ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Transcript

1 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 4 Φεβρουαρίου 006 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας από τον Φοιτητή: 7 Μαρτίου 006 Οι ασκήσεις της εργασίας αυτής αφορούν στα επόµενα Κεφάλαια του συγγράµµατος του ΕΑΠ «Λογισµός Μιας Μεταβλητής» του Γ. άσιου : Κεφάλαιο 4 (Όριο και Συνέχεια Συνάρτησης) Κεφάλαιο 5 (Η παράγωγος) Κεφάλαιο 6 (Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού) Κεφάλαιο 7 (Ακρότατα) Κεφάλαιο 8 (Το ανάπτυγµα Taylor) Βοηθητικό υλικό: Mπορείτε να συµβουλευθείτε το υλικό που υπάρχει στη διεύθυνση Από το ΣΕY (Συνοδευτικό Εκπαιδευτικό Υλικό) : o Συναρτήσεις o Όρια και Συνέχεια o Σειρές o Παράγωγοι o Θεωρήµατα ιαφορικού Λογισµού o Σειρές Taylor.

2 Άσκηση. (5 µονάδες) Α) ( µον.) Να υπολογίσετε τα επόµενα όρια : + (i) lim, 4 (ii) lim ( ) a , για τις διάφορες τιµές της πραγµατικής παραµέτρου α. (iii) lim 4 B) ( µον.) Προσδιορίστε τις τιµές των πραγµατικών παραµέτρων α, b ώστε να είναι συνεχής στο σύνολο των πραγµατικών αριθµών η επόµενη συνάρτηση : + a+ b 0, f( ) 4 5/ 4, Λύση Α) (i) Πολλαπλασιάζοντας αριθµητή και παρονοµαστή µε τις συζυγείς παραστάσεις τους έχουµε : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 4) ( + + ) ( 4) ( + + ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim lim lim lim lim (ii) Εξετάζουµε πρώτα κάτω από ποιους περιορισµούς ορίζεται η υπόριζη ποσότητα a + + (προφανώς για την θετική + δεν υπάρχει κανένας περιορισµός). Παρατηρούµε ότι αν α<0, τότε, για +, και το τριώνυµο a + +, ως οµόσηµο του α, είναι αρνητικό. Έτσι η υπό µελέτη συνάρτηση δεν θα ορίζεται και το ζητούµενο όριο δεν έχει νόηµα. Αν α 0, έχουµε: lim ( a ) lim a lim lim a ( ) ( a ) , αν α > ( + ) ( a ), αν 0 α < απροσδιοριστο, αν α Η απροσδιοριστία που εµφανίζεται στην τελευταία περίπτωση (α) απαιτεί διαφορετική προσέγγιση :

3 ( + + ) ( + ) ( ) ( ) ( + + ) + ( + ) ( ) Σηµειώστε εδώ ότι στα προηγούµενα ισχύει ότι, αφού + και άρα µπορεί να θεωρείται θετικό. Έτσι, σε αυτήν την περίπτωση το ζητούµενο όριο γίνεται : ( a ) lim lim ( ) lim (iii) ( + ) + lim lim lim 4 ( )( + ) ( )( + ) lim lim ( )( ) + ( )( + ) 0 ή και πιο γρήγορα : lim ( + ) B) Για να είναι η f συνεχής στο σύνολο των πραγµατικών αριθµών, όπως απαιτείται στην εκφώνηση, θα πρέπει: - Να ορίζεται στο σηµείο -, το οποίο είναι ρίζα του παρονοµαστή. Για να συµβαίνει αυτό θα πρέπει το - να είναι ρίζα και του αριθµητή, ώστε ο παράγοντας (+) να απλοποιηθεί. Άρα πρέπει: ( ) a+ b 0 0 a+ b 6 b + a - Ανάλογα, και το θα πρέπει να είναι ρίζα του αριθµητή: + a+ b 0 0 a+ b 6 b a Οι παραπάνω σχέσεις δίνουν : a-8, b5. Ο τύπος της συνάρτησης εποµένως γίνεται : ( 4) Εποµένως, 5 lim f( ) lim( ) 4, 4 και η συνάρτηση δεν µπορεί να είναι συνεχής στο.

