RAZISKOVALNA NALOGA. Avtorja: Timotej Gril in Tilen Požgan, 8. a

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "RAZISKOVALNA NALOGA. Avtorja: Timotej Gril in Tilen Požgan, 8. a"

Transcript

1 RAZISKOVALNA NALOGA Avtorja: Timotej Gril in Tilen Požgan, 8. a

2 RAZISKOVALNA NALOGA Osnovna šola Gustava Šiliha Laporje KAKO PREPOZNATI KAMNINE IZ DOMAČEGA KRAJA in OKOLICE (geografija in geologija) Mentorica: mag. Barbara Rozman, prof. Avtorja: Timotej Gril in Tilen Požgan Lektorica: Božena Brence, prof. Laporje, 2014

3 ZAHVALA Zahvaljujeva učiteljici Barbari Rozman, ki naju je motivirala in usmerjala, in gospe Boženi Brence za jezikovni pregled raziskovalne naloge. Naloge ne bi mogla pripraviti tudi brez številnih učencev in odraslih, ki so se bili pripravljeni ustaviti in preveriti svoje poznavanje kamnin in učinkovitost najinega kamninskega ključa.

4 POVZETEK Ob nastajanju šolske zbirke kamnin in mineralov sva ugotovila, da je kamnine zelo težko razlikovati med seboj zgolj po videzu. Zato sva po vzoru rastlinskih ključev poskušala izdelati ključ za prepoznavanje osmih tipov kamnin iz domačega okolja. Nastal je pripomoček, s katerim lahko kamnine poimenujejo tudi ljudje, ki o njih ne vedo veliko. Uporabnost kamninskega ključa sva preizkusila pri 50 udeležencih raziskave, učencih in odraslih. S pomočjo kamninskega ključa je kamnino, ki je prej niso poznali, ustrezno poimenovalo 88 % sodelujočih. Odrasli brez kamninskega ključa prepoznajo več kamnin kot otroci. Predlagali smo izboljšave, ki bi zmanjšale število napak pri določevanju kamnin. Kamninski ključ je opazovalcu v pomoč, saj ga usmerja k opazovanju lastnosti, po katerih se kamnine ločijo druga od druge. Ključne besede: kamninski ključ, prepoznavanje kamnin, minerali 1

5 KAZALO 0 UVOD 4 1 TERORETIČNI DEL Kaj so kamnine, minerali in kristali? Klasifikacija kamnin Lastnosti kamnin Kamninotvorni minerali Katere kamnine lahko najdemo v okolici našega domačega kraja? Granodiort Napaka! Zaznamek ni definiran Čizlakit Beli marmor Blestnik Apnenec Lapor Peščenjak Konglomerat Kamninski ključi in poskusi za določevanje vrste kamnin Kamninski ključi Poskusi za določanje vrste kamnin Nastali kamninski ključ 26 2 EMPIRIČNI DEL Namen Hipoteze Metodološka opredelitev Postopki obdelave podatkov 29 3 REZULTATI 30 4 RAZPRAVA 32 5 ZAKLJUČEK 34 6 LITERATURA 35 7 PRILOGA Tabela za zbiranje podatkov med preizkušanjem kamninskega ključa 36 2

6 KAZALO PRIKAZOV: Prikaz 1: Kristal: levo kalcit, desno barit 6 Prikaz 2: Kamnine iz šolske zbirke kamnin, mineralov in fosilov na OŠ Gustava Šiliha Laporje _ 8 Prikaz 3: Kamninski krog shematski prikaz nastanka kamnin 8 Prikaz 4: Kamninski krog 9 Prikaz 5: Plasti v sedimentnih in metamorfnih kamninah 10 Prikaz 6: Značilne strukture magmatske kamnine (A), sedimentne kamnine (B) in metamorfne kamnine (C) 10 Prikaz 7: Mohsova trdotna lestvica 11 Prikaz 8: Kremen v kamini in mineral kremena 13 Prikaz 9: Kremen ima steklast videz 13 Prikaz 10: Kalcit iz Velike Pirešice 14 Prikaz 11: Izsek iz geološke karte Maribor prikazuje Laporje in okolico 15 Prikaz 12: Poenostavljena karta geološke zgradbe Pohorja 16 Prikaz 13: Granodiorit (desno) in čizlakit (levo) sta globočnini, čizlakit prepoznamo po zeleni barvi 17 Prikaz 14: Beli marmor 18 Prikaz 15: Blestnik iz Tinja na Pohorju, na desni spodaj posamezni odluščeni koščki sljude 18 Prikaz 16: Apnenec 19 Prikaz 17: Z laporjem je mogoče narisati sled na bel papir 20 Prikaz 18: Konglomerat 21 Prikaz 19: Tabla o najpogosteje zastopanih kamninah na našem območju v šolskem parku pri OŠ Gustava Šiliha Laporje 22 Prikaz 20: Primer ključa za določanje kamnin 23 Prikaz 21: Znak za jedke snovi, najdemo ga tudi na embalaži HCl 25 Prikaz 22: Kamnine, ki so reagirale s HCl so v zgornjem delu slike, ostale tri spodaj 25 Prikaz 23: Različne velikosti sestavnih delcev pri konglomeratu 26 Prikaz 24: Nastali kamninski ključ 26 KAZALO GRAFIKONOV Grafikon 1: Delež učencev in odraslih v raziskovalnem vzorcu 28 Grafikon 2: Število oseb, ki so prepoznale določeno število kamnin brez pripomočkov 30 Grafikon 3: Delež učencev in odraslih, so ustrezno poimenovali določeno število kamnin 31 Grafikon 4: Delež oseb, ki so ustrezno poimenovale določeno število kamnin 31 Grafikon 5: Delež učencev (levo) in odraslih (desno), ki je prepoznal neznani vzorec kamnine s pomočjo 32 3

7 0 UVOD Timotej Gril, Tilen Požgan: Kako prepoznati kamnine iz okolice domačega kraja in okolice Letos smo v šoli uredili zbirko kamnin, mineralov in fosilov, ki obsega več kot 100 eksponatov. Največ vzorcev je iz domačega kraja Laporja in okolice Slovenske Bistrice, nekateri pa so tudi iz drugih držav. Ugotovila sva, da lahko v okolici našega kraja najdemo različne magmatske, metamorfne in sedimentne kamnine. Kamnine je treba znati opazovati, če jih želimo prepoznati. Veliko nam povedo barva in razporeditev mineralov, zanima nas ali so plastovite in kako odporne so na udarec s kladivom. Kljub temu je zgolj po videzu vrsto kamnine težko zanesljivo določiti. Odločila sva se, da za nekaj kamnin iz domačega kraja in okolice izdelava kamninski ključ. S pomočjo kamninskega ključa bo vsak lahko določil, katero kamnino ima v roki. Kamninski ključ je enostaven, sestavljen je iz poskusa s HCl ali kisom, opazovanja mineralov, preizkusa trdnosti ter opazovanja barve in plastovitosti kamnin. Kamninski ključ je naše opazovalce običajno pripeljal do pravilne rešitve. Predlagala sva tudi izboljšave. S pomočjo ključa bodo ljudje bolje poznali kamnine, s katerimi se pogosto srečujejo v naravi. Naučili se bodo tudi, po katerih lastnostih lahko ločijo eno kamnino od druge. 4

8 1 TERORETIČNI DEL 1.1 Kaj so kamnine, minerali in kristali? Kamnina je naravna snov, sestavljena iz mnogo zrn enega ali več mineralov ali pa odlomkov različnih kamnin. (Žlender, Dolinar, 2008, str. 21) Kamnine gradijo trdno Zemljino skorjo in najvišjo lupino plašča tik pod njo. Za posamezne kamnine je značilna stalna mineralna sestava. Pojavljanje raznovrstnih tipov kamnin pogojujejo različna dogajanja v Zemljini skorji, zato kamnine geologom pomagajo pojasniti zgodovino Zemlje. (Žlender in Dolinar, 2008, str. 28) Kamnina ali kamenina je trden naraven skupek mineralov. Petrologija (petra pomeni latinsko skala) je del geologije, ki se ukvarja z nastankom, prepoznavanjem in klasifikacijo kamnin. (Žlender in Dolinar, 2008) Minerali so po večini trdne anorganske snovi, ki imajo določeno kemijsko sestavo. So spojine dveh ali več prvin (npr. NaCl), redko samo ene (grafit, diamant, žveplo). Imajo značilne fizikalne lastnosti, na podlagi katerih jih lahko tudi prepoznavamo. Nastajajo, ko prehaja tekoča ali plinasta snov v trdno agregatno stanje. (Žlender in Dolinar, 2008) Kristali se razvijejo, kadar se kemične prvine pravilno razporedijo okoli kristalizacijskega jedra in se oblikuje tudi na zunaj pravilno telo, obdano z ravnimi ploskvami. Večina mineralov, ki jih najdemo na Zemlji, je v kristalni obliki. Lepo razviti in veliki kristali pa so redki, saj morajo biti za nastanek ugodne temperature, pritisk in dovolj časa. (Žlender in Dolinar, 2008) 5

9 Prikaz 1: Kristal: levo kalcit, desno barit (Vir: pridobljeno ) Klasifikacija kamnin Kamnine se po načinu nastanka razvrščajo v tri skupine: magmatske, metamorfne in sedimentne. Magmatske kamnine so temeljna skupina kamnin. Nastale so s strjevanjem taline kamnin s kristalizacijo ali brez nje. Magmatske kamnine nastajajo iz magme, ki se na poti na površje zemlje hladi ali kristalizira. Magma je bogata z oksidi AL, Fe, Mg, Ca, Na, in K. (Altaba idr., 1991) Kisla magma je bogata s kremenico (70 do 75 %) in aluminijem. Ima manjšo gostoto. Bazična magma (tudi bazaltska) ima manj kremenice (45 do 50 %) in veliko magnezija in železa. Je redko tekoča. Glede na način nastanka ločimo globočnine (kadar skrepenijo velike gmote magme globoko v Zemljini skorji) in predornine, ki kristalizirajo blizu zemljinega površja ali na njem. Žilnine nastanejo, če se tekoča magma vrine v razpoke že ohlajenih kamnin. (Altaba idr., 1991) Glede na mineralno sestavo delimo magmatske kamnine na granitsko, sienitsko, granodioritsko, gabrsko, dioritsko in peridotitsko skupino. Magmatske kamnine so kljub temu, da sestavljajo okoli 95 % Zemljine skorje, opazne samo ponekod, ker jih prekriva razmeroma tanek sloj metamorfnih in sedimentnih kamnin. (Altaba idr., 1991) Magmatske kamnine običajno sestavljajo raznobarvni minerali, vzroci izgledajo iz vseh strani enako. Obrisi mineralov so neenakomerni, niso enake velikosti, včasih imajo ravne robove, nekateri so lahko tudi okrogle oblike. Zrna so raznolika, velika do enega centimetra, lahko pa so tudi tako majhna, da jih ne vidimo niti s povečevalnim steklom. Velikost mineralov je odvisna od časa ohlajanja: več časa za ohlajanje pomeni večje minerale. (Symes, 1990) 6

