Does this algorithm halt? Yes
|
|
- Σόλων Νικολάκος
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Does this algorithm halt? Yes No
2
3 REC RE
4
5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0,, 2 A,,,,, A, A,,,,,,,,, A P n A P A n n N R A R 2 A A 2 {P A 2 (a, a) P a A} A 2 {P A 2 (a, b), (b, c) P (a, c) P } P A B R 2 A B P R P R P P R R {(n, m) N 2 m = n + 1} {(n, m) N 2 n < m} {(n, m) N 2 n < m} {(n, m) N 2 n m} f A B f : A B f ((a, b 1 ) f (a, b 2 ) f) b 1 = b 2 (a, b) f f(a) = b A n = A A n
6 f : A B f b B a A(f(a) = b) f (f(a 1 ) = b f(a 2 ) = b) a 1 = a 2 f : A B f a A b B(f(a) b) f(a) = B f : A B f dom(f) = {a A f(a) B} A f im(f) = {b B a A(f(a) = b)} B f : A B f f 1 : im(f) dom(f) f 1 (x) = y y f(y) = x f : A B g : B C f g g f : A C g(f(x)), x dom(f) g f(x) =, χ A : A {0, 1} A 1, a A χ A (a) = 0, N Z [n] {1,..., n} n N R A A N A N A, B f : A B A N A = ℵ 0 A A < 2 A f : A 2 A B = {x A x f(x)} B A f b A f(b) = B b B b B 0 x! : x x y : x y x y : x y
7 {0, 1} {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} {q, w, e, r, t, y, u, i, o, p, a, s, d, f, g, h, j, k, l, z, x, c, v, b, n, m,,.,?,!} Σ Σ {0, 1} 1917 {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} mpla {q, w, e, r, t, y, u, i, o, p, a, s, d, f, g, h, j, k, l, z, x, c, v, b, n, m,,.,?,!} w Σ w w = = 4 mpla = 4 ϵ 0 Σ i = {w Σ w = i} i N Σ Σ = Σ i i=1 Σ w w R w mpla R = alpm
8 w 1 = x 1 x m w 2 = y 1 y n Σ w 1 w 2 w 1 w 2 w 1 w 2 = x 1 x m y 1 y n w, w Σ w w w 1, w 2 Σ w 1 = ϵ w 2 = ϵ w = w 1 w w 2 Σ σ : Σ [ Σ ] Σ σ {0, 1} σ(0) = 1 σ(1) = 2 ϵ, 0, 1, 00, 01, 10, 11, 000, 001, Σ σ : Σ [ Σ ] Σ σ Σ N Σ = ℵ 0 Σ σ : Σ [ Σ ] w, w Σ w w σ w < σ w Σ σ w < w w w w w 11 < 000 Σ x Σ x k x x k k N Σ L Σ Σ {0, 1} L = {w {0, 1} w = 0 n 1 n, n N} L = {w {0, 1} w = w R } L = L = {ϵ} Σ L 1, L 2 Σ L 1 L 2 = {w Σ w 1 L 1 w 2 L 2 (w = w 1 w 2 )} $, Σ σ($) > σ( ) $ (01) 2 = = 011
9 Σ L Σ L 0 = {ϵ} L 1 = L L n = LL n 1 L = L i i N Σ Σ Σ {[, ],,, } Σ a, b [ab] a, b [a b] a a R Σ Σ [0 1 ], [0 1 ], [[01 ]0], [01] {0, 1} Σ L : R Σ 2 Σ {a} L(x) = L(a)L(b) L(a) L(b) L(a), x =, x = a Σ, x = [ab] a, b R Σ, x = [a b] a, b R Σ, x = a a R Σ L [[0 1] 0] {0, 1} L([[0 1] 0]) = L([0 1] )L(0) = L([0 1]) {0} = (L(0) L(1)) {0} = ({0} {1}) {0} = {0, 1} {0} = {w {0, 1} w 1 {0, 1} (w = w 1 0)}
10
11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 M = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, q, q ) Q, Σ, Γ Q q 0, q, q Q q q q 0 q, q Σ Γ Σ Γ, Γ Σ δ : Q Γ Q Γ {, } a Γ q {q, q }(δ(q, a) = ) q, q Q {q, q } a Γ(δ(q, ) = (q, a, x) x = a = ) M = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, q, q ) w Σ M M Γ Γ M w w M Q M w
12 w q q q 0 q1 q2 δ δ (q 3, 0, q 4, 3, ) δ M = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, q, q ) M w M = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, q, q ) q 3 100q (Γ Q) M = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, q, q ) w Σ M(w) q 0 w M w M(w)
13 q q q 0 q1 q2 q 3 q 4 q q q 0 q1 q2 q 3 q 4 M(w) w 1 qw 2 w 1, w 2 Γ q {q, q } M = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, q, q ) a i Γ, i [n] q Q a 1 a 2 a i 1 qa i a n δ(q, a i ) = (p, b, ) i > 1 a 1 a 2 a i 2 pa i 1 ba i+1 a n a 1 a 2 a i 1 qa i a n M a 1 a 2 a i 2 pa i 1 ba i+1 a n δ(q, a i ) = (p, b, ) i > 1 a 1 a 2 a i 1 bpa i+1 a n a 1 a 2 a i 1 qa i a n M a 1 a 2 a i 1 bpa i+1 a n δ(q, a i ) = q {q, q } q {q, q } M = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, q, q ) w Σ C 1, C 2 M(w) C 1 M C 2 C 1 C 2 δ M M C 1 M C 2 C 1 C 2
14 M = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, q, q ) w Σ M(w) C 1,..., C n C 1 C i M C i+1 i [n 1] M(w) M(w) M(w) w 1, w 2 Γ q {q, q } q 0 w M w 1 qw 2 q = q M(w) q M w q = q M(w) q M w M(w) M(w) M w Σ M(w) t q M(w) t q t N M(w) M(w) M(w) t M(w) q q M(w) q M = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, q, q ) M L(M) = {w Σ M(w) q } δ M = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, q, q ) Q = {q 0, q, q } Σ = {0, 1} Γ = {,, 0, 1} δ = {(q 0, 0, q 0, 0, ), (q 0,, q,, ), (q 0, 1, q, 1, )} δ L(M) = {w {0, 1} w = 0 n, n N} M 1. q 00q 00Δ 2. q 0 q Δ 3. q 01q 1Δ
15 /, q 0 q q Σ { } q q 0/0, /, q q 0 1/1, q M = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, q, q ) Q = {q 0, q, q } Σ = {0, 1} Γ = {,, 0, 1} δ L(M) = M = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, q, q ) Q = {q, q } Σ = {0, 1} Γ = {,, 0, 1} δ L(M) = {0, 1} L Σ L M L = L(M) w L M(w) q L Σ L M w L M(w) q
16 1/1, 1/1, 0/0, q 0 q 1 /, 0/0, /, q q 1/1, 1/1, 1/1, 0/0, 0/0, 0/0, q 0 q 1 q 2 q /, /, /, q w L M(w) q L = {w {0, 1} 0 w } L w {0, 1} 0 w M(w) q 0 w M(w) q L = {w {0, 1} 0 w 3} L L = {w {0, 1} w = w R } L M = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, q, q ) Q = {q 0, q 1, q 2, q 3, q 4, q 5, q, q } Σ = {0, 1} Γ = {,, 0, 1, } δ Σ {0, 1} 2 {0,1} {A, B, C} A 01 B 011 C 0111 ACAB
17 /, /, 0/, 0/0, 1/1, q 1 /, /, q 2 /, 0/, q q 0 /, /, q 3 0/0, 1/1, 1/, 1/, q 4 q 5 /, 1/1, /, 0/0, 0/0, 1/1, q RE = {L {0, 1} L} REC = {L {0, 1} L} REC RE 2 {0,1} L RE REC L 2 {0,1} RE f : Σ Σ M = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, q, q ) w dom(f)( q 0 w M qf(w)) w dom(f)(m(w) ) q {q, q } M f id : Σ Σ id(x) = x f : {0, 1} {0, 1} f(x) = 1
18 2 {0,1} RE REC REC RE 0/, 1/, /, 1/1, /1, q 0 q 1 /, q 2 /, q q Σ { } f : {0, 1} {0, 1} f(x) = 0, x {0 n n N}, : Σ Σ (x) = next : {0, 1} {0, 1} next(x) = x {0, 1} M next space : {0, 1} {0, 1, } space(x) = x M space f : {0, 1} {0, 1, } f(x) = x M space M = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, q ) q
19 0/, /, 0/0, q 0 /0, q 1 /, q 2 /, q 1/1, 1/1, q q 3 /, Σ { } q 3 1/1, 0/0, 1/1, 1/1, q 0/0, 0 q 1 /, q 2 0/1, q 3 1/0, /0, q 4 /, q /, q 1/0, {0, 1} L REC M L w M w L w / L L RE M L
20 0/0, 1/1, 0/, q 0 /, q 1 /, q 2 /, 1/, q 4 /0, q 3 /1, q q M space w M w L f : Σ Σ M x M f(x) x dom(f) M(x) M x f(x) f 1, f 2 : Σ Σ f 2 f 1 M 1 M 2 f 1 f 2 M f 2 (f 1 (x)) Σ M(x) f 1 (x) = f 2 (f 1 (x)) = M(x) M f 2 f 1 f : {0, 1} {0, 1} f 1
21 0/0, 1/1, 0/, q 0 /, q 1 /, q 2 /, 1/, q 4 /0, q 3 /1, q 6 q 5 /, 0/0, 1/1, 0/, q 7 /, q 8 /, q 9 /, 1/, q 11 /0, q 10 /1, q q M x f 1 (x) M 1 M 2 f 2 (f 1 (x)) f 2 f 1 M f f M f M next y ϵ f L Σ L REC χ L L M space
22 y ϵ y M f f(y) f(y) = x M y x y next(y) M next f 1 M x M L 1 0 χ L L REC ( ) L REC M L χ L ( ) M χl χ L M L M ϕ M : {0, 1} {0, 1} M f : {0, 1} {0, 1} ϕ M (x) = f(x) M 1, M(x) q ϕ M (x) = 0, M(x) q, M(x) ϕ M M 1 M 2 ϕ M1 = ϕ M2 E = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, q ) Q, Σ, Γ ϕ M χ L(M) L(M) REC
23 x M χl M L χ L q q 0 q1 q2 Q q 0, q Q q Q Σ Γ Σ Γ,, Γ Σ E δ : Q Γ Q Γ {, } q, q Q a Γ(δ(q, ) = (q, a, x) x = a = ) E q E Σ E w Σ pop E (w) pop(w) E E
24 q 0 /, q /1, {1 n n N} q 0 /, /1, q q 1 /0, {(10) n n N} E = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, q ) E L(E) = {w Σ w Γ ( q 0 E w wq )} L(E) = {w Σ pop E (w)} L Σ E = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, q ) L = L(E) E L(E) = {1 n n N} E L(E) = {(10) n n N} E L E pop(w), w L L Σ L RE E = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, q ) L(E) = L ( ) ( ) E L M L
25 x M E pop(w) x = w L E w ϵ w M L w w q E pop(w) next(w) w M next w L REC M L L RE L Σ E = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, q ) L(E) = L E L L Σ L REC E = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, q ) L ( ) L REC L M L E L {w 1, w 2,..., w n } w i < w j i < j ( ) L {w 1, w 2,..., w n } REC L E M L L L REC w 1, w 2,..., w n w n
26 M w w = w 1 w = w 2 w = w n L = {w 1, w 2,..., w n } M x x = x x < w w w = E pop(w) x = w L E k M k = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, q, q ) Q, Σ, Γ Q q 0, q, q Q q q Σ Γ Σ Γ, Γ Σ δ : Q Γ k Q Γ k {, } k a 1,..., a k Γ q {q, q }(δ(q, a 1,..., a k ) = )
27 1 q q q 0 q1 q2 2 k k i [k] q, q Q {q, q } a 1,..., a k, b 1,..., b k Γ x 1,..., x k {, }(δ(q, a 1,..., a k ) = (q, b 1,..., b k, x 1,..., x k ) a i = x i = b i = ) M k M k k k M k k k k N M k = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, q, q ) k M = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, q, q ) Γ = Γ { } {ȧ a Γ { }} { } M k k M k M k M k M δ Q M k i N i k i i > k M k M δ Q M
28 q q q 0 q1 q q q q 0 q1 q2 k M δ M k M space δ M w = w 1 w n Σ M
29 w 1 w n M w 1 w n M w 1 w 2 M M w 1 w 2 N = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, q, q ) Q, Σ, Γ Q q 0, q, q Q q q Σ Γ Σ Γ, Γ Σ δ Q Γ Q Γ {, } a, b Γ q Q x {, }((q, a, q, b, x) δ (q, a, q, b, x) δ) q Q {q, q } q Q a Γ((q,, q, a, x) δ x = a =
30 0/0, 1/1, q q 0 1/1, q N δ N N q N 0q N 00q 0 10 N 001q 0 2 q N 0q N 00q 0 10 N 001q 0 N = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, q, q ) N L(N) = {w Σ w 1, w 2 Γ ( q 0 w N w 1 q w 2 )} q L Σ N N L L = L(N) L Σ N N L L = L(N) w Σ N(w) f : Σ Σ N N f w Σ w dom(f) N(w) qf(w) q {q, q } w dom(f) N(w) L = {w {0, 1} w 1} N ϵ N(ϵ)
