Κεφάλαιο 4 Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών και οι παράγωγοί τους.

Transcript

1 Κεφάλαιο 4 Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών και οι παράγωγοί τους. 4. Συναρτήσεις δύο και περισσότερων μεταβλητών Έστω D το σύνολο των διατεταγμένων ζευγών πραγματικών αριθμών (., ) Μία πραγματική συνάρτηση f δύο μεταβλητών ορισμένη στο D είναι ένας κανόνας που αποδίδει τον μοναδικό πραγματικό αριθμό w f (, ) σε κάθε διατεταγμένο ζεύγος ( του, ) D. Το D είναι το πεδίο ορισμού της f και το σύνολο των τιμών w που παίρνει η συνάρτηση, το πεδίο τιμών της. Οι ανεξάρτητες μεταβλητές, είναι οι μεταβλητές εισόδου και η εξαρτημένη μεταβλητή w είναι η μεταβλητή εξόδου, Παρατήρηση: Ανάλογα ορίζεται και η συνάρτηση τριών μεταβλητών w f (,, z). Βασικές έννοιες: εσωτερικό σημείο Συνοριακό σημείο (, ) (, ) R R Σημείο (, ) εσωτερικό σημείο χωρίου (συνόλου) R εάν είναι κέντρο κυκλικού δίσκου που ανήκει πλήρως στο R. Σημείο (, ) συνοριακό σημείο χωρίου (συνόλου) R εάν κάθε κυκλικός δίσκος με κέντρο (, ) περιέχει τόσο εσωτερικά όσο και σημεία που δεν ανήκουν στο R. Ένα σύνολο είναι ανοικτό εάν περιέχει μόνο εσωτερικά σημεία, κλειστό εάν περιέχει και όλα τα συνοριακά του σημεία. Ένα χωρίο του χώρου είναι φραγμένο εάν μπορεί να περικλειστεί από δίσκο δεδομένης (πεπερασμένης ακτίνας). Το πεδίο ορισμού μίας συνάρτησης δύο μεταβλητών αποτελείται από όλα τα ζεύγη (, ) για το οποία έχει νόημα η έκφραση f. Είναι λοιπόν το πεδίο ορισμού είναι μία περιοχή του επιπέδου. Παράδειγμα Το πεδίο ορισμού της f (, ) είναι τα σημεία για τα οποία ισχύει παραβολής και το πώς χωρίζει το επίπεδο σε τρεις περιοχές ανάλογα με οπότε και ορίζεται η ρίζα. Στο σχήμα βλέπουμε το γράφημα της

2 το πρόσημο της ποσότητας. Είναι φανερό ότι πεδίο ορισμού της συγκεκριμένης συνάρτησης είναι το κλειστό (μιας και περιέχει και την καμπύλη της παραβολής) μη φραγμένο χωρίο που περιέχεται στην παραβολή και Παράδειγμα Συνάρτηση Πεδίο ορισμού Πεδίο τιμών f (, ) [, ) f (, ) (,) (, ) f (, ) s( ) όλο το επίπεδο [,] f (,, z) l( z) z (, ) Το σύνολο των σημείων του χώρου (,, f (, )) για ( που, ) ανήκουν στο πεδίο ορισμού της f καλείται γραφική της παράσταση. Η γραφική παράσταση της f καλείται επίσης επιφάνεια z f (, ). Το σύνολο των σημείων του επιπέδου για το οποίο μία συνάρτηση f (, ) έχει σταθερή τιμή f (, ) cκαλείται ισοσταθμική καμπύλη (level curve). 5 z f (, ) -5 f (, ) c - 6 f (, ) c

3 Η καμπύλη του χώρου που αποτελεί τομή του επιπέδου z cμε τη z f (, ) καλείται ισοϋψής καμπύλη (cotour le)..5 z f (, ), z c Παρατήρηση: Ανάλογα ορίζεται και η ισοσταθμική επιφάνεια για την συνάρτηση τριών μεταβλητών w f (,, z) και οι άλλες έννοιες. 4. Όρια και συνέχεια συναρτήσεων δύο και περισσότερων μεταβλητών Η συνάρτηση έχει όριο το L καθώς το (, ) τείνει στο (, ) (που ανήκει στο πεδίο ορισμού της) όταν για δεδομένο θα υπάρχει αντίστοιχο τέτοιο ώστε για κάθε (, ) του πεδίου ορισμού για τα οποία ισχύει Συμβολίζουμε και f (, ) L lm f (, ) L (, ) (, ) Ισχύουν : lm (, ) (, ), lm (, ) (, ) Ιδιότητες ορίων: lm f (, ), lm g(, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) a) lm f (, ) g(, ) (, ) (, ) b) lm f (, ) g(, ) (, ) (, ) c) lm f (, ) g(, ), lm (, ) (, ) k k 3

4 (, ) (, ) d) lm kf (, ) k e ) lm, για (, ) (, ) g(, ) (, ) (, ) f (, ) m / m/ m/ f ) lm f (, ), αρκεί Όπως και στις συναρτήσεις μίας μεταβλητής από γνωστά όρια και με βάση τους παραπάνω κανόνες υπολογίζουμε τα όρια. Πρόβλημα έχουμε όταν καταλήγουμε σε μη αποδεκτές μορφές. Παραδείγματα: lm lm (, ) (3, 4) (, ) (3, 4) (, ) (,) 3 3 lm lm lm (, ) (,) (, ) (,) lm lm (, ) (,) (, ) (,) Κριτήριο μη ύπαρξης ορίου Εάν μία συνάρτηση f (, ) έχει διαφορετικά όρια κατά μήκος δύο διαφορετικών διαδρομών καθώς το (, ) τείνει στο (, ) τότε δεν υπάρχει το όριο lm f (, ) (, ) (, ) Στη μία διάσταση μπορούσαμε να πλησιάσουμε το μόνο από τα αριστερά ή τα δεξιά για αυτό παίρναμε τα πλευρικά όρια που ήταν δύο. Στις δύο διαστάσεις μπορούμε να πλησιάσουμε το (, ) από πάρα πολλές διαφορετικές διαδρομές. (, ) Παράδειγμα: Η συνάρτηση f (, ) 4 δεν έχει όριο καθώς το (, ) τείνει στο (,) Κατά μήκος της καμπύλης k, με την οποία μπορούμε να πλησιάσουμε το (,) η συνάρτηση παίρνει σταθερή τιμή που εξαρτάται από τη καμπύλη: 4

5 f (, ) k k k k 4 4 k k k Οπότε k lm lm f (, ) 4 (, ) (,) (, ) (,) k k Το όριο αυτό εξαρτάται από τη διαδρομή και για διαφορετικές τέτοιες διαδρομές (δηλαδή διαφορετικά k ) δεν παραμένει το ίδιο, οπότε το ζητούμενο όριο δεν υπάρχει. Η συνάρτηση είναι συνεχής στο (, ) όταν Το (, ) ανήκει στο πεδίο ορισμού της δηλαδή ορίζεται το f (, ) Υπάρχει το όριο lm f (, ) (, ) (, ) και ισχύει lm f (, ) f (, ) (, ) (, ) Παράδειγμα: (, ) (,) Η συνάρτηση f (, ) δεν είναι συνεχής στο (,) (, ) (,) Η συνέχεια σε κάθε άλλο σημείο είναι τετριμμένη. Στο (,) ορίζεται η συνάρτηση αλλά δεν ορίζεται το όριο. Κατά μήκος της καμπύλης k, με την οποία μπορούμε να πλησιάσουμε το (,) η συνάρτηση παίρνει σταθερή τιμή που εξαρτάται από τη καμπύλη: f (, ) k k k k k k k Οπότε k lm lm f (, ) k (, ) (,) (, ) (,) k Το όριο αυτό εξαρτάται από τη διαδρομή και για διαφορετικές τέτοιες διαδρομές (δηλαδή διαφορετικά k ) δεν παραμένει το ίσιο, οπότε το ζητούμενο όριο δεν υπάρχει. Παρατήρηση: Ανάλογα ορίζονται όρια και συνέχεια η συνάρτηση τριών μεταβλητών w f (,, z). 4.3 Μερικές παράγωγοι 4.3. Ορισμοί Η μερική παράγωγος της f (, ) ως προς στο σημείο (, ) ισούται με το όριο f df f (, ) f (, ) f ( h, ) f (, ) f(, ) lm lm d ( ) h h (, ) Δεδομένου ότι το όριο υπάρχει. 5

6 Γεωμετρικά η τιμής της μερικής παραγώγου ως προς στο σημείο (, ) είναι η κλίση της καμπύλης z f (, ) στο σημείο P(,, f (, )). Η εφαπτόμενη της καμπύλης στο σημείο P είναι η ευθεία του επιπέδου που διέρχεται από το P με τέτοια κλίση (η κλίση ευθείας είναι ίση με την εφαπτομένη της γωνίας που έχει η ευθεία με το επίπεδο ). Η μερική παράγωγος ως προς στο σημείο (, ) είναι ο ρυθμός μεταβολής της συνάρτησης f ως προς το όταν κρατάμε σταθερό το ίσο με. Πρόκειται δηλαδή για το ρυθμός μεταβολής της συνάρτησης f στην κατεύθυνση στο (, ). z f (, ) z f (, ) P(,, f (, )) (, ) Η μερική παράγωγος της f (, ) ως προς στο σημείο (, ) ισούται με το όριο f df f (, ) f (, ) f (, h) f (, ) f (, ) lm lm d ( ) h h (, ) Δεδομένου ότι το όριο υπάρχει. Γεωμετρικά η τιμής της μερικής παραγώγου ως προς στο σημείο (, ) είναι η κλίση της καμπύλης z f (, ) στο σημείο P(,, f (, )). Η εφαπτόμενη της καμπύλης στο σημείο P είναι η ευθεία του επιπέδου που διέρχεται από το P με τέτοια κλίση. Η μερική παράγωγος ως προς στο σημείο (, ) είναι ο ρυθμός μεταβολής της συνάρτησης f ως προς το όταν κρατάμε σταθερό το ίσο με. Πρόκειται δηλαδή για το ρυθμός μεταβολής της συνάρτησης f στην κατεύθυνση j στο (, ). 6