4 Άσκηση. (0 µονάδες) Α) (8 µον.) Υπολογίστε τις παραγώγους των επόµενων συναρτήσεων : (i) ln + sin (ii) cos+ (iii) ( ) ( + ) (iv) e cos( ) + b+ c, αν [,0) B) ( µον.) ίνεται η f( ) a , αν [0,] Να προσδιοριστούν τα abc,, R ώστε η f να ικανοποιεί τις συνθήκες του θεωρήµατος Rolle στο [,]. Λύση Α) (i) y ln + (ii) ( ) ( ) ( ) ( + ) ( + ) dy d ( + ) ( + ) sin sin ( cos + ) ( cos ) + ( ) ( ) cos + (cos ) + 6 cos sin+ (sin ) ( ) sin cos sin 4 6 cos sin+ cos sin 4 (iii) / [( + ) ( )]' ( + ) ( ) [(( + ) ( )) ] + ( ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) [( ) ]'( ) ( ) ( ) ' ( ) ( ) '( ) ( ) ( ) ' ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (( ) ( )) (4 5) +, >. 4

5 (iv) + cos( ) cos( ) cos( ) ( e ) ( ) e ( e ) cos( ) cos( ) e + e ( cos( )) e + e cos( ) cos( ) (cos( )) cos( ) cos( ) cos( ) sin( ) e + e cos( ) e e cos( ) cos( ) sin( ) cos( ) B) Πρώτα από όλα η συνάρτηση θα πρέπει να είναι συνεχής στο διάστηµα [,]. Εφόσον είναι συνεχής ως πολυωνυµική σε καθένα από τους κλάδους της θα εξετάσουµε τι γίνεται στο 0 : lim f( ) c, lim f( ) 4, f(0) Οπότε πρέπει c 4. εύτερη προϋπόθεση είναι η παραγωγισιµότητα στο διάστηµα (,). Εφόσον είναι παραγωγίσιµη ως πολυωνυµική σε καθένα από τους κλάδους της θα εξετάσουµε τι γίνεται στο 0. f ( ) f(0) f( ) f(0) Για να είναι παραγωγίσιµη στο 0 θα πρέπει lim lim Έχουµε : 4 f( ) f(0) c + b+ 4 4 lim lim lim( + b) b επίσης f( ) f(0) a lim lim lim ( a + 4) Οπότε b 4. Τέλος, θα πρέπει f ( ) f (). f bc, 4 ( ) ( ) + 4( ) + 4 f() a a+ 8 Συνεπώς a+ 8 a 7. 5

6 Άσκηση (5 µονάδες) Α) (9 µον.) Χρησιµοποιώντας τον κανόνα L Hospital να υπολογιστούν τα επόµενα όρια: sin ln(sin( )) e e (i) lim (ii) lim 0+ ln(sin( )) 0 cos (iii) lim 0 B) (6 µον.) Να βρεθούν το πεδίο ορισµού και τα ακρότατα της συνάρτησης e και στη συνέχεια να δειχθεί ότι (0, + ) ισχύει e. Λύση Α) (i) lim lim lim ln(sin( )) (ln(sin( ))) 0+ ln(sin( )) 0+ (ln(sin( ))) 0+ (sin( )) sin( ) (sin( )) sin( ) ln( ) f( ) cos( ) sin( ) cos( ) sin( ) lim lim ( ) cos( ) sin( ) cos( ) sin( ) lim ( )lim ( ) cos( ) sin( ) 0+ cos( ) 0+ sin( ) lim lim (sin( )) cos( ) 0+ (sin( )) 0+ cos( ) (ii) lim ( ) 0 0 cos ( cos ) lim lim lim ( + cos ) sin 0 0 ( ( cos )) ( cos ) + sin + cos lim lim ( sin ) cos 0 ( ( cos ) + sin ) 0 ( cos ) + sin + sin + cos lim lim ( cos ) sin 0 (( cos ) + 4sin + cos ) 0 sin + 4sin + 4cos + cos sin lim lim (sin ) cos (6 sin + 6 cos sin ) 6 cos + 6 cos 6 sin sin cos

