Τίτλος Μαθήματος: Γενική Φυσική (Ηλεκτρομαγνητισμός) Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Δημήτριος Βλάχος

Transcript

1 Τίτλς Μαθήματς: Γενική Φυσική (Ηλεκτρμαγνητισμός) Ενότητα: ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΚΑΙ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Διδάσκων: Επίκυρς Καθηγητής Δημήτρις Βλάχς Τμήμα: Μηχανικών Ηλεκτρνικών Υπλγιστών και Πληρφρικής

2 Κεφάλαι4 1 Δημήτρις Βλάχς ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΚΑΙ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Σύνψη Στ τέταρτ τύτ κεφάλαι ρίζνται ι φυσικές πσότητες τυ ηλεκτρικύ δυναμικύ και της ηλεκτρικής δυναμικής ενέργειας για σημειακά και μη σημειακά φρτία. Γίνεται επίσης περιγραφή της δυναμικής τυ ηλεκτρικύ διπόλυ και της ηλεκτρικής διπλικής ρπής μέσα σε μγενές ηλεκτρικό πεδί. 4.1 Τ ηλεκτρικό δυναμικό Στη Μηχανική μπρύμε να περιγράψυμε την κίνηση σωμάτων μέσα στ γήιν βαρυτικό πεδί με την εισαγωγή της δυναμικής ενέργειας πυ χαρακτηρίζει τ σώμα λόγω της θέσης τυ. Με ανάλγ εντελώς τρόπ μπρύμε να ρίσυμε την ηλεκτρική δυναμική ενέργεια βάση ενός μνόμετρυ φυσικύ μεγέθυς πυ νμάζεται ηλεκτρικό δυναμικό V. Τ δυναμικό σε πλλές περιπτώσεις μας δίνει πλενέκτημα στην περιγραφή των ηλεκτρικών φαινμένων έναντι τυ διανυσματικύ μεγέθυς της έντασης τυ πεδίυ Ε. Υπάρχει μια άρρηκτη σχέση τυ ηλεκτρικύ δυναμικύ με τ ηλεκτρικό πεδί. Συγκεκριμένα τ ηλεκτρικό πεδί Ε ρίζεται ως συνάρτηση τυ δυναμικύ, βάσει της σχέσης dv E ˆ (4.1) d Δηλαδή τ ηλεκτρικό πεδί ισύται με την μεταβλή τυ ηλεκτρικύ δυναμικύ στ χώρ και έχει την διεύθυνση τυ μναδιαίυ ˆ. Διαφρετικά μπρύμε να σχλιάσυμε την εξ. 4.1 ότι όταν τ δυναμικό V αυξάνεται κατά μια κατεύθυνση ˆ στ χώρ, τ διάνυσμα Ε κατευθύνεται αντίθετα από τ ˆ. Αντιθέτως εάν τ V μειώνεται κατά την κατεύθυνση ˆ, τ διάνυσμα Ε κατευθύνεται πρς αυτήν. Για περιχές τυ πεδίυ πυ τ δυναμικό δεν αλλάζει αλλά είναι σταθερό και ι πίες νμάζνται ισδυναμικές επιφάνειες, τ

3 Κεφάλαι4 Δημήτρις Βλάχς ηλεκτρικό πεδί σύμφωνα με την 4.1 είναι μηδέν. Επμένως η ηλεκτρική δύναμη πάνω σε ένα ηλεκτρικό φρτί στις ισδυναμικές επιφάνειας είναι μηδενική και ισχύει dv d 0 V c (4.) Από την εξ. 4.1 μπρύμε να υπλγίσυμε τ δυναμικό ενός πεδίυ ως συνάρτηση της θέσης V ( ) E( ) d (4.3) Για παράδειγμα τ ηλεκτρικό πεδί πυ δημιυργεί ένα σημειακό θετικό φρτί και πυ περιγράφεται από την εξ..3 δημιυργεί δυναμικό πυ από την εξ. 4.3 είναι V ( ) K q d Kq d V ( ) K q ή 1 q V () 4 (4.4) Για σταθερή απόσταση από τ φρτί q τ δυναμικό παραμένει σταθερό. Έτσι γύρω από τ φρτί σχηματίζνται ισδυναμικές επιφάνειες πυ είναι μόκεντρες σφαίρες, όπως δείχνει τ σχ Τ ηλεκτρικό δυναμικό φθίνει καθώς η απόσταση αυξάνει, δηλαδή όσ αυξάνει η επιφάνεια της ισδυναμικής επιφάνειας. V 3 V V 1 Σχήμα 4.1 Ισδυναμικές επιφάνειες (μόκεντρες σφαίρες) ηλεκτρικύ πεδίυ E γύρω από σημειακό φρτί q. q Ε Παράδειγμα 4.1 Ηλεκτρικό δυναμικό ατόμυ Τ ηλεκτρικό δυναμικό γύρω από τ κέντρ ενός ατόμυ περιγράφεται με την Ze 1 3 εξίσωση, V ( ) 3 4, όπυ η ακτίνα τυ ατόμυ, Ζ ατμικός τυ αριθμός και η απόσταση από τ κέντρ τυ. Να ευρεθεί η έκφραση τυ ηλεκτρικύ πεδίυ γύρω από τ κέντρ τυ ατόμυ. Λύση

4 Κεφάλαι4 3 Δημήτρις Βλάχς Εφόσν γνωρίζυμε πως μεταβάλλεται τ δυναμικό με την απόσταση μπρύμε να υπλγίσυμε τ ηλεκτρικό πεδί από την σχέση dv d Ze 1 3 Ze 1 Ze 1 E ˆ E = [ ( )] [( ) 0 ] E ( ) d d Ze 1 E ( )ˆ Παράδειγμα 4. Ηλεκτρικό δυναμικό στ εσωτερικό μνωτικής σφαίρας Τ ηλεκτρικό πεδί στ εσωτερικό μιας μνωτικής σφαίρας έχει ακτινική q διεύθυνση και μέτρ E (), όπυ q είναι τ συνλικό φρτί της σφαίρας, η 3 4 ακτίνα της και η απόσταση από τ κέντρ της. Να ευρεθεί τ δυναμικό V( ) στ εσωτερικό της σφαίρας εάν τ δυναμικό στ κέντρ της είναι μηδέν. Λύση Εδώ έχυμε τ αντίστρφ πρόβλημα από τ πρηγύμεν παράδειγμα. Ενώ γνωρίζυμε τ ηλεκτρικό πεδί στ χώρ, ζητάμε να βρύμε τ δυναμικό. Έτσι ισχύει dv () q E( ) dv ( ) E( ) d dv ( ) E( ) d V ( ) V (0) d 3 d 4 q q V ( ) 0 0 V ( ) Ηλεκτρική δυναμική ενέργεια Κάθε ηλεκτρικό φρτί πυ ευρίσκεται σε χώρ ηλεκτρικύ πεδίυ κινείται λόγω της ηλεκτρικής δύναμης. Η κίνηση τυ πρσδίδει κινητική ενέργεια πυ ρίζεται βάσει της μάζας αλλά και της ταχύτητάς τυ. Πις όμως δίδει ενέργεια στ φρτί; Τ ίδι τ ηλεκτρικό πεδί πρσφέρει την ενέργεια στ φρτί, όπως τ γήιν πεδί πρσφέρει ενέργεια στις μάζες πυ ευρίσκνται στ χώρ τυ. Έτσι λιπόν όπως μια μάζα έχει βαρυτική δυναμική ενέργεια λόγω της θέσεώς τυ μέσα στ βαρυτικό πεδί, έτσι και τ φρτί έχει ηλεκτρική δυναμική ενέργεια λόγω της θέσεώς τυ μέσα σε ένα ηλεκτρικό πεδί. Η ηλεκτρική δυναμική ενέργεια χαρακτηρίζεται από τ ηλεκτρικό δυναμικό V τυ ηλεκτρικύ πεδίυ και ρίζεται από τ γινόμεν φρτί επί δυναμικό, δηλαδή