7 z f (, ) P(,, f (, )) z f (, ) (, ) Οι δύο αυτές εφαπτόμενες ορίζουν ένα επίπεδο που εφάπτεται στην επιφάνεια στο σημείο P. (, ) f Υπολογισμοί: Για να βρούμε την, κρατάμε σταθερό το και f παραγωγίζουμε ως προς. Για να βρούμε την, κρατάμε σταθερό το και παραγωγίζουμε ως προς. Παρατήρηση: Ανάλογα ορίζονται οι μερικές παράγωγοι για τις συναρτήσεις τριών ή και περισσότέρων μεταβλητών. 7

8 Παραδείγματα: f f 3 3 f 3 3 f f f f (4, 5) (4, 5) cos (, ) 3 f (, ) cos cos cos cos cos cos ( s ) s cos cos cos cos cos cos cos cos cos 4.3. Μερική παράγωγος πεπλεγμένης συνάρτησης: Έστω z f (, ). Όταν δεν είναι δυνατό να λύσουμε την έκφραση που περιέχει τη συνάρτηση ως προς z ώστε να βρούμε την έκφραση z f (, ) λέμε ότι η συνάρτηση δίνεται σε πεπλεγμένη μορφή. z z l z ( z l z) z z z z z z z z l z Μερική παράγωγος συνάρτησης τριών μεταβλητών: f (,, z) s( 3 z) f s( 3 z) cos( 3 z) ( 3 z) 3cos( 3 z) z z z Μερική παράγωγος δεύτερης και μεγαλύτερης τάξης: f (, ) cos e 8

9 f ( cos e ) cos e f ( cos e ) s e f f f s e f f f e f f f s e f f f cos Συμπεράσματα: Αν μία συνάρτηση f (, ) και οι μερικές της παράγωγοι f, f, f, f ορίζονται σε ένα ανοικτό διάστημα που περιέχει το (, ) και είναι συνεχείς στο (, ) τότε f (, ) f (, ) Αν οι μερικές παράγωγοι f, f μίας συνάρτησης f (, ) είναι συνεχείς σε όλο το χωρίο R, τότε η συνάρτηση είναι διαφορίσιμη σε κάθε σημείο του χωρίου R Αν μία συνάρτηση f (, ) είναι διαφορίσιμη στο (, ) τότε είναι και συνεχής στο (, ) Ο κανόνας της αλυσιδωτής παραγώγισης Αν η w f (, ) είναι διαφορίσιμη συνάρτηση και και διαφορίσιμες συναρτήσεις του t τότε η w είναι διαφορίσιμη συνάρτηση του t και ισχύει. df f d f d dt dt dt Αν η w f (,, z) είναι διαφορίσιμη συνάρτηση και, και z διαφορίσιμες συναρτήσεις του t τότε η w είναι διαφορίσιμη συνάρτηση του t και ισχύει. df f d f d f dz dt dt dt z dt 9

10 Μνημονικό Διάγραμμα w f (,, z) f f f z z d dt d dt df f d f d f dz dt dt dt z dt t dz dt Παράδειγμα Εφαρμόστε τον κανόνα αλυσιδωτής παραγώγισης για να βρείτε την παράγωγο της w f (, ) Ως προς t κατά μήκος της καμπύλης cos t, s t παραγώγου για t /. df f d f d dt dt dt d d cos t (s t) dt dt cos t, s t ( s ) cos s cos cos( ) t t t t t df dt t / cos Παράδειγμα Βρείτε την παράγωγο της. Ποια η τιμή της w f (,, z) z cos t, s t, z t. Ποια η τιμή Ως προς t κατά μήκος της καμπύλης της παραγώγου για t. df f d f d f dz dt dt dt z dt z d z d z d cos t (s t) ( t) dt dt dt cos t, s t ( s ) cos s cos cos( ) t t t t t

11 df dt t cos Αν οι συναρτήσεις w f (,, z), g( r, s), h( r, s) και z k( r, s) είναι διαφορίσιμες συναρτήσεις τότε η w έχει μερικές παραγώγους ως προς r και s και ισχύει. f f f f z r r r z r f f f f z s s s z s Αντίστοιχα για συνάρτηση δύο μεταβλητών λείπει ο τρίτος όρος του αθροίσματος. Μνημονικό Διάγραμμα w f (,, z) w f (,, z) f f f z z z r r r r f f f f z r r r z r f f f z z z s s s s f w w w z s s s z s Παράδειγμα f Εκφράστε τα r, f συναρτήσει των r και s αν s r w f (,, z) z,, r l s, z r s f f f f z r r r z r r z r s s f f f f z s s s z s r r z s s s s

12 4.3.6 Παράγωγος πεπλεγμένης συνάρτησης Αν η F(, ) είναι διαφορίσιμη (πεπλεγμένη) συνάρτηση και η εξίσωση F(, ) ορίζει το ως διαφορίσιμη συνάρτηση του. Τότε για κάθε σημείο όπου F θα ισχύει. d F d F Παρατήρηση: Ανάλογα ορίζονται τύποι για τις συναρτήσεις περισσότέρων μεταβλητών. Παράδειγμα Βρείτε το d d αν s d F cos( ) cos( ) d F cos( cos( ) 4.4 Παράγωγοι κατά κατεύθυνση, διανύσματα κλίσεως Ορισμοί Έστω ότι η συνάρτηση f (, ) ορίζεται στο χωρίο R του επιπέδου και ότι P, ένα σημείο του χωρίου και ότι Η παράγωγος της συνάρτησης (, ) u u u jένα μοναδιαίο διάνυσμα. f ορίζεται στο σημείο P, στην κατεύθυνση του μοναδιαίου διανύσματος u uu jείναι η ποσότητα df f ( su, su) f (, ) Df u lm P ds s s up, Εάν υπάρχει το όριο τότε ορίζει το στιγμιαίο ρυθμό μεταβολής της συνάρτησης f στο σημείο P στην κατεύθυνση του διανύσματος u. (, ) u u u j

13 P και Στο σχήμα βλέπουμε την ευθεία που διέρχεται από το σημείο, είναι παράλληλη στην κατεύθυνση του μοναδιαίου διανύσματος u uu j. Η τομή του επιπέδου που περνά από το σημείο και είναι παράλληλη στο διάνυσμα είναι μία καμπύλη πάνω στην επιφάνεια. Η κλίση της εφαπτομένης σε αυτήν την καμπύλη στο σημείο ισούται με την παράγωγο στην κατεύθυνση του διανύσματος. Το διάνυσμα κλίσεως (ή κλίση ή βαθμίδα) της συνάρτησης f (, ) στο P είναι το διάνυσμα σημείο, f f f j Ονομάζεται και ως grad ή ανάδελτα της συνάρτησης. Σε κάθε σημείο (, ) του πεδίου ορισμού της f (, ), η κλίση της f είναι ένα διάνυσμα που είναι κάθετο στην ισοσταθμική καμπύλη που διέρχεται από το σημείο αυτό. (εννοείται ότι είναι κάθετο στην εφαπτομένη της ισοσταθμικής καμπύλης στο σημείο) 7 6 (, ) f f (, ) c Ανάλογα το διάνυσμα κλίσεως (ή κλίση ή βαθμίδα) της συνάρτησης (,, ) P,, z είναι το διάνυσμα f z στο σημείο f f f f j k z 3

14 Η παράγωγος της συνάρτησης (, ) f στο, P στην κατεύθυνση του μοναδιαίου διανύσματος u uu jισούται με το εσωτερικό γινόμενο: Du f f P P Ανάλογα ισχύει το τύπος για τις συναρτήσεις τριών μεταβλητών στην κατεύθυνση του μοναδιαίου διανύσματος u u uj u3k Παράδειγμα: Βρείτε την παράγωγο της f (, ) e cos( ) στο σημείο (,) στην κατεύθυνση v 34j. Θα πρέπει να βρούμε την κατεύθυνση (φορά, μοναδιαίο διάνυσμα) του v, αυτό γίνεται διαιρώντας με το μέτρο του. v 3 4j 3 4 u j v Οι μερικές παράγωγοι στο (,) f f(,) ( e s( )) e (,) f (,) (,) f e e u (,) ( s( )) (,) Η κλίση της συνάρτησης στο σημείο (,) είναι f f f j j (,) (,) (,) Η παράγωγος f της στο σημείο (,) στην κατεύθυνση v 34jείναι Du f f (,) (,) df u ( j) ( j ) ds u,(,) 4.4. Αλγεβρικές ιδιότητες κλίσεων af a f ( f g) f g ( f g) f g ( fg) gf f g f g f f g g g Παράδειγμα: f (, ), f j g(, ) 3, g 3j Πιστοποίηση αλγεβρικών ιδιοτήτων: ( f ) ( ) j f ( f g) ( ) j f g 4

