2. Διαστήματα Εμπιστοσύνης και Στατιστικοί Έλεγχοι Υποθέσεων. Σύντομη ανασκόπηση βασικών εννοιών, προτάσεων και τύπων. Μέγεθος του δείγματος (ν)

Transcript

1 Μάθημ: Σττιτική άλυη εομέω με χρήη Η/Υ (του 5 ου κι του 8 ου Εξμήου Σπουώ του Τμήμτος Βιοτεχολογίς Διάκω: Γιώργος Κ. Ππόπουλος. Διτήμτ Εμπιτούης κι Σττιτικοί Έλεγχοι Υποθέεω Σύτομη κόπηη βικώ εοιώ, προτάεω κι τύπω Εκτιμήτρι Σημεική εκτίμηη Ιιότητες εκτιμητριώ Εκτίμηη με ιάτημ Ερμηεί εός (-% ιτήμτος εμπιτούης ύμφω με τη ερμηεί της πιθότητς ως ορική χετική υχότητ Κάθε ττιτική υάρτηη που χρηιμοποιείτι γι τη εκτίμηη μις πρμέτρου εός πληθυμού. Η εκτίμηη μις άγωτης πρμέτρου εός πληθυμού μέω της τιμής μις εκτιμήτρις γι υγκεκριμέη πργμτοποίηη εός τυχίου είγμτος. Αμεροληψί: Σε επλμβόμεες ειγμτοληψίες η εκτιμήτρι κτά μέο όρο εκτιμά ωτά τη άγωτη πράμετρο (ούτε τη υπερεκτιμά ούτε τη υποεκτιμά Αποτελεμτικότητ: Μετξύ ύο μερόληπτω εκτιμητριώ μις πρμέτρου, πιο ποτελεμτική είι υτή που έχει πιο μικρή ικύμη. Συέπει: Αυξομέου του μεγέθους του είγμτος η εκτίμηη γίετι κλύτερη/πιο κριβής (οι τιμές της εκτιμήτρις υγκλίου τη τιμή της πρμέτρου Έ (-% ιάτημ εμπιτούης (<< γι μι πράμετρο εός πληθυμού, είι έ ιάτημ που υπολογίζετι πό έ τυχίο είγμ πό το πληθυμό κι έχει πιθότητ - περιέχει τη πργμτική τιμή της πρμέτρου. Η πιθότητ - οομάζετι υτελετής εμπιτούης του ιτήμτος. Σε μεγάλο ριθμό επλήψεω του πειράμτος «πίρω έ τυχίο είγμ μεγέθους πό το πληθυμό κι κτκευάζω γι μι άγωτη πράμετρο έ (-% ιάτημ εμπιτούης», ποοτό - τω ειγμάτω θ ώου ιάτημ που θ περιέχει τη τιμή της πρμέτρου κι ποοτό τω ειγμάτω θ ώου ιάτημ που ε θ περιέχει τη τιμή της πρμέτρου. Διτήμτ Εμπιτούης (Δ.Ε υτελετή εμπιτούης (-. Γι τη μέη τιμή μ εός πληθυμού με έ τυχίο είγμ μεγέθους Πληθυμός Δικύμη του πληθυμού Μέγεθος του είγμτος ( (-% Δ. Ε. γι τη μέη τιμή μ του πληθυμού ± ( Κοικός Γωτή Οτιήποτε Οποιοήποτε Γωτή Μεγάλο Οποιοήποτε Άγωτη Μεγάλο ± ( Κοικός Άγωτη Οτιήποτε ± t ; (3 Όχι Κοικός Γωτή ή Άγωτη Μικρό? Σημείωη: Γι μεγάλο είγμ πό κοική κτομή με άγωτη ικύμη, μπορεί εφρμοθεί ή ο τύπος ( ή ο τύπος (3 β Ο τύπος (3 εφρμόζετι με τη προϋπόθεη ότι ο πληθυμός είι κοικός, όμως τη πράξη ίει κλά ποτελέμτ κόμη κι ότ ο πληθυμός ε είι κοικός ρκεί μη πέχει ρμτικά πό το είι κοικός (οβρή υμμετρί, περιότερες πό μι κορυφές, κτλ. κι το είγμ μη είι πολύ μικρό. γ Το ιάτημ ( είι υτελετή - κτά προέγγιη. Επίης κι το ιάτημ (, ο πληθυμός ε είι κοικός, είι υτελετή - κτά προέγγιη Γεωποικό Πεπιτήμιο Αθηώ/Γ.Κ.Ππόπουλος (

