Διαλέξεις #13-#14 Εισαγωγικά στοιχεία Προοπτική, Παράλληλη, Πλάγια Υπολογισμός Παράλληλης Προβολής Υπολογισμός Προοπτικής Προβολής Παραδείγματα

Transcript

1 Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Χειμερινό εξάμηνο Γραφικά με υπολογιστές Διδάσκων: Φοίβος Μυλωνάς Διαλέξεις #13-#14 Εισαγωγικά στοιχεία Προοπτική, Παράλληλη, Πλάγια Υπολογισμός Παράλληλης Προβολής Υπολογισμός Προοπτικής Προβολής Παραδείγματα Φοίβος Μυλωνάς Γραφικά με υπολογιστές 1

2 Άδεια χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

3 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Ιονίου Πανεπιστημίου» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

4 Εισαγωγή Στα γραφικά υπάρχουν: 3Δ μοντέλα, αλλά: 2Δ συσκευές επισκόπησης (οθόνες & εκτυπωτές)! Προοπτική απεικόνιση (προβολή): Λαμβάνει χώρα σε κάποιο σημείο της σωλήνωσης γραφικών Συνήθως μετά το στάδιο αποκοπής και πριν το στάδιο δημιουργίας της εικόνας Μετασχηματισμός Παρατήρησης: Ορίζει την μετάβαση από το Σύστημα Συντεταγμένων Κόσμου (ΣΣΚ) στον Κανονικοποιημένο Χώρο Οθόνης (ΚΧΟ) μέσω του Συστήματος Συντεταγμένων Παρατηρητή (ΣΣΠ) Καθορίζει τα όρια αποκοπής (για περικοπή στο οπτικό πεδίο) στο ΣΣΠ 4

5 Προβολές Απαραίτητες στα Γραφικά, αφού 3Δ αντικείμενα απεικονίζονται σε 2Δ συσκευές! 5

6 Graphics Pipeline Model Space Model Transformations World Space Viewing Transformation Eye/Camera Space Projection & Window Transformation Screen Space 6

7 Προβολές Προβολή: δημιουργία της εικόνας ενός αντικειμένου πάνω σε ένα απλούστερο αντικείμενο (π.χ.: ευθεία, επίπεδο, επιφάνεια) Οι ευθείες προβολής (ή απλά: προβολείς) ορίζονται από: Το κέντρο προβολής Τα προβαλλόμενα σημεία Η τομή ενός προβολέα με το απλό αντικείμενο (π.χ. επίπεδο προβολής) σχηματίζει την εικόνα ενός σημείου του αρχικού αντικειμένου. Οι προβολές ορίζονται και σε χώρους μεγάλων διαστάσεων. Στα γραφικά με υπολογιστή & την οπτικοποίηση: Οι προβολές είναι από τις 3Δ στις 2Δ. Ο 2Δ χώρος αναφέρεται σαν επίπεδο προβολής και παριστάνει την συσκευή απεικόνισης. 7

8 Προβολές (2) Μας ενδιαφέρουν 2 ειδών προβολές: Προοπτική: η απόσταση του κέντρου προβολής από το επίπεδο προβολής είναι πεπερασμένη. Παράλληλη: η απόσταση του κέντρου προβολής από το επίπεδο προβολής είναι άπειρη. Οι προοπτικές απεικονίσεις δεν είναι συσχετισμένοι μετασχηματισμοί δεν μπορούν να περιγραφούν με πίνακες συσχετισμένων μετασχηματισμών! Διαφορές μεταξύ συσχ. μετασχηματισμών & προοπτικών απεικονίσεων: Διατηρούμενη Ιδιότητα Συσχετισμένοι Μετασχηματισμοί Προοπτική Απεικόνιση Γωνίες ΟΧΙ ΟΧΙ Αποστάσεις ΟΧΙ ΟΧΙ Λόγοι αποστάσεων ΝΑΙ ΟΧΙ Παράλληλες γραμμές ΝΑΙ ΟΧΙ Συσχετισμένοι συνδυασμοί ΝΑΙ ΟΧΙ Ευθείες γραμμές ΝΑΙ ΝΑΙ Λόγοι αναλογιών ΝΑΙ ΝΑΙ 8