10 Metamorfne kamnine so kamnine, ki nastanejo s preoblikovanjem (metamorfozo, preobrazbo) že obstoječe kamnine. Metamorfne kamnine nastanejo z metamorfozo magmatskih, sedimentnih ali tudi že obstoječih metamorfnih kamnin. Proces metamorfoze obsega številne fizikalne in kemične spremembe že obstoječih kamnin, te spremembe so posledica povišane temperature in tlaka, prisotnosti vode in drugih tekočin in plinov. V takšnih razmerah nastajajo novi minerali, nekateri od njih so značilni le za metamorfne kamnine (granati, andaluzit ) (Žlender in Dolinar, 2008) Metamorfne kamnine nastajajo v izjemnih pogojih globoko pod površjem Zemlje, prav tako pa tudi z vdorom staljene, magmatske kamnine v trdno kamnino, in sicer zlasti na območju stika magme in trdnih kamnin v Zemeljski skorji. Najti jih je kot sestavni del velikega dela slednje. (Žlender in Dolinar, 2008) Temperaturne spremembe: temperatura se povečuje z globino, od globine 10 km do globine 50 do 250 km, kjer nastaja magma. Od vroče magme, ki prodira proti površju, se segrevajo in spreminjajo tudi kamnine na manjših globinah. Pritisk: z globino se povečuje tudi pritisk in povzroči spreminjanje manj gostih mineralov v bolj goste. Pritisk lahko pritiska na kamnino iz vseh smeri enako ali pa je v eni smeri dosti večji kot v ostalih smereh. Zaradi pritiska se lahko kamnina spreminja, tudi če ni povišana temperatura. Tako se lahko raztegnejo fosili v apnencu ali prodniki v peščenjaku. Usmerjen pritisk povzroča skrilavost metamorfnih kamnin. Med kamninami, ki se jim bomo najbolj posvečali, je skrilav blestnik. Če so v predhodni kamnini že lističasti minerali, se vsi usmerijo vzporedno eden z drugim, pravokotno na smer pritiska. Pri povišani temperaturi začenjajo lističasti minerali rasti, nastajajo pa tudi drugi podolgovati minerali (npr. amfiboli). (Žlender in Dolinar, 2008) Sedimentne kamnine se oblikujejo z odlaganjem finega materiala in se iz tega oblikujejo v kamnine. Odlaganje običajno poteka v zelo dolgih obdobjih in delci se odlagajo v plasteh. Sedimentne kamnine nastajajo zaradi fizikalnih, kemijskih in bioloških procesov. Glede na nastanek delimo jih na klastične in biokemične. Na Zemljinem površju je okoli 70% kamnin sedimentnega nastanka. Mehanske ali klastične sedimentne kamnine so sestavljene iz preperelih zrn starejših kamnin, ki izvirajo daleč od mesta usedanja in so produkt daljšega transporta. Delimo jih izključno na osnovi velikosti zrn. 7

11 Prikaz 2: Kamnine iz šolske zbirke kamnin, mineralov in fosilov na OŠ Gustava Šiliha Laporje (vir: lasten) Prikaz 3: Kamninski krog - shematski prikaz nastanka kamnin (Kramar, S., Mirtič, B., 2010, str. 1) 8

12 Kamnine se spreminjajo, ljudje hitreje opazimo spremembe, ki se dogajajo pod vplivom vremenskih sprememb. Počasne spremembe, kot so raztapljanje kamnin in odlaganje sedimentov, pa človek težko opazi. Globoko v notranjosti Zemlje, kjer so visoke temperature in tlaki, se kamnine stalijo, nastane magma. Na površje Zemlje pridejo staljene kamnine kot lava pri izbruhih vulkanov. Pri dviganju magme proti površju se magma ohladi in nastanejo globočnine, ki so magmatske kamnine. Pri ohlajevanju lave nastanejo predornine, ki so magmatske kamnine. (Kramar in Mirtič, 2010) Predornine zaradi zunanjih vplivov, predvsem vremenskih vplivov, preperevajo. Pri tem razpadejo na manjše kose in drobce, ki jih reke nosijo s seboj, najpogosteje proti morju. Prod, pesek in mivka se nabirajo tudi ob bregovih rek in jezer. Prod, pesek in mivka se usedajo in med seboj sprimejo. Nastanejo plasti sedimentnih kamnin. Sedimentne in magmatske kamnine se lahko pogrezajo v notranjost Zemlje, kjer so višje temperature in tlaki. Zaradi tega se spremenijo v metamorfne kamnine. Kamnine, ki se pogreznejo globoko v notranjost Zemlje, se stalijo. Pri dviganju magme in bruhanju lave pridejo zopet na površje in nastanejo magmatske kamnine. Zaradi premikanja Zemljinih plošč se kamnine dvigajo proti površju. (Kramar in Mirtič, 2010) Prikaz 4: Kamninski krog (vir: pridobljeno ) 9

13 1.1.2 Lastnosti kamnin Strukturo kamnine določajo velikost, oblika, usmerjenost, zgoščenost in način povezovanja sestavin kamnine. Vsakemu tipu kamnine (magmatskemu, sedimentnemu in metamorfnemu) ustreza določena struktura. (Kramar in Mirtič, 2010) Magmatske kamnine imajo običajno: - dobro izoblikovana zrna mineralov, - bolj ali manj enakomerno zrnato strukturo, - zaobljene minerale in - pod pritiski razporejene minerale. (Altaba, 1991) Prikaz 5: Plasti v sedimentnih in metamorfnih kamninah (vir: pridobljeno ) Strukture nekaterih metamorfnih kamnin so skrilave, kar je posledica usmerjanih pritiskov. V sedimentnih kamninah nastajajo plastnate strukture zaradi postopnega usedanja v vodi. Prikaz 6: Značilne strukture magmatske kamnine (A), sedimentne kamnine (B) in metamorfne kamnine (C) (Vir: pridobljeno ) 10

14 Trdota (ni enako kot trdnost) je odpor snovi proti razenju. Trdota kamnin je odvisna od mineralov, ki jo sestavljajo. Da bi ugotovili, kakšna je trdota kamnine, uporabimo Mohsovo trdotno lestvico, v kateri so že prikazane trdote nekaterih snovi. Če je je razlika v trdoti med neznanim mineralom in enim od mineralov Mohsove trdotne lestvice velika, je globlja in širša tudi sled, ki jo pusti (raza). Kadar je raza zelo globoka, poskušamo raziti naš mineral še z mineralom trdotne lestvice, ki ima manjšo trdoto, in tako najti mineral, ki je po trdoti najbolj podoben našemu neznanemu mineralu.s poskusi nadaljujemo, dokler nam eden od znanih mineralov Mohsove lestvice še razi neznani mineral. Tako določimo stopnjo v Mohsovi lestvici, ki je nad trdoto našega neznanega minerala. (Šorgo in drugi, 2012) Kadar ne opazimo raze niti na našem mineralu in niti na mineralu trdotne lestvice, je to dokaz, da ima naš neznani mineral enako trdoto kot mineral trdotne lestvice, s katerim ga primerja. Prikaz 7: Mohsova trdotna lestvica (vir: Šorgo in drugi, 2012, str. 7) TRDOTA MINERAL UČINEK 1 lojevec noht ga zareže 2 halit noht ga razi 3 kalcit bakreni kovanec ga razi 4 fluorit jekleni nož ga z lahkoto razi 5 apatit jekleni nož ga še razi 6 ortoklaz jeklena konica ga razi 7 kremen razi steklo 8 topaz reže steklo 9 korund reže steklo 10 diamant reže steklo 11

15 1.1.3 Kamninotvorni minerali Poznamo več kot 4000 mineralov. Razdelimo jih lahko glede na kemično sestavo in strukturno zgradbo mineralov. Minerali so temeljni graditelji kamnin, za opredelitev kamnin je potrebno poznati mineralno sestavo. Tiste minerale, ki najpogosteje nastopajo in so značilni za veliko število kamnin, imenujemo kamninotvorni minerali. (Žlender, Dolinar, 2008) Kamninotvornih mineralov je glede na obstoječe število mineralov malo. Kremen in nekaj silikatnih mineralov sestavljajo kar 95 % kamnin. Najpomembnejši so kremen, kalcit in dolomit. Nekateri minerali izvirajo skupaj z odlomki kamnin neposredno iz magmatskih, metamorfnih ali sedimentnih kamnin, drugi pa so nastali na novo, tako kot na primer glineni minerali, kalcit, dolomit in sedimentni kremen. (Altaba, 1991) Bistveni minerali imenujemo tiste minerale, ki so glavni sestavni deli kamnine in jo opredeljujejo. Kremen ima kemijsko sestavo SiO2 in je najbolj razširjen mineral na Zemlji. Beseda kremen je pomenila tisto, s čimer krešemo, netimo ogenj, da začne tleti in goreti. (Florjančič, 1998) Človek je bil z njim v stiku od pradavnine in je našel način za njegovo uporabo s prvimi orodji in okrasjem, danes pa v visokih tehnologijah (sestavni del kremena je silicij)., tudi za izdelavo piroelektričnih pripomočkov. Navadni kremen se upodablja za izdelovanje keramičnih izdelkov. (Žlender in Dolinar, 2008) Glede na geološke pogoje, v katerih je nastajal, je možnih veliko oblik, barv in velikosti. Je brezbarven in prozoren ali pa umazano bel, obarvan z različnimi barvami in moten. V šolski zbirki imamo kameno strelo (brezbarvne kremenove kristale), ametist (vijoličen ali škrlaten kremen zaradi Fe 3+ ) in roževec (rožnat kremen, brez kristalne oblike). 12

16 Prikaz 8: Kremen v kamini in mineral kremena (vir: pridobljeno ) Ima sedmo mesto na Mohsovi trdotni lestvici. Dobro prevaja toploto, zato v stiku s kožo deluje hladno. Pri normalnih pogojih se le malo topi v vodi. Ob povišanem ph se ga raztopi več. Pri znižanju tlaka in temperature se raztopine prenasičijo in pride do kristalizacije. Pogoji, pri katerih raste, vplivajo na zunanji izgled. Če je prostora dovolj, nastanejo lepi kristali. Vendar se v nekaj milijonih let v naravi kremenovim kristalom marsikaj zgodi. Zaradi zmrzali in vročine kristal poči, erozija ga odnese in zdrobi, pretvori se nazaj v drobna zrna, ki jih odplavi do morja, kjer se usedejo na dno in pretvorijo v sedimentno kamnino. (Florjančič, 1998) Prikaz 9: Kremen ima steklast videz (vir: pridobljeno ) 13

17 Pomembne informacije o kremenu za prepoznavanje kamnin (povzetek): kremen je pogost v globočninah (granit, granodiorit) ima sedmo mesto na Mohsovi trdotni lestvici, zato ga z nožem ne moremo raziti kremen razi steklo dobro prevaja toploto, zato v stiku s kožo deluje hladno kremen ima steklast videz školjkasto se lomi je brezbarven in prozoren ali pa umazano bel, obarvan z različnimi barvami in moten svež kremen ima vonj po zažganem če dva kosa drgnemo drugega ob drugega v temi, opazimo iskre Kalcit je mineral s kemično sestavo CaCO 3 in je najpogostejši mineral na površju Slovenije. Morski organizmi (korale, polži, školjke) uporabljajo kalcit za tvorbo skeletov ali kar celotnih domovanj (biogeni nastanek kalcita). Gradi kamnine kot so apnenec, marmor, lehnjak, tvori kapniške tvorbe. Skozi brezbarvne in čiste kristale kalcita lahko opazujemo dvolomnost. (Žlender in Dolinar, 2008) Prikaz 10: Kalcit iz Velike Pirešice (vir: lasten) Klorovodikova kislina na polževi hišici ali na školjčni lupini reagira s kalcitom. Izjema so zelo sveži kosi, ki vsebujejo prevleke organskih snovi in preprečujejo ali zmanjšajo reakcijo. Bolje je, kadar uporabimo površine že prelomljenih delov hišic in lupin. Vse kamnine, pri katerih kapljica razredčene klorovodikove kisline povzroči nastajanje mehurčkov ogljikovega dioksida, vsebujejo mineral kalcit. Kremen ne reagira s klorovodikovo kislino. Tudi dolomit ne reagira z razredčeno klorovodikovo kislino. Od kremena ga ločimo po trdoti; kremen je trši in razi dolomit. (Šorgo idr., 2012) 14