31 N ND N N = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, q, q ) M w Σ (w L(N) w L(M)) w Σ N(w) k N q M(w) k w Σ w L(N) k 0 N N(w) q N(w) k 0 M(w) q w L(M) w L(N) k N N(w) q M(w) w L(M) N(w) (q, a) q Q a Γ r = Q Γ 2 (q, a, p, b, x) p Q b Γ x {, } N(w) r r [r] N(w) k k N c {1,..., r} k N D w c {1,..., r} N(w) N D (w) c c 0 [r] N(w) c 0 c = c 1 c k i k c i δ
32 w c N N D N D w 2 w c ϵ 3 w c N D M next(c) N D (w, c) q M next 3 c M N(w) c q N D (w) c N D (w) q i [ c ] c i N N D (w) q M next w {1,..., r} next(w) {1,..., r} M w N D M M M
33 {0, 1} Σ Σ Σ M = (Q, {0, 1}, {,, 0, 1}, δ, q 0, q, q ) δ M M δ δ Σ = {0, 1, q, s, d, } Q q {0, 1} i = 2 Q q 0 Σ = q i q 1 Σ = q00 01 q 2 Σ = q00 10 q Σ = q11 10 q Σ = q11 11 {,, 0, 1}, Σ = s00 Σ = s01 0 Σ = s10 1 Σ = s11 Σ = d0 Σ = d1 (a, q, b, p, x) δ a, b {,, 0, 1} q, p Q x {, } (a, q, b, p, x) Σ = a Σ q Σ b Σ p Σ x Σ δ M w M(w)
34 δ = {δ 1, δ 2,..., δ k } δ δ Σ = δ 1 Σ δ 2 Σ δ k Σ q00s10q00s10d1 q00s00q00s00d1 q00s01q01s01d1 q00s11q11s11q1 M Σ δ Q = n M n {0,1} δ Σ n {0,1} n {0, 1, q, s, d, } {0, 1} 0 {0,1} = 01 1 {0,1} = 011 q {0,1} = 0111 s {0,1} = d {0,1} = {0,1} = {0, 1} M G = { M {0, 1} M } G {0, 1} Gödel : G N Gödel(M) = M {0, 1} Gödel(M) M G REC Gödel Gödel δ {0, 1, q, s, d} Gödel(M) Gödel( M )
35 M M M(w) L 2 {0,1} RE Gödel G N G = ℵ 0 2 {0,1} > ℵ 0 G 2 {0,1} L 2 {0,1} M L(M) = L {0, 1} M = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, q, q ) w M {0, 1} M(w) 1 ( M, w ) M, w ( M, w ) M 2 w 1 q 0 3 M(w) ( M, w ) M 2 3 {0, 1} M, w
36 1 1 3 q 3 q q q 2 3 w Σ M, w M(w) q M(w) q M w M(w) M(w) Σ np : Σ N Σ N np M np ( ) ( ) M L L M np E L
37 ϵ (ϵ, 0) (ϵ, 1) (ϵ, 2) (ϵ, 3) (ϵ, 4) 0 (0, 0) (0, 1) (0, 2) (0, 3) (0, 4) 1 (1, 0) (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) 00 (00, 0) (00, 1) (00, 2) (00, 3) (00, 4) 01 (01, 0) (01, 1) (01, 2) (01, 3) (01, 4) np {0, 1} N M L M L (w, t) (ϵ, 0) (w, t) M L (x) x Σ (x w) t E np(w, t) M np (w, t) (w, t) x i1,..., x in pop(x ij ), j [n] E L M L REC RE L 1, L 2 Σ L 1, L 2 REC L 1 L 2 REC L 1, L 2 RE L 1 L 2 RE M 1, M 2 L 1, L 2 M L 1 L 2 L 1, L 2 Σ L 1, L 2 REC L 1 L 2 REC L 1, L 2 RE L 1 L 2 RE M 1, M 2 L 1, L 2 M L 1 L 2 M 1, M 2 L 1, L 2 M L 1 L 2
38 REC RE w M 1 M M 2 w M L 1 L 2 w M 1 M M 2 w M L 1 L 2 L Σ L REC L REC M L L M L L L Σ L RE L RE L REC L 1, L 2 Σ L 1, L 2 REC L 1 L 2 REC L 1, L 2 RE L 1 L 2 RE L Σ L REC L REC L RE L RE L Σ L R = {w Σ w R L} L REC L R REC L RE L R RE L Σ L p = {w L w = w R } L REC L p REC L RE L p RE
39 t + 1 t 0 t M 1 M 1 M w M 1 (w) t t t + 1 (w, t) M 2 M 2 t M 2 (w) t M L 1 L 2 M L w M L M L L f : Σ Σ f 1 L Σ L RE L = {x Σ y Σ ( x, y B)} B REC A, B, C Σ C A B A C B C
40 REC RE A, B RE A B = C REC A, B Σ A B = A, B RE C REC L = { M, w, n Σ n 1 M(w) L REC n } L Σ L L N {0, 1} L {0, 1} N {0, 1} K = {x N M x (x) } R = {x N dom(ϕ Mx ) REC} M x (M x ) = x R K R K = σ : K K f : N N f(x) = { 1 w Σ (M x (w) ) f : N N f(x) = { x L(M x) x f : N N im(f) REC L {0, 1} f(l) REC
41 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 {0, 1} w {0, 1} n w 2 {0,1} {0, 1} {0, 1} N N f : N m N m 1 s(x) = x + 1 c m q (x 1,..., x m ) = q q N q p m i (x 1,..., x m ) = x i 1 i m i {0, 1} ϵ, 00, 01 {0, 1} {0, 1} N f = s m = 1
42 g : N n N h i : N m N 1 i n g h i, 1 i n f(x 1,..., x m ) = g(h 1 (x 1,..., x m ),..., h n (x 1,..., x m )) g : N m 1 N h : N m+1 N f(0, x 1,..., x m 1 ) = g(x 1,..., x m 1 ) f(y + 1, x 1,..., x m 1 ) = h(f(y, x 1,..., x m 1 ), y, x 1,..., x m 1 ) m = 0 c 0 q = q q N m = 1 f : N N f(0) = c 0 q f(y + 1) = h(f(y), y) h : N 2 N h : N 3 N h(x, y, z) = x + 1 plus : N 2 N plus(x, y) = x + y plus h(x, y, z) = s(p 3 1(x, y, z)) f(0, y) = p 1 1 (y) [ = y ] f(x + 1, y) = h(f(x, y), x, y) [ = f(x, y) + 1 ] (x, y) N 2 f(x, y) = plus(x, y) y N x = 0 f(0, y) = p 1 1 (y) = y = plus(0, y) f(x, y) = plus(x, y) f(x + 1, y) = plus(x + 1, y) f(x + 1, y) = h(f(x, y), x, y) = f(x, y) + 1 = plus(x, y) + 1 = x + y + 1 = plus(x + 1, y) m > 1 m = 1
43 mult : N 2 N mult(x, y) = x y f(0, y) = c 1 0 (y) [ = 0 ] f(x + 1, y) = plus(p 3 1 (f(x, y), x, y), p3 3 (f(x, y), x, y))) [ = f(x, y) + y ] plus fact : N N fact(x) = x! f(0) = c 0 1 [ = 1 ] f(x + 1) = mult(f(x), s(x)) [ = f(x) (x + 1) ] mult 0, x = 0 pd : N N pd(x) = x 1, f(0) = c 0 0 [ = 0 ] f(x + 1) = p 2 2 (f(x), x) [ = x ] : N 2 N (x, y) = 0, x < y x y, f(x, 0) = p 1 1 (x) [ = x ] f(x, y + 1) = pd(p 3 1 (f(x, y), x, y)) [ = f(x, y) 1 ] pd x y (x, y) min : N 2 N min(x, y) = {x, y} min(x, y) = x (x y) max : N 2 N max(x, y) = {x, y} max(x, y) = plus(x, y) min(x, y) plus, min (x, y) = f(p 2 2(x, y), p 2 1(x, y)) f(0, y) = p 1 1(y) f(x + 1, y) = pd(p 3 1(f(x, y), x, y))
44 min max m m N exp : N 2 N exp(x, y) = x y f(x, 0) = c 1 1 (x) [ = 1 ] f(x, y + 1) = mult(p 3 1 (f(x, y), x, y), p3 2 (f(x, y), x, y)) [ = f(x, y) x ] mult P N m m 1 χ P : N m {0, 1} {(x, y) N 2 x = y} χ = (x, y) = c 0 1 plus(x y, y x) plus {(x, y) N 2 x y} χ (x, y) = c 0 1 (x y) {(x, y) N 2 x < y} χ χ < (x, y) = χ (s(x), y) P i N m i [n] g j : N m N j [n + 1] n, m 1 f : N m N f(x 1,..., x m ) = g 1 (x 1,..., x m ), (x 1,..., x m ) P 1 g 2 (x 1,..., x m ), (x 1,..., x m ) P 2 g n (x 1,..., x m ) g n+1 (x 1,..., x m ), (x 1,..., x m ) P n, f
45 n = 1 f(x 1,..., x m ) = χ P1 (x 1,..., x m ) g 1 (x 1,..., x m ) + (1 χ P1 (x 1,..., x m )) g 2 (x 1,..., x m ), 1 c m 1 (x 1,..., x m ) +, exp rm : N 2 x y, y 0 N rm(x, y) = x + 1, y = 0 0 y 0 f(0, y) = 1 y = 0 x + 2, y = 0 f(x + 1, y) = 0, f(x, y) + 1 = y f(x, y) + 1, = < {(x, y) N 2 x y} χ (x, y) = 1 rm(y, x) rm qt : N 2 N x y qt(x, y) = (x y), y 0 x + 1, y = 0 0 y 0 f(0, y) = 1 y = 0 x + 2, y = 0 f(x + 1, y) = f(x, y) + 1, rm(x + 1, y) = 0 f(x, y), rm x y
46 dn : N 2 N dn(x, y) = {d N (d y) (d x)} χ f(0, y) = 0 f(x + 1, y) = f(x, y) + χ (x + 1, y) Prime = {x N x } dn 1, dn(x, x) = 2 χ Prime (x) = 0, P N m+1 m 1 y N {i y (i, x 1,..., x m ) P } (µ i y)[(i, x 1,..., x m ) P ] = y + 1,, P N m+1 m 1 f : N m+1 N f(y, x 1,..., x m ) = (µ i y)[(i, x 1,..., x m ) P] h(j, x 1,..., x m ) = 1 χ P (j, x 1,..., x m ) g(i, x 1,..., x m ) = prod h (i, x 1,..., x m ) [ i j=0 1 χ P (j, x 1,..., x m ) ] f(y, x 1,..., x m ) = sum g (y, x 1,..., x m ) [ y i=0 g(i, x 1,..., x m ) ] sum g(y, x 1,..., x m) = g(i, x 1,..., x m) y i=0 y prod g (y, x 1,..., x m) = g(i, x 1,..., x m) g : N m+1 N h : N m+1 N i=0
47 P N m+1 g : N m N m 1 f : N m+1 N f(z, x 1,..., x m ) = (µ i g(x 1,..., x m ))[(i, x 1,..., x m ) P] pn : N N pn(x) x 1 pn(x) = {p N p x p}, x = 0, f(0) = 1 2, x = 0 f(x + 1) = (µ i fact(f(x)) + 1)[(i, f(x)) P], P = {(i, x) N 2 x < i i Prime} fact pn P n N p n < p n! + 1 χ P (i, x) = χ < (x, i) + χ Prime (i) 1 χ < χ Prime n! + 1 p < n! + 1 p n! + 1 p n! 1 p 1, 2,..., n p n < p n! + 1 n = pn(x) (pn(x), pn(x)! + 1]
48 x 1, x 2,..., x n n i (x i +1) = n i i n i 5, 5 2, = 2 n N enc n : N n N enc 0 = 1 enc n (x 1,..., x n ) = 2 x x 2+1 p xn+1 n, n 1 p n n seq = {x N x = 1 n, x 1,..., x n N n 1 x = enc n (x 1,..., x n )} dec : N 2 N x i dec(i, x) = x + 1, x seq x = enc n (x 1,..., x n ) i [n], enc n dec seq enc 0 = 1 enc n (x 1,..., x n ) = pn(1) x 1+1 pn(n) x n+1 seq 1, x = 1 χ seq (x) = 1 (x + 1 µ(j x)[(j > µ(i x)[pn(i) x]) (pn(j) x)]), x 2 (µ j x)[pn(i) j+1 x] 1, x seq pn(i) x dec(i, x) = x + 1, pn pn(x) i+1 y (pn(x) i+1, y) N {(x, y) N 2 x y}
49 enc 0 x 1,..., x n enc n (x 1,..., x n ) length : N N add : N 2 N remove : N 2 N n, x seq x = x 1,..., x n length(x) = 0, x 1,..., x n, y, x seq x = x 1,..., x n add(x, y) = 0, x 1,..., x n 1, x seq x = x 1,..., x n n 2 remove(x) = 0, h : N m+1 N f : N m N f(y, x 1,..., x m 1 ) = h( f(0, x 1,..., x m 1 ),..., f(y 1, x 1,..., x m 1 ), y, x 1,..., x m 1 ) g : N m N g(0, x 1,..., x m 1 ) = g(y + 1, x 1,..., x m 1 ) = add(g(y, x 1,..., x m 1 ), h(g(y, x 1,..., x m 1 ), y, x 1,..., x m 1 )) f f(y, x 1,..., x m 1 ) = dec(y, g(y + 1, x 1,..., x m 1 )) fib : N N 0, n = 0 fib(n) = 1, n = 1 fib(n 1) + fib(n 2), n 2 0, n = 0 fib(n) = 1, n = 1 dec(n 1, f(0),..., f(n 1) ) + dec(n 2, f(0),..., f(n 1) ), n 2 gcd : N 2 N gcd(x, y) = {d N d = 0 (d x d y)}
50 0, x = 0 y = 0 x, x, y 1 x y (x, y) = (y x, y), 1 x y x y (x y, y), 1 y < x gcd 0, x = 0 y = 0 x, x, y 1 x y f(x, y) = dec(rm(y, x), f(0, y),..., f(x 1, y) ) [ = f(rm(y, x), y) ], 1 x y x y dec(rm(x, y), f(0, y),..., f(x 1, y) ) [ = f(rm(x, y), y) ], 1 y < x rm g : N m+1 N m 1 y N g µ (µ i y)[g(i, x 1,..., x m )=0]={i y (g(i, x 1,..., x m )=0) ( j (y j <i g(i, x 1,..., x m )>0))} i y g(i, x 1,..., x m ) = 0 (µ i y)[g(i, x 1,..., x m ) = 0] = g j y (µ i y)[g(i, x 1,..., x m ) = 0] = i j g(i, x 1,..., x m ) = 0 f : N m N m 1 µ P N m m 1 µ χ P : N m {0, 1} p N p p + 2 tpn : N N tpn(x) x