15 ( fg) (3 3 ) 3 (3 6 ) j 3 3j 3 j (3 6 ) j 3 ( j) (3 3 ) j 3 ( j) 3( ) j gf f g Ιδιότητες της παραγώγου κατά κατεύθυνση Η παράγωγος κατά κατεύθυνση μπορεί να γραφεί και ως D f f u f ucos f cos u από τον τύπο του εσωτερικού γινομένου, όπου είναι η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων f και u. Σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού η f παρουσιάζει τη μεγαλύτερη αύξηση στην διεύθυνση του διανύσματος κλίσης f, δηλαδή όταν, οπότε D f f cos f u Σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού η f παρουσιάζει τη μεγαλύτερη μείωση στην διεύθυνση του διανύσματος - f, δηλαδή όταν, οπότε D f f cos f u Σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού η f παρουσιάζει μηδενική μεταβολή στη κατεύθυνση κάθε διανύσματος κάθετου στην κλίση f, δηλαδή όταν, οπότε Du f f cos Παράδειγμα Βρείτε τις κατευθύνσεις στις οποίες η f (, ). Παρουσιάζει τη μέγιστη αύξηση στο σημείο (,). Παρουσιάζει τη μέγιστη μείωση στο σημείο (,) 3. Παρουσιάζει μηδενική μεταβολή στο σημείο (,) Η συνάρτηση παρουσιάζει τη μέγιστη αύξηση στην κατεύθυνση της σημείο (,) η κλίση είναι f f f j j j (,) (,) (,) (,) Η κατεύθυνση (φορά) της κλίσης είναι j j u j j Η συνάρτηση παρουσιάζει τη μέγιστη μείωση στην κατεύθυνση της φορά της μείωσης είναι u j. f. Στο f και η ΟΙ κατευθύνσεις που έχουμε μηδενική μεταβολή στο (,) είναι αυτές που είναι ορθογώνιες στο u δηλαδή ισχύει, j j οπότε είναι οι κατευθύνσεις η j και η j 5

16 Παράδειγμα 3 Βρείτε την παράγωγο της f (,, z) z στο σημείο (,,) στην κατεύθυνση v 3j 6k. Σε ποιες κατευθύνσεις θα μεταβάλλεται η συνάρτηση περισσότερο στο σημείο αυτό και ποιοι είναι οι ρυθμοί μεταβολής στις κατευθύνσεις αυτές; Θα πρέπει να βρούμε την κατεύθυνση (φορά, μοναδιαίο διάνυσμα) του v, αυτό γίνεται διαιρώντας με το μέτρο του. v 3j6k 3 6 u j k v Οι μερικές παράγωγοι στο (,,) f f (,, ) (3 ) 3 (,,) f f z (,,) (,,) (,,) f (,, ) ( ) (,,) (,,) f (,, ) ( ) z Η κλίση της συνάρτησης στο σημείο (,,) είναι f f f f j k jk (,,) z (,,) (,,) (,,) Η παράγωγος f της στο σημείο (,,) στην κατεύθυνση v 3j 6k είναι Du f f u ( jk) ( j k ) (,,) (,,) Η συνάρτηση παρουσιάζει μέγιστη αύξηση στην κατεύθυνση f jk και μέγιστη μείωση στην κατεύθυνση f. Οι ρυθμοί μεταβολής της στις κατευθύνσεις αυτές είναι f jk 9 3 και f 3. Αν από το σημείο P μετατοπιστούμε κατά μία μικρή ποσότητα ds στην κατεύθυνση u τότε η μεταβολή της f μπορεί να υπολογιστεί κατ εκτίμηση από τον τύπο Παράδειγμα u P P df D f ds f u ds Εκτιμήστε κατά πόσο θα μεταβληθεί η τιμή της f (, ) e αν το σημείο P(, ) μετακινηθεί κατά. μονάδες από το σημείο P (,) προς την κατεύθυνση του σημείου P (4,). Θα πρέπει να βρούμε την κατεύθυνση του διανύσματος στο οποίο θα μετακινηθούμε που είναι το (4 ) ( ) PP j j, αυτό γίνεται διαιρώντας με το μέτρο του. 6

17 PP u j PP Οι μερικές παράγωγοι στο (,) f f(,) ( e ) (,) f (,) (,) f (,) ( e ) (,) j Η κλίση της συνάρτησης στο σημείο (,) είναι f f f j j (,) (,) (,) Η παράγωγος f της στο σημείο (,) στην κατεύθυνση της μεταβολής είναι 4 Du f f u ( j) ( j ) (,) (,) Η εκτίμηση της ζητούμενης μεταβολής είναι 4 df f u P ds..8 5 Παράδειγμα Εκτιμήστε κατά πόσο θα μεταβληθεί η τιμή της f (,, z) s z αν το σημείο P(,, z) μετακινηθεί κατά. μονάδες από το σημείο P (,,) προς την κατεύθυνση του σημείου P (,, ). Θα πρέπει να βρούμε την κατεύθυνση του διανύσματος στο οποίο θα μετακινηθούμε που είναι το PP ( ) ( ) j ( ) k j k, αυτό γίνεται διαιρώντας με το μέτρο του. PP u j k PP Οι μερικές παράγωγοι στο (,,) f f (,,) ( cos ) (,,) f f z (,,) (,,) (,,) f (,,) (s z) f (,,) ( ) (,,) jk (,,) Η κλίση της συνάρτησης στο σημείο (,,) είναι f f f f j k k (,,) z (,,) (,,) (,,) Η παράγωγος f της στο σημείο (,,) στην κατεύθυνση της μεταβολής είναι 4 Du f f u ( k) ( j k ) (,,) (,,) Η εκτίμηση της ζητούμενης μεταβολής είναι 7

18 df f u ds P Γραμμικοποίηση και διαφορικά Με την γραμμικοποίηση μίας συνάρτησης σε κάποιο σημείο βρίσκουμε μία γραμμική συνάρτηση η οποία με κάποιο μικρό σφάλμα συμπεριφέρεται κοντά στο σημείο όπως η συνάρτηση, την προσεγγίζει δηλαδή. Η γραμμικοποίηση μίας συνάρτησης f (, ) σε σημείο (, ) όπου η συνάρτηση είναι διαφορίσιμη ισούται με τη συνάρτηση L(, ) f (, ) f (, )( ) f (, )( ). Η προσέγγιση f (, ) L(, ) λέγεται κανονική γραμμική προσέγγιση της f (, ) στο σημείο (, ). Αν η συνάρτηση f (, ) έχει συνεχείς πρώτες και δεύτερες παράγωγους σε ένα ορθογώνιο χωρίο που έχει κέντρο το (, ) και αν M είναι ένα άνω φράγμα των τιμών των f, f, f που ορίζονται στο χωρίο τότε το σφάλμα που προκύπτει εάν αντικαταστήσουμε την συνάρτηση με την κανονική γραμμική προσέγγισή της ικανοποιεί την ανισότητα E(, ) M Έστω ότι μετατοπιζόμαστε από το σημείο (, ) στο γειτονικό σημείο (, ) ( d, d), τότε από τον τύπο της γραμμικοποίησης έχουμε: L(, ) f (, ) f (, )( ) f (, )( ) L(, ) f (, ) f (, )( ) f (, )( ) L(, ) f (, ) f (, )( d ) f (, )( d ) L(, ) f (, ) f (, ) d f (, ) d Σε μία τέτοια περίπτωση: Η μεταβολή στη γραμμικοποίηση της συνάρτησης καλείται ολικό διαφορικό της f και συμβολίζεται με df, δηλαδή: df f (, ) d f (, ) d Το ολικό διαφορικό σε ένα σημείο αποτελεί (γραμμική) προσέγγιση της μεταβολής της συνάρτησης f f (, ) f (, ) και τη χρησιμοποιούμε για να εκτιμήσουμε τη μεταβολή αυτή. Δηλαδή ισχύει df f. Απόλυτη μεταβολή Σχετική μεταβολή Ποσοστιαία μεταβολή Ακριβής τιμή Προσέγγιση f df f df f (, ) f (, ) f df f (, ) f (, ) 8