9 Προβολές (3) Παράλληλες ευθείες: η προβολή τους δεν απεικονίζεται σε παράλληλες ευθείες μοιάζουν να τέμνονται στο σημείο διαφυγής. η προβολή τους απεικονίζεται σε παράλληλες ευθείες μόνο όταν το επίπεδο τους είναι παράλληλο στο επίπεδο προβολής. Μια ευθεία απεικονίζεται σε ευθεία. Παράδειγμα: Οι λόγοι αποστάσεων δεν διατηρούνται: ab bd a b b d Οι λόγοι αναλογίων διατηρούνται: a c c d a b b d Για την πλήρη περιγραφή της προβαλλόμενης εικόνας μιας ευθείας χρειαζόμαστε 3 σημεία πάνω στη ευθεία. ac cd ab bd 9

10 Προβολές - Σύνοψη Προοπτική: πεπερασμένη απόσταση κέντρου προβολής από επίπεδο προβολής. Παράλληλη: άπειρη απόσταση κέντρου προβολής από επίπεδο προβολής. Ιδιότητες προβολών: Ευθείες προβάλλονται σε ευθείες. Αποστάσεις αλλάζουν (γενικά). 3Δ παράλληλες ευθείες, μη παράλληλες με επίπεδο προβολής, δεν προβάλλονται σε παράλληλες ευθείες. Γωνία μεταξύ ευθειών αλλάζει, εκτός αν επίπεδο γωνίας παράλληλο με επίπεδο προβολής. 1

11 Μετασχηματισμοί Προβολής Προβολή: μετέτρεψε ένα σημείο από m σε n διαστάσεις, όπου: n < m Υπάρχουν ουσιαστικά 2 είδη μετασχηματισμών προβολής: Ορθογραφικοί: παράλληλη προβολή Τα σημεία προβάλλονται απευθείας στο επίπεδο προβολής In eye/camera space (μετά το μετασχηματισμό προβολής): drop z Προοπτικοί: συγκλίνουσα προβολή Τα σημεία προβάλλονται μέσω της αρχής των αξόνων στο επίπεδο προβολής In eye/camera space (μετά το μετασχηματισμό προβολής): divide by z 11

12 Παράδειγμα περιβάλλοντος προβολής Δεξιόστροφο σύστημα προβολής Ο παρατηρητής (ή η θέση της κάμερας) είναι στον +z άξονα, σε απόσταση d από την αρχή των αξόνων. Η κατεύθυνση προβολής είναι παράλληλη στο z άξονα. Το επίπεδο προβολής είναι στο επίπεδο xy και περνάει από την αρχή των αξόνων. z d y x 12

13 Προοπτική Προβολή Έστω προβολή στο επίπεδο ΧΥ με κέντρο προβολής: 13

14 Προοπτική Προβολή Μοντελοποιεί το σύστημα παρατήρησης των ματιών μας Μπορεί να περιγραφεί με βάση μια σημειακή κάμερα (οπή): Κέντρο προβολής: οπή Επίπεδο προβολής: το επίπεδο προβολής γραφικών (όπου δημιουργείται η εικόνα) Δημιουργεί μια ανεστραμμένη εικόνα Μπορεί να παράγει μια όρθια εικόνα τοποθετώντας το επίπεδο προβολής μπροστά από την οπή 14

15 Προοπτική Προβολή Χαρακτηριστικό: κεντρική σμίκρυνση (όπως το ανθρώπινο μάτι). 15

16 Προοπτική Προβολή Προοπτική σμίκρυνση: Το μέγεθος της προβολής ενός αντικειμένου είναι αντιστρόφως ανάλογο της απόστασης του από το κέντρο προβολής Γνωστή στους αρχαίους Έλληνες Ο Leonardo da Vinci μελέτησε τους νόμους της προοπτικής Παλαιότερα δεν χρησιμοποιείτο η προοπτική στη ζωγραφική Επικρατούσαν συμβολικά κριτήρια 16