51 tpn(x) = 1, x = 0 {p N p x p} f(0) = 1 3, x = 0 f(x + 1) = (µ i f(x) + 1)[2 (χ Prime (i) + χ Prime (i + 2)) = 0], χ Prime tpn tpn A(0, y) = y + 1 A(x + 1, 0) = A(x, 1) A(x + 1, y + 1) = A(x, A(x + 1, y)) f : N m N
52 f M M M n N M(n) f(n) ( ) ( ) f : N N M = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, q, q ) M Q = {q 0, q 1,..., q n } q n Σ = {1} Γ = {a 0, a 1,..., a k } a 0 = a 1 = a 2 = 1 M M M N q i Q q i N = i a i Γ a i N = i w 1 w n Γ w 1 w n N = enc n ( w 1 N,..., w n N ), N = 0 N = 2 M(w) M 0 1 n 1 1 (n+1) M n q n 1 1 (f(n)+1)
53 w 1 q i w 2 i w w 1 w 2 N w 1 q i w 2 N = enc 3 (i, w 1 + 1, w 1 w 2 N ) q N = enc 3 (0, 2, 1 1 N ) (n+1) (n+1) x N M(n) x cs(x) = dec(1, x) ctp(x) = dec(2, x) ctn(x) = dec(3, x) cts(x) = dec(ctp(x), ctn(x)) tr M : N 2 N tr M (x, y) = M(x) y δ δ(q i0, b 0 ) = (q j0, c 0, d 0 ) δ(q i1, b 1 ) = (q j1, c 1, d 1 ) δ(q im, b m ) = (q jm, c m, d m ) q ir, q jr Q b r, c r Γ d r {, } r [m] ns : N N j 0 j 1 ns(x) = j m cs(x), cs(x) = i 0 cts(x) = b 0 N, cs(x) = i 1 cts(x) = b 1 N, cs(x) = i m cts(x) = b m N, tr M (x, 0) = q N (x+1)
54 ntp : N N ctp(x) + d 0 N 1 ctp(x) + d 1 N 1 ntp(x) = ctp(x) + d m N 1 ctp(x), cs(x) = i 0 cts(x) = b 0 N, cs(x) = i 1 cts(x) = b 1 N, cs(x) = i m cts(x) = b m N, nts : N N c 0 N, cs(x) = i 0 cts(x) = b 0 N c 1 N, cs(x) = i 1 cts(x) = b 1 N nts(x) = c m N, cs(x) = i m cts(x) = b m N cts(x), M x N ctn(x) ctp(x) cts(x) + 1 nts(x) + 1 ctn(x) pn(ctp(x)) cts(x)+1 pn(ctp(x)) nts(x)+1 pn ntn : N N ntn(x) = qt(ctn(x), pn(ctp(x)) cts(x)+1 ) pn(ctp(x)) nts(x)+1 qt tr M tr M f(x, 0) = q N (x+1) f(x, y + 1) = enc 3 (ns(f(x, y)), ntp(f(x, y)), ntn(f(x, y))) cs ctp ctn cts ns ntp nts ntn tr M M x N t tr M (x, t ) = tr M (x, t) t t M(x) t tr M (x, t + 1) tr M (x, t) M(x) tr M M(x) t N tr M (x, t + 1) = tr M (x, t) term : N N term(x) = (µ t 0)[1 χ = (tr M (x, t + 1), tr M (x, t)) = 0] 0 2 ntp(tr M (x, t)) ctp(tr M (x, t)) tr M (x, t + 1) tr M (x, t)
55 M(x) χ = f(x) dec(3, tr M (x, term(x))) f(x) M TM µ M M m N min, max : N m N min m = {x 1,..., x m } max m = {x 1,..., x m } g : N 2 N sum g, prod g : N 2 N sum g (z, x) = z g(i, x) prod g (z, x) = i=0 z i=0 g(i, x) R N 2 f : N 2 N f(z, x) = (µ i z)[(i, x) R] b N {0, 1} log b : N N {n N b n x}, x > 0 log b (x) = 0, g 1, g 2 : N N h 1, h 2 : N 4 N f 1, f 2 : N 2 N f 1 (0, x) = g 1 (x) f 1 (y + 1, x) = h 1 (f 1 (y, x), f 2 (y, x), y, x) f 2 (0, x) = g 2 (x) f 2 (y + 1, x) = h 2 (f 1 (y, x), f 2 (y, x), y, x)
56 g : N N h : N 3 N τ : N 2 N f(0, y) = g(y) f(x + 1, y) = h(f(x, τ(x, y)), x, y) g, h τ f h : N 3 N g 1, g 2 : N N f(0, y) = g 1 (y) f(1, y) = g 2 (y) f(x + 2, y) = h(f(x + 1), f(x), y) h, g 1, g 2 f f : N N
57 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 G = (V, Σ, R, S) V Σ V V Σ S V Σ R V (V Σ)V V V (V Σ)V = {w V w 1, w 2 V a V Σ (w = w 1 aw 2 )}
58 G = (V, Σ, R, S) (u, v) R u v G = (V, Σ, R, S) G, G V V u G v w 1, w 2 V u v u = w 1 u w 2 v = w 1 v w 2 G G u G v u v G G = (V, Σ, R, S) G L(G) = {w Σ S G w} w L(G) w G G 1, G 2 L(G 1 ) = L(G 2 ) G = (V, Σ, R, S) V = {0, 1, S} Σ = {0, 1} R = {S 0S1, S ϵ} G S G 0S1 G 00S11 G 000S111 G S 0S1 S ϵ L(G) = {0 n 1 n {0, 1} n N} G = (V, Σ, R, S) V = {A, B, C, T a, T b, T c, S} Σ Σ = {a, b, c} R = {S ABCS, S T c, CA AC, BA AB, CB BC, CT c T c c, CT c T b c, BT b T b b, BT b T a b, AT a T a a, T a ϵ} u v u v w V S 0S1 ϵ
59 G S G ABCS G ABCABCS G ABCABCABCS G ABCABCABCT c G ABACBCABCT c G AABCBCABCT c G AABBCCABCT c G AABBCACBCT c G AABBACCBCT c G AABABCCBCT c G AAABBCCBCT c G AAABBCBCCT c G AAABBBCCCT c G AAABBBCCT c c G AAABBBCT c cc G AAABBBT b ccc G AAABBT b bccc G AAABT b bbccc G AAAT a bbbccc G AAT a abbbccc G AT a aabbbccc G T a aaabbbccc G aaabbbccc S ABCS S ABCS S ABCS S T c CA AC BA AB CB BC CA AC CA AC BA AB BA AB CB BC CB BC CT c T c c CT c T c c CT c T b c BT b T b b BT b T b b BT b T a b AT a T a a AT a T a a AT a T a a T a ϵ L(G) = {a n b n c n {a, b, c} n 1} {0, 1} G = (V, Σ, R, S) V = {v 1, v 2,..., v n } Σ n N Σ = {0, 1} R = {x 1 y 1, x 2 y 2,..., x l y l } l N G R V {, ; } R V {,;} = x 1 y 1 ; x 2 y 2 ; ; x l y l
60 V {, ; } {0, 1} 0 {0,1} = {0,1} = 0110 {0,1} = ; {0,1} = v i {0,1} = i [n] (i+4) G R V {,;} {0,1} G G {0,1} L Σ G ( ) L RE M = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, q, q ) M q M q q σ Q G M = (V, Σ, R, S) V = Γ Q {S} R = {S q } {bp qa q, p Q {q σ } a, b Γ (δ(q, a) = (p, b, ))} {p b qa q, p Q {q σ } a, b Γ (δ(q, a) = (p, b, )) Γ} {q σ qa q Q a Γ (δ(q, a) = (q σ,, )) Γ} { q q σ } { q 0 ϵ, ϵ} w Σ M w 1 qw 2 M(w) w 1, w 2 Γ q Q w 1 qw 2 (Γ Q) R δ M(w) G M M Q Σ C 1 M C 2 C 1, C 2 M(w) G M C 2 GM C 1 C 1, C 2 (Γ Q)
61 q q 0 w M(w) q S G M w L(G M ) = L(M) = L ( ) G = (V, Σ, R, S) M G = (Q, Σ, Γ, δ, q 0 q, q ) V Γ L(G) M G G M G w Σ G S R u v R M G u u v M G M G q M G w G M G (w) q L(M G ) = L(G) k G = (V, Σ, R, S) f : Σ Σ x, y Σ SxS G y f(x) = y f : Σ Σ f : {1} {1} f(x) = xx G = ({1, S}, {1}, S, R) R = {S1 11S, SS ϵ} f : Σ Σ
62 G = (V, Σ, R, S) u v R u v G = (V, Σ, R, S) G = (V, Σ, R, S) u v R w 1 Aw 2 w 1 ww 2 w, w 1, w 2 V A V w ϵ L {0, 1} CS L = {a n b n c n {a, b, c} n 1} G = (V, Σ, R, S) V = {B, C, T b, T c, S} Σ Σ = {a, b, c} R = {S abc, S asbc, CB CT c, CT c T b T c, T b T c T b C, T b C BC, ab ab, bb bb, bc bc, cc cc} N = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, q, q ) Γ Σ M N = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, q, q ) c N Γ δ w w Σ c w A w 1 w 2 u L {a, b, c} {0, 1} L = {(010) n (0110) n (01110) n {0, 1} n 1} T a ϵ M
63 w q q q 0 q1 q2 L {0, 1} L CS G M G LBA G M G M G L CS REC L REC CS {0, 1} {0, 1} L = { G {0, 1} G G L(G)} L REC M L G G L G L(G) G L ϵ L Σ M L {ϵ}
64 w M w = G G G M G LBA M G G M G G M G ( G ) q M G ( G ) q L M G LBA G = (V, Σ, R, S) R (V Σ) V L {0, 1} CF L = {0 n 1 n {0, 1} n N} G N = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, q, q ) δ Q (Σ {ϵ}) (Γ {ϵ}) Q (Γ {ϵ}) a = ϵ b = ϵ N c c = ϵ N b A u A u V M
65 w q q q 0 q1 q2 L {0, 1} {0, 1} L {0, 1} x R {0,1} L = L(x) R G = (V, Σ, R, S) R G = (V, Σ, R, S) V = {0, 1, A, S} Σ = {0, 1} R = {S S1, A A0, S A, A ϵ} L(G) = {0 n 1 m {0, 1} n, m N} N = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, q, q ) δ Q (Σ {ϵ}) Q A Bu A a A ϵ A, B a u Σ
66 RE CS CF R 2 {0,1} RE REC CS CF R L {0, 1} L R G L(G) = L N L(N) = L R CF CS RE R CF CF CS CS RE
67 L = {ww w {0, 1} } L = {a n b n c n n 1} L = {1 2i i 1} w ϵ L REC L = { M, w Σ M M(w) q }
68
69 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 2 gcd
70 10 m P (x 1,..., x n ) = a i x k 1 i 1 xkn i n = 0 i=1 a i Z k 1i,..., k ni N x 1,..., x n i [m] P (x 1,..., x n ) = 0 n (z 1,..., z n ) Z n P (z 1,..., z n ) = 0 3x 2 2xy y 2 z 7 = 0 x = 1, y = 2, z = 2 P (x 1, x 2,..., x n ) = m i=1 a ix k 1 i 1 xk 2 i 2 xkn i n P (x 2,..., x n ) = m i=1 a is k 1 i x k 2 i 2 xk n i n = 0 = 0 s Z P s Σ 10
71 P M s P P s P s M D M D REC D = { P Σ P } S N P (x 1,..., x n+1 ) s S z 1,..., z n Z (P (s, z 1,..., z n ) = 0) D REC D REC M D L RE REC L RE P (x 1,..., x n+1 ) n N L = {s N z 1,..., z n Z (P (s, z 1,..., z n ) = 0)} M L L REC HP = { M, w Σ M(w) } RE REC HP RE HP REC H D D( D ) H( D, D ) q D, D HP D( D ) HP REC REC RE N HP HP = {w Σ ( M w Σ (w = M, w )) M(w) }
72 M, w M(w) M(w) HP D M M, M M, M H M, M D ϕ Mk k M 1 M 2 M 3 M k M 1 ϕ M1 ( M 1 ) ϕ M1 ( M 2 ) ϕ M1 ( M 3 ) ϕ M1 ( M k ) M 2 ϕ M2 ( M 1 ) ϕ M2 ( M 2 ) ϕ M2 ( M 3 ) ϕ M2 ( M k ) M 3 ϕ M3 ( M 1 ) ϕ M3 ( M 2 ) ϕ M3 ( M 3 ) ϕ M3 ( M k ) M k ϕ Mk ( M 1 ) ϕ Mk ( M 2 ) ϕ Mk ( M 3 ) ϕ Mk ( M k ) D 1, ϕ Mk ( M k ) = ϕ D ( M k ) =, ϕ Mk ( M k ) ϕ Gödel(D) ( M Gödel(D) ) HP RE HP RE HP, HP RE HP REC HP HP
73 2 {0,1} HP RE HP REC REC RE Σ A x y ϕ B ϕ(x) ϕ(y) Σ A B ϕ A B A, B Σ A B A m B ϕ : Σ Σ ϕ w Σ (w A ϕ(w) B) ϕ A B L = { M, w Σ M(w) q } ϕ : Σ Σ q M, w ϕ q 1 M /, q M, w q q 2 /, M M q q 1 q 2 ϕ(x) = x x Σ M w Σ x = M, w
74 M w M ϕ ϕ(w) M B ϕ HP L ϕ M, w HP M(w) M(w) q M(w) q M (w) q1 M (w) q2 M (w) q ϕ( M, w ) L M, w HP M(w) M (w) ϕ( M, w ) L HP m L A, B Σ A m B B REC B RE A REC A RE ϕ A B M ϕ M B B A w A ϕ(w) B M B (ϕ(w)) q M(w) q w A ϕ(w) B M B (ϕ(w)) q M(w) q A REC A RE A, B Σ A m B A REC A RE B REC B RE HP m L HP REC L REC A, B Σ A m B B A B A ϕ ϕ x HP M w Σ (x = M, w M, w HP ) x HP ( M w Σ (x = M, w )) ( M w Σ (x = M, w M, w HP )) REC RE
75 L = { M, w, q Σ M(w) q} ϕ : Σ Σ ϕ( M, w ) = M, w, q L L ϕ M, w L M(w) q M, w, q L M, w L M(w) M(w) q M(w) q M, w, q L L REC L REC L ϵ = { M Σ M(ϵ) } ϕ : Σ Σ M, w ϕ x x = ϵ w w M /, M w HP L ϵ ϕ M, w HP M(w) M w (ϵ) M w L ϵ M, w HP M(w) M w (ϵ) M w L ϵ HP REC L ϵ REC L = { M Σ L(M) = ℵ 0 } ϕ : Σ Σ M ϕ ϵ M M /, q L ϵ L ϕ M L ϵ M(ϵ) w Σ (M (w) q ) L(M ) = Σ L(M ) = ℵ 0 M L M L ϵ M(ϵ) w Σ (M (w) q ) L(M ) = L(M ) = 0 M L L ϵ REC L REC