19 Παράδειγμα: Να βρεθεί η γραμμικοποίηση της συνάρτησης f (, ) 3 στο σημείο (3,). Βρείτε ένα πάνω φράγμα του σφάλματος που προκύπτει εάν κάνουμε την προσέγγιση της συνάρτησης από την γραμμικοποίηση στο ορθογώνιο χωρίο R : 3.,. εκφράστε το άνω φράγμα ως ποσοστό της τιμής της συνάρτησης στο κέντρο του χωρίου (3,). f (3, ) f (, ) οπότε f(3,) 4 f (, ) οπότε f (3,) Οπότε ζητούμενη γραμμικοποίηση είναι L(, ) f (, ) f (, )( ) f (, )( ) 8 4( 3) ( )( ) L(, ) 4 Για την εκτίμηση του φράγματος έχουμε ότι f (, ), f (, ), f (, ), οπότε ως M παίρνουμε την μεγαλύτερη κατά απόλυτη τιμή που είναι το. Οπότε στο χωρίο το σφάλμα θα ικανοποιεί E(, ) M 3 3 (..).4 Ως ποσοστό της τιμής της συνάρτησης στο (3,) το σφάλμα είναι μικρότερο από.4.5% 8. Δηλαδή εφόσον το σημείο (, ) παραμείνει στο χωρίο η προσέγγιση f (, ) L(, ) δεν θα διαφέρει περισσότερο από.4 δηλαδή από.5% της τιμής της συνάρτησης στο κέντρο του χωρίου. Παράδειγμα: Έστω ότι μία κονσέρβα έχει κατασκευαστεί ώστε να έχει ύψος.5cm και ακτίνας.5cm. Από κατασκευαστικό λάθος η ακτίνα αλλά και το ύψος είναι διαφορετικά κατά dr.8 και dh.. Εκτιμήστε την απόλυτη, σχετική και ποσοστιαία μεταβολή που προκύπτει στον όγκο της κονσέρβας. Ο όγκος της κονσέρβας σε συνάρτηση με την ακτίνα r και το ύψος h είναι V( r, h) r h Η μεταβολή του όγκου που προκαλείται από μικρές μεταβολές dr και dh δίνεται από το ολικό διαφορικό dv Vrdr Vhdh rhdr r dh για την περίπτωσή μας 3 dv.5.5(.8).5 (.) cm Η σχετική μεταβολή είναι ίση με 9

20 V dv (.5,.5) (.5).5 Και η ποσοστιαία μεταβολή dv % V (.5,.5) (.5).5 Παράδειγμα: Έστω ότι μία εταιρεία κατασκευάζει αποθηκευτικές δεξαμενές με σχήμα ορθών κυκλικών κυλίνδρων ύψους 5m και ακτίνας 5m. Πόση ευαισθησία παρουσιάζουν οι όγκοι των δεξαμενών σε μικρές μεταβολές του ύψους και της ακτίνας; Ο όγκος μιας δεξαμενής σε συνάρτηση με την ακτίνα r και το ύψος h είναι V( r, h) r h Η μεταβολή του όγκου που προκαλείται από μικρές μεταβολές dr και dh δίνεται από το ολικό διαφορικό dv Vrdr Vhdh rhdr r dh για την περίπτωσή μας dv 5dr 5dh οπότε η μεταβολή του r κατά μία μονάδα μεταβάλει τον όγκο κατά 5π μονάδες ενώ η μεταβολή του h κατά μία μονάδα μεταβάλει τον όγκο κατά 5π μονάδες. Οπότε ο όγκος είναι πιο ευαίσθητος στις μεταβολές της ακτίνας από ότι τις μεταβολές στο ύψος. Εάν αλλάξουμε τις διαστάσεις και έχουμε κυλίνδρους ύψους 5m και ακτίνας 5m τότε dv 5dr 65dh τότε αυτό αντιστρέφεται. Παρατήρηση Ανάλογοι τύποι ισχύουν και στις συναρτήσεις με περισσότερες από δύο μεταβλητές L(,, z) f (,, z ) f (,, z )( ) f (,, z )( ) f (,, z )( z z ) z df f (,, z ) d f (,, z ) d f (,, z ) dz z Παράδειγμα: Να βρεθεί η γραμμικοποίηση της συνάρτησης f (,, z) 3s( z) στο σημείο (,,). f (,,) 4 3s f (,, ) z οπότε f(,,) 3 f (,, ) z οπότε f (,,) f (,, z) 3cos z οπότε f (,,) 3 z Οπότε ζητούμενη γραμμικοποίηση είναι

21 L(,, z) f (,, z ) f (,, z )( ) f (,, z )( ) f (,, z )( z z ) z 3( ) ( )( ) 3( z ) L(,, z) 3 3z Παράδειγμα: Όταν σε ένα οριζόντιο ορθογώνιο δοκάρι, το οποίο στηρίζεται στα δύο άκρα του, κατανείμουμε ομοιόμορφα ένα φορτίο σταθερού βάρους ανά μονάδα μήκους το μέγεθος S της κάμψης υπολογίζεται από τον τύπο 4 p S C wh 3 w h S όπου p το φορτίο μετρημένο σε Ν ανά μονάδα μήκους το μήκος του δοκαριού σε μέτρα w το πλάτος του δοκαριού σε μέτρα h το ύψος του δοκαριού σε μέτρα C σταθερά που εξαρτάται από τις μονάδες μέτρησης και το υλικό του δοκαριού. 4 p Οπότε το S( p,, w, h) C είναι μία συνάρτηση 4 μεταβλητών. Το ολικό wh 3 της διαφορικό, στο σημείο ( p,, w, h ) (δηλαδή για μία τετράδα των μεταβλητών της) θα δίνεται από τον τύπο: S S S S ds dp d dw dh p w h ( p,, w, h ) ( p,, w, h ) ( p,, w, h ) ( p,, w, h ) S ( p,, w, h ) dp S ( p,, w, h ) d S ( p,, w, h ) dw S ( p,, w, h ) dh p w h Το ds μετρά τη μεταβολή της κάμψης του δοκαριού όταν μεταβάλουμε τις μεταβλητές ( p,, w, h ). Όμως

22 4 3 S 4 p S, S C 4, wh 3 Sp C wh 3 p 4 p S, Sw C w h 3 w p 3S 4 Sh C wh 4 h 4 p θέτοντας S S( p,, w, h ) C έχουμε wh 3 ds S ( p,, w, h ) dp S ( p,, w, h ) d S ( p,, w, h ) dw S ( p,, w, h ) dh p w h S( p,, w, h ) 4 S( p,, w, h ) S( p,, w, h ) 3 S( p,, w, h ) p w h dp d dw dh dp 4d dw 3dh ds S p w h Για ένα δοκάρι μήκους 4 m, πλάτους. m, ύψους. m στο οποίο ασκείται δύναμη Ν/m, δηλαδή ( p,, w, h ) (,,.,.) ο τύπος αυτός γίνεται: dp ds S d dw 5dh Παρατηρούμε ότι, εφόσον οι συντελεστές των dw, dh είναι αρνητικοί όταν αυξηθούν το πλάτος ή το ύψος η κάμψη θα ελαττωθεί και το δοκάρι θα γίνει πιο άκαμπτο, μιας και το ds (η μεταβολή της κάμψης) μικραίνει. Το ds είναι δε πιο ευαίσθητο στην μεταβολή του dh μιας και έχει μεγαλύτερο κατ απόλυτη τιμή συντελεστή. Τέλος, παρατηρούμε ότι μία μικρή μεταβολή στο φορτίο dp δεν επηρεάζει ιδιαίτερα το ds μιας και ο συντελεστής τους είναι μικρός (/). Εάν γείρουμε το δοκάρι στο πλάι έχουμε ότι το πλάτος είναι. m και το ύψος. m. Σε μία τέτοια περίπτωση ( p,, w, h ) (,,.,.) και ο τύπος γίνεται dp ds S d 5dw 3dh Οπότε παρατηρούμε ότι το ds παρουσιάσει μεγαλύτερη ευαισθησία στις μεταβολές του dh. Παράδειγμα: Θεωρούμε το ακόλουθο κύκλωμα στο οποίο δύο αντιστάσεις είναι συνδεδεμένες παράλληλα. R R

23 Η σχέση που συνδέει την ολική αντίσταση R του κυκλώματος δίνεται από τον τύπο: R R R R R R( R, R) R R R R R R R οπότε μπορεί να θεωρηθεί ως συνάρτηση δύο μεταβλητών ( R, R ). Η διακύμανση της τιμής καθεμίας από τις δύο αντιστάσεις μεταβάλει τη τιμή της ολικής αντίστασης R του κυκλώματος κατά dr σύμφωνα με τον τύπο του ολικού διαφορικού: R R dr dr dr R R Παρατηρούμε ότι RR R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R Ανάλογα έχουμε ότι R R R R. Οπότε τελικά R R dr dr dr R R Έστω ότι R = Ohm και R =4 Ohm, εφόσον παραπάνω τύπος γίνεται: 4 R 8 4 Ohm, ο 8 8 dr dr dr.8 dr. dr.64dr.4dr 4 Είναι φανερό ότι η μεταβολή της R επηρεάζει περισσότερο το dr εφόσον έχει μεγαλύτερο συντελεστή στον τύπο του ολικού διαφορικού. Παράδειγμα: Θεωρούμε ξανά το παραπάνω κύκλωμα και μεταβάλλουμε την R από σε. Ohm και την R από 5 σε 4.9 Ohm. Δηλαδή, dr =. και dr =-., 5 5 R και η μεταβολή στην ολική αντίσταση είναι R R dr dr dr. (.). Ohm R R Η ποσοστιαία μεταβολή είναι..%. 9 3

