ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ- ΙΟΥΝΙΟΥ 2005 ΤΑΞΗ: Β ΛΥΚΕΙΟΥ (ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ) ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Transcript

1 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ- ΙΟΥΝΙΟΥ 005 ΤΑΞΗ: Β ΛΥΚΕΙΟΥ (ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ) ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέμα 1 ο Α. Έστω Ε η εφαπτομένη του κύκλου C: x + y = p σε ένα σημείο του Α (x 1, y 1 ). Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη του κύκλου C στο σημείο Α έχει εξίσωση x.x 1 +y.y 1 =p. Μονάδες 10 Β. Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων ευθειών του κύκλου x + y = 5 στα σημεία του, που έχουν τετμημένη 4. Μονάδες 9 Γ. Δίνεται ο κύκλος C με εξίσωση (x 3) + (y ) = 9. Να αποδείξετε ότι η ευθεία ε: 3x + 4y = 0 εφάπτεται του κύκλου C. Μονάδες 6 Θέμα ο Α. Έστω α,β,γ ακέραιοι. Να αποδείξετε την ιδιότητα: «Αν α/β και α/γ, τότε α/(β+γ)». Μονάδες 8 Β. Για ποιες τιμές του ακέραιου κ, ο αριθμός 3 κ είναι ακέραιος; Μονάδες 10 Γ. Αν m / α και m > 1, να αποδείξετε ότι m α + 1. Μονάδες 7 Θέμα 3 ο Α. Έστω δύο σημεία Α (x 1, y 1 ) και Β (x, y ) του καρτεσιανού επιπέδου. Αν Μ (x,y) οι συντεταγμένες του μέσου Μ του ΑΒ, να δείξετε χ ότι: 1 + χ χ y 1 + y = και. Μονάδες 10 Β. Να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά, αν: 3 ΑΓ ΛΓ + ΛΑ = 3ΒΚ ΛΑ Μονάδες 7 Γ. Να αποδείξετε ότι: i) r r r + + u v r = u v u r + v r

2 ii) r r u v = 1 4 r r u + v 1 4 r r u v Μονάδες 8 Θέμα 4 ο Α. Να βρείτε τις τιμές του λ R, ώστε οι ευθείες: ε 1 : (λ+1)x+λx+7=0 και ε : - λx+3y+λ=0, να είναι κάθετες. Μονάδες 7 Β. Δίνονται οι ευθείες: ε 1 : y = x + 7, ε : y = 3. x + 4, ε3: x=3, ε 4 : x y + 3 = 0, ε 5 : x 3. y + 5 = 0. x + 4, ε6: y=1 Να τις γράψετε στη σειρά ώστε κάθε επόμενη να σχηματίζει με τον άξονα x x γωνία μεγαλύτερη από την προηγούμενή της. Μονάδες 6 Γ. Έστω β, α, β > 0 x y α και οι ευθείες ε 1 : + = 1 α β και ε : x y + = 1 β α Να αποδείξετε ότι οι ε 1 και ε τέμνονται σε σημείο που ανήκει στην ευθεία y=x Μονάδες 1 Παρατηρήσεις: 1. Να απαντηθούν όλα τα θέματα στην κόλλα αναφοράς. Να μην σημειώσετε τίποτα πάνω στην κόλλα των θεμάτων παρά μόνο το όνομά σας. ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ!

3 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΜΥΤΙΛΗΝΗΣ ΤΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΙΓΑΙΟΥ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΥΤΙΛΗΝΗ 6/5/08 ΕΞΕΤΑΣΤΕΣ ΘΕΜΑ 1 Ο Α) Έστω Oxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο. Να δειχθεί ότι ο κύκλος με κέντρο το Ο(0,0) και ακτίνα ρ έχει εξίσωση x +y =ρ. (9 μονάδες) Β) Γράψτε την εξίσωση της παραβολής C ι) με εστία Ε( p p,0) και διευθετούσα την δ: x (p 0) p p ιι) με εστία Ε( 0, ) και διευθετούσα την δ: y (p 0) (χ3=6 μονάδες) Γ) Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. x y α) οι ασύμπτωτες της υπερβολής 1 ί y x a x y β) η εξίσωση 1 παριστάνει υπερβολή 4 9 γ) Κάθε ευθεία που περνά από το Α(x o,y o ) έχει εξίσωση της μορφής y-y o =λ(x-x o ). δ) αν a, yy' τότε ισχύει a 1 ό 1 1 ε) Η έλλειψη με εξίσωση x y a 1 με α>β έχει εστίες στον άξονα xx. a (5χ=10 μονάδες) ΘΕΜΑ Ο Δίνονται τα διανύσματα a 0 a,, 3, 1, και

4 ι) Να δείξετε ότι. 3 ιι) Να δείξετε ότι ιιι) Na δείξετε ότι a 3 (9 μονάδες) (8 μονάδες) (8 μονάδες) ΘΕΜΑ 3 Ο Έστω (ε) η ευθεία που τέμνει τους άξονες στα Α(α,0) με α 0 και Β(0,). x y ι) Να αποδείξετε ότι η ( ε) έχει εξίσωση 1 a (9 μονάδες) ιι) Αν η ευθεία (ε) διέρχεται από το σημείο Μ(-,1) να βρεθεί το Εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζει με τους άξονες. (7 μονάδες) ιιι) Να βρεθεί η απόσταση της αρχής των αξόνων Ο(0,0) από την ευθεία (ε) του ιι) ερωτήματος. (9 μονάδες) ΘΕΜΑ 4 Ο Δίνεται η εξίσωση x +y -4λx-8λy=0 (1) όπου λ πραγματικός αριθμός. α) Να βρείτε τους πραγματικούς λ ώστε η εξίσωση (1) να παριστάνει κύκλο. (6 μονάδες) β) Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των κέντρων των παραπάνω κύκλων (7 μονάδες) γ) Να δειχθεί ότι όλοι οι κύκλοι που ορίζονται από την (1) διέρχονται από την αρχή των αξόνων Ο(0,0). (4 μονάδες) δ) Να βρείτε ποιος από τους παραπάνω κύκλους τέμνεται από την ευθεία (η) : y=x+6 στα σημεία Α, Β ώστε OA OB 0 (8 μονάδες) Απαντήστε σε όλα τα θέματα. Καλή επιτυχία!

5

6

7

8 ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΜΥΡΙΝΑΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΜΥΡΙΝΑ ΤΑΞΗ Β ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ- ΙΟΥΝΙΟΥ 011 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ- ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1: Α) Δίνεται η ευθεία ε: Αχ+Βψ+Γ=0. Να αποδείξετε ότι η ευθεία ε είναι παράλληλη στο διάνυσμα δ =(Β,-Α). (Να εξετάσετε δυο περιπτώσεις: ι) Β=0 και ιι) Β 0). (10 Μονάδες) Β) Τι ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο μη μηδενικών διανυσμάτων α και β ; (5 Μονάδες) Γ) Χαρακτηρίστε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α) Η έλλειψη χ ψ + = 1 με α>β έχει τις εστίες της πάνω στον άξονα ψ ψ. β α β) Η εκκεντρότητα της έλλειψης όπου γ η εστιακή απόσταση. χ ψ + = 1 με α<β δίνεται από τον τύπο ε= γ α β β, γ) Η ευθεία με εξίσωση χ=χ0 έχει συντελεστή διεύθυνσης λ=0. δ) Αν λ1, λ οι συντελεστές διεύθυνσης των ευθειών ε1, ε αντίστοιχα τότε ισχύει: ε1 ε λ1 λ= -1. ε) Η εφαπτομένη (ε) της παραβολής ψ =pχ σε ένα σημείο της Α(χ1, ψ1) έχει εξίσωση (ε): ψψ1= p(χ+χ1). (*5=10 Μονάδες) ΘΕΜΑ : Δίνονται τα σημεία Α(1,), Β(-,) και Γ(6,-). Α) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας ΑΒ. (5 Μονάδες) Β) Να βρεθούν οι συντεταγμένες του μέσου Μ του ευθυγράμμου τμήματος ΒΓ. (4 Μονάδες) Γ) Να βρεθεί η εξίσωση της μεσοκαθέτου του ευθυγράμμου τμήματος ΒΓ. (8 Μονάδες)

9 Δ) Να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ. (8 Μονάδες) ΘΕΜΑ 3: Δίνονται τα διανύσματα: α= ( 3,1), β= (, ), γ= ( λλ, 4), λ και ν = α β. Α) Να αποδείξετε ότι: α = 10 Β) Να αποδείξετε ότι: ν = (1, 3). Γ) Να βρείτε το λ ώστε γ // ν. και β = Δ) Να δειχθεί ότι η γωνία των διανυσμάτων α και β είναι αμβλεία.. (4 Μονάδες) (4 Μονάδες) (8 Μονάδες) (9 Μονάδες) ΘΕΜΑ 4: Ένα πιθηκάκι είναι σε ένα ζωολογικό κήπο και η φωλιά του βρίσκεται μέσα σε μια κυκλική περίφραξη που έχει κέντρο το σημείο Κ(1,0) και ακτίνα ρ= 5 μέτρα. Κατά μήκος της ευθείας ε: 3χ-4ψ-18=0 υπάρχουν μπανάνες τις οποίες το πιθηκάκι προσπαθεί να πιάσει απεγνωσμένα. Α) Να βρείτε τα σημεία τομής Α, Β της ευθείας ε με τους άξονες ψ ψ και χ χ αντίστοιχα. (4 Μονάδες) Β) Να αποδείξετε ότι το κέντρο Κ της κυκλικής περίφραξης απέχει από την ευθεία ε 3 μέτρα. (7 Μονάδες) Γ) Αν το πιθηκάκι μπορεί να βγάλει το χέρι του έξω από την περίφραξη μόνο κατά μισό μέτρο, να δικαιολογήσετε ότι θα μπορούσε να φάει μία τουλάχιστον μπανάνα. (4 Μονάδες) Δ) Αν το πιθηκάκι κατάφερε να φάει μία τουλάχιστον μπανάνα, να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Μ της κυκλικής περίφραξης στο οποίο στάθηκε. (10 Μονάδες) Ο ΔΙΕΥΘΥΝΤΗΣ ΟΙ ΕΙΣΗΓΗΤΕΣ