17 Γραμμική Προοπτική Προβολή Οι παράλληλες γραμμές συγκλίνουν σε 1, 2 ή 3 σημεία διαφυγής Αντικείμενα πιο μακριά είναι μικρότερα από πιο κοντά Ακμές ιδίου μεγέθους: η πιο μακρινή πιο μικρή Παράλληλες ακμές συγκλίνουν 17

18 Προοπτική Προβολή Δεν είναι γραμμικός μετασχηματισμός (διαίρεση με z). Δεν μπορεί να δοθεί με μορφή πίνακα. Ωστόσο μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε μεταβολή του w. Ακολουθεί διαίρεση με w (αφού πρέπει w1) 18

19 Παράλληλη Προβολή Κέντρο προβολής στο άπειρο, δίνεται κατεύθυνση προβολής. Διατηρεί αποστάσεις, χρήσιμο στοιχείο π.χ. στην αρχιτεκτονική. Ορθογώνια παράλληλη προβολή: πάνω σε ένα από τα βασικά επίπεδα με κάθετες ακτίνες προβολής. Πίνακας μετασχηματισμού για ορθογώνια π.χ. στο ΧΥ 19

20 Παράλληλη Προβολή - Είδη Παράλληλες προβολές διακρίνονται σε: Ορθογραφικές: ακτίνες προβολής κάθετες στο επίπεδο προβολής. Πλάγιες/λοξές: ακτίνες όχι κάθετες. Ορθογραφικές διακρίνονται σε: Ορθογώνιες: ακτίνες προβολής παράλληλες με Χ, Υ ή Ζ. Αξονομετρικές: μη ορθογώνιες. Ισομετρικές: ακτίνες προβολής παράλληλες με κύρια διαγώνιο χώρου. 2

21 Κατηγορίες επίπεδων γεωμετρικών προβολών Οι Παράλληλες προβολές χρησιμοποιούνται στη μηχανική και την αρχιτεκτονική, διότι μπορεί να χρησιμοποιηθούν για μετρήσεις. Η Προοπτική μιμείται τα μάτια και τη φωτογραφική μηχανή και φαίνεται πιο φυσική. 21

22 Ορθογραφική Προβολή Χρησιμοποιείται για μηχανικά σχέδια, εξαρτήματα μηχανών, αρχιτεκτονικά σχέδια, κ.α. Είναι δυνατή η ακριβής μέτρηση, καθώς όλες οι απόψεις είναι ίδιας κλίμακας. Δεν παρέχει «ρεαλιστική» άποψη. Χρειάζονται πολλές προβολές για μια τρισδιάστατη αίσθηση του αντικείμενου. 22

23 Αξονομετρική Προβολή Ίδια μέθοδος με την ορθογραφική, μόνο που το επίπεδο προβολής δεν είναι παράλληλο προς κανένα επίπεδο συντεταγμένων. Οι Παράλληλες γραμμές, σμικρύνονται εξίσου. Ισομετρική: Οι γωνίες μεταξύ των 3 κύριων αξόνων είναι (12º). Ίδια κλίμακα κατά μήκος κάθε άξονα. Dimetric: Οι γωνίες μεταξύ 2 από τους κύριους άξονες είναι ίσες. Χρειάζεται 2 δείκτες κλίμακας. Trimetric: Οι γωνίες είναι διαφορετικές ανάμεσα στους 3 κύριους άξονες. Χρειάζονται 3 δείκτες κλίμακας. 23

24 Ισομετρική Προβολή Χρησιμοποιούνται για εικονογραφήσεις κατάλογου, δομικό σχεδιασμό, 3D modeling σε πραγματικό χρόνο, κ.α.. Δεν χρειάζεται πολλαπλές προβολές, απεικονίζει την 3D φύση του αντικειμένου. Δημιουργεί παραμορφωμένη εμφάνιση. Πιο χρήσιμη για ορθογώνια, παρά καμπύλα σχήματα. 24