18 Pomembne informacije o kalcitu za prepoznavanje kamnin (povzetek): reagira s HCl in kisom, sproščajo se mehurčki CO2 je pogosta sestavina sedimentnih kamnin, saj nastaja iz lupin (skeletov) morskih organizmov razimo ga z nožem, ima gostoto Katere kamnine lahko najdemo v okolici našega domačega kraja? Pri odvzemanju vzorcev kamnin v naravi si je potrebno zapisati kraj odvzema. Kos kamnine zavijemo v časopisni papir, vanj pa položimo še listič z imenom kraja, kjer smo kamnino pridobili. (Vir: ustni, pogovor z g. Vilijem Podgorškom, ) Določevanje vrste kamnine nam olajša geološka karta, z nje razberemo, katere kamnine na nekam območju lahko pričakujemo. Geološka karta nam prikaže geološko zgradbo, starost in litološko sestavo območja. V splošnem imajo na geoloških kartah starejše kamnine močnejše barvne odtenke, mlajše pa bolj blede. Prikaz 11: Izsek iz geološke karte Maribor prikazuje Laporje in okolico (vir: Žnidaršič, N., Mioč, P. 1989: Geološka karta Slovenije 1 : Lista Maribor in Leibnitz. Geološki zavod Slovenije. Ljubljana) Legenda: a: (aluvij): naplavine, kot so meljasto-glinasti in peščeni material, prodniki d: (deluvij): delno transportiran material že preperele podlage Pl, Q: (pliokvartar): pesek, peščena glina, glinasti prod M 3 1 : peščen lapor, pesek, prod Δq: gradnodiorit (označen kot tonalit) Se: serpentinit Sbm: blestnik M: marmor Sgpy: eklogit G: gnajs G: peščena glina z lečami prod 15

19 Prikaz 12: Poenostavljena karta geološke zgradbe Pohorja (vir: pridobljeno ) Kot prikazujeta karti, je okolica Laporja geološko zelo pestra. Za izdelavo kamninskega ključa smo se omejili na 8 vrst kamnin: - ki so najpogostejše (lapor, granodiorit, blestnik) - po katerih je okolica najbolj znana (čizlakit, beli marmor) - ki izhajajo iz vseh skupine magmatskih, sedimentnih in metamorfnih kamnin (apnenec) - ki so enostavne za prepoznavanje (konglomerat) Granodiorit Granodiorit je magmatska kamnina, globočnina in je podoben granitu. Praviloma je grobo ali srednje zrnata kamnina od sive do bele in sive barve. Sestavljajo ga pretežno beli glinenci, kremen in črn biotit. Od granita ga razlikuje to, da v njem prevladujejo plagioklazi (minerali, ki nastopajo v magmatskih in metamorfnih kamninah, v globočninah kot bele zapolnitve). (Gregorač, 1995) V preteklosti je bil poimenovan tudi pohorski granit, tonalit in kremenov diorit. Je trda, trdna in zelo odporna kamnina. 16

20 Prikaz 13: Granodiorit (desno) in čizlakit (levo) sta globočnini, čizlakit prepoznamo po zeleni barvi (Vir: lasten) Čizlakit Čizlakit je magmatska kamnina, globočnina in je različek gabra, pridobljen iz kamnolomov pri Cezlaku na Pohorju. Ima nekoliko specifično mineralno sestavo: temno zelena rogovača, svetlo zelen avgit in beli bazični plagioklazi. Je kamnina gabrske skupine, ki se imenuje po gabru, najpomembnejšem predstavniku globočnin. To so sive, črne in zelenkaste grobozrnate kamnine. ( Gregorač, 1995) Beli marmor Marmor je metamorfna kamnina, je masivna in zrnata. Je bele do svetlo sive barve. Nastal je z metamorfozo karbonatnih kamnin, apnenca ali dolomita. Nastane iz drobnih ali večjih zrnc kalcita z ravnimi ploskvicami in se sveti. V nekaterih marmorjih so pomešani tudi drugih minerali. Izraz marmor predstavlja večkrat apnenec in druge usedlinske kamnine, ki jih je mogoče dobro zgladiti, na primer hotaveljski marmor. 17

21 Prikaz 14: Beli marmor (vir lasten) V Sloveniji so številna manjša nahajališča marmorja na južnem in vzhodnem delu Pohorja. Tolmač geološke karte pojasnjuje, da marmor nastopa v posameznih lečah v vzhodnem in južnem Pohorju. Rimljani so imeli sužnje, ki so v kamnolomih na Pohorju lomili marmor. S sanmi ali vozovi so ga potem vozili v Poetovio ali Celeio. (Bedjanič in Jeršek, 2009). Nam najbližji kamnolom je v dolini Bistrice Blestnik Blestnik (sljudovec ali sljudni skrilavec) je metamorfna kamnina, je drobno do srednje zrnata kamnina, nastala iz glinenih do peščenih kamnin. Je sive in črne do rjave barve. Je predvsem iz kremena in sljud. (Gregorač, 1995) Je skrilava kamnina, zgrajena je iz več vzporednih plasti sljude in se lepo kolje v tanke plošče. Prikaz 15: Blestnik iz Tinja na Pohorju, na desni spodaj posamezni odluščeni koščki sljude (vir: lasten) 18

22 Če blestnik potolčemo rahlo s kladivom ali skušamo posamezne delce odstraniti z nohtom, se odlomijo drobni delci muskovita ali sljude. Minerali se bleščijo in lepijo na roke, da se jih nekoliko upogniti, med pogovori z učenci smo ugotovili, da jih spominjajo na bleščice Apnenec Apnenec je sedimentna kamnina iz kalcijevega karbonata (CaCO 3 ) v obliki minerala kalcita. Kalcit se izloča: - kemično iz nasičene vodne raztopine (imenovan karbonatna kemična kamnina); - iz lupin morskih organizmov in se useda na morsko dno (biokemična sedimentna kamnina). Prikaz 16: Apnenec (vir: lasten) Največje količine apnenca nastajajo v plitvih toplih morskih okoljih na kontinentalnih policah, kot so lagune in grebeni. Apnenci so lahko temni (temnosivi do črni, nastali s počasnim usedanjem kalcijevega karbonata v okolju z malo kisika), svetli (svetlosivi do beli, nastali s hitrejšim usedanjem v okolju z veliko kisika), v redkih primerih so lahko apnenci tudi drugačnih barv ali pisani. Apnenec in dolomit ločimo s pomočjo 10 % raztopine klorovodikove kisline (HCl). Apnenec s kislino močno reagira (se peni in šumi), dolomit pa ne. (Ogorelec, 2001) Pri temperaturi 900 C razpade kalcijev karbonat, ki je glavna sestavina apnenca, na kalcijev oksid in ogljikov dioksid. Ta reakcija poteka v apnenicah, v pečeh za pridobivanje kalcijevega oksida, ki je pomemben material v gradbeništvu. Imenujemo ga tudi žgano apno (ker žgejo apnenec, da ga pridobijo). 19

23 1.2.6 Lapor Lapor je sedimentna kamnina sive do rumenkaste barve. Nastane, kadar se zrna gline, apnenca ali dolomita združijo. Lapor je gladka kamnina, uporablja se tudi za gradbeni material. Glina v laporju je sedimentnega izvora, sestavljena predvsem iz drobnozrnatih mineralov. - V Laporju je lapor temno sive barve, z lahkoto od njega odkrušimo drobne delce gline. - Glina reagira na HCl, ker je v njej tudi apnenčasto vezivo. - Med poskusi smo ugotovili, da je z njim mogoče pisati po belem papirju, saj je dovolj mehak, da pušča sled. Sled je močnejša, če je kamnina vlažna oziroma je vzorec sveže odvzet. Tako se razlikuje od številnih drugih kamnin. Praumetniki so obilno uporabljali gline za risanje in ličenje, ker so jih povsod našli in zlahka zdrobili. Dajale so v glavnem umazano zelene in rjave barve. (Symes in drugi, 1990) Prikaz 17: Z laporjem je mogoče narisati sled na bel papir (vir: lasten) Peščenjak Peščenjak je sedimentna kamnina, ki je sestavljena iz drobnih zrn peska, velikosti 0,1 mm do 2 mm, zlepljenih med seboj, iz raztopljenih mineralov, najpogosteje kremenice ali kalcijevega karbonata. Peščenjak nastane, ko se pesek nalaga v plasteh iz vode (npr. v rečnih okljukih) ali zraka (v puščavah). Nekateri peščenjaki (odvisno od sestave) so odporni proti vremenskim vplivom in hkrati enostavni za obdelovanje, zato se pogosto uporabljajo pri gradnji in tlakovanju cest. Ker je kot kamnina porozen, lahko shranjuje velike količine vode in plasti peščenjaka so pogosto vodonosne. Peščenjak podtalnico tudi učinkovito filtrira. (Symes, 1990) Peščenjak reagira na HCl, ker je v njem vezivo iz kalcijevega karbonata. 20

24 1.2.8 Konglomerat Konglomerat je sedimentna kamnina, sestavljena iz prodnikov različne velikosti. Po videzu je različnih barv, grobozrnat in kompakten. Konglomerat in prod najdemo jugozahodno od Slovenske Bistrice. Je slabo vezan in razpada v prod. Zrna in prodniki so v glavnem iz karbonatnih kamenin, nekaj pa jih je tudi iz kremena in drugih metamorfnih in magmatskih kamenin. Velikost prodnikov je različna, od nekaj centimetrov do nekaj decimetrov. To nakazuje na plitvo in nemirno vodo, oziroma na material rečnega izvora. Vezivo je peščeno. Konglomerat spominja na kos betona. Ker so zrna iz karbonatnih kamnin, bo takšen konglomerat v stiku s HCl reagiral. Prikaz 18: Konglomerat (vir: lasten) Vzorec konglomerata na sliki ima malo veznega gradiva, verjetno je bil izpostavljen deževju in ga je izpralo. Gre za primer dobro vezanega konglomerata, običajno vzorci razpadajo. 21

25 Prikaz 19: Tabla o najpogosteje zastopanih kamninah na našem območju v šolskem parku pri OŠ Gustava Šiliha Laporje (vir: lasten ) 22

26 1.3 Kamninski ključi in poskusi za določevanje vrste kamnin Kamninski ključi Pri iskanju pripomočkov za določanje vrst kamnin smo imeli precej težav. V knjigah smo našli opise posameznih vrst kamnin, manj pa je informacij o tem, po katerih lastnostih so med seboj razlikujejo. Prikaz 20: Primer ključa za določanje kamnin (vir: Hlawatsch S. in drugi (2005). Gesteinkreislauf: Gesteine als Dokumente der Erdgescgichte, str. 47) 23

27 Našli smo: - Primer kamninskega ključa v nemščini: ključ smo s pomočjo prevedenih navodil preizkusili in ugotovili, da z malo vprašanji in le na podlagi opazovanja vodi do številnih kamnin in zato ni najbolj zanesljiv. Všeč pa so nam bili primeri fotografij. Prikazani kamninski ključ ima v enem kvadratku za odločanje več vprašanj naenkrat. - Nemško spletno stran ( gesteinsbestimmung.php), na kateri se prikaže podrobna fotografija vzorca kamnine, nato pa vprašanja, s pomočjo katerih določite vrsto kamnine. Na omenjeni spletni strani pa se določanje kamnin vedno začne z vprašanjem Ali je mogoče videti posamezne delce kamnin. Vso prepoznavanje poteka le na podlagi opazovanja. Na napačne odgovore nas program opozori. - Precej delnih ključev, npr. le za sedimentne kamnine Poskusi za določanje vrste kamnin Osnovni pripomočki za spoznavanje kamnin so: - povečevalno steklo z vsaj 10-kratno povečavo, - HCl (10%) ali kis in kapalka (če uporabljamo HCl pa še zaščitne rokavice, očala in obleka, saj je kislina jedka), - kladivo (če je le možno, geološko kladivo), - nož in steklenica (za določanje trdote). a) Poskus s pomočjo klorovodikove kisline (10% HCl) ali s pomočjo vinskega kisa (kalcit) Kalcit je pogosta sestavina sedimentnih kamnin, saj nastaja iz lupin (skeletov) morskih organizmov. Kadar steče reakcija med kamino in HCl (ali kisom), gre običajno za sedimentno kamnino (v primeru marmorja tudi za metamorfno, ki je nastala iz sedimentne z veliko kalcita). Da pokažemo, kako kis deluje na lupine organizmov, razbijemo školjko in jo pokapamo s kisom. Pri poskusih, ki jih izvajajo otroci, moramo še posebej paziti na varnost. Namesto HCl lahko uporabijo vinski ali jabolčni kis, ki povzroči manj močno reakcijo. Kasneje otrokom dovolimo, da sami preizkusijo, ali je v njihovem vzorcu kamnine kaj nekdanjih školjk, lupin. (Šorgo idr., 2012) 24