10 3 o ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ Γραπτές Προαγωγικές Εξετάσεις Μαίου 005 Τάξη Β Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΘΕΜΑ 1 ο 1. Έστω τα σημεία 1 1. Να γράψετε την σχέση με την οποία A ( ) x 1 x εκφράζεται ο συντελεστής διεύθυνσης λ της ευθείας που διέρχεται από τα A, B συναρτήσει των x 1, y 1, x, y. [10 ΜΟΝΑΔΕΣ]. Έστω οι ευθείες 1 1. Να γράψετε την σχέση που πρέπει να ικανοποιούν οι 1 ε,ε 1 να είναι : I. Παράλληλες [5 ΜΟΝΑΔΕΣ] II. Κάθετες [5 ΜΟΝΑΔΕΣ] 3. Έστω το σημείο A ( x ), y 0 0 διέρχεται από το A και έχει συντελεστή διευθύνσεως λ. Δίνoνται η ευθεία και ο αριθμός λ. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που ΘΕΜΑ ο 4 x + 3 y = και τα σημεία Α ( 1, 3 ), Β ( 8, 9 ), Γ (, 3 ). 1. Να επαληθεύσετε ότι τα σημεία Α, Β ανήκουν στην ( ε ) και ότι το Γ δεν ανήκει 5 ( ε ) [5 ΜΟΝΑΔΕΣ] [6 ΜΟΝΑΔΕΣ]. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το Γ και είναι παράλληλη στην ( ε ). [6 ΜΟΝΑΔΕΣ] 3. Να υπολογίσετε την απόσταση του σημείου Γ από την ( ε ). [6 ΜΟΝΑΔΕΣ] 4. Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ. [7 ΜΟΝΑΔΕΣ] ΘΕΜΑ 3 ο Δίνεται ο κύκλος (C) : x + y = 5 και η οικογένεια των ευθειών λ x y λ = 0 (α) με λ R 1. Να αποδείξετε ότι όλες οι ευθείες της (α) διέρχονται από σταθερό σημείο του (C) του οποίου και να προσδιορίσετε τις συντεταγμένες. [10 ΜΟΝΑΔΕΣ]. Να βρείτε ποιες ευθείες της (α) εφάπτονται στον (C). [10 ΜΟΝΑΔΕΣ] 3. Να βρείτε ποιες ευθείες της (α) αποκόπτουν από τον (C) χορδή μήκους 8. [5 ΜΟΝΑΔΕΣ] Σελίδα 1 από

11 Έστω η υπερβολή ΘΕΜΑ 4 ο (Η) : x 3 y = 1 1. Να επαληθεύσετε ότι οι εστίες της (Η) είναι τα σημεία. Να αποδείξετε ότι για κάθε σημείο Μ της (Η) ισχύει 3. Έστω Ν ( ρ, τ ) 3 E ', 0, 3 E 3 3, 0 [5 ΜΟΝΑΔΕΣ] ME ' ME ME ' ME ' = [10 ΜΟΝΑΔΕΣ] 3 ένα σημείο της (Η) με ακέραιες συντεταγμένες. Να αποδείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο ν το υπόλοιπο της διαίρεσης ρ ν : 3 είναι 1. [10 ΜΟΝΑΔΕΣ] Να απαντήσετε σε όλα τα ζητήματα. Μπορείτε στην απάντηση κάποιου ερωτήματος ενός θέματος να χρησιμοποιήσετε τα προηγούμενα ερωτήματα ανεξάρτητα αν τα έχετε απαντήσει Καλή Επιτυχία. Ν. Σμύρνη 6 Ιουνίου 005 Η Διευθύντρια Οι Καθηγητές Ν.Σ. Μαυρογιάννης Δημήτριος Μιχαλόπουλος Σελίδα από

12 Graptèc Proagwgikèc Exet seic Maou-IounÐou 007 T xh: B Exetazìmeno M jhma: Majhmatik Jetikc kai Teqnologikc KateÔjunshc Jema 1 'Estw o kôkloc me kèntro K (x 0,y 0 ) kai aktðna ρ. 1. Na apodeðxete ìti h exðswsh tou kôklou mporeð na p rei th morf: x + y + Ax + By +Γ=0, A + B 4Γ > 0 (1). DeÐxte ìti k je exðswsh thc morfc (1) parist nei kôklo. Mon dec: Jema DÐnontai ta shmeða A(, 3), B ( 1, 4). JewroÔme ìla ta shmeða M gia ta opoða isqôei 1. Na breðte to gewmetrikì tn shmeðwn M. MA AB =1 (). Na breðte gia poia shmeða M pou èqoun thn idiìthta () to embadìn tou trignou MABeÐnai 10. Mon dec:

13 Jema 3 'Estw hparabol (α) me exðswsh y =4x. kai h eujeða 4x 3y 4=0. 1. Na breðte ta koin shmeða A, B twn (α), (ζ) (A onom zoume ekeðno me th megalôterh tetmhmènh).. Na breðte tic exisseic twn efaptomènwn (ε 1 ), (ε ) thc parabolc (α) sta A, BantÐstoiqa. 3. 'Estw Gto koinì shmeðo thc(ε 1 ) me th dieujetoôsa (δ) thc parabolc kai E h estða thc parabolc. (a) Na apodeðxete ìti h (ε ) dièrqetai apì to G. (b) Na apodeðxete ìti to GE eðnai Ôyoc tou trignou ABG Mon dec: a. 6 3b. 6 Jema 4 DÐnontai oi exisseic: x + y +x =0 (C), (λ 1) x +(λ ) y +λ +3=0 (ε) 1. Na apodeðxete ìti: (a) H (C) parist nei kôklo pou dièrqetai apì thn arq O twn axìnwn. (b) Gia k je λ R h (ε) parist nei eujeða.. Na apodeðxete ìti oi eujeðec (ε), λ R dièrqontai apì stajerì shmeðo tou opoðou na prosdiorðsete tic suntetagmènec. 3. Na breðte gia poi tim tou λ R h (ε) tèmnei ton (C) se dôo shmeða A, B tètoia ste OA OB Mon dec: 1.a 4 1.b Na apantsete se ìla ta jèmata. Kal EpituqÐa N. SmÔrnh 4 IounÐou 007 O Dieujuntc Oi Eishghtèc Qrstoc Ap. R mmoc SpurÐdwn AmoÔrghc Gergioc Jeoq rhc N.S. Maurogi nnhc

14 Γραπτες Προαγωγικες Εξετασεις Μαϊου-Ιουνιου 008 Ταξη: Β Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Θεμα 1 Θεωρούμε δύο μη μηδενικά διανύσματα α, β. 1. Να δώσετε τον ορισμό του εσωτερικού γινομένου των α, β.. Να αποδείξετε ότι αν ορίζονται οι συντελεστέςδιεύθυνσηςλ 1,λ των α, β αντίστοιχα τότε ισχύει α β λ 1 λ = 1 Θεμα Δίνεται η παραβολή y =8x. 1. Να βρεθεί η εστία της.. Να βρεθεί η διευθετούσα της. 3. Να βρεθεί η εφαπτομένη τηςστο σημείο τηςp ( 1, ). Θεμα 3 Δίνονται τα σημεία A (, 1), B (4, 3), ηευθεία Μονάδες: Μονάδες: (ɛ) : λx y =0 και ο κύκλος (C) : (x 3) +(y ) = 1. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικόςτόποςτων σημείων M για τα οποία ισχύει είναι ο κύκλος (C) AM AB AM =0 1

15 . Να βρείτε τιςτιμέςτου λ για τιςοποίες: (αʹ) Η ευθεία (ɛ) και ο κύκλος (C) έχουν δύο κοινά σημεία. (βʹ) Η ευθεία (ɛ) και ο κύκλος (C) έχουν δύο κοινά σημεία Γ, Δ έτσι ώστε (ΓΔ) =. Θεμα 4 Δίνονται οι ευθείες: Μονάδες: α. 5 β. 5 (ε 1 ) y = αx (ε ) y = βx και το σημείο P (κ, λ) που δεν ανήκει στις (ε 1 ), (ε ). Τα α, β, κ, λ θεωρούνται γνωστοί αριθμοί με α β. 1. Τυχόν σημείο της (ε 1 ) έχει τετμημένη t. Να αποδείξετε ότι το συμμετρικό του ωςπροςκέντρο συμμετρίαςτο σημείο P έχει συντεταγμένες κ t, λ αt.. Τα σημεία A, B ανήκουν στις (ε 1 ), (ε ) αντιστοίχωςκαι το σημείο P είναι μέσο του ευθυγράμμου τμήματος AB. (αʹ) Να υπολογίσετε τιςσυντεταγμένεςτων A, B. (βʹ) Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του τριγώνου με κορυφέςτην αρχή των αξόνων και τα A, B είναι (ακ λ)(βκ λ) α β Μονάδες: 1. 5.α 10 β. 10 Να απαντήσετε σε όλα τα θέματα. Καλή Επιτυχία Ν. Σμύρνη, Δευτέρα 5 Ιουνίου 008 Ο Διευθυντής Οι Εισηγητές ΧρήστοςΑπ. Ράμμος ΚωνσταντίνοςΛαμπρόπουλος Ν.Σ. Μαυρογιάννης ΒασίλειοςΤσίτσος

16 ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΤΑΞΗ: Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ο Α) Αν α,β,γ ακέραιοι και α β και α γ να αποδείξετε ότι α β+γ (μονάδες 7) Β) Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε περίπτωση: α) Αν οι αριθμοί α,κ είναι ακέραιοι, η ισότητα α=3.κ+4 είναι η ταυτότητα της Ευκλείδιας διαίρεσης του α:3 (μονάδες 3) β) Υπάρχει έλλειψη με εκκεντρότητα ίση με 3. (μονάδες 3) γ) Η εστία της παραβολής x =8y είναι το σημείο Ε(,0) (μονάδες 3) δ) Το διάνυσμα a =(-3,) είναι παράλληλο στην ευθεία ε:-3x+y+7=0 (μονάδες 3) Γ) Να μεταφέρετε στην κόλλα σας τις παρακάτω προτάσεις ορθά συμπληρωμένες α) Ο κύκλος με κέντρο το σημείο Κ(x o,y o ) και ακτίνα ρ έχει εξίσωση (μονάδες 3) y x β) Η υπερβολή a 1 έχει ως ασύμπτωτες τις ευθείες με εξισώσεις και (μονάδες 3)

17 ΘΕΜΑ ο Δίνονται τα διανύσματα a, 1, (a, ), 3 και το διάνυσμα. Να δείξετε ότι: α). =-1 β) 3 γ) Να υπολογίσετε την γωνία (, ) (μονάδες 7) (μονάδες 10) (μονάδες 8) ΘΕΜΑ 3 ο Δίνεται η εξίσωση (λ+1)x+(λ-1)y+λ=0, λr (1).Να δείξετε ότι: a) για κάθε πραγματική τιμή του λ, η (1) παριστάνει ευθεία. (μονάδες 5) β) για κάθε πραγματική τιμή του λ, οι ευθείες (1) διέρχονται από σταθερό σημείο, το οποίο να υπολογίσετε (μονάδες 1) γ) να βρείτε την τιμή του λ ώστε η ευθεία, που ορίζεται από την (1) να είναι κάθετη στην ευθεία y=x. (μονάδες 8) ΘΕΜΑ 4 ο Δίνεται η εξίσωση C: x +y -λx-5=0 και η ε: x+y-=0 a) να δείξετε ότι για κάθε πραγματική τιμή του λ, η C παριστάνει κύκλο, του οποίου να βρεθεί το κέντρο. (μονάδες 5) β) Αν Ρ είναι ένα σημείο του παραπάνω κύκλου και η ευθεία ε τον τέμνει στα Α,Β ώστε =90 ο, τότε να βρείτε τον αριθμό λ (μονάδες 10) γ) Αν λ= να βρείτε την εφαπτομένη του κύκλου C στο σημείο του Γ(1, ) (μονάδες 10) Απαντήστε σε όλα τα θέματα. Καλή επιτυχία!!