25 Ισομετρική Προβολή Χρησιμοποιείται ακόμη και σήμερα, όταν θέλετε να δείτε πράγματα από απόσταση, καθώς και από κοντά (π.χ. στρατηγική, παιχνίδια προσομοίωσης) SimCity IV (Trimetric) StarCraft II 25

26 Πλάγια (λοξή) προβολή Προβολείς σε πλάγια γωνία ως προς το επίπεδο προβολής. Μπορεί να παρουσιάσει ακριβές σχήμα μιας πλευράς ενός αντικείμενου (ακριβείς μετρήσεις). Η έλλειψη προοπτικής καθιστά τη σύγκριση των μεγεθών ευκολότερη. Έλλειψη προοπτικής (δεν είναι ρεαλιστική). perspective oblique 26

27 Πλάγια προβολή (Carlbom Fig. 2-4) 27

28 Πλάγια προβολή Κανόνες για την τοποθέτηση του επιπέδου προβολής: Παράλληλα με την πιο ακανόνιστη πλευρά, ή σε μία που περιέχει κυκλικές ή καμπυλωτές επιφάνειες Παράλληλα με την μεγαλύτερη κύρια όψη του αντικειμένου Παράλληλα με την πλευρά ενδιαφέροντος Επίπεδο προβολής παράλληλο στην κυκλική επιφάνεια Επίπεδο προβολής μη παράλληλο στην κυκλική επιφάνεια 28

29 Τύποι πλάγιας προβολής Cavalier: Γωνία μεταξύ προβολών και επίπεδου προβολής είναι 45º. Οι κάθετες πλευρές αποδίδονται σε πλήρη κλίμακα: cavalier προβολή μοναδιαίου κύβου Cabinet: Γωνία μεταξύ προβολών & επιπέδου προβολής είναι 63,4º. Οι κάθετες πλευρές αποδίδονται σε κλίμακα 5%: cabinet προβολή μοναδιαίου κύβου 29

30 Ορθογραφική και Πλάγια προβολή multiview orthographic cavalier cabinet 3

31 Υπολογισμοί 31

32 Υπολογισμός Πίνακα Παράλληλης Προβολής Κοιτάζοντας προς τα κάτω στον άξονα y: (x, y, z) (x, y, z ) x Δηλ.: z, x x z 32

33 Υπολογισμός Πίνακα Παράλληλης Προβολής Έτσι, για παράλληλες, ορθογραφικές προβολές, x x, y y, z Για να υλοποιήσουμε μια παράλληλη προβολή ενός αντικειμένου, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον πολλαπλασιασμό πινάκων p ' Mp Πώς θα είναι ο M? M δηλ., απλώς παραλείπουμε τη z συντεταγμένη 33

34 Πίνακας Προοπτικής Προβολής Τα σημεία προβάλλονται μέσω του επίκεντρου (focal point) (π.χ. του ματιού) στο επίπεδο προβολής: Οι γραμμές προβολής συγκλίνουν. y z x 34

35 Υπολογισμός Πίνακα Προοπτικής Προβολής Κοιτάζοντας προς τα κάτω στον άξονα y: d-z d x επίπεδο προβολής x x p (x, y, z ) p (x, y, z) Με όμοια τρίγωνα: x' x d d z xd x' d z x x' d z d z μάτι x' x z 1 d 35

36 Υπολογισμός Πίνακα Προοπτικής Προβολής Κοιτάζοντας προς τα κάτω στον άξονα x: y p (x, y, z) Με όμοια τρίγωνα: y' y d d z z μάτι p (x, y, z ) d y επίπεδο προβολής y y' y' yd d z y d z d d-z y' y z 1 d 36

37 Υπολογισμός Πίνακα Προοπτικής Προβολής Οπότε, έχουμε Το z?? x' x 1 z d y' y z 1 d x y z', sowe have ( x', y', z'),, z z 1 1 d d Μπορούμε να το θέσουμε σε μορφή πίνακα? 37

