1 Aðdragandi skammtafræðinnar

Transcript

1 1 Aðdragandi skammtafræðinnar 1.1 Inngangur Fram yfir aldamótin 1900 töldu flestir eðlisfræðingar að aflfræði Newtons og rafsegulfræði Maxwells dygðu til að gera grein fyrir gangi náttúrunnar. Á síðustu áratugum 19. aldar varð þó sífellt erfiðara að finna skýringar á niðurstöðum ýmissa mælinga og tilrauna með klassíska eðlisfræði eina að vopni. Geislavirkni uppgötvaðist, ekki virtist allt með felldu í hegðun ljósvakans, atóm virtust tæpast eiga heima í klassískri eðlisfræði og erfiðleikum var bundið að lýsa víxlverkun rafsegulgeislunar og efnis. Hægfara bylting varð í heimi eðlisfræðinnar með tilkomu takmörkuðu afstæðiskenningarinnar árið Sú kenning tók þó ekki í reynd nema til afar hraðskreiðra hluta en hafði þeim mun meiri áhrif á hugmyndaheim eðlisfræðinnar, þ.e. hvernig ber að skilja hugtökin rúm og tíma. Meginbylting varð í eðlisfræði á árunum er skammtafræðin spratt upp og kom í stað aflfræði Newtons við lýsingu á öllum nægilega smáum ögnum. Til að lýsa ögnum sem bæði eru hraðfara og smáar þarf að beita bæði skammtafræði og afstæðiskenningu og til þess þurfti að smíða nýja kenningu, skammtasviðsfræði, sem tók ekki á sig nytsamlegt form fyrr en á árunum eftir Skammtafræði þarf að beita til að lýsa hreyfingu allra agna á stærðarþrepi sameinda og þar fyrir neðan. Kenningunni þarf einnig að beita við lýsingu á víxlverkun geislunar og efnis. Efnafræði er því reist á fræðilegum grunni skammtafræðinnar og allri smásærri gerð efnis er lýst með aðferðum skammtafræðinnar. Atómeðlisfræði, kjarneðlisfræði og öreindafræði eru óhugsandi án skammtafræði. Sama máli gegnir um þéttefnisfræði og alla rafeindatækni nútímans. 1.2 Svarthlutargeislun Rafsegulbylgjur víxlverka við hvers kyns efni. Við vitum að heitir hlutir glóa og því bjartar þeim mun heitari sem þeir eru. Gerum ráð fyrir að hlutur sé í varmajafnvægi við hitastig T og inni í hlutnum sé holrúm. Holrúmið er fyllt rafsegulgeislun sem er í varmajafnvægi við hlutinn. Þessi geislun er einsleit og einsátta, og sýna má með varmafræðilegum rökum að róf hennar er einungis háð hitastigi hlutarins en ekki efnislegri gerð hans. Slík geislun nefnist svarthlutargeislun eða holrúmsgeislun. Ljóst er að góð kenning um víxlverkun geislunar og efnis verður að skýra róf svarthlutargeislunar. Gerum nú ráð fyrir að við borum göng inn í holrúmið svo að geislun geti sloppið út fyrir okkur til að athuga. Við gerum ráð fyrir að göngin séu svo þröng að þau trufli ekki varmajafnvægi holrúmsgeislunarinnar við hlutinn. Látum I(λ, T ) tákna styrk þess hluta geislunarinnar sem hefur öldulengd λ. Þá er I(T ) = 0 I(λ, T ) dλ (1.1) heildarstyrkur geislunarinnar, þ.e. orkuflutningur gegnum flatareiningu á tímaeiningu. 1

2 Helstu staðreyndir um svarthlutargeislun eru eftirfarandi: Stefan-Boltzmann-lögmálið segir að I(T ) = σt 4, (1.2) þar sem σ er fasti. Lögmálið var fundið með tilraunum af Stefan og leitt út frá varmafræði af Boltzmann. Fyrir fast T hefur I(λ, T ), sem fall af λ, eitt hámark λ max sem uppfyllir λ max T = b, (1.3) þar sem b er fasti. Jafna (1.3) nefnist færslulögmál Wiens. Til er fall f af einni breytistærð þannig að I(λ, T ) = λ 5 f(λt ). (1.4) Þessi niðurstaða var fyrst leidd út af Wien með varmafræðilegum rökum árið Ekki verður komist lengra en Wien gerði án þess að notast við einhvers konar líkan af víxlverkun geislunar og efnis Líkan Rayleighs og Jeans Ef klassískri eðlisfræði er beitt til að lýsa víxlverkun holrúmsgeislunar við veggi holrúmsins fæst formúla fyrir f sem við gerum nú grein fyrir. Þessi niðurstaða brýtur freklega í bága við tilraunir við stuttar öldulengdir og varð kveikjan að tilgátu Plancks um orkuskömmtun rafsegulbylgna. Við hyggjum nú að kenningu Rayleighs og Jeans um þetta efni. Þeir gerðu ráð fyrir að í veggjum holrúmsins væru bundnar rafhlaðnar agnir sem hegðuðu sér eins og hreintóna sveiflar. Sveiflarnir víxlverkuðu síðan við geislunina hver með sinni tíðni. Þeir gerðu enn fremur ráð fyrir að holrúmsgeisluninni mætti lýsa sem standandi bylgjum. Jafnskiptalögmál orkunnar (sem við gerum nánari grein fyrir hér á eftir) sýnir að meðalorka sveifluháttar með öldulengd λ er ε λ = kt (1.5) fyrir öll gildi á λ, þar sem k er Boltzmann-fastinn, m.ö.o. er meðalorkan óháð λ. Út frá þessu má reikna orkuþéttleika holrúmsgeislunarinnar, sem leiðir til I(λ, T ) = 2πckλ 4 T (1.6) eins og við sýnum hér á eftir. Fyrir lítil gildi á λ er þessi formúla alröng og hefur þá afleiðingu að heildarstyrkur útgeislunarinnar, I(T ), verður óendanleg stærð því að heildið (1.1) yfir λ er ósamleitið við neðri mörkin. Fyrir stór gildi á λ kemur (1.6) hins vegar ágætlega heim og saman við tilraunir. Til að leiða út niðurstöðu Rayleighs og Jeans og endurbót Plancks á henni þurfum við fyrst að taka smá hliðarskref yfir í safneðlisfræði. 2