5 Κεφάλαι4 4 Δημήτρις Βλάχς U qv (4.5) Η ηλεκτρική δυναμική ενέργεια ενός φρτίυ q σε σημεί όπυ τ δυναμικό είναι V, τ πί δημιυργείται από ένα άλλ φρτί Q, ρίζεται ως qq U K (4.6) ή αλλιώς μπρύμε να γράψυμε για τ δυναμικό U V (4.7) q Δηλαδή τ δυναμικό είναι η ηλεκτρική δυναμική ενέργεια ανά μνάδα φρτίυ. Οι μνάδες τυ δυναμικύ στ σύστημα IS είναι τ 1Volt (1V), όπυ V=J/C. Εάν θεωρήσυμε την γενική περίπτωση πυ τ φρτί Q περιβάλλεται από Ν ηλεκτρικά φρτία q i όπυ i=1,, Ν, τ συνλικό ηλεκτρικό δυναμικό στη θέση τυ σημειακύ φρτίυ q δίνεται από τ αλγεβρικό άθρισμα των δυναμικών όλων των φρτίων ως V 1 q q q 1 q N ( i... ) V (4.8) 1 n όπυ i είναι η απόσταση τυ q i φρτίυ από τ φρτί Q. Ισχύει δηλαδή η αρχή της επαλληλίας, όπως και στην περίπτωση τυ ηλεκτρικύ πεδίυ και της ηλεκτρικής δύναμης. Η συνλική δυναμική ενέργεια τυ φρτίυ Q πυ περιβάλλεται από N φρτία είναι Q qi U 4 (4.9) i Επίσης όταν έχυμε μια κατανμή σημειακών Ν ηλεκτρικών φρτίων στ χώρ q 1, q, q N, η συνλική δυναμική ενέργεια τυ συστήματς είναι τ άθρισμα των δυναμικών ενεργειών ανά ζεύγη φρτίων, δηλαδή ισχύει 1 qq i j U (4.10) 4 i i j ij όπυ ij είναι η απόσταση μεταξύ των q i και q j φρτίων. Όταν τ ηλεκτρικό φρτί έχει συνεχή κατανμή στ χώρ τ δυναμικό δίνεται ως i i

6 Κεφάλαι4 5 Δημήτρις Βλάχς 1 dq V 4 (4.11) και αναλόγως η δυναμική ενέργεια μπρεί να ρισθεί ως Q dq U 4 (4.1) Μπρύμε να ρίσυμε την δυναμική ενέργεια ίση με μηδέν όταν η απόσταση i. 1 Όπως και τ βαρυτικό δυναμικό έτσι και τ ηλεκτρστατικό δυναμικό Coulomb ( V ) είναι διατηρητικό δυναμικό. Σε πλήρη λιπόν αναλγία με την βαρυτική δυναμική ενέργεια, μπρύμε να ρίσυμε τ έργ W πυ παράγεται ή καταναλώνεται κατά την κίνηση τυ φρτίυ από σημεί Α δυναμικύ V A σε ένα άλλ σημεί Β δυναμικύ V B, ίσ με την αρνητική μεταβλή της ηλεκτρικής δυναμικής ενέργειας πυ έχει τ κινύμεν φρτί σ αυτά τα δυ σημεία. Ισχύει δηλαδή W U ( U U ) W Q( V V ) W U U (4.13) A B B A A B B A A B A B Αναλόγως την φύση τυ φρτίυ (θετικό ή αρνητικό), η διαφρά δυναμικύ V Α -V Β καθρίζει την κίνηση τυ φρτίυ μέσα στ πεδί. Τα θετικά φρτία κινύνται από μεγαλύτερα σε μικρότερα δυναμικά ενώ τ αντίθετ συμβαίνει για τα αρνητικά. Ας πρσπαθήσυμε να απδείξυμε την εξ.4.13 για ένα θετικό σημειακό φρτί q πυ κινείται μέσα σ ένα ηλεκτρστατικό πεδί ενός θετικύ σημειακύ φρτίυ Q, όπως φαίνεται στ σχ. 4.. Τ έργ πυ παράγει τ ηλεκτρικό πεδί Ε λόγω της ηλεκτρικής δύναμης F πάνω στ φρτί q κατά την μετατόπισή τυ από τ Α στ Β είναι B Β Β A B cos A Α Α W F.d Fd W Fd (4.14) επειδή κατά την διάρκεια της κίνησης η γωνία φ=0 πάντα. Αντικαθιστώντας την ηλεκτρική δύναμη στην εξ παίρνυμε B B B 1 Qq Qq d Qq 1 Qq 1 1 W d ( ) ( ) ( U B U A) A B A B A A W U U A B A B (4.15) A Η εξ είναι στην πραγματικότητα η 4.13, για την πία απδείξαμε ότι ισχύει.