38 38 Υπολογισμός Πίνακα Προοπτικής Προβολής Ο πίνακας που θα μας δώσει τη σωστή προοπτική είναι: z y x d z d z M bad Εν γένει, δουλεύει τι πρόβλημα έχει όμως? Απάντηση: Τα στοιχεία του πίνακα εξαρτώνται από τα σημεία (point dependent), δηλαδή, κάθε σημείο θα πρέπει να έχει και ένα διαφορετικό πίνακα!!!

39 Υπολογισμός Πίνακα Προοπτικής Προβολής Λύση: χρήση ομογενών σημείων! Το Καρτεσιανό μας σημείο είναι: Ένα ομογενές σημείο που είναι ισοδύναμο με το επιθυμητό Καρτεσιανό, είναι: Μπορούμε να βρούμε ένα πίνακα που θα μας δώσει το ζητούμενο, αλλά να είναι ανεξάρτητος σημείων? 1 x z d, 1 y z d 1 z x y 1 d, z d 39

40 4 Υπολογισμός Πίνακα Προοπτικής Προβολής Θέλουμε: 1 1 z y x p o n m l k j i h g f e d c b a y x d z d c b a d cz by ax x,,, οπότε,, h g f e h gz fy ex y,,, οπότε,, l k j i l kz jy ix,,, οπότε,, p d o n m p oz ny mx d z,,, οπότε,, οπότε:

41 41 Υπολογισμός Πίνακα Προοπτικής Προβολής Άρα, ο νέος πίνακας θα είναι: d M per Το παραπάνω μας δίνει σωστά αποτελέσματα και είναι και ανεξάρτητο σημείων (point independent)!

42 Υπολογισμός Προοπτικής Προβολής (2) Παραδοχές/Υποθέσεις: το κέντρο προβολής είναι η αρχή των αξόνων το επίπεδο προβολής είναι κάθετο στο αρνητικό τμήμα του άξονα z σε απόσταση d από το κέντρο Ένα σημείο P [x, y, z] T προβάλλεται στο P [x, y, z ] T Τα P 1 & P 1 είναι οι προβολές των P & P στο επίπεδο yz P 1P2 PP 1 2 OP και είναι όμοια: 1P2 OP1P y 2 dx OP OP 2 2 Παρομοίως: x z Οι παραπάνω είναι μη γραμμικές εξισώσεις (διαίρεση με z) y y dy d z z 42

43 Υπολογισμός Προοπτικής Προβολής (2) Τέχνασμα για έκφραση προοπτικής προβολής με μορφή πίνακα: Χρήση του πίνακα P PER d d d 1 που μεταβάλει την ομογενή συντεταγμένη και απεικονίζει τις συντεταγμένες ενός σημείου [x, y, z] T ως εξής: P PER x xd y yd z zd 1 z Διαίρεση με την ομογενή συντεταγμένη: xd xd z yd yd / z zd z z d 1 43

44 Παραδείγματα 44

45 Παράδειγμα Προβολής 1 Παράδειγμα 1: Προοπτική Προβολή κύβου Προσδιορισμός προοπτικών προβολών κύβου πλευράς 1, (a) αν το επίπεδο προβολής είναι το z-1 και (b) αν το επίπεδο προβολής είναι το z-1. Ο κύβος βρίσκεται στο επίπεδο προβολής. Λύση (a): Αναπαράσταση κορυφών κύβου σε πίνακα 4 8: C

46 Παράδειγμα Προβολής 1 (2) Πολλαπλασιασμός του πίνακα προοπτικής προβολής (d-1) με το C: P PER C C Κανονικοποίηση κατά την ομογενή συντεταγμένη: xd xd z yd yd / z zd z z d 1 46

47 Παράδειγμα Προβολής 1 (3) (b) Ο αρχικός κύβος είναι: C Πολλαπλασιασμός του πίνακα προοπτικής προβολής (d-1) με το C : C Κανονικοποίηση κατά την ομογενή συντεταγμένη :