3 1.2.2 Jafnskiptalögmálið dreifing Boltzmanns Gerum ráð fyrir að eðlisfræðikerfi (t.d. safn atóma) sé í varmajafnvægi við hitastig T. Gerum enn fremur ráð fyrir að líkur þess að kerfið sé í einhverju tilteknu ástandi α, P (α), sé einungis fall af orku kerfisins í ástandinu α, P (α) = C 1 F (E α ), (1.7) þar sem C 1 er fasti einungis háður hitastiginu T og fallið F er óháð því hvaða kerfi er til umræðu. Fastinn C 1 ákvarðast að sjálfsögðu af skilyrðinu P (α) = 1, (1.8) α þar sem summan er yfir öll ástönd kerfisins. Hér er til einföldunar gert ráð fyrir að mengi allra ástanda sé teljanlegt. Almennt er nauðsynlegt að heilda yfir α. Lítum nú á tvö svona kerfi sem víxlverka ekki hvort við annað en eru bæði í varmajafnvægi við hitastig T. Líkur þess að annað kerfið sé í ástandi α en hitt í ástandi β, P (α, β), má nú reikna á tvennan hátt: vegna þess að kerfin eru óháð og samkvæmt upphaflegri tilgátu. Við fáum því að P (α, β) = P (α)p (β) (1.9) P (α, β) = C 2 F (E α + E β ) (1.10) C 2 F (E α + E β ) = C 2 1F (E α )F (E β ). (1.11) Þar sem þessi jafna gildir fyrir öll orkugildi E α og E β drögum við þá ályktun að til séu fastar a og b þannig að F (E) = ae be. (1.12) Fastinn a er ekki áhugaverður því að líkindi þess að kerfi sé í tilteknu ástandi með orku E standa í réttu hlutfalli við F (E). Fastinn b er mun áhugaverðari því að hann er óháður því hvaða kerfi er til umræðu. Við getum því valið okkur hentugt kerfi til að reikna út b. 1 Lítum á kjörgas í varmajafnvægi við hitastig T í föstu þyngdarsviði g. Gerum ráð fyrir að gasið sé í súlu með þversnið A og að súlan liggji samsíða stefnu þyngdarsviðsins. Við veljum z-ásinn gagnstæðan stefnu þyngdarsviðsins. Ástandi gassins má lýsa með gasjöfnunni p = nkt, (1.13) þar sem p er þrýstingur, n er fjöldi mólikúla í rúmmálseiningu, k er Boltzmannfastinn og stærðirnar p og n eru föll af z. Beinum nú sjónum okkar að þunnri sneið í gassúlunni með þykkt z. Skilyrði þess að gasið sé í jafnvægi er að A(p(z + z) p(z)) = mgna z, (1.14) 1 Hina fallegu röksemdafærslu sem hér fer á eftir, og rekja má til Boltzmanns, má t.d. finna í [11], 40. kafla í 1. bindi. Þar er umfjöllunin mun ítarlegri en hér. 3

4 þar sem m er massi hvers kjörgassmólikúls og g er þyngdarhröðunin. Við deilum nú í gegnum þessa jöfnu með A z og látum z stefna á 0. Þá fæst p (z) = mgn(z) (1.15) eða n (z) = mg n(z) (1.16) kt með því að nota gasjöfnuna (1.13). Ef við leysum (1.16) fyrir n fæst n(z) = Ce mgz/kt, (1.17) þar sem C er fasti. Ef við setjum núllpunkt stöðuorkunnar í z = 0 er mgz stöðuorka mólikúls í hæð z. Gasið er í varmajafnvægi svo að hraðadreifing mólikúlanna er hin sama alls staðar í súlunni. Við finnum nú þessa hraðadreifingu með einfaldri röksemdafærslu. Látum N u (0) vera þéttleika (þ.e. fjölda í rúmmálseiningu) mólikúla í hæð z = 0 sem hafa hraða v z í z-stefnu sem er meiri en u. Slík mólikúl hafa nægan skriðþunga í z-stefnu til að klifra upp í hæð h, þar sem 1 2 mu2 = mgh. Hin orkuminnstu í þessum hópi hafa glatað öllum z-skriðþunga sínum eftir klifrið, en önnur geta haldið áfram með einhverjum jákvæðum hraða í z-stefnu. Við sjáum því að N u (0) = N 0 (h), (1.18) þar sem N 0 (h) er þéttleiki mólikúla í hæð h með jákvæðan hraða í z-stefnu. Nú er ljóst að N 0 (0) > N 0 (h) og eina ástæða þess er sú að gasið er þéttara í z = 0 en í z = h. Hlutfallið milli stærðanna N 0 (0) og N 0 (h) er því hið sama og hlutfallið milli n(0) og n(h), þ.e. N 0 (h) N 0 (0) = e mgh/kt. (1.19) Samkvæmt (1.18) fáum við því N u (0) N 0 (0) = e mgh/kt = e mu2 /2kT. (1.20) Takið eftir að þessi niðurstaða er óháð styrk þyngdarsviðsins og svipuð röksemdafærsla gildir því um aðrar stefnur í gasinu. Þéttleiki mólikúla með hreyfiorku K í gasinu stendur því í réttu hlutfalli við e K/kT. Þéttleiki mólikúla með hreyfiorku K og stöðuorku V stendur því, samkvæmt (1.17), í réttu hlutfalli við e (K+V )/kt (1.21) og við getum þess vegna dregið þá ályktun að fastinn b í (1.12) sé b = 1 kt. (1.22) Við beitum nú þessari niðurstöðu á geislun í holrúmi. Meðalorka sveifluháttar með öldulengd λ við hitastig T er εe ε/kt dε ε λ (T ) = = kt. (1.23) e ε/kt dε Samkvæmt klassískri eðlisfræði gildir þessi niðurstaða reyndar um sérhverja hreyfivídd kerfis í varmajafnvægi við hitastig T og nefnist jafnskiptalögmál (equipartition theorem) varmafræðinnar. 4

5 1.2.3 Útleiðsla á formúlu Rayleighs og Jeans Til að finna orkuflæðið í holrúmsgeisluninni byrjum við á að finna orkuþéttleikann. Við þekkjum meðalorku hvers sveifluháttar og þurfum því að finna þéttleika sveifluhátta með öldulengd λ á hverja rúmmálseiningu. Til að reikna þennan þéttleika veljum við okkur holrúm með hentuga lögun því að niðurstaðan er óháð lögun holrúmsins. Látum holrúmið vera tening með hliðarlengd L og rúmmál V = L 3. Við gerum ráð fyrir að rafsegulbylgjum í teningnum megi lýsa með standandi rafsegulbylgjum, þ.e. lausnum bylgjujöfnunnar ( 2 x x 2 2 x 2 3 ) E = 1c 2 2 E, (1.24) t2 þar sem E = 0 á jöðrum teningsins. Þessi jaðarskilyrði eru valin til þæginda en eru ekki nauðsynleg forsenda fyrir niðurstöðu Rayleighs og Jeans. Ef teningurinn fyllir svæðið Ω = {(x 1, x 2, x 3 ) R 3 : 0 x i L, i = 1, 2, 3} (1.25) þá má rita lausnina E(r, t) = E 0 sin k 1 x 1 sin k 2 x 2 sin k 3 x 3 cos ωt, (1.26) þar sem k i = n i π/l og n i eru heilar tölur sem fullnægja Hér er ( π L ) 2 (n n n 2 3) = ω2 c 2. (1.27) ω = 2πν = 2πc/λ (1.28) horntíðni geislunarinnar. Samkvæmt ofansögðu eru hugsanlegar tíðnir holrúmsgeislunarinnar ν = c n n n 2 2L 3. (1.29) Við reiknum nú út fjölda ólíkra sveifluhátta á litlu tíðnibili (ν, ν + dν) og táknum þessa stærð með N ν dν. Jafna (1.29) sýnir að þessi fjöldi er jafn fjölda punkta með jákvæð heiltöluhnit í kúluskel með radíus n n n 2 3 og þykkt 2Ldν/c. Hver sveifluháttur lýsir í raun tveimur hreyfivíddum því að ljós hefur tvö hugsanleg skautunarástönd, svo að N ν dν = 2 4π 8 ( 2Lν c ) 2 2L c dν, (1.30) þ.e.a.s. N ν = 8πν2 c 3 L 3. (1.31) Fjöldi sveifluhátta í hverri rúmmálseiningu holrúmsins er því n ν = 8πν2 c 3 (1.32) 5

