Διακριτά Μαθηματικά. Λογική, Αποδείξεις, Σύνολα, Συναρτήσεις
|
|
- Εφθαλία Πανταζής
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Διακριτά Μαθηματικά Λογική, Αποδείξεις, Σύνολα, Συναρτήσεις
2 