7 Κεφάλαι4 6 Δημήτρις Βλάχς Εάν τώρα θεωρήσυμε μια τυχαία διαδρμή τυ φρτίυ μεταξύ των σημείων Α και Β όπως δείχνει τ σχ. 4. (διακεκμμένη γραμμή), τ έργ πυ παράγει τ ηλεκτρικό πεδί Ε λόγω της ηλεκτρικής δύναμης F πάνω στ φρτί q κατά την μετατόπισή τυ από τ Α στ Β είναι B WA B F.dl F cos dl (4.16) A όπυ dl είναι η στιχειώδης μετατόπιση πάνω στην τυχαία τρχιά και φ η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων F και dl. Η πσότητα cosφdl είναι η πρβλή τυ dl στην διεύθυνση τυ F, ή καλύτερα στην ακτινική διεύθυνση. Ισχύει δηλαδή d dl cos (4.17) Η εξ ανάγεται στ λκλήρωμα της εξ πότε με τν ίδι τρόπ δείχνεται ότι και για την τυχαία διαδρμή ισχύει η εξ Παρατηρύμε ότι τ έργ πυ παράγεται ή καταναλώνεται κατά την κίνηση τυ φρτίυ q από την θέση A στη θέση B, εξαρτάται μόν από την αρχική και τελική θέση και είναι ανεξάρτητ από την διαδρμή πυ τ φρτί ακλυθεί μεταξύ αυτών των δυ θέσεων. Έτσι απδεικνύεται ότι τ ηλεκτρστατικό πεδί και η δύναμη πυ αυτό παράγει είναι διατηρητικές φυσικές πσότητες. Διαφρετικά μπρύμε να πύμε ότι τ έργ πυ παράγει τ ηλεκτρστατικό πεδί κατά μήκς μιας κλειστής διαδρμής είναι μηδέν. Ας διερευνήσυμε την εξ Όταν τα Σχήμα 4.. Κίνηση θετικύ ηλεκτρικύ φρτίυ q από τ σημεί Α στ σημεί Β μέσα σε ηλεκτρικό πεδί πυ παράγει τ ηλεκτρικό θετικό φρτί Q. Η αυθόρμητη διαδρμή πυ διαγράφει τ q είναι ακτινική. Για πιαδήπτε άλλη τυχαία διαδρμή τυ φρτίυ μεταξύ των σημείων Α και Β τ έργ πυ παράγει τ ηλεκτρικό πεδί είναι τ ίδι με αυτό της ακτινικής τρχιάς. Εν γένει τ έργ εξαρτάται μόν από τις θέσεις των Α και Β και όχι από την διαδρμή μεταξύ αυτών. φρτία είναι μόσημα, δηλαδή απωθύνται, η απωστική δύναμη F πυ ασκείται πάνω στ q έχει την ίδια κατεύθυνση με την μετατόπιση d, πότε τ έργ πυ εκφράζεται με τ εσωτερικό τυς γινόμεν (εξ. 4.14) είναι θετικό. Σ αυτήν την περίπτωση θεωρύμε ότι τ πεδί Ε παράγει έργ. Αντίθετα όταν τα φρτία είναι ετερόσημα, δηλαδή έλκνται, η ελκτική δύναμη F πυ ασκείται πάνω στ q έχει αντίθετη κατεύθυνση από την μετατόπιση +Q q d A Ε d l F φ B Ε

8 Κεφάλαι4 7 Δημήτρις Βλάχς d και τ έργ είναι αρνητικό, δηλαδή τ πεδί καταναλώνει έργ, μιας και για μετακινήσυμε τ φρτί από την θέση A στη θέση B, πρέπει να παράγυμε εμείς έργ. Αναφέραμε πρηγυμένως ότι όταν θέλυμε να υπλγίσυμε τ δυναμικό μιας κατανμής σημειακών φρτίων στ χώρ, χρησιμπιύμε την εξ. 4.8, ενώ όταν πρόκειται για συνεχή κατανμή φρτίυ χρησιμπιύμε την λκληρωτική της μρφή, εξ Κατ επέκταση όταν μιλάμε για την ηλεκτρική δυναμική ενέργεια συστήματς σημειακών φρτίων, εννύμε τ έργ πυ απαιτείται για να μεταφερθύν τα φρτία αυτά από τ άπειρ στις θέσεις πυ καταλαμβάνυν μέσα στ σύστημα. Τα φρτία θεωρύνται ακίνητα στ άπειρ (σε ηρεμία), δηλαδή δεν έχυν αρχική κινητική ενέργεια, τ ηλεκτρικό δυναμικό είναι μηδέν (εξ. 4.4) και επμένως και η δυναμική τυς ενέργεια είναι μηδενική (εξ. 4.5). Στην απλύστερη περίπτωση πυ ένα σύστημα απτελείται από δυ θετικά φρτία, η δυναμική τυς ενέργεια είναι θετική (εξ. 4.6). Τ έργ πυ απαιτείται για να βρεθύν μαζί στ σύστημα είναι αρνητικό (εξ. 4.14), πυ σημαίνει ότι λόγω της απωστικής τυς δύναμης κάπις πρέπει να δαπανήσει ενέργεια για να τα κρατήσει σ αυτή τη θέση. Αναλόγως μπρύμε να εξάγυμε ότι για δυ ετερόσημα φρτία, η δυναμική τυς ενέργεια είναι αρνητική, επμένως τ έργ πυ παράγει τ ηλεκτρικό τυς πεδί για να τα δηγήσει από τ άπειρ στην τελική τυς θέση μέσα στ σύστημα, είναι θετικό. Παράδειγμα 4.3 Ηλεκτρικό δυναμικό διπόλυ Ένα ηλεκτρικό δίπλ απτελείται από δυ σημειακά φρτία +10 nc και -10 nc σε απόσταση a=0 cm όπως φαίννται στ σχ Υπλγίστε τ ηλεκτρικό δυναμικό τυ δίπλυ στα σημεία Α, Β και Γ, εάν ι απστάσεις πυ σημειώννται στ σχήμα είναι b=10 cm και c=15 cm. Λύση Τ δυναμικό στ σημεί Α δίνεται από την εξ. 4.7 πότε γράφυμε Γ c c +q B c A -q b a Σχήμα 4.3 Ηλεκτρικό δίπλ (παράδειγμα 4.4)