6 og óháður stærð holrúmsins. Samkvæmt (1.28) er þéttleiki sveifluhátta sem fall af öldulengd því gefinn með n λ = 8π λ 4. (1.33) Orkuþéttleiki geislunarinnar við öldulengd λ er því u(λ, T ) = n λ ε λ (T ) (1.34) = 8π kt. (1.35) λ4 Samband geislunarstyrks og orkuþéttleika rafsegulgeislunar er I(λ, T ) = 1 cu(λ, T ). (1.36) 4 Til að leiða út (1.36) tökum við eftir því að orkuflæðið í tiltekna stefnu (stefnu z-áss segjum) er c z u þar sem u er orkuþéttleikinn og c z er meðalhraði geislunarinnar í stefnu z-áss. Geislunin er einsátta og einungis helmingur hennar hefur jákvæðan hraðaþátt í stefnu z-áss (hinn helmingurinn hefur neikvæðan hraðaþátt í stefnu z-áss). Við fáum því þ.e. c z = 1 4π π/2 2π 0 0 c cos θ sin θ dφ dθ (1.37) = c 4, (1.38) I(λ, T ) = 2πc kt, (1.39) λ4 sem er niðurstaða Rayleighs og Jeans Tilgáta Plancks Planck var kunnugt um að rófi svarthlutargeislunar má lýsa með formúlu af gerðinni I(λ, T ) = C 1 λ 5 (e C 2/λT 1), (1.40) þar sem C 1 og C 2 eru fastar. Þessi formúla fékkst upphaflega sem góð lýsing á tilraunaniðurstöðum. Planck tók eftir því að leiða mátti út (1.40) ef gert væri ráð fyrir því að veggir holrúmsins og geislun með tíðni ν gætu einungis skipst á orku í skömmtum sem væru heilt margfeldi af lágmarksorkuskammti hν, þar sem h er tiltekinn fasti. Fastinn h ákvarðar gildi fastanna C 1 og C 2 eins og við sýnum nú. Samkvæmt tilgátu Plancks verður meðalorka sveifluháttar með tíðni ν ε ν (T ) = = nhνe nhν/kt n=0 (1.41) e nhν/kt n=0 hν e hν/kt 1, (1.42) 6

7 sem leiðir til I(λ, T ) = 2πc hν (1.43) λ 4 e hν/kt 1 samkvæmt (1.34) og (1.36). Þessi niðurstaða er í samræmi við (1.40). Tilraunir sýna að h = 6, Js. Oft er til þæginda að nota fastann sem skilgreindur er með = h (1.44) 2π og þá er hν = ω. Takið eftir að fyrir lítil gildi á ν, þ.e. fyrir ν kt h (1.45) verður formúla Plancks (1.43) hin sama og niðurstaða Rayleighs og Jeans eins og við er að búast. Þetta fæst með því að Taylor-liða (1.43) og hirða einungis fyrsta liðinn. 1.3 Ljósröfun Um líkt leyti og Hertz gerði hinar frægu tilraunir sem sýndu fram á tilvist útvarpsbylgna og staðfesti þar með eina af forsögnum rafsegulfræði Maxwells uppgötvaði hann að ljós sem skín á málma getur stundum valdið neistaflugi. Fljótlega var sýnt að ljósið losar rafeindir úr málminum og nefnast þessi hrif ljósröfun. Nákvæmar athuganir voru gerðar á þessu fyrirbæri um 1900 og lýsum við þeim nú nánar. C A I Ljós Mynd 5. Tæki til að rannsaka ljósröfun. Á mynd 5 er sýnd lofttæmd flaska með tveimur rafskautum A og C sem tengd eru með leiðara með straummæli og spennugjafa. Ljós getur skinið inn í flöskuna á rafskautið C. Stundum myndast rafstraumur í rásinni og er það háð því hver ljóstíðnin er og hvernig spennugjafinn er stilltur. Gerum ráð fyrir að ljós með tíðni ω skíni á C. Ef spennumunur skautanna, V, er minni en ákveðin þröskuldsstærð V 0 myndast enginn straumur en vex síðan með V þar til mettun verður við nægilega stórt V. Þröskuldsspennan er óháð ljósstyrk en mettunarstraumurinn stendur í réttu hlutfalli við ljósstyrkinn (sjá mynd 6). Tilraunir sýna enn fremur eftirfarandi: (i) Ef ljóstíðnin er minni en tiltekin þröskuldstíðni ω t myndast enginn straumur í rásinni óháð því hversu mikill ljósstyrkurinn er. 7

