασιανής είναι : Για την κυματοσυνάρτηση ψ μια νέα κυματοσυνάρτηση με τοπικό μετασηματισμό φάσης ψ ψ = e iqa(x) ψ 2.6 Για το τετραδυναμικό ο μετασχηματισμός βαθμίδας είναι V V = V + t a(x), Α Α = Α a(x) 2.7 Η παραπάνω σχέση σε συμβολισμό με δείκτες γράφεται για το συναλλοίωτο τετραδυναμικό Α μ Α μ = Α μ μ a(x) 2.8 όπου μ = ( t, x μ ) είναι ο συναλλοίωτος τελεστής τεραδιάστατης κλίσης και σημειώνεται ότι η παραγώγιση γίνεται ως προς τις συνιστώσες του ανταλλοίωτου τετραδυανύσματος x μ και ότι το κατέβασμα του δείκτη σε συναλλοίωτο x μ αλλάζει πρόσημο της μηδενικής συνιστώσας x 0 = x 0, x 23 = x 23 Σημειώνουμε ότι ένα ανταλλοίωτο (Α μ ) τετραδιάνυσμα προκύπτει από ένα συναλλοίωτο τετραδιάνυσμα (Α μ ) αν αλλάξουμε το πρόσημο της μηδενικής συνιστώσας (Griffiths, 207). Για τον συζυγή bi-spinor ψ = ψ γ 0 ο μετασχηματισμός βαθμίδας θα είναι όπου γ 0 είναι ο πίνακας ψ ψ = ψ e iqa(x) 2.9 γ 0 = ( 0 σ ), γ = (0 0 σ 0 ) 2.0 Για την συναλοίωτη παράγωγος D μ ο μετασχηματισμός βαθμίδας είναι σύμφωνα με την 2.5 D μ = μ + iqα μ 2.

12 Σύμφωνα με τα παραπάνω θα εξετάσουμε τον μετασχηματισμό βαθμίδας της Λαγκρασιανής ξεκινώντας από τον πρώτο όρο που αντιπροσωπεύει την κινητική ενέργεια των φερμιονίων ψ iγ μ D μ ψ 2.2 Ο όρος αυτό μετασχηματίζεται σύμφωνα με την σχέση 2.6 και 2.9 και 2. ως εξής ψ iγ μ D μ ψ = ψ e iqa(x) iγ μ ( μ + iqα μ )e iqa(x) ψ = ψ e iqa(x) iγ μ μ e iqa(x) ψ + ψ e iqa(x) i 2 qγ μ Α μ e iqa(x) ψ = ψ e iqa(x) iγ μ μ e iqa(x) ψ ψ e iqa(x) γ μ q (Α μ μ a(x)) e iqa(x) ψ = ψ e iqa(x) iγ μ (iq μ a(x)e iqa(x) ψ + e iqa(x) μ ψ) ψ e iqa(x) qγ μ Α μ e iqa(x) ψ + ψ e iqa(x) γ μ q μ a(x)e iqa(x) ψ = ψ e iqa(x) γ μ q μ a(x)e iqa(x) ψ + ψ e iqa(x) e iqa(x) iγ μ μ ψ ψ e iqa(x) e iqa(x) qγ μ Α μ ψ + ψ e iqa(x) γ μ q μ a(x)e iqa(x) ψ = ψ iγ μ μ ψ ψ qγ μ Α μ ψ = ψ iγ μ ( μ i qα μ) ψ = ψ iγ μ ( μ i i 2 qα μ) ψ = ψ iγ μ ( μ + iqα μ )ψ ψ iγ μ D μ ψ = ψ iγ μ D μ ψ 2.3 Παρατηρούμε ότι μετά την εφαρμογή των μετασχηματισμών ξαναπάρουμε την αρχική ποσότητα αμετάβλητη επομένως η ποσότητα 2.2 είναι αμετάβλητη σε μετασχηματισμούς βαθμίδας. Προχωρούμε στην εξέταση του δεύτερου όρου πως συμπεριφέρεται σε μετασχηματισμό βαθμίδας, ο όρος αυτός αντιπροσωπεύει την μάζα του ηλεκτρονίου ψ m e ψ 2.4 ψ m e ψ = ψ e iqa(x) m e e iqa(x) ψ = ψ m e e iqa(x) e iqa(x) ψ ψ m e ψ = ψ m e ψ 2.5 Παρατηρούμε επίσης ότι μετά την εφαρμογή των μετασχηματισμών ξαναπάρουμε την αρχική ποσότητα αμετάβλητη επομένως η ποσότητα 2.4 είναι αμετάβλητη σε μετασχηματισμούς βαθμίδας. 2

13 Προχωρούμε στην εξέταση του τρίτου όρου που αντιπροσωπεύει την λανγρασιανή του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου 4 F μνf μν 2.6 Ο F μν αντιπροσωπεύει τον αντισυμμετρικό τανυστή πεδίου δεύτερης τάξης και σε πλήρη διάταξη ισούται με (Griffiths, 207). 0 Ε x c Ε y c Ε z c F μν Ε x c 0 B z B y = 2.7 Ε y c B z 0 B x { Ε z c B y B x 0 } Ο τανυστής πεδίου με την βοήθεια του τετραδιανυσματικού δυναμικού γράφεται F μν = Αν x μ Αμ x ν 2.8 στους τανυστές όταν κατεβάζουμε ένα δείκτη από ανταλλοίωτο σε συναλλοίωτο αλλάζουμε το πρόσημο αν ο δείκτης είναι μηδέν και επομένως επειδή F 00 = 0 συμπεραίνουμε ότι συναλοίωτος αντισυμετρικός τανυστής πεδίου F μν δεν διαφέρει από τον ανταλοίωτο. Η σχέση 2.8 σε συμβολισμό με δείκτες γράφεται ως εξής F μν = F μν = μ Α ν ν Α μ 2.9 Ο μετασχηματισμός βαθμίδας του τανυστή πεδίου σύμφωνα με την 2.9 θα είναι F μν F μν = ( μ Α ν ν Α μ )( μ Α ν ν Α μ ).8 F μν F μν = [ μ (Α ν ν a(x)) ν (Α μ μ a(x))] [ μ (Α ν ν a(x)) ν (Α μ μ a(x))] = [ μ Α ν ν Α μ ν a(x) + μ a(x)][ μ Α ν ν Α μ ν a(x) + μ a(x)] = ( μ Α ν ν Α μ )( μ Α ν ν Α μ ) F μν F μν = F μν F μν 2.20 Παρατηρούμε ότι μετά την εφαρμογή των μετασχηματισμών για τον τανυστή πεδίου ξαναπάρουμε την αρχική ποσότητα αμετάβλητη επομένως η ποσότητα αμετάβλητη σε μετασχηματισμούς βαθμίδας. F μν F μν είναι Τέλος ο όρος 2.4 που εμφανίζεται στην Lagrangian είναι ο όρος που δηλώνει παρουσία μάζας m A για το Δυναμικό Α μ που γενά το Η/Μ πεδίο και σε μετασχηματισμό βαθμίδας σύμφωνα με την 2.8 γίνεται 3