48 Παράδειγμα Προβολής 2 Παράδειγμα 2: Προοπτική προβολή σε τυχαίο επίπεδο Υπολογισμός της προοπτικής προβολής ενός σημείου P[x, y, z] T σε τυχαίο επίπεδο Π ορισμένο από κανονικό διάνυσμα και σημείο R [x,y,z ] T. Το κέντρο προβολής είναι το O. Λύση: P [x, y, z] T είναι η προβολή του P[x, y, z] T Τα OP και OP είναι συνευθειακά, άρα: OP a OP για κάποιο a Στις εξισώσεις προβολής: x ' ax, y ' ay, z ' az (1) πρέπει να προσδιοριστεί το a. N [ n, n, n ] T x y z 48

49 Παράδειγμα Προβολής 2 (2) Το διάνυσμα RP N RP βρίσκεται στο επίπεδο προβολής, άρα: ή n ( x x ) + n ( y y ) + n ( z z ) ή x y z nx + ny + nz nx + ny + nz x y z x y z Αντικαθιστούμε τις τιμές των x, y, z από την (1), θέτουμε c n x x + n y y + n z z και λύνουμε ως προς a: a c nx+ ny+ nz x y z Οι εξισώσεις προβολής περιλαμβάνουν διαίρεση με έναν συνδυασμό των x,y,z Δίνεται σε μορφή πίνακα τροποποιώντας τις ομογενείς συντεταγμένες: P PER, Π c c c nx ny nz 49

50 Παράδειγμα 3: Πλάγια προβολή με γωνίες Αζιμούθιου & Ύψους Μερικές φορές, οι πλάγιες προβολές καθορίζονται με γωνίες αζιμούθιου & ύψους φ και θ, η οποίες ορίζουν τη σχέση της κατεύθυνσης προβολής και του επιπέδου προβολής. Προσδιορισμός του πίνακα προβολής για την περίπτωση αυτή. Λύση: Έστω xy το επίπεδο προβολής Το διάνυσμα της κατεύθυνσης προβολής είναι: Έτσι: Παράδειγμα Προβολής 3 DOP P OBLIQUE [cosθcos φ,cosθsin φ,sin θ] T cosφ 1 tanθ sinφ ( φθ, ) 1 tanθ 1 5

51 Παράδειγμα 4: Πλάγια προβολή σε τυχαίο επίπεδο Προσδιορισμός της πλάγιας προβολής σε τυχαίο επίπεδο Π, που ορίζεται από σημείο R [x,y,z ] T και κανονικό διάνυσμα N Η κατεύθυνση της προβολής δίδεται από το διάνυσμα: Λύση: Παράδειγμα Προβολής 4 DOP Μετατροπή του επιπέδου Π ώστε να συμπέσει με το επίπεδο xy, χρήση του πίνακα πλάγιας προβολής, αναίρεση της πρώτης μετατροπής: Βήμα 1: Μεταφορά του R στην αρχή των αξόνων, T Βήμα 2: Ευθυγράμμιση του N με τον θετικό άξονα z (με χρήση του από [Παρ. 12, Διάλεξη 12]) AN ( ) [ n, n, n ] T x y z [ DOP,, ] T x DOPy DOPz ( R ) Βήμα 3: Χρήση του πίνακα πλάγιας προβολής με την τροποποιημένη κατεύθυνση προβολής σύμφωνα με τα προηγούμενα βήματα: 51

52 Παράδειγμα Προβολής 4 (2) DOP A( N) T( R ) DOP AN ( ) 1 Βήμα 4: Αναίρεση της ευθυγράμμισης Βήμα 5: Αναίρεση της μεταφοράς Τελικά: TR ( ) 1 POBLIQUE, Π ( DOP) T( R) A( N) POBLIQUE ( DOP ) A( N) T( R) 52

53 Ερωτήσεις - Απορίες 53