8 I vaxandi ljósstyrkur V 0 V Mynd 6. Rafstraumur í ljósröfunartilraun sem fall af spennumun skauta. (ii) Hámarkshreyfiorka rafeindanna sem losna frá C, táknuð T m, stendur í réttu hlutfalli við ω + K þar sem gildi fastans K er einungis háð málminum í skautunum. (iii) Ef V og ω eru þannig að straumur myndast í rásinni þá er engin bið eftir að straumur komi fram í rásinni eftir að kveikt er á ljósinu og gildir þá einu hve lítill ljósstyrkurinn er. Eiginleikana (i) (iii) er ekki unnt að skýra með rafsegulfræði Maxwells því að mikill ljósstyrkur með litla tíðni ætti að vera jafnáhrifaríkur til að losa rafeindir og veik geislun með háa tíðni. Ef geislunin er veik ætti að vera bið eftir því að straumur myndaðist í rásinni því að geislunarorkan á flatareiningu á rafskautinu ætti að þurfa að vera meiri en eitthvert lágmark. Einstein skýrði þessa eiginleika í snjallri grein árið 1905 þar sem hann beitti tilgátu Plancks á víxlverkun ljóssins og rafskautsins. Einstein gerði ráð fyrir að ljósið væri straumur lítilla agna með orku ω. Gera má ráð fyrir að hver rafeind víxlverki einungis við eina ljóseind. Ef W er lágmarksbindiorka rafeinda í málminum er því sýnt að enginn straumur myndast í rásinni ef ω < W. Þröskuldstíðnin ákvarðast því af jöfnunni ω t = W. (1.46) Á sama hátt hlýtur hámarkshreyfiorkan T m að vera tengd ω með jöfnunni T m = ω W. (1.47) Tilraunir sýndu að það gildi á Planck-fastanum sem þarf til að skýra ljósröfun er hið sama og fæst í kenningunni um svarthlutargeislun. Það er athyglisvert að Einstein voru veitt Nóbelsverðlaunin fyrir kenningu sína um ljósröfun en ekki fyrir afstæðiskenninguna. 1.4 Compton-hrif Newton taldi að ljós væri straumur agna og tókst að skýra ýmsa eiginleika ljóss með þeirri tilgátu. Þó er nær ógjörningur að skýra fyrirbæri svo sem ölduvíxl og ljósbognun með agnatilgátunni. Á 19. öld voru flestir eðlisfræðingar orðnir sannfærðir 8

9 p 1 p 0 θ φ p 2 Mynd 7. rafeind. Fjaðurmagnaður árekstur ljóseindar með skriðþunga p 0 við kyrrstæða um að ljós væri bylgjuhreyfing og rafsegulfræði Maxwells skaut traustum kennilegum stoðum undir þá skoðun. Tilgáta Plancks og kenning Einsteins um ljósröfun gengu því þvert gegn nær öllu því sem réttast var talið í eðlisfræði á þeim tíma. Fljótlega uppgötvuðu eðlisfræðingar fleiri fyrirbæri sem ekki var unnt að skýra á annan hátt en að ljós hegði sér eins og agnastraumur við vissar aðstæður. Ef ljós skín á efni og endurkastast frá efninu er öldulengd endurkastaða ljóssins að jafnaði hin sama og öldulengd upphaflega ljóssins. Endurkast af þessu tagi nefnist Rutherford-dreifing og má skýra með rafsegulfræði Maxwells. Árið 1923 gerði Compton tilraunir sem sýndu fram á agnaeiginleika ljóss með ótvíræðum hætti. Compton beindi Röntgen-geislum að skotmarki og athugaði öldulengd ljóssins sem dreifðist frá skotmarkinu. Gerum ráð fyrir að λ 0 sé öldulengd upphaflegu Röntgengeislanna. Öldulengd geisla sem dreifast í stefnu sem myndar hornið θ við upphafsstefnu geislanna er ýmist λ 0 eins og við er að búast þegar Rutherford-dreifing kemur við sögu en jafnframt koma fram Röntgen-geislar með aðra og meiri öldulengd λ 1 sem er háð horninu θ. Öldulengdarhliðrunin λ = λ 1 λ 0 hlítir jöfnunni λ = C sin 2 θ 2, (1.48) þar sem fastinn C er óháður gerð skotmarksins. Compton skýrði þetta fyrirbæri með því að ljóseindir rækjust á rafeindir í skotmarkinu og ættu við þær fjaðurmagnaðan árekstur. Þetta leiðir til hliðrunar á öldulengd ljóseindanna. Til að lýsa árekstri af þessu tagi þar sem massalausar agnir koma við sögu er að sjálfsögðu nauðsynlegt að beita aflfræði afstæðiskenningarinnar. Bindiorka rafeindanna í skotmarkinu er lítil miðað við orku einstakra ljóseinda í Röntgen-geisla svo að það er góð nálgun að gera ráð fyrir að rafeindirnar séu frjálsar. Lítum nú á einstakan árekstur ljóseindar og rafeindar. Gerum ráð fyrir að rafeindin sé kyrrstæð fyrir áreksturinn. Látum p 0 tákna skriðþunga ljóseindarinnar fyrir áreksturinn og p 1 skriðþunga hennar eftir áreksturinn. Látum p 2 tákna skriðþunga rafeindarinnar eftir áreksturinn. Látum θ og φ vera dreifingarhorn ljóseindarinnar og rafeindarinnar (sjá mynd 7). Ef við táknum massa rafeindar með m þá er orkuvarðveislujafnan p 0 c + mc 2 = p 1 c + m 2 c 4 + p 2 2c 2. (1.49) 9

10 Varðveisla skriðþunga leiðir til 0 = p 1 sin θ p 2 sin φ, (1.50) p 0 = p 1 cos θ + p 2 cos φ. (1.51) Ef p 2 og φ er eytt úr þessum jöfnum fæst mc(p 0 p 1 ) = p 0 p 1 (1 cos θ) = 2p 0 p 1 sin 2 θ 2. (1.52) Tengsl orku og öldulengdar ljóseindar fást með jöfnu Plancks, E = hν, svo að λ 0 = h, p 0 λ 1 = h. p 1 (1.53) Jöfnuna (1.52) má því rita Stærðin λ = 2h mc sin2 θ 2. (1.54) λ c h mc (1.55) er nefnd Compton-öldulengd rafeindar. Það gildi á Planck-fastanum sem fæst með mælingu á Compton-öldulengd rafeindarinnar er í góðu samræmi við þau gildi sem fást við mælingu á ljósröfun og svarthlutargeislun. Víxlverkun orkuríkra Röntgengeisla og gamma-geisla við rafeindir er nær einvörðungu með Compton-dreifingu. 1.5 Kenning Bohrs um vetnisatómið Á 19. öld uppgötvuðu eðlisfræðingar að sérhvert frumefni hefur slitrótt litróf sem er einkennandi fyrir frumefnið. Uppgötvunin var skýrð með því að atóm gætu einungis gleypt og gefið frá sér rafsegulbylgjur með tilteknar öldulengdir. Rófið má fá fram t.d. með því að hleypa rafstraumi í gegnum efnið í gasfasa. Jafngild aðferð er að skoða ísogslínur efnisins í gasfasa því að tíðni ísogslína er hin sama og tíðni útgeislunarlína. Litrófin eru almennt flókin og virðast við fyrstu sýn ekki hlíta neinum einföldum reglum. Balmer tók eftir því árið 1885 að hluta af tíðnirófi vetnis má lýsa með formúlunni ( 1 ω n = C 4 1 ), (1.56) n 2 þar sem C er fasti og n heil tala 3. Síðar komust menn að raun um að tíðni sérhverrar litrófslínu vetnis var á forminu ( 1 ω k,n = C k 1 ), (1.57) 2 n 2 þar sem k og n eru heilar tölur, k < n, og fastinn hinn sami og í (1.56). 10