28 Prikaz 21: Znak za jedke snovi, najdemo ga tudi na embalaži HCl (vir: pridobljeno ) Reakcija, ki poteče: 2CH 3 COOH + CaCO 3 --> H 2 O + CO 2 + Ca(CH 3 COO). Pri reakciji izhajajo mehurčki ogljikovega dioksida, slišen je tudi rahel šum. S tem poskusom smo iz našega nabora lahko izločili kar tri kamnine, ki ne vsebujejo kalcita in ne reagirajo, to so granodiorit, čizlakit in blestnik. Prikaz 22: Kamnine, ki so reagirale s HCl so v zgornjem delu slike, ostale tri spodaj (Vir: lasten) 25

29 b) Barva kamnin: iskanje večjih, s prostim očesom vidnih mineralov Zaradi odboja svetlobe od minerala nastane svetlobni vtis, ki mu rečemo sijaj. Močnejši sijaj imajo minerali z večjim lomnim količnikom. Kremen ima steklast sijaj. Čizlakit se od ostalih kamnin iz naše zbirke loči po gosti zastopanosti zelenkastih mineralov (temno zelena rogovača, svetlo zelen avgit). Je siva, črna in zelenkasta grobo zrnata kamnina. (Gregorač, 1995). c) Ločevanje kamnin glede na velikost delcev Nekatere kamnine so zgrajene iz delcev, ki jih z lahkoto opazimo že s prostim očesom. Za ostale potrebujemo povečevalno steklo, ki ga imajo na vsaki šoli. Glina sestoji iz zelo drobnih zrn, ki jih s prostim očesom ne moremo videti. (Symes, 1990) Prodnike ali kamenčke raznih barv prepoznamo brez težav in tako določimo ali gre za konglomerat. Prikaz 23: Različne velikosti sestavnih delcev pri konglomeratu (Symes, 1990, str. 15) d) Trdota kamnin Z laporjem iz Laporja lahko rišemo po belem papirju. Posebej če je vlažen, pustijo delci gline podobno sled kot temna kreda. Ostale kamnine iz našega izbora papir raztrgajo. Delci v laporju so tako majhni, da papirja ne raztrgajo. e) Skrilavost Za blestnik je značilno, da se sloji sljude luščijo. Strukture nekaterih metamorfnih kamnin so skrilave, kar je posledica usmerjanih pritiskov Nastali kamninski ključ Prikaz 24: Nastali kamninski ključ (vir: lasten) 26

30 27

31 2 EMPIRIČNI DEL 2.1 Namen Namen naloge je bil: - izdelati pripomoček (kamninski ključ), ki bo v pomoč pri prepoznavanju kamnin iz domačega kraja in okolice (kamninski ključ mora biti dovolj enostaven, da ga lahko uporabljajo tudi ljudje, ki nimajo predznanja s področja kamnin) - kamninski ključ preizkusiti in ugotoviti, ali je zanesljiv - predlagati morebitne popravke oziroma izboljšave 2.2 Hipoteze - Hipoteza 1: Večina sodelujočih ne zna poimenovati kamnin, ki jih najdemo v Laporju in okolici. - Hipoteza 2: Odrasli znajo poimenovati več vzorcev kamnin kot otroci. - Hipoteza 3: S pomočjo kamninskega ključa bo več kot 75 % oseb pravilno prepoznalo izbrani vzorec kamnine. - Hipoteza 4: S pomočjo kamninskega ključa bo pravilno poimenoval neznani vzorec kamnine približno enak delež odraslih in osnovnošolcev. 2.3 Metodološka opredelitev Raziskovalni vzorec V fazi preizkušanja smo kamninski ključ pokazali trem učiteljem geografije in naravoslovja. Kamninski ključ smo preizkusili na naključno izbranih učencih od 4. do 9. razreda in odraslih, skupno na 50 osebah. Grafikon 1: Delež učencev in odraslih v raziskovalnem vzorcu 36% 64% otroci odrasli 28

32 2.3.2 Raziskovana metoda Sestavili smo lasten kamninski ključ. Za prepoznavanje smo izbrali 8 vzorcev iz domačega okolja. Vzorci so izbrani tako, da predstavljajo magmatske (2 vzorca), metamorfne (2 vzorca) in sedimentne kamnine (4 vzorci). Če bi vključili večje število vzorcev kamnin, bi bila izdelava ključa precej bolj zapletena. Izbirali smo vzorce, ki so značilni in izstopajoči po določeni lastnosti. Kamninski ključ smo preizkusili v praksi. Udeleženci so: 1. Si ogledali poskus s HCl, ali izvedeli kakšen bi bil rezultat preizkusa. (Zaradi velikega števila sodelujočih smo približno polovici udeležencev povedali, kakšen bi bil rezultat preizkusa). 2. Si ogledali vzorce kamnin in jih skušali poimenovati. 3. Izbrali enega izmed vzorcev, ki jih niso pravilno poimenovali, in ga s pomočjo kamninskega ključa poimenovali. Rezultate dela s kamninskim ključem smo zbirali v tabeli (priloga A). 2.4 Postopki obdelave podatkov Podatke, ki smo jih dobili pri uporabi kamninskega ključa, smo sproti zapisovali v tabelo. Podatke smo zbrali v tabelo (priloga A) in jih nato pripravili grafe v programu Excell. 29

33 3 REZULTATI Hipoteza 1: Večina sodelujočih ne zna poimenovati kamnin, ki jih najdemo v Laporju in okolici. Grafikon 2: Število oseb, ki so prepoznale določeno število kamnin brez pripomočkov št. oseb ali več Število kamnin, ki so jih preoznali brez pripomočkov Osebam, ki so sodelovale pri preverjanju zanesljivosti kamninskega ključa, smo pokazali 8 vzorcev kamnin in jih prosili, da jih poimenujejo. Kar 19 sodelujočih ni pravilno poimenovalo nobenega vzorca kamnine, en sam vzorec je pravilno poimenovalo 13 oseb, dva vzorca 9 oseb, tri vzorce 5 oseb, 4 ali več vzorcev pa 4 osebe. Nihče izmed sodelujočih ni znal pravilno poimenovati vseh vzorcev kamnin. Dobra tretjina sodelujočih ne zna poimenovati nobene izmed kamnin, ki jih najdemo v Laporju in okolici. Ostali so pretežno znali poimenovati enega ali dva vzorca. Veliko učencev je pri poimenovanju tudi ugibalo. Hipoteza 1 je potrjena. 30

34 Delež Timotej Gril, Tilen Požgan: Kako prepoznati kamnine iz okolice domačega kraja in okolice Hipoteza 2: Odrasli znajo poimenovati več vzorcev kamnin kot otroci. Grafikon 3: Delež učencev in odraslih ki, so ustrezno poimenovali določeno število kamnin 50% 45% 40% 35% 30% 25% 20% 15% 10% 5% 0% ali več Število kamnin, ki so jih prepoznali brez pripomočkov učenci odrasli Skoraj polovica učencev ni znala pravilno poimenovati nobenega vzorca kamnine, delež odraslih, ki jim to prav tako ni uspelo, je nižji (pod 25 %). Med osebami, ki so znale poimenovati 4 vzorce ali več, prevladujejo odrasli. Odrasli znajo poimenovati več vzorcev kamnin kot otroci. Hipoteza 2 je potrjena. Hipoteza 3: S pomočjo kamninskega ključa bo več kot 75 % oseb pravilno prepoznalo izbrani vzorec kamnine. Grafikon 4: Delež oseb, ki so ustrezno poimenovale določeno število kamnin 12% so prepoznali niso prepoznali 88% S pomočjo kamninskega ključa je 88 % oseb ustrezno poimenovalo izbrani vzorec kamnine, ki ga pred tem niso znali poimenovati. Hipoteza 3 je potrjena. 31

35 Hipoteza 4: S pomočjo kamninskega ključa bo prepoznal neznani vzorec kamnine približno enak delež odraslih in učencev. Grafikon 5: Delež učencev (levo) in odraslih (desno), ki je prepoznal neznani vzorec kamnine s pomočjo niso prepoznali 16% Učenci: prepoznavanje kamnin s kamninskim ključem Odrasli: prepoznavanje kamnin s kamninskim ključem niso prepoznali 6% so prepoznali 84% so prepoznali 94% S pomočjo kamninskega ključa je izbrani vzorec kamnine ustrezno poimenovalo 84 % učencev in 94 % odraslih, razlika je torej 10 %. Tudi če si ogledamo prilogo 1, vidimo, da je od šestih oseb, ki vzorca niso prepoznale, bilo kar 5 otrok in en odrasli. Hipotezo 4 ovržemo, saj se je izkazalo, da so odrasli pri uporabi kamninskega ključa bolj uspešni. 4 RAZPRAVA Približno polovica sodelujočih je znala poimenovati eno ali več kamnin iz Laporja ali okolice brez kakršne koli pomoči. Odrasli so znali poimenovati več kamnin kot otroci, to smo tudi pričakovali, saj imajo več izkušenj. 32

36 S pomočjo kamninskega ključa je 88 % oseb pravilno prepoznalo izbrani vzorec kamnine. Odrasli so bili uspešnejši, saj je kar 17 od 18 sodelujočih pravilno poimenovalo njim prej neznano kamnino. Posamezni sodelujoči v raziskavi niso prišli do pravega rezultata, težave so se pojavile pri: - odstranjevanju mineralov z blestnika, hkrati pa niso opazili plastovitosti; - določanju, ali je kamnina tudi zelene barve (določi granodiorit, v roki ima čizlakit); - določanju, ali se kamnina svetlika (določi apnenec, v roki ima marmor); - razumevanju besede prodniki (konglomerat zamenja za apnenec, vendar ugotovi, da je prišlo do napake in nato pravilno določi). Da bi povečali zanesljivost,priporočamo naslednje dopolnitve: - pri blestniku: nalepili bi nekaj koščkov sljude (muskovita), narisali bi lahko tudi skico, ki bi pojasnjevala, kaj je plastovitost; - pri čizlakitu: osebi, ki se ne more odločiti, ali gre za zeleno barvo, v primerjavo ponudimo npr. granodiorit ali zagotovimo belo podlago, pomagale bi tudi barvne lestvice; - pri marmorju: vzeti moramo svež primer kamnine (eden izmed naših vzorcev je bil odvzet iz Bistrice in od vode precej obrušen, površina vzorca se je razlikovala od notranjosti); - pri laporju: opozorilo, naj ga, preden poskusijo z njim risati, rahlo navlažijo ali naredijo več poskusov; - pri konglomeratu: dodali bi skico prodnika, v oklepaju pa bi pojasnili, da prodnike običajno imenujemo kar kamenčki. 33

37 5 ZAKLJUČEK Kamninski ključ, ki smo ga izdelali, je pripomoček, s katerim lahko kamnine sistematično opazujejo in lažje prepoznavajo tudi ljudje, ki o njih ne vedo veliko. Ker je enostaven za uporabo, ga lahko uporabljajo že osnovnošolci. Odrasli brez kamninskega ključa prepoznajo več kamnin kot otroci, na splošno pa lahko trdimo, da ljudje ne poznajo dobro kamnin iz domačega okolja. Med 50 osebami, ki so lahko izbirale med osmimi značilnimi vzorci kamnin, je 44 opazovalcev vodil do pravega imena kamnine. Zabeležili smo, kje so opazovalci imeli največ težav ter kako bi kamninski ključ lahko izboljšali in povečali njegovo zanesljivost. Kamninski ključ opazovalca usmerja k opazovanju lastnosti, po katerih se kamnine ločijo druga od druge in ga uči sistematičnega opazovanja. V naši okolici najdemo še številne kamnine, ki jih nismo vključili v kamninski ključ. Večje število vključenih kamnin bi povečalo zahtevnost določevanja in bi zahtevalo bolj izkušenega opazovalca. 34