2 . Γι το ιωυμικό ποοτό p με έ τυχίο είγμ μεγέθους Α ριθμός επιτυχιώ το είγμ p ˆ κι 5 κι ( 5 το ιάτημ ( ± είι έ κτά προέγγιη (-% ιάτημ εμπιτούης γι το ιωυμικό ποοτό p. 3. Γι τη ικύμη εός κοικού πληθυμού με έ τυχίο είγμ μεγέθους, χ ; χ ; 4. Γι τη ιφορά μ -μ τω μέω τιμώ ύο πληθυμώ με ύο εξάρτητ είγμτ μεγέθους κι τίτοιχ Πληθυμοί Δικυμάεις τω πληθυμώ, Μεγέθη τω ειγμάτω, (-% Δ. Ε. γι τη ιφορά μ -μ τω μέω τιμώ τω πληθυμώ Κοικοί Γωτές Οτιήποτε ( ± ( Οποιοιήποτε Γωτές Μεγάλ Οποιοιήποτε Άγωτες Μεγάλ Κοικοί Άγωτες κι ίες Οτιήποτε ( ± ( ( ± t ; (3 Όπου, κι ( ( Όχι Κοικοί Γωτές ή άγωτες (ίες ή άιες Μικρά? Σημείωη: Το ιάτημ ( είι υτελετή - κτά προέγγιη. Επίης κι το ιάτημ (, οι πληθυμοί ε είι κοικοί, είι υτελετή - κτά προέγγιη 5. Γι τη ιφορά p -p ύο ιωυμικώ ποοτώ με ύο εξάρτητ είγμτ μεγέθους κι τίτοιχ Α ριθμός επιτυχιώ το είγμ,, κι p ˆ 5 κι ( 5,, το ιάτημ ( ˆ ( p ( ˆ p ± είι έ κτά προέγγιη (-% ιάτημ εμπιτούης γι τη ιφορά p p ύο ιωυμικώ ποοτώ. 6. Γι το λόγο / τω ικυμάεω ύο κοικώ πληθυμώ με ύο εξάρτητ είγμτ μεγέθους κι τίτοιχ, F ; ; F ; ; Γεωποικό Πεπιτήμιο Αθηώ/Γ.Κ.Ππόπουλος (

3 Η γεική ιέ της ιικίς ττιτικού ελέγχου υποθέεω Είη φλμάτω Σττιτική υάρτηη ελέγχου Επίπεο ημτικότητς, κρίιμη τιμή κι περιοχή πόρριψης P-τιμή Σττιτικά ημτικό είγμ Ιχύς του ελέγχου Πρόκειτι γι μι ιικί πόφης μετξύ ύο υποθέεω. Η μι υπόθεη οομάζετι μηεική ( κι η άλλη ελλκτική (. Θέτουμε ως μηεική υτή γι τη οποί μφιβάλουμε, υτή που μφιβητείτι, κι εξετάζουμε έ τυχίο είγμ που πίρουμε πό το πληθυμό υηγορεί-ίει ποείξεις υπέρ της πόρριψής της έτι της ελλκτικής. Έτι, υποθέτοτς ότι η είι ληθής, «υτό που πρτηρείτι το είγμ» είι κρίο, ηλή, έχει πολύ μικρή πιθότητ υμβεί, τότε πορρίπτουμε τη. Σε τίθετη περίπτωη, ηλή, υτό που πρτηρείτι το είγμ ε είι κρίο-πάιο (ότ είι ληθής η τότε το είγμ που πήρμε ε μς ίει ρκετές εείξεις γι τη πόρριψη της κι «ποτυγχάουμε τη πορρίψουμε». Σφάλμ τύπου Ι: Η λθμέη πόρριψη της Σφάλμ τύπου ΙΙ: Η λθμέη μη πόρριψη της Η ττιτική υάρτηη τη οποί επιλέγουμε γι εκφράει «υτό που πρτηρείτι το είγμ». Το μέγιτο ποεκτό επίπεο της πιθότητς φάλμτος τύπου Ι (λθμέης πόρριψης της, υμβολίζετι με κι οομάζετι επίπεο ημτικότητς του ελέγχου. Προκθορίζετι, κι με βάη υτό ορίζετι η κρίιμη τιμή του ελέγχου, ηλή, η τιμή με βάη τη οποί κρίετι υτό που πρτηρείτι το είγμ είι κρίο ή όχι, κι επομέως ίει ττιτικά ημτικές ποείξεις ετίο της. Οι τιμές της ττιτικής υάρτηης ελέγχου γι τις οποίες, ε προκθοριμέο επίπεο ημτικότητς, πορρίπτετι η, ορίζου τη περιοχή πόρριψης της. Είι η ελάχιτη τιμή του επιπέου ημτικότητς γι τη οποί πορρίπτετι η. Α P-Τιμή, τότε ε επίπεο ημτικότητς, η πορρίπτετι. Α < P-Τιμή, τότε ε επίπεο ημτικότητς, η ε πορρίπτετι. Ότ ε επίπεο ημτικότητς πορρίπτετι η, το είγμ χρκτηρίζετι ττιτικά ημτικό (ε επίπεο ημτικότητς