18 Ονοματεπώνυμο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο - ΕΥΘΕΙΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α) i) Να αποδείξετε ότι ο συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας που διέρχεται από τα σημεία y y1 x1, y1 και x, y με x1 x είναι. x x1 ii) Να αποδείξετε ότι: α) 1 1 β) όπου 1, οι συντελεστές διεύθυνσης των ευθειών 1, αντίστοιχα. 10 μονάδες Β. Να συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις: i) Όταν μια ευθεία είναι παράλληλη στον x x έχει εξίσωση, ενώ όταν είναι παράλληλη στον άξονα y y έχει εξίσωση.. ii) Η εξίσωση xy 0 παριστάνει στο επίπεδο ευθεία όταν. Ειδικότερα, όταν 0, τότε η ευθεία είναι παράλληλη προς τον άξονα, ενώ όταν 0, είναι ευθεία παράλληλη προς τον άξονα. Αν η ευθεία διέρχεται από την αρχή των αξόνων τότε είναι. 3 μονάδες Γ) Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις Σ ή Λ: i) Ένα διάνυσμα παράλληλο προς μια ευθεία σχηματίζει με τον άξονα x x την ίδια γωνία που σχηματίζει και η. Σ Λ ii) Το παράλληλο διάνυσμα προς την ευθεία με εξίσωση xy 0 είναι το διάνυσμα,. Σ Λ 1 iii) Το εμβαδό ενός τριγώνου ΑΒΓ είναι det,. Σ Λ iv) Η ευθεία με εξίσωση y x είναι παράλληλη προς το διάνυσμα v i j. Σ Λ v) Η απόσταση του σημείου x0, y0 από την ευθεία : xy 0 δίνεται από τον τύπο d,. Σ Λ x0 y0 10 μονάδες Δ) Αν μια ευθεία σχηματίζει με τον άξονα x x γωνία 90, τότε ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας :

19 Α: είναι 0 Β: είναι 0 Γ: δεν ορίζεται Δ: είναι 1 Ε: είναι 1 Επιλέξτε τη σωστή απάντηση. μονάδες ΘΕΜΑ ο Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ είναι (,1). Δύο από τα ύψη του τριγώνου έχουν εξισώσεις 3x y11 0 και x y3 0. α) Να βρείτε τις εξισώσεις των πλευρών ΑΒ και ΑΓ. β) Να δείξετε ότι Β(4,-1) και Γ(-4,-1). γ) Να βρείτε την εξίσωση της πλευράς ΒΓ. δ) Να υπολογίσετε το εμβαδό του τριγώνου ΑΒΓ. 7 μονάδες 6 μονάδες 6 μονάδες 6 μονάδες ΘΕΜΑ 3 ο Δίνεται το σημείο Α(7, 9) και η ευθεία (ε): x + y 10 = 0. α) Να βρεθεί η προβολή του Α στην (ε). β) Να δείξετε το συμμετρικό του Α ως προς την (ε) είναι το Β (1, 3). 6 μονάδες 6 μονάδες γ) Να βρεθεί σημείο Δ της ευθείας (η): x - 3y - 30 = 0 το οποίο ισαπέχει από τα Α και Β. 7 μονάδες δ) Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ(x, y) για τα οποία ισχύει (ΜΑΒ) = 6 τ.μ. 6 μονάδες ΘΕΜΑ 4 ο Δίνεται η εξίσωση x y x y3 3xy1 0 με (1) α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (1) παριστάνει ευθεία για κάθε. 5 μονάδες β) Να αποδείξετε ότι όλες οι ευθείες που ορίζονται από την εξίσωση(1) διέρχονται από ένα σταθερό σημείο Σ το οποίο και να βρεθεί. 5 μονάδες γ) Από τις ευθείες που ορίζονται από την (1) να βρείτε την ευθεία (ε 1 ) που είναι παράλληλη με την ευθεία (η): 3x + 3y + 5 = 0. δ) Να βρείτε την απόσταση των ευθειών (ε 1 ) και (η). ε) Να βρείτε την εξίσωση της μεσοπαράλληλης των (ε 1 ) και (η). 5 μονάδες 5 μονάδες 5 μονάδες

20 ΘΕΜΑ 1 r Α. Δίνονται τα διανύσματα α r = ( x 1,y 1 ), β = x,y ( ) µε x 1,x,y 1,y και x 1 x 0 r Αν λ1, λ οι συντελεστές διεύθυνσης των διανυσμάτων α να αποδείξετε ότι : r r i) α / /β λ 1 = λ και r r ii) α β λ 1 λ = 1 r, β αντίστοιχα, ΜΟΝΑΔΕΣ 8 Β. Έστω µία ευθεία δ και ένα σηµείο Ε εκτός της δ. Τι ονοµάζουµε παραβολή µε εστία το σηµείο Ε και διευθετούσα την ευθεία δ ; ΜΟΝΑΔΕΣ 7 Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στη κόλλα σας τη λέξη ΣΩΣΤΟ ή ΛΑΘΟΣ δίπλα στον αριθµό που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση 1) Όσο η εκκεντρότητα µίας έλλειψης µικραίνει και τείνει στο 0 τόσο πιο επιµήκης γίνεται η έλλειψη r r ur ) Αν για τα διανύσµατα u, v, w r r ισχύει : u v r ur = u w r, τότε u ur ( w) r v 3) Δίνονται οι ευθείες ε1:y = λx + β1 και ε: y = λx+β. Η µεσοπαράλληλη ευθεία των ε1, ε έχει πάντα εξίσωση y = λx + β 1 + β 4) Ο κύκλος µε εξίσωση ( x α) + ( y α) = α, α 0 εφάπτεται στους άξονες των συντεταγµένων 5) H ευθεία Αx + By + Γ = 0, µε Α, Β, Γ και Α Β>0 σχηµατίζει αµβλεία γωνία µε τον άξονα x x ΘΕΜΑ r Έστω τα διανύσματα α r, β r µε α r = 1, β r r = και α,β = π 3 ΜΟΝΑΔΕΣ x 5 = 10 r r Α. Να υπολογίσετε το εσωτερικό γινόμενο α β

21 r Β. Αν επιπλέον για τα διανύσματα u r r r r r r u = α + β, v = α β r i) Να αποδείξετε ότι v = r, v γνωρίζουμε ότι : ΜΟΝΑΔΕΣ 7 r r ii) Να υπολογίσετε το εσωτερικό γινόµενο u v ΜΟΝΑΔΕΣ 10 ΜΟΝΑΔΕΣ 8 ΘΕΜΑ 3 r Δίνονται τα διανύσματα α r r i) Αν τα διανύσματα α,β r = ( y,4) και β = ( y +,1 x) x, y είναι κάθετα να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος του σημείου Μ(x, y ) είναι η παραβολή C: y = 8x της οποίας να βρείτε τις συντεταγμένες της εστίας Ε και την εξίσωση της διευθετούσας δ ΜΟΝΑΔΕΣ 7 ii) Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της παραβολής C που διέρχονται από το σημείο Α(-,0) ΜΟΝΑΔΕΣ 10 iii) Έστω ε1 : y = x + μία από τις εφαπτομένες του (ii) ερωτήματος. Ο κύκλος C1 έχει κέντρο την αρχή των αξόνων και αποκόπτει από την ευθεία ε1 χορδή μήκους. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου C1 ΜΟΝΑΔΕΣ 8 ΘΕΜΑ 4 Έστω η εξίσωση x + y -λx+4λy +5λ - 1 = 0 (1), λ i) Nα δείξετε ότι η εξίσωση (1) παριστάνει άπειρους ίσους κύκλους για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου λ

22 ΜΟΝΑΔΕΣ 6 ii) Nα βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των κέντρων των παραπάνω κύκλων ΜΟΝΑΔΕΣ 5 iii) Να αποδείξετε ότι όλοι οι κύκλοι της εξίσωσης (1) εφάπτονται σε δύο σταθερές παράλληλες ευθείες, των οποίων να βρεθούν οι εξισώσεις ΜΟΝΑΔΕΣ 7 iv) Για τους α 1,α,β 1,β ισχύουν οι σχέσεις : ( α 1 λ) + ( β 1 + λ) = ( α λ) + ( β + λ) = 1 Να αποδείξετε ότι : 0 ( α 1 α ) + ( β 1 β ) 4 ΜΟΝΑΔΕΣ 7