9 Κεφάλαι4 8 Δημήτρις Βλάχς 1 q 1 q 1 q 1 q 1 ( a c ) c 1 q ( a ) c c 4 a c 4 c( a c) 4 c( a c) 1 VA q[ ] VA Nm C (0.0m 0.30m) 9 10 VA 100V C 0.15m (0.0m 0.15m) Τ δυναμικό V A είναι αρνητικό γιατί τ σημεί Α είναι πι κντά στ αρνητικό φρτί q. Τ δυναμικό στ σημεί B δίνεται ως 1 q 1 q 1 ( a b) b 1 qa VB q[ ] V 4 b 4 a b 4 b( a b) 4 b( a b) B -9 9 Nm C 0.0m 9 10 VB 600V C 0.10m (0.0m m) Τ δυναμικό V B είναι θετικό γιατί τ σημεί Β είναι πι κντά στ αρνητικό φρτί +q. Τ σημεί Γ είναι επάνω στην μεσκάθετ της απόστασης α, επειδή ισαπέχει από τα φρτία q και q. Άρα τ ηλεκτρικό δυναμικό στ Γ δίνεται ως V C 1 q 1 q VC 0V 4 c 4 c Όλα τα σημεία της μεσκαθέτυ έχυν δυναμικό μηδέν γιατί όλα ισαπέχυν από τα φρτία. Παράδειγμα 4.4 Ηλεκτρική δυναμική ενέργειά πρωτνίων Δυ πρωτόνια στν πυρήνα U 38 απέχυν απόσταση d= m. Πια είναι η αμιβαία ηλεκτρική δυναμική ενέργειά τυς; Αγνείστε την ύπαρξη των άλλων πρωτνίων. Τ ηλεκτρικό φρτί τυ πρωτνίυ είναι q= C. Λύση Η ηλεκτρική δυναμική ενέργεια δίνεται ως, U qv, όπυ q είναι τ φρτί τυ πρωτνίυ και V τ ηλεκτρικό δυναμικό πυ δημιυργεί η παρυσία τυ άλλυ πρωτνίυ στην θέση τυ πρώτυ. Έτσι τελικά έχυμε q 9 Nm ( C) 14 U 9 10 U J d C 6 10 m Στην ατμική κλίμακα η ενέργεια μετράται σε μνάδες ηλεκτρνιβόλτ (1 ev) όπυ 1 ev = Joule. Άρα η ηλεκτρική δυναμική ενέργεια των δυ πρωτνίων είναι U= ev. Παρατηρύμε ότι η ενέργεια είναι θετική πυ σημαίνει ότι εάν τα πρωτόνια

10 Κεφάλαι4 9 Δημήτρις Βλάχς αφεθύν ελεύθερα να κινηθύν λόγω της άπωσής τυς θα απμακρυνθύν στ άπειρ παράγντας έργ, δηλαδή η ηλεκτρική δυναμική τυς ενέργεια θα μετατραπεί σε ωφέλιμ έργ, βάση τυ θεωρήματς έργυ-ενέργειας. Στην πραγματικότητα η δυναμική ενέργεια ενός πρωτνίυ στν πυρήνα U 38 είναι πλύ μεγαλύτερη γιατί υπάρχυν πλλά πρωτόνια τριγύρω τυ (9 συνλικά πρωτόνια στν πυρήνα). Η δύναμη πυ συγκρατεί όλα τα πρωτόνια στν πυρήνα τυ ατόμυ και δεν απμακρύννται στ άπειρ είναι η πυρηνική δύναμη η πία είναι πλύ ισχυρότερη της ηλεκτρικής, με μικρότερη όμως εμβέλεια. Παράδειγμα 4.5 Ηλεκτρικό δυναμικό σημειακών φρτίων Τρία σημειακά ηλεκτρικά φρτία διατάσσνται στις κρυφές ισόπλευρυ τριγώνυ πλευράς α όπως φαίνεται στ σχ Τα φρτία είναι q 1 =+q, q =+3q και q 3 =-q, όπυ q= C και η πλευρά τυ τριγώνυ α=10cm. δυναμική ενέργεια τυ συστήματς; Λύση Για να υπλγίσυμε την ηλεκτρική δυναμική ενέργεια U τυ συστήματς των φρτίων θα πρέπει να υπλγίσυμε την δυναμική ενέργεια κάθε φρτίυ (κάθε ζεύγυς φρτίων) και να αθρίσυμε τις επιμέρυς δυναμικές ενέργειες όπως υπδεικνύει η εξ Έτσι όπυ U U U U U (1) 1 U13 U 3 1 qq 1 3q U 4 4 a () a 1 qq 1 ( ) q U (3) 4 4 a a 1 qq 1 ( 6) q U (4) 4 4 a a H εξ. 1 λόγω των,3 και 4 γίνεται Πια είναι η συνλική ηλεκτρική +q α -q a +3q Σχήμα 4.4 Ηλεκτρικά φρτία τπθετημένα στις κρυφές ισόπλευρυ τριγώνυ (παράδειγμα 4.5) α

11 Κεφάλαι4 10 Δημήτρις Βλάχς 1 3q q 6q 1 q 1 5q U ( ) (3 6) 4 a a a 4 a 4 a -9 9 Nm 5 (1 10 C) 7 U 9 10 U J - C m Η συνλική δυναμική ενέργεια τυ συστήματς των τριών φρτίων είναι αρνητική, πυ σημαίνει ότι υπάρχει ελκτική δύναμη μεταξύ των φρτίων. Έτσι αν αφεθύν ελεύθερα να κινηθύν θα ενωθύν τ ένα με τ άλλ. Παράδειγμα 4.6 Ηλεκτρικό δυναμικό μιόμρφα φρτισμένης ράβδυ Μια λεπτή μιόμρφα φρτισμένη ράβδ με μήκς L και φρτί Q, βρίσκεται τπθετημένη κατά μήκς τυ άξνα x όπως φαίνεται στ σχ Βρείτε μια έκφραση για τ δυναμικό V στ σημεί Ρ πυ απέχει απόσταση l από την αρχή τυ άξνα. Λύση Επειδή έχυμε συνεχή κατανμή φρτίυ, χωρίζυμε την ράβδ σε στιχειώδη φρτία dq. Έστω λιπόν ένα στιχειώδες φρτί dq σε απόσταση x από την αρχή της ράβδυ. Η απόσταση τυ σημείυ Ρ από τ φρτί dq είναι l-x. Επμένως τ στιχειώδες δυναμικό πυ δημιυργεί τ φρτί dq είναι 1 dq dv 4 l x Τ φρτί dq έχει μήκς dx και επειδή η ράβδς είναι λεπτή και μιόμρφα φρτισμένη θα έχει γραμμική πυκνότητα φρτίυ λ ίση με Q () L Επμένως για τ φρτί dq μπρύμε να γράψυμε λόγω της εξ. Q dq dx dq dx (3) L Η εξ. 3 στην 1 δίνει x=0 dq P x L Σχήμα 4.5 Λεπτή μιόμρφα φρτισμένη θετικά ράβδς με μήκς L και φρτί Q (παράδειγμα 4.6). (1) l x