κι έχει τη έοι ότι ίει ημτικές ποείξεις ετίο της Όο πιο μικρό είι το επίπεο ημτικότητς το οποίο πορρίπτετι η κι επομέως όο πιο μικρή είι η P-Τιμή τόο πιο ημτικό (ττιτικά είι το είγμ. Είι η πιθότητ μη ποτύχει ο έλεγχος πορρίψει τη ότ ληθής είι η. Δηλή, η ιχύς του ελέγχου εκφράζει τη ικότητ του ελέγχου πορρίπτει ωτά τη. Συμβολίζετι με β όπου β η πιθότητ φάλμτος τύπου ΙΙ, ηλή β P(μη πόρριψη της ληθής η άρ β P(πόρριψη της ληθής η. Γεωποικό Πεπιτήμιο Αθηώ/Γ.Κ.Ππόπουλος ( 3

4 Σττιτικοί έλεγχοι υποθέεω ε επίπεο ημτικότητς. Γι τη μέη τιμή μ εός πληθυμού με έ τυχίο είγμ μεγέθους πόρριψης της : μ μ : μ μ : μ > μ μ Z μ Z μ : μ < μ μ Z μ Z T t T t,, μ Προϋποθέεις Η ικύμη είι γωτή κι ο πληθυμός είι κοικός ή Η ικύμη είι γωτή κι το είι μεγάλο Η ικύμη είι άγωτη κι το είι μεγάλο (οτιήποτε πληθυμός (* μ Z μ Z μ T t???, Η ικύμη άγωτη κι ο πληθυμός είι κοικός (οτιήποτε Το είι μικρό, ο πληθυμός όχι κοικός κι η ικύμη γωτή ή άγωτη Σημείωη: Το t-tet πρότι προϋποθέτει ο πληθυμός είι κοικός, ετούτοις τη πράξη ποεικύετι «θεκτικό» ε υτή τη υπόθεη. Δηλή, το επίπεο ημτικότητς του ελέγχου είι κοτά το κόμη κι η υπόθεη της κοικότητς του πληθυμού ε ικοποιείτι κι εφόο βέβι, η κτομή του πληθυμού ε πέχει ρμτικά πό τη κοική (οβρή υμμετρί, πολυκόρυφη κτλ. κι το μέγεθος του είγμτος ε είι πολύ μικρό. β Στη περίπτωη που ημειώετι με (*, οι τίτοιχοι έλεγχοι είι επιπέου ημτικότητς κτά προέγγιη. Το ίιο υμβίει κι τη περίπτωη που η ικύμη του πληθυμού είι γωτή κι το είγμ είι μεγάλο (πό όχι κοικό πληθυμό.. Γι το ιωυμικό ποοτό p με έ τυχίο είγμ μεγέθους : p p : p > p : p < p Προϋποθέεις p 5 κι πόρριψης ( p ( p ( p ( p 5 της : p p p ( p p ( p p ( p ( είι το ποοτό επιτυχιώ το είγμ Σημείωη: Οι έλεγχοι υτοί είι επιπέου ημτικότητς κτά προέγγιη 3. Γι τη ικύμη εός κοικού πληθυμού με έ τυχίο είγμ μεγέθους πόρριψης της : : : > : < ( ή ( χ ; χ ; ( ( χ ; χ ; Γεωποικό Πεπιτήμιο Αθηώ/Γ.Κ.Ππόπουλος ( 4

5 Γεωποικό Πεπιτήμιο Αθηώ/Γ.Κ.Ππόπουλος ( Γι τη ιφορά μ -μ τω μέω τιμώ ύο πληθυμώ με ύο εξάρτητ είγμτ μεγέθους κι τίτοιχ μ μ : μ μ > : μ μ < : Προϋποθέεις Z Z Z Οι ικυμάεις,, είι γωτές κι οι πληθυμοί είι κοικοί ή Οι ικυμάεις,, είι γωτές κι τ, είι μεγάλ Z Z Z Οι ικυμάεις,, είι άγωτες κι τ, είι μεγάλ (οτιήποτε πληθυμοί (*, t T, t T, t T Οι ικυμάεις,, είι άγωτες κι ίες, οι πληθυμοί είι κοικοί, κι τ, οτιήποτε. ( ( πόρριψης της μ μ :??? Τ, μικρά, οι πληθυμοί όχι κοικοί κι οι ικυμάεις γωτές ή άγωτες (ίες ή όχι (* Στη περίπτωη υτή οι τίτοιχοι έλεγχοι είι επιπέου ημτικότητς κτά προέγγιη. Το ίιο υμβίει κι τη περίπτωη που οι ικυμάεις είι γωτές κι τ είγμτ είι μεγάλ (πό όχι κοικούς πληθυμούς.