14 2 m Α 2 A μ Α μ = Α μ = 2 m Α 2 (Α μ μ a(x)) (Α μ μ a(x)) = 2 m Α 2 Α μ Α μ Α μ μ a(x) μ a(x)α μ + μ a(x) μ a(x) 2.2 παρατηρούμε ότι ξαναπαίρνουμε την αρχική ποσότητα και επιπλέον όρους. Θα πρέπει να σημειώσουμε ότι τα ανταλλοίωτα και τα συναλλοίωτα τετραδυανύσματα δεν είναι ίδια και διαφέρουν στο πρόσημο του μηδενικού δείκτη Α μ = (V c, A x, A y, A z ) 2.22 Α μ = ( V c, A x, A y, A z ) 2.23 και έτσι οι επιπλέον όροι στην 2.2 δεν αλληλοαναιρούνται και επομένως και η ποσότητα 2.4 δεν είναι αμετάβλητη κάτω από μετασχηματισμό βαθμίδας. Παρατηρούμε λοιπόν ότι παρουσία μάζας για το ηλετρομαγνητικό δυναμικό Α μ δεν αφήνει την Lagrangian αμετάβλητη σε τοπικούς μετασχηματισμούς και συμπερασματικά το φωτόνιο δεν μπορεί να έχει μάζα. 2. Είδαμε στα προηγούμενα ότι στην συμμετρία U() αλλά και στην συμμετρία U(2) τα πεδία που εμπλέκονται στην αλληλεπίδραση είναι άμαζα και ότι η προσθήκη όρων με μάζα στην Lagrangian του προβλήματος παραβιάζουν την συμμετρία βαθμίδας και προσθέτουν όρους που δεν είναι αναλλοίωτοι κάτω από μετασχηματισμούς βαθμίδας. Άρα μπορούμε να πούμε ότι μια θεωρία βαθμίδας με μάζα δεν είναι συνεπής όσον αφορά τους μετασχηματισμούς βαθμίδας. Τίθεται λοιπόν το ερώτημα πώς μπορούν τα σωματίδια που περιγράφονται από το πεδίο αλληλεπίδρασης να αποκτήσουν μάζα. Η απάντηση σε αυτό το ερώτημα δίνεται από την βασική ιδέα που αποτελεί και κρίσιμο κομμάτι στο καθιερωμένο πρότυπο και περιγράφεται από την διαδικασία του αυθόρμητου σπασίματος της συμμετρίας. Ο λόγος που εισάγουμε την διαδικασία της αυθόρμητης παραβίασης της συμμετρίας είναι διότι θέλουμε να περιγράψουμε πεδία βαθμίδας τα οποία προκύπτουν από μποζόνια με μάζα και είναι ο μόνος τρόπος για να έχουμε μια συνεπή θεωρία. (Παπαδόπουλος CD) Η αυθόρμητη παραβίαση της συμμετρίας είναι ένα γενικότερο φαινόμενο με εφαρμογές στην υπεραγωγιμότητά και θερμομαγνητισμό αλλά στο επίπεδο της φυσικής των στοιχειωδών σωματιδίων έχουμε το επίπεδο της ελάχιστης ενέργειας και το κβαντικό κενό και την 4

15 ανταπόκριση του κενού στο επίπεδο της συμμετρίας που υπάρχει στην Lagrangian όπου το κβαντικό κενό δεν υπακούει σε αυτή την συμμετρία. Στο επίπεδο της κβαντικής θεωρίας πεδίου θεωρούμε ένα βαθμωτό μιγαδικό πεδίο φ που αποτελείται από δύο πραγματικές συνιστώσες φ, φ 2 (Aitchison, at All 203) φ = 2 (φ iφ 2), φ = Η Λαγκραζιανή για αυτό το πεδίο περιγράφεται από την 2 (φ + iφ 2) 2.24 L G = ( m φ )( m φ ) V (φ ) 2.25 Το δυναμικό V (φ ) αρχικά θα υποθέσουμε ότι είναι στην μορφή V (φ ) = 4 λ( φ φ ) 2 + μ 2 φ φ 2.26 όπου λ, μ 2 > 0 όπου ο δεύτερος όρος στο δυναμικό είναι ένα όρος μάζας. Η Lagrangian κάτω από τον ολικό μετασχηματισμό U() παραμένει αμετάβλητη φ φ = e ia φ 2.27 Ξέρουμε ότι η δυναμική του συστήματος εξαρτάται την κατάσταση ελάχιστης ενέργειας του πεδίου φ που στην περίπτωσή μας αυτή είναι η ενέργεια του κενού. Η χαμιλτονιανή του προβλήματος είναι Ĥ G = L G = φ φ + φ φ + V (φ ) 2.28 και το ελάχιστό της είναι για φ = φ 0 = σταθερά από το οποίο έχουμε φ = 0 και φ = 0 οπότε μένει μόνο να αναζητήσουμε το ελάχιστο του δυναμικού V. Το ελάχιστο του δυναμικού στην μορφή της 2.26 με τα λ και μ 2 θετικά είναι για φ = 0 που περιγράφει το κενό δηλαδή την κατάσταση ελάχιστης ενέργειας και είναι ένα μοναδικό σημείο στο χώρο όπως φαίνεται και από το παραβολικό διάγραμμα του δυναμικού (Σχήμα 2.) το οποίο είναι συμμετρικό κάτω από U() μετασχηματισμούς φάσης. Στην κβαντική θεωρία περιμένουμε να έχουμε μικρές ταλαντώσεις του πεδίου γύρω από μηδέν. (Στο σημείο μηδέν του πεδίου η μάζα των βαθμωτών μποζονίων δημιουργείται και εξαϋλώνεται από τους οι τελεστές δημιουργίας και καταστροφής του πεδίου φ). (Παπαδόπουλος CD) 5