23 ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΛΟΥΤΡΩΝ ΑΙΔΗΨΟΥ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 011 ΜΑΘΗΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΤΑΞΗ: Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ο Α. Αν α, β είναι δύο διανύσματα να δοθεί ο ορισμός του εσωτερικού τους γινομένου α β (μονάδες 5) Β. Έστω α, v δύο διανύσματα με α 0. Να αποδειχθεί ότι: α v α προβ v α, όπου προβ v είναι η προβολή του διανύσματος v πάνω στο διάνυσμα α α (μονάδες 10) Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλα των εξετάσεων τη λέξη «Σωστό» αν η πρόταση είναι σωστή ή «Λάθος» αν η πρόταση είναι λανθασμένη 1 1 είναι δύο διανύσματα τότε για το εσωτερικό τους γινόμενο ισχύει: α β x1y1 xy ε με εξίσωση 1. Αν α x, y και β x, y. Η απόσταση d του σημείου 1 1 Ax By Γ 0,Α 0 ή B 0 δίνεται από τον τύπο: 3. Έστω C κύκλος με εξίσωση Μ x,y από την ευθεία d Ax By Γ 1 1 x y 1 1 x y ρ,ρ 0 και 1 1 Τότε η εξίσωση της εφαπτομένης ευθείας του κύκλου στο σημείο του Μx 1,y1 δίνεται από το τύπο: xx yy ρ Δίνεται η ευθεία παράλληλο στην ε είναι το δ Β,Α είναι το η Α, Β. 5. Αν α x, y, β x, y 1 1 Μ x,y ένα σημείο του. ε με εξίσωση Ax By Γ 0,Α 0 ή B 0. Τότε ένα διάνυσμα και ένα διάνυσμα κάθετο στην ε δύο μη μηδενικά διανύσματα και ω α,β x1x y1y γωνία που σχηματίζουν τότε ισχύει: συνω x y x y ΘΕΜΑ Ο Στο διπλανό σχήμα δίνονται τα σημεία A 1,3, B 6,. Αν Μ είναι το μέσο του ΑΒ τότε 1. Να βρεθούν οι συντεταγμένες του Μ (μονάδες 5). Να βρεθεί ο συντελεστής του διανύσματος OM (μονάδες 8) Δ 3. Να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου O A B όπου Ο είναι η αρχή του ορθοκανονικού συστήματος (μονάδες 1) 1 1 είναι η (μονάδες x5=10)

24 ΘΕΜΑ 3 Ο Δίνονται οι ε : y λ 1 x 4 και 1. Να δειχθεί ότι: λ ε : 3 λ x y λ 0, με λ R a) Οι ευθείες ε λ διέρχονται από το σημείο του λ b) Οι ευθείες λ συντεταγμένες λ A 0,4 για κάθε πραγματική τιμή (μονάδες 3) ε διέρχονται από σταθερό σημείο Β του οποίου να βρείτε τις. a) Να βρεθεί η τιμή του λ ώστε οι ευθείες να είναι παράλληλες (μονάδες 7) (μονάδες 5) b) Για την τιμή του λ που βρήκατε στο a): i) Να βρείτε την απόσταση των παραλλήλων ευθειών που προκύπτουν από τις ε και ε λ λ (μονάδες 7) ii) Να βρείτε το εμβαδόν τετραγώνου που έχει τις δύο απέναντι πλευρές τους στις ευθείες αυτές (μονάδες 3) ΘΕΜΑ 4 Ο Δίνεται η εξίσωση x y 4κx y 4κ 0 : 1, με κ R 1 1. Να δείξετε ότι η (1) παριστάνει κύκλο C κ για κάθε κ R με κ και να βρείτε συναρτήσει του κ το κέντρο του και την ακτίνα του. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των κέντρων κ του κ R 1 3. Να αποδείξετε ότι οι κ προσδιορίσετε τις συντεταγμένες (μονάδες 10) C για τις διάφορες τιμές (μονάδες 7) C διέρχονται από σταθερό σημείο Μ του οποίου να (μονάδες 8) Ο Διευθυντής Ο εισηγητής

25 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ & ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΕΡΙΦ. Δ/ΝΣΗ Π. & Δ. ΕΚΠ/ΣΗΣ ΣΤΕΡ. ΕΛΛΑΔΑΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΠΚΕΣ -ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΖΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ - ΙΟΥΝΙΟΥ 005 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ Θέμα 1ο: Α. Τι ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων a r, b r Μονάδες 7 Β. Να αποδείξετε ότι το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων είναι ίσο με το άθροισμα των γινομένων των ομώνυμων συντεταγμένων τους. Μονάδες 7 Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις ττου ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιο σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Ένα διάνυσμα και μία ευθεία, αν έχουν τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης είναι παράλληλα. β. Αν det( a r r r r,b ) είναι η ορίζουσα των διανυσμάτων, a, b τότε ισχύει η r ισοδυναμία: a // b r det( a r r,b )=1 Μονάδες 6 Θέμα ο: Για τα διανύσματα a r r r r,b δίνεται ότι a =1, b = και ( r r a, b ) = 3 π.έστω τα r διανύσματα u = a r r + 3b, v = a r -b r. Να υπολογίσετε: v α. το εσωτερικό γινόμενο a b v Μονάδες 5 r v r β. τα μέτρα u, v των διανυσμάτων u και v Μονάδες 8 γ. το εσωτερικό γινόμενο u v v Μονάδες 7 δ. το συνημίτονο της γωνίας των διανυσμάτων u r και v. Μονάδες 5 Θέμα 3ο Δίνεται η παραβολή y = 4χ. Να βρείτε: Α. την εστία και τη διευθετούσα της παραβολής Μονάδες 9 Β. τις ευθείες που διέρχονται από την εστία της τταραβολής και απέχουν από

26 αρχή των αξόνων απόσταση ίση με Μονάδες 16 Θέμα 4o Αν α είναι ένας άρτιος ακέραιος αριθμός, να αποδείξετε ότι: α) (α+1) -1 = 4λ, όπου λ ακέραιος αριθμός Μονάδες 10 a + ( a + 1) + ( a + 3) a + β) = 3μ, όπου μ ακέραιος αριθμός 4 Μονάδες 15

27 ΤΑΞΗ Β Γραπτές προαγωγικές εξετάσεις περιόδου ΜAΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 005 στα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέμα 1ο α) Αν Α(x 1,y 1 ) και Β(x,y ) δύο σημεία του καρτεσιανού επιπέδου και Μ(x o,y o ) το μέσο του ΑΒ, να δειχθεί ότι : x1 + x y1 + y xo = και yo = Μονάδες 10 β) Να χαρακτηρίσετε με την λέξη Σωστό-Λάθος τις παρακάτω προτάσεις δικαιολογώντας τις απαντήσεις: r r r r 1. αν α = β α = β r. αν α,β,γ r r 0 r r r r r r r r και α //β, β // γ τότε α //β + γ 3. Η εξίσωση Αx+Βy+Γ=0, όπου Α, Β, Γ πραγματικοί αριθμοί, παριστάνει ευθεία. 4. Η εφαπτόμενη του κύκλου x +y = 5 στο σημείο Α(3,4) περνάει από το σημείο Β(7,1). * 5. Αν α, β, γ και α/β, β/γ τότε α/3β+γ Μονάδες 15 Θέμα ο Α. Αν Κ, Α, Β, Γ τέσσερα σημεία του επιπέδου τέτοια ώστε να ισχύει 7ΚΑ + 8ΚΒ = 15ΚΓ να αποδείξετε ότι τα Α, Β, Γ δεν ορίζουν τρίγωνο. Μονάδες 1 r Β. Να βρεθεί το λ ώστε το διάνυσμα α = (3λ 1,λ ) να είναι κάθετο στο διάνυσμα ΑΒ, όπου Α(1,-) και Β(4,-6). Μονάδες 13 Θέμα 3ο Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το μέσο του ΑΒ, όπου Α(- 3,5) και Β(1,1) και εφάπτεται στην ευθεία ε : 3x-4y+5 = 0 Μονάδες 5 Θέμα 4ο Αν οι αριθμοί α,β είναι ακέραιοι και περιττοί, να αποδειχθεί ότι ο αριθμός α β είναι ακέραιος Μονάδες 5 8

28 ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ - ΙΟΥΝΙΟΥ ΤΑΞΗ: Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΘΕΜΑΤΑ 1. Α. Έστω α,β,γ ακέραιοι. Να αποδείξετε ότι: i) Αν α/β και β/γ τότε α/γ. ii) Αν α/β και α/γ τότε α/(β+γ). (1 μονάδες) Β. Τι ονομάζουμε έλλειψη με εστίες τα σημεία Ε και Ε; (5 μονάδες) Γ. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω προτάσεις: i) r Η ευθεία με εξίσωση Αx + Βy + Γ = 0 είναι παράλληλη στο διάνυσμα δ =. και κάθετη στο διάνυσμα v η =. (4 μονάδες) x ψ ii) Η υπερβολή - a β ε 1: ψ =. ε : ψ =. = 1 έχει ασύμπτωτες τις ευθείες: (4 μονάδες). Δίνονται τα διανύσματα α r =(,5) και β r =(-3,7). Α. Να βρεθεί το μέτρο του διανύσματος γ r =α r - β r. (7 μονάδες) Β. Να βρεθεί η γωνία των διανυσμάτων α r και β r. (8 μονάδες) Γ. Να γραφεί το διάνυσμα δ r =(1,8) σαν γραμμικός συνδυασμός των διανυσμάτων α r και β r. (10 μονάδες) 3. Δίνεται η εξίσωση: (λ -3λ +)x + (λ- λ )y + (3-λ)=0 (1) Α. Να βρείτε για ποιες τιμές του λ R η εξίσωση (1) παριστάνει ευθεία. (10 μονάδες) Β. Πότε η παραπάνω ευθεία είναι παράλληλη στον άξονα χχ και ποια είναι τότε η εξίσωσή της; (8 μονάδες) Γ. Για ποια τιμή του λ R η παραπάνω ευθεία διέρχεται από την αρχή των αξόνων και ποια είναι τότε η εξίσωσή της; (7 μονάδες) 4. Δίνεται η εξίσωση: x + y + 3λx + λy + 13=0 (1) Α. Να βρείτε για ποιες τιμές του λ R η εξίσωση (1) παριστάνει κύκλο.

29 (8 μονάδες) Β. Να βρεθεί η τιμή του λ R, αν είναι γνωστό ότι η ακτίνα του παραπάνω κύκλου είναι ίση με 13. (7 μονάδες) Γ. Να βρεθεί και να σχεδιαστεί ο γεωμετρικός τόπος των κέντρων των παραπάνω κύκλων. (10 μονάδες) Να απαντήσετε σε όλα τα θέματα. ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ.