76 ϕ L ϵ L Σ = { M Σ L(M) = Σ } L Σ REC L = { M, w {0, 1} M(w) 1 } ϕ : {0, 1} {0, 1} q M, w ϕ q Ṁ /, M, ẇ q q Ṁ ẇ M w {0, 1} L L ϕ M, w L M(w) q M (ẇ) q M (ẇ) 1 M, ẇ L M, w L M(w) q M (ẇ) q M (ẇ) 1 M, ẇ L L REC L REC L = { M 1, M 2 Σ L(M 1 ) = L(M 2 )} ϕ : Σ Σ M, w ϕ w w M 1 M, q q M 2 L L ϕ M, w L M(w) q x Σ (M 1 (x) q ) L(M 1 ) = Σ = L(M 2 ) M 1, M 2 L M, w L M(w) q x Σ (M 1 (x) q ) L(M 1 ) = L(M 2 ) M 1, M 2 L L REC L REC 0 1 M M
77 L = { M Σ L(M) = } ϕ : Σ Σ M, w ϕ x x = w M M w x Σ ϕ ϕ(x) = M M L L ϕ M, w L M(w) q x Σ (M w (x) q ) L(M w ) = M w L M, w L M(w) q M w (w) q L(M w ) = {w} M w L L RE REC L RE L RE m 2 {0,1} A, B, C {0, 1} A m B B m C ϕ 1 A B ϕ 2 B C ϕ 2 ϕ 1 A C ϕ 2 ϕ 1 w A ϕ 1 (w) B ϕ 2 (ϕ 1 (w)) C A m C A, B Σ A m B A m B ϕ A B ϕ A B w A w A ϕ(w) B ϕ(w) B x = M M x L x L x L M, w ϕ(x) = M L {0, 1}
78 D = { p Σ p } RE D 1 = { p Σ p } REC L RE REC M L(M) = L S L = {w Σ M(w) } L = { M, w Σ M(w) M} REC L = { M Σ w Σ ( M(w) )} REC L = { M Σ w Σ ( M(w) )} REC L = { M 1, M 2 {0, 1} M 1 (w) m q M 2 (w) n q n m} REC w {0, 1} L = { M 1, M 2, w {0, 1} t N a {0, 1} M 1 M 2 t w a} REC L RE L m { M Σ M( M ) } L REC L m 0 1 L 1, L 2 REC {, {0, 1} } L 1 m L 2 K = {x N M x (x) } R = {x N dom(ϕ Mx ) REC} R K RE
79 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 L REC = { M Σ L(M) REC} ϕ : Σ Σ M, x = M, w ϕ(x) = M, M M L L REC ϕ x L x = M, w M, w L ϕ(x) = M x Σ M (x) M(w) q L(M ) = REC ϕ(x) L REC x M, w ϕ(x) = M L(M ) = REC ϕ(x) L REC x L x = M, w M, w L ϕ(x) = M L(M ) = { D, y Σ D(y) q } = L M(w) q L REC ϕ(x) L REC L RE L REC RE L REC L REC ( REC) ϕ L(ϕ(x)) = L ( REC), x L, x L
80 z w z 2 M w M z z z = D, y D D, y D(y) D(y) q M P RE L RE P L P P = {L RE L = ℵ 0 } P N = {L RE L = N} P ϵ = {L RE ϵ L} REC P RE L P = { M Σ L(M) P} P RE L P REC P = P = RE ( ) P RE P {, RE} P L P M L L m L P ϕ : Σ Σ P P {, RE}
81 z w z 2 M w M z z M L M M, x = M, w ϕ(x) = M, M M ϕ x L x = M, w M, w L ϕ(x) = M L(M ) = L(M L ) = L P ϕ(x) L P x L x = M, w M, w L ϕ(x) = M L(M ) = P M(w) q ϕ(x) L P x M, w ϕ(x) = M L(M ) = P ϕ(x) L P L REC L P REC ( ) P = L P = { M Σ L(M) } = REC P = RE L P = { M Σ L(M) RE} = G REC L N = { M Σ L(M) = N} REC P N P N {ϵ} P N P N RE Σ P N L = { M Σ L(M) = L(M) = {(01) n n N} L(M) = Σ } REC P = {, {(01) n n N}, Σ } L = L P P {, RE}
82 P RE L P RE L P L RE (L L L P) L P ( L = ℵ 0 L L ( L N L P)) F P = {w 1 w 2 w n (Σ { }) {w 1, w 2,..., w n } {L P L N}} RE ( ) L P RE L 1 P L 2 RE L 1 L 2 L 2 P M 1, M 2 L 1, L 2 L m L P ϕ : Σ Σ M, x = M, w ϕ(x) = M 1, M ϕ x L x = M, w M, w L ϕ(x) = M L(M ) = L(M 1 ) = L 1 P ϕ(x) L P x M, w ϕ(x) = M 1 L 1 P ϕ(x) L P x L x = M, w M, w L ϕ(x) = M L(M ) = L(M 2 ) = L 2 P M(w) q L1 L 2 ϕ(x) L P L RE L P RE L P RE L P L = ℵ 0 P M L L L m L P ϕ : Σ Σ M, x = M, w ϕ(x) = M L, M Σ L P RE L P RE
83 M z ND z M 1 z w z 2 w M z z M 2 M L P RE z M L z z z M M, w M, w M(w) z M(w) q M(w) q M L P RE ϕ x L x = M, w M, w L ϕ(x) = M L(M ) = L(M L ) = L P ϕ(x) L P x M, w ϕ(x) = M L L P ϕ(x) L P x L x = M, w M, w L ϕ(x) = M t N M(w) t q L(M ) = {z L z t} L(M ) N L(M ) L L(M ) P ϕ(x) L P L RE L P RE L P RE E L P E F P (Σ { }) w = w 1 w 2 w n w i Σ i [n] M w Σ M w w i i [n]
84 M w w w = w 1 w = w 2 w = w n M w L P RE (w, i) (ϵ, 0) (w, i) np(w, i) E M 1 w 1 ; w 2 ;... ; w n M 2 Mw1 ; M w2 ;... ; M wn E i pop M w1, M w2,..., M wn M wij, j [k] M np (w, i) pop(w ij ) j [k] E L P RE E M 1 w (Σ { }) (Σ { }) w ; M 2 (Σ {, ; }) w = w 1 ; w 2 ;... ; w n w i (Σ { }) i [n] M w1 ; M w2 ;... ; M wn (Σ {; }) M np (w, i) Σ N E w = w 1 w 2 w n F P M w {w 1, w 2,..., w n } {w 1, w 2,..., w n } P i 0 N E pop( M w ) E (next(w), i 0 ) pop(w) E pop w = w 1 w 2 w n E pop M w {w 1, w 2,..., w n } P w F P E F P
85 (i, j) (0, 0) D (i, j) np(i, j) M np M E i w 11 w 12 w 1k1 w 21 w 22 w 2k2 w l1 w l2 w lkl (i, j) r [l] s [k r ] (M(w rs ) j q ) D ( ) E F P D L P L P L(D) M L P L(M) P L L(M) ( L N L P), L = {w 1,..., w n } E pop(w 1 w n ) i L L(M) j N s [n] (M(w s ) j q ), (i, j) D( M ) q M L(D) L(D) L P M L(D) (i, j) N s [n] (M(w s ) j q ), w 1 w n pop E i L = {w 1,..., w n } L(M) E F P L P L(M) P M L P L REC P = REC P L L P L L REC RE P = {L RE L L } L P L L L RE (L L L L ) M np D
86 w M E w 1 w 2 w n w = w 1 w 2 w n M L E i 10 i + 1 i i i + 1 pop S (Σ { }) 10 S i i i w 1 w 2 w n E P L L w L L {w} L {w} L {w} P P E F P M L w L {w} P E pop(w) L P RE P = {L RE L 10} L P L 10 L RE (L L L L 10) P L 10 w 1,..., w 10 L L = {w 1,..., w 10 } L L P P E F P P L P RE L 10 = { M L(M) 10}
87 L = { M Σ w Σ : w = 1871 w L(M)} RE L RE
88
89 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 A B B A A M M
90 M M M 1, M 2 M 1 M 2 w M 1 M 2 M 1 M 2 M 1 w M 2 M 1 (w) conc M 1 M 2 conc M 1 M 2 M 1 M 2 M 1 M 2 agm agm P w x P w w
91 w Q w Q P w w P w A M Q P M M conc A P M M P A A x P A A P A A A P A A P A A agm t : Σ Σ Σ R x Σ ϕ R (x) = t( R, x) A P w x w, x T t B M, x M x M A B P M M x P M M, x P M M, x P BT BT x, y x y
92 M, w H T P BT BT x P BT BT, x B P BT BT, x T t( P BT BT, x) x Σ t( P AT AT, x) R L REC H L 0, M(w) q t( M, w) = 1, M(w) q R w Σ L REC 0, R(w) q 0, ϕ R (w) = 1 ϕ R (w) = t( R, w) = = 1, R(w) q 1, ϕ R (w) = 0 L RE R L R M L t : Σ Σ Σ t(x, y) = ϕ M (y) t R y Σ ϕ R (y) = t( R, y) = ϕ M (y) REC R R t
93 R R w R, w R, w H H L R R w H M 2 M 1 R w L(R) H( R, w ) q w L(R) ( ) P RE P {, RE} L 1 P L 2 RE P M 1, M 2 L 1 L 2 H L P R L P H( R ) q L(R) = L(M 2 ) = L 2 P R L P R L P H( R ) q L(R) = L(M 1 ) = L 1 P R L P
94 R E M R Gödel(M) > Gödel(R); M w M(w) M i N i < Gödel(M) L(M i ) L(M) M i Gödel(M i ) = i L = { M Σ M } L L = { M 1, M 2..., M n } n N L {L(M 1 ), L(M 2 ),..., L(M n )} L M 1, M 2,..., M n L RE L RE E R E M Gödel(M) > Gödel(R) L L(R) = L(M) M L } Gödel(M) Gödel(R) t : G G t : N N t (Gödel(M)) = Gödel(N) t( M ) = N t : N N i 0 N t i 0 t(i 0 ) L RE L = n i=1 L(M i) n > 1 L = L 1 {w} w Σ L(M 1 ) n = 1
95 R R Gödel(R) T i 0 t(i 0 ) M t(i0 ) M t(i0 ) w M t(i0 )(w) ϕ R (w) t T t M i i R i 0 w Σ ϕ R (w) = ϕ Mi0 (w) = ϕ Mt(i0 ) (w) i 0 t i 0 N t(i 0 ) t(i 0 + 1) M i i i 0 N ϕ Mt(i0 ) = ϕ M t(i0 +1) t σ : N N σ(x) = t(t 1 (x) + 1) σ j 0 N ϕ Mj0 = ϕ Mσ(j0 ) i 0 = t 1 (j 0 ) ϕ Mt(i0 ) = ϕ M t(i0 +1) ϕ Mσ(j0 ) = ϕ M t(t 1 (j0 )+1) = ϕ M t(i0 +1) ϕ Mj0 = ϕ Mt(t 1 (j0 )) = ϕ M t(i0 ) Smn g : N m+n N x 1,..., x m N f : N n N y 1,..., y n N (g(x 1,..., x n, y 1,..., y m ) = f(y 1,..., y n )) i g S m n : N m+1 N S m n (i, x 1,..., x m ) = f
96 x 1,..., x m M f y 1,..., y n M i M f M i g M f f S m n (i, x 1,..., x m ) = Gödel(M f ) 1 φ Γ 1 P P φ P φ P ϕ M P φ(x, y) x N ϕ M (x) = y P φ(x, y) ϕ M (x) y P φ(x, y) M i i f i ϕ Mi φ i f i g : N 2 N 1, P k φ i (j, k) g(i, j) =, g M M χp roof P roof M TM µ M µ φ Gödel(M) = l f j N g(i, j) = f(j) f = ϕ t t(i) = MS 1 S1 (l,i) 1 (l, i) 1 i 0 N j N g(i 0, j) = ϕ MS 1 1 (l,i 0 ) (j) = ϕ M t(i0 ) (j) = ϕ M i0 (j) k φ i0 (j, k) M i x 1,..., x m M f
97 i, j i j M i M TM µ M µ φ M i f i φ i k φ i (j, k) M k φ i (j, k) y 0 y + 1 k φ i (j, k), y k φ i (j, k), y M χproof y y + 1 M g P k φ i0 (j, k) g(i 0, j) = 1 ϕ Mi0 (j) = 1 n N ϕ Mi0 (j) n ϕ Mi0 (j) N P k φ i0 (j, k) N P N k φ i0 (j, k) n N N φ i0 (j, n) ϕ Mi0 (j) = n φ i0 f i0 P φ(j, n) N φ(j, n) n N ϕ Mi0 (j) n P k φ i0 (j, k) g(i 0, j) = ϕ Mi0 (j) = n N ϕ Mi0 (j) = n ϕ Mi0 (j) N n N N φ(j, n) ϕ Mi0 (j) n P φ(j, n) N φ(j, n) n N ϕ Mi0 (j) = n φ φ, φ N Γ 1
98 M N x Σ ϕ M (x) = N ϕ N (x) = M M M L(M ) = L(M) M t : N N i N M t(i) M t(i+1) M t(i+2) d(x) M, w M w x : Σ N K(x) = d(x)
99 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 HP {0, 1} RE B A B A L Σ w Σ 1 s L 0 w L
100 1 q 0 q1 q q q 2 q q q? L Σ w L 1 w L 0 w / L L Σ L Σ ϵ Σ 1 0 L Σ L L M L = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, q, q ) 3 L Q q? q q M L q? 2 i 3 i 1 q 0 q A, B Σ M A B w B M A (w) q A, B Σ M A B B A A, B Σ M A B
101 M HP M, w HP 1 0 M(w) M(w) q M(w) q M HP L w B M A (w) q w B M A (w) q A, B Σ M A B B A A Σ f : Σ Σ M A f w dom(f)( q 0 w M A qf(w)) q {q, q } A Σ f : Σ Σ M A f f A L HP M HP δ {0, 1} HP 0
102 L Σ L L M L w M L (w) L M L (w) q? L Σ M L w Σ L M L, w M L (w) q M L (w) q {0, 1} A {0, 1} A RE A = {L {0, 1} A L} REC A = {L {0, 1} A L} A {0, 1} A REC RE A = RE REC A = REC M A A L RE A M A L A M A M A L M L L L RE RE A RE L RE M L M A L M L q? M A L L L REA RE RE A A {0, 1} RE RE A RE REC A HP RE REC HP L RE M L M HP L L REC HP M L ML A ML A w M L M A w 1 0 ML A A M A
103 M L M HP M L w M L, w M L, w HP 1 0 M L (w) M L (w) q M L (w) q M HP L {0, 1} REC HP HP 2 = { M HP, w {0, 1} M HP (w) } HP 2 REC HP HP 2 REC HP H HP D HP D HP M HP M HP, M HP M HP, M HP H HP M HP, M HP D HP ( D HP ) H HP ( D HP, D HP ) q D HP, D HP HP 2 D HP ( D HP ) HP 2 REC HP HP A {0, 1} L REC A L REC A
104 t + 1 t 0 t M A L M A L M A w A M A L (w) t t t + 1 (w, t) M A L M A L t A M A L (w) t M A L L RE A co RE A C co C = {L {0, 1} L C} A {0, 1} RE A co RE A = REC A L REC A L RE A L REC A L RE A L RE A co RE A L RE A co RE A ML A M A L L L M A L L REC A A, B, C {0, 1} A RE B B REC C A RE C A REC B B REC C A REC C M B A M C B B M B M C C A M B M B w M C w