6 5. Γι τη ιφορά p -p ύο ιωυμικώ ποοτώ με ύο εξάρτητ είγμτ μεγέθους κι τίτοιχ πόρριψης της : p p ( : p p : p p > : p < p Προϋποθέεις κι υμβολιμοί ( ( Πρέπει ˆ 5 κι ( p ˆ 5 p,, ˆp : το ποοτό επιτυχιώ το είγμ μεγέθους ˆp : το ποοτό επιτυχιώ το είγμ μεγέθους ˆ p p ˆ 6. Γι τη ιότητ τω ικυμάεω, ύο κοικώ πληθυμώ με ύο εξάρτητ είγμτ μεγέθους κι τίτοιχ πόρριψης της : : : > : < F F ; ; ή ; ; F ; ; F ; ; Γεωποικό Πεπιτήμιο Αθηώ/Γ.Κ.Ππόπουλος ( 6

7 Προβλήμτ κι Ακήεις Γι κάθε πρόβλημ που κολουθεί, εκτός τω ερωτημάτω που ιτυπώοτι, γίου με τη βοήθει κάποιου ττιτικού πκέτου κι τ εξής (εφόο είι εφικτό: Έλεγχος τω πιτούμεω (κτά περίπτωη προχώ. β Κτάλληλοι μη πρμετρικοί έλεγχοι, ότ οι πιτούμεες προχές ε ικοποιούτι.. Πρκευάμε έ ιάλυμ μις ουίς, έτω Α, με υγκέτρωη mg/l κι μετά πό ώρες κάμε μετρήεις της υγκέτρωης της ουίς κι πήρμε τ εομέ που κολουθού. 9.5, 9.3, 9.6,.,.,.3, 9., 9.,., 8.9 Με βάη τ εομέ υτά, τεκμηριώετι (ττιτικά ημτική ιάπη της ουίς;. Προκειμέου ές ερευητής ελέγξει ύο πεχάμετρ, έτω Α κι Β, πρκεύε έ ιάλυμ με p 6 κι πήρε μετρήεις με το Α κι μετρήεις με το Β. Τ εομέ που προέκυψ φίοτι το πίκ που κολουθεί. Α Β Με βάη τ εομέ υτά, πώς υγκρίετε τ ύο όργ; 3. Εέ ιλύμτ εός τιρτηρίου τιτλοοτήθηκ με ύο ιφορετικές μεθόους, έτω Α κι Β. Τ ποτελέμτ που προέκυψ φίοτι το πίκ που κολουθεί. Διάλυμ Μέθοος Α Μέθοος Β Με βάη υτά τ εομέ, τεκμηριώετι (ττιτικά ημτική ιφορά μετξύ τω ύο μεθόω τιτλοότηης; 4. Προκειμέου ελέγξουμε μι έ λυτική μέθοο προιοριμού υγκεκριμέης ουίς το ερό, πρκευάμε έ πρότυπο ιάλυμ της ουίς υτής με υγκέτρωη 4 ng/ml κι κάμε 9 μετρήεις πό τις οποίες προέκυψ τ εομέ που κολουθού. 4., 4., 4.3, 4.3, 4., 4., 4., 4.5, 4.5 Με βάη το υγκεκριμέο είγμ, τι μπορούμε πούμε γι τη ξιοπιτί της ές μεθόου; 5. Στο πίκ που κολουθεί φίοτι τ ποτελέμτ που πήρμε με ύο ιφορετικές μεθόους προιοριμού του ζώτου ε λεύρι ιτριού (ε g/g. Μέθοος_ Μέθοος_ Δίου τ εομέ υτά ττιτικά ημτικές ποείξεις ότι τ ποτελέμτ τω ύο μεθόω ιφέρου; 6. Στο πίκ που κολουθεί φίοτι (ε g τ ποτελέμτ πειράμτος που έκε ο Raylegh γι τη πρκευή ζώτου με ύο ιφορετικές μεθόους. Μέθοος_ Μέθοος_ Με βάη τις κτομές τω ύο ειγμάτω, τι μπορούμε πούμε γι τους πληθυμούς πό τους οποίους υτά προέρχοτι; 7. (Συέχει του Προβλήμτος.3: Τ τελευτί χρόι πρτηρείτι υεχώς υξόμεο ειφέρο γι τη μελέτη της υγκέτρωης τοξικώ τοιχείω το οργιμό τω θλάιω θηλτικώ. Στο πλίιο μις χετικής μελέτης γι τη υγκέτρωη, έτω Χ, υρργύρου το υκώτι εός είους ρεικώ Γεωποικό Πεπιτήμιο Αθηώ/Γ.Κ.Ππόπουλος ( 7

8 ελφιιώ, έγι χετικές μετρήεις ε έ τυχίο είγμ 8 ρεικώ ελφιιώ υτού του είους. Τ ποτελέμτ τω μετρήεω υτώ (ε mcrogram/gr φίοτι το πίκ που κολουθεί Με βάη υτές τις μετρήεις κτκευάετε γι τη άγωτη μέη υγκέτρωη υρργύρου το υκώτι τω ρεικώ ελφιιώ του υγκεκριμέου είους έ 95% ιάτημ εμπιτούης κι επίης ελέγξετε ε επίπεο ημτικότητς 5% η άγωτη μέη υγκέτρωη ξεπερά τ 5 mcrogram/gr. Τι υποθέεις χρειάθηκε κάετε; 8. (Συέχει του Προβλήμτος.3: Είι γωτό ότι η πετρελϊκή ρύπη τω