30 Σχολ. Έτος ΤΑΞΗ Β ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 005 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 0 Α1. Πως ορίζεται το εσωτερικό γινόμενο δυο διανυσμάτων. Πότε δυο διανύσματα είναι κάθετα. (Μονάδες 4) Α. Το εσωτερικό γινόμενο δυο διανυσμάτων είναι ίσο με το άθροισμα των γινομένων των ομονύμων συντεταγμένων. ( Μονάδες 9) Β1 Κάθε κωνική της στήλης (Α) έχει εξίσωση που βρίσκεται στη στήλη (Β). Να συνδέσετε με γραμμές τα αντίστοιχα στοιχεία των δυο στηλών. Στήλη Α Στήλη Β 1. Κύκλος Α) χ+ψ=0. Παραβολή Β) χ +ψ =0 3. Έλλειψη Γ) χ =9-(ψ-1) 4. Υπερβολή Δ) 9χ =63+7ψ Ε) ψ -16χ=0 ΣΤ) 4χ =100-5ψ (Μονάδες 8) Β. α) Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας 7+3ψ=-4χ είναι: Α: -4 Β: 7 Γ: -4/3 Δ: -7/3 Ε: -3/4 β) Μια ευθεία ( ε) έχει συντελεστή διεύθυνσης ½ και διέρχεται από το σημείο (-1,3). Η εξίσωσή της είναι : Α: ψ+1=1/(χ-3) Β: χ+1=1/(ψ-3) Γ: ψ-3=1/(χ+1) Δ: καμία από τις παραπάνω: ( Μονάδες 4) ΘΕΜΑ o Α1. Δίνεται η εξίσωση της έλλειψης : 5χ +4ψ =100. Να βρεθούν α) Ο μικρός και μεγάλος άξονας (Μονάδες 3) β) Οι εστίες Ε και Ε και η εκεντρότητα (Μονάδες 3)

31 Α: Να γράψετε την εξίσωση της παραβολής που έχει εστία την Ε και διευθετούσα την ευθεία που διέρχεται από την εστία Ε και είναι παράλληλη προς τον άξονα χ χ. (Μονάδες 7) Β: Δίνεται η εξίσωση 4χ +4ψ =8χ-16ψ-16. α)να αποδειχθεί ότι είναι εξίσωση κύκλου (Μονάδες 4) β) Να βρεθούν το κέντρο και η ακτίνα του (Μονάδες 4) γ)να βρεθεί η εφαπτομένη του στο σημείο (, -) (Μονάδες 4) ΘΕΜΑ 3 o Δίνονται τα σημεία Α(1,) Β(5,) και Γ(-1,3). Να βρεθούν α) Οι εξισώσεις των πλευρών του τριγώνου ΑΒΓ (Μονάδες 9) β) Τα μήκη των πλευρών του (Μονάδες 5) γ) Οι εξισώσεις του ύψους ΒΕ και της διαμέσου ΓΜ (Μονάδες 6) δ) Το μήκος του ύψους ΓΔ (Μονάδες 3) ε) Την εξίσωση της παράλληλης προς την ΑΒ από το σημείο Γ (Μονάδες ) ΘΕΜΑ 4 o Δίνεται η ευθεία (ε) με εξίσωση χ=λψ και ο κύκλος με εξίσωση χ +ψ -ψ=0 Α) Να αποδείξετε ότι η ευθεία και ο κύκλος τέμνονται με ένα σημείο τομής το Ο(ο,ο) (Μονάδες 5) β) Αν Α είναι το δεύτερο κοινό τους σημείο, να βρεθούν οι συντεταγμένες του μέσου Μ του ΟΑ συναρτήσει του λ. (Μονάδες 1) γ) Να αποδείξετε ότι καθώς το λ μεταβάλλεται το Μ κινείται επίσης σ ένα κύκλο με εξίσωση χ + (ψ-½) =¼ (Μονάδες 8) Αταλάντη Ο ΔΙΕΥΘΥΝΤΗΣ Ο ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ

32 Σχολικό έτος ο Ενιαίο Λύκειο Λαμίας ΤΑΞΗ Β Γραπτές προαγωγικές εξετάσεις περιόδου ΜΑΪΟΥ - ΙΟΥΝΙΟΥ 005 στα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέμα 1 ο Α. Αν (x 1,ψ 1 ) και (x,ψ ) οι συντεταγμένες των άκρων Α, Β ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ και (x,ψ) οι συντεταγμένες του μέσου Μ, δείξτε ότι : x1 + x ψ1 + ψ x =, ψ = ( Μονάδες 13 ) Β. Επιλέξτε σωστό ή λάθος στις παρακάτω ερωτήσεις : α) Αν μία έλλειψη και μία υπερβολή έχουν τις ίδιες εστίες, τότε έχουν την ίδια εκκεντρότητα Σ Λ ( Μονάδες 6 ) β) Η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου x +ψ = 4 στο σημείο Α(, ) είναι x+ ψ = 4 Σ Λ ( Μονάδες 6 ) Θέμα ίνονται οι αριθμοί α = κ-3 και β = 3κ+, όπου κ ακέραιος. Να αποδείξετε ότι : α) Αν ο α είναι άρτιος, τότε ο β είναι περιττός ( Μονάδες 13 ) β) Ο αριθμός α+β+4 είναι πολλαπλάσιο του 5 ( Μονάδες 1 ) Θέμα 3 r r r r Έστω u, v διανύσματα με u =, v = 1. α) Αν τα διανύσματα α r = u r + v, r r b = 3u r 5v r είναι κάθετα, να βρείτε την r r γωνία των u, v. ( Μονάδες 1 ) r β) Αν επιπλέον v = ( 1,0), να βρεθούν οι συντεταγμένες του u r. ( Μονάδες 13 )

33 Θέμα 4 ίνεται η εξίσωση x +ψ = λ(x-ψ), (1), λ 0. α) Να αποδείξετε ότι η (1) παριστάνει κύκλο που διέρχεται από την αρχή των αξόνων, για κάθε πραγματικό λ 0, του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα. ( Μονάδες 5 ) β) Να αποδείξετε ότι κάθε κύκλος που ορίζεται από την (1) εφάπτεται στην ευθεία (ε) : ψ = x ( Μονάδες 7 ) γ) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των κέντρων των κύκλων που ορίζονται από την (1). ( Μονάδες 6 ) δ) Να εξηγήσετε γιατί η ψ = x είναι μοναδική κοινή εφαπτομένη των κύκλων που ορίζει η (1). ( Μονάδες 7 )

34 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 o Α. Δίδεται ο κύκλος: x +ψ =ρ, ρ>0. Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη (ε) σε ένα σημείο του Α(χ.1,ψ 1 )έχει εξίσωση: x x 1 + ψ ψ 1 =ρ (Μονάδες 10) Β. Έστω δύο σημεία Ε και Ε ενός επιπέδου. Τι ονομάζουμε έλλειψη με εστίες τα σημεία Ε και Ε στο συγκεκριμένο επίπεδο; (Μονάδες 5) Γ. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ). Α. Δίνονται οι ακέραιοι α, β, γ με α 0. Αν α β και α γ, τότε α (β+γ) (Μονάδες ) Β. Η εξίσωση x +ψ +λ = 0 με λ>0 είναι εξίσωση κύκλου (Μονάδες ) r Γ. Άν α = (χ.1,ψ 1 ) και β r =(χ.,ψ ) δύο διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου Οχψ τότε ισχύει: α r β r = χ.1 ψ 1+ χ. ψ (Μονάδες ) Δ. Στην παραβολή ψ = px η εξίσωση της διευθετούσας είναι x = - p/ (Μονάδες ) E. Η εξίσωση ψ = λ(x 3),λ R παριστάνει για τις διάφορες τιμές του λ όλες τις ευθείες που διέρχονται από το σημείο Α(3,) (Μονάδες ) ΘΕΜΑ Ο Α. Έστω ακέραιος α για τον οποίο ισχύουν: 3 (α-7) και 3 (α-5) Να αποδειχθεί ότι α. 3 (α-) (Μονάδες 7) β. α =3λ+1, όπου λ Ζ (Μονάδες 10) γ. 18 ( α +)( α -1) (Μονάδες 8) ΘΕΜΑ 3 ο Δίδονται τα διανύσματα α r,β r με α r = β r =1 και rr π (α,β) = 3

35 α. Να βρεθεί ο αριθμός α r.β r (Μονάδες 5) r r r r r r β. Άν u = α + 4β και v = α βτότε: i) να βρεθούν τα μέτρα u r και v r (Μονάδες 10) ii) να βρεθεί η γωνία ( u r, v r ) (Μονάδες 10) ΘΕΜΑ 4 ο Θεωρούμε τον κύκλο ( C ) με κέντρο Κ(-1,0) που διέρχεται από το σημείο Α( 1 3, ). Α. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου (C ). 1, Β. Να αποδειχθεί ότι η εφαπτομένη (ε) του κύκλου στο σημείο Α( 3 ) έχει εξίσωση x- 3 y-1=0 (Μονάδες 7) Γ. Αν η ευθεία (ε) διέρχεται από την εστία της παραβολής που έχει κορυφή Ο(0,0) και άξονα συμμετρίας τον ημιάξονα Οx, τότε: i) Να βρείτε την εξίσωση της παραβολής. (Μονάδες 6) ii) Αν η διευθετούσα της παραβολής τέμνει τον κύκλο ( C ) στα σημεία Μ και Ν να αποδείξετε ότι: (ΑΜΝ)= 0,5 τετραγωνικές μονάδες (Μονάδες 7)

36 Σχ.έτος Γραπτές προαγωγικές εξετάσεις περιόδου Μαϊου-Ιουνίου 005 ΜΑΘΗΜΑ: Μαθηματικά Κατεύθυνσης ΤΑΞΗ:Β ΘΕΜΑ1 ΘΕΜΑΤΑ Α. Έστω διάνυσμα uuur ΑΒ και σημείο αναφοράς Ο.Αν Μ το μέσο του ΑΒ δείξτε uuur uuur uuuur ΟΑ + ΟΒ Ότι : ΟΜ = Β. Για καθεμιά από τις επόμενες προτάσεις να γράψετε στο τετράδιο σας το γράμμα της και δίπλα την ένδειξη (Σ) αν αυτή είναι σωστή, ή την ένδειξη (Λ) αν αυτή είναι λανθασμένη: α) Η εξίσωση Αχ + Βγ + Γ = 0 παριστάνει ευθεία γραμμή για κάθε Α,Β β)η εφαπτομένη της παραβολής ψ = ρχ στο σημείο της Α(χ ί, ψ 1,) έχει εξίσωση ψψ 1 =p(χ+χ 1 ) ur r r ur r ur r ur r γ)αν αβ, 0 τότε ισχύει η ισοδυναμία α β = α β α β ΘΕΜΑ : Αν α = περιττός ακέραιος να δείξετε ότι: α) α είναι περιττός 3 α +α β) ο αριθμός είναι ακέραιος. ΘΕΜΑ 3 : Δίνονται τα σημεία Α(-1,), Β(,4), Γ(3,1) και Δ( 1,1). Αν Κ μέσο του τμήματος ΑΒ uuur uuur και ΒΛ = ΛΓ τότε: α) να βρεθούν οι συντεταγμένες των σημείων Κ,Λ. β) Να βρεθούν οι συντεταγμένες του σημείου Μ όταν το ΒΚΜΛ είναι παραλληλόγραμμο. ΘΕΜΑ 4 : Δίνονται ο κύκλος C: χ + ψ =1 και η ε :1+ 3λ χ+ λ ψ 3+ 5λ= 0, λ R εξίσωση ( ) ( ) λ Α) Δείξτε ότι η ε λ παριστάνει ευθεία για κάθε πραγματικό αριθμό λ. Β) Δείξτε ότι όλες οι ευθείες ε λ περνούν από σταθερό σημείο Κ του οποίου να βρεθούν οι συντεταγμένες. Γ) Να βρεθούν οι ευθείες της οικογένειας ε λ που εφάπτονται στον κύκλο C. ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ

37 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέμα 1 Α. Έστω α, β, γ ακέραιοι. Να αποδείξετε ότι : α. Αν α/β και β/α τότε α = β ή α = -β β. Αν α/β και β/γ τότε α/γ ( Μονάδες 10 ) r Β. Έστω διάνυσμα α = (x,y) Να γράψετε πότε ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης του διανύσματος α r καθώς και πώς ορίζεται ( με τι ισούται ). ( Μονάδες 6 ) Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλα σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Έστω διάνυσμα ΑΒ και τυχαίο σημείο αναφοράς Ο. Η διανυσματική ΟΑ+ ΟΒ ακτίνα του μέσου Μ του τμήματος ΑΒ ισούται με ΟΜ = ( Μονάδες 3 ) β. Η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Α(x 1,y 1 ), B(x,y ) με x1 x έχει x x1 συντελεστή διευθύνσεως λ = y y1 ( Μονάδες 3 ) x y γ. Η υπερβολή με εξίσωση = 1 έχει ασύμπτωτες τις a β ευθείες με εξισώσεις α a y = x, y = x β β ( Μονάδες 3 ) Θέμα Έστω τα σημεία Α( 1, 3 ), Β(, 0 ), Γ( 3,3 3 ). α. Να βρείτε τη γωνία των διανυσμάτων ΑΒ, ΑΓ. β. Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ. ( Μονάδες 15 ) ( Μονάδες 10 )

38 Θέμα 3 Έστω οι εξισώσεις : ax +(a+9)y = a(a+9) (1) και (a-11)x -(a-1)y = (a-11)(a-1) () όπου α θετικός ακέραιος. Α. i. Αν το πηλίκο της διαίρεσης του 4 με τον α είναι 14 τότε ο α είναι : a. 16 ή 17 ή 18 β. 15 ή 16 ή 17 γ. 15 ή 16 δ. 16 ή 17 ( Μονάδες 4 ) ii. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. ( Μονάδες 9 ) Β. Για α = 16 να αποδείξετε ότι η εξίσωση (1) είναι εξίσωση έλλειψης ενώ η εξίσωση () είναι εξίσωση υπερβολής με ίδιες εστίες. Να βρεθούν οι εκκεντρότητές τους. ( Μονάδες 1 ) Θέμα 4 ίνεται η εξίσωση y -xy+x -4 = 0 a. Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση παριστάνει ευθείες με εξισώσεις : ε 1 : y = x+ και ε : y = x- Ποια είναι η γωνία που σχηματίζουν με τον x x; ( Μονάδες 8 ) β. Να αποδείξετε ότι η ε 1 εφάπτεται στην παραβολή y = px στο σημείο Α(,4) αυτής. ( Μονάδες 7 ) γ. Αν Α το κοινό σημείο της ε με τον x x να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που έχει το κέντρο του στην ευθεία ε 1 και εφάπτεται στην ευθεία ε στο σημείο Α. ( Μονάδες 10 )

39 Γραπτές προαγωγικές εξετάσεις περιόδου Μαΐου-Ιουνίου 007 Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β Γενικού Λυκείου ΘΕΜΑ 1 ο : Α) Δίνεται κύκλος: χ +ψ =ρ, ρ>0. Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη (ε) σε ένα σημείο του Α(χ 1, ψ 1 ) έχει εξίσωση: (ε): χ χ 1 + ψ ψ 1 = ρ Μονάδες 1 Β) Χαρακτηρίστε Σωστό ή Λάθος τις προτάσεις: 1) Αν Α(χ 1, ψ 1 ), Β(χ, ψ ) με χ 1 χ τότε λ ΑΒ = ψ - ψ 1 / χ - χ 1 ) Αν α β α*β= α * β 3) η εξίσωση: ψ-=λ(χ-1) παριστάνει για τις διάφορες τιμές του λ όλες τις ευθείες που διέρχονται από το σημείο Α(1,) 4) Αν ΑΒΓ τρίγωνο τότε (ΑΒΓ)=1/ det (ΑΒ,ΑΓ) Μονάδες 8 Γ)Έστω Ε,Ε σημεία του άξονα χ χ. I. Τι ονομάζουμε έλλειψη με εστίες τα Ε,Ε ; II. Αν Μ(χ,ψ) σημεία της έλλειψης να γράψετε την εξίσωση της έλλειψης αυτής Μονάδες 5 ΘΕΜΑ ο : Δίνονται τα διανύσματα: α=(,3), β=(-1,5). I. Δείξτε ότι: β = α II. Να υπολογίσετε τη γωνία (α^β) Μονάδες 1 Μονάδες 13

40 ΘΕΜΑ 3 ο : Αν Α(3,8) και Β(-7,) σημεία του επιπέδου και Μ είναι μέσο του ΑΒ τότε: Ι. Γράψτε την εξίσωση της ευθείας (ε) που διέρχεται από το Μ και είναι παράλληλη της ευθείας: χ+ψ-007=0 Μονάδες 15 ΙΙ. Βρείτε την d(ο,ε) όπου ο η αρχή των αξόνων. Μονάδες 10 ΘΕΜΑ 4 ο : Έστω ρ(α- β/α +β, -α-β/ α +β ) σημείο της ευθείας: χ-3ψ-1=0 και Μ(α,β). Ι. Δείξτε ότι το Μ διαγράφει κύκλο (c) του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα Μονάδες 13 ΙΙ. Να αποδείξετε ότι ο (c) διέρχεται από την αρχή των αξόνων Ο. Μονάδες 5 ΙΙΙ. Αν ο (c) τέμνει τους άξονες στα σημεία Α και Β, να υπολογίσετε το εμβαδό του τριγώνου ΟΑΒ. Μονάδες 7

41 ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: ΘΕΜΑ 1ο Διαγώνισμα της Β Λυκείου στα Μαθηματικά κατεύθυνσης Α. Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη του κύκλου C: x +y =ρ σε ένα σημείο του Α(x 1, y 1 ), έχει εξίσωση xx 1 +yy 1 = ρ. (Μονάδες 10) Β. Έστω μια ευθεία δ και ένα σημείο Ε εκτός της δ. Τι ονομάζουμε παραβολή με εστία το σημείο Ε και διευθέτουσα την ευθεία δ. (Μονάδες 5) Γ. Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε να προκύψουν αληθείς προτάσεις: 1. Ο συντελεστής διεύθυνσης λ μιας ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α(x 1, y 1 ) και Β(x, y ) με x 1 x είναι λ =.. Η εξίσωση Αx+Βy+Γ = 0 παριστάνει ευθεία όταν.. 3. Η ευθεία Αx+Βy+Γ = 0 είναι παράλληλη στο διάνυσμα. και κάθετη στο διάνυσμα. 4. Η εξίσωση x +y +Αx+Βy+Γ = 0 παριστάνει κύκλο όταν.. Tότε το κέντρο Κ είναι και η ακτίνα του ρ= p 5. Η εξίσωση της παραβολής C με εστία Ε,0και διευθετούσα δ: x+p=0 είναι.. 6. Η εξίσωση της έλλειψης C με εστίες τα σημεία Ε (0, -γ) και Ε(0, γ) και σταθερό άθροισμα α είναι όπου. (Μονάδες 6) Δ. Στις παρακάτω προτάσεις να σημειώσετε το Σ(σωστή) ή το Λ(λάθος) 1. Η εξίσωση x +y +Αx+Βy+Γ = 0 είναι εξίσωση κύκλου με κέντρο Κ,.. Η εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής C : y = px στο σημείο της Α(x 1, y 1 ) είναι yy 1 = pxx Αν Μ τυχαίο σημείο παραβολής με εστία Ε διευθετούσα δ, τότε d(μ, Ε)-d(Μ, δ) = 0. Σ ή Λ Σ ή Λ Σ ή Λ

42 x 4. Η εφαπτομένη της έλλειψης C: β xx 1 +α yy 1 -α β =0 y στο σημείο της Μ(x 1, y 1 ) είναι 1 Σ ή Λ ΘΕΜΑ ο (Μονάδες 4) 1. Να βρεθεί η εξίσωση της έλλειψης που έχει εστίες τα σημεία Ε (-3, 0) και Ε(3, 0) και εκκεντρότητα ε = Να βρεθεί η εξίσωση της παραβολής που έχει εστία την εστία Ε της έλλειψης. 3. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο την εστία Ε της έλλειψης και ακτίνα ίση με την απόσταση της εστίας της παραβολής από τη διευθετούσα της. 4. Να βρεθεί η εξίσωση της υπερβολής που έχει τις ίδιες εστίες με την έλλειψη και εκκεντρότητα 3 1. (Μονάδες 5) ΘΕΜΑ 3 ο Δίνεται η εξίσωση x +y -4λx+λy = 0 (1) 1. Να βρεθούν οι τιμές του λ για τις οποίες η (1) παριστάνει κύκλο C. Ποιο είναι το κέντρο και η ακτίνα των κύκλων αυτών;. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των κέντρων των κύκλων που ορίζονται από την (1). 3. Να δείξετε ότι όλοι οι κύκλοι που ορίζονται από την (1) για τις διάφορες τιμές του λ * διέρχονται από σταθερό σημείο. 4. Αν Α, Β είναι τα σημεία τομής του κύκλου C με την ευθεία ε: y=3x- και ισχύει βρείτε το λ. AOB, να (Μονάδες 5) ΘΕΜΑ 4 ο Δίνεται η παραβολή C: y =3x και η ευθεία ε: 3x 3y Να βρείτε την εφαπτομένη (η) της παραβολής που είναι παράλληλη στην (ε).. Να βρείτε την απόσταση των (ε) και (η). 3. Να βρείτε την μεσοπαράλληλη των (ε) και (η). 4. Να βρείτε την εξίσωση της γραμμής που βρίσκονται τα κέντρα των κύκλων που εφάπτονται στις ευθείες (ε), (η) και την ακτίνα των κύκλων αυτών. ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ (Μονάδες 5)