16 Σχήμα 2. Παραβολικό δυναμικό της εξίσωσης 2.26 με ένα μοναδικό ελάχιστο στο σημείο φ = φ 2 = 0 Η ελεύθερη lagrangian θα έχει τον κινητικό όρο του δυναμικού μηδέν (λ = 0) και θα είναι L G = m, φ m φ μ 2 φ φ 2.29 Για να δούμε μια αυθόρμητη παραβίαση της συμμετρίας θα πρέπει να θεωρήσουμε ένα δυναμικό της μορφής V SB = 4 λ( φ φ ) 2 μ 2 φ φ 2.30 στο οποίο το κλασικό ελάχιστο δεν είναι για φ = 0 και η διαφορά με το προηγούμενο είναι ότι ο όρος με την μάζα έχει αρνητικό πρόσημο μ 2 = μ 2. Το δυναμικό αυτό μπορεί να επιτευχθεί αλλάζοντας το πρόσημο του μ 2 έτσι ώστε να έχουμε το λεγόμενο δυναμικό της «σπασμένης συμμετρίας». Σε αυτή την περίπτωση όταν έχουμε φ = φ 2 = 0 που ήταν και το ελάχιστο σημείο του προηγούμενου δυναμικού τώρα έχουμε ένα στατικό σημείο διάφορο του μηδενός το οποίο είναι ασταθές και τοπικό μέγιστο, ενώ υπάρχει μια «κοιλάδα» από μηδενικά ελάχιστα η οποία είναι μετατοπισμένη σε κάποιο άλλο σημείο του πεδιακού χώρου φάσεων όπως φαίνεται στο διάγραμμα του Σχήματος

17 Σχήμα 2.2 Το δυναμικό της εξίσωσης 2.30 με ένα τοπικό μέγιστο στο σημείο φ = φ 2 = 0 και ελάχιστα τα οποία σχηματίζουν ένα κύκλο. Το σωματίδιο το οποίο παροδικά θα βρεθεί στο σημείο συμμετρίας 0,0 θα κυλίσει σε ένα από τα ελάχιστα αυθόρμητα σπάζοντας την συμμετρία. Το ελάχιστο από την διερεύνηση της 2.30 συμβαίνει όταν 2 V φ 2 = 0 = μ2 + 2 λφ φ φ φ = 2μ2 λ 2.3 ή όταν φ 2 + φ 2 2 = 4μ2 λ = υ Που όπως βλέπουμε από την 2.32 ορίζεται από ένα κύκλο ακτίνας υ επομένως το ελάχιστο θα είναι στην τιμή υ που είναι η λεγόμενη αναμενόμενη τιμή του κενού (vacum expectation value) και δίνεται από την σχέση 2.32 (Aitchison, at all 203) υ = 2μ λ 2.33 επίσης από την 2.32 και την 2.24 έχουμε ότι η μέση τιμή του πεδίου είναι φ = υ παρατηρούμε λοιπόν ότι υπάρχουν πολλαπλές καταστάσεις με την ίδια ενέργεια κενού που δεν είναι πιά συμμετρικές κάτω από μετασχηματισμούς U() διότι τώρα έχουμε ένα σύστημα που όταν πέσει σε μια από τις άπειρες καταστάσεις κενού δεν έχει την ίδια 7

18 αζιμουθιακή συμμετρία. Είναι πιο χρήσιμο να παραμετροποιήσουμε το πεδίο φ σε σφαιρικο-πολικές συντεταγμένες με την ακτινική ρ(x) και την φάση θ(x) φ(x) = ρ(x) 2 eiθ(x) υ 2.35 Και εδώ λόγω κβαντικής θεωρίας πεδίου έχουμε ταλαντώσεις γύρω από την βασική κατάσταση που είναι η κατάσταση ελάχιστης ενέργειας, έτσι για να έχουμε μια κβαντική αναπαράσταση της θεωρίας με το δυναμικό 2.30 θα πρέπει να αναπτύξουμε το πεδίο φ γύρω από ένα σημείο ελαχίστου που όπως είπαμε θα είναι κάπου πάνω στον κύκλο των ελαχίστων παρά στο ασταθές σημείο φ = 0. Στο σημείο αυτό το ελάχιστου το πεδίο φ δεν είναι μηδενικό και η μάζα των σωματιδίων δεν θα εξαϋλώνεται από τους τελεστές του πεδίου φ. Επιλέγοντας ένα βολικό σημείο ελαχίστου για να κάνουμε αυτή την ανάπτυξη ρ = υ και θ = 0 θα πάρουμε για την 2.35 εκτός από τον σταθερό όρο υ και ένα μεταβαλλόμενο πεδίο h(x) που είναι μικρό και εκφράζει τις διαταραχές γύρω από το σημείο ελάχιστης ενέργειας. Σύμφωνα με τα παραπάνω θα έχουμε για την φ(x) ένα πεδίο της μορφής. φ(x) = iθ(x) (υ + h(x))e υ Σχήμα 2.3 οι ταλαντώσεις των μποζονίων κάτω από το δυναμικό της εξίσωσης 2.30 όπου σημειώνεται με βέλος η ακτινική ταλάντωση που αντιστοιχεί στο ακτινικό μέρος ρ και οφείλεται στο λεγόμενο μποζόνιο Ηiggs δεξιά, ενώ αριστερά φαίνεται η ταλάντωση κατά την γωνιακή κατεύθυνση θ και αντιστοιχεί στο λεγόμενο μποζόνιο Goldstone. 8