θλώ προκλεί, μετξύ άλλω, τη άπτυξη εός υγκεκριμέου τύπου βκτηρίω. Μι ομά ερευητώ, προκειμέου μελετήει υτό το φιόμεο ε μι θλάι περιοχή που έχει πληγεί πό πετρελϊκή ρύπη, πήρε ερό πό ιφορετικά ημεί υτής της περιοχής κι έκε χετικές μετρήεις. Συγκεκριμέ, μέτρηε το ριθμό, έτω Χ, υτώ τω βκτηρίω ά mlllter ερού. Οι τιμές, x, x,..., x, της μετβλητής Χ τ έκ ημεί ήτ 49, 7, 54, 67, 59, 4, 6, 69, 7, 5. Βρείτε έ 95% ιάτημ εμπιτούης γι το μέο ριθμό βκτηρίω ά mlllter ερού τη υπό μελέτη θλάι περιοχή. β Τι υποθέεις χρειάθηκε κάετε γι πτήετε το ερώτημ (; γ Εξηγείτε πώς τιλμβάεθε (πώς ερμηεύετε το 95% ιάτημ εμπιτούης που βρήκτε το (. Α ερευητικές ομάες πάρου, η κάθε μί, πό έ τυχίο είγμ μεγέθους πό τη υπό μελέτη περιοχή, κι υπολογίου (με τη ίι ιικί πό έ 95% ιάτημ εμπιτούης γι το μέο ριθμό βκτηρίω ά mlllter ερού η κάθε μί, πό πό υτά τ ιτήμτ εμπιτούης περιμέετε περιέχου το μέο ριθμό βκτηρίω ά mlllter ερού τη υπό μελέτη θλάι περιοχή; ε Βρείτε έ 99% ιάτημ εμπιτούης γι το μέο ριθμό βκτηρίω ά mlllter ερού τη υπό μελέτη θλάι περιοχή. τ Ποι εκτίμηη είι πιο κριβής, του ερωτήμτος ( ή του (ε; Γι ποι έχουμε μεγλύτερη εμπιτούη; ζ Ν ελέγξετε ε επίπεο ημτικότητς 5% το υγκεκριμέο είγμ ίει ημτικές ποείξεις ότι ο μέος ριθμός βκτηρίω ά mlllter ερού τη υπό μελέτη θλάι περιοχή ξεπερά τ (Συέχει του Προβλήμτος.4: Ές φοιτητής, το πλίιο της πτυχικής του εργίς, μελέτηε μετξύ άλλω, τη ποότητ τρίου, έτω Χ, που περιέχετι το κέρι υήθους τύπου (όχι lght που πράγει μι γωτή γλκτοβιομηχί. Τ ποτελέμτ (ε mg/gr εέ χετικώ μετρήεω που έκε ο φοιτητής ε κέρι που επέλεξε τυχί πό τη πργωγή της γλκτοβιομηχίς ήτ 34, 3, 34, 3, 3, 9, 33, 3, 3. Βρείτε έ 95% ιάτημ εμπιτούης γι τη μέη ποότητ τρίου που περιέχετι το κέρι υήθους τύπου που πράγει η υγκεκριμέη γλκτοβιομηχί. β Τι υποθέεις χρειάθηκε κάετε γι πτήετε το ερώτημ (; γ Σύμφω με τις προιγρφές της γλκτοβιομηχίς, η μέη ποότητ τρίου το κέρι υήθους τύπου που πράγει είι 3mg/gr. Με βάη το είγμ που πήρε ο φοιτητής, ελέγξετε ε επίπεο ημτικότητς 5%, ο ιχυριμός της γλκτοβιομηχίς ευτθεί. Τι υποθέεις χρειάθηκε κάετε γι πτήετε το ερώτημ (γ; ε Σε επίπεο ημτικότητς %, ο ιχυριμός της γλκτοβιομηχίς ευτθεί; Γεωποικό Πεπιτήμιο Αθηώ/Γ.Κ.Ππόπουλος ( 8

9 . (Συέχει του Προβλήμτος.9: Ο φοιτητής μελέτηε επίης τη ποότητ τρίου το κέρι τύπου lght της ίις γλκτοβιομηχίς. Τ ποτελέμτ (ε mg/gr οκτώ χετικώ μετρήεω ήτ 3, 3, 3, 9, 8, 8, 85, 75. Βρείτε έ 95% ιάτημ εμπιτούης γι τη μέη ποότητ τρίου που περιέχετι το κέρι τύπου lght που πράγει η υγκεκριμέη γλκτοβιομηχί. β Βρείτε έ 95% ιάτημ εμπιτούης γι τη ιφορά της μέης ποότητς τρίου το κέρι τύπου lght που πράγει η υγκεκριμέη γλκτοβιομηχί πό τη μέη ποότητ τρίου το κέρι υήθους τύπου (που πράγει η ίι γλκτοβιομηχί. γ Με βάη το 95% ιάτημ εμπιτούης που υπολογίτε το ερώτημ (β, μπορείτε υμπεράετε οι ύο πληθυμικοί μέοι ιφέρου ή όχι κι ι με τι πιθότητ το υμπέρμά ς μπορεί είι λάθος; Ν ιτυπώετε κι κάετε, ε επίπεο ημτικότητς 5%, κτάλληλο ττιτικό