ΑΣΚΗΣΗ 1 - ΔΙΚΤΥΩΤH KATAΣΚΕΥΗ

Transcript

1 ΑΣΚΗΣΗ - ΔΙΚΤΥΩΤH AAΣΚΕΥΗ Η αρθρωτή κατασκευή του σχήματος έπρεπε να απαρτίζεται από τρείς όμοιες μεταλλικές ράβδους, μήκους η κάθε μία με ΕΑ σταθ. και θεωρούμενες ως αβαρείς, οι οποίες να συναντώνται στον κοινό κόμβο σύνδεσής τους υπό γωνίες 0 ο. Ωστόσο, η ράβδος κατασκευάσθηκε κατά ένα μήκος δ mm πιό βραχεία. Αποφασίσθηκε κατάλληλη τάνυση των ράβδων προκειμένου να καλυφθεί το κενό δ και να υλοποιηθεί η σύνδεσή τους. Λόγω της έντασης που αναπτύσσεται μετά την υλοποίηση της σύνδεσης, να υπολογισθούν οι δυνάμεις των ράβδων. Επίλυση Στο σχήμα φαίνεται η υλοποίηση της διαδικασίας σύνδεσης της ράβδου με τις ήδη ενωμένες και. Αρχικά συνδέεται η ράβδος με τις και στον κοινό κόμβο τους και στη συνέχεια τανύεται το άνω άκρο της κατά δ προκειμένου να συνδεθεί στην ακλόνητη στήριξη.

2 Στην περίπτωση αυτή ο κοινός κόμβος των τριών ράβδων θα μετατεθεί προς τα άνω κατά άγνωστο μήκος δ. Στο σχήμα φαίνεται η αρίθμηση μελών, κόμβων και βαθμών ελευθερίας τους για την εφαρμογή της μεθόδου άμεσης δυσκαμψίας. Η φόρτιση του φορέα είναι γνωστή επιβαλλόμενη κατακόρυφη μετάθεση του κόμβου κατά u δ mm. Η μοναδική άγνωστη μετακίνηση θα είναι η u δ. Λόγω στηρίξεων και συμμετρίας του φορέα ως προς κατακόρυφο άξονα αυτόν της ράβδου, οι λοιποί βαθμοί ελευθερίας του μητρώου είναι μηδενικοί. Μηδενικές επίσης είναι οι τιμές των φορτίων των βαθμών ελευθερίας του κόμβου στο μητρώο των εξωτερικών επικόμβιων φορτίων Ρ. Μητρώα και [ 0 0], [ 0 δ u ] () Μητρώα Κ Το μητρώο δυστένειας στοιχείου δικτυώματος στο απόλυτο σύστημα συντεταγμένων δίνεται από τη σχέση: c cs c cs EA cs s cs s s sinθ, () c cs c cs c cosθ cs s cs s όπου για την κατασκευή του σχήματος είναι: Μέλος θ ( ο ) s (sinθ) c (cosθ) (-δ) ή εάν δ Επομένως, τα μητρώα δυστένειας των τριών μελών στο απόλυτο σύστημα ΧΥ είναι:

3 EA, δ EA EA () Κατόπιν της υπέρθεσης των Κ, Κ και Κ προκύπτει το συνολικό μητρώο Κ της κατασκευής στο απόλυτο σύστημα. Στις σχέσεις () φαίνονται σκιασμένες οι περιοχές των κοινών βαθμών ελευθερίας για τη διαδικασία της υπέρθεσης δ δ EA fs δ δ kfs ff kff () Η μοναδική άγνωστη μετακίνηση είναι η u του κόμβου. Ωστόσο, επειδή από τις λοιπές γνωστές μετακινήσεις υπάρχει μία μή μηδενική, η u δ mm του κόμβου, το μητρώο της σχέσης () διαμερίζεται στην παρακάτω μορφή, κατόπιν μετάθεσης της ης γραμμής και ης στήλης στο άνω και αριστερό τμήμα του, αντίστοιχα. Η διαδικασία της διαμέρισης δεν είναι απαραίτητη, ως χρονοβόρας, βάσει των γενικών κανόνων γραμμών και στηλών που έ-

