ΛΥΣΕΙΣ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΛΥΣΕΙΣ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ"

Νικηφόρος Γιάγκος
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΝΤΕΠΩ Β Όλγας 776 ΘΕΜΑ Α Σχολικό βιβλίο σελίδα -5 Σχολικό βιβλίο σελίδα 75 i ii iii iv v Λ Σ Λ Σ Λ ΛΥΣΕΙΣ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Β Για κάθε >, * f '( ) f ( ) f ( ) f '( ) f ( ) f '( ) f ( ) ' ln ' () f( ) Η είναι συνεχής ως πηλίκο συνεχών για > Επίσης η ln είναι συνεχής για > και ισχύει η σχέση () για κάθε >, άρα θα υπάρχει σταθερά c τέτοια ώστε για κάθε > f( ) ln c f ( ) ln c Όμως γνωρίζω ότι f () ln c c, οπότε f ( ) ln Έχω lim f ( ) lim ln ( ) ln Όμως lim ln lim lim lim D L H Οπότε f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ), αλλά lim f ( ) lim f ( ), οπότε από το κριτήριο παρεμβολής συμπεραίνω ότι lim f( ) g '( ) g '( ) g '( ) Έχω την εξίσωση f ( ) ln ln g( ) g( ) g( ) ( )'ln (ln )' (ln g())' ln ln g( ) ' Οπότε θεωρώ συνάρτηση h( ) ln lng( ) για > για την οποία : h είναι συνεχής στο [,] είναι παραγωγίσιμη στο (,) Rolle τουλάχιστον ξ (,):h'(ξ)= και h()=ln-lng()= h()=ln-lng()=ln-ln56=ln-ln ln ln Άρα υπάρχει μια τουλάχιστον λύση της αρχικής εξίσωσης στο (,) Σελίδα

2 ΝΤΕΠΩ Β Όλγας 776 ΘΕΜΑ Γ Η f είναι συνεχής στο και, άρα θα διατηρεί σταθερό πρόσημο t Όμως f () 5 dt 5, άρα f()> για κάθε f (t) f( ) Αφού η f() είναι συνεχής στο και διάφορη του μηδενός και η f( ) θα είναι συνεχής ως t πηλίκο συνεχών στο οπότε η dt θα είναι παραγωγίσιμη και κατά συνέπεια η f() θα f (t) είναι παραγωγίσιμη ως άθροισμα παραγωγίσιμων συναρτήσεων t Παραγωγίζω την σχέση f () 5 dt και έχω: f (t) f '( ) f '( ) f ( ) f '( ) f ( ) ( f ( ))' ( )' f( ) Άρα f ( ) c, όμως f () 5 οπότε f () c c 5 και κατά συνέπεια f ( ) f ( ) 5 Προκύπτει λοιπόν ότι f ( ) 5 f ( ) Έχω h( ) f ( ) η οποία έχει πεδίο ορισμού (5 ) (5) 5 D (,) (, ) και h ( 5 ) ( 5 ) h'( ) 5 5 h () + - h() H h είναι λοιπόν γνησίως αύξουσα στο (,) και γνησίως φθίνουσα στο (, ) A (,) και η f γνησίως αύξουσα στο A άρα h( A ) ( lim h( ), lim h( )) (, ) 5 διότι: 5 o lim h( ) lim lim limh( ) lim 5 o 5, διότι 5 για < A (, ) και η f γνησίως φθίνουσα στο A άρα h(a ) ( lim h( ), lim h( )), 5 διότι: Σελίδα

3 ΝΤΕΠΩ Β Όλγας o lim h( ) lim lim o 5 limh( ) lim, διότι 5 h( A) h( A ) h( A ) (, ) 5 Άρα Έχω 5 για > lim h( t) dt Εφόσον για t h( ) h( t) h( ) () h Γενικότερα για δύο συνεχείς συναρτήσεις έστω f, g στο [α, β] για τις οποίες ισχύει ότι για κάθε, f ( ) g( ) f ( ) g( ) [ a, ] ( f ( ) g ( )) d f ( ) d g ( ) d f ( ) d g ( ) d a a a a Οπότε από την ένα προκύπτει ότι: h( ) dt h(t) dt h( ) dt h( ) dt h(t) dt h( ) dt 5 ( ) 5 ( ) h(t) dt ( ) 5 5 ( ) 5 ( ) 5 h(t) dt 5 5 ( ) 5 ( ) ( ) 5 lim h( t) dt 5 Όμως lim lim άρα από το κριτήριο παρεμβολής έχω ότι ΘΕΜΑ Δ Για κάθε ισχύει ότι z 5 i f ( t) dt z 5 i f ( t) dt ( ) z 5 i f ( t) dt z 5 i f ( t) dt ( ) Θεωρώ την g( ) z 5 i f ( t) dt z 5 i f ( t) dt ( ), και η ανίσωση γίνεται : g ( ) όμως g() συνεπώς g( ) g() για κάθε, άρα η g παρουσιάζει μέγιστο για = Όμως η g είναι παραγωγίσιμη στο δίοτι z 5 i f ( t) και z 5 i f ( t) συνεχείς οπότε z 5 i f ( t) dt και z 5 i f ( t) dt παραγωγίσιμες Σελίδα