έλεγχο γι ελέγξετε η μέη ποότητ τρίου που περιέχετι το κέρι που πράγει η υγκεκριμέη γλκτοβιομηχί είι ίι ή όχι τους ύο τύπους κεριού. Συμφωεί το υμπέρμά ς με υτό του ερωτήμτος (γ; ε Ν κάετε το έλεγχο που ζητείτι το ερώτημ ( ε επίπεο ημτικότητς %. τ Γι υποτηρίξετε κλύτερ το υμπέρμ του ελέγχου που κάτε τ (&(ε ε ποιο επίπεο ημτικότητς θ φερθείτε; Στο %, το 5% ή κι τ ύο; ζ Ν ιτυπώετε κι κάετε ε επίπεο ημτικότητς 5%, κτάλληλο ττιτικό έλεγχο γι ελέγξετε η μέη ποότητ τρίου που περιέχετι το κέρι υήθους τύπου είι μεγλύτερη πό τη μέη ποότητ τρίου που περιέχετι το κέρι τύπου lght περιότερο πό 5mg/gr. η Γι πτήετε τ ερωτήμτ (β, (, (ε κι (ζ χρειάθηκε κάετε κάποιες υποθέεις;. (Συέχει του Προβλήμτος.: Στο πίκ που κολουθεί φίετι το ποοτό (% οξειίου του ργιλίου (alumnum oxde ε κθέ πό 4 κερμικά γγεί που βρέθηκ ε ρχιολογικές κφές που έγι ε ύο ιφορετικές περιοχές (Α κι Β. Α Β Βρείτε έ 95% ιάτημ εμπιτούης γι τη μέη περιεκτικότητ ε ργίλιο τω κερμικώ της περιοχής Α (της χροολογικής περιόου που τιτοιχού τ ευρήμτ. β Βρείτε έ 95% ιάτημ εμπιτούης γι τη μέη περιεκτικότητ ε ργίλιο τω κερμικώ της περιοχής Β (της χροολογικής περιόου που τιτοιχού τ ευρήμτ. γ Βρείτε έ 95% ιάτημ εμπιτούης γι τη ιφορά της μέης περιεκτικότητς ε ργίλιο τω κερμικώ της περιοχής Β πό τη μέη περιεκτικότητ ε ργίλιο τω κερμικώ της περιοχής Α. Με βάη το 95% ιάτημ εμπιτούης που υπολογίτε το ερώτημ (γ, μπορείτε υμπεράετε οι ύο πληθυμικοί μέοι ιφέρου ή όχι κι ι με τι πιθότητ το υμπέρμά ς μπορεί είι λάθος; ε Ν ιτυπώετε κι κάετε, ε επίπεο ημτικότητς 5%, κτάλληλο ττιτικό έλεγχο γι ελέγξετε η μέη περιεκτικότητ ε ργίλιο τω κερμικώ είι ίι ή όχι τις ύο περιοχές. Συμφωεί το υμπέρμά ς με υτό του ερωτήμτος (; τ Τι υποθέεις χρειάθηκε κάετε γι πτήετε τ ερωτήμτ (, (β, (γ κι (ε; ζ Το υμπέρμά ς το (ε υμφωεί με το υμπέρμά ς το τίτοιχο πρόβλημ περιγρφικής ττιτικής; (Πρόβλημ... (Συέχει του Προβλήμτος.6: Η πτυχική μελέτη εός φοιτητή φορούε τ άθη μις υγκεκριμέης ποικιλίς εός φυτού που κλλιεργείτι το ομό Γεωποικό Πεπιτήμιο Αθηώ/Γ.Κ.Ππόπουλος ( 9

10 Κοζάης. Στο πλίιο υτής της μελέτης, ο φοιτητής μέτρηε, μετξύ άλλω, το ριθμό τω πετάλω ε 5 άθη της υγκεκριμέης ποικιλίς που επέλεξε πό κλλιέργειες του ομού Κοζάης. Τ ποτελέμτ υτώ τω μετρήεω ήτ τ κόλουθ Βρείτε έ 99% ιάτημ εμπιτούης γι το μέο ριθμό πετάλω ά άθος της υγκεκριμέης ποικιλίς του φυτού το ομό Κοζάης. β Τι υποθέεις χρειάθηκε κάετε γι πτήετε το ερώτημ (; γ Στη βιβλιογρφί φέρετι ότι ο μέος ριθμός πετάλω της υγκεκριμέης ποικιλίς του φυτού είι 6 πέτλ ά άθος. Ν ιτυπώετε κι κάετε, ε επίπεο ημτικότητς %, κτάλληλο ττιτικό έλεγχο γι ελέγξετε τ ευρήμτ το είγμ που πήρε ο φοιτητής υμφωού ή όχι με τη βιβλιογρφί. Ποι είι πάτηη το ερώτημ (γ ο ζητούμεος έλεγχος γίει ε επίπεο ημτικότητς 5%; 3. Η ποτελεμτικότητ του φυτοφρμάκου που χρηιμοποιεί ές γρότης γι τη τιμετώπιη κάποις υγκεκριμέης θέεις είι γωτό ότι είι 6%, ηλή το 6% τω άρρωτω φυτώ τ οποί χορηγείτι το ε λόγω φάρμκο θερπεύοτι. Γι