7 (iii) Εφαρµόζουµε τρεις φορές τον κανόνα de l Hospital : sin 0/0 sin e e e e cos lim lim 0 0 0/0 sin sin e e (cos ) + e sin lim 0 6 0/0 sin sin sin e e (cos ) + e cos sin + e cos lim B) Η συνάρτηση f ορίζεται και είναι παραγωγίσιµη στο διάστηµα (0, + ) µε παράγωγο: [ ln( ) ]' ln( ) ' / ln( ) ln( ) f '( ) Πιθανά σηµεία ακρότατων είναι τα σηµεία που µηδενίζεται η παράγωγος : ln( ) f '( ) 0 0 ln( ) 0 ln( ) ln( e) e. Επίσης υπάρχει η δεύτερη παράγωγος [ ln( ) ]' ( ln( ))( )' f ''( ) 4 ( ln( )) + ln( ) ln( ) 4 4 Οπότε f ''( e) < 0 συνεπώς στο σηµείο e έχουµε τοπικό µέγιστο της f µε e Αυτό σηµαίνει ότι (0, + ) ισχύει ln( ) f ( ) f( e) eln( ) e e e e e e ln( ) e ln( ), αφού η συνάρτηση e είναι αύξουσα. f() e. e 7

8 Άσκηση 4 (0 µονάδες) 4 ίνεται η συνάρτηση f( ) 8. Να προσδιορίσετε : (i)τα διαστήµατα του πεδίου ορισµού της στα οποία είναι α) αύξουσα, β) φθίνουσα. (ii) Τα ακρότατά της. (iii) Τα διαστήµατα του πεδίου ορισµού της στα οποία είναι α) κοίλη προς τα πάνω, β) κοίλη προς τα κάτω. (iv) Τα σηµεία καµπής (v) Τα σηµεία τοµής της γραφικής παράστασής της µε τους άξονες σε ένα ορθοκανονικό σύστηµα συντεταγµένων Oy. Χρησιµοποιώντας τα παραπάνω στοιχεία δώστε µία γραφική παράσταση της συνάρτησης. Λύση (i) Παρατηρούµε ότι : 4 f( ) 8 f ( ) και, ( ) ( )( ) ( ) 6. Άρα, η αν f f ( ) > 0 < < 0 ή > και f ( ) < 0 αν < και 0< <. Εποµένως, η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στα διαστήµατα (,0) και (, + ) και γνησίως φθίνουσα στα διαστήµατα (, ) και ( 0, ). (ii) Για τα ακρότατα : f ( ) 0 0, ή. < ( 0, ) > (, 9) > (, 9) Για 0 η f ( ) 6 0 άρα το σηµείο Για η f ( ) 0 άρα το σηµείο Για η f ( ) 0 άρα το σηµείο είναι τοπικό µέγιστο. είναι τοπικό ελάχιστο. είναι τοπικό ελάχιστο. (iii)-(iv) Στα σηµεία καµπής πρέπει να ισχύει ότι f ( ) 0 και f ( ) 0. 4 Εποµένως, f ( ) 6 0 ±, 07 στα οποία η f ()4 δεν µηδενίζεται. Άρα τα σηµεία, 9 και 07, 9 είναι σηµεία καµπής. Η συνάρτηση στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω στο διάστηµα,, όπου f < 0, και τα κοίλα προς τα πάνω στα διαστήµατα, και, +, όπου f > 0. 8

9 4 (v) Η συνάρτηση τέµνει τον άξονα των στα σηµεία όπου f( ) 8 0. Θέτοντας y και λύνοντας τη δευτεροβάθµια εξίσωση που προκύπτει : y 8y 0 8± 76 βρίσκουµε y y (θετική) πρώτη για την οποία παίρνουµε : 8.6 άρα ±.89. Άρα τα σηµεία.89,0.89,0 ενώ τον άξονα των y το 8.6 η Προφανώς δεκτή τιµή είναι µόνο η τοµής µε τον άξονα των είναι τα ( ) και ( ) σηµείο ( 0, ). Από την παραπάνω µελέτη προκύπτει η ακόλουθη µορφή της γραφικής παράστασης της συνάρτησης : 9