24 Παράδειγμα: Είναι γνωστό ότι σε ένα κύκλωμα η ένταση του ρεύματος συνδέεται με την αντίσταση του κυκλώματος και την ηλεκτρική τάση σύμφωνα με τον νόμο: V I R Με τη χρήση του διαφορικού μπορούμε να διερευνήσουμε την ευαισθησία της μεταβολής του ρεύματος στις μεταβολές της τάσης και της αντίστασης. I V I Παρατηρούμε ότι και R R V R Οπότε V di dv dr R R Σε ένα κύκλωμα όπου R= Ohm και V=4 Volt ο τύπος αυτός γίνεται: 4 di dv dr.dv.4dr Είναι φανερό ότι για αυτές τις τιμές η μεταβολή της έντασης του ρεύματος είναι πιο ευαίσθητη στις μεταβολές της τάσης (μιας και έχει μεγαλύτερο συντελεστή). Εάν μεταβάλουμε την τάση από 4 Volt σε 3 (dv=-) και την αντίσταση από Ohm σε 8 (dr=-) τότε di.dv.4dr. ( ) και συμπεραίνουμε ότι η ένταση του ρεύματος αυξάνει κατά.38 Ampere. 4.6 Τύπος Talor για συναρτήσεις με δύο μεταβλητές. Με την γραμμικοποίηση μίας συνάρτησης σε κάποιο σημείο βρήκαμε μία γραμμική συνάρτηση η οποία προσεγγίζει κοντά στο σημείο τη συνάρτηση. Με τον τύπο του Talor βρίσκουμε πολυωνυμικές προσεγγίσεις σε συναρτήσεις σε κάποια περιοχή ενός σημείου Έστω ότι η f (, ) και οι μερικές της παράγωγοι μέχρι + τάξης είναι συνεχής σε κάθε σημείο ενός ανοικτού ορθογώνιου χωρίου R με κέντρο το σημείο ( ab., ) Στην περίπτωση αυτή, σε κάθε σημείο του χωρίου θα ισχύει: f a h b k f a b hf kf h f hkf k f! (, ) (, ) ( ) ( ) ( ab, ) ( ab, ) h f h kf hk f k f h k f 3!! ( 3 3 )... ( ) ( ab, ) ( h k ) f ( )! ( ach, bck ) ( ab, ) Οι πρώτες παράγωγοι υπολογίζονται στο σημείο ( abκαι, ) ο τελευταίος όρος υπολογίζεται σε κάποιο σημείο ( a ch, b ck) του ευθύγραμμου τμήματος που ενώνει τα ( ab, ) και ( a h, b k). Η προσέγγιση γίνεται εάν αποκόψουμε κάποιους όρους: 4

25 f a h b k f a b hf kf h f hkf k f! (, ) (, ) ( ) ( ) ( ab, ) ( ab, ) h f h kf hk f k f h k f 3!! ( 3 3 )... ( ) ( ab, ) ( ab, ) Εάν ( ab, ) (,) οι τύποι γίνονται f (, ) f ( a, b) ( a) f ( a, b) ( b) f ( a, b) ( ) (, ) ( )( ) (, ) ( ) a f a b a b f a b b f ( a, b ))! f (, ) f (,) ( f (,) f (,)) f (,) f (,) f (,)! f(, ) 3 f (, ) 3 f (, ) f (, )... 3! + ( ) f! (,) ( ) ( )! f ( c, c) Και f f f f f! f f (, ) (,) ( (,) (,)) (,) (,) (,) f f f f f 3!! (,) 3 (,) 3 (,) (,)... ( ) Στους παραπάνω τύπους αντικαταστήσαμε h, k και γενικά χρησιμοποιήσαμε τον συμβολισμό. f ( h k ) f h k ( ab, ) ( ab, ) f f f f h h k h k k ( a, b) ( a, b) ( a, b) ( a, b)!,!,!,!, 3! 6,! k ( k)! k! Παράδειγμα: Βρείτε μία δευτεροβάθμια προσέγγιση της f (, ) s s αρχή. Πόσο ακριβής είναι η προσέγγιση εάν.και. κοντά στην Από τους παραπάνω τύπους για = έχουμε f (, ) f (,) ( f (,) f (,)) f (,) f (,) f (,)! f ( c, ) 3 f ( c, ) 3 f ( c, ) f ( c, ) 3! Οπότε f (, ) f (,) ( f (,) f (,)) f(,) f (,) f (,)! (,) 5

26 3! είναι το σφάλμα. Εχουμε f (,) s s, f (,) s s, Και E(, ) 3 f (, ) 3 (, ) 3 (, ) 3 c f c f c f ( c, ) (,) (,) f (,) cos s, f (,) cos cos, (,) (,) f (,) s cos, f (,) s s, (,) (,) Οπότε s s ( ()) s s Επειδή οι τρίτες παράγωγοι είναι γινόμενα ημιτόνων και συνημιτόνων οπότε και κατά απόλυτη τιμή δεν ξεπερνούν το και επειδή.και. για το σφάλμα μπορούμε να γράψουμε 3 3 E(, ) ((.) 3(.) (.) 3(.)(.) (.) ) E(, ) (.) Ακρότατα και σαγματικά σημεία. Τοπικά μέγιστα Τοπικό ελάχιστο 3 Έστω f (, ) ορισμένη σε περιοχή R που περιέχει το σημείο ( ab., ) Τότε το ( abαποτελεί, ) σημείο τοπικού μεγίστου της f (, ) με τιμή f ( a, b) εάν f ( a, b) f (, ) για όλα τα σημεία του πεδίου ορισμού της 6

27 συνάρτησης που ανήκουν σε ένα ανοικτό κυκλικό δίσκο με κέντρο το ( ab., ) Τότε το ( abαποτελεί, ) σημείο τοπικού ελαχίστου της f (, ) με τιμή f ( a, b) εάν f (, ) f ( a, b) για όλα τα σημεία του πεδίου ορισμού της συνάρτησης που ανήκουν σε ένα ανοικτό κυκλικό δίσκο με κέντρο το ( ab., ) Τα τοπικά ακρότατα (μέγιστα ή ελάχιστα) της f (, ) μπορούν μόνο να προκύψουν σε Ι. Συνοριακά σημεία του πεδίου ορισμού της ΙΙ. Κρίσιμα σημεία (εσωτερικά σημεία όπου f f ή σημεία όπου είτε η f είτε η f δεν υπάρχει. Μία διαφορίσιμη συνάρτηση f (, ) έχει ένα σαγματικό σημείο σε ένα κρίσιμο σημείο ( ab,, ) αν σε κάθε ανοικτό κυκλικό δίσκο με κέντρο το ( ab, ) υπάρχουν σημεία (, ) του πεδίου ορισμού της συνάρτησης όπου f (, ) f ( a, b) και σημεία (, ) του πεδίου ορισμού της συνάρτησης όπου f (, ) f ( a, b). Σαγματικά σημεία Αν οι μερικές παράγωγοι πρώτης και δευτέρας τάξης της f (, ) είναι παντού συνεχής σε ένα κυκλικό δίσκο με κέντρο το σημείο ( abκαι, ) f ( a, b) f ( a, b) τότε ίσως μπορούμε να αποφανθούμε για το αν η τιμή f ( a, b) αντιστοιχεί σε ακρότατο, βάσει του κριτηρίου της δεύτερης παραγώγου: f f f και f στο ( abτότε, ) έχουμε τοπικό μέγιστο f f f και f στο ( abτότε, ) έχουμε τοπικό ελάχιστο f f f στο ( abτότε, ) έχουμε σαγματικό σημείο f f f στο ( abτότε, ) δεν μπορούμε να αποφανθούμε Ο τύπος της ορίζουσας: f f f καλείται διακρίνουσα ή Εσσιανή της f, και είναι η τιμή f f f f f f f 7

28 Παράδειγμα: Να βρεθούν τα ακρότατα της συνάρτησης f (, ) 4 Η συνάρτηση ορίζεται παντού και είναι διαφορίσιμη σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού της το οποίο δεν έχει συνοριακά σημεία οπότε πιθανά ακρότατα είναι τα σημεία όπου f f συγχρόνως. f και f από όπου έχουμε Το σημείο (-,-) είναι το μοναδικό πιθανό ακρότατο. f, f, f Η τιμή της Εσιανής στο σημείο εμπίπτουμε στην περίπτωση όπου f f f ( )( ) 3 οπότε f f f και f στο ( abτότε, ) έχουμε τοπικό μέγιστο στο (-,) με τιμή f (, ) 8 Παράδειγμα: Να βρεθούν τα ακρότατα της συνάρτησης f (, ) Η συνάρτηση ορίζεται παντού και είναι διαφορίσιμη σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού της το οποίο δεν έχει συνοριακά σημεία οπότε πιθανά ακρότατα είναι τα σημεία όπου f f συγχρόνως. f και f από όπου έχουμε Το σημείο (,) είναι το μοναδικό πιθανό ακρότατο. f, f, f Η τιμή της Εσιανής στο σημείο στην περίπτωση όπου αξόνων. f f f ()() οπότε εμπίπτουμε έχουμε ένα σαγματικό σημείο στην αρχή των Για να βρούμε το ολικό μέγιστο (ή ολικό ελάχιστο) μίας συνάρτησης σε ένα κλειστό και φραγμένο χωρίο καταγράφουμε τα εσωτερικά σημεία στα οποία ενδέχεται να υπάρχει ελάχιστο, δηλαδή τα κρίσιμα σημεία, και τα συνοριακά σημεία στα οποία η συνάρτηση έχει τοπικά μέγιστα ή ελάχιστα. Από τα σημεία που καταγράψαμε επιλέγουμε τα σημεία στα οποία η συνάρτηση έχει την μεγαλύτερη (ή την μικρότερη αντίστοιχα) τιμή. Παράδειγμα: Να βρεθούν τα ολικά ακρότατα της συνάρτησης f (, ) στο τριγωνικό χωρίο του πρώτου τεταρτημόριου που περικλείεται από τις ευθείες,, 9. 8