ελέγξει τη ποτελεμτικότητ εός έου φρμάκου που κτπολεμά τη ίι θέει, ο γρότης χορήγηε υτό το έο φάρμκο ε 5 άρρωτ φυτά κι πό υτά θερπεύθηκ τ. Σε επίπεο ημτικότητς 5%, υποτηρίζου υτά τ πειρμτικά εομέ ότι το έο φάρμκο είι πιο ποτελεμτικό πό υτό που ήη χρηιμοποιεί ο γρότης; β Α ο γρότης είχε εκτελέει το πείρμ με 5 άρρωτ φυτά κι είχε βρει ότι θερπεύτηκ πό υτά τι έπρεπε έχουμε υμπεράει; γ Βρείτε έ 99% ιάτημ εμπιτούης γι τη ποτελεμτικότητ του έου φρμάκου με τ εομέ πό τ 5 φυτά κι έ τίτοιχο ιάτημ με τ εομέ πό τ 5 φυτά. Σχολιάτε τ πλάτη τω ύο ιτημάτω. Πό φυτά πρέπει χρηιμοποιηθού το πείρμ ώτε με πιθότητ 99% το περιθώριο φάλμτος της εκτίμηης του ποοτού τω φυτώ που θερπεύοτι με το έο φυτοφάρμκο είι.; 4. Γι υγκριθεί η ευιθηί ύο ιφορετικώ ποικιλιώ κλμποκιού ε κάποι θέει, έγιε κτάλληλο πείρμ το οποίο χρηιμοποιήθηκ 5 φυτά της ποικιλίς Α κι 5 φυτά της ποικιλίς Β. Βρέθηκε ότι πό τ 5 φυτά της ποικιλίς Α προβλήθηκ πό τη θέει τ 74 κι πό τ 5 φυτά της ποικιλίς Β τ 9. Βρείτε έ 95% ιάτημ εμπιτούης γι τη ιφορά τη ευιθηί τη υγκεκριμέη θέει μετξύ τω ύο ποικιλιώ. β Σε επίπεο ημτικότητς 5%, μπορούμε ιχυριθούμε ότι υπάρχει ιφορά τη ευιθηί τη υγκεκριμέη θέει μετξύ τω ύο ποικιλιώ; Σε επίπεο ημτικότητς %; γ Τι υποθέεις κάτε γι πτήετε τ ερωτήμτ ( κι (β; 5. Τ φυτά ιτριού με ύψος μικρότερο πό 9.44cm (υμπεριλμβομέης κι της τξιθίς χρκτηρίζοτι «κοτά». Έ τυχίο είγμ 5 φυτώ ιτριού πό μι γροτική περιοχή έωε μέο ύψος 89.cm με τυπική πόκλιη 4.58cm. Βρείτε έ 95% ιάτημ εμπιτούης γι το μέος ύψος τω φυτώ ιτριού της υγκεκριμέης γροτικής περιοχής. β Τ ευρήμτ το τυχίο είγμ υποτηρίζου ε επίπεο ημτικότητς 5% ότι τ φυτά ιτριού τη υγκεκριμέη γροτική περιοχή, είι «κοτά»; Γεωποικό Πεπιτήμιο Αθηώ/Γ.Κ.Ππόπουλος (

11 6. Ές φοιτητής του Τμήμτος Περιβάλλοτος του Πεπιτημίου Αιγίου, το πλίιο μις εργτηρικής άκηης, πήρε 5 μετρήεις υγκέτρωης οξυγόου τ ερά μέ το λιμάι της Μυτιλήης κι άλλες μετρήεις τ ερά πρκείμεης θλάις περιοχής έξω πό το λιμάι. Οι μετρήεις τ ερά που ελήφθη μέ πό το λιμάι έω μέη υγκέτρωη οξυγόου 3.8mg/lt με τυπική πόκλιη.9mg/lt, εώ οι μετρήεις τ ερά που ελήφθη έξω πό το λιμάι έω μέη υγκέτρωη οξυγόου3.388mg/lt με τυπική πόκλιη.mg/lt. Σε επίπεο ημτικότητς %, υποτηρίζου τ εομέ υτά μειωμέη υγκέτρωη οξυγόου τ ερά μέ το λιμάι της Μυτιλήης ε χέη με τη υγκέτρωη οξυγόου τ ερά έξω πό το λιμάι; Σε επίπεο ημτικότητς 5%; β Ο κθηγητής έωε τη υγκεκριμέη άκηη ε 3 φοιτητές, ηλή, πό κάθε φοιτητή ζητήθηκε ληφθού πό 5 κι μετρήεις υγκέτρωης οξυγόου πό ερά μέ κι έξω πό το λιμάι της Μυτιλήης τίτοιχ, κι τη υέχει κάει κτάλληλο ττιτικό έλεγχο υποθέεω ε επίπεο ημτικότητς 5%. Α ο κθηγητής γωρίζει ότι η μέη υγκέτρωη οξυγόου τ ερά μέ το λιμάι ε είι μικρότερη πό ότι τ ερά έξω πό το λιμάι, πόοι (περίπου πό τους 3 φοιτητές μέετι κτλήξου το υμπέρμ ότι η μέη υγκέτρωη οξυγόου τ ερά μέ το λιμάι είι μικρότερη πό ότι τ ερά έξω πό το λιμάι; (Υποθέτε ότι όλοι οι φοιτητές εκτέλε τη άκηη ωτά. 7. Γι υγκρίουμε υο τιιβρωτικά