4 χουν διατυπωθεί στην. των σημειώσεων (βλ. φυλλάδιο Νο ). Απλά, εδώ παρατίθεται για λόγους εποπτείας και μόνο. Στη σχέση () σημειώνονται με διακεκομένα πλαίσια οι όροι των υπομητρώων ff και fs που εμπλέκονται στη σχέση () των προαναφερομένων σημειώσεων, η οποία θα χρησιμοποιηθεί παρακάτω. Ετσι, η διαμέριση του μητρώου Κ θα πάρει τη μορφή που ακολουθεί δ ff δ fs δ δ ff fs EA sf ss sf ss 0 () Ο ανάλογος διαμερισμός των μητρώων Ρ και έχει ως ακολούθως. [ 0] [ 0] f s, [ u ] [ 0 δ ] f s () Υπολογισμός αγνώστων μετακινήσεων Εφαρμόζεται η σχέση () των σημειώσεων. Στα μητρώα Ρ, Κ και των σχέσεων () και () φαίνονται σκιασμένες οι περιοχές που εμπλέκονται στη σχέση αυτή. EA EA EA f ff ( f fs s ) u + 0 δ δ δ u δ δ ή u δ δ... mm δ / () Η προσεγγιστική λύση δ/ θα μπορούσε να επιτευχθεί απ ευθείας εάν το μήκος του μέλους στο μητρώο Κ είχε τεθεί αντί του πραγματικού δ. Υπολογισμός δυνάμεων ράβδων Απόλυτο σύστημα Καθ όσον τα μητρώα Κ, Κ και Κ έχουν συνταχθεί στο απόλυτο σύστημα συντεταγμένων,

5 οι δυνάμεις των ράβδων υπολογίζονται στο σύστημα αυτό μέσω των σχέσεων Ρi Κi i, i,,, όπου: δ [ 0 u ( δ ) 0 u ( δ) ] 0 0 δ δ / δ [ u ( δ )] δ / () δ [ u ( δ )] δ / Ετσι, προκύπτουν (οι άνω δείκτες σε παρενθέσεις δηλώνουν τους αριθμούς των μελών): () () () () δ / δ / () () () () δ / δ / δ / δ / (9) () () () () δ / δ / δ / δ /

6 Ελεγχος ισορροπίας ελεύθερου κόμβου ( δ ( δ () () () FX () () () FY ( δ / ) ( δ / ) ( δ / ) Δυνάμεις ράβδων σε απόλυτο και τοπικά συστήματα συντεταγμένων Στο σχήμα του ακολουθεί φαίνονται οι φορές των δυνάμεων των ράβδων στο απόλυτο σύστημα συντεταγμένων ΧΥ (κόκκινο χρώμα) και στα τοπικά κάθε μέλους (μπλέ χρώμα). Στα δεύτερα, οι βαθμοί ελευθερίας ανά μέλος αριθμούνται ως (,,, ). Οι δυνάμεις στα τοπικά συστήματα προκύπτουν: (α) με προβολή των κατά Χ και Υ συνιστωσών των Ρi από τις (9) στους άξονες - και - κάθε μέλους, ή (β) ως i i i, i,,, όπου: ci si 0 0 si c 0 0 i () i () i () i () i i, i, i,, 0 0 ci s (0) i 0 0 si ci () ( δ () () ( δ () () ) / () () () ( δ ( δ ( δ () ( δ Ετσι, προκύπτει: () ) () ( δ () ( δ / () () ( δ ) / () ) / () ) / () () () () () () () () () () () () δ / δ / ()

7 Επομένως, και οι τρείς ράβδοι εφελκύονται με δύναμη μέτρου ( δ, ή κατά προσέγγιση θεωρώντας το δ σε σχέση με το μήκος.