12 Κεφάλαι4 11 Δημήτρις Βλάχς 1 Q dx dv 4 L l x (4) Επειδή τ φρτί της ράβδυ εκτείνεται από τ x=0 έως x=l, λκληρώνντας την εξ. 4 με αυτά τα όρια για την μεταβλητή x έχυμε L L l L l L 1 Q dx Q dx Q d( l x) Q da dv 4 L l x 4 L l x 4 L l x 4 L a (5) 0 0 l όπυ κάνντας αλλαγή της μεταβλητής λκλήρωσης γράψαμε α=l-x, με αντίστιχη αλλαγή στα όρια λκλήρωσης. Τελικά για τ δυναμικό στ σημεί Ρ γράφυμε Q l L Q Q Q l V ln a [ln( l L) ln l] [ln l ln( l L)] V ln 4 L 4 L 4 L 4 L l L l l Παράδειγμα 4.7 Ηλεκτρικό δυναμικό μιόμρφα φρτισμένυ ημικυκλίυ Ένα ημικυκλικό τόξ όπως φαίνεται στ σχ. 4.6 είναι μιόμρφα ηλεκτρικά φρτισμέν. Η γραμμική πυκνότητα φρτίυ είναι λ=3.5 nc/m. Υπλγίστε τ δυναμικό στ κέντρ τυ ημικυκλίυ O. Δίνεται η διηλεκτρική σταθερά τυ κενύ ε = C /Nm. Λύση Επειδή έχυμε συνεχή κατανμή φρτίυ για να βρύμε τ συνλικό ηλεκτρικό δυναμικό V πυ δημιυργείται στ κέντρ Ο τυ ημικυκλίυ, θα θεωρήσυμε στιχειώδες φρτί dq στ ημικύκλι και θα εύρυμε τ στιχειώδες δυναμικό dv. Μετά θα λκληρώσυμε κατά μήκς τυ ημικυκλίυ για να βρύμε τ V στ Ο. Τ dq δημιυργεί δυναμικό στ Ο 1 dq dv 4 (1) Έστω ότι τ φρτί dq έχει μήκς dl. Επειδή η γραμμική πυκνότητα φρτίυ είναι σταθερή ισχύει dq dl () dq O Η εξ. στην 1 δίνει 1 dl dv (3) 4 Σχήμα 4.6 Ημικυκλικό μιόμρφα ηλεκτρικά φρτισμέν τόξ ακτίνας (παράδειγμα 4.7).

13 Κεφάλαι4 1 Δημήτρις Βλάχς Ολκληρώνντας την εξ. 3 πάνω σε όλ τ μήκς τυ ημικυκλίυ πυ είναι π παίρνυμε τ δυναμικό V στ σημεί Ο. Άρα έχυμε -9 1 dl C/m dv V dl V C /Nm V 198V Παράδειγμα 4.8 Μια συμπαγής σφαίρα ακτίνας έχει σταθερή πυκνότητα φρτίυ ρ και λικό φρτί Q. Βρείτε μια έκφραση για την λική ηλεκτρική δυναμική ενέργεια της φρτισμένης σφαίρας. Υπόδειξη: Θεωρείστε ότι η σφαίρα κατασκευάζεται με την πρσθήκη διαδχικών στρωμάτων μόκεντρων σφαιρικών φλιών φρτίυ dq ( 4 d ) και λάβετε ότι du Vdq. Λύση Έστω στιχειώδης σφαιρικός φλιός ακτίνας και πάχυς d (βλέπε σχ. 4.7). Ο φλιός έχει στιχειώδη όγκ dv 4 d (πρσέξτε ότι εδώ ρίζυμε τν όγκ της σφαίρας ως V και τ ηλεκτρικό δυναμικό ως V). Τ φρτί τυ φλιύ είναι dq dv dq 4 d (1) Για ηλεκτρικό δυναμικό V η ηλεκτρική δυναμική ενέργεια τυ φλιύ είναι d (1) du Vdq du V 4 d () όπυ ρ η σταθερή πυκνότητα φρτίυ της σφαίρας Q Q 3Q 3 V 4 ί 3 4 (3) 3 και V τ δυναμικό πυ έχει η σφαίρα ακτίνας και φρτίυ q. Για τ δυναμικό γράφυμε q V K (4) Σχήμα 4.7 Φρτισμένη σφαίρα ακτίνας και φρτίυ Q (παράδειγμα 4.8) Τ φρτί q της σφαίρας ακτίνας δίνεται ως

14 Κεφάλαι4 13 Δημήτρις Βλάχς Q 4 3 Q 3 q V i q (5) Η εξ. 5 στην 4 δίνει Q V K (6) 3 Η εξ. 6 στην δίνει du K Q Q 4 d du K Q d (7) Για να υπλγίσυμε την λική ηλεκτρική δυναμική ενέργεια της σφαίρας θα πρέπει να λκληρώσυμε την εξ. 7 ως πρς την ακτίνα, διότι η σφαίρα μπρεί να θεωρηθεί ένα άθρισμα πλλών στιχειωδών μόκεντρων φλιών. Έτσι γράφυμε 5 5 3Q 4 3Q 4 3Q 3Q 3Q du K d K d K K U K dl C/m dv V V 6.V C /Nm 4.3 Τ ηλεκτρικό δίπλ * Δύ ίσα και αντίθετα ηλεκτρικά φρτία σε απόσταση d μεταξύ τυς απτελύν ένα ηλεκτρικό δίπλ. Τ ηλεκτρικό πεδί πυ σχηματίζει ένα τέτι δίπλ με τα δυ φρτία να είναι ίσα και αντίθετα, φαίνεται με την βήθεια των δυναμικών γραμμών στ σχ... Η F -q =-qe -q φ d τ p +q F +q =qe Σχήμα 4.8 Ηλεκτρικό δίπλ μέσα σε μγενές εξωτερικό πεδί. Τ ζεύγς των ηλεκτρικών δυνάμεων πυ ασκεί τ πεδί στα ηλεκτρικά φρτία δημιυργεί ηλεκτρική διπλική ρπή πυ τείνει να ευθυγραμμίσει τ δίπλ με τις δυναμικές γραμμές τυ πεδίυ (βλέπε τ κείμεν). E έννια τυ ηλεκτρικύ διπόλυ και τ πώς αυτό συμπεριφέρεται στην φύση είναι πλύ σημαντική, μιας και πλλά συστήματα στη φυσική και την χημεία όπως τα άτμα, τα μόρια, ι κεραίες κ.α., μπρύν να χαρακτηρισθύν σαν ηλεκτρικά δίπλα. Για παράδειγμα ας εξετάσυμε τις δυνάμεις πυ ασκύνται επάνω στα φρτία ενός ηλεκτρικύ διπόλυ, όταν αυτό ευρεθεί μέσα σ ένα εξωτερικό σταθερό ηλεκτρικό