επιτρώμτ ωλήω, έτω Α κι Β, κάμε το εξής πείρμ. Σε κάθε μί πό τυχί επιλεγμέες περιοχές τοποθετήμε μέ το έφος ύο ωλήες, το έ ίπλ το άλλο, το ίιο βάθος κι γι ίιο χροικό ιάτημ. Ο ές ωλής πό τους ύο που τοποθετήθηκ ε κάθε περιοχή, είχε επιτρωθεί με το τιιβρωτικό Α κι ο άλλος με το τιιβρωτικό Β. Στο πίκ που κολουθεί φίετι ο βθμός 3 ιάβρωης κάθε ωλή (ε n τις έκ περιοχές Βθμός ιάβρωης με 3 επίτρωμ Α (ε n Βθμός ιάβρωης με 3 επίτρωμ Β (ε n Βρείτε έ 95% ιάτημ εμπιτούης γι τη μέη ιφορά του βθμού ιάβρωης μετξύ ωλήω με τιιβρωτικό επίτρωμ Α κι ωλήω με τιιβρωτικό επίτρωμ Β. β Σε επίπεο ημτικότητς 5%, υποτηρίζου τ πειρμτικά εομέ ότι τ ύο τιιβρωτικά ε έχου τη ίι ποτελεμτικότητ; γ Γι πτήετε τ προηγούμε ερωτήμτ χρειάθηκε κάετε κάποιες υποθέεις; 8. Πέτε μοάες εμφιάλωης ψυκτικώ έχτηκ εφρμόου μι έ μέθοο τη ιικί πργωγής προκειμέου ελεγχθεί (πό μι ερευητική ομά η έ μέθοος υξάει τη πργωγικότητ. Στο πίκ που κολουθεί φίετι, γι κάθε μι πό τις πέτε πργωγικές μοάες, ο ριθμός μπουκλιώ που πρήχθη ά ώρ πρι κι μετά τη εφρμογή της ές ιικίς πργωγής. Πργωγικότητ Πργωγική Μοά (ριθμός μπουκλιώ ά ώρ Πρι Μετά Με βάη υτά τ πειρμτικά εομέ ελέγξετε ε επίπεο ημτικότητς 5%, η έ μέθοος υξάει τη πργωγικότητ τω μοάω πργωγής. Γεωποικό Πεπιτήμιο Αθηώ/Γ.Κ.Ππόπουλος (

12 9. Δύο ερευητές Α κι Β, έκ 6 μικρολυτικούς προιοριμούς της περιεκτικότητς ε άθρκ εός χημικού προϊότος κι πήρ τις κόλουθες τιμές. Ερευητής Α Ερευητής Β Με βάη υτά τ εομέ, πώς υγκρίοτι ε επίπεο ημτικότητς 5% οι ικυμάεις τω μετρήεω που κάου οι ύο ερευητές.. Ερευητές που ήθελ μελετήου τη επίρη εός λιπάμτος τη άπτυξη τω ρπιώ (Raphanu atvu, επέλεξ τυχί 3 πόρους ρπιού τους οποίους χρηιμοποίη μάρτυρες (ε χρηιμοποιήθηκε το λίπμ κι άλλους 3 τους οποίους χρηιμοποιήθηκε το λίπμ. Στο πίκ που κολουθεί φίοτι τ ύψη τω φυτώ (ε cm μετά ύο εβομάες. Χρηιμοποιήθηκε λίπμ Μάρτυρες Σε επίπεο ημτικότητς.5, μπορού οι ερευητές ιχυριτού ότι το υγκεκριμέο λίπμ επιρά τη άπτυξη τω ρπιώ;. Γι μελετήουμε τη περιεκτικότητ ύο ιφορετικώ ποικιλιώ (ποξηρμέω ύκω ε κάλιο, πήρμε 5 χετικές μετρήεις πό κάθε ποικιλί. Τ ποτελέμτ τω μετρήεω (ε mg ά g ποξηρμέω ύκω φίοτι το πίκ που κολουθεί Ποικιλί Α Ποικιλί Β Με βάη υτά τ εομέ, τι μπορούμε υμπεράουμε γι τη μέη περιεκτικότητ κλίου τις ύο ποικιλίες (ποξηρμέω ύκω;. Σε έ πείρμ που έγιε γι μελετηθεί η πόοη ύο έω ποικιλιώ ίτου (έτω Α κι Β, πάρθηκ πό ύο όμοιοι γροί ε 9 ιφορετικές περιοχές, πό ές γρός γι κάθε ποικιλί ε κάθε περιοχή. Οι ποόεις, ε κιλά, φίοτι το πίκ που κολουθεί Ποικιλί Α Ποικιλί Β Σε επίπεο ημτικότητς 5%, ίου υτά τ πειρμτικά εομέ ττιτικά ημτικές ποείξεις ότι η πόοη τω ύο ποικιλιώ ιφέρει; 3. Προκειμέου ελέγξουμε ύο λυτικές μεθόους προιοριμού υγκεκριμέης ουίς το ερό, έτω Α κι Β, πρκευάμε έ πρότυπο ιάλυμ της ουίς υτής με υγκέτρωη 4 ng/ml κι κάμε 9 μετρήεις με κάθε μέθοο. Τ ποτελέμτ που πήρμε φίοτι το πίκ που κολουθεί. Α Β Με βάη τ εομέ υτά, ποι πό τις ύο μεθόους θ εμπιτευότ; Γεωποικό Πεπιτήμιο Αθηώ/Γ.Κ.Ππόπουλος (