10 Άσκηση 5. (0 µονάδες) A) (5 µον.) Ένας άνδρας βρίσκεται σε µία βάρκα στη θάλασσα (σε ένα σηµείο Α) η οποία απέχει χλµ. από το πιο κοντινό σηµείο Β µιας ευθύγραµµης ακτής. Σκοπός του είναι να φτάσει στο συντοµότερο δυνατό χρόνο στο σηµείο της ακτής, το οποίο απέχει από το Β χλµ. Σε ποιο σηµείο της ακτής πρέπει να αποβιβαστεί αν κωπηλατεί µε χλµ/ώρα ενώ βαδίζει µε 4 χλµ/ώρα ; (Υποθέτουµε ότι η κίνηση τόσο στη θάλασσα όσο και στη στεριά είναι ευθύγραµµη οµαλή όπου ταχύτητα διάστηµα / χρόνος) B) (5 µον.) Ένα ορθογώνιο φύλλο χαρτιού που χρησιµοποιείται για την κατασκευή αφίσας έχει εµβαδόν 80 cm. Τα περιθώριά του πάνω και του κάτω µέρους του χαρτιού είναι 7.5 cm ενώ τα πλευρικά περιθώρια 5 cm. Ποιες πρέπει να είναι οι διαστάσεις του χαρτιού ώστε η τυπωµένη επιφάνεια είναι µέγιστη ; Λύση Α) Α Καταρχήν τόσο η τροχιά της βάρκας στη θάλασσα όσο και του πεζού στην ακτή πρέπει να είναι ευθεία ώστε να είναι η µικρότερη δυνατή. Έστω ότι αποβιβάζεται στο σηµείο Γ της ακτής και ΒΓ. Τότε έχουµε αφού ΑΒ από την υπόθεση Εποµένως, Γ. ΑΓ +, από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ Ο χρόνος που χρειάζεται ο άνθρωπος για να καλύψει κωπηλατώντας την τροχιά ΑΓ είναι + T ΑΓ ενώ για να περπατήσει την απόσταση Γ T Γ. Οπότε ο συνολικός 4 + απαιτούµενος χρόνος δίνεται από τη συνάρτηση T( ) +, 0. 4 Πρέπει να βρούµε την τιµή του ώστε η συνάρτηση T() να γίνει ελάχιστη. Βρίσκουµε την πρώτη παράγωγο: + T'( ) Β Γ, Οι ρίζες της T'( ) είναι πιθανά ακρότατα. Η δευτεροβάθµια αυτή εξίσωση έχει ρίζες / και /. Από τις οποίες γίνεται αποδεκτή η θετική (αφού εκφράζει µήκος). Η δεύτερη παράγωγος της είναι : 0

11 ' ( ) T''( ) ( + ) ( + ) , 0, ( + ) ( + ) ( + ) + και εφόσον T ''( / ) /6 > 0 η τιµή / αποτελεί τοπικό ελάχιστο της συνάρτησης του χρόνου. Για να δούµε αν το σηµείο αυτό είναι ολικό ελάχιστο, θα πρέπει να ελέγξουµε και τις τιµές της Τ() στα άκρα του πεδίου ορισµού της. Πράγµατι, και οι δύο τιµές T(0).5, T().58 είναι µεγαλύτερες από το T ( / ).8, άρα στο / η υπό µελέτη συνάρτηση παρουσιάζει ολικό ελάχιστο. Εποµένως ο κωπηλάτης πρέπει να αποβιβαστεί στο σηµείο Γ σε απόσταση ΒΓ / km. B) Έστω το µήκος του poster και y το ύψος του σε cm. Τότε θα ισχύει ότι y80, άρα y80/. Αν λάβουµε υπόψη µας τα περιθώρια που δίνονται στην εκφώνηση, η τυπωµένη επιφάνεια θα έχει αντίστοιχες διαστάσεις : Μήκος -(5+5) -0, Ύψος ( ) 5 Ζητάµε την µεγιστοποίηση της τυπωµένης επιφάνειας, άρα της συνάρτησης : f( ) ( 0)( 5) , (0, + ). Η παράγωγός της είναι : f ( ) η οποία µηδενίζεται όταν , 5 αφού το είναι σε κάθε περίπτωση θετικό ως µήκος. Για < 0, η f ( ) γίνεται θετική και η συνάρτηση f ( ) αύξουσα, ενώ για > 0, έχουµε f ( ) < 0 και την f ( ) φθίνουσα. Συνεπώς, στην θέση αυτή η f() παρουσιάζει ολικό µέγιστο. Έτσι οι ζητούµενες διαστάσεις του χαρτιού είναι : Μήκος 0, Ύψος y 80/ 0