11 E E i ω 1 ω 3 E j E k ω 2 Mynd 8. Ef atóm hefur 3 orkustig getur það færst af hæsta orkustiginu á það lægsta með eða án viðkomu í orkuástandinu sem liggur miðja vegu. Þetta skýrir samlagningarlögmál Ritz. Ef við beitum þeirri tilgátu Einsteins að ljós með tíðni ω sé straumur agna með orku ω þá gefur formúlan (1.57) til kynna að vetnisatóm geti einungis haft tiltekin slitrótt orkuástönd með orku E n = C n 2, (1.58) þar sem n er heil tala og útgeislunartíðnin ω k,n kemur fram þegar atómið færir sig af orkustiginu E n á orkustigið E k. Orkueiningin C er nefnd eitt Rydberg og er venjulega táknuð með E R. Gildi E R er sem næst 13,6 ev. Fastinn R sem er skilgreindur með R = E R (1.59) ch er venjulega nefndur Rydberg-fasti. Önnur atóm en vetni virðast einnig hafa slitrótt orkuróf þótt rófinu sé ekki hægt að lýsa með einfaldri formúlu á borð við (1.57). Ein rökin fyrir slitróttum orkuástöndum atóma er svonefnt samlagningarlögmál Ritz. Ef ω 1 og ω 2, eru tíðnir tveggja litrófslína atóms er oft til þriðja línan með tíðni ω 3 þannig að Þetta má skýra með því að ω 3 = ω 1 + ω 2. (1.60) ω 1 = E i E j, ω 2 = E j E k, (1.61) þar sem E i, E j og E k eru 3 mismunandi orkustig atómsins, E i > E j > E k, og ω 3 er þá geislunin sem atómið gefur frá sér þegar það færist af orkustiginu E i á orkustigið E k. Frá sjónarhóli klassískrar eðlisfræði er næsta óskiljanlegt að atóm skuli hafa slitrótt orkustig. Rutherford sýndi fram á í kring um 1911 að sérhvert atóm væri gert úr örsmáum afar þungum jákvætt rafhlöðnum kjarna sem neikvætt rafhlaðnar rafeindir sveimuðu umhverfis. 2 Þó var ekki með góðu móti unnt að hugsa sér atóm sem lítið sólkerfi með rafeindir í stað pláneta og atómkjarna í stað sólar því að 2 Sjá t.d. bls í [9] eða bls í [4]. 11

12 rafhlaðin ögn sem verður fyrir hröðun geislar út rafsegulbylgju og missir því orku. Þótt lögmál Coulombs hafi sama form og þyngdarlögmál Newtons eru afleiðingar lögmálanna harla ólíkar því að rafhleðslur hafa formerki og geisla út en massar ekki. 3 Í klassískri rafsegulfræði er ekki til neitt stöðugt ástand tveggja rafhlaðinna agna. Árið 1913 setti Bohr fram þá tilgátu að klassísk aflfræði gilti ekki um hreyfingu rafeinda í atómum og rafeind gæti verið á stöðugri braut í vetnisatómi að því gefnu að hverfiþungi hennar væri heilt margfeldi af. Tilgáta Bohrs var í raun úr lausu lofti gripin og eina réttlæting hennar var að hún leiðir með einföldum hætti til formúlu Balmers og gerir okkur kleift að reikna út gildi Rydberg-fastans. Lítum á röksemdafærslu Bohrs. Til einföldunar gerum við ráð fyrir að vetniskjarninn sé óendanlega þungur og rafeindin sé á hringlaga braut um kjarnann. Þessar hjálpartilgátur eru þó ekki nauðsynlegar. Hina fyrri má fjarlægja með því að greina hreyfingu massamiðju atómsins frá innbyrðis hreyfingu kjarna og rafeindar og nota smækkaðan massa rafeindarinnar. 4 Sommerfeld og Wilson alhæfðu kenningu Bohrs fyrir rafeind á sporbaug umhverfis kjarnann. Gerum ráð fyrir að rafeindin ferðist á hringlaga braut með radíus r og hafi hraða v. Miðflóttakrafturinn sem verkar á rafeindina er jafnstór en gagnstæður Coulomb kraftinum svo að Hverfiþunginn L er gefinn með þar sem m er massi rafeindarinnar. Tilgáta Bohrs var að e 2 4πε 0 r 2 = mv2 r. (1.62) L = mvr, (1.63) L = n, (1.64) þar sem n er heil tala, kölluð aðalskammtatala atómsins, svo að Nú má nota jöfnu (1.62) til að finna gildi r og v: v = n mr. (1.65) r = 4πε 0 me 2 n2 2, (1.66) v = e 2 4πε 0 n. (1.67) Orka atómsins er summa af hreyfiorku og stöðuorku rafeindarinnar E n = 1 2 mv2 e2 4πε 0 r = m ( ) e πε 0 n, (1.68) 2 3 Samkvæmt almennu afstæðiskenningunni, sem er endurbót á þyngdaraflfræði Newtons, geisla hlutir frá sér svokölluðum þyngdargeislum verði þeir fyrir hröðun. Þessi geislun er þó afar veik og hefur ekki verið mæld nema með óbeinum aðferðum. 4 Sjá nánar t.d. á bls í [23]. 12