43 ΘΕΜΑ Α ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΜΦΙΛΩΝ ΤΕΤΑΡΤΗ 6 ΙΟΥΝΙOY 01 EΞETΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Α 1. Αν a =( x 1, y 1 ) και =( x, y ) είναι δύο μη μηδενικά διανύσματα του επιπέδου που x1 x y1 y σχηματίζουν γωνία θ να αποδείξετε ότι x y. x y 1 1 Α. Να δώσετε τον ορισμό του γινομένου ενός πραγματικού αριθμού λ 0 με το μη μηδενικό διάνυσμα a. ΜΟΝΑΔΕΣ 9 ΜΟΝΑΔΕΣ 6 Α 3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α. Η εξίσωση x + y + Ax + By +Γ = 0 με Α +Β 4Γ >0 παριστάνει κύκλο με κέντρο Κ (, -- ). β.η εφαπτομένη του κύκλου x +y = ρ στο σημείο του Α(x 1,y 1 ) έχει εξίσωση xy 1 +yx 1 =ρ. γ. Η εκκεντρότητα ε της έλλειψης είναι μικρότερη της μονάδας. δ. Αν Ο είναι ένα σημείο αναφοράς τότε για οποιοδήποτε διάνυσμα έχουμε ε. Στην παραβολή x =py, η εξίσωση της διευθετούσας είναι x = p. ΜΟΝΑΔΕΣ 10 ΘΕΜΑ Β 0 Δίνονται τα διανύσματα a, και u a με 1 και (, ) 10 1 Β 1. Να αποδείξετε ότι το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων a και είναι. ΜΟΝΑΔΕΣ 5 Β. Να αποδείξετε ότι το μέτρο του διανύσματος u είναι u 3 Β 3. Να υπολογίσετε την γωνία των διανυσμάτων a και u Β 4. Να βρείτε το λ αν a ( a ) ΜΟΝΑΔΕΣ 6 ΜΟΝΑΔΕΣ 9 ΜΟΝΑΔΕΣ 5

44 ΘΕΜΑ Γ Δίνεται η παραβολή C : y 1 px με εστία Ε και η ευθεία ε με εξίσωση ε: y=αx+ 1 a, α 0. Αν Μ(1,) είναι κοινό τους σημείο να αποδείξετε ότι: Γ1. Οι εξισώσεις της παραβολής C 1 και της ευθείας ε είναι C αντιστοίχως. Γ. Η ευθεία ε εφάπτεται της παραβολής στο σημείο Μ(1,). : y 4 1 x και ε: y=x+1 ΜΟΝΑΔΕΣ 6 ΜΟΝΑΔΕΣ 4 Γ3. α. Η κάθετη ευθεία ζ που φέρνουμε από την εστία Ε προς στην ευθεία ε και η ευθεία ε τέμνονται πάνω στον άξονα y y στο σημείο Ν(0,1) ΜΟΝΑΔΕΣ 8 β. Η απόσταση της εστίας της παραβολής από την ευθεία ε είναι d(e,ε)= ΜΟΝΑΔΕΣ 3 γ. Tο εμβαδόν του τριγώνου ΕΜΝ είναι (ΕΜΝ)=1 ΜΟΝΑΔΕΣ 4 ΘΕΜΑ Δ Δίνονται τα μη παράλληλα διανύσματα a και και η εξίσωση C: (1) x y a x y Δ1. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (1) παριστάνει κύκλο με ακτίνα ρ= Δ. Αν ο παραπάνω κύκλος διέρχεται από την αρχή των αξόνων και εφάπτεται της ευθείας ε: y= x+ 4 να αποδείξετε ότι: ΜΟΝΑΔΕΣ 9 α. Tα διανύσματα a και είναι κάθετα. β. ΜΟΝΑΔΕΣ 3 γ. Αν επιπλέον οι συντεταγμένες του a είναι a =( 1,- 3 ) τότε: ΜΟΝΑΔΕΣ 7 i. = ΜΟΝΑΔΕΣ ii. το κέντρο του κύκλου είναι το Κ(-,) και η ακτίνα του ρ=. ΜΟΝΑΔΕΣ Δ3. Αν οι συντεταγμένες των σημείων Μ(γ, δ) και Ν(κ, λ) επαληθεύουν την εξίσωση του παραπάνω κύκλου τότε: ( ) ( ) 4 ΜΟΝΑΔΕΣ Ο ΔΙΕΥΘΥΝΤΗΣ Ο ΕΙΣΗΓΗΤHΣ ΚΕΦΑΛΑΣ ΝΙΚΟΣ

45 1ο Γενικό Λύκειο Χανίων ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 1-13 Τάξη Β Ονοµατεπώνυµο. ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑ ΟΥ - ΙΟΥΝΙΟΥ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Τα θέµατα ΕΝ θα µεταφερθούν στο καθαρό. Να απαντήσετε σε όλα τα θέµατα Οι απαντήσει να γραφούν στο καθαρό Τα σχήµατα µπορούν να γίνουν και µε µολύβι ιάρκεια εξέταση ώρε ΘΕΜΑ 1o Α. Έστω α, β όχι παράλληλα στον ψ ψ. Να αποδείξετε την β ισοδυναµία α λ α λ = 1 Μονάδε 10 β Β. Να χαρακτηρίσετε τι προτάσει που ακολουθούν, γράφοντα στο γραπτό σα τη λέξη Σωστό ή Λάθο δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Ισχύει πάντοτε α β = α v όπου v η προβολή του διανύσµατο β στο φορέα του α. β. Η εξίσωση κάθε ευθεία, που διέρχεται από το σηµείο Α(χ ο, ψ ο ) είναι τη µορφή ψ ψ ο = λ(χ χ ο ), όπου λ IR ο συντελεστή διεύθυνση γ. Η απόσταση του σηµείου Ρ(x ο, y ο ) από την ευθεία ε:αx+ Βy +Γ = 0 µε (Α, Β) (0,0) δίνεται από την σχέση d= Γ. ίνεται η υπερβολή x y α β Ax + By +Γ ο = 1 ο Α +Β Να ορίσετε την εκκεντρότητα τη. όπου α, β>0 Ποια σχέση έχει η εκκεντρότητα µε την κλίση µια ασύµπτωτη. Μονάδε 9 Μονάδε 6

46 ΘΕΜΑ ο ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ µε Α( 6,0), ΑΒ = (6, 6) και ΒΓ = (4,0). α. Να δείξετε ότι η ευθεία ΑΒ έχει εξίσωση: y = x+6 Μονάδε 10 β. Να βρείτε τι συντεταγµένε των Β και Γ και να υπολογίσετε την γωνία ˆ ΑΒΓ. Μονάδε 10 γ. Να βρείτε το εµβαδόν του Μονάδε 5 ΘΕΜΑ 3 ο ίνεται η παραβολή C: ψ = 1χ και το σηµείο τη Α(3, ψ 1 ) µε ψ 1 >0 Να βρείτε α. την εστία τη, Ε και την εξίσωση τη διευθετούσα τη, δ. Μονάδε 9 β. την εξίσωση τη εφαπτοµένη, ε τη C στο σηµείο Α. Μονάδε 8 γ. το σηµείο τη ε που είναι πλησιέστερα στην εστία Ε και την απόσταση τη εστία Ε από την ευθεία ε. Μονάδε 8 ΘΕΜΑ 4 ο Στο σχήµα δίνονται οι κύκλοι κ 1 και κ µε κέντρα τα Κ και Λ αντίστοιχα, που εφάπτονται εσωτερικά στο Α(,0). Ο κύκλο κέντρου Μ(x, y) εφάπτεται και στου δύο άλλου. α. Να βρείτε τι εξισώσει των κύκλων κ 1 και κ. β. Να δείξετε ότι ΜΚ + Μονάδε 6 ΜΛ = 4 Μονάδε 5 κ 3,5 Μ(χ,y) 1,5 1 0,5 Α(-,0) Λ(-1, 0) -0,5-1 -1,5 K(1. 0) κ γ. Να δείξετε ότι το ο γεωµετρικό τόπο του Μ είναι η έλλειψη c: x y + = 1. Να βρείτε τι εστίε, 4 3 του άξονε και την εκκεντρότητα τη. Μονάδε 9 δ.. Αν Β είναι κορυφή τη c στον θετικό ηµιάξονα y y να βρείτε την γωνία ˆ BKO, όπου Ο η αρχή των αξόνων. Μονάδε 5 Χανιά 1 Μα ου ,5-3 Ο ιευθυντή Οι εισηγητέ

47 ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ & ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΝ ΟΣΧΟΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟ ΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ: ΘΕΜΑΤΑ Θέµα 1 ο Α. Να βρεις την εξίσωση του κύκλου µε κέντρο το σηµείο Ο(0,0) και ακτίνα ρ (1µ.) Β. Να µεταφέρεις στο τετράδιό σου την ακόλουθη πρόταση συµπληρωµένη σωστά: (7µ.) η παραβολή µε εξίσωση (c): x =py έχει: άξονα συµµετρίας (µ.), παράµετρο (1µ.) διευθετούσα (µ.) και εστία (µ.) Γ. Χαρακτήρισε τις ακόλουθες προτάσεις µε έναν από τους χαρακτηρισµούς: Αληθής ή Ψευδής (6µ.) α. αν α β = 0 τότε α = 0 ή β = 0 β. κάθε ευθεία έχει έναν συντελεστή διεύθυνσης γ. η εφαπτοµένη µιας παραβολής στην κορυφή της είναι παράλληλη στη διευθετούσα της Θέµα ο ίνονται τα σηµεία Α(8,0) και Β(0,4) του καρτεσιανού επιπέδου Οxy. A. να βρεις την εξίσωση της ευθείας που ορίζεται από την αρχή των αξόνων και το µέσο (8µ.) του ευθυγράµµου τµήµατος ΑΒ Β. να βρεις την εξίσωση της ευθείας (ε) που διέρχεται από το σηµείο και είναι κάθετη (8µ.) στην ευθεία Ο Γ. να βρεις το εµβαδόν του τριγώνου που σχηµατίζει η προηγούµενη ευθεία (ε) µε τους άξονες (9µ.)