4 ΝΤΕΠΩ Β Όλγας 776 Τότε g '( ) z5 i f ( ) z5i f ( ) και από το θεώρημα Fermat προκύπτει ότι g '() z5i z5i z5i z5i 6 z5i z 5 i 6 () Αν Μ είναι η εικόνα του z και Ε (,-5), Ε(,5) τότε η σχέση () γίνεται : ΜΕ -ΜΕ=6 Eπειδή ΜΕ >ΜΕ ο γτ των εικόνων του z είναι ο πάνω κλάδος της υπερβολής με a 6 a, εστίες Ε (,-5), Ε(,5) στον άξονα y y, γ=5 και β= y Άρα (c):, για 9 6 y y 9 9 y 9 y 6 y 6,(y ) Άρα h( ) 6, Κάθε σημείο Μ(,y) που ανήκει στην γραφική παράσταση της h θα έχει συντεταγμένες της μορφής M (, 6 ), άρα η απόσταση κάθε σημείου της γραφικής παράστασης από το Α(,) θα δίνεται από την συνάρτηση : 9 d( ) ( ) (6 ), 6 Σελίδα

ΝΤΕΠΩ Β Όλγας 776 9 ( ) 5 6 d '( ), 9 9 ( ) (6 ) 6 ( ) (6 ) 6 6 6 d '( ) 5 6 5 d () - + d() ΟΕ Άρα η ελάχιστη απόσταση είναι όταν 6 5 για το σημείο Μ Η h( ) 6, παραγωγίσιμη με h'( ) και 6 6 6 6 6 ''(

5 ΝΤΕΠΩ Β Όλγας ( ) 5 6 d '( ), 9 9 ( ) (6 ) 6 ( ) (6 ) d '( ) d () - + d() ΟΕ Άρα η ελάχιστη απόσταση είναι όταν 6 5 για το σημείο Μ Η h( ) 6, παραγωγίσιμη με h'( ) και ''( ) h, άρα η h είναι κυρτή, και η εφαπτομένη της σε κάθε σημείο της βρίσκεται κάτω από την C h εκτός του σημείου επαφής Το σημείο της C h με την ελάχιστη απόσταση από την (ζ), θα είναι το σημείο K(, h( )) στο οποίο η εφαπτομένη της C h θα είναι παράλληλη στην (ζ) Οπότε θα ισχύει h'( ) 6 6 (άρα ) Σελίδα5

6 ΝΤΕΠΩ Β Όλγας H 6 Άρα το σημείο της C h που είναι πλησιέστερο στην (ζ) είναι το Κ(,h())=(, ) Κατά συνέπεια η ελάχιστη απόσταση θα είναι : d(, ) ( ) H( ) h( t) dt είναι παραγωγίσιμη με H '( ) h( ), άρα η H() είναι γνησίως H αύξουσα οπότε για H( ) H() Συνεπώς το εμβαδό του ζητούμενου χωρίου Ω θα είναι : E( ) H() d H( ) d ' H( ) d [ H( )] H '( ) d H() h( ) d 6 d 6 d Θέτω u 6 du d d du και u 6, u 7, οπότε τμ E( ) u du u du u (7 7 6) ΤΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΠΙΜΕΛΗΘΗΚΑΝ ΟΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ: ΓΑΣΠΑΡΑΤΟΣ ΑΝΔΡΕΑΣ ΙΜΠΟΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΝΤΑΝΤΙΝΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ ΠΑΠΑΘΑΝΑΣΙΟΥ ΝΙΚΟΣ ΣΙΤΑΡΙΔΗΣ ΣΠΥΡΟΣ Σελίδα6

Σχετικά έγγραφα

ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ. f ( x) 0 0 2x 0 x 0

ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) 8 ΜΑΪΟΥ 6 ΘΕΜΑ Α Α. Θεωρία, βλ. σχολικό βιβλίο