. Β2. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη με: 1 1 1, και f ( x) ( ln(ln x) ).

Transcript

1 4 Ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (Σε όλη την ύλη) ΘΕΜΑ Α Σχολικό βιβλίο, σελίδα 4 Σχολικό βιβλίο, σελίδα Σχολικό βιβλίο, σελίδα 6 4 α) Σωστό β) Λάθος γ) Σωστό δ) Σωστό ε) Λάθος ΘΕΜΑ Β Β Θέτουμε f() f() g() f() g() και η σχέση f() f () γράφεται: g() g() g() g() g () g() g () g() g() g () g() g() ln ln c g() f() Για είναι g() άρα ln c c, οπότε g() f() ln g() lnln lnln f() ln ln Β Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη με: f ( ) ln(ln ) ln(ln ) ln(ln ), και ln ln ln f ( ) ( ln(ln ) ) ln ln ln ln ln f ( ) ln H μονοτονία και το ακρότατο της f φαίνεται στον παρακάτω πίνακα: + f + - f Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λ Κωνσταντόπουλος Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Pag

2 Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο Παρουσιάζει ολικό μέγιστο στη θέση Ισχύει f ( ) f ( ), για κάθε, και γνησίως φθίνουσα στο, το f( ) Οπότε η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα A, f (A) lim f ( ), lim f ( ),, γιατί lim f ( ) lim ( ln(ln )) και lim f ( ) lim( ln(ln )) επομένως Β Η εξίσωση γράφεται: lnln lnm f() lnm, άρα για κάθε m, ln m f(a), άρα υπάρχει, τέτοιο ώστε f ln m Το, A, είναι μοναδικό αφού η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα Β4 Η ανίσωση ισοδύναμα γράφεται: Θεωρούμε την συνάρτηση h() f() με f ( ) f ( ) () ( B) h( ) f ( ) άρα η συνάρτηση h είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα A, Η () γράφεται h( ) h( ) με οπότε ( ή ) Τελικά ή ΘΕΜΑ Γ α)ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της C g είναι g () 8 ()Επειδή το σημείο επαφής A(,g()) είναι κοινό σημείο της εφαπτομένης και της C g, οι συντεταγμένες του θα επαληθεύουν την εξίσωση της εφαπτομένης και της C g Έτσι για, έχουμε: 8g() 8 g() και για στον τύπο ό () g () 8 8 g () g () 8 5 Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λ Κωνσταντόπουλος Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Pag

3 β)από τη σχέση g () g () 5 ισοδύναμα έχουμε: g ()g () 5g () () g () 5g() () Από τις Συνέπειες του ΘΜΤ, υπάρχει σταθερά c: g () 5 g() c Για, έχουμε: g () 5g() c 5 c c 6 Επομένως, για κάθε, ισχύει g () 5g() 6 () γ)επειδή g () ηgείναι γνησίως αύξουσα άρα η gείναι - Θέτουμε στη σχέση ()όπου g() y και έχουμε: y 5y 6 g (y) y 5y 6 Τελικά είναι g () 5 6 () δ) Για κάθε ισχύει (g () 5) 6g()g () g () g () (g () 5) (g () 5) 6g() 6g() g () (g () 5) (g () 5) g () g() g () 5 g () Από τη ()για g() βρίσκουμε 6, η οποία είναι και η μοναδική της λύση αφού από το β) ερώτημα g: - Επίσης είναι: g 6 g() g( 6) g() g() g () Άρα η g είναι κυρτή στο (, 6] Όμοια αν 6 g () και ηgείναι κοίλη στο [ 6, ) Επειδή g ( 6) και η g () αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν του 6, το σημείο A( 6, ) είναι το μοναδικό σημείο καμπής της C g Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λ Κωνσταντόπουλος Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Pag

4 ε) g () f (), δηλαδή g() g () 5 f () 5 6 g () 5g(), οπότε f () 5 6 ( 6), άρα f () (4) Η C f έχει κατακόρυφες ασύμπτωτες τις, 6 Επειδή και 5 6 f () 5 6 lim lim lim lim f () lim lim lim lim 6 6 ασύμπτωτη της C f στο και η ευθεία y 6 είναι πλάγια ΘΕΜΑ Δ ln Δ Θέτουμε g() f() με g() f(), αφού f() Είναι g( ) f ( ), g( ) g(),,, άρα η g παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο εσωτερικό σημείο και αφού είναι παραγωγίσιμη ως πράξη παραγωγίσιμων από Θ Frmat έχουμε g () ln ln Είναι g () f (), οπότε ( ) g () Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λ Κωνσταντόπουλος Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Pag 4

5 Δ (α) Για ln ln f() με f (), > Το πρόσημο της f και η μονοτονία της f φαίνονται στο πίνακα f () f() Ομ Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο, και γνησίως φθίνουσα στο Παρουσιάζει ολικό μέγιστο στη θέση το f(), Έστω A, και A, Η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο f A lim f(),f(), A,, άρα Η f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο A,, άρα f A lim,f(),,,, Οπότε f A f A f A (β) Αφού η f παρουσιάζει ολικό μέγιστο στη θέση είναι f() f, f(), το f(), θα Δ Θεωρούμε την συνάρτηση g ( ) ln, Έστω ότι η εξίσωση g() έχει δύο ρίζες, με Η g πληροί το Θ Roll στο διάστημα, επομένως υπάρχει τουλάχιστον ένα, τέτοια ώστε g Είναι ln g( ), και Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λ Κωνσταντόπουλος Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Pag 5

6 ln ln g( ) ln f ( ) Από το παραπάνω ερώτημα Δ(β) έχουμε ότι f( ) που είναι άτοπο, αφού Δ4 ος τρόπος Θα δείξουμε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα, τέτοιο ώστε ln ln f ( ) Η f πληροί τις υποθέσεις του ΘΜΤ στο, άρα υπάρχει τουλάχιστον ένα f() f(), τέτοιο ώστε f ( ) ος τρόπος g ln,, Θεωρούμε την συνάρτηση Εφαρμόζουμε BOLZANO g, g, : g ln ln f ( ) Δ5 Είναι E f ()d, θέτουμε f(u) d f (u)du Για f(u) f() f(u) u, και για f(u) f() f(u) u, αφού η f γν αύξουσα άρα και στο A, Οπότε E f f(u)f (u)du uf (u)du uf(u) f(u)du ln u uf(u) du u uf(u) ln udu uf(u) ln u ln udu u ln u ln ln uf(u) f() f() τμ Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λ Κωνσταντόπουλος Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Pag 6