48 Θέµα 3 ο ίνονται τα διανύσµατα α = (1, ) και β = (, 3) Α. να βρεις το µέτρο του διανύσµατος γ = 5α - 3β (8µ.) Β. να βρεις τη γωνία που σχηµατίζει το γ µε τον άξονα x x (8µ.) Γ. να βρεις τον πραγµατικό αριθµό κ, ώστε το διάνυσµα u = (κ - κ, κ) (9µ.) να είναι κάθετο στο α Θέµα 4 ο ίνεται η εξίσωση: x +y -λx+4λy-4λ = 0, λ (0, + ) Α. να αποδείξεις ότι η εξίσωση αυτή παριστάνει κύκλους (10µ.) Β. να βρεις τα κέντρα και τις ακτίνες των κύκλων αυτών (5µ.) Γ. να βρεις το γεωµετρικό τόπο των κέντρων των προηγούµενων κύκλων (10µ.) Καλή επιτυχία! στις εξετάσεις και όχι µόνο Παρατηρήσεις: - στο φύλλο των θεµάτων θα γράψεις το όνοµά σου και τίποτε άλλο! - τα σχήµατά σου µπορείς να τα κάνεις µε µολύβι - µη µεταφέρεις στην κόλλα σου τις εκφωνήσεις των θεµάτων - στα θέµατα πολλαπλής επιλογής να απαντήσεις χωρίς καµία επεξήγηση - διάρκεια εξέτασης: ώρες Ο ΙΕΥΘΥΝΤΗΣ Ο ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ

49 Θέμα 1 ο ΓΔΝΙΚΟ ΛΥΚΔΙΟ ΒΙΑΝΝΟΥ ΘΔΜΑΤΑ Γπαπηών πποαγυγικών εξεηάζευν πεπιόδος Μαίος - Ιοςνίος 014 ζηα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΔΙΟΥ (Να απανηήζεηε ζε όλα ηα θέμαηα) Α) Να αποδείξεηε όηι η εθαπηομένη ηος κύκλος xx yy 1 1. C : x y ζηο ζημείο ηος A( x1, y 1) είναι (Μονάδες 9) Β) Να δώζεηε ηον οπιζμό ηος εζυηεπικού γινομένος δύο διανςζμάηυν και. (Μονάδες 6) Γ) Να ζςμπληπώζεηε ηα κενά ώζηε να πποκύτοςν αληθείρ πποηάζειρ: (5 x Μονάδες) i) Εάν det(, ) 0, ηόηε ηα διανύζμαηα, είναι ii) Η εξίζυζη Ax By 0, παπιζηάνει εςθεία γπαμμή εάν. Θέμα ο iii) Η έλλειτη x y C : 1, με 0 έσει εζηίερ.. και εκκενηπόηηηα iv) ( ) v) Η εςθεία πος πεπνά από ηο ζημείο A(, ) και είναι παπάλληλη με ηον εξίζυζη. Για δύο διανύζμαηα και δίνεηαι όηι 19, 3 και yy ' έσει i) Να δείξεηε όηι 3. (Μονάδες 9) ii) Να βπείηε ηο (Μονάδες 8) iii) Να βπεθεί η γυνία ηυν διανςζμάηυν και. (Μονάδες 8) Θέμα 3 ο Δίνεηαι η εξίζυζη C : x y 4x y i) Να δείξεηε όηι η C παπιζηάνει κύκλο ηος οποίος να βπείηε ηο κένηπο και ηην ακηίνα. (Μονάδες 9) ii) Να βπείηε ηην εξίζυζη ηηρ εθαπηομένηρ ηος κύκλος πος είναι κάθεηη ζηην εςθεία :3x 4y15 0. (Μονάδες 9) iii) Να βπείηε ηην απόζηαζη ηος κένηπος ηος παπαπάνυ κύκλος από ηην εςθεία ε. (Μονάδες 7) Θέμα 4 ο Δίνεηαι η έλλειτη με εξίζυζη C 1 :9 x 5 y 5 και η παπαβολή C : y 1x. i) Να βπείηε ηιρ ζςνηεηαγμένερ ηυν εζηίυν Ε, E, ηο μήκορ ηος μεγάλος άξονα και ηην εκκενηπόηηηα ηηρ έλλειτηρ C 1. (Μονάδες 10) ii) Να βπείηε ηα κοινά ζημεία Κ, Λ ηηρ έλλειτηρ C 1 με ηη διεςθεηούζα ηηρ παπαβολήρ C. (Μονάδες 9) iii) Να βπείηε ηο εμβαδό ηυν ηπιγώνυν ΕKE κα ΕΛΕ καθώρ επίζηρ και ηην πεπίμεηπό ηοςρ. (Μονάδες 6) Ο Γιευθυνηής Ο ειζηγηηής

50 ΑΡΥΖ 1 Ζ ΔΛΗΓΑ ΠΡΟΑΓΩΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ ΠΔΡΗΟΓΟΤ ΜΑΗΟΤ ΗΟΤΝΗΟΤ Ο ΓΔΝΗΚΟ ΛΤΚΔΗΟ. ΠΑΡΑΚΔΤΖ 6 IOYNΗΟΤ 014 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΚΑΣΔΤΘΤΝΖ Β ΛΤΚΔΗΟΤ ΤΝΟΛΟ ΔΛΗΓΩΝ: ΓΤΟ ( ) ΘΔΜΑ Α Α1. Να απνδείμεηε όηη 1 γηα δπν δηαλύζκαηα, ηνπ επηπέδνπ, εθόζνλ :, / / y y. Μνλάδεο 10 Α. Έζησ δπν ζεκεία Δ θαη Δ ελόο επηπέδνπ. Τη νλνκάδνπκε έιιεηςε κε εζηίεο Δ θαη Δ ζην ζπγθεθξηκέλν επίπεδν; Μνλάδεο 5 Α3. Να ραξαθηεξίζεηε ηηο πξνηάζεηο πνπ αθνινπζνύλ, γξάθνληαο ηε ιέμε ωζηό ή Λάζνο δίπια ζην γξάκκα πνπ αληηζηνηρεί ζε θάζε πξόηαζε. α) Γηα θάζε δηάλπζκα a ηζρύεη: a a. β) Η εθαπηνκέλε ηνπ θύθινπ x +y = ξ ζην ζεκείν ηνπ Α(x 1,y 1 ) έρεη πάληα εμίζσζε 1 1. x y x y γ) Έζησ δπν δηαλύζκαηα a, ηέηνηα ώζηε a, ηόηε ηζρύεη a. δ) Η εθαπηνκέλε ηεο έιιεηςεο x y a ζην ζεκείν ηεο, 1 xx1 y y1 A x1 y1 έρεη εμίζσζε 1. a ε) Αλ γηα ηα δηαλύζκαηα a θαη ηνπ θαξηεζηαλνύ επηπέδνπ ηζρύεη // ηόηε det(, ) 1. ΘΔΜΑ Β Έζησ παξαιιειόγξακκν ΑΒΓΓ κε θνξπθέο Α(1,), Β(,-) θαη θέληξν Ο(,0). Β1. Να βξείηε ηηο ζπληεηαγκέλεο ησλ Γ θαη Γ. Μνλάδεο 6 Β. Να βξείηε ην εκβαδόλ ηνπ ΑΒΓΓ. Μνλάδεο 8 Β3. Να βξεζεί ε εμίζσζε ηεο ΑΓ. Μνλάδεο 6 Β4. Να βξείηε ηελ πξνβνιή ηνπ AB ζην A. Μνλάδεο 5 Μνλάδεο Υ5=10 ΣΔΛΟ 1 Ζ ΑΠΟ ΔΛΗΓΔ

51 ΑΡΥΖ Ζ ΔΛΗΓΑ ΘΔΜΑ Γ Γίλνληαη ηα ζεκεία Α(3,1), Β(5,4) θαη Γ( 4 4, 4 ),. Γ1. Να απνδείμεηε όηη ην ζεκείν Γ θηλείηαη ζε παξαβνιή κε εμίζσζε y 4x θαζώο ην ι κεηαβάιιεηαη ζην R. Μνλάδεο 7 Γ. Να βξείηε ηηο εθαπηόκελεο ηεο παξαπάλσ παξαβνιήο πνπ άγνληαη από ην ζεκείν (-, 0). Μνλάδεο 6 Γ3. Να βξείηε ηα ι ώζηε ηα ζεκεία Α,Β,Γ λα είλαη ζπλεπζεηαθά. Μνλάδεο 5 Γ4. Γηα ι=4 λα βξείηε ηελ εμίζσζε ηνπ θύθινπ C κε θέληξν ην Γ ν νπνίνο εθάπηεηαη ηεο επζείαο ΑΒ. Μνλάδεο 7 ΘΔΜΑ Γ Γίλεηαη ε εμίζσζε x y x y 0 (1) κε, 0 θαη. Γ1. Να απνδείμεηε όηη ε (1) παξηζηάλεη θύθιν C κε αθηίλα ξ= Μνλάδεο 7 Γ. Αλ ηα δηαλύζκαηα θαη είλαη κνλαδηαία θαη θάζεηα, α. Να δείμεηε όηη ην θέληξν ηνπ θύθινπ είλαη Κ(-1,1) θαη ε αθηίλα ηνπ ξ=. Μνλάδεο 8 β. Να βξεζεί ε εμίζσζε ηεο έιιεηςεο κε εζηίεο ζηνλ ρ ρ ε νπνία έρεη εζηηαθή απόζηαζε ίζε κε ην δηπιάζην ηεο δηακέηξνπ ηνπ θύθινπ (ηνπ εξ. α) θαη κήθνο κεγάινπ άμνλα ίζν κε ην ηεηξαπιάζην ηνπ κήθνπο ηεο ρνξδήο πνπ απνθόπηεη o ζπγθεθξηκέλνο θύθινο από ηνλ y y. Μνλάδεο 5 γ. Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο εθαπηνκέλεο ηεο παξαπάλσ έιιεηςεο πνπ είλαη θάζεηε ζηε επζεία κε εμίζσζε y=x+011. Μνλάδεο 5 ΟΓΖΓΗΔ (γηα ηνπο εμεηαδνκέλνπο) 1. Γξάςηε ην νλνκαηεπώλπκό ζαο ζην επάλσ κέξνο ησλ θσηναληηγξάθσλ ηα νπνία ζα παξαδώζεηε καδί κε ην γξαπηό ζην ηέινο ηεο εμέηαζεο.. Να γξάςεηε ηηο απαληήζεηο ζαο κόλν κε κπιε ή καύξν ζηπιό. 3. Τα ζρήκαηα κπνξνύλ λα γίλνπλ θαη κε κνιύβη. 4. Να απαληήζεηε ζε όια ηα ζέκαηα. 5. Γηάξθεηα εμέηαζεο : Γπν ( ) ώξεο. 6. Χξόλνο δπλαηήο απνρώξεζεο : Μηζή ώξα από ηελ έλαξμε. Καιή επηηπρία θαη θαιό θαινθαίξη!! Ο Γηεπζπληήο Οη εηζεγεηέο ΣΔΛΟ Ζ ΑΠΟ ΔΛΗΓΔ