19 Υποθέτοντας ότι η ακτινική ταλάντωση κατά μήκος του ρ θα αντιστοιχεί σε ένα συμβατικό πεδίο με μάζα, όπως ταλαντώνει ένα σωματίδιο με μάζα γύρω από ένα ελάχιστο δυναμικού όπου η μάζα είναι απαραίτητη για να υπάρχει δύναμη επαναφοράς, ενώ η γωνιακή ταλάντωση κατά το θ η οποία θα μπορεί να διατρέχει όλες τις εκφυλισμένες καταστάσεις του κενού δεν έχει ανάγκη από δύναμη επαναφοράς αφού ταλαντώνει σε ισοδύναμες ενέργειες και επομένως δεν μπορεί να αντιστοιχεί σε ένα πεδίο με μάζα. Τα δύο αυτά πεδία και οι ταλαντώσεις τους στο δυναμικό του μεξικάνικου καπέλου όπως λέγεται από το σχήμα του δυναμικού, φαίνονται στο Σχήμα 2.3 όπου σημειώνεται με βέλος η ακτινική ταλάντωση που αντιστοιχεί στο ακτινικό μέρος ρ και οφείλεται στο λεγόμενο μποζόνιο Ηiggs δεξιά, ενώ αριστερά φαίνεται η ταλάντωση κατά την γωνιακή κατεύθυνση θ και αντιστοιχεί στο λεγόμενο μποζόνιο Goldstone. (Vulpen, at all 203) Βάζοντας το παραπάνω πεδίο 2.36 στην Lagrangian με το δυναμικό της 2.30 θα έχουμε L G = 2 mh μ h μ 2 h mθ μ θ + μ4 λ όπου οι τελείες αντιπροσωπεύουν όρους τρίτης και τέταρτης τάξης ως προς h και θ. Παρατηρούμε λοιπόν ότι έχουμε ένα κανονικό όρο μάζας για το h πεδίο (τετραγωνικός δεύτερος όρος ) ενώ το θ πεδίο δεν έχει μάζα (τρίτος όρος). Το άμαζο πεδίο όπως είπαμε οφείλεται στο μποζόνιο Goldstone, που εμφανίζεται πάντα σε αυθόρμητο σπάσιμο της καθολικής συμμετρίας σύμφωνα με το αντίστοιχο θεώρημα. Η εμφάνιση αυτού του άμαζου σωματιδίου οφείλεται σε μια διαταραχή προς αυτή την γωνιακή κατεύθυνση και δεν αντιμετωπίζει καμία αντίσταση αφού όπως εξηγήσαμε η ενέργεια στην παρακείμενη κατάσταση είναι η ίδια λόγω της φύσης του δυναμικού. Αυτό Το πεδίο είναι συνεπώς άμαζο. (Vulpen, at all 203) Έτσι βλέπουμε ότι με την αυθόρμητη παραβίαση της συμμετρίας εμφανίζονται δύο καινούριοι βαθμοί ελευθερίας το h και το θ που αντικαθιστούν τα φ και φ 2 αλλά στο ένα από τα δύο πεδία στο h εμφανίζεται μάζα. Η αναμενόμενη τιμή γύρω από το κενό που ορίζουμε να καταστρέφεται από τους αντίστοιχους πεδιακούς τελεστές h και θ θα εχει την τιμή της 2.34 και θα έχουμε την αυθόρμητη παραβίαση της συμμετρίας να συνδέεται με την ύπαρξη μη μηδενικών αναμενόμενων τιμών κενού για το πεδίο μας όπως φαίνεται στο Σχήμα

20 Σχήμα 2.4 Η αυθόρμητη παραβίαση της συμμετρίας από ένα σημείο υψηλής ενέργειας όπου το μποζόνιο εμφανίζει συμμετρία και το πεδίο είναι μηδενικό, στην τιμή όπου το πεδίο έχει την τιμή υ και το δυναμικό την ελάχιστη ενέργεια του κενού, η θέση αυτή είναι εμφανές ότι δεν είναι συμμετρική ως προς το δυναμικό στην θέση αυτή το μποζόνιο εμφανίζει μάζα. Μέχρι τώρα έχουμε αναλύσει το αυθόρμητο σπάσιμο της συμμετρίας για καθολικές συμμετρίες U(). Στην συνέχεια θα πάμε στο ηλεκτρομαγνητικό πεδίο να δούμε πώς μπορούμε να γράψουμε μια εξίσωση με ένα πεδίο με μάζα κάτω από τοπική συμμετρία βαθμίδας U() όπως είναι και η Λαγκρασιανή που δίνεται στην ερώτηση. Το μποζόνιο βαθμίδας σε αυτή την περίπτωση που αποκτά μάζα μέσω του μηχανισμού αυτόματου σπασίματος της συμμετρίας είναι το φωτόνιο. Στην φύση το φωτόνιο είναι άμαζο αφού ο ηλεκτρομαγνητισμός είναι ένα πεδίο μακριάς εμβέλειας και σε αυτή την περίπτωση η συμμετρία U() δεν είναι σπασμένη. Μια κατάσταση όπου το φωτόνιο έχει μάζα είναι στην περίπτωση των υπεραγωγών όπου η συμμετρία U() σπάει αυθόρμητα. Σε αυτή την περίπτωση έχουμε τον μηχανισμό Higgs που προτάθηκε από το Peter Higgs το 964 για να εξηγήσει πώς θα μπορούσε να προκύψει μάζα στις τοπικές θεωρίες βαθμίδος όπου τα μποζόνια της βαθμίδας αποκτούν μη μηδενικές μάζες στη διαδικασία αυθόρμητου σπασίματος συμμετρίας. (Aitchison, at All 203). Για να κάνουμε τοπικά αναλλοίωτη την Λαγκρασιανή 2.25 χρειάζεται να εφαρμόσομε τους μετασχηματισμούς που περιγράψαμε όπου αντικαθίσταται ο συνηθισμένος διαφορικός τελεστής μ με τον συναλλοίωτο διαφορικό τελεστή D μ που ορίζεται από την.5.στην συνέχεια θα πρέπει να προσθέσουμε την Λανγρασιανή 2.6 που αντιπροσωπεύει το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο καθώς επίσης και το δυναμικό 2.30 οπότε θα έχουμε 20