13 sem gefur E R = m ( ) e 2 2. (1.69) 2 2 4πε 0 Gildi E R samkvæmt (1.69) er í samræmi við tilraunir. Reikningana að ofan er auðvelt að alhæfa til að reikna hugsanleg orkustig jónar með einungis eina rafeind. Ef rafhleðsla kjarnans er Ze fæst að orkustigin eru E n,z = Z2 E R n 2. (1.70) Minnsti hugsanlegi radíus rafeindabrautar í vetnisatómi kallast Bohr-radíus, táknaður a 0. Samkvæmt (1.66) er Tilsvarandi hraði er a 0 = 4πε 0 2 me 2 0, m. (1.71) e2 4πε 0 c c = αc 1 v 0 = c, (1.72) 137 þar sem c táknar ljóshraðann og α er víddarlaus fasti er nefnist fíngerðarstuðull. Þessi hraði er miklu minni en ljóshraðinn. Tilgáta Bohrs um að ekki þurfi aflfræði afstæðiskenningarinnar til að lýsa rafeind í vetnisatómi virðist því vera allgóð. Það er næsta ótrúlegt að útreikningur Bohrs á rófi vetnisatómsins gefur sömu niðurstöðu og fæst með beitingu reikniaðferða skammtafræðinnar. Þó eru frávik frá kenningu Bohrs og eru þau til komin vegna spuna rafeindarinnar og vegna afstæðiskenningarinnar. Leiðréttingarnar eru einungis u.þ.b af því sem fæst með kenningu Bohrs eins og (1.72) gefur til kynna. Helsti gallinn á kenningu Bohrs er að hana er ekki hægt að útvíkka fyrir atóm með fleiri rafeindir en eina. Að auki er tilgátan um skömmtun hverfiþungans úr lausu lofti gripin en ekki hluti af heilsteyptri lýsingu á öreindum. Kenning Bohrs skýrir ekki mismunandi styrk útgeislunarlína og víxlverkun vetnisatóms við ljós á sér enga lýsingu í kenningu Bohrs. Sér í lagi skýrir kenningin ekki hvers vegna atóm í örvuðu ástandi færir sig ævinlega á orkulægra orkustig og geislar frá sér ljósi í leiðinni. Til að skýra þessi fyrirbæri þarf nýja aflfræði sem sett var fram af Heisenberg og Schrödinger árið 1925 eins og við munum lýsa í næstu köflum. 1.6 Tilraun Francks og Hertz Við höfum hér að framan skoðað nokkur dæmi um víxlverkun rafeinda og ljóseinda sem öll hafa leitt til þeirrar niðurstöðu að eðlilegt geti verið við vissar aðstæður að líta á ljós sem straum agna með orku ω þar sem ω er tíðni ljóssins. Við höfum einnig séð að orkustig atóma eru slitrótt og einhvers konar ný eðlisfræði frábrugðin klassískri rafsegulfræði og klassískri aflfræði virðist stjórna hreyfingu rafeinda í atómum. Næst skulum við ræða tilraun kennda við Franck og Hertz sem fyrst var gerð árið 1914 og sýnir að slitrótt orkustig atóma koma ekki einungis fram í víxlverkun þeirra við ljós. Sömu slitróttu orkustigin birtast í árekstrum atóma við rafeindir. Lokað hylki með bakskauti og forskauti er fyllt kvikasilfursgufu. Að auki er komið fyrir milliskauti eins og sýnt er á mynd 9. Straumurinn í rásinni er mældur sem fall 13

14 C B A Hg Hg I V 1 V 2 Mynd 9. Tæki notað við tilraun Francks og Hertz. Hylki er fyllt með kvikasilfursgufu og straumurinn í rásinni er mældur sem fall af spennunni V 1. Síðari spennugjafinn er notaður til að hafa smávægilegan spennumun milli B og A. af spennumun rafskautanna. Til að byrja með eykst straumurinn með spennumun en fellur síðan skarpt við u.þ.b. 4,9 V. Straumurinn eykst síðan á nýjan leik en fellur aftur við 9,8 V og sama endurtekur sig við 14,7 V. Þessi niðurstaða er skýrð með því að langflest kvikasilfursatómin séu í grunnástandi og rafeindirnar þurfi að hafa til að bera ákveðna lágmarkshreyfiorku til að geta flutt kvikasilfursatómin upp á fyrsta örvaða ástand. Álykta má af tilrauninni að orkumunur grunnástands og fyrsta örvaða ástands Hg-atóms sé 4,9 ev. Þegar spennumunurinn er orðinn 4,9 V geta rafeindirnar því átt ófjaðurmagnaðan árekstur við kvikasilfursatómin og flutt þau upp um eitt orkustig. Rafeindirnar tapa þá nær allri hreyfiorku sinni og komast ekki alla leið að forskautinu. Sé spennumunurinn minni en 4,9 V eru árekstrar rafeindanna við atómin fjaðurmagnaðir og rafeindir glata nær engri hreyfiorku í slíkum árekstrum þar sem atómin eru mörgum stærðarþrepum þyngri en rafeindirnar. Þegar spennumunur skautanna er orðinn 9,8 V geta rafeindirnar átt ófjaðurmagnaðan árekstur við tvö atóm og svo koll af kolli. Sú túlkun sem hér hefur verið lýst er staðfest með því að Hg hefur litrófslínu með tíðni ω þar sem ω = 4,9 ev. Auðvitað geta komið fram fleiri toppar í straumnum í rásinni, toppar sem svara til örvana kvikasilfursatómanna á hærri orkuástönd. Þessa tilraun má endurtaka með öðrum frumefnum en Hg og fá fram áþekka mynd sem staðfestir að orkuástönd atóma eru slitrótt og breytir engu í því sambandi hvort atómin eru færð milli ástanda með ljósörvun eða árekstrum við rafeindir. Ef rafeindirnar eru nægilega orkuríkar, þ.e.a.s. spennumunurinn milli skautanna er nægilega mikill, þá hverfa topparnir. Við þessar aðstæður geta árekstrarnir jónað atómin og rafeindin sem hverfur frá atóminu við jónun getur haft hvaða hreyfiorku sem er á samfelldu bili. Litróf atóma hafa því tvo hluta. Slitrótta rófið svarar til færslu rafeinda milli bundinna ástanda en samfellda rófið til ástanda þar sem ein eða fleiri rafeindir hafa brotist frá atóminu og geta hreyfst hversu langt frá því sem vera skal. 14

15 1.7 Tilgáta de Broglies Við sumar aðstæður hæfir að lýsa ljósi og öðrum rafsegulbylgjum sem bylgjuhreyfingu en við aðrar aðstæður sem straumi agna. Árið 1923 setti de Broglie fram þá tilgátu að sama máli gegndi um allar agnir, stórar sem smáar. Sambandið milli skriðþunga og öldulengdar ljóseinda er p = h λ, (1.73) því að samband orku og skriðþunga massalausra agna er gefið með E = cp en jafnframt gildir E = ω um ljóseindir. De Broglie gat sér þess til að allar agnir með skriðþunga p væru í einhverjum skilningi bylgjur með öldulengd λ sem uppfyllir (1.73). Þessi hugmynd átti ekki við mikið að styðjast í upphafi. Engar tilraunir höfðu nokkru sinni sýnt að raunverulegar agnir hefðu bylgjueiginleika. Eina ástæðan fyrir því að tilgátunni var veitt athygli er sennilega sú að de Broglie gat beitt henni til að skýra skömmtunarreglu Bohrs eins og við gerum nú grein fyrir. Gerum ráð fyrir að rafeind á hringlaga braut með radíus r um vetniskjarna megi líta á sem standandi bylgju sem spannar lengd brautarinnar 2πr. Þá gildir nλ = 2πr, þar sem λ er öldulengd bylgjunnar og n er heil tala. Ef samband skriðþunga og öldulengdar rafeindarinnar er gefið með (1.73) fæst að hverfiþungi hennar er L = r h = n (1.74) λ í samræmi við tilgátu Bohrs um skömmtun hverfiþungans. Tilgáta de Broglie var fyrst prófuð beint í tilraunum af Davisson og Germer eins og við ræðum í næstu grein. Síðan þá hefur verið sýnt fram á bylgjueiginleika hvers kyns smárra agna: öreinda, atóma og sameinda. Þekktasta hagnýting á bylgjueiginleikum öreinda er sennilega notkun rafeinda í þar til gerðum smásjám sem ná margfalt meiri upplausn en gerlegt er með sýnilegu ljósi, en upplausn ljóssmásjáa takmarkast við öldulengd sýnilegs ljóss. Ekki er hægt að nota Röntgeneða gamma-geisla í smásjár því að ekki eru til linsur fyrir rafsegulbylgjur með svo stutta öldulengd. 1.8 Tilraun Davissons og Germers Árið 1927 var tilgáta de Broglies prófuð beint í tilraunum bæði af Davisson og Germer og Thomson. Í fyrrnefndu tilrauninni var rafeindageisla beint að sléttu yfirborði Ni-kristals. Í stað þess að stefna rafeindanna sem endurkastast frá nikkelkristalnum hefði sem næst slétta dreifingu eins og við mætti búast samkvæmt klassískri aflfræði og eðlilegum tilgátum um yfirborð kristalsins tóku Davisson og Germer (DG) eftir því að vel skilgreindir toppar komu fram í dreifingunni. Þeir sýndu einnig að staðsetning toppanna var háð hreyfiorku rafeindanna. Tilraunin sýndi að víxlverkun rafeinda við kristal er um margt áþekk dreifingu Röntgen-geisla frá kristal. Tilraunaniðurstaða DG fyrir 54 ev rafeindir er sýnd á mynd 10. Toppur kemur fram í horndreifingunni við α = 50 sem skýra má með því að rafeindir hegði sér eins og bylgjur með öldulengd λ. Atóm Ni-kristalsins raða sér í plön og styrkjandi 15