15 Κεφάλαι4 14 Δημήτρις Βλάχς πεδί Ε, όπως φαίνεται στ σχ Επειδή τα φρτία είναι αντίθετα, αντίθετες θα είναι και ι δυνάμεις πυ ασκύνται στ καθένα από αυτά από τ ηλεκτρικό πεδί Ε. Αυτό έχει ως απτέλεσμα τα δυ φρτία να απμακρύννται μεταξύ τυς. Εφόσν όμως η απόσταση d μεταξύ των φρτίων παραμένει σταθερή, τ δίπλ τείνει να περιστραφεί γύρω από έναν άξνα περιστρφής πυ περνά κάθετα από τ μέσν της απόστασης d. Η περιστρφή αυτή είναι συνέπεια της δράσης τυ ζεύγυς δυνάμεων F και F, ι πίες όντας μη συγραμμικές, ασκύν μια ρπή επάνω στ δίπλ, τ πί τελικά ευθυγραμμίζεται με τ διάνυσμα τυ πεδίυ Ε. Από την μηχανική γνωρίζυμε ότι η ρπή πυ ασκεί μια δύναμη F σε απόσταση από τ σημεί στρέψης ρίζεται από τ εξωτερικό γινόμεν τ F F sin (4.18) Η συνλική ρπή πυ ασκείται από τ ηλεκτρικό πεδί πάνω στ δίπλ είναι d d τ ( F) [ ( F )] (4.19) Εάν η γωνία μεταξύ της απόστασης d και της δύναμης F είναι φ όπως φαίνεται στ σχ. 4.8, τ μέτρ της ρπής τ από την εξ είναι d d F sin F sin Fd sin qed sin (4.0) με διεύθυνση κάθετη στ μέσν της απόστασης d και κατεύθυνση πρς τα «μέσα» της σελίδας (βλέπε σχ. 4.8). Η πσότητα qd νμάζεται ηλεκτρική διπλική ρπή p, και είναι διάνυσμα με φρά από τ αρνητικό πρς τ θετικό φρτί κατά μήκς της απόστασης d, ενώ έχει μνάδες C.m. H εξ μπρεί να γραφτεί διότι η ηλεκτρική διπλική ρπή ρίζεται ως pe sin (4.1) p qd (4.) Η εξ. 4.1 μπρεί να γραφτεί σε διανυσματική μρφή μιας και δεν πρέπει να ξεχνάμε ότι η ρπή είναι διάνυσμα. Έτσι ισχύει τ p E (4.3) Η ρπή τ μεγιστπιείται όταν η ηλεκτρική διπλική ρπή p είναι κάθετη στ πεδί E. Γενικά η ρπή τ τείνει να περιστρέψει τ διάνυσμα p ώστε να τ ευθυγραμμίσει με τ

16 Κεφάλαι4 15 Δημήτρις Βλάχς διάνυσμα Ε. Η θέση της ευθυγράμμισης είναι θέση ευσταθύς ισρρπίας (p//e, φ=0 ). Για να εκτρέψυμε τ δίπλ από αυτή τη θέση σε μια άλλη πυ ρίζεται από γωνία φ, θα πρέπει στρίψυμε τ δίπλ κατά αυτή τη γωνία φ εξασκώντας ρπή τ αντίθετη αυτής πυ εξασκεί τ πεδί (εξ. 4.3). Τ έργ πυ πρέπει να παράγυμε για να στρίψυμε τ δίπλ μέσα στ πεδί Ε είναι η πία μέσω της εξ. 4.1 γίνεται W d (4.4) W pe d pe pe 0 sin cos 0 (cos 1) (4.5) 0 Από την εξ. 4.4 συμπεραίνυμε ότι τ W είναι πάντα αρνητικό, πυ δηλώνει ότι κάπις πρέπει να δαπανήσει ενέργεια για να στρέψει τ δίπλ από την θέση ισρρπίας στην πία έχει την ελάχιστη δυναμική ενέργεια pe. Επίσης από την σχέση 4.13 έχυμε συμπεράνει ότι τ έργ W είναι ίσ με την αρνητική μεταβλή της δυναμικής ενέργειας τυ φρτίυ μέσα στ ηλεκτρικό πεδί. Έτσι στην πρκειμένη περίπτωση τυ ηλεκτρικύ διπόλυ μπρύμε να γράψυμε (4.5) W U ( U U ) U U U U pe cos pe (4.6) B A A B A B Από την εξ. 4.5 συμπεραίνυμε ότι τ ηλεκτρικό δίπλ έχει ηλεκτρική δυναμική ενέργεια μέσα στ πεδί Ε, πυ ρίζεται από την σχέση U pe. pe cos (4.7) Όπως αναφέραμε πι πάνω αρκετά συστήματα στη φύση παρυσιάζυν ιδιότητες ηλεκτρικών διπόλων ή πι σωστά απτελύν τα ίδια ηλεκτρικά δίπλα. Τέτια συστήματα μπρεί να είναι άτμα ή μόρια πυ τ θετικό φρτί τυς παρυσιάζει έναν πρσανατλισμό ως πρς τ αρνητικό. Για παράδειγμα τ μόρι τυ νερύ (H O) ή αυτό τυ χλωριύχυ νατρίυ (NaCl) παρυσιάζυν μόνιμη ηλεκτρική διπλική ρπή, δηλαδή τ «κέντρ» τυ θετικύ φρτίυ δεν συμπίπτει με αυτό τυ αρνητικύ. Τα μόρια αυτά νμάζνται διπλικά. Αντίθετα τα άτμα των ευγενών αερίων έχυν μια σφαιρική συμμετρία τυ ηλεκτρνιακύ νέφυς δεν παρυσιάζυν μόνιμη ηλεκτρική διπλική ρπή, γιατί τα κέντρα τυ θετικύ και αρνητικύ φρτίυ συμπίπτυν. Εντύτις, όταν μη πλικά