21 L Η = ( μ + iqα μ ) φ ( μ + iqα μ )φ 4 F μνf μν 4 λ( φ φ ) 2 μ 2 φ φ 2.38 Η 2.38 είναι αναλλοίωτη όταν απαιτούμε το βαθμωτό πεδίο Α μ να μετασχηματίζεται τοπικά σύμφωνα με την.7 και το πεδίο μας φ κάτω από τοπικούς μετασχηματισμούς βαθμίδας όπως έχουμε αποδείξει στην ερώτηση. φ φ = e iqa(x) φ 2.39 Όμως τώρα στον μηχανισμό Higgs to φ(x) είναι το πεδίο Higgs και το δυναμικό έχει την μορφή του μεξικάνικου καπέλου οπότε θα πρέπει όπως και στην καθολική περίπτωση να κάνουμε ανάπτυξη για μικρές διαταραχές γύρω από την βασική κατάσταση σύμφωνα με την 2.36 Σύμφωνα με τα παραπάνω θα κάνουμε εφαρμογή στην Λανγρασιανή 2.38 παραλείποντας τους αριθμητικούς συντελεστές και για πεδίο φ(x) το οποίο θα είναι φ(x) = (υ + h)e iθ(x) L Η = ( μ + iqα μ ) φ ( μ + iqα μ )φ F μν F μν λ( φ φ ) 2 μ 2 φ φ = ( μ + iqα μ )(υ + h)e iθ(x) ( μ + iqα μ )(υ + h)e iθ(x) F μν F μν λ ((υ + h)e iθ(x) (υ + h)e iθ(x) ) 2 μ 2 (υ + h)e iθ(x) (υ + h)e iθ(x) = μ h μ h + (h + υ) 2 μ θ μ θ + q 2 (h + υ) 2 Α 2 μ 2q(h + υ) 2 μ θα μ F μν F μν λ(υ + h) 4 μ 2 (υ + h) 2 = μ h μ h + (h + υ) 2 μ θ μ θ + q 2 (h + υ) 2 Α 2 μ 2q(h + υ) 2 μ θα μ F μν F μν 4λυ 2 h 2 λh 4 4λh 3 υ + λυ 4 L Η = μ h μ h + u 2 μ θ μ θ + q 2 υ 2 Α 2 μ 2qυ 2 μ θα μ F μν F μν 4λυ 2 h 2 + όροι κυβικοί και τέταρτης τάξης 2.4 Στην Λανγρασιανή 2.4 οι τεραγωνικοί όροι είναι ενδιαφέροντες και έτσι ο όρος q 2 υ 2 2 Α μ δείχνει ότι το πεδίο βαθμίδας Α μ απέκτησε μάζα εξαιτίας της αληλεπίδρασης με το πεδίο Higgs φ επίσης ένα από τα μεταβαλλόμενα πεδία το h(x) είναι πεδίο μάζας εξαιτίας του όρου 4λυ 2 h 2 το άλλο πεδίο θ του Higgs το γωνιακό φαίνεται να είναι χωρίς μάζα της μορφής Goldstone όπως στην περίπτωση global. (Vulpen, at all 203) 2

22 Το θ στην ουσία μας προσφέρει την ελευθερία να επιλέξουμε μια από τις πολλές γωνίες του δυναμικού και θα μπορούσαμε για παράδειγμα να επιλέξουμε μια βαθμίδα σε μια περίπτωση που ονομάζεται «μοναδική βαθμίδα» όπου μπορούμε να έχουμε το θ(x) = 0 και έτσι το πεδίο φ από την 2.36 θα είναι το φ(x) = (υ + h) Σε αυτή την περίπτωση το πεδίο φ δεν έχει πιά την δυνατότητα να προσαρμόζεται κάτω από μετασχηματισμούς βαθμίδας και να διατηρεί αναλλοίωτη την Lagrangian η οποία πιά δεν είναι συμμετρική και θα είναι L Η = μ h μ h + q 2 υ 2 Α 2 μ F μν F μν 4λυ 2 h 2 + όροι κυβικοί και τέταρτης τάξης 2.43 Σε αυτή την Lagrangian παρατηρούμε ότι έχουμε ένα πεδίο βαθμίδας το Α μ με μάζα m Α = qυ Επίσης ότι έχουμε το μεταβαλλόμενο πεδίο h Higgs να είναι πεδίο μάζας m h = 2 λυ Τέλος δεν υπάρχουν σωματίδια χωρίς μάζα αφού το πεδίο θ έχει εξαφανιστεί από την Lagrangian. Συνοψίζοντας μπορούμε να πούμε ότι έχοντας μια αυθόρμητη παραβίαση της συμμετρίας που εκφράζεται με το γεγονός ότι το πεδίο φ αποκτά vacuum expectation value μη μηδενική ένας από τους βαθμούς ελευθερίας θ που είναι το άμαζο Goldstone μποζόνιο συνδυάζεται με το αντίστοιχο άμαζο ηλεκτρομαγνητικό πεδίο Α και δημιουργεί ένα πεδίο που με μάζα που είναι ανάλογη της αναμενόμενης τιμής του κενού υ του πεδίου βαθμίδας Higgs φ. 3. Στη σωματιδιακή φυσική η αληλεπίδραση Yukawa συμβαίνει ανάμεσα σε ένα βαθμωτό πεδίο φ και το πεδίο dirac ψ και περιγράφεται από τη σχέση (Peskin, at All, 206). V = Gψ φ ψ 2.44 Χρησιμοποιείται στο καθιερωμένο πρότυπο για να περιγράψει την αλληλεπίδραση του πεδίου Higgs με το πεδίο των λεπτονίων τα οποία μέσω του μηχανισμού αυθόρμητου σπασίματος της συμμετρίας αποκτούν μάζα ανάλογη του vacuum expectation value υ του πεδίου Higgs. Σε αυτή την περίπτωση λέμε ότι το ηλεκτρόνιο απέκτησε επιπλέον μάζα yukawa και η μάζα του θα είναι m = m 0 + δm e

23 όπου m 0 είναι η λεγόμενη «Bare Mass» και δm e είναι η αύξηση της μάζας του ηλεκτρονίου λόγω της αλληλεπίδρασης Yukawa. Στην Λαγκραζιανή ο όρος Yukawa από την 2.44 εκφράζεται από την σχέση L Υ = G Υ ψ φ ψ 2.46 Στην αλληλεπίδραση υπεισέρχεται ο συντελεστής αλληλεπίδρασης (Yukawa coupling ) G Υ Σύμφωνα με την ανάλυση στο υποερώτημα 2 το μέτρο του πεδίου φ θα είναι σύμφωνα με την 2.36 φ 2 = iθ(x) (υ + h)e υ 2 2 (υ + h)eiθ(x) υ φ = (υ + h) αντικαθιστώντας το πεδίο φ στην Λαγκραζιανή 2.46 έχουμε L Υ = G Υ ψ (υ + h)ψ 2 L Υ = G Υ ψ h 2 ψ G Υψ υ ψ Η Lagrangian που περιγράφει το ηλεκτρόνιο στην Κβαντική θεωρία πεδίου έχει δύο όρους τον όρο του φωτονίου και τον όρο του ηλεκτρονίου και περιγράφεται από την εξίσωση. L = ψ (iγ μ μ m e )ψ όπου αν αντικαταστήσουμε την μ με την συναλλοίωτη D μ έχουμε την έκφραση από την Λαγκραζιανή της σχέσης.8 L e = ψ iγ μ D μ ψ ψ mψ 2.49 Συγκρίινοντας με την 2.48 με την 2.49 παρατηρούμε ότι ο όρος ο οποίος συνδέεται με την μάζα m στην Λαγκραζιανή 2.49 είναι ο όρος με την vacuum expectation value υ στην Λαγκραζιανή Yukawa 2.48 Ενώ ο όρος G Υ ψ υ 2 ψ G Υ ψ h 2 ψ είναι όρος αληλεπίδρασης του πεδίου Higgs με το πεδίο του Ηλεκτρονίου. Κατά συνέπεια υ δm e = G Υ