105 A, B, C {0, 1} A m B B REC C B RE C A REC C A RE C C 2 {0,1} C RE C = A C RE A REC C = A C REC A REC REC = REC RE REC = RE n 1 Σ 0 1 = RE 0 1 = REC Σ 0 n+1 = RE Σ0 n 0 n+1 = REC Σ0 n Π 0 n = co Σ 0 n {0, 1} n 2 Σ 0 n+1 Σ0 n Σ 0 n 1 Σ0 n n 1 HP 1 = HP HP n+1 = { M HPn, w {0, 1} M HPn (w) } HP n HP n = {0w {0, 1} w HP n } {1w {0, 1} w HP n } n 1 HP n REC HP n+1 n n = 1 HP 1 REC HP 2 HP REC HP HP RE
106 M HPn 1 M HPn 1, w M HP n 1 (w) HP n 1 M HP n 1 (w) M HP n 1 HP n REC HP n+1 HP n+1 m HP n+2 HP n+2 REC HP n+2 HP n+1 REC HP n+2 M HP n+1 HP n HP n ϕ : {0, 1} {0, 1} M HPn M HPn+1 x M HPn, w ϕ x M HPn HP n+1 M HP n (x) M HP n+1 HP n, w ϕ M HPn, w HP n+1 M HPn (w) M HP n+1 (w) M HP n+1, w HP n+2 ϕ HP n+1 HP n+2 n 1 HP n+1 REC HP n n 1 HP n Σ 0 n n 2 M HP n 1 HP n n = 1 HP 1 Σ 0 1 HP RE n 1 Σ 0 n REC HPn n n = 1 Σ 0 1 RECHP 1 RE REC HP HP 2 REC HP 1
107 w M HPn L M HPn L M HPn L, w M HPn L, w HP n HP n+1 M HPn+1 M HP n L (w) q M HP n L (w) M HP n L (w) q M HP n+1 Σ 0 n REC HP n L Σ 0 n+1 A Σ0 n L RE A A REC HP n L RE HP n M HPn L M HP n+1 L L REC HPn+1 L {0, 1} n 1 L Σ 0 n L 0 n L RE HP n 1 L REC HP n 1 L Σ 0 n A Σ 0 n 1 L REA Σ 0 n 1 RECHP n 1 A REC HP n 1 L REC HP n 1 n 1 Σ 0 n Σ 0 n+1 Π0 n Π 0 n+1 Σ 0 n Π 0 n 0 n+1 Σ 0 n Π 0 n = 0 n 0 n Σ 0 n 0 n Π 0 n HP n+1 Σ 0 n+1 Σ0 n REC HP n HP n+1 REC HPn HP n+1 Σ 0 n HP n+1 Π 0 n+1 HP n+1 Σ 0 n+1 HP n+1 Π 0 n HP n+1 Σ 0 n HP n HP n REC HP n M HP n HP n HP n 0 n+1 HP n+1 HP n HP n REC HP n+1 HP n HP n HP n+1
108 x 1 x = 0w HP n 0 w M HPn w HP n 0 1 M HPn HP n HP n w 0 w 0w MHP A n M A M A HP n HP n HP n HP n Σ 0 n A Σ 0 n 1 M A M A HP n HP n HP n Σ 0 n 1 HP n HP n Π 0 n HP n HP n Σ 0 n HP n HP n = {0w {0, 1} w HP n } {1w {0, 1} w HP n } = {0w {0, 1} w HP n } {1w {0, 1} w HP n } = ({x {0, 1} w {0, 1} (x = 1w)} {0w {0, 1} w HP n }) {1w {0, 1} w HP n } = {1w {0, 1} w HP n } {0w {0, 1} w HP n } HP n HP n HP n HP n Σ 0 n L 0 n A Σ 0 n 1 L RECA L REC A L REC A L RE A L Σ 0 n L REC A A L RE A L Σ 0 L Σ 0 n Π 0 n n
109 2 {0,1} Σ 0 3 Π 0 3 HP 3 0 HP 3 3 HP 2 HP 2 Σ 0 2 Π 0 2 HP 2 0 HP 2 2 HP 1 HP 1 Σ 0 1 = RE Π 0 1 = co RE 0 1 = REC HP 1 HP 1 L Σ 0 n Π 0 n L, L Σ 0 n L, L RE HP n 1 L REC HP n 1 HP n 1 Σ 0 n 1 L 0 n HP n 0 n HP n REC HP n 1 A, B {0, 1} A B A T B A REC B L T HP L HP L co RE L RE L = {w {0, 1} ( M (w = M )) (L(M) )} M L L Π 0 1 L 0 2 L REC HP L T HP
110 w L M L 0 1 M L L w w = M M L M (x, t) (ϵ, 0) (x, t) M(y) y x t y x (M(y) t q ) np(x, t) y x (M(y) t q ) M (x, t) np L M np L {0, 1} L M L HP HP HP RE A, B {0, 1} A m B A T B ϕ A B M ϕ M B A w A ϕ(w) B M B (w) q w A ϕ(w) B M B (w) q A T B T
111 w M ϕ ϕ(w) B M B 1 0 M B w 0 w 0w HP n HP n M HPn HP n 1 0 M HP n HP n C 2 {0,1} B {0, 1} B C { m, T } A C A B B C B C n 1 HP n Σ 0 n T Σ 0 n T HP n Π 0 n T HP n Π 0 n T n 1 HP n HP n 0 n+1 T HP n HP n 0 n+1 0 n+1 T L 0 n+1 L RECHP n L T HP n M HPn HP n HP n HP n T HP n HP n T L T HP n HP n n 1 HP n Σ 0 n m HP n Π 0 n m HP n Σ 0 n HP n Σ 0 n m L Σ 0 n L RE HP n 1 M HP n 1 L ϕ : {0, 1} {0, 1} ϕ(w) = M HP n 1, w M HP n 1
112 M HPn 1 w M HPn 1 L w M HP n 1 ϕ w L M HP n 1 L (w) q M HP n 1 (w) M HP n 1, w HP n w L M HP n 1 L (w) q M HP n 1 (w) M HP n 1, w HP n L m HP n HP n Σ 0 n HP n Π 0 n HP n Π 0 n m L Π 0 n L Σ 0 n L m HP n L m HP n n N n n N n R (x 1,..., x n ) R R(x 1,..., x n ) n R L R = { x 1,..., x n N R(x 1,..., x n )} L N L Σ 0 n (n + 1) R L = {x N y 1 y 2 y n R(x, y 1,..., y n )} =, n, L Π 0 n (n + 1) R L = {x N y 1 y 2 y n R(x, y 1,..., y n )} =, n,
113 x, z z x x = M M M L M pair 1 (y, t) M(y) t M(y) t q n n 1 L Π 0 1 L = { M N L(M) = } = { M N y t (M(y) t q )} = {x N y t (x = M M(y) t q )} pair : N 2 N pair(i, j) = i+j i L = {x N z (x = M pair 1 (z) = (y, t) M(y) t q )} L = { x, z N x = M z = pair 1 (y, t) M(y) t q } M pair 1 pair 1 L Π 0 1 L N Σ 0 2 Σ 0 2 L N = { M N L(M) = N} = { M N n y ( y > n y L(M))} = { M N n y t ( y n M(y) t q )} = {x N n z (x = M pair 1 (z) = (y, t) ( y n M(y) t q ))} L = { x, n, z N x = M pair 1 (z) = (y, t) ( y n M(y) t q )} L N Σ 0 2 pair 1 pair
114 x, n, z z x n x = M M M L M pair 1 (y, t) y n (y, t) M(y) t M(y) t q M L x M R M x x M R w y w z (M R (x, y, z) q ) M x L Σ 0 2 R L = {x N y z R(x, y, z)} M R L R ϕ : N N ϕ(x) = M x M x ϕ x L y 0 z (M R (x, y 0, z) q ) w y 0 M x (w) M R (x, y 0, z) q z L(M x ) {w N w y 0 } L(M x ) N M x L N x L y z (M R (x, y, z) q ) w ( y w z (M R (x, y, z) q )) w (M x (w) q ) L(M x ) = N L(M x ) = ℵ 0 M x L N n 1 T n = { φ N N φ = y 1 y 2 y n ψ(y 1,..., y n ) N φ} ψ Γ 1 =, n φ N, φ
115 n 1 T n Σ 0 n m L Σ 0 n (n + 1) R, n L = {x N y 1 y 2 y n R(x, y 1,..., y n )} =, R P φ R (x, y 1,..., y n ) ϕ : N N ϕ(x) = φ x N ϕ φ x = y 1 y 2 y n φ R (x, y 1,..., y n ) x L y 1 y 2 y n R(x, y 1,..., y n ) N y 1 y 2 y n φ R (x, y 1,..., y n ) N φ x φ x N T n L m T n T ruth = { φ N N φ N φ} T ruth T ruth n N T ruth Σ 0 n T n+1 m T ruth T n+1 Σ 0 n+1 m HP n+1 m T n+1 m HP n+1 m T ruth HP n+1 T T ruth HP n+1 REC T ruth REC Σ0 n = 0 n K L A Σ RE A co RE A = REC A. A, B, C Σ A RE B B RE C A RE C A, B Σ A T B B T A L = { M Σ L(M) = } m Π 0 1 L = { M Σ L(M) N} m Σ 0 3 φ y 1 y 2 y n+1 ψ(y 1,..., y n+1) x x
116
117 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ A Γ 1 M(Γ 1 ) = {x 0, x 1,...},,, (, ) n 0 {P i i I} n n 0 {f i i I} n f ni 0 Γ 1 Γ 1 ft 1,..., t n t 1,..., t n f n Γ 1 Γ 1 O(Γ 1 ) ft 1,..., t n f(t 1,..., t n )
118 Γ 1 Γ 1 t 1 t 2 t 1, t 2 O(Γ 1 ) Rt 1,..., t n t 1,..., t n O(Γ 1 ) R n Γ 1 ( φ), (φ ψ), ( xφ) φ, ψ Γ 1 x Γ 1 Γ 1 T (Γ 1 ) ( xφ), (φ ψ), (φ ψ) (φ ψ) ( ( x( φ))), ( (φ ( ψ))), (( φ) ψ) ((φ ψ) (ψ φ)) φ T (Γ 1 ) x x φ φ x φ φ ( ψ) x ψ φ (χ ψ) x χ ψ φ ( yψ) x ψ y x φ φ Γ 1 φ(x 1,..., x n ) x 1,..., x n φ Γ 1 A Γ 1 A n P n P A A n n f A : A n A c c A A Γ 1 A v : M(Γ 1 ) A v v : O(Γ 1 ) A v(c) = c A c Γ 1 v(f(t 1,..., t n )) = f A ( v(t 1 ),..., v(t n )) f n Γ 1 t 1,..., t n O(Γ 1 ) t 1t 2 t 1 t 2 Rt 1,..., t n R(t 1,..., t n )
119 Γ 1 A v x v(x a)(y) a A a (x a)(y) = v(y), y = x, Γ 1 A v φ T (Γ 1 ) A φ v A φ[v] φ t 1 t 2 t 1, t 2 O(Γ 1 ) v(t 1 ) = v(t 2 ) φ R(t 1,..., t n ) ( v(t 1 ),..., v(t n )) R A φ ( χ) A χ[v] φ (χ ψ) A χ[v] A ψ[v] φ ( xχ) a A A χ[v(x a)] T T (Γ 1 ) φ A v A φ[v] A, v φ A v T T T A v T φ T φ T φ A A T (Γ 1 ) K κ K κ 2 T (Γ 1) T (Γ 1 ) (B, φ) κ φ κ B A A = M M A = (A, K) T T (Γ 1 ) φ φ T A T A φ τ 1,..., τ n τ n = φ τ i φ
120 τ i A T τ i κ K S {t 1,..., t i 1 } x t φ Γ 1 φ x t φ x t x t φ x t φ t φ x 1 x n φ x i n 0 A 1 = (A 1, K 1 ) φ (ψ φ) (φ (ψ χ)) ((φ ψ) (φ χ)) ( φ ψ) (( φ ψ) φ) xφ φ x t x t φ x(φ ψ) ( xφ xψ) φ xφ x φ x x x y (φ φ ) φ φ φ x y K 1 φ φ ψ ψ T A1 φ T φ φ φ T φ T φ T φ T φ T φ T φ
121 Γ 1 Γ 1 N = N N = S N = + N = N = 0 N n n N n = n P Γ 1 x 1 (x 1 ) x 1 x 2 (x 1 = x 2 x 1 = x 2 ) x 1 (x 1 = x 1 ) x 1 x 2 (x 1 x 2 = (x 1 x 2 ) ) x 1 (x 1 = ) x 1 x 2 (x 1 x 2 = x 1 x 2 x 2 ) x 1 x n (φ(x 1,..., x n, ) x 0 (φ(x 1,..., x n, x 0 ) φ(x 1,..., x n, x 0 )) x 0 φ(x 1,..., x n, x 0 )) T T (Γ 1 ) R Nn n 1 R T φ(x 1,..., x n ) m 1,..., m n N (m 1,..., m n ) R T φ(m 1,..., m n ) (m 1,..., m n ) R T φ(m 1,..., m n ) P f : N n N T φ(x 1,..., x n+1 ) m 1,..., m n+1 N f(m 1,..., m n) = m n+1 T φ(m 1,..., m n+1) f(m 1,..., m n) m n+1 T φ(m 1,..., m n+1)
122 Γ 1 Γ 1 x i N = 3 i+1, i = 0, 1,... N = 5 N = 7 N = 11 ( N = 13 ) N = 17 N = 19 N = 23 N = 27 N = 29 N = 31 φ = a 1 a n T (Γ 1 ) a 1,..., a n {,,, (, ),,,,, } M(Γ 1 ) φ φ N = enc n ( a 1 N,..., a n N ) enc n φ N φ φ 1,..., φ n Γ 1 φ 1,..., φ n N = enc n ( φ 1 N,..., φ n N ) P M µ φ f φ M µ φ P roof N 2 (x, y) P roof y P x P roof n R P n x Γ 1 x x
123 R L R REC L R P φ R (y 1,..., y n, x) φ R (y 1,..., y n, 1) R
124
125 Σ { } REC RE Σ { } Σ { } q 3 {0, 1} M space f 2 f 1 f 1 χ L L REC L χ L {1 n n N} {(10) n n N} L E L REC M L = {w 1, w 2,..., w n } L E k
126 k N D M np {0, 1} N E L M L M L 1 L 2 M L 1 L 2 M L 1 L 2 M L L L M G LBA M D REC HP D REC RE ϕ A B M M M L P RE M L P RE M w L P RE E L P RE D M L E H L t M f M g M HP L M HP
127 M A L L RE A co RE A M HP n 1 M HP n+1 M HP n HP n HP n MHP A n HP n M L L L M np M B M HP n HP n M HP n 1 M L M x
128
129
Does this algorithm halt? Yes
Does this algorithm halt? Yes No REC RE ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0,, 2 A,,,,, A, A,,,,,,,,, A P n A P A A n N n f A B f : A B f ((a, b 1 ) f (a, b 2 ) f) b 1 = b 2 (a, b) f f(a) = b f : A B f b B a A((a, b) f) f ((a
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1 Πραγματικοί Αριθμοί 1.1 Σύνολα
x + = 0 N = {,, 3....}, Z Q, b, b N c, d c, d N + b = c, b = d. N = =. < > P n P (n) P () n = P (n) P (n + ) n n + P (n) n P (n) n P n P (n) P (m) P (n) n m P (n + ) P (n) n m P n P (n) P () P (), P (),...,
Διαβάστε περισσότεραAx = b. 7x = 21. x = 21 7 = 3.