12 Άσκηση 6. (0 µονάδες) Α) (0 µον.) Αναπτύξτε σε σειρά Taylor κέντρου 0 τη συνάρτηση : f ( ) e a και βρείτε προσεγγιστικά την τιµή του e - µε ακρίβεια 5 δεκαδικών ψηφίων. (Υπόδειξη : Αν προσεγγίσουµε µία εναλλάσσουσα σειρά, n µερικό άθροισµα ( ) an, k n 0 + n 0 n ( ) a, a > 0, µε το το σφάλµα που προκύπτει δεν υπερβαίνει (κατ απόλυτη τιµή τον πρώτο όρο που αγνοούµε, δηλαδή τον όρο ak+). Β) (0 µον.) Υπολογίστε το όριο lim( ) 0 e (i) Με χρήση του κανόνα de l Hospital (ii) Χρησιµοποιώντας το ανάπτυγµα Taylor της συνάρτησης f ( ) e, γύρω από το 0. Πόσους όρους πρέπει να κρατήσουµε στο ανάπτυγµα αυτό, ώστε να υπολογίσουµε το όριο µε ακρίβεια 0.00 ; n n Λύση + ( n) f (0) n Α) Η f() αναπτύσσεται σε σειρά Taylor κέντρου 0 ως εξής : f ( ). n 0 n! Πρέπει εποµένως να υπολογιστεί ένας γενικός τύπος για την n-οστή παράγωγο της f στο µηδέν. Παρατηρούµε όµως ότι : a a f ( ) ( e ) ae, f ae a e a a ( ) ( ), f a e a e a a ( ) ( ), a ( ) ( ), (4) 4 a f a e a e... Θα αποδείξουµε επαγωγικά ότι ο τύπος ( f n) ( ) ( ) n a n e a ισχύει για κάθε n φυσικό. Πράγµατι, Για n ισχύει αφού ήδη είδαµε ότι f ( ) ( ) ae a. ( k Υποθέτουµε ότι ισχύει για nk : ) k k a f ( ) ( ) a e. Τότε ισχύει και για n k+ αφού ( + ) ( ) f ( ) ( f ( )) (( ) a e ) ( ) a ( e ) ( ) a ( a) e ( ) a e k k k k a k k a k k a k+ k + a Έτσι, το ανάπτυγµα Taylor της f() µε κέντρο 0 θα είναι : + n n a0 + n n a ( ) ae n ( ) a n. f ( ) e n! n! n 0 n 0 Θέτοντας α στον προηγούµενο τύπο έχουµε :

13 + n ( ) e. n 0 n! Πρόκειται δηλαδή για µία εναλλάσσουσα σειρά. Σύµφωνα µε την υπόδειξη, αν κρατήσουµε k-όρους, το σφάλµα προσέγγισης δεν θα ξεπερνάει την απόλυτη τιµή του k + ( ) επόµενου (k+) όρου : ( k + )! ( k + )!. Για να επιτύχουµε λοιπόν ακρίβεια 5 δεκαδικών ψηφίων αρκεί : 5 < 0. ( k + )! Με δοκιµές παρατηρούµε ότι : 5 Για k0, > 0,! 5 Για k, > 0,! 5 Για k, > 0,! 6 5 Για k, > 0, 4! 4 5 Για k4, > 0, 5! 0 5 Για k5, > 0, 6! 70 5 Για k6, > 0, 7! Για k7, > 0, 8! Για k8, < 0. 9! 6880 Έτσι, η επιθυµητή ακρίβεια επιτυγχάνεται αν κρατήσουµε στο ανάπτυγµα του e - όρους µέχρι τάξης 8 : 8 n ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) e n 0 n!!!! 4! 5! 6! 7! 8! Η τιµή αυτή έχει πράγµατι την απαιτούµενη ακρίβεια, αφού ένας υπολογισµός της τιµής του e - µε κάποιο υπολογιστή τσέπης δίνει : Άρα το σφάλµα της προσέγγισής µας είναι : < 0-5