24 Η σχέση 2.50 δείχνει την μεταβολή της μάζας του ηλεκτρονίου δm e λόγω της αλληλεπίδρασης Yukawa. Από την 2.45 και την 2.50 υπολογίζουμε την μάζα του ηλεκτρονίου m = m 0 + δm e υ m = m 0 + G Υ Η 2.5 είναι η μάζα του ηλεκτρονίου συναρτήσει της bare mass m 0, του συντελεστή αλληλεπίδρασης (Yukawa coupling ) G Υ και του vacuum expectation υ του πεδίου Higgs. Θέμα 3 Στην θεωρία χορδών εργαζόμαστε συχνά με πεδία τανυστών σε χωρόχρονους διαστάσεων D > 4, όπως D = 9 + ή ακόμη D = Εδώ θεωρούμε ένα ελεύθερο αντισυμμετρικό τανυστικό πεδίο B μν (x) B νμ (x), όπου μ και ν είναι δείκτες Lorentz D-διαστάσεων, από 0 ως D-. Το B μν (x) είναι το δυναμικό τανυστή (tensor potential), ανάλογο με το ηλεκτρομαγνητικό διανυσματικό δυναμικό (electromagnetic vector potential) A μ (x). Το ανάλογο των ΕM tension fields F μν (x) είναι ο 3 index τανυστής έντασης (tension tensor) H λμν (x) = λ B μν + μ B νλ + ν B λμ (α) Δείξτε ότι αυτός ο τανυστής είναι τελείως αντισυμμετρικός σε όλους τους 3 δείκτες. (β) Δείξτε ότι ανεξάρτητα από τη Λαγκρανζιανή τα πεδία H ικανοποιούν τις ταυτότητες Jacobi 6 [κh λμν] κ H λμν λ H μνκ + μ H νκλ ν H κλμ = 0 (γ) Η Λαγκρανζιανή για τα πεδία B μν (x) είναι: L(Β, Β) = 2 H λμνη λμν όπου Η λμν δίνεται παραπάνω. Αν τα B μν (x) και 2 D(D ) είναι ανεξάρτητα πεδία, να συμπεράνετε τις εξισώσεις κίνησής τους. 24

25 (δ) Όπως τα ΕΜ πεδία έτσι και τα πεδία B μν υπόκεινται σε μετασχηματισμούς βαθμίδας B μν (x) = B μν (x) + μ Λ ν (x) ν Λ μ (x) όπου το Λ μ (x) είναι ένα αυθαίρετο διανυσματικό πεδίο. Δείξτε οτι τα πεδία H λμν (x) (και επομένως και η Λαγκρανζανή που δίνεται πιο πάνω) είναι αμετάβλητα κάτω από τέτοιους μετασχηματισμούς βαθμίδας. (ε) Σε χωρόχρονους αρκετά μεγάλων διαστάσεων D, μπορούμε να έχουμε παρόμοια πεδία τανυστών (tensor fields) με περισσότερους δείκτες. Γενικά, τα δυναμικά δημιουργούν έναν τελείως αντισυμμετρικό τανυστή p-index C μ μ 2 μ p (x) G μ μ 2 μ p μ p+ (x) = p! [μ C μ μ 2 μ p μ p+ ](x) επίσης αντισυμμετρικό σε όλους τους δείκτες και τη Λαγκρανζιανή L(C, C) = ( )p 2(p + ) G μ μ 2 μ p μ p+ G μ μ 2 μ p μ p+ Εξάγετε τις ταυτότητες Jacobi και τις εξισώσεις κίνησης για τα πεδία G. (ζ) Δείξτε ότι τα πεδία έντασης (tension fields) G μ μ 2 μ p μ p+ (x) και επομένως και η Λαγκρανζιανή που δίνεται πιο πάνω είναι αμετάβλητα κάτω από τους μετασχηματισμούς βαθμίδας των δυναμικών C μ μ 2 μ p (x) που δρουν ως C μ μ 2 μ p (x) = C μ μ 2 μ p (x) + (p )! [μ Λ μ μ 2 μ p ](x) όπου Λ μ μ 2 μ p (x) είναι ένα αυθαίρετο τανυστικό πεδίο (p-) δεικτών (τελείως αντισυμμετρικό). Λύση (α) Ο H λμν που μας δόθηκε είναι ένας τανυστής τρίτης τάξης και για να είναι αντισυμμετρικός θα πρέπει να ισχύει (Griffiths 207) H λμν = H μλν 2. και η 2. να ισχύει για κάθε κυκλική αντιμετάθεση των δεικτών Σύμφωνα με την εκφώνηση ισχύει ότι 25

26 H λμν = λ B μν + μ B νλ + ν B λμ 2.2 Το B μν είναι το αντισυμμετρικό τανυστικό πεδίο και ισχύει B μν B νμ 2.3 Από την 2.2 και την 2.3 θα έχουμε για την αντιμετάθεση λ μ H μλν = μ B λν + λ B νμ + ν B μλ = μ B νλ λ B μν ν B λμ = ( λ B μν + μ B νλ + ν B λμ ) H μλν = H λμν 2.4 για την αντιμετάθεση μ ν H λνμ = λ B νμ + ν B μλ + μ B λν = λ B μν ν B λμ μ B νλ = ( λ B μν + μ B νλ + ν B λμ ) H λνμ = H λμν Επομένως η σχέση 2.4 ισχύει για κάθε κυκλική μετάθεση των δεικτών και συνολικά ο τανυστής είναι τελείως αντισυμμετρικός σε όλους τους 3 δείκτες (β) Λόγω της ταυτότητας B μν B νμ μπορούμε να γράψουμε τον H λμν από την 2.2 ως εξής H λμν = λ B μν + μ B νλ + ν B λμ = 2 ( λb μν λ B νμ ) + 2 ( μb νλ μ B λν ) + 2 ( νb λμ ν B μλ ) = 2 [( λb μν λ B νμ ) + ( μ B νλ μ B λν ) + ( ν B λμ ν B μλ )] H λμν = 2 [λb μν] 2.5 από την 2.5 παίρνοντας την συναλλοίωτη παράγωγο και στα δύο μέλη έχουμε [κ H λμν] = 2 [κ λ B μν] 2.6 To Δεύτερο μέλος της 2.6 έιναι μηδέν διότι Ισχύει ότι (Zwiebach, 2004). 26