3 s st 3 r 3 t r 3 3 t s st t 3t s 3 3 r 3 3 st t t r 3 s t t r r r t st t rr 3t r t 3 3 rt3 3 t 3 3 r st 3 t 3 tr 3 r t3 t 3 s st t Ax = b. s t 3 t 3 3 r r t n r A tr 3 rr t 3 t n ts b 3 t t r r t x 3
Διαβάστε περισσότεραMÉTHODES ET EXERCICES
J.-M. MONIER I G. HABERER I C. LARDON MATHS PCSI PTSI MÉTHODES ET EXERCICES 4 e édition Création graphique de la couverture : Hokus Pokus Créations Dunod, 2018 11 rue Paul Bert, 92240 Malakoff www.dunod.com
Διαβάστε περισσότεραγ 1 6 M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.2 F M = 0.2 F M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.2 F M = 0.05 F 2 2 λ τ M = 6000 M = 10000 M = 15000 M = 6000 M = 10000 M = 15000 1 6 τ = 36 1 6 τ = 102 1 6 M = 5000
Διαβάστε περισσότερα1951 {0, 1} N = N \ {0} n m M n, m N F x i = (x i 1,..., xi m) x j = (x 1 j,..., xn j ) i j M M i j x i j m n M M M M T f : F m F f(m) f M (f(x 1 1,..., x1 m),..., f(x n 1,..., xn m)) T R F M R M R x
Διαβάστε περισσότερα(x y) = (X = x Y = y) = (Y = y) (x y) = f X,Y (x, y) x f X
X, Y f X,Y x, y X x, Y y f X Y x y X x Y y X x, Y y Y y f X,Y x, y f Y y f X Y x y x y X Y f X,Y x, y f X Y x y f X,Y x, y f Y y x y X : Ω R Y : Ω E X < y Y Y y 0 X Y y x R x f X Y x y gy X Y gy gy : Ω
Διαβάστε περισσότεραk k ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 G = (V, E) V E V V V G E G e = {v, u} E v u e v u G G V (G) E(G) n(g) = V (G) m(g) = E(G) G S V (G) S G N G (S) = {u V (G)\S v S : {v, u} E(G)} G v S v V (G) N G (v) = N G ({v}) x V (G)
Διαβάστε περισσότεραk k ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 G = (V, E) V E V V V G E G e = {v, u} E v u e v u G G V (G) E(G) n(g) = V (G) m(g) = E(G) G S V (G) S G N G (S) = {u V (G)\S v S : {v, u} E(G)} G v S v V (G) N G (v) = N G ({v}) x V (G)
Διαβάστε περισσότεραJ J l 2 J T l 1 J T J T l 2 l 1 J J l 1 c 0 J J J J J l 2 l 2 J J J T J T l 1 J J T J T J T J {e n } n N {e n } n N x X {λ n } n N R x = λ n e n {e n } n N {e n : n N} e n 0 n N k 1, k 2,..., k n N λ
Διαβάστε περισσότερα-! " #!$ %& ' %( #! )! ' 2003
-! "#!$ %&' %(#!)!' ! 7 #!$# 9 " # 6 $!% 6!!! 6! 6! 6 7 7 &! % 7 ' (&$ 8 9! 9!- "!!- ) % -! " 6 %!( 6 6 / 6 6 7 6!! 7 6! # 8 6!! 66! #! $ - (( 6 6 $ % 7 7 $ 9!" $& & " $! / % " 6!$ 6!!$#/ 6 #!!$! 9 /!
Διαβάστε περισσότερα..., ISBN: :.!". # -. $, %, 1983 &"$ $ $. $, %, 1988 $ $. ## -. $, ', 1989 (( ). '. ') "!$!. $, %, 1991 $ 1. * $. $,.. +, 2001 $ 2. $. $,, 1992 # $!
!! " 007 : ISBN: # $! % :!" # - $ % 983 &"$ $ $ $ % 988 $ $ ## - $ ' 989 (( ) ' ') "!$! $ % 99 $ * $ $ + 00 $ $ $ 99!! " 007 -!" % $ 006 ---- $ 87 $ (( %( %(! $!$!" -!" $ $ %( * ( *!$ "!"!* "$!$ (!$! "
Διαβάστε περισσότεραJeux d inondation dans les graphes
Jeux d inondation dans les graphes Aurélie Lagoutte To cite this version: Aurélie Lagoutte. Jeux d inondation dans les graphes. 2010. HAL Id: hal-00509488 https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00509488
Διαβάστε περισσότεραd dx x 2 = 2x d dx x 3 = 3x 2 d dx x n = nx n 1
d dx x 2 = 2x d dx x 3 = 3x 2 d dx x n = nx n1 x dx = 1 2 b2 1 2 a2 a b b x 2 dx = 1 a 3 b3 1 3 a3 b x n dx = 1 a n +1 bn +1 1 n +1 an +1 d dx d dx f (x) = 0 f (ax) = a f (ax) lim d dx f (ax) = lim 0 =
Διαβάστε περισσότεραMarch 14, ( ) March 14, / 52
March 14, 2008 ( ) March 14, 2008 1 / 52 ( ) March 14, 2008 2 / 52 1 2 3 4 5 ( ) March 14, 2008 3 / 52 I 1 m, n, F m n a ij, i = 1,, m; j = 1,, n m n F m n A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a
Διαβάστε περισσότεραGradient Descent for Optimization Problems With Sparse Solutions
Gradient Descent for Optimization Problems With Sparse Solutions The Harvard community has made this article openly available. Please share how this access benefits you. Your story matters Citation Chen,
Διαβάστε περισσότερα!!" #7 $39 %" (07) ..,..,.. $ 39. ) :. :, «(», «%», «%», «%» «%». & ,. ). & :..,. '.. ( () #*. );..,..'. + (# ).
1 00 3 !!" 344#7 $39 %" 6181001 63(07) & : ' ( () #* ); ' + (# ) $ 39 ) : : 00 %" 6181001 63(07)!!" 344#7 «(» «%» «%» «%» «%» & ) 4 )&-%/0 +- «)» * «1» «1» «)» ) «(» «%» «%» + ) 30 «%» «%» )1+ / + : +3
Διαβάστε περισσότεραa; b 2 R; a < b; f : [a; b] R! R y 2 R: y : [a; b]! R; ( y (t) = f t; y(t) ; a t b; y(a) = y : f (t; y) 2 [a; b]r: f 2 C ([a; b]r): y 2 C [a; b]; y(a) = y ; f y ỹ ỹ y ; jy ỹ j ky ỹk [a; b]; f y; ( y (t)
Διαβάστε περισσότεραŁs t r t rs tø r P r s tø PrØ rø rs tø P r s r t t r s t Ø t q s P r s tr. 2stŁ s q t q s t rt r s t s t ss s Ø r s t r t. Łs t r t t Ø t q s
Łs t r t rs tø r P r s tø PrØ rø rs tø P r s r t t r s t Ø t q s P r s tr st t t t Ø t q s ss P r s P 2stŁ s q t q s t rt r s t s t ss s Ø r s t r t P r røs r Łs t r t t Ø t q s r Ø r t t r t q t rs tø
Διαβάστε περισσότερα4 8 c +t +t - (t +t ) - <t +t < - < t t < + +c ( ) +t + ( ) +t + [ - (t +t )] (t + t ) + t + t t 0 + +c c x i R + (i ΔABC ABC ) x i x i c ABC 0 ABC AC
8 No8Vol JOURNALOF NEIJIANG NORMAL UNIVERSITY * * ( 6499) : ; ; ; ; ; : ; ; DOI:060/jcki-6/z0808006 :G647 :A :67-78(08)08-00-09 0 [4] [] [6] [7] ( ) ( [8] ) [9] [] : [] [] :08-06- : (ZG0464) (ZY600) 06
Διαβάστε περισσότεραl dmin dmin p k δ i = m p (p l ) p l µ p BCH µ WB t (q+) l l i m h(x) A B C = A B k SNR rec. db k SNR rec. db SNR rec. db p = p = p = SNR rec. db p = k = q = t k σ p(k;{a i} n i= ) n σ p(n;{a i} n i= )
Διαβάστε περισσότεραẋ = f(x) n 1 f i (i = 1, 2,..., n) x i (i = 1, 2,..., n) x(0) = x o x(t) t > 0 t < 0 x(t) x o U I xo I xo : α xo < t < β xo α xo β xo x(t) t β t α + x f(x) = 0 x x x x V 1 x x o V 1 x(t) t > 0 x o V 1
Διαβάστε περισσότερα= df. f (n) (x) = dn f dx n
Παράγωγος Συνάρτησης Ορισμός Παραγώγου σε ένα σημείο ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ σε ένα σημείο ξ είναι το όριο (αν υπάρχει!) Ορισμός Cauchy: f (ξ) = lim x ξ g(x, ξ), g(x, ξ) = f(x) f(ξ) x ξ ɛ > 0 δ(ɛ, ξ) > 0
Διαβάστε περισσότεραts s ts tr s t tr r n s s q t r t rs d n i : X n X n 1 r n 1 0 i n s t s 2 d n i dn+1 j = d n j dn+1 i+1 r 2 s s s s ts
r s r t r t t tr t t 2 t2 str t s s t2 s r PP rs t P r s r t r2 s r r s ts t 2 t2 str t s s s ts t2 t r2 r s ts r t t t2 s s r ss s q st r s t t s 2 r t t s t t st t t t 2 tr t s s s t r t s t s 2 s ts
Διαβάστε περισσότεραΤο άτομο του Υδρογόνου
Το άτομο του Υδρογόνου Δυναμικό Coulomb Εξίσωση Schrödinger h e (, r, ) (, r, ) E (, r, ) m ψ θφ r ψ θφ = ψ θφ Συνθήκες ψ(, r θφ, ) = πεπερασμένη ψ( r ) = 0 ψ(, r θφ, ) =ψ(, r θφ+, ) π Επιτρεπτές ενέργειες
Διαβάστε περισσότεραa; b 2 R; a < b; f : [a; b] R! R y 2 R: y : [a; b]! R; ( y (t) = f t; y(t) ; a t b; y(a) = y : f (t; y) 2 [a; b]r: f 2 C ([a; b]r): y 2 C [a; b]; y(a) = y ; f y ỹ ỹ y ; jy ỹ j ky ỹk [a; b]; f y; ( y (t)
Διαβάστε περισσότεραm r = F m r = F ( r) m r = F ( v) F = F (x) m dv dt = F (x) vdv = F (x)dx d dt = dx dv dt dx = v dv dx
m r = F m r = F ( r) m r = F ( v) x F = F (x) m dv dt = F (x) d dt = dx dv dt dx = v dv dx vdv = F (x)dx 2 mv2 x 2 mv2 0 = F (x )dx x 0 K = 2 mv2 W x0 x = x x 0 F (x)dx K K 0 = W x0 x x, x 2 x K 2 K =
Διαβάστε περισσότεραΝόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού.
Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού. Περιοδικός πίνακας: α. Είναι µια ταξινόµηση των στοιχείων κατά αύξοντα
Διαβάστε περισσότερα!"! # $ %"" & ' ( ! " # '' # $ # # " %( *++*
!"! # $ %"" & ' (! " # $% & %) '' # $ # # '# " %( *++* #'' # $,-"*++* )' )'' # $ (./ 0 ( 1'(+* *++* * ) *+',-.- * / 0 1 - *+- '!*/ 2 0 -+3!'-!*&-'-4' "/ 5 2, %0334)%3/533%43.15.%4 %%3 6!" #" $" % & &'"
Διαβάστε περισσότεραP t s st t t t t2 t s st t t rt t t tt s t t ä ör tt r t r 2ö r t ts t t t t t t st t t t s r s s s t är ä t t t 2ö r t ts rt t t 2 r äärä t r s Pr r
r s s s t t P t s st t t t t2 t s st t t rt t t tt s t t ä ör tt r t r 2ö r t ts t t t t t t st t t t s r s s s t är ä t t t 2ö r t ts rt t t 2 r äärä t r s Pr r t t s st ä r t str t st t tt2 t s s t st
Διαβάστε περισσότεραParts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033
Trio Mobile Surgery Platform Model 1033 Parts Manual For parts or technical assistance: Pour pièces de service ou assistance technique : Für Teile oder technische Unterstützung Anruf: Voor delen of technische
Διαβάστε περισσότεραGENIKA MAJHMATIKA. TEI SERRWN SQOLH DIOIKHSHS KAI OIKONOMIAS Tm ma Logistik c
GENIKA MAJHMATIKA ΓΙΩΡΓΙΟΣ ΚΑΡΑΒΑΣΙΛΗΣ TEI SERRWN SQOLH DIOIKHSHS KAI OIKONOMIAS Tm ma Logistik c 26 Μαΐου 2011 Συνάρτηση f ονομάζεται κάθε σχέση από ένα σύνολο A (πεδίο ορισμού) σε σύνολο B με την οποία
Διαβάστε περισσότεραRobust Segmentation of Focal Lesions on Multi-Sequence MRI in Multiple Sclerosis
Robust Segmentation of Focal Lesions on Multi-Sequence MRI in Multiple Sclerosis Daniel García-Lorenzo To cite this version: Daniel García-Lorenzo. Robust Segmentation of Focal Lesions on Multi-Sequence
Διαβάστε περισσότεραm i N 1 F i = j i F ij + F x
N m i i = 1,..., N m i Fi x N 1 F ij, j = 1, 2,... i 1, i + 1,..., N m i F i = j i F ij + F x i mi Fi j Fj i mj O P i = F i = j i F ij + F x i, i = 1,..., N P = i F i = N F ij + i j i N i F x i, i = 1,...,
Διαβάστε περισσότεραB G [0; 1) S S # S y 1 ; y 3 0 t 20 y 2 ; y 4 0 t 20 y 1 y 2 h n t: r = 10 5 ; a = 10 6 ei n = ỹi n y i t n ); i = 1; 3: r = 10 5 ; a = 10 6 ei n = ỹi n y i t n ); i = 2; 4: r = 10 5 ; a = 10 6 t = 20
Διαβάστε περισσότεραCoupling strategies for compressible - low Mach number flows
Coupling strategies for compressible - low Mach number flows Yohan Penel, Stéphane Dellacherie, Bruno Després To cite this version: Yohan Penel, Stéphane Dellacherie, Bruno Després. Coupling strategies
Διαβάστε περισσότερα#%" )*& ##+," $ -,!./" %#/%0! %,!
-!"#$% -&!'"$ & #("$$, #%" )*& ##+," $ -,!./" %#/%0! %,! %!$"#" %!#0&!/" /+#0& 0.00.04. - 3 3,43 5 -, 4 $ $.. 04 ... 3. 6... 6.. #3 7 8... 6.. %9: 3 3 7....3. % 44 8... 6.4. 37; 3,, 443 8... 8.5. $; 3
Διαβάστε περισσότεραMolekulare Ebene (biochemische Messungen) Zelluläre Ebene (Elektrophysiologie, Imaging-Verfahren) Netzwerk Ebene (Multielektrodensysteme) Areale (MRT, EEG...) Gene Neuronen Synaptische Kopplung kleine
Διαβάστε περισσότεραK K 1 2 1 K M N M(2 N 1) K K K K K f f(x 1, x 2,..., x K ) = K f xk (x k ), x 1, x 2,..., x K K K K f Yk (y k x 1, x 2,..., x k ) k=1 M i, i = 1, 2 Xi n n Yi n Xn 1 Xn 2 ˆM i P (n) e = {( ˆM 1, ˆM2 )
Διαβάστε περισσότεραapj1 SSGA* hapla P6 _1G hao1 1Lh_PSu AL..AhAo1 *PJ"AL hp_a*a
n n 1/2 n (n 1) 0/1 l 2 E x X X x X E x X g(x) := 1 g(x). X f : X C L p f p := (E x X f(x) p ) 1/p f,g := E x X f(x)g(x) x X X X X := {f : X [0, ) : f 1 =1}. X µ A A X x X µ A (x) :=α 1 1 A (x) 1 A A α
Διαβάστε περισσότερα!"#!$% &' ( )*+*,% $ &$ -.&01#(2$#3 4-$ #35667
!"#!$% & &' ( )*+*,% $ -*(-$ -.*/% $- &$ -.&01#(2$#3 4-$ #35667 5051 & 00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 9 508&:;&& 0000000000000000000000000000000000000000000000000
Διαβάστε περισσότεραΠαράγωγος Συνάρτησης. Ορισμός Παραγώγου σε ένα σημείο. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ σε ένα σημείο ξ είναι το όριο (αν υπάρχει!) f (ξ) = lim.
Παράγωγος Συνάρτησης Ορισμός Παραγώγου σε ένα σημείο ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ σε ένα σημείο ξ είναι το όριο (αν υπάρχει!) f (ξ) x ξ g(x, ξ), g(x, ξ) f(x) f(ξ) x ξ Ορισμός Cauchy: ɛ > 0 δ(ɛ, ξ) > 0 x x ξ
Διαβάστε περισσότεραAnswers - Worksheet A ALGEBRA PMT. 1 a = 7 b = 11 c = 1 3. e = 0.1 f = 0.3 g = 2 h = 10 i = 3 j = d = k = 3 1. = 1 or 0.5 l =
C ALGEBRA Answers - Worksheet A a 7 b c d e 0. f 0. g h 0 i j k 6 8 or 0. l or 8 a 7 b 0 c 7 d 6 e f g 6 h 8 8 i 6 j k 6 l a 9 b c d 9 7 e 00 0 f 8 9 a b 7 7 c 6 d 9 e 6 6 f 6 8 g 9 h 0 0 i j 6 7 7 k 9
Διαβάστε περισσότερα(... )..!, ".. (! ) # - $ % % $ & % 2007
(! ), "! ( ) # $ % & % $ % 007 500 ' 67905:5394!33 : (! ) $, -, * +,'; ), -, *! ' - " #!, $ & % $ ( % %): /!, " ; - : - +', 007 5 ISBN 978-5-7596-0766-3 % % - $, $ &- % $ % %, * $ % - % % # $ $,, % % #-
Διαβάστε περισσότεραγ n ϑ n n ψ T 8 Q 6 j, k, m, n, p, r, r t, x, y f m (x) (f(x)) m / a/b (f g)(x) = f(g(x)) n f f n I J α β I = α + βj N, Z, Q ϕ Εὐκλείδης ὁ Ἀλεξανδρεύς Στοιχεῖα ἄκρος καὶ μέσος λόγος ὕδωρ αἰθήρ ϕ φ Φ τ
Διαβάστε περισσότεραMICROMASTER Vector MIDIMASTER Vector
s MICROMASTER Vector MIDIMASTER Vector... 2 1.... 4 2. -MICROMASTER VECTOR... 5 3. -MIDIMASTER VECTOR... 16 4.... 24 5.... 28 6.... 32 7.... 54 8.... 56 9.... 61 Siemens plc 1998 G85139-H1751-U553B 1.
Διαβάστε περισσότεραhttp://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=15584
Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΤΕΥΧΟΣ 5ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ 401-500 Αφιερωμένο σε κάθε μαθητή που ασχολείται ή πρόκειται να ασχοληθεί με Μαθηματικούς διαγωνισμούς
Διαβάστε περισσότεραk A = [k, k]( )[a 1, a 2 ] = [ka 1,ka 2 ] 4For the division of two intervals of confidence in R +
Chapter 3. Fuzzy Arithmetic 3- Fuzzy arithmetic: ~Addition(+) and subtraction (-): Let A = [a and B = [b, b in R If x [a and y [b, b than x+y [a +b +b Symbolically,we write A(+)B = [a (+)[b, b = [a +b
Διαβάστε περισσότεραITU-R P (2012/02)
ITU-R P.56- (0/0 P ITU-R P.56- ii.. (IPR (ITU-T/ITU-R/ISO/IEC.ITU-R ttp://www.itu.int/itu-r/go/patents/en. (ttp://www.itu.int/publ/r-rec/en ( ( BO BR BS BT F M P RA RS S SA SF SM SNG TF V 0.ITU-R ITU 0..(ITU
Διαβάστε περισσότεραΆδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ
Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 25: Γραμματικές Χωρίς Περιορισμούς Τμήμα Πληροφορικής ΘΥ 25: Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως
Διαβάστε περισσότεραa -80.6MPa, m =49.4MPa a =80.6MPa, m =-49.4MPa. a =49.4MPa, m =-80.6MPa a =-49.4MPa, m =-80.6MPa
1 2 1 2 3 4 5 0.24 0.24 4.17 4.17 6 a m a -80.6MPa, m =49.4MPa a =80.6MPa, m =-49.4MPa a =49.4MPa, m =-80.6MPa a =-49.4MPa, m =-80.6MPa 1 7 max min m a r 8 9 1 ] ] S [S] S [S] 2 ] ] S [S] S [S] 3 ] ] S
Διαβάστε περισσότεραHONDA. Έτος κατασκευής
Accord + Coupe IV 2.0 16V (CB3) F20A2-A3 81 110 01/90-09/93 0800-0175 11,00 2.0 16V (CB3) F20A6 66 90 01/90-09/93 0800-0175 11,00 2.0i 16V (CB3-CC9) F20A8 98 133 01/90-09/93 0802-9205M 237,40 2.0i 16V
Διαβάστε περισσότεραss rt çã r s t Pr r Pós r çã ê t çã st t t ê s 1 t s r s r s r s r q s t r r t çã r str ê t çã r t r r r t r s
P P P P ss rt çã r s t Pr r Pós r çã ê t çã st t t ê s 1 t s r s r s r s r q s t r r t çã r str ê t çã r t r r r t r s r t r 3 2 r r r 3 t r ér t r s s r t s r s r s ér t r r t t q s t s sã s s s ér t
Διαβάστε περισσότεραVers un assistant à la preuve en langue naturelle
Vers un assistant à la preuve en langue naturelle Thévenon Patrick To cite this version: Thévenon Patrick. Vers un assistant à la preuve en langue naturelle. Autre [cs.oh]. Université de Savoie, 2006.
Διαβάστε περισσότεραDéformation et quantification par groupoïde des variétés toriques
Défomation et uantification pa goupoïde de vaiété toiue Fédéic Cadet To cite thi veion: Fédéic Cadet. Défomation et uantification pa goupoïde de vaiété toiue. Mathématiue [math]. Univeité d Oléan, 200.
Διαβάστε περισσότεραF (x) = kx. F (x )dx. F = kx. U(x) = U(0) kx2
F (x) = kx x k F = F (x) U(0) U(x) = x F = kx 0 F (x )dx U(x) = U(0) + 1 2 kx2 x U(0) = 0 U(x) = 1 2 kx2 U(x) x 0 = 0 x 1 U(x) U(0) + U (0) x + 1 2 U (0) x 2 U (0) = 0 U(x) U(0) + 1 2 U (0) x 2 U(0) =
Διαβάστε περισσότεραΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Λογισμός Ι Ενότητα 4: Παράγωγοι Κ. Δασκαλογιάννης Τμήμα Μαθηματικών Α.Π.Θ. (Α.Π.Θ.) Λογισμός Ι 1 / 68 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΓΕΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ IV: ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ
Τμήμα Φυσικής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης ΓΕΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ IV: ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ Ι. ΑΡΒΑΝΙΤΙ ΗΣ jarvan@physcs.auth.gr 2310 99 8213 ΘΕΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΟΠΤΙΚΗ ΠΟΛΩΣΗ ΣΥΜΒΟΛΗ ΠΕΡΙΘΛΑΣΗ
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΟΔΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ (1) Ηλία Σκαλτσά ΠΕ ο Γυμνάσιο Αγ. Παρασκευής
ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ (1) Ηλία Σκαλτσά ΠΕ04.01 5 ο Γυμνάσιο Αγ. Παρασκευής Όπως συμβαίνει στη φύση έτσι και ο άνθρωπος θέλει να πετυχαίνει σπουδαία αποτελέσματα καταναλώνοντας το λιγότερο δυνατό
Διαβάστε περισσότεραr r t r r t t r t P s r t r P s r s r r rs tr t r r t s ss r P s s t r t t tr r r t t r t r r t t s r t rr t Ü rs t 3 r r r 3 rträ 3 röÿ r t
r t t r t ts r3 s r r t r r t t r t P s r t r P s r s r P s r 1 s r rs tr t r r t s ss r P s s t r t t tr r 2s s r t t r t r r t t s r t rr t Ü rs t 3 r t r 3 s3 Ü rs t 3 r r r 3 rträ 3 röÿ r t r r r rs
Διαβάστε περισσότεραK r i t i k i P u b l i s h i n g - d r a f t
T ij = A Y i Y j /D ij A T ij i j Y i i Y j j D ij T ij = A Y α Y b i j /D c ij b c b c a LW a LC L P F Q W Q C a LW Q W a LC Q C L a LC Q C + a LW Q W L P F L/a LC L/a LW 1.000/2 = 500
Διαβάστε περισσότεραJ! "#$ %"& ( ) ) ) " *+, -./0-, *- /! /!+12, ,. 6 /72-, 0,,3-8 / ',913-51:-*/;+ 5/<3/ +15;+ 5/<3=9 -!.1!-9 +17/> ) ) &
J! "#$ %"& J ' ( ) ) ) " *+, -./0-, L *- /! /!+12,3-4 % +15,. 6 /72-, 0,,3-8 / ',913-51:-*/;+ 5/01 ',913-51:--
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14
Διαβάστε περισσότεραΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση
ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση Διάλεξη 10, 12 Μαρτίου 2018 Μιχάλης Πλεξουσάκης Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Περιεχόμενα 1. Παρεμβολή 2. Παράσταση και υπολογισμός του πολυωνύμου παρεμβολής
Διαβάστε περισσότεραΙ ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ. Παππάς Χρήστος Επίκουρος Καθηγητής
ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΟΜΗ ΚΑΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ Παππάς Χρήστος Επίκουρος Καθηγητής ΤΟ ΜΕΓΕΘΟΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ Ατομική ακτίνα (r) : ½ της απόστασης μεταξύ δύο ομοιοπυρηνικών ατόμων, ενωμένων με απλό ομοιοπολικό δεσμό.