14 B) (i) Χρησιµοποιώντας κανόνα L Hospital έχουµε : ( e ) ( e e e ) lim 0 ( ) lim lim 0 0 lim e e + e 0 e ( ) e + e lim 0 e e ( + ) ( ) ( ) 4 (ii) Χρησιµοποιώντας τη γνωστή σειρά : e , παίρνουµε :!! 4! 4 4 ( ) e!! 4!!! 4! e ( e ) (( ) ) !! 4!!! 4! !! 4! !! 4! !! 4!!! 4! Συνεπώς, !! 4!! lim( ) 0 lim e ! !! 4! Εάν θεωρήσουµε e ή e θεωρήσουµε τρεις όρους στο άθροισµα +καταλήγουµε σε έκφραση της µορφής e + + τότε! 0 0.Eάν ( + + ) e!! e ( e ) (( + + ) ) +!! 0!! + +!! Οπότε αρκούν όροι για να έχουµε ακριβή υπολογισµό του ορίου. 4

15 Άσκηση 7. (0 µονάδες) Α) (0 µονάδες) Βρείτε µια ρίζα της εξίσωσης + στο διάστηµα [,4] ακολουθώντας τα εξής βήµατα : (i) Χρησιµοποιώντας το Θεώρηµα Ενδιάµεσης Τιµής (Bolzano), σύµφωνα µε το οποίο αν µια συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστηµα [α,β] και f(α)f(β)<0, τότε η f έχει ρίζα στο διάστηµα (α,β) [δείτε και το βιβλίο σας σελ. 58], αποδείξτε ότι η ως άνω εξίσωση έχει ρίζες στο διάστηµα (,4). (ii) Ελέγξτε την µονοτονία των εµπλεκόµενων συναρτήσεων για να αποδείξετε ότι η ρίζα αυτή είναι µοναδική. (iii) Χρησιµοποιώντας τη διαδικασία που περιγράφεται στις σελίδες 9-95 του βιβλίου σας, προσδιορίστε τη ρίζα µε ακρίβεια 4 δεκαδικών ψηφίων (Β) (0 µονάδες.) Να δοθεί προσέγγιση της ρίζας µε ακρίβεια 8 δεκαδικών ψηφίων µε χρήση του Matlab/Octave. Το τελευταίο ερώτηµα µπορεί να λυθεί στον υπολογιστή σας µε τη βοήθεια του MATLAB ή του προγράµµατος «κλώνου» του Octave µε τις ίδιες εντολές. Το MATLAB είναι εµπορικό προϊόν και δεν διατίθεται δωρεάν. Η Octave διατίθεται δωρεάν και µπορεί να κατέβει από το Η έκδοση που θα πρέπει να κατεβάσετε είναι binary για windows και το αρχείο octave-..50ainst.ee µε µέγεθος περίπου 7.5 ΜΒ. Η εγκατάσταση γίνεται απλά µε διπλό πάτηµα του αρχείου. Μπορείτε να συµβουλευθείτε την ιστοσελίδα της θεµατικής µας ενότητας όπου υπάρχει υλικό σχετικό µε το MATLAB. Βοήθεια για τη χρήση µίας εντολής, π.χ. της inv( ) µπορεί να βρεθεί µε τη χρήση της εντολής help inv Στην περίπτωση που χρησιµοποιήσετε MATLAB η µεταφορά των εντολών σας αλλά και των αποτελεσµάτων σε κειµενογράφο γίνεται εύκολα µε αντιγραφή και επικόλληση. Για το Octave, που δεν είναι φτιαγµένο ειδικά για Microsoft Windows, προτείνουµε την εξής διαδικασία: ηµιουργείστε ένα φάκελο στον σκληρό δίσκο του υπολογιστή σας µε όνοµα της επιλογής σας π.χ. workplace. Αν ο σκληρός σας δίσκος είναι ο C: εκτελέστε στην octave την εντολή cd c:\workplace Μετά την εκτέλεση της εντολής diary namefile.tt ότι πληκτρολογείτε και ότι εµφανίζεται στην Octave γράφεται στο αρχείο namefile.tt. Φυσικά µπορείτε να διαλέξετε ότι όνοµα αρχείου θέλετε αλλά καλό είναι να βάλετε την επέκταση tt ώστε το αρχείο να µπορεί να ανοιχτεί µε έναν editor όπως το notepad. Για να σταµατήσει η καταγραφή των εντολών και των αποτελεσµάτων εκτελέστε την εντολή: diary off Οδηγίες για τη συγκεκριµένη εφαρµογή : Η µεταβλητή old αντιστοιχεί στο n και παίρνει αρχική τιµή ίση µε άπειρο ώστε να µπορέσει να ξεκινήσει η δοµή επανάληψης while και να εκτελεστεί τουλάχιστον µία 5