29 B(,9) 9 O(,) A(9,) Εσωτερικά σημεία Η συνάρτηση είναι διαφορίσιμη σε κάθε σημείο του εσωτερικού του τριγωνικού χωρίου οπότε πιθανά ακρότατα είναι τα σημεία όπου f f συγχρόνως. f (, ) (,) όπου f (,) 4 f Για να χαρακτηρίσουμε το σημείο βρίσκουμε f, f, f οπότε η τιμή της Εσιανής στο σημείο εμπίπτουμε στην περίπτωση όπου τοπικό μέγιστο στο (,) με τιμή f (,) 4. f f f ( )( ) 4 και f f f και f οπότε έχουμε Συνοριακά σημεία. Στο ΟΑ όπου η συνάρτηση έχει τύπο f (,). Οπότε είναι σαν να μελετάμε τα ακρότατα μίας συνάρτησης μίας μεταβλητής g( ) ορισμένη στο 9.Στα συνοριακά σημεία έχω g() και g(9) και στα εσωτερικά έχω κρίσιμα σημεία εκεί όπου g '( ), g ''( ) όπου g() 3. Οπότε από τα παραπάνω έχω τοπικά ακρότατα στα σημεία f (,), f (9,) 6, f (,) 3.. Στο ΟΒ όπου η συνάρτηση έχει τύπο f (, ). Από τη συμμετρία του τύπου αυτού σε σχέση με αυτόν της περίπτωσης (είτε κάνοντας ανάλογη διαδικασία) βλέπω ότι έχω τοπικά ακρότατα στα σημεία f (,), f (,9) 6, f (,) 3 3. Μένει μόνο να εξετάσουμε τα εσωτερικά σημεία του τμήματος ΑΒ. Για 9 η συνάρτηση έχει τύπο f (,9 ) (9 ) (9 ) 68 9 Θέτοντας f '(,9 ) 8 4 οπότε αφού f ''(,9 ) 4 το σημείο αυτό είναι τοπικό μέγιστο Για την τιμή αυτή έχουμε 9 και f (, ) 9

30 Από τα παραπάνω συμπεραίνουμε ότι η ελάχιστη τιμή είναι -6 στα σημεία (9,) και (,9) και η μέγιστη 4 στο σημείο (,). 4.8 Εφαρμογή: Μέθοδος Ελαχίστων Τετράγωνων Έστω ότι έχουμε ένα πίνακα τιμών μία συνάρτησης μίας μεταβλητής. Για παράδειγμα έχουμε τα πειραματικά δεδομένα.5 /.3 3 / και θέλουμε να βρούμε έναν προσεγγιστικό τύπο που να μας δίνει την τιμή μιας συνάρτησης σε ενδιάμεσα σημεία. Η μέθοδοι που γνωρίσαμε (γραμμικοποίηση, Talor) όταν εφαρμόζονται μας δίνουν τύπους που ισχύουν στην περιοχή κάποιου σημείου και όχι σε όλα τα ενδιάμεσα σημεία. Μπορούμε να βρούμε διάφορες καμπύλες οι οποίες να περνάνε από τα σημεία αυτά. Στο γράφημα που ακολουθεί σχεδιάσαμε τα σημεία και το πολυώνυμο p() που περνά από αυτά τα σημεία Παρατηρώντας όμως το σχήμα, διαπιστώνουμε ότι μια ευθεία γραμμή π.χ. η 5. "ταιριάζει" καλύτερα στα δεδομένα του πίνακα από το συγκεκριμένο πολυώνυμο έστω και αν δεν περνάει από τα σημεία. Μια καλή αντιμετώπιση αυτού του είδους προβλημάτων θα ήταν να βρούμε τη "βέλτιστη" ευθεία η οποία θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί σαν μια προσεγγιστική συνάρτηση σε οποιοδήποτε ενδιάμεσο σημείο, ακόμα και όταν αυτή δεν συμφωνεί ακριβώς με τα δεδομένα. Η μέθοδος των Ελαχίστων Τετραγώνων (least squares) υπολογίζει τη βέλτιστη προσεγγιστική ευθεία όταν το σφάλμα προσέγγισης είναι το άθροισμα των τετραγώνων των διαφορών μεταξύ των τιμών της ευθείας αυτής και των αντίστοιχων πειραματικών δεδομένων (data). 3

31 a b ( a b) a b Το γενικό πρόβλημα προσαρμογής της βέλτιστης ευθείας a b σε ένα σύνολο δεδομένων, =,,.., με την μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων, συνεπάγεται την ελαχιστοποίηση της παράστασης E( a, b) ( a b) η οποία μπορεί να θεωρηθεί ως μία συνάρτηση δύο μεταβλητών, των a,b. Όπως είδαμε, το πρόβλημα εύρεσης του ελαχίστου της παραπάνω συνάρτησης μας οδηγεί στις ακόλουθες αναγκαίες συνθήκες ή ισοδύναμα E( a, b) a a E( a, b) b b ( a ( a b) b) ( a b)( ) ( a b ) a b ( a b)( ) ( a b) a b a b Το πρόβλημα μάς είναι να λύσουμε τις παρακάτω εξισώσεις ο οποίες ονομάζονται κανονικές εξισώσεις a b a b Εάν λύσουμε το σύστημα των κανονικών εξισώσεων, αυτό ως προς a και b έχουμε η λύση 3

32 b a ( ) ( ) Για τα δεδομένα του παραπάνω πίνακα το πρόβλημά μας είναι ισοδύναμο με την ελαχιστοποίηση της ποσότητας Σύμφωνα με τα παραπάνω 4 E( a, b) ( a b) =4,,.5, 4.3,.9975 οπότε οδηγούμαστε στο σύστημα των κανονικών εξισώσεων.5 a + b =.9975 a + 4 b = 4.3 Η λύση του γραμμικού συστήματος είναι: a =.4975, b =.75. Οπότε η βέλτιστη ευθεία των ελαχίστων τετραγώνων για τα δεδομένα του πίνακα είναι η () = Παράδειγμα: Έστω ότι δίνονται τα δεδομένα του ακόλουθου πίνακα, και μας ενδιαφέρει η βέλτιστη ευθεία που διέρχεται ανάμεσά τους. Σύμφωνα με τα παραπάνω =7, , 4, 39.9, 99.4 οπότε οδηγούμαστε στο σύστημα των κανονικών εξισώσεων 4 a + 8 b = a + 7 b =39.9 Πολλαπλασιάζοντας την δεύτερη εξίσωση με 5 και αφαιρώντας, την πρώτη εξίσωση από τη δεύτερη έχουμε 7b=.. Επίσης πολλαπλασιάζοντας την 3

33 δεύτερη εξίσωση με 4 και αφαιρώντας, από την πρώτη εξίσωση τη δεύτερη έχουμε 8a=39.8. Οπότε, η λύση του γραμμικού συστήματος είναι: a = 398/8, b =/7. Οπότε η βέλτιστη ευθεία των ελαχίστων τετραγώνων για τα δεδομένα του πίνακα είναι η και η γραφική παράσταση της λύσης () = 398/8 +/ Ακρότατα με συνθήκες (Πολλαπλασιαστές Lagrage). Έστω ότι ζητάμε να υπολογίσουμε τα ακρότατα της συνάρτησης f (, ) δεδομένου ότι ισχύει η συνθήκη (, ). Ορίζουμε τότε, μία νέα συνάρτηση F(, ) f (, ) (, ) όπου το ονομάζεται πολλαπλασιαστής Lagrage. Τα κρίσιμα σημεία (πιθανά ακρότατα) τα βρίσκουμε λύνοντας το ακόλουθο σύστημα: F(, ) f (, ) (, ) F(, ) f (, ) (, ) F(, ) (, ) Ανάλογα όταν ζητάμε να υπολογίσουμε τα ακρότατα της συνάρτησης f (,, z) δεδομένου ότι ισχύει η συνθήκη (,, z) ορίζουμε μία νέα συνάρτηση F(,, z) f (,, z) (,, z) και καθορίζουμε τα κρίσιμα σημεία (πιθανά ακρότατα) τα βρίσκουμε λύνοντας το ακόλουθο σύστημα: F(,, z) f (,, z) (,, z) F(,, z) f (,, z) (,, z) F(,, z) f (,, z) (,, z) z z z F(,, z) (,, z) 33

34 Παράδειγμα: Η θερμοκρασία σε κάθε σημείο μίας μεταλλικής πλάκας δίνεται από τη συνάρτηση T(, ) 4 4, όπου (, ) οι συντεταγμένες σημείου της πλάκας ως προς την αρχή των αξόνων. Ένα μερμήγκι κινείται πάνω στην πλάκα πάνω στην περιφέρεια κύκλου με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα 5. Ποια είναι η ελάχιστη και ποια η μέγιστη θερμοκρασία που θα «συναντήσει» στην πορεία του το μερμήγκι. : Έχουμε στην ουσία ένα πρόβλημα ελαχιστοποίησης της συνάρτησης T(, ) 4 4 όταν ισχύει η συνθήκη 5 5. Θεωρώ τη συνάρτηση F(, ) Έχω οπότε να λύσω το σύστημα: F(, ) 8 4 F(, ) 4 F(, ) Από όπου έχω ( ) ( ) Από όπου έχουμε ή, η οποία δεν ικανοποιεί την τρίτη εξίσωση ή 4 ( ) ή 5 Για έχω και από την οπότε και 5. Για 5έχω και από την οπότε και 5. Οπότε κρίσιμα σημεία είναι τα σημεία: 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5 από όπου έχουμε T T T T 5, 5, 5, 5, 5, 5 5, 5, 5 5 Οπότε η ελάχιστη θερμοκρασία είναι βαθμοί και η μέγιστη 5. 34