Διαβάστε περισσότεραTALAR ROSA -. / ',)45$%"67789
TALAR ROSA!"#"$"%$&'$%(" )*"+%(""%$," *$ -. / 0"$%%"$&'1)2$3!"$ ',)45$%"67789 ," %"(%:,;,"%,$"$)$*2
Διαβάστε περισσότεραAPPENDIX 1: Gravity Load Calculations. SELF WEIGHT: Slab: 150psf * 8 thick slab / 12 per foot = 100psf ROOF LIVE LOAD:
APPENDIX 1: Gravity Load Calculations SELF WEIGHT: Slab: 150psf * 8 thick slab / 12 per foot = 100psf ROOF LIVE LOAD: A t = 16.2 * 13 = 208 ft^2 R 1 = 1.2 -.001* A t = 1.2 -.001*208 =.992 F = 0 for a flat
Διαβάστε περισσότεραΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΤΗΤΑΣ : Οι ιδιότητες των χηµικών στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού.
1. Ο ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ Οι άνθρωποι από την φύση τους θέλουν να πετυχαίνουν σπουδαία αποτελέσµατα καταναλώνοντας το λιγότερο δυνατό κόπο και χρόνο. Για το σκοπό αυτό προσπαθούν να οµαδοποιούν τα πράγµατα
Διαβάστε περισσότεραM p f(p, q) = (p + q) O(1)
l k M = E, I S = {S,..., S t } E S i = p i {,..., t} S S q S Y E q X S X Y = X Y I X S X Y = X Y I S q S q q p+q p q S q p i O q S pq p i O S 2 p q q p+q p q p+q p fp, q AM S O fp, q p + q p p+q p AM
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )
Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι
Διαβάστε περισσότεραd 2 y dt 2 xdy dt + d2 x
y t t ysin y d y + d y y t z + y ty yz yz t z y + t + y + y + t y + t + y + + 4 y 4 + t t + 5 t Ae cos + Be sin 5t + 7 5 y + t / m_nadjafikhah@iustacir http://webpagesiustacir/m_nadjafikhah/courses/ode/fa5pdf
Διαβάστε περισσότερα!"#!"!"# $ "# '()!* '+!*, -"*!" $ "#. /01 023 43 56789:3 4 ;8< = 7 >/? 44= 7 @ 90A 98BB8: ;4B0C BD :0 E D:84F3 B8: ;4BG H ;8
Διαβάστε περισσότεραPoints de torsion des courbes elliptiques et équations diophantiennes
Points de torsion des courbes elliptiques et équations diophantiennes Nicolas Billerey To cite this version: Nicolas Billerey. Points de torsion des courbes elliptiques et équations diophantiennes. Mathématiques
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 3
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 3 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 3 Νοεµβρίου 2016 Ασκηση 1. Αφού ϐρείτε
Διαβάστε περισσότεραΑυτό το κεφάλαιο εξηγεί τις ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥΣ προς χρήση αυτού του προϊόντος. Πάντα να μελετάτε αυτές τις οδηγίες πριν την χρήση.
Αυτό το κεφάλαιο εξηγεί τις ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥΣ προς χρήση αυτού του προϊόντος. Πάντα να μελετάτε αυτές τις οδηγίες πριν την χρήση. 3. Λίστα Παραμέτρων 3.. Λίστα Παραμέτρων Στην αρχική ρύθμιση, μόνο οι παράμετροι
Διαβάστε περισσότεραη η η η GAR = 1 F RR η F RR F AR F AR F RR η F RR F AR µ µ µ µ µ µ Γ R N=mxn W T X x mean X W T x g W P x = W T (x g x mean ) X = X x mean P x = W T X d P x P i, i = 1, 2..., G M s t t
Διαβάστε περισσότεραΣημειώσεις Μαθηματικής Λογικής. Χειμερινό Εξάμηνο Δ. Ζώρος, Ν. Καρβέλας Σύμφωνα με παραδόσεις του Λ. Κυρούση
Σημειώσεις Μαθηματικής Λογικής Χειμερινό Εξάμηνο 2011-2012 Δ. Ζώρος, Ν. Καρβέλας Σύμφωνα με παραδόσεις του Λ. Κυρούση Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 1 2 Προτασιακή Λογική 3 2.1 Αναδρομικοί Ορισμοί - Επαγωγικές
Διαβάστε περισσότεραConsommation marchande et contraintes non monétaires au Canada ( )
Consommation marchande et contraintes non monétaires au Canada (1969-2008) Julien Boelaert, François Gardes To cite this version: Julien Boelaert, François Gardes. Consommation marchande et contraintes
Διαβάστε περισσότεραIm-e-Øn-s I-hn tum. Fw.-F-kv. ta-t\m
1 Im-e-Øn-s I-hn tum. Im-e-Øn-s\m-Øv k-aq-l-sø am- n-a-dn- m I-hn-bp-sS Xq-en-I- v I-cp-Øp-s - v hn-iz-kn- I-hn-bm-Wv C-S-t»-cn tkm-hn-µ -\m-b. k-a-im-en-i km-aq-ly-{]-iv-\-ß-sf I-em-aq-ey-hpw I- em-ku-µ-cy-hpw
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 13 Μαρτίου 2013 Ασκηση 1. Αφού ϐρείτε την
Διαβάστε περισσότεραΑ Δ Ι. Παρασκευή 17 Ιανουαρίου 2014
Α Δ Ι Α - Φ 10 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2013/asi2013.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 17 Ιανουαρίου
Διαβάστε περισσότεραRaréfaction dans les suites b-multiplicatives
Raréfaction dans les suites b-multiplicatives Alexandre Aksenov To cite this version: Alexandre Aksenov. Raréfaction dans les suites b-multiplicatives. Mathématiques générales [math.gm]. Université Grenoble
Διαβάστε περισσότεραITU-R P (2012/02) &' (
ITU-R P.530-4 (0/0) $ % " "#! &' ( P ITU-R P. 530-4 ii.. (IPR) (ITU-T/ITU-R/ISO/IEC).ITU-R http://www.itu.int/itu-r/go/patents/en. ITU-T/ITU-R/ISO/IEC (http://www.itu.int/publ/r-rec/en ) () ( ) BO BR BS
Διαβάστε περισσότερα!"#! $%&'$% %(' ') '#*#(& ( #'##+,-'!$%(' & ('##$%(' &#' & ('##$%('. )!#)! ##%' " (&! #!$"/001
!"#! $%&'$% %(' ') '#*#(& ( #'##+,-'!$%(' & ('##$%(' &#' & ('##$%('. ') '#*#(& )!#)! ##%' " (&! #!$"/001 ')!' &'# 2' '#)!( 3(&/004&' 5#(& /006 # '#)! 7!+8 8 8 #'%# ( #'## +,-'!$%(' & ('##$%('9&#' & ('##$%('9')
Διαβάστε περισσότερα......... tf idf t MATLAB \index{} \index{} tf.idf MATLAB N grams https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pubmed/ http://www.brainmap.org/pubs/ https://www.ebay.com/ https://www.nlm.nih.gov/bsd/pmresources.html
Διαβάστε περισσότεραEstimation of grain boundary segregation enthalpy and its role in stable nanocrystalline alloy design
Supplemental Material for Estimation of grain boundary segregation enthalpy and its role in stable nanocrystalline alloy design By H. A. Murdoch and C.A. Schuh Miedema model RKM model ΔH mix ΔH seg ΔH
Διαβάστε περισσότεραLEM. Non-linear externalities in firm localization. Giulio Bottazzi Ugo Gragnolati * Fabio Vanni
LEM WORKING PAPER SERIES Non-linear externalities in firm localization Giulio Bottazzi Ugo Gragnolati * Fabio Vanni Institute of Economics, Scuola Superiore Sant'Anna, Pisa, Italy * University of Paris
Διαβάστε περισσότεραZ = 1.2 X 1 + 1, 4 X 2 + 3, 3 X 3 + 0, 6 X 4 + 0, 999 X 5. X 1 X 2 X 2 X 3 X 4 X 4 X 5 X 4 X 4 Z = 0.717 X 1 + 0.847 X 2 + 3.107 X 3 + 0.420 X 4 + 0.998 X 5. X 5 X 4 Z = 6.56 X 1 + 3.26 X 2 + 6.72 X 3
Διαβάστε περισσότεραΑ Δ Ι. Παρασκευή 20 Δεκεμβρίου GL n (R) / SL n (R)
Α Δ Ι Α - Φ 8 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2013/asi2013.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 20 Δεκεμβρίου
Διαβάστε περισσότεραΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA)
ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ Φύση του σύμπαντος Η γη είναι μία μονάδα μέσα στο ηλιακό μας σύστημα, το οποίο αποτελείται από τον ήλιο, τους πλανήτες μαζί με τους δορυφόρους τους, τους κομήτες, τα αστεροειδή και τους μετεωρίτες.
Διαβάστε περισσότεραC 1 D 1. AB = a, AD = b, AA1 = c. a, b, c : (1) AC 1 ; : (1) AB + BC + CC1, AC 1 = BC = AD, CC1 = AA 1, AC 1 = a + b + c. (2) BD 1 = BD + DD 1,
1 1., BD 1 B 1 1 D 1, E F B 1 D 1. B = a, D = b, 1 = c. a, b, c : (1) 1 ; () BD 1 ; () F; D 1 F 1 (4) EF. : (1) B = D, D c b 1 E a B 1 1 = 1, B1 1 = B + B + 1, 1 = a + b + c. () BD 1 = BD + DD 1, BD =
Διαβάστε περισσότερα3Νο. ασκήσεις Α Ν Α Λ Υ Σ Η 1Ο Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο. Θετική Τεχνολογική Κατεύθυνση ( ) ( 0)
Λ Υ Κ Ε Ι Ο Α Ν Α Λ Υ Σ Η 1Ο Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Π Δ ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Θετική Τεχνολογική Κατεύθυνση ασκήσεις (ΝΑ ΛΥΘΟΥΝ ΜΕΤΑ ΑΠΟ ΤΙΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΕΣ ΤΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ) 3Νο ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1 Να μελετήσετε
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικοί Διαγωνισμοί για Μαθητές Γυμνασίου (Juniors)
Μαθηματικοί Διαγωνισμοί για Μαθητές Γυμνασίου (Juniors) Δάτης Καλάλη Στον παππού και στην γιαγιά μου Πρόλογος Οι διαγωνισμοί των μαθηματικών διοργανώνονται στις περισσότερες χώρες σε εθνικό και διεθνή
Διαβάστε περισσότεραQ π (/) ^ ^ ^ Η φ. <f) c>o. ^ ο. ö ê ω Q. Ο. o 'c. _o _) o U 03. ,,, ω ^ ^ -g'^ ο 0) f ο. Ε. ιη ο Φ. ο 0) κ. ο 03.,Ο. g 2< οο"" ο φ.
II 4»» «i p û»7'' s V -Ζ G -7 y 1 X s? ' (/) Ζ L. - =! i- Ζ ) Η f) " i L. Û - 1 1 Ι û ( - " - ' t - ' t/î " ι-8. Ι -. : wî ' j 1 Τ J en " il-' - - ö ê., t= ' -; '9 ',,, ) Τ '.,/,. - ϊζ L - (- - s.1 ai
Διαβάστε περισσότεραf : G G G = 7 12 = 5 / N. x 2 +1 (x y) z = (x+y+xy) z = x+y+xy+z+(x+y+xy)z = x+y+z+xy+yz+xz+xyz.
Σ.Παπαδόπουλος 1 1 Βασικές έννοιες ομάδας Εστω G ένα σύνολο με G. Μία πράξη στο G είναι μία συνάρτηση f : G G G. Αντί f(x, y) γράφουμε x y και αν δεν υπάρχει περίπτωση σύγχυσης xy. Είναι φανερό ότι σε
Διαβάστε περισσότεραΑνταλλακτικά για Laptop Toshiba
Ανταλλακτικά για Laptop Toshiba Ημερομηνία έκδοσης καταλόγου: 6/11/2011 Κωδικός Προϊόντος Είδος Ανταλλακτικού Μάρκα Μοντέλο F000000901 Inverter Satellite A10 Series, A10 PSA10L-033X4P F000000902 Inverter
Διαβάστε περισσότερα«ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α» ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΕΙΔΩΝ και ΕΚΤΙΜΩΜΕΝΕΣ ΠΟΣΟΤΗΤΕΣ
«ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α» ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΕΙΔΩΝ και ΕΚΤΙΜΩΜΕΝΕΣ ΠΟΣΟΤΗΤΕΣ Α/Α ΜΟΝΤΕΛΟ ΕΙΔΟΣ ΕΚΤΥΠΩΤΗ ποσότητα BLACK ποσότητα YELLOW ποσότητα MAGENTA ποσότητα CYAN ποσότητ α color BROTHER 1 Brother dcb -7010L Fax 1 2 Brother
Διαβάστε περισσότεραSUPPLEMENTAL INFORMATION. Fully Automated Total Metals and Chromium Speciation Single Platform Introduction System for ICP-MS
Electronic Supplementary Material (ESI) for Journal of Analytical Atomic Spectrometry. This journal is The Royal Society of Chemistry 2018 SUPPLEMENTAL INFORMATION Fully Automated Total Metals and Chromium
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ
ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ Ενότητα 10: Συνδυασμοί μηχανών Turing Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως
Διαβάστε περισσότεραΑλγεβρικές Δομές ΙΙ. 1 Ομάδα I. Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω R ένας δακτύλιος. Δείξτε ότι το σύνολο
Αλγεβρικές Δομές ΙΙ 1 Ομάδα I Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω R ένας δακτύλιος. Δείξτε ότι το σύνολο C(R) = {a R/ax = xa, για κάθε x R} είναι υποδακτύλιος του R, και λέγεται κέντρο του δακτυλίου R. Ά σ κ η σ η 1.2
Διαβάστε περισσότερα