38 6 LITERATURA - Altaba, M. F., Arribas, A. S. M. & Tanelli, G. (1991). Geologija. Zbirka Naravoslovni atlasi. Ljubljana: Založba Mladinska knjiga. - Bedjanič, M., Jeršek, M. (2009). Geološki zakladi Pohorja. Zavod RS za varstvo narave. Preserje: Prirodoslovni muzej Slovenije. - Florjančič, A. P. (ur.). (1998). Kremen. Begunje: Galerija Avsenik. - Gregorač, V. (1995). Mali leksikon geologije. Ljubljana: Tehniška založba Slovenije. - Hlawatsch S. in drugi. (2005). Gesteinkreislauf: Gesteine als Dokumente der Erdgescgichte. Pridobljeno iz Iz ftp://ftp.rz.uni-kiel.de/pub/ipn/systemerde/05_ Begleittext_oL.pdf, Kramar, S. in Mirtič, B. (2010). Naravni kamen. Pridobljeno iz Ogorelec, B. (2001). Karbonatne kamnine: njihov nastanek in razširjenost v Sloveniji. Društvene novice, št. 26, Društvo prijateljev mineralov in fosilov Tržič. - Pajtler, F. (2003). Minerali občin Slovenska Bistrica in Oplotnica. Slovenska Bistrica: Zavod za kulturo. - Symes, R. F. in drugi. (1990). Minerali in kamnine okoli nas. Murkska Sobota: Pomurska založba. - Šorgo, A., Glažar,S., Slavinec,M. in Herlec, U. (2012). Aktivno v naravoslovje 1, delovni zvezek za 6. razred, iz pridobljeno Žlender, B. in Dolinar, B. (2008). Geomorfologija. Maribor: Fakulteta za gradbeništvo. - Žnidaršič, N., Mioč, P. 1989: Geološka karta Slovenije 1 : Lista Maribor in Leibnitz. Ljubljana: Geološki zavod Slovenije. Spletni viri: - nuqn3lagqyaompygybg&sqi=2&ved=0cacq_auoa, pridobljeno pridobljeno pridobljeno pridobljeno pridobljeno pridobljeno Ustni vir: pogovor z g. Vilijem Podgorškom, , Cirkovce. 35

39 7 PRILOGA 7.1 Tabela za zbiranje podatkov med preizkušanjem kamninskega ključa ŠT. ODRASLI /UČENEC ŠTEVILO KAMNIN, KI JIH PREPOZNA BREZ POMOČI IZBRANA NEPREPOZNANA KAMNINA USTREZNOST DOLOČITVE S POMOČJO KAM. KLJUČA OPOMBE 1 učenec 0 lapor da 2 učenec 0 apnenec da 3 učenec 0 čizlakit da 4 učenec 6 blestnik da 5 učenec 3 konglomerat da 6 odrasli 2 konglomerat da 7 odrasli 2 blestnik da 8 odrasli 1 beli marmor da 9 odrasli 1 granodiorit da 10 odrasli 1 blestnik ne ne opazi plasti 11 odrasli 4 blestnik da 12 odrasli 0 beli marmor da 13 odrasli 3 lapor da 14 odrasli 4 peščenjak da 15 učenec 0 blestnik ne težave pri odstranjevanju mineralov, ne opazi plasti 16 učenec 1 granodiorit da 17 učenec 1 konglomerat da 18 učenec 0 blestnik da 36

40 19 učenec 0 blestnik da 20 učenec 2 konglomerat da 21 učenec 3 čizlakit da 22 učenec 2 blestnik da 23 učenec 2 blestnik da 24 učenec 3 konglomerat da 25 učenec 3 blestnik da 26 učenec 2 apnenec da 27 učenec 0 čizlakit ne ne vidi zelene barve, pretemno 28 učenec 1 blestnik da 29 učenec 0 beli marmor da 30 učenec 0 marmor ne zamenja z apnencem, ne vidi svetlikanja 31 učenec 0 konglomerat da 32 učenec 0 lapor da 33 učenec 0 lapor ne mu ne piše po papirju 34 učenec 0 apnenec da 35 učenec 1 beli marmor da 36 učenec 1 lapor da 37 učenec 0 čizlakit da 38 učenec 1 lapor da 39 učenec 2 konglomerat da 40 učenec 0 konglomerat ne misli, da so prodniki posebna vrsta kamenčkov 37

41 41 odrasli 4 blestnik da 42 odrasli 0 granodiorit da 43 odrasli 1 apnenec da 44 odrasli 2 konglomerat da 45 odrasli 1 apnenec da 46 učenec 1 peščenjak da 47 odrasli 2 konglomerat da 48 odrasli 1 konglomerat da 49 odrasli 0 blestnik da 50 odrasli 0 konglomerat da 38

Funkcijske vrste. Matematika 2. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 2. april Gregor Dolinar Matematika 2

Funkcijske vrste. Matematika 2. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 2. april Gregor Dolinar Matematika 2 Matematika 2 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 2. april 2014 Funkcijske vrste Spomnimo se, kaj je to številska vrsta. Dano imamo neko zaporedje realnih števil a 1, a 2, a

Διαβάστε περισσότερα

Zaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 22. oktober Gregor Dolinar Matematika 1

Zaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 22. oktober Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 22. oktober 2013 Kdaj je zaporedje {a n } konvergentno, smo definirali s pomočjo limite zaporedja. Večkrat pa je dobro vedeti,

Διαβάστε περισσότερα

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 5. december Gregor Dolinar Matematika 1

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 5. december Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 5. december 2013 Primer Odvajajmo funkcijo f(x) = x x. Diferencial funkcije Spomnimo se, da je funkcija f odvedljiva v točki

Διαβάστε περισσότερα

Diferencialna enačba, v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci

Diferencialna enačba, v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci Linearna diferencialna enačba reda Diferencialna enačba v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci d f + p= se imenuje linearna diferencialna enačba V primeru ko je f 0 se zgornja

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 14. november Gregor Dolinar Matematika 1

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 14. november Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 14. november 2013 Kvadratni koren polinoma Funkcijo oblike f(x) = p(x), kjer je p polinom, imenujemo kvadratni koren polinoma

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 21. november 2013 Hiperbolične funkcije Hiperbolični sinus sinhx = ex e x 2 20 10 3 2 1 1 2 3 10 20 hiperbolični kosinus coshx

Διαβάστε περισσότερα

Tretja vaja iz matematike 1

Tretja vaja iz matematike 1 Tretja vaja iz matematike Andrej Perne Ljubljana, 00/07 kompleksna števila Polarni zapis kompleksnega števila z = x + iy): z = rcos ϕ + i sin ϕ) = re iϕ Opomba: Velja Eulerjeva formula: e iϕ = cos ϕ +

Διαβάστε περισσότερα

Erozija s pojmom erozija označujemo premaknitev preperelih kamnin in mineralov iz mesta njihovega nastanka; erozija poteka s transportom.

Erozija s pojmom erozija označujemo premaknitev preperelih kamnin in mineralov iz mesta njihovega nastanka; erozija poteka s transportom. SEDIMENTNE KAMNINE Kamninski krog Sedimentne kamnine Okoli 70 % kamnin na Zemljinem površju je sedimentnega nastanka. Sedimentne kamnine so skozi celotno geološko zgodovino nastajale v vseh naravnih okoljih

Διαβάστε περισσότερα

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 10. december 2013 Izrek (Rolleov izrek) Naj bo f : [a,b] R odvedljiva funkcija in naj bo f(a) = f(b). Potem obstaja vsaj ena

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolne karte uporabljamo za sprotno spremljanje kakovosti izdelka, ki ga izdelujemo v proizvodnem procesu.

Kontrolne karte uporabljamo za sprotno spremljanje kakovosti izdelka, ki ga izdelujemo v proizvodnem procesu. Kontrolne karte KONTROLNE KARTE Kontrolne karte uporablamo za sprotno spremlane kakovosti izdelka, ki ga izdeluemo v proizvodnem procesu. Izvaamo stalno vzorčene izdelkov, npr. vsako uro, vsake 4 ure.

Διαβάστε περισσότερα

NEPARAMETRIČNI TESTI. pregledovanje tabel hi-kvadrat test. as. dr. Nino RODE

NEPARAMETRIČNI TESTI. pregledovanje tabel hi-kvadrat test. as. dr. Nino RODE NEPARAMETRIČNI TESTI pregledovanje tabel hi-kvadrat test as. dr. Nino RODE Parametrični in neparametrični testi S pomočjo z-testa in t-testa preizkušamo domneve o parametrih na vzorcih izračunamo statistike,

Διαβάστε περισσότερα

KODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK

KODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK 1 / 24 KODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK Štefko Miklavič Univerza na Primorskem MARS, Avgust 2008 Phoenix 2 / 24 Phoenix 3 / 24 Phoenix 4 / 24 Črtna koda 5 / 24 Črtna koda - kontrolni bit 6 / 24

Διαβάστε περισσότερα

Osnove elektrotehnike uvod

Osnove elektrotehnike uvod Osnove elektrotehnike uvod Uvod V nadaljevanju navedena vprašanja so prevod testnih vprašanj, ki sem jih našel na omenjeni spletni strani. Vprašanja zajemajo temeljna znanja opredeljenega strokovnega področja.

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIČNI IZRAZI V MAFIRA WIKIJU

MATEMATIČNI IZRAZI V MAFIRA WIKIJU I FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Jadranska cesta 19 1000 Ljubljan Ljubljana, 25. marec 2011 MATEMATIČNI IZRAZI V MAFIRA WIKIJU KOMUNICIRANJE V MATEMATIKI Darja Celcer II KAZALO: 1 VSTAVLJANJE MATEMATIČNIH

Διαβάστε περισσότερα

1. Έντυπα αιτήσεων αποζημίωσης... 2 1.1. Αξίωση αποζημίωσης... 2 1.1.1. Έντυπο... 2 1.1.2. Πίνακας μεταφράσεων των όρων του εντύπου...

1. Έντυπα αιτήσεων αποζημίωσης... 2 1.1. Αξίωση αποζημίωσης... 2 1.1.1. Έντυπο... 2 1.1.2. Πίνακας μεταφράσεων των όρων του εντύπου... ΑΠΟΖΗΜΙΩΣΗ ΘΥΜΑΤΩΝ ΕΓΚΛΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ ΣΛΟΒΕΝΙΑ 1. Έντυπα αιτήσεων αποζημίωσης... 2 1.1. Αξίωση αποζημίωσης... 2 1.1.1. Έντυπο... 2 1.1.2. Πίνακας μεταφράσεων των όρων του εντύπου... 3 1 1. Έντυπα αιτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

IZPIT IZ ANALIZE II Maribor,

IZPIT IZ ANALIZE II Maribor, Maribor, 05. 02. 200. (a) Naj bo f : [0, 2] R odvedljiva funkcija z lastnostjo f() = f(2). Dokaži, da obstaja tak c (0, ), da je f (c) = 2f (2c). (b) Naj bo f(x) = 3x 3 4x 2 + 2x +. Poišči tak c (0, ),

Διαβάστε περισσότερα

PONOVITEV SNOVI ZA 4. TEST

PONOVITEV SNOVI ZA 4. TEST PONOVITEV SNOVI ZA 4. TEST 1. * 2. *Galvanski člen z napetostjo 1,5 V požene naboj 40 As. Koliko električnega dela opravi? 3. ** Na uporniku je padec napetosti 25 V. Upornik prejme 750 J dela v 5 minutah.

Διαβάστε περισσότερα

Booleova algebra. Izjave in Booleove spremenljivke

Booleova algebra. Izjave in Booleove spremenljivke Izjave in Booleove spremenljivke vsako izjavo obravnavamo kot spremenljivko če je izjava resnična (pravilna), ima ta spremenljivka vrednost 1, če je neresnična (nepravilna), pa vrednost 0 pravimo, da gre

Διαβάστε περισσότερα

Tabele termodinamskih lastnosti vode in vodne pare

Tabele termodinamskih lastnosti vode in vodne pare Univerza v Ljubljani Fakulteta za strojništvo Laboratorij za termoenergetiko Tabele termodinamskih lastnosti vode in vodne pare po modelu IAPWS IF-97 izračunano z XSteam Excel v2.6 Magnus Holmgren, xsteam.sourceforge.net

Διαβάστε περισσότερα

1. Trikotniki hitrosti

1. Trikotniki hitrosti . Trikotniki hitrosti. Z radialno črpalko želimo črpati vodo pri pogojih okolice z nazivnim pretokom 0 m 3 /h. Notranji premer rotorja je 4 cm, zunanji premer 8 cm, širina rotorja pa je,5 cm. Frekvenca

Διαβάστε περισσότερα

Transformator. Delovanje transformatorja I. Delovanje transformatorja II

Transformator. Delovanje transformatorja I. Delovanje transformatorja II Transformator Transformator je naprava, ki v osnovi pretvarja napetost iz enega nivoja v drugega. Poznamo vrsto različnih izvedb transformatorjev, glede na njihovo specifičnost uporabe:. Energetski transformator.