16 φορά, η µεταβλητή new αντιστοιχεί στο n και παίρνει αρχική τιµή. Το διάνυσµα έχει ως στοιχεία τα σηµεία της προσέγγισης. Η δοµή επανάληψης while εκτελείται όσο η απόλυτη διαφορά του δύο διαδοχικών προσεγγίσεων είναι µεγαλύτερη του 0-9. Μόλις ικανοποιηθεί το κριτήριο η επαναληπτική διαδικασία σταµατά. Μέσα στο while η old παίρνει την τιµή της τελευταίας προσέγγισης η new παίρνει την τιµή της νέας προσέγγισης και τοποθετείται ως τελευταίο στοιχείο στο διάνυσµα των προσεγγίσεων. 5 Ακολουθεί παράδειγµα που υλοποιεί την + + >> format long >> oldinf; >> new; >> [new]; >> while abs(old-new)>e-09, oldnew; new/*old+/(*old)+5/(*old^); [;new]; end >> Παρατηρούµε ότι µετά από δώδεκα επαναλήψεις οι δύο τελευταίες επαναλήψεις συµπίπτουν σε 9 δεκαδικά ψηφία Λύση Α) (i) Η εξίσωση µας + µπορεί να γραφτεί ως 0. Θεωρώντας λοιπόν τη συνεχή πραγµατική συνάρτηση g ( ), παρατηρούµε ότι g () και g (4) 5. ηλαδή, g() g (4) < 0 και η g έχει τουλάχιστον µία ρίζα στο διάστηµα (, 4) 6

17 (ii) Παραγωγίζοντας την g στο ίδιο διάστηµα έχουµε : g ( ) 6, η οποία είναι πάντα θετική για >. ( ) Εποµένως, στο διάστηµα (, 4 ) η g είναι γνησίως αύξουσα και η ρίζα που εξασφαλίσαµε από το προηγούµενο υποερώτηµα θα είναι µοναδική. (iii) Παίρνοντας τώρα την αρχική εξίσωση + παρατηρούµε ότι f( ), όπου η f( ) + είναι παραγωγίσιµη συνάρτηση στο διάστηµα [, 4 ]. Παρατηρούµε επιπλέον ότι : f ( ) φθίνουσα µε µέγιστη τιµή στο : f ( ) f () <, η οποία στο διάστηµα [ ] Εποµένως, πληρούνται όλα τα κριτήρια για τη σύγκλιση του αλγορίθµου n f( n ), n,,... στην ρίζα της εξίσωσης. Θεωρώντας ως αρχική τιµή 0, ο προηγούµενος τύπος δίνει:, 4 είναι n- f( n- ) n Βλέπουµε λοιπόν ότι µετά από τρείς επαναλήψεις έχουµε τη προσέγγιση της ρίζας µε τη ζητούµενη ακρίβεια των 4 δεκαδικών ψηφίων αφού δύο διαδοχικές προσεγγίσεις συµπίπτουν µέχρι αυτό το όριο. Β) >> clear all >> format long >> oldinf; >> new; >> [new]; >> while abs(old-new)>e-09, oldnew; new+/old^; [;new]; end >> 7

18 >> Παρατηρούµε ότι µετά από δώδεκα επαναλήψεις οι δύο τελευταίες επαναλήψεις συµπίπτουν σε 9 δεκαδικά ψηφία