16 I(α) I(α) e α Ni 50 α Mynd 10. Tilraun Davissons og Germers. Endurkast rafeinda frá nikkelkristal. samliðun kemur fram í endurkasti rafeindanna frá mismunandi plönum ef svokallað Bragg-skilyrði er uppfyllt: nλ = 2d sin θ, (1.75) þar sem θ = (π α)/2 er endurkastshornið og d fjarlægðin milli kristalplana (sjá mynd 11). Fjarlægðina d má mæla með því athuga endurkast Röntgen-geisla frá kristalnum. Mæligildi DG koma vel heim og saman við (1.75) ef rafeindinni er tileinkuð öldulengd samkvæmt tilgátu de Broglies. λ = h p (1.76) α θ θ θ θ θ d Mynd 11. Styrkjandi samliðun kemur fram í endurkasti rafeindabylgjunnar frá kristalnum ef skilyrði Braggs er uppfyllt. 1.9 Tveggja raufa tilraunin Við höfum nú rætt nokkur fyrirbæri sem sýna svo ekki verður um villst að ljós hegðar sér eins og straumur agna við sumar aðstæður en eins og bylgjuhreyfing við aðrar. Við sáum einnig að tilgáta de Broglie um að allir hlutir hafi þetta tvíeðli á við rök að styðjast. Hér veltum við fyrir okkur enn einni tilraun af þessu tagi sem fyrst var gerð með ljósi í upphafi 19. aldar. Þetta er hin svonefnda Young-tilraun eða tveggja raufa tilraun. 5 5 Um þessa tilraun og túlkun hennar er fjallað á einkar skýran hátt í [11], 1. kafla í 3. bindi. 16

17 p ρ A d ρ AB ρ B L Mynd 12. Tveggja raufa tilraunin. Rafeindum er skotið að skermi með tveimur raufum og handan við skerminn dreifast rafeindirnar á ólíkan hátt eftir því hvort önnur eða báðar raufarnar eru opnar. Gerum ráð fyrir að straumi rafeinda með fastan skriðþunga p sé beint að skermi með tveimur mjóum raufum sem við köllum A og B. Skermurinn hleypir engum rafeindum í gegn en rafeindir geta sloppið í gegn um raufarnar. Við höfum búnað til að hafa aðra raufina opna eða báðar. Gerum ráð fyrir að fjarlægðin milli raufanna sé d og í fjarlægð L handan við skerminn sé komið fyrir öðrum skermi sem liggur samsíða hinum fyrri. Á síðari skerminum er komið fyrir filmu eða öðru mælitæki til að nema rafeindir. Við athugum fyrst hvernig rafeindirnar hegða sér þegar einungis önnur raufin A er opin. Eins og við er að búast koma flestar rafeindirnar fram andspænis raufinni (sjá mynd 12). Köllum þessa dreifingu ρ A. Stærðin ρ A er fjöldi rafeinda á flatareiningu á tímaeiningu sem fall af staðsetningu á mæliskerminum. Hliðstæð dreifing ρ B fæst ef einungis B er opin. Nú mætti geta sér þess til að rafeindadreifingin verði einfaldlega summa ρ A og ρ B þegar báðar raufarnar eru opnar. Sú yrði að sjálfsögðu raunin ef við værum að skjóta á fyrri skerminn með byssukúlum og rannsökuðum hvernig kúlurnar dreifðust á hinn síðari. Í ljós kemur að rafeindir hegða sér á allt annan hátt. Þegar báðar raufarnar eru opnar koma fram margir toppar í rafeindadreifingunni og á milli eru staðir þar sem ekki ein einasta rafeind birtist. Við köllum þessa dreifingu ρ AB. Þessi niðurstaða fyrir ljós var túlkuð af Young sem svo að ljós hlyti að vera ölduhreyfing. Ljósdreifinguna má skýra með víxlun eða samliðun (interference). Líta má á raufarnar tvær sem sjálfstæðar samfasa ljósuppsprettur. Á þeim stöðum á mæliskerminum þar sem öldutoppur mætir öldudal verður eyðandi samliðun og ekkert ljós mælist. Inn á milli þar sem öldutoppur mætir öldutopp verður styrkjandi samliðun. Gerum ráð fyrir að öldulengd ljóssins sé λ og d L. Ef við látum θ vera eins og lýst er á mynd 13 verður skilyrðið fyrir styrkjandi samliðun d sin θ = nλ, (1.77) þar sem n er heil tala og skilyrðið fyrir eyðandi samliðun er á sama hátt ( d sin θ = n + 1 ) λ. (1.78) 2 Rafeindadreifingin sem fram kemur á skerminum er nákvæmlega eins og ljósdreifing í sams konar tilraun ef ljósið hefði de Broglie-öldulengd rafeindarinnar λ = h/p. 17