Διαβάστε περισσότερα

Državni izpitni center SPOMLADANSKI IZPITNI ROK *M * NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Sreda, 3. junij 2015 SPLOŠNA MATURA

Državni izpitni center SPOMLADANSKI IZPITNI ROK *M * NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Sreda, 3. junij 2015 SPLOŠNA MATURA Državni izpitni center *M15143113* SPOMLADANSKI IZPITNI ROK NAVODILA ZA OCENJEVANJE Sreda, 3. junij 2015 SPLOŠNA MATURA RIC 2015 M151-431-1-3 2 IZPITNA POLA 1 Naloga Odgovor Naloga Odgovor Naloga Odgovor

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 12. november Gregor Dolinar Matematika 1

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 12. november Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 12. november 2013 Graf funkcije f : D R, D R, je množica Γ(f) = {(x,f(x)) : x D} R R, torej podmnožica ravnine R 2. Grafi funkcij,

Διαβάστε περισσότερα

MINERALOGIJA KRISTAL MINERAL. Definicija: - kristalna vrsta, nastala v naravi (tudi umetno)

MINERALOGIJA KRISTAL MINERAL. Definicija: - kristalna vrsta, nastala v naravi (tudi umetno) MINERALOGIJA KRISTAL Definicija: - trdno telo - periodična prostorska razvrstitev kemičnih sestavin - ravne ploskve - stalni koti - nastanek: naravni, umetni procesi - anorganske, organske spojine MINERAL

Διαβάστε περισσότερα

Kotne in krožne funkcije

Kotne in krožne funkcije Kotne in krožne funkcije Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku Avtor: Rok Kralj, 4.a Gimnazija Vič, 009/10 β a c γ b α sin = a c cos= b c tan = a b cot = b a Sinus kota je razmerje kotu nasprotne katete

Διαβάστε περισσότερα

8. Diskretni LTI sistemi

8. Diskretni LTI sistemi 8. Diskreti LI sistemi. Naloga Določite odziv diskretega LI sistema s podaim odzivom a eoti impulz, a podai vhodi sigal. h[] x[] - - 5 6 7 - - 5 6 7 LI sistem se a vsak eoti impulz δ[] a vhodu odzove z

Διαβάστε περισσότερα

p 1 ENTROPIJSKI ZAKON

p 1 ENTROPIJSKI ZAKON ENROPIJSKI ZAKON REERZIBILNA srememba: moža je obrjea srememba reko eakih vmesih staj kot rvota srememba. Po obeh sremembah e sme biti obeih trajih srememb v bližji i dalji okolici. IREERZIBILNA srememba:

Διαβάστε περισσότερα

Delovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev

Delovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev KOM L: - Komnikacijska elektronika Delovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev. Določite izraz za kolektorski tok in napetost napajalnega vezja z enim virom in napetostnim delilnikom na vhod.

Διαβάστε περισσότερα

Numerično reševanje. diferencialnih enačb II

Numerično reševanje. diferencialnih enačb II Numerčno reševanje dferencaln enačb I Dferencalne enačbe al ssteme dferencaln enačb rešujemo numerčno z več razlogov:. Ne znamo j rešt analtčno.. Posamezn del dferencalne enačbe podan tabelarčno. 3. Podatke

Διαβάστε περισσότερα

SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK

SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK SKUPNE PORAZDELITVE SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK Kovaec vržemo trikrat. Z ozačimo število grbov ri rvem metu ( ali ), z Y a skuo število grbov (,, ali 3). Kako sta sremelivki i Y odvisi

Διαβάστε περισσότερα

+105 C (plošče in trakovi +85 C) -50 C ( C)* * Za temperature pod C se posvetujte z našo tehnično službo. ϑ m *20 *40 +70

+105 C (plošče in trakovi +85 C) -50 C ( C)* * Za temperature pod C se posvetujte z našo tehnično službo. ϑ m *20 *40 +70 KAIFLEX ST Tehnični podatki Material Izjemno fleksibilna zaprtocelična izolacija, fleksibilna elastomerna pena (FEF) Opis Uporaba Temperaturno območje Toplotna prevodnost W/(m K ) pri različnih srednjih

Διαβάστε περισσότερα

Zaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 15. oktober Gregor Dolinar Matematika 1

Zaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 15. oktober Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 15. oktober 2013 Oglejmo si, kako množimo dve kompleksni števili, dani v polarni obliki. Naj bo z 1 = r 1 (cosϕ 1 +isinϕ 1 )

Διαβάστε περισσότερα

K U P M Metka Jemec. Konferenca o učenju in poučevanju matematike, M a r i b o r, 2 3. i n 2 4. avgusta

K U P M Metka Jemec. Konferenca o učenju in poučevanju matematike, M a r i b o r, 2 3. i n 2 4. avgusta U K 20 P K U P M 2 0 1 2 ROZETA 12 M Metka Jemec Konferenca o učenju in poučevanju matematike, M a r i b o r, 2 3. i n 2 4. avgusta 2 0 1 2 Kaj je rozeta? Rozeta je oblika vzorca, narejena v obliki simetrične

Διαβάστε περισσότερα

matrike A = [a ij ] m,n αa 11 αa 12 αa 1n αa 21 αa 22 αa 2n αa m1 αa m2 αa mn se števanje po komponentah (matriki morata biti enakih dimenzij):

matrike A = [a ij ] m,n αa 11 αa 12 αa 1n αa 21 αa 22 αa 2n αa m1 αa m2 αa mn se števanje po komponentah (matriki morata biti enakih dimenzij): 4 vaja iz Matematike 2 (VSŠ) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 matrike Matrika dimenzije m n je pravokotna tabela m n števil, ki ima m vrstic in n stolpcev: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n

Διαβάστε περισσότερα

vaja Kvan*ta*vno določanje proteinov. 6. vaja Kvan*ta*vno določanje proteinov. 6. vaja Kvan*ta*vno določanje proteinov

vaja Kvan*ta*vno določanje proteinov. 6. vaja Kvan*ta*vno določanje proteinov. 6. vaja Kvan*ta*vno določanje proteinov 28. 3. 11 UV- spektrofotometrija Biuretska metoda Absorbanca pri λ=28 nm (A28) UV- spektrofotometrija Biuretska metoda vstopni žarek intenziteta I Lowrijeva metoda Bradfordova metoda Bradfordova metoda

Διαβάστε περισσότερα

Integralni račun. Nedoločeni integral in integracijske metrode. 1. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: (a) dx. (b) x 3 +3+x 2 dx, (c) (d)

Integralni račun. Nedoločeni integral in integracijske metrode. 1. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: (a) dx. (b) x 3 +3+x 2 dx, (c) (d) Integralni račun Nedoločeni integral in integracijske metrode. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: d 3 +3+ 2 d, (f) (g) (h) (i) (j) (k) (l) + 3 4d, 3 +e +3d, 2 +4+4 d, 3 2 2 + 4 d, d, 6 2 +4 d, 2

Διαβάστε περισσότερα

[ ]... je oznaka za koncentracijo

[ ]... je oznaka za koncentracijo 9. Vaja: Elektrolitska disociacija a) Osnove: Elektroliti so snovi, ki prevajajo električni tok; to so raztopine kislin, baz in soli. Elektrolitska disociacija je razpad elektrolita na ione. Stopnja elektrolitske

Διαβάστε περισσότερα

Splošno o interpolaciji

Splošno o interpolaciji Splošno o interpolaciji J.Kozak Numerične metode II (FM) 2011-2012 1 / 18 O funkciji f poznamo ali hočemo uporabiti le posamezne podatke, na primer vrednosti r i = f (x i ) v danih točkah x i Izberemo

Διαβάστε περισσότερα

MIKROSKOP IN MIKROSKOPIRANJE

MIKROSKOP IN MIKROSKOPIRANJE Gimnazija Murska Sobota POROČILO K LABORATORIJSKI VAJI MIKROSKOP IN MIKROSKOPIRANJE Sandra Gorčan, 4.c prof. Edita Vučak Murska Sobota,8.10.2003 UVOD: Mikroskop je naprava, ki služi za gledanje mikroskopsko

Διαβάστε περισσότερα

- Geodetske točke in geodetske mreže

- Geodetske točke in geodetske mreže - Geodetske točke in geodetske mreže 15 Geodetske točke in geodetske mreže Materializacija koordinatnih sistemov 2 Geodetske točke Geodetska točka je točka, označena na fizični površini Zemlje z izbrano

Διαβάστε περισσότερα

CM707. GR Οδηγός χρήσης... 2-7. SLO Uporabniški priročnik... 8-13. CR Korisnički priručnik... 14-19. TR Kullanım Kılavuzu... 20-25

CM707. GR Οδηγός χρήσης... 2-7. SLO Uporabniški priročnik... 8-13. CR Korisnički priručnik... 14-19. TR Kullanım Kılavuzu... 20-25 1 2 3 4 5 6 7 OFFMANAUTO CM707 GR Οδηγός χρήσης... 2-7 SLO Uporabniški priročnik... 8-13 CR Korisnički priručnik... 14-19 TR Kullanım Kılavuzu... 20-25 ENG User Guide... 26-31 GR CM707 ΟΔΗΓΟΣ ΧΡΗΣΗΣ Περιγραφή

Διαβάστε περισσότερα

VPLIV RAZLIČNIH PARAMETROV PRANJA NA ODSTRANJEVANJE STANDARDNE UMAZANIJE Z BOMBAŽNE TKANINE

VPLIV RAZLIČNIH PARAMETROV PRANJA NA ODSTRANJEVANJE STANDARDNE UMAZANIJE Z BOMBAŽNE TKANINE Univerza v Ljubljani Naravoslovnotehniška fakulteta Oddelek za tekstilstvo VPLIV RAZLIČNIH PARAMETROV PRANJA NA ODSTRANJEVANJE STANDARDNE UMAZANIJE Z BOMBAŽNE TKANINE Avtorica: M. P. Študijska smer: Načrtovanje

Διαβάστε περισσότερα

POROČILO. št.: P 1100/ Preskus jeklenih profilov za spuščen strop po točki 5.2 standarda SIST EN 13964:2004

POROČILO. št.: P 1100/ Preskus jeklenih profilov za spuščen strop po točki 5.2 standarda SIST EN 13964:2004 Oddelek za konstrkcije Laboratorij za konstrkcije Ljbljana, 12.11.2012 POROČILO št.: P 1100/12 680 01 Presks jeklenih profilov za spščen strop po točki 5.2 standarda SIST EN 13964:2004 Naročnik: STEEL

Διαβάστε περισσότερα

Enačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba.

Enačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba. 1. Osnovni pojmi Enačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba. Primer 1.1: Diferencialne enačbe so izrazi: y

Διαβάστε περισσότερα

Multivariatna analiza variance

Multivariatna analiza variance (MANOVA) MANOVA je multivariatna metoda za proučevanje odvisnosti med več odvisnimi (številskimi) in več neodvisnimi (opisnimi) spremenljivkami. (MANOVA) MANOVA je multivariatna metoda za proučevanje odvisnosti

Διαβάστε περισσότερα

13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa

13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa 13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa Bor Plestenjak NLA 25. maj 2010 Bor Plestenjak (NLA) 13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa 25. maj 2010 1 / 12 Enostranska Jacobijeva

Διαβάστε περισσότερα

Zupan, M., Grčman, H., Kočevar, H. Navodila za vaje iz pedologije

Zupan, M., Grčman, H., Kočevar, H. Navodila za vaje iz pedologije Tekstura tal 5 1. TEKSTURA TAL Tla so sestavljena iz trdne, tekoče in plinaste faze. Trdna faza tal je sestavljena iz mineralnih delcev različnih velikosti (pesek, melj, glina) in organske snovi. Tekstura

Διαβάστε περισσότερα

*M * Osnovna in višja raven MATEMATIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Sobota, 4. junij 2011 SPOMLADANSKI IZPITNI ROK. Državni izpitni center

*M * Osnovna in višja raven MATEMATIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Sobota, 4. junij 2011 SPOMLADANSKI IZPITNI ROK. Državni izpitni center Državni izpitni center *M40* Osnovna in višja raven MATEMATIKA SPOMLADANSKI IZPITNI ROK NAVODILA ZA OCENJEVANJE Sobota, 4. junij 0 SPLOŠNA MATURA RIC 0 M-40-- IZPITNA POLA OSNOVNA IN VIŠJA RAVEN 0. Skupaj:

Διαβάστε περισσότερα

Osnovna šola Frana Kranjca GEOGRAFSKI»DUO«V KS POD GRADOM. raziskovalna naloga

Osnovna šola Frana Kranjca GEOGRAFSKI»DUO«V KS POD GRADOM. raziskovalna naloga Osnovna šola Frana Kranjca GEOGRAFSKI»DUO«V KS POD GRADOM Naravnogeografski značilnosti (kamnine, relief) v Krajevni skupnosti Pod gradom raziskovalna naloga Področje: geologija Avtorji: Urh Končan, 9.b

Διαβάστε περισσότερα

Zgodba vaše hiše

Zgodba vaše hiše 1022 1040 Zgodba vaše hiše B-panel strani 8-11 Osnovni enobarvni 3020 3021 3023 paneli 3040 3041 Zasteklitve C-panel strani 12-22 S-panel strani 28-35 1012 1010 1013 2090 2091 1022 1023 1021 1020 1040

Διαβάστε περισσότερα

Frekvenčna analiza neperiodičnih signalov. Analiza signalov prof. France Mihelič

Frekvenčna analiza neperiodičnih signalov. Analiza signalov prof. France Mihelič Frekvenčna analiza neperiodičnih signalov Analiza signalov prof. France Mihelič Vpliv postopka daljšanja periode na spekter periodičnega signala Opazujmo družino sodih periodičnih pravokotnih impulzov

Διαβάστε περισσότερα

Podobnost matrik. Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Diagonalizacija matrik

Podobnost matrik. Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Diagonalizacija matrik Podobnost matrik Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Matjaž Željko FKKT Kemijsko inženirstvo 14 teden (Zadnja sprememba: 23 maj 213) Matrika A R n n je podobna matriki B R n n, če obstaja obrnljiva

Διαβάστε περισσότερα

Ovrednotenje vzorca naravne vode

Ovrednotenje vzorca naravne vode Ovrednotenje vzorca naravne vode Esej Katja Kunčič, 1. letnik Laboratorijske biomedicine Analizna kemija Mentorica: Prof. dr. Nataša Gros Ljubljana, 14.5.2013 1 Uvod Pri vaji analiza vod bi želela analizirati

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!

Διαβάστε περισσότερα

1. Definicijsko območje, zaloga vrednosti. 2. Naraščanje in padanje, ekstremi. 3. Ukrivljenost. 4. Trend na robu definicijskega območja

1. Definicijsko območje, zaloga vrednosti. 2. Naraščanje in padanje, ekstremi. 3. Ukrivljenost. 4. Trend na robu definicijskega območja ZNAČILNOSTI FUNKCIJ ZNAČILNOSTI FUNKCIJE, KI SO RAZVIDNE IZ GRAFA. Deinicijsko območje, zaloga vrednosti. Naraščanje in padanje, ekstremi 3. Ukrivljenost 4. Trend na robu deinicijskega območja 5. Periodičnost

Διαβάστε περισσότερα

VPLIV REAKCIJSKIH SPREMENLJIVK NA POTEK IN HITROST MODELNE REAKCIJE NATRIJEVEGA TIOSULFATA S KLOROVODIKOVO KISLINO

VPLIV REAKCIJSKIH SPREMENLJIVK NA POTEK IN HITROST MODELNE REAKCIJE NATRIJEVEGA TIOSULFATA S KLOROVODIKOVO KISLINO OSNOVNA ŠOLA PRIMOŽA TRUBARJA LAŠKO VPLIV REAKCIJSKIH SPREMENLJIVK NA POTEK IN HITROST MODELNE REAKCIJE NATRIJEVEGA TIOSULFATA S KLOROVODIKOVO KISLINO (RAZISKOVALNO DELO) Avtorici: Lea Lešek Povšič in

Διαβάστε περισσότερα

PROCESIRANJE SIGNALOV

PROCESIRANJE SIGNALOV Rešive pisega izpia PROCESIRANJE SIGNALOV Daum: 7... aloga Kolikša je ampliuda reje harmoske kompoee arisaega periodičega sigala? f() - -3 - - 3 Rešiev: Časova fukcija a iervalu ( /,/) je lieara fukcija:

Διαβάστε περισσότερα

POROČILO 3.VAJA DOLOČANJE REZULTANTE SIL

POROČILO 3.VAJA DOLOČANJE REZULTANTE SIL POROČILO 3.VAJA DOLOČANJE REZULTANTE SIL Izdba aje: Ljubjana, 11. 1. 007, 10.00 Jan OMAHNE, 1.M Namen: 1.Preeri paraeogramsko praio za doočanje rezutante nezporedni si s skupnim prijemaiščem (grafično)..dooči

Διαβάστε περισσότερα

VEKTORJI. Operacije z vektorji

VEKTORJI. Operacije z vektorji VEKTORJI Vektorji so matematični objekti, s katerimi opisujemo določene fizikalne količine. V tisku jih označujemo s krepko natisnjenimi črkami (npr. a), pri pisanju pa s puščico ( a). Fizikalne količine,

Διαβάστε περισσότερα

primarni minerali (minerali iz kamnin): plagioklazi, kremen, olivin

primarni minerali (minerali iz kamnin): plagioklazi, kremen, olivin Komponente tal primarni minerali (minerali iz kamnin): plagioklazi, kremen, olivin sekundarni minerali (preprevanje primarnih mineralov): gline, železovi oksidi, aluminijevi oksidi, sulfidi organska snov

Διαβάστε περισσότερα

2.1. MOLEKULARNA ABSORPCIJSKA SPEKTROMETRIJA

2.1. MOLEKULARNA ABSORPCIJSKA SPEKTROMETRIJA 2.1. MOLEKULARNA ABSORPCJSKA SPEKTROMETRJA Molekularna absorpcijska spektrometrija (kolorimetrija, fotometrija, spektrofotometrija) temelji na merjenju absorpcije svetlobe, ki prehaja skozi preiskovano

Διαβάστε περισσότερα

REGIONALNO-METAMORFNE STENE ( ºC; 2-10 kbar)

REGIONALNO-METAMORFNE STENE ( ºC; 2-10 kbar) REGIONALNO-METAMORFNE STENE (200-800ºC; 2-10 kbar) PODELA PREMA TEKSTURI 1. ŠKRILJAVE I 2. MASIVNE METAMORFNE STENE PODELA PREMA STEPENU KRISTALINITETA (NE ZAVISI OD STEPENA METAMORFIZMA) 1. STENE VISOKOG

Διαβάστε περισσότερα

MERITVE LABORATORIJSKE VAJE. Študij. leto: 2011/2012 UNIVERZA V MARIBORU. Skupina: 9

MERITVE LABORATORIJSKE VAJE. Študij. leto: 2011/2012 UNIVERZA V MARIBORU. Skupina: 9 .cwww.grgor nik ol i c NVERZA V MARBOR FAKTETA ZA EEKTROTEHNKO, RAČNANŠTVO N NFORMATKO 2000 Maribor, Smtanova ul. 17 Študij. lto: 2011/2012 Skupina: 9 MERTVE ABORATORJSKE VAJE Vaja št.: 4.1 Določanj induktivnosti

Διαβάστε περισσότερα

Osnove sklepne statistike

Osnove sklepne statistike Univerza v Ljubljani Fakulteta za farmacijo Osnove sklepne statistike doc. dr. Mitja Kos, mag. farm. Katedra za socialno farmacijo e-pošta: mitja.kos@ffa.uni-lj.si Intervalna ocena oz. interval zaupanja

Διαβάστε περισσότερα

Statistična analiza. doc. dr. Mitja Kos, mag. farm. Katedra za socialno farmacijo Univerza v Ljubljani- Fakulteta za farmacijo

Statistična analiza. doc. dr. Mitja Kos, mag. farm. Katedra za socialno farmacijo Univerza v Ljubljani- Fakulteta za farmacijo Statistična analiza opisnih spremenljivk doc. dr. Mitja Kos, mag. arm. Katedra za socialno armacijo Univerza v Ljubljani- Fakulteta za armacijo Statistični znaki Proučevane spremenljivke: statistični znaki

Διαβάστε περισσότερα

Kvantni delec na potencialnem skoku

Kvantni delec na potencialnem skoku Kvantni delec na potencialnem skoku Delec, ki se giblje premo enakomerno, pride na mejo, kjer potencial naraste s potenciala 0 na potencial. Takšno potencialno funkcijo zapišemo kot 0, 0 0,0. Slika 1:

Διαβάστε περισσότερα

- ENERGIJA: višanje temperature in večanje porabe energije na enoto proizvoda gradiv, ki nastanejo pri višji temperaturi so načeloma kvalitetnejša

- ENERGIJA: višanje temperature in večanje porabe energije na enoto proizvoda gradiv, ki nastanejo pri višji temperaturi so načeloma kvalitetnejša 1. TEORIJA GRADIV: - Razvoj gradiv ( tri tehnološka obdobja ) - Zakonitosti razvoja - Izbira gradiv 1. RAZVOJ GRADIV: - izum ognja pred cca. 600.000, 30.000 8000 = ima umetniško in simbolično izražanje

Διαβάστε περισσότερα

Gimnazija Krˇsko. vektorji - naloge

Gimnazija Krˇsko. vektorji - naloge Vektorji Naloge 1. V koordinatnem sistemu so podane točke A(3, 4), B(0, 2), C( 3, 2). a) Izračunaj dolžino krajevnega vektorja točke A. (2) b) Izračunaj kot med vektorjema r A in r C. (4) c) Izrazi vektor

Διαβάστε περισσότερα

Državni izpitni center SPOMLADANSKI IZPITNI ROK *M * FIZIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Petek, 10. junij 2016 SPLOŠNA MATURA

Državni izpitni center SPOMLADANSKI IZPITNI ROK *M * FIZIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Petek, 10. junij 2016 SPLOŠNA MATURA Državni izpitni center *M16141113* SPOMLADANSKI IZPITNI ROK FIZIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE Petek, 1. junij 16 SPLOŠNA MATURA RIC 16 M161-411-3 M161-411-3 3 IZPITNA POLA 1 Naloga Odgovor Naloga Odgovor

Διαβάστε περισσότερα

Zanesljivost psihološkega merjenja. Osnovni model, koeficient α in KR-21

Zanesljivost psihološkega merjenja. Osnovni model, koeficient α in KR-21 Zanesljivost psihološkega merjenja Osnovni model, koeficient α in KR- Osnovni model in KTT V kolikšni meri na testne dosežke vplivajo slučajne napake? oziroma, kako natančno smo izmerili neko lastnost.