17 Κεφάλαι4 16 Δημήτρις Βλάχς άτμα ή μόρια βρεθύν μέσα σε ηλεκτρικό πεδί είναι δυνατόν να απκτήσυν διπλική ρπή μιας και η σφαιρική συμμετρία της κατανμής των ηλεκτρνίων μπρεί να χαθεί. Οι διπλικές ρπές των ατόμων ή μρίων είναι υπεύθυνες για τις δυνάμεις van de Waals, ι πίες πρέρχνται από την αλληλεπίδραση των διπλικών ρπών. Η δυναμική ενέργεια πυ αναπτύσσεται μεταξύ δυ πλικών ατόμων ή μρίων είναι A U (4.8) 6 όπυ τ Α εξαρτάται από τις διπλικές ρπές και τ αρνητικό πρόσημ δηλώνει την ελκτική αλληλεπίδραση των ρπών και επμένως των ατόμων ή των μρίων. Αυτή η αλληλεπίδραση είναι υπεύθυνη για τις δυνάμεις μεταξύ των μρίων τυ νερύ στην υγρή και στερεά κατάσταση. Επίσης ι δυνάμεις van de Waals, χαρακτηρίζυν τυς αντίστιχυς δεσμύς van de Waals ι πίι επιτυγχάνυν τις καταστάσεις υγρπίησης και στερεπίησης ευγενών και αδρανών αερίων όπως Η, Ο, Ν κ.α. Λόγω της μικρής εμβέλειας αυτών των δεσμών (δυνάμεων), 6, η ενέργειά τυς είναι της τάξης τυ 0.1 ev. Γενικά χαρακτηρίζνται σαν ασθενείς δεσμί σε σύγκριση με τυς ιντικύς και μιπλικύς δεσμύς. Ας δύμε πως δρυν τα ηλεκτρικά δίπλα στην καθημερινή μας ζωή. Για παράδειγμα είναι γνωστό ότι σαπύνι διαθέτει μόρια με ένα πλικό άκρ και ένα μη πλικό. Τ λίπς δεν διαθέτει πλικά μόρια και γι αυτό δεν συνδέεται άμεσα με τ νερό τ πί έχει πλικά μόρια. Αντιθέτως τα μόρια τυ σαπυνιύ ενώννται με τ ένα τυς πλικό άκρ με τα μόρια τυ νερύ, ενώ με τ άλλ μη πλικό τυς άκρ ενώννται με τα μόρια τυ λίπυς. Έτσι με σαπύνι και νερό καθαρίζυμε τ λίπς. Επίσης τα φαγητά στν φύρν μικρκυμάτων ζεσταίννται λόγω της ύπαρξης των πλικών μρίων πυ υπάρχυν σε αυτά. Τα πλικά μόρια στις τρφές φείλνται κυρίως στ νερό πυ αυτές περιέχυν. Εφαρμόζντας ένα εναλλασσόμεν ηλεκτρικό πεδί μικρής έντασης, τα μόρια ταλαντώννται πρσκρύντας τ ένα πάνω στ άλλ πότε και θερμαίννται λόγω τριβής. Αντιθέτως τα πιάτα ή τα σκεύη γενικά, τα πία δεν έχυν πλικά μόρια δεν ζεσταίννται πλύ ενώ είναι μέσα στν φύρν. Παράδειγμα 4.9

18 Κεφάλαι4 17 Δημήτρις Βλάχς Τ μόρι τυ χλωριύχυ καλίυ (KCl) έχει διπλική ρπή Cm. α) Εάν αυτή πρέρχεται από δυ φρτία ± C σε απόσταση l μεταξύ τυς, υπλγίστε την απόσταση l. β) Πόση είναι η μέγιστη και η ελάχιστη ρπή πυ ασκεί στ μόρι KCl ένα ηλεκτρικό πεδί έντασης Ε= Ν/C; Σ ένα πρόχειρ σχήμα δείξτε τυς σχετικύς πρσανατλισμύς της ηλεκτρικής διπλικής ρπής p και τυ ηλεκτρικύ πεδίυ Ε όταν η ρπή είναι μέγιστη και ελάχιστη. Λύση α) Η ηλεκτρική διπλική ρπή p ρίζεται ως p ql. (1) Άρα από την εξ.1 η απόσταση l μπρεί να υπλγισθεί ως 30 p 8 10 Cm l l l 19 q C m β) Η ρπή τυ διπόλυ μέσα στ πεδί E ρίζεται ως τ = p E pesin () όπυ θ η γωνία πυ σχηματίζει τ διάνυσμα της ηλεκτρικής ρπής με αυτό τυ p Ε p Ε Ε p p Ε (α) (β) Σχήμα 4.9 Μέγιστη ρπή στν κάθετ πρσανατλισμό μεταξύ των p και Ε. (β) Μηδενική ρπή όταν τα διανύσματα p και Ε είναι παράλληλα ή αντιπαράλληλα (παράδειγμα 4.9). διανύσματς τυ ηλεκτρικύ πεδίυ. Από την εξ. καταλαβαίνυμε ότι η ρπή είναι μέγιστη όταν sinθ=±1, δηλαδή θ=90 ή 70. Τότε τα διανύσματα p και Ε είναι κάθετα μεταξύ τυς (βλέπε σχ. 4.9α). Αντίθετα η ρπή είναι ελάχιστη, δηλαδή μηδενική, όταν sinθ=0, δηλαδή θ=0 ή 180 (βλέπε σχ. 4.9β). Παράδειγμα 4.10 Τ μόρι τυ νερύ έχει ηλεκτρική διπλική ρπή C.m. Ένα δείγμα νερύ περιέχει 10 1 μόρια των πίων η ρπή ηλεκτρικύ διπόλυ έχει πρσανατλιστεί κατά την

19 Κεφάλαι4 18 Δημήτρις Βλάχς κατεύθυνση ενός εξωτερικύ ηλεκτρικύ πεδίυ N/C. Πόσ έργ πρέπει να καταναλωθεί για να περιστραφύν όλα τα δίπλα από την κατεύθυνση αυτή (θ=0 ) στην κάθετη κατεύθυνση (θ=90 ); Λύση Όπως είδαμε πι πάνω, επειδή τ ηλεκτρικό πεδί είναι διατηρητικό πεδί τ έργ πυ παράγεται ή δαπανάται είναι ίσ με την μεταβλή της ηλεκτρικής δυναμικής ενέργειας τυ συστήματς. Έτσι τ έργ πυ δαπανάται για να περιστρέψυμε ένα δίπλ νερύ από την αρχική τυ θέση στην τελική είναι W U U U pe cos ( pe cos ) pe(cos cos ) B A B A A B pe pe pe W o o (cos0 cos90 ) (1 0) C.m.5 10 N/C J Τ έργ πυ πρέπει να παραχθεί για να περιστραφεί ένα δίπλ νερύ είναι W. Τ συνλικό έργ για να περιστραφύν όλα τα δίπλα τυ δείγματς είναι W Ν W W J W J λ λ λ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Π4.1 Ηλεκτρικό δυναμικό στ χώρ. Υπθέστε ότι τ ηλεκτρικό δυναμικό στ χώρ είναι V x x α) Αν τ δυναμικό μετράται σε Volts και η απόσταση x σε μέτρα, υπλγίστε τ ηλεκτρικό πεδί Ε στ χώρ. β) Σε πι σημεί η ένταση τυ ηλεκτρικύ πεδίυ είναι μηδέν; Απάντηση: α) Ε=-6x+15, β) x=.5m. (Νέμβρις 006, πτυχιακή). Π4. Ηλεκτρικό δυναμικό φρτισμένυ δίσκυ. Ομιόμρφα φρτισμένς δίσκς ακτίνας α και επιφανειακής πυκνότητας σ δημιυργεί δυναμικό κατά μήκς τυ κάθετυ άξνα συμμετρίας πυ περνά από τ κέντρ τυ, πυ δίνεται από την σχέση V a ( ), όπυ η κάθετη απόσταση από τ κέντρ τυ δίσκυ. Βρείτε τ