18 X A B d θ L Mynd 13. Ef d L er fjarlægðarmismunurinn BX AX = d sin θ. Rafeindeirnar hegða sér því eins og öldur að því leyti að samliðunarmynstur kemur fram en samt sem áður hegða rafeindirnar sér eins og punktlaga agnir þegar þær hitta mæliskerminn því að hver einstök rafeind skilur einungis eftir sig punktlaga far á ljósmyndafilmu. Nú má segja sem svo að sérhver rafeind hljóti að fara um aðra hvora raufina A eða B. Ef rafeind fer um A getur það tæpast haft áhrif á hvar hún lendir á mæliskerminum hvort rauf B er opin eða ekki. Á sama hátt ætti dreifing rafeindanna sem fara um B ekki að vera háð því hvort A er opin. Samkvæmt þessu ætti ρ AB að vera ρ A +ρ B en sú er ekki raunin. Niðurstaðan er því að sérhver rafeind hlýtur í einhverjum skilningi að fara um báðar raufarnar! Nú kann einhver að mótmæla og segja að ein rafeind sem fer um A gæti víxlverkað við aðra rafeind sem fer um B og þar með skapað víxlunarmynstrið. Þessi tilgáta stenst ekki prófun því að gera má tilraunina með svo veikum rafeindageisla að aldrei sé nema ein rafeind á ferð við skermana í einu. Samt sem áður kemur fram víxlunarmynstur! Við erum því þvinguð til að líta á rafeindina bæði sem bylgjuhreyfingu og sem ögn í einu og sömu tilrauninni. Rafeindin er bylgja þegar hún fer um fyrri skerminn en hún er punktlaga ögn þegar hún hittir hinn síðari og svertir ljósmyndafilmu í einum punkti. Við sjáum líka að það leiðir til mótsagnar að hugsa sér að rafeindin fari um aðra raufina. Í því sambandi skiptir engu máli hvort við vitum eða höfum tök á því að vita um hvora raufina hún fer. Braut rafeindarinnar er sögð vera óákveðin (indeterminate). Niðurstaðan er sú að hversdagslegar hugmyndir okkar um agnir og bylgjur duga ekki til að lýsa eiginleikum rafeinda. Rafeindir (og aðrar smáar agnir) eru bæði bylgjur og agnir en þó hvorugt. Þetta mótsagnakennda tvíeðli var kallað The Principle of Complementarity af feðrum skammtafræðinnar. Á íslensku hefur þetta verið nefnt fyllingarlögmálið. Nafnið eitt og sér skýrir að sjálfsögðu ekkert en hugsunin að baki þess er að ögn og bylgja séu tveir ósamrýmanlegir birtingarmátar öreinda og við þurfum á báðum af halda til af fá fulla mynd af því hvað öreind er. Í stærðfræðilegri framsetningu skammtafræðinnar er eiginleikum rafeinda og annarra öreinda fundin ótvíræð lýsing sem skýrir hegðun þeirra í öllum tilraunum og þá verður e.t.v. skýrara hvernig sami hluturinn getur ýmist virst vera ögn eða bylgja. Lesandinn er í fullum rétti ef hann er óánægður með frásögn okkar af rafeindum og heldur því fram að hægt sé að mæla um hvora raufina rafeindin fer með því að koma fyrir viðeigandi mælitæki við hvora rauf. Auðvitað er hægt að koma slíkum tækjabúnaði fyrir. Hann leiðir hins vegar ævinlega til þess að víxlunarmynstrið 18

19 hverfur. Ef við mælum hvort rafeindin fer um rauf A eða rauf B er eins og við þvingum hana til að birtast sem punktlaga ögn og punktlaga agnir mynda ekki víxlunarmynstur. Við munum ræða tilraunir af þessu tagi í nokkrum smáatriðum í næsta kafla. Þar munum við sjá að mælingar hljóta ævinlega að trufla það sem mælt er. Það eru einmitt slíkar truflanir sem eyða víxlunarmynstrinu ef reynt er að fylgjast með ferðum rafeindanna um raufarnar A og B. Við munum einnig sjá að lýsing skammtafræðinnar á hreyfingu agna er að hluta til tölfræðilegs eðlis. Skammtafræðin gerir okkur ekki kleift að segja til um hvar einstakar rafeindir lenda á skjánum heldur einungis hver er dreifing margra rafeinda og þessi dreifing er fundin með því að líta á rafeindirnar sem bylgjur. Áður en við skiljum við tveggja raufa tilraunina skulum við stuttlega ræða hvernig skýra mætti tilraunina með bylgjukenningu um rafeindir. Við skýrum víxlun rafsegulbylgna á eftirfarandi hátt: Bylgjuútslagið E (sem við getum hugsað okkur að sé rafsvið) er vektorgilt og heildarútslagið handan við raufaskerminn er E = E A + E B þar sem E A og E B er þeir þættir bylgjunnar sem fara um A og B. Styrkur bylgjunnar er gefinn með E 2 = E 2 A + E 2 B + 2E A E B (1.79) og síðasti liðurinn að ofan er bylgjuvíxlliðurinn. Á svipaðan hátt má hugsa sér að rafeindaþéttleikinn ρ sé fenginn með því að reikna tölugildið af einhvers konar rafeindabylgjuútslagi ψ (sem við gerum ráð fyrir að sé tvinntala) þannig að ρ = ψ 2. Gerum ráð fyrir að bylgjan sem fæst þegar báðar raufar eru opnar sé ψ A + ψ B þar sem ψ A og ψ B eru bylgjurnar frá hvorri rauf fyrir sig. Þá hlýtur að gilda ρ A = ψ A 2, ρ B = ψ B 2 og ρ AB = ρ A + ρ B + 2Re(ψ A ψb). (1.80) Síðasti liðurinn gæti skýrt víxlunarmynstrið. Í næsta kafla snúum við okkur að því að setja fram kenningu um þetta efni Æfingadæmi * Dæmi 1.1. Beitið formúlu Wiens fyrir svarthlutargeislun, I(λ, T ) = λ 5 f(λt ), (1.81) til að leiða út Stefan-Boltzmann-lögmálið og færslulögmál Wiens. Notið formúlu Plancks fyrir I(λ, T ) til að ákvarða gildi fastanna í Stefan-Boltzmann-lögmálinu og í færslulögmálinu. Gerið grein fyrir mælieiningum þessara fasta. * Dæmi 1.2. Gerið ráð fyrir að orkurík ljóseind með öldulengd λ rekist á kyrrstæða rafeind. Sýnið að cot θ ( 2 = 1 + λ ) c tan φ, (1.82) λ þar sem θ og φ eru hornin sem ljóseind og rafeind mynda eftir áreksturinn við hreyfingarstefnu upprunalegu ljóseindarinnar. Sýnið að hreyfiorka rafeindarinnar eftir áreksturinn er þar sem ω er horntíðni upprunalegu ljóseindarinnar. K = ω 2λ c sin 2 θ 2, (1.83) λ + 2λ c sin 2 θ 2 19

20 * Dæmi 1.3. Finnið mestu hliðrun sem getur orðið á öldulengd ljóseindar ef hún rekst á róteind. * Dæmi 1.4. Finnið tíðni þess ljóss sem vetnisaróm gefur frá sér þegar það flyst af orkustigi n á orkustig n 1. Fyrir n 1 berið þessa tíðni saman við umferðartíðni rafeindar á hringlaga Bohr-braut með skammtatölu n. 20