27 [κ λ] = καθώς οι παράγωγοι μετατίθενται μεταξύ τους και δεν έχει σημασία η σειρά παραγώγισης επομένως κ λ = λ κ Από την 2.6 επαληθεύεται η ταυτότητα Jacobi [κ H λμν] = Αναλυτικά οι πράξεις έχουν ως εξής [κ H λμν] = κ H λμν κ H λνμ + κ H νλμ κ H νμλ + κ H μνλ κ H μλν ν H κλμ + ν H κμλ ν H μκλ + ν H μλκ ν H λμκ + ν H λκμ + μ H νκλ μ H νλκ + μ H λνκ μ H λκν + μ H κλν μ H κνλ λ H μνκ + λ H μκν λ H κμν + λ H κνμ λ H νκμ + λ H νμκ = 6[ κ H λμν ν H κλμ + μ H νκλ λ H μνκ ] 6 [κh λμν] = κ H λμν λ H μνκ + μ H νκλ ν H κλμ 2.9 Σημειώνουμε ότι στην 2.9 καταλήγουμε αθροίζοντας όρους όπου λόγω αντισυμμετρικότητας για μονές αντιμεταθέσεις δεικτών ισχύει κ H λνμ = κ H λμν επίσης από την σχέση 2.2. που μας δίνεται H λμν = λ B μν + μ B νλ + ν B λμ και χρησιμοποιώντας την αντισυμμετρικότητα του τανυστικού πεδίου Β υπολογίζουμε το αποτέλεσμα για το άθροισμα της 2.9 κ H λμν λ H μνκ + μ H νκλ ν H κλμ = κ ( λ B μν + μ B νλ + ν B λμ ) λ ( μ B νκ + ν B κμ + κ B μν ) + μ ( ν B κλ + κ B λν + λ B νκ ) ν ( κ B λμ + λ B μκ + μ B κλ ) = κ λ B μν λ κ B μν + κ μ B νλ + μ κ B λν + κ ν B λμ ν κ B λμ λ μ B νκ + μ ν B νκ 27

28 λ ν B κμ + ν λ B μκ + μ ν B κλ ν μ B κλ κ H λμν λ H μνκ + μ H νκλ ν H κλμ = Η σειρά της παραγώγισης στα παραπάνω ζεύγη i j B km δεν έχει σημασία μιας και i j = j i επίσης χρησιμποιώντας τις ιδιότητες του αντισυμμετρικού πεδίου Β km για παράδειγμα ο όρος κ μ B νλ + μ κ B λν = κ μ B νλ κ μ B νλ = 0 και συνολικά τα ζεύγη αλληλοαναιρούνται με αποτέλεσμα το συνολικό άθροισμα να είναι μηδέν. Έτσι συμπερασματικά ο [κ H λμν] αποτελείται από 4!=24 αθροίσματα και λόγω αντισυμμετρικότητας καταλήγουμε στην έκφραση 2.9 η οποία όπως αποδείξαμε μηδενίζεται στην 2.0 και επομένως 6 [κh λμν] = κ H λμν λ H μνκ + μ H νκλ ν H κλμ = 0 2. (γ) Η Λαγκρανζιανή για τα πεδία B μν (x) είναι: L(Β, Β) = 2 H λμνη λμν 2.2 = 2 ( λb μν + μ B νλ + ν B λμ )( λ Β μν + μ Β νλ + ν Β λμ ) οι εξισώσεις κίνησης θα βγουν από τις συναρτήσεις Euler-Lagrange που συναρτήσει των γενικευμένων συντεταγμένων q i γράφεται. d dt ( L q ) L = i q i στην περίπτωση της 2.2 έχυμε μια γενικευμένη συντεταγμένη το τανυστικό πεδίο Β θα έχουμε L(Β, Β) επομένως η συνάρτηση Euler-Lagrange για την 2.2 θα είναι L(Β, Β) L(Β, Β) λ ( ) = ( λ Β μν ) Β μν Από την 2.2 όμως παρατηρούμε ότι η Langrangian δεν εξαρτάται εκπεφρασμένα από το Β μν αφού έχουμε μόνο παραγώγους της μορφής λ Β μν και επομένως ο δεύτερος όρος της 2.4 είναι μηδέν 28

29 L(Β, Β) Β μν = Υπολογίζουμε τον πρώτο όρο της 2.4 L(Β, Β) ( λ Β μν ) = 2 [ H λμν ( λ Β μν ) Ηλμν + H λμν Η λμν ( λ Β μν ) ] L(Β, Β) ( λ Β μν ) = 2 2Ηαβγ H αβγ ( λ Β μν ) 2.6 από την 2.5 H αβγ = 2 [αb βγ] H αβγ ( λ Β μν ) = 2 δ [λ α δ μ ν] β δ γ 2.7 Επομένως από την 2.7 η 2.6 γίνεται L(Β, Β) ( λ Β μν ) = 6 Ηαβγ 2 δ [λ α δ μ β δ ν] γ L(Β, Β) ( λ Β μν ) = 2 Ηλμν 2.8 Σύμφωνα με την 2.5 και 2.8 η Euler-Lagrange 2.4 γίνεται L(Β, Β) L(Β, Β) λ ( ) ( λ Β μν ) Β μν = 0 2 λη λμν = 0 λ Η λμν = Η 2.9 είναι η εξίσωση κίνησης (δ) Υποθέτουμε τον μετασχηματισμό βαθμίδας κατά το οποίο το B μν (x) μετασχηματίζεται όπως μας δίνεται B μν (x) B μν (x) = B μν (x) + μ Λ ν (x) ν Λ ν (x) 2.20 Η σχέση 2.20 γράφεται ως εξής B μν (x) B μν (x) = B μν (x) + [μ Λ ν]