20 Κεφάλαι4 19 Δημήτρις Βλάχς ηλεκτρικό πεδί Ε πυ δημιυργεί δίσκς σε σημεί πάνω στν άξνα πυ απέχει απόσταση από τ κέντρ τυ. Απάντηση: πτυχιακή). E (1 ). (Φεβρυάρις 008, a Π4.3 Ηλεκτρικό δυναμικό σημειακών φρτίων. Δύ θετικά σημειακά φρτία τ καθένα φρτίυ q, είναι τπθετημένα στν άξνα όπως δείχνει τ σχήμα στα σημεία y=+a και y=-a, αντίστιχα. α) Πόσ είναι τ δυναμικό στην αρχή των αξόνων; β) Βρείτε μια έκφραση για τ δυναμικό για σημεί Ρ σε απόσταση από την αρχή των αξόνων και πάνω στν άξνα x. γ) Για πια τιμή τυ η τιμή τυ δυναμικύ είναι η μισή της τιμής τυ δυναμικύ στην αρχή των αξόνων; y +q a a +q Ρ x Σχήμα 4.10 Πρόβλημα 4.3. Π4.4 Ηλεκτρικό δυναμικό σταγόνας νερύ. Μια σφαιρική σταγόνα νερύ ακτίνας mm έχει ηλεκτρικό δυναμικό στην επιφάνειά της ίσ με 300V. α) Πι είναι τ φρτί της σταγόνας; β) Αν δυ τέτιες σταγόνες ίσυ φρτίυ και ίσης ακτίνας συνενωθύν έτσι ώστε να σχηματίσυν μια νέα σφαιρική σταγόνα, πι θα είναι τ δυναμικό στην επιφάνεια της νέας σταγόνας; Υπθέστε ότι δεν υπάρχυν απώλειες φρτίυ και μάζας όταν ι σταγόνες ενώννται. Δίνεται η σταθερά Coulomb, K= Nm /C. Απάντηση: α) C και β) 476V. (Σεπτέμβρις 008). Π4.5 Ηλεκτρικό δυναμικό φρτισμένης σφαίρας. Στ εσωτερικό (< ) μιας μιόμρφα φρτισμένης μνωτικής σφαίρας ακτίνας σφαίρας, τ ηλεκτρικό δυναμικό KQ είναι V (3 ) για και στν εξωτερικό χώρ (>) είναι KQ V. Υπλγίστε τ ηλεκτρικό πεδί πυ δημιυργεί η σφαίρα τόσ στν εσωτερικό όσ και στν εξωτερικό KQ Q χώρ. Απάντηση: Για <, E, και για >, E K. (Ιανυάρις 013). 3

21 Κεφάλαι4 0 Δημήτρις Βλάχς Π4.6 Ηλεκτρικό δυναμικό σφαιρών. Δυ μεταλλικές σφαίρες διαφρετικύ μεγέθυς φρτίζνται έτσι ώστε τ ηλεκτρικό δυναμικό στην επιφάνειά τυς να είναι τ ίδι. Η σφαίρα Α έχει ακτίνα τρεις φρές μεγαλύτερη εκείνης της Β. Έστω Q A και Q B τα φρτία σε κάθε σφαίρα και Ε Α και Ε Β ι εντάσεις των ηλεκτρικών πεδίων στην επιφάνεια της κάθε σφαίρας. Πόσ είναι ι λόγι Q A /Q B και Ε Α /Ε Β αντίστιχα; Απάντηση: α) 3 και β)1/3. Π4.7 Ηλεκτρικό δυναμικό φρτισμένυ κυλίνδρυ. Ένας κύλινδρς με άπειρ μήκς και ακτίνα έχει γραμμική πυκνότητα φρτίυ. Τ δυναμικό πάνω στην επιφάνεια τυ κυλίνδρυ είναι V o και τ ηλεκτρικό πεδί στ εξωτερικό τυ κυλίνδρυ είναι E. Βρείτε τ δυναμικό σε σχέση με την επιφάνεια τυ κυλίνδρυ σε απόσταση από τν άξνά τυ για >. Απάντηση: V Vo ln. (Ιύνις 01). Π4.8 Άτμ τυ υδργόνυ. Στ μντέλ τυ Boh για τ άτμ τυ υδργόνυ, τ μναδικό ηλεκτρόνι περιστρέφεται γύρω από τ μναδικό πρωτόνι σε κύκλ ακτίνας. Υπθέστε ότι τ πρωτόνι παραμένει ακίνητ. α) Εξισώνντας την ηλεκτρική δύναμη πρς την μάζα τυ ηλεκτρνίυ επί την επιτάχυνση, να βρείτε μια έκφραση για την ταχύτητα τυ ηλεκτρνίυ. β) Βρείτε μια έκφραση για την κινητική ενέργεια τυ ηλεκτρνίυ και να την συγκρίνετε με την ηλεκτρική δυναμική ενέργειά τυ. γ) Nα υπλγίσετε την λική ενέργεια τυ ηλεκτρνίυ θεωρώντας ότι η ακτίνα περιστρφής είναι = m, τ ηλεκτρικό φρτί τυ ηλεκτρνίυ e= C, η ηλεκτρική σταθερά Κ= N.m.C -. Να δώσετε τις αριθμητικές τιμές σε joule και ev.

22 Ανικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Πανεπιστήμι Ιωαννίνων Τέλς Ενότητας

23 Χρηματδότηση Τ παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια τυ εκπαιδευτικύ έργυ τυ διδάσκντα. Τ έργ «Ανικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στ Πανεπιστήμι Ιωαννίνων» έχει χρηματδτήσει μόν τη αναδιαμόρφωση τυ εκπαιδευτικύ υλικύ. Τ έργ υλπιείται στ πλαίσι τυ Επιχειρησιακύ Πργράμματς «Εκπαίδευση και Δια Βίυ Μάθηση» και συγχρηματδτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κινωνικό Ταμεί) και από εθνικύς πόρυς. Σημειώματα Σημείωμα Αναφράς Copyight Πανεπιστήμι Ιωαννίνων, Διδάσκων: Επίκυρς Καθηγητής Δημήτρις Βλάχς. «Γενική Φυσική (Ηλεκτρμαγνητισμός). ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΚΑΙ ΕΝΕΡΓΕΙΑ». Έκδση: 1.0. Ιωάννινα 014. Διαθέσιμ από τη δικτυακή διεύθυνση: Σημείωμα Αδειδότησης Τ παρόν υλικό διατίθεται με τυς όρυς της άδειας χρήσης Ceative Commons Αναφρά Δημιυργύ - Παρόμια Διανμή, Διεθνής Έκδση 4.0 [1] ή μεταγενέστερη. [1]