35 4. Λυμένες ασκήσεις: f f f. Η τρισδιάστατη εξίσωση Laplace ικανοποιείται από z χρονοανεξάρτητες θερμοκρασιακές κατανομές, βαρυτικά και ηλεκτροστατικά δυναμικά. Δείξτε ότι η συνάρτηση f (,, z) z την ικανοποιεί. Εύκολα βλέπουμε ότι Οπότε f f f 4 z f f f f f f,,,, 4 z, 4 z z f f. Η δισδιάστατη εξίσωση Laplace ικανοποιείται από χρονοανεξάρτητες θερμοκρασιακές κατανομές πάνω σε μία λεπτή πλάκα. Δείξτε ότι η συνάρτηση f (, ) e cos την ικανοποιεί. Εύκολα βλέπουμε ότι f f f f e s, 4e cos, e cos, 4e cos Οπότε f f 4e cos 4e cos w w 3. Η μονοδιάστατη κυματική εξίσωση c περιγράφει κυματικές t μορφές (π.χ. παλλόμενες χορδές, κυματικά φαινόμενα σε υγρό μέσο, περιοδικής μορφής σήματα). Το w είναι το ύψος του κύματος, η χωρική μεταβλητή, t η χρονική μεταβλητή και c η ταχύτητα διάδοσης του κύματος. Αποδείξτε ότι η w(, t) s( ct) cos( ct) την ικανοποιεί. w Εύκολα βλέπουμε ότι cos( ct) s( ct) και w s( ct) 4cos( ct). w Επίσης c cos( ct ) c s( ct ) και t w c s( ct) 4c cos( ct). t Οπότε w w c c s( ct) 4c cos( ct) c ( s( ct) 4cos( ct)) t w w 4. Η μονοδιάστατη κυματική εξίσωση c περιγράφει κυματικές t μορφές (π.χ. παλλόμενες χορδές, κυματικά φαινόμενα σε υγρό μέσο, περιοδικής μορφής σήματα). Το w είναι το ύψος του κύματος, η χωρική 35

36 μεταβλητή, t η χρονική μεταβλητή και c η ταχύτητα διάδοσης του κύματος. ct Αποδείξτε ότι η w(, t) 5cos(3 3 ct) e την ικανοποιεί. w Εύκολα βλέπουμε ότι ct 5s(3 3 ct) e και w ct 45cos(3 3 ct) e. w ct w Επίσης 5c s(3 3 ct) ct ce και 45c cos(3 3 ct) c e. t t w w ct ct Οπότε c 45c cos(3 3 ct) c e c ( 45cos(3 3 ct) e ) t 5. Αν g( s, t) f ( s t, t s ) και η f παραγωγίσιμη δείξτε ότι η g ικανοποιεί g g την t s. s t Αν θέσουμε s t t s είναι σύνθετη συνάρτηση., τότε η συνάρτηση Από τον κανόνα της αλυσίδας έχουμε g f f f f s ( s) s s s g f f f f t ( t) t t t Αντικαθιστώντας έχουμε g s t g f f s t t s (, ) (, ) (, ) (, ) g g f f f f t s st st st st. s t 6. Η θερμοκρασία σε κάθε σημείο μίας μεταλλικής πλάκας δίνεται από τη συνάρτηση T(, ), όπου (, ) οι συντεταγμένες σημείου της πλάκας ως προς την αρχή των αξόνων. Όταν βρισκόμαστε στο σημείο P(,) προς ποια κατεύθυνση αυξάνεται ταχύτερα η θερμοκρασία, προς ποια κατεύθυνση ελαττώνεται ταχύτερα η θερμοκρασία και προς ποια κατεύθυνση παραμένει αμετάβλητη; Γνωρίζουμε ότι η συνάρτηση παρουσιάζει τη μέγιστη αύξηση στην κατεύθυνση της T. Στο σημείο (-,) η κλίση είναι T T T j ( ) ( ) j j (,) (,) (,) (,) Η κατεύθυνση (φορά) της κλίσης είναι j j u j j 36

37 Η συνάρτηση παρουσιάζει τη μέγιστη μείωση στην κατεύθυνση της T και η φορά της μείωσης είναι u j. Οι κατευθύνσεις που έχουμε μηδενική μεταβολή στο (-,) είναι αυτές που είναι ορθογώνιες στο u δηλαδή ισχύει, είναι οι κατευθύνσεις η j και η j. 7. Η θερμοκρασία σε κάθε σημείο μίας μεταλλικής πλάκας δίνεται από τη συνάρτηση T(, ) e s, όπου (, ) οι συντεταγμένες σημείου της πλάκας ως προς την αρχή των αξόνων. Όταν βρισκόμαστε στο σημείο P(, ) προς ποια κατεύθυνση αυξάνεται ταχύτερα η θερμοκρασία, προς ποια κατεύθυνση ελαττώνεται ταχύτερα η θερμοκρασία και προς ποια κατεύθυνση παραμένει αμετάβλητη; Γνωρίζουμε ότι η συνάρτηση παρουσιάζει τη μέγιστη αύξηση στην κατεύθυνση της T. Στο σημείο (,) η κλίση είναι T T T j (,) ( e s ) ( e s e cos ) j j (,) (,) (,) j j Η κατεύθυνση (φορά) της κλίσης είναι u j j 4 Η συνάρτηση παρουσιάζει τη μέγιστη μείωση στην κατεύθυνση της T και η φορά της μείωσης είναι u j. ΟΙ κατευθύνσεις που έχουμε μηδενική μεταβολή στο (,) είναι αυτές που j j οπότε είναι είναι ορθογώνιες στο u δηλαδή ισχύει, οι κατευθύνσεις η j και η j. 8. Η θερμοκρασία σε κάθε σημείο μίας μεταλλικής πλάκας δίνεται από τη T(, ) e e, όπου (, ) οι συντεταγμένες σημείου της συνάρτηση πλάκας ως προς την αρχή των αξόνων. Με τη χρήση της τιμής του διαφορικού της συνάρτησης στο σημείο P(,l ) για d.και d. προσεγγίστε την τιμή τη θερμοκρασίας στο σημείο P(.,l.). Ισχύει, T e e T e e, οπότε και T e Άρα το διαφορικό της συνάρτησης l (, l ) e 3 l T 5 e l (,l ) e.5 l 37

38 dt T (, l ) (, l ) (,l) d T d Αν μετατοπιστούμε από το σημείο (, ) στο γειτονικό σημείο ( d, d), η προκύπτουσα μεταβολή dt T(, ) d T(, ) d στη γραμμικοποίηση της συνάρτησης είναι το ολικό διαφορικό της T. Οπότε T(.,l.) T(,l ) dt, δηλαδή T e (,l) l (., l.) e l 9. Ο όγκος της κυλινδρικής κονσέρβας σε συνάρτηση με την ακτίνα r και το ύψος h είναι V( r, h) r h. Έστω ότι μία κονσέρβα έχει κατασκευαστεί ώστε να έχει ύψος cm και ακτίνα 5 cm. Από κατασκευαστικό λάθος της μηχανής παραγωγής της κονσέρβας η ακτίνα αλλά και το ύψος είναι διαφορετικά κατά dr.και dh.. Με τη χρήση του διαφορικού της συνάρτησης του όγκου, εκτιμήστε την προκύπτουσα μεταβολή του όγκου της κονσέρβας. Η μεταβολή του όγκου που προκαλείται από μικρές μεταβολές dr και dh δίνεται από το ολικό διαφορικό dv Vrdr Vhdh rhdr r dh για την περίπτωσή μας 3 dv 5(.) 5 (.) cm. Χρησιμοποιήστε το ολικό διαφορικό για να υπολογίσετε την τιμή 3 7. Θεωρούμε τη συνάρτηση. 3 3 f (, ) Από αυτήν εύκολα 3 βρίσκουμε το f (5,) Αυτό που χρειαζόμαστε είναι μία εκτίμηση της αύξησης της f στο (, ) Από το 5 στο 7 δηλαδή d και από το στο δηλαδή d Οπότε df fd f d d d d d 3 3 Αντικαθιστούμε και έχουμε το ζητούμενο df Βρείτε την ελάχιστη απόσταση του σημείου (,,-) από το επίπεδο z 4. Η συνάρτηση απόστασης ενός σημείου από το (,,-) είναι d ( ) ( z ). Όμως 4 d z οπότε η συνάρτηση γίνεται ( ) (6 ). Για λόγους ευκολίας επιλέγουμε να ελαχιστοποιήσουμε την f (, ) ( ) (6 ). 38

39 Πιθανά ακρότατα είναι τα σημεία όπου f f συγχρόνως. f ( ) ( )(6 ) (, ) (, ) f 4(6 ) διότι από την πρώτη 4 44 και αντικαθιστώντας στη δεύτερη έχουμε 5 6 και από την πρώτη πάλι. 3 6 Για να χαρακτηρίσουμε το σημείο βρίσκουμε f 4, f, f 4 οπότε η τιμή της Εσιανής στο σημείο εμπίπτουμε στην περίπτωση όπου f και 5 τοπικό ελάχιστο στο (, ) (, ). 6 3 Η τιμή της απόστασης είναι f f f (4)() 4 4 και f f f που έχουμε d Να βρεθούν τα ολικά ακρότατα της συνάρτησης 5 f (, ) στο τριγωνικό χωρίο του πρώτου τεταρτημόριου που περικλείεται στο τρίγωνο με κορυφές Ο(,), Α(-,), Β(,). B(,) O(,) A(,) Το χωρίο φανερά καθορίζεται από τις ευθείες, και την ευθεία που διέρχεται από τα A(, ) A(,), B(, ) B(,). Για αυτήν ισχύει Εσωτερικά σημεία Η συνάρτηση είναι διαφορίσιμη σε κάθε σημείο του εσωτερικού του τριγωνικού χωρίου οπότε πιθανά ακρότατα είναι τα σημεία όπου f f συγχρόνως. f (, ) (, ) όπου f f (, )