Διαβάστε περισσότερα

1. TVORBA ŠIBKEGA (SIGMATNEGA) AORISTA: Največ grških glagolov ima tako imenovani šibki (sigmatni) aorist. Osnova se tvori s. γραψ

1. TVORBA ŠIBKEGA (SIGMATNEGA) AORISTA: Največ grških glagolov ima tako imenovani šibki (sigmatni) aorist. Osnova se tvori s. γραψ TVORBA AORISTA: Grški aorist (dovršnik) izraža dovršno dejanje; v indikativu izraža poleg dovršnosti tudi preteklost. Za razliko od prezenta ima aorist posebne aktivne, medialne in pasivne oblike. Pri

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta

Matematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta Matematika Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta 6. november 200 Poglavje 2 Zaporedja in številske vrste 2. Zaporedja 2.. Uvod Definicija 2... Zaporedje (a n ) = a, a 2,..., a n,... je predpis,

Διαβάστε περισσότερα

13. Vaja: Reakcije oksidacije in redukcije

13. Vaja: Reakcije oksidacije in redukcije 1. Vaja: Reakcije oksidacije in redukcije a) Osnove: Oksidacija je reakcija pri kateri posamezen element (reducent) oddaja elektrone in se pri tem oksidira (oksidacijsko število se zviša). Redukcija pa

Διαβάστε περισσότερα

Vaje: Električni tokovi

Vaje: Električni tokovi Barbara Rovšek, Bojan Golli, Ana Gostinčar Blagotinšek Vaje: Električni tokovi 1 Merjenje toka in napetosti Naloga: Izmerite tok, ki teče skozi žarnico, ter napetost na žarnici Za izvedbo vaje potrebujete

Διαβάστε περισσότερα

Algoritmi in podatkovne strukture 2. Številska drevesa

Algoritmi in podatkovne strukture 2. Številska drevesa Algoritmi in podatkovne strukture 2 Številska drevesa osnove, PATRICIA, LC Trie Andrej Brodnik: Algoritmi in podatkovne strukture 2 / Številska drevesa osnove, PATRICIA, LC Trie (03) 1 Osnove rekurzivna

Διαβάστε περισσότερα

1 Fibonaccijeva stevila

1 Fibonaccijeva stevila 1 Fibonaccijeva stevila Fibonaccijevo število F n, kjer je n N, lahko definiramo kot število načinov zapisa števila n kot vsoto sumandov, enakih 1 ali Na primer, število 4 lahko zapišemo v obliki naslednjih

Διαβάστε περισσότερα

IZZIVI DRUŽINSKE MEDICINE. U no gradivo zbornik seminarjev

IZZIVI DRUŽINSKE MEDICINE. U no gradivo zbornik seminarjev IZZIVI DRUŽINSKE MEDICINE Uno gradivo zbornik seminarjev študentov Medicinske fakultete Univerze v Mariboru 4. letnik 2008/2009 Uredniki: Alenka Bizjak, Viktorija Janar, Maša Krajnc, Jasmina Rehar, Mateja

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA FOURIERJEVA TRANSFORMACIJA

DISKRETNA FOURIERJEVA TRANSFORMACIJA 29.03.2004 Definicija DFT Outline DFT je linearna transformacija nekega vektorskega prostora dimenzije n nad obsegom K, ki ga označujemo z V K, pri čemer ima slednji lastnost, da vsebuje nek poseben element,

Διαβάστε περισσότερα

Osnove matematične analize 2016/17

Osnove matematične analize 2016/17 Osnove matematične analize 216/17 Neža Mramor Kosta Fakulteta za računalništvo in informatiko Univerza v Ljubljani Kaj je funkcija? Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja

Διαβάστε περισσότερα

S programom SPSS se, glede na število ur, ne bomo ukvarjali. Na izpitu so zastavljena neka vprašanja, zraven pa dobimo računalniški izpis izračunov. T

S programom SPSS se, glede na število ur, ne bomo ukvarjali. Na izpitu so zastavljena neka vprašanja, zraven pa dobimo računalniški izpis izračunov. T 2. predavanje RVM Kvantitativne metode Borut Kodrič, Koper 21.5.2010 Ključ za dostop do e-učilnice: RMD2009 Tekom srečanj bodo zadeve osvežene v smislu, da bodo okleščene. Morda bo dodan še kak rešen primer.

Διαβάστε περισσότερα

IZPIT IZ ORGANSKE ANALIZE 1. ROK ( )

IZPIT IZ ORGANSKE ANALIZE 1. ROK ( ) IZPIT IZ ORGANSKE ANALIZE 1. ROK (26. 1. 2015) 1. Naslednjim spojinam določi topnostni razred in kratko utemelji svojo odločitev! (1) 3-kloroanilin nitroetan butanamid 2. Prikazane imaš 4 razvite kromatograme

Διαβάστε περισσότερα

Najprej zapišemo 2. Newtonov zakon za cel sistem v vektorski obliki:

Najprej zapišemo 2. Newtonov zakon za cel sistem v vektorski obliki: NALOGA: Po cesi vozi ovornjak z hirosjo 8 km/h. Tovornjak je dolg 8 m, širok 2 m in visok 4 m in ima maso 4 on. S srani začne pihai veer z hirosjo 5 km/h. Ob nekem času voznik zaspi in ne upravlja več

Διαβάστε περισσότερα

Vaja: Odbojnostni senzor z optičnimi vlakni. Namen vaje

Vaja: Odbojnostni senzor z optičnimi vlakni. Namen vaje Namen vaje Spoznavanje osnovnih fiber-optičnih in optomehanskih komponent Spoznavanje načela delovanja in praktične uporabe odbojnostnega senzorja z optičnimi vlakni, Delo z merilnimi instrumenti (signal-generator,

Διαβάστε περισσότερα

1. VAJA IZ TRDNOSTI. (linearna algebra - ponovitev, Kroneckerjev δ i j, permutacijski simbol e i jk )

1. VAJA IZ TRDNOSTI. (linearna algebra - ponovitev, Kroneckerjev δ i j, permutacijski simbol e i jk ) VAJA IZ TRDNOSTI (lnearna algebra - ponovtev, Kroneckerev δ, permutacsk smbol e k ) NALOGA : Zapš vektor a = [, 2,5,] kot lnearno kombnaco vektorev e = [,,,], e 2 = [,2,3,], e 3 = [2,,, ] n e 4 = [,,,]

Διαβάστε περισσότερα

Varjenje polimerov s polprevodniškim laserjem

Varjenje polimerov s polprevodniškim laserjem Laboratorijska vaja št. 5: Varjenje polimerov s polprevodniškim laserjem Laserski sistemi - Laboratorijske vaje 1 Namen vaje Spoznati polprevodniške laserje visokih moči Osvojiti osnove laserskega varjenja

Διαβάστε περισσότερα

Jerneja Čučnik Mikroskopiranje in tipi celic Gimnazija Celje Center Mikroskopiranje in tipi celic

Jerneja Čučnik Mikroskopiranje in tipi celic Gimnazija Celje Center Mikroskopiranje in tipi celic Ime in priimek: Jerneja Čučnik Razred: 4.b Šola: Gimnazija Celje Center Mentor: Saša ogrizek, prof. Datum izvedbe vaje: 24.9.2009 1 1. UVOD Mikroskop je instrument za preučevanje predmetov, ki so premajhni,

Διαβάστε περισσότερα

Navadne diferencialne enačbe

Navadne diferencialne enačbe Navadne diferencialne enačbe Navadne diferencialne enačbe prvega reda V celotnem poglavju bo y = dy dx. Diferencialne enačbe z ločljivima spremeljivkama Diferencialna enačba z ločljivima spremeljivkama

Διαβάστε περισσότερα

Poglavje 7. Poglavje 7. Poglavje 7. Regulacijski sistemi. Regulacijski sistemi. Slika 7. 1: Normirana blokovna shema regulacije EM

Poglavje 7. Poglavje 7. Poglavje 7. Regulacijski sistemi. Regulacijski sistemi. Slika 7. 1: Normirana blokovna shema regulacije EM Slika 7. 1: Normirana blokovna shema regulacije EM Fakulteta za elektrotehniko 1 Slika 7. 2: Principielna shema regulacije AM v KSP Fakulteta za elektrotehniko 2 Slika 7. 3: Merjenje komponent fluksa s

Διαβάστε περισσότερα

Razsvetljava z umetno svetlobo

Razsvetljava z umetno svetlobo Fakulteta za kemijo in kemijsko tehnologijo Univerze v Ljubljani Oddelek za tehniško varnost 3. letnik Univerzitetni študij Elektrotehnika in varnost Razsvetljava Razsvetljava z umetno svetlobo predavatelj

Διαβάστε περισσότερα

GRADIVA VAJE 2013/2014

GRADIVA VAJE 2013/2014 VAJE 2013/2014 IME IN PRIIMEK: SkUPINA: ODDANO: -- PREGLEDAL: OCENA: DATUM: Globina prodora kloridov v beton: eksperiment (zgoraj) analiza (spodaj) ROKO ŽARNIĆ VLATKO BOSILJKOV VIOLETA BOKAN BOSILJKOV

Διαβάστε περισσότερα

Fazni diagram binarne tekočine

Fazni diagram binarne tekočine Fazni diagram binarne tekočine Žiga Kos 5. junij 203 Binarno tekočino predstavljajo delci A in B. Ti se med seboj lahko mešajo v različnih razmerjih. V nalogi želimo izračunati fazni diagram take tekočine,

Διαβάστε περισσότερα

Na pregledni skici napišite/označite ustrezne točke in paraboli. A) 12 B) 8 C) 4 D) 4 E) 8 F) 12

Na pregledni skici napišite/označite ustrezne točke in paraboli. A) 12 B) 8 C) 4 D) 4 E) 8 F) 12 Predizpit, Proseminar A, 15.10.2015 1. Točki A(1, 2) in B(2, b) ležita na paraboli y = ax 2. Točka H leži na y osi in BH je pravokotna na y os. Točka C H leži na nosilki BH tako, da je HB = BC. Parabola

Διαβάστε περισσότερα

Definicija. definiramo skalarni produkt. x i y i. in razdaljo. d(x, y) = x y = < x y, x y > = n (x i y i ) 2. i=1. i=1

Definicija. definiramo skalarni produkt. x i y i. in razdaljo. d(x, y) = x y = < x y, x y > = n (x i y i ) 2. i=1. i=1 Funkcije več realnih spremenljivk Osnovne definicije Limita in zveznost funkcije več spremenljivk Parcialni odvodi funkcije več spremenljivk Gradient in odvod funkcije več spremenljivk v dani smeri Parcialni

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Energije in okolje 1. vaja. Entalpija pri kemijskih reakcijah

Energije in okolje 1. vaja. Entalpija pri kemijskih reakcijah Entalpija pri kemijskih reakcijah Pri obravnavi energijskih pretvorb pri kemijskih reakcijah uvedemo pojem entalpije, ki popisuje spreminjanje energije sistema pri konstantnem tlaku. Sistemu lahko povečamo

Διαβάστε περισσότερα

Spoznajmo sedaj definicijo in nekaj osnovnih primerov zaporedij števil.

Spoznajmo sedaj definicijo in nekaj osnovnih primerov zaporedij števil. Zaporedja števil V matematiki in fiziki pogosto operiramo s približnimi vrednostmi neke količine. Pri numeričnemu računanju lahko npr. število π aproksimiramo s števili, ki imajo samo končno mnogo neničelnih

Διαβάστε περισσότερα

SLIKA 1: KRIVULJA BARVNE OBČUTLJIVOSTI OČESA (Rudolf Kladnik: Osnove fizike-2.del,..stran 126, slika 18.4)

SLIKA 1: KRIVULJA BARVNE OBČUTLJIVOSTI OČESA (Rudolf Kladnik: Osnove fizike-2.del,..stran 126, slika 18.4) Naše oko zaznava svetlobo na intervalu valovnih dolžin približno od 400 do 800 nm. Odvisnost očesne občutljivosti od valovne dolžine je različna od človeka do človeka ter se spreminja s starostjo. Največja

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

POPIS DEL IN PREDIZMERE

POPIS DEL IN PREDIZMERE POPIS DEL IN PREDIZMERE ZEMELJSKI USAD v P 31 - P 32 ( l=18 m ) I. PREDDELA 1.1 Zakoličba, postavitev in zavarovanje prečnih profilov m 18,0 Preddela skupaj EUR II. ZEMELJSKA DELA 2.1 Izkop zemlje II.

Διαβάστε περισσότερα

II. LIMITA IN ZVEZNOST FUNKCIJ

II. LIMITA IN ZVEZNOST FUNKCIJ II. LIMITA IN ZVEZNOST FUNKCIJ. Preslikave med množicami Funkcija ali preslikava med dvema množicama A in B je predpis f, ki vsakemu elementu x množice A priredi natanko določen element y množice B. Važno

Διαβάστε περισσότερα