30 Σύμφωνα με την σχέση 2.5 ο τανυστής H λμν θα μετασχηματίζεται ως εξής H λμν H λμν = 2 [λb μν] (2.2) 2 [λb μν] + 2 [λ μ Λ ν] = 2 [λb μν] + 0 (2.5) = H λμν 2.22 Ο όρος 2 [λ μ Λ ν] είναι μηδέν εξαιτίας του γεγονότος ότι [κ λ] = 0 όπως έχουμε εξηγήσει παραπάνω. Άρα παρατηρούμε από την 2.22 ότι τα πεδία H λμν και επομένως και η Λαγκρανζιανή 2.2 διατηρείται αμετάβλητη κάτω από τον μετασχηματισμό βαθμίδας 2.20 (ε) Όπως και στο β ερώτημα μπορούμε να γράψουμε τον τανυστή G μ μ 2 μ p σε αναλογία με την 2.5 G μ μ 2 μ p μ p+ = p! [μ C μ μ 2 μ p μ p+ ] 2.23 από την 2.23 παίρνοντας την συναλλοίωτη παράγωγο και στα δύο μέλη έχουμε [λ G μ μ 2 μ p μ p+ ] = 2 [λ μ C μ μ 2 μ p μ p+ ] 2.24 To Δεύτερο μέλος της 2.24 θα είναι μηδέν διότι Ισχύει ότι [λ μ ] = καθώς και εδώ οι παράγωγοι μετατίθενται μεταξύ τους επομένως από την 2.24 έχουμε την ταυτότητα Jacobi [λ G μ μ 2 μ p μ p+ ] = Η Λαγκρανζιανή για τα πεδία C μ μ 2 μ p μ p+ είναι: L(C, C) = ( )p 2(p + ) G μ μ 2 μ p μ p+ G μ μ 2 μ p μ p οι εξισώσεις κίνησης και σε αυτή την περίπτωση θα βγουν από τις συναρτήσεις Euler- Lagrange όπως και στο υποερώτημα (γ) που στην περίπτωση της 2.27 θα έχουμε L(C, C) επομένως η συνάρτηση Euler-Lagrange θα είναι 30

31 L(C, C) L(C, C) λ ( ) = ( λ C μ μ 2 μ p ) C μ μ 2 μ p Από την 2.28 παρατηρούμε ότι η Langrangian δεν εξαρτάται εκπεφρασμένα από το C μ μ 2 μ p αφού έχουμε μόνο παραγώγους και επομένως ο δεύτερος όρος της 2.28 είναι L(C, C) C μ μ 2 μ p = Υπολογίζουμε τον πρώτο όρο της 2.28 όπως και στο υποερώτημα (γ) L(C, C) ( λ C μ μ 2 μ p ) = ( )p G 2(p + ) Ga a 2 a a a 2 a p a p+ p+ ( λ C μ μ 2 μ p ) = ( ) p 2(p + ) Ga a 2 a p+ p! δ [λ μ α δ μ a2 δ 2 μ a3 δ p ] ap+ L(C, C) ( λ C μ μ 2 μ p ) = ( )p p! G λμ μ 2 μ p 2.30 Σύμφωνα με την 2.29 και 2.30 η Euler-Lagrange 2.28 γίνεται L(C, C) L(C, C) λ ( ) = 0 ( )p ( λ C μ μ 2 μ p ) C μ μ 2 μ p p! G λμ μ 2 μ p = 0 λ G λμ μ 2 μ p = Η 2.3 είναι η εξίσωση κίνησης (ζ) Υποθέτουμε τον μετασχηματισμό βαθμίδας κατά τον οποίο το δυναμικό C μ μ 2 μ p (x) μετασχηματίζεται όπως μας δίνεται C μ μ 2 μ p C μ μ 2 μ p = C μ μ 2 μ p + (p )! [μ Λ μ μ 2 μ p ] Σύμφωνα με την σχέση 2.23 ο τανυστής G μ μ 2 μ p μ p+ θα μετασχηματίζεται ως εξής G μ μ 2 μ p μ p+ = p! [μ C μ μ 2 μ p μ p+ ] = 3

32 p! [μ C μ μ 2 μ p ] + p! (p )! [μ μ2 Λ μ μ 2 μ p ] = p! [μ C μ μ 2 μ p ] + 0 (2.7) G μ μ 2 μ p = G μ μ 2 μ p 2.32 Ο όρος p! (p )! [μ μ2 C μ μ 2 μ p ] είναι και εδώ μηδέν εξαιτίας του γεγονότος ότι [μ μ2 ] = 0 Άρα παρατηρούμε από την 2.32 ότι τα πεδία G μ μ 2 μ p και επομένως και η Λαγκρανζιανή 2.27 διατηρείται αμετάβλητη κάτω από τον μετασχηματισμό βαθμίδας των δυναμικών C μ μ 2 μ p Αναφορές:. Aitchison, I. J., & Hey, A. J. (203). Gauge theories in particle physics: A practical introduction. Boca Raton: CRC Press. 2. Feynman, R. P. (998). Quantum electrodynamics. Massachusetts: Perseus Books. 3. Griffiths, D. J. (204). Introduction to elementary particles. Weinheim: Wiley-VCH Verlag. 4. Griffiths, D. J. (207). Introduction to electrodynamics. Cambridge (Reino Unido): Cambridge University Press. 5. Ivo van Vulpen,, Ivan Angelozzi : October 203 The Standard Model Higgs Boson [Online]. Available at: 6. Peskin, M. E., & Schroeder, D. V. (206). An introduction to quantum field theory. Boulder (CO): Westview Press. 7. Tamvakis 204, LECTURES ON QUANTUM FIELD THEORY 8. Zwiebach, B. (2004). A first course in string theory. Cambridge: Cambridge University Press. 9. Raamsdonk 20, Symmetries and conservation laws in quantum mechanics [Online]. Available at : 32

33 0. Rikard Enberg 204, Advanced Particle Physics FA355 [Online]. Available at: Steven Gottlieb A LITTLE ABOUT GROUP THEORY [Online]. Available at : 2. Van Dam, Suzanne, Jun 204 Spontaneous symmetry breaking in the Higgs mechanism. [Online]. Available at : 3. Παπαδόπουλος Κωνσταντίνος : Θεωρίες Βαθμίδας Υλικό σε CD που παρέχεται από το ΕΑΠ 33