40 Για να χαρακτηρίσουμε το σημείο βρίσκουμε f, f 5, f οπότε η τιμή της Εσιανής στο σημείο εμπίπτουμε στην περίπτωση όπου τοπικό ελάχιστο στο (, ) (, ) με τιμή 3 3 f f f ()(5) 6 και f f f και f, οπότε έχουμε f (, ) Συνοριακά σημεία. Στο ΟΑ όπου η συνάρτηση έχει τύπο f (,) στο. Οπότε είναι σαν να μελετάμε τα ακρότατα μίας συνάρτησης μίας μεταβλητής g( ) ορισμένη στο.στα συνοριακά σημεία έχω g( ) και g() και στα εσωτερικά έχω κρίσιμα σημεία εκεί όπου g '( ), g ''( ) όπου g(). Οπότε από τα παραπάνω έχω τοπικά ακρότατα στα σημεία f(,), f(,). 5. Στο ΟΒ όπου η συνάρτηση έχει τύπο f (, ) στο. Οπότε είναι σαν να μελετάμε τα ακρότατα μίας συνάρτησης 5 μίας μεταβλητής g( ) ορισμένη στο. Στα συνοριακά 3 σημεία έχω g() και g() και στα εσωτερικά έχω κρίσιμα σημεία εκεί όπου g '( ) 5, g ''( ) 5 όπου g( ). 5 5 Οπότε από τα παραπάνω έχω τοπικά ακρότατα στα σημεία 3 f(,), f(, ) Μένει μόνο να εξετάσουμε τα εσωτερικά σημεία του τμήματος ΑΒ. Για η συνάρτηση έχει τύπο 5 3 f (, ) 6 h( ) 6 Θέτοντας h'( ) 6 οπότε αφού h''(,) τοπικό ελάχιστο Για την τιμή αυτή έχουμε και f (, ). Από τα παραπάνω συμπεραίνουμε ότι η ελάχιστη τιμή είναι -/ στ σημεία (,/5) και η μέγιστη στο σημείο (,). 3. Χρησιμοποιείστε το ανάπτυγμα Talor για να βρείτε μία τετραγωνική (δηλαδή δευτέρου βαθμού) προσέγγιση της συνάρτησης f (, ) e στην περιοχή του σημείου (,). Από τον τύπο του Talor για = και (, ) έχουμε 4

41 f (, ) f (,) ( f (,) f (,)) f (,) f (,) f (,)! f ( c, ) 3 f ( c, ) 3 f ( c, ) f ( c, ) 3! Οπότε f (, ) f (,) ( f (,) f (,)) f(,) f (,) f (,)! E(, ) 3 f (, ) 3 (, ) 3 (, ) 3 c f c f c f ( c, ) 3! είναι το σφάλμα. Έχουμε λοιπόν f (,) e, f (,), Και (,) (,) f (,) e, f (,) e, (,) (,) f (,) e, f (,) e, (,) (,) Οπότε στην περιοχή του (,). e ( ) ( ()) 4. Χρησιμοποιείστε το ανάπτυγμα Talor για να βρείτε μία τετραγωνική (δηλαδή δευτέρου βαθμού) προσέγγιση της συνάρτησης f (, ) e cos στην περιοχή του σημείου (,) για να προσεγγίσετε τη συνάρτηση στο σημείο (.,.). Από τον τύπο του Talor για = και (, ) έχουμε f (, ) f (,) ( f (,) f (,)) f (,) f (,) f (,)! f ( c, ) 3 f ( c, ) 3 f ( c, ) f ( c, ) 3! Οπότε f (, ) f (,) ( f (,) f (,)) f(,) f (,) f (,)! E(, ) 3 f (, ) 3 (, ) 3 (, ) 3 c f c f c f ( c, ) 3! είναι το σφάλμα. Έχουμε λοιπόν f (,) e cos, f (,) e cos, Και (,) (,) f (,) e cos, f (,) e s, (,) (,) f (,) e s, f (,) e cos, (,) (,) Οπότε e cos ( ) ( ( )) ( ) 4

42 στην περιοχή του (,) και τελικά f (.,.). (.. ).. 5. Βρείτε το μέγιστο δυνατό εμβαδό ορθογωνίου παραλληλογράμμου το οποίο έχει περίμετρο μέτρα. : Έχουμε στην ουσία ένα πρόβλημα εύρεσης ακρότατων της συνάρτησης f (, ) όταν ισχύει η συνθήκη. Θεωρώ τη συνάρτηση F(, ) Έχω οπότε να λύσω το σύστημα: F(, ) F(, ) F(, ) Από όπου έχω 5. Από όπου έχουμε ή 5, 5 κρίσιμο σημείο για τα οποία έχουμε f 5,5 5 Οπότε η το μέγιστο εμβαδό είναι 5, διότι εάν θεωρήσω άλλο ζευγάρι, το οποίο να δίνει περίμετρο π.χ. 6,4 τότε το εμβαδό είναι Βρείτε την ελάχιστη δυνατή περίμετρο ορθογωνίου παραλληλογράμμου το οποίο έχει εμβαδό 5 τετραγωνικά μέτρα. : Έχουμε στην ουσία ένα πρόβλημα εύρεσης ακρότατων της συνάρτησης f (, ) όταν ισχύει η συνθήκη 5 5. Θεωρώ τη συνάρτηση F(, ) 5 Έχω οπότε να λύσω το σύστημα: F(, ) F(, ) F(, ) 5 Από όπου έχω. 4

43 Για έχουμε αρνητικά, κάτι που δεν μπορεί να ισχύει. 5 Για έχουμε 5, 5 κρίσιμο σημείο για το οποίο έχουμε 5 f 5,5 Οπότε η ελάχιστη περίμετρος είναι, διότι εάν θεωρήσω άλλο ζευγάρι, το οποίο να δίνει εμβαδό 5 π.χ. 6.5,4 τότε η περίμετρος είναι Βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης f (,, z) z όταν ισχύει η συνθήκη z. : Έχουμε στην ουσία ένα πρόβλημα εύρεσης ακρότατων της συνάρτησης f (,, z) z όταν ισχύει η συνθήκη z. Θεωρώ τη συνάρτηση F(,, z) z z Έχω οπότε να λύσω το σύστημα: F(,, z) F(,, z). F(,, z) z z F(,, z) z Από την πρώτη εξίσωση έχουμε ότι,από τη δεύτερη και από την πρώτη και τρίτη z. Αντικαθιστώντας στην 4 η εξίσωση έχουμε Για έχουμε αρνητικά z Για έχουμε αρνητικά z f,, και f,, και Οπότε η μέγιστη τιμή της συνάρτησης είναι στο σημείο ελάχιστη - στο σημείο,,.,, και η 8. Βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης f (,, z) όταν ισχύει η συνθήκη z 5. 43

44 : Έχουμε στην ουσία ένα πρόβλημα εύρεσης ακρότατων της συνάρτησης f (,, z) όταν ισχύει η συνθήκη z 5. Θεωρούμε τη συνάρτηση F(,, z) z 5. F(,, z) F(,, z) Έχω οπότε πρέπει να λύσουμε το σύστημα: F(,, z) 4z z F(,, z) z 5 Από την τρίτη εξίσωση (λόγω της ης και ης ) έχουμε ότι και z. Από την πρώτη και δεύτερη. Αντικαθιστώντας στην 4 η εξίσωση 5 έχουμε Για έχουμε αρνητικά,, z και f,, 4 5 Για έχουμε αρνητικά,, z και f,, 4 5 Οπότε η μέγιστη τιμή της συνάρτησης είναι 5 στο σημείο,, και η ελάχιστη -5 στο σημείο,,. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Το παρόν υλικό δεν αποτελεί αυτόνομο διδακτικό υλικό, βασίζεται στο σύγγραμμα που διανέμεται και στην προτεινόμενη βιβλιογραφία του μαθήματος. Το περιεχόμενο του αρχείου απλά αποτελεί περίγραμμα των παραδόσεων του μαθήματος. Αποτελούν τις διαφάνειες της διδασκαλίας μαθήματος από το διδάσκοντα για δική του χρήση και παρακαλώ να μη χρησιμοποιηθεί και να μην αναπαραχθεί και διανεμηθεί για άλλο σκοπό. Ιδιαίτερα παραδείγματα και σχήματα έχουν αντληθεί από τα συγγράμματα :. Thomas Calculus th edto, Wer, Hass, Jordao, Pearso AW. Thomas Απειροστικός Λογισμός, Fe, Hass, Jordao, Πανεπιστημιακές εκδόσεις Κρήτης 3. Ανώτερα Μαθηματικά ΙΙ για Μηχανικούς Α. Αθανασιάδη Εκδόσεις Τζιόλα. Και υπόκεινται στο Coprght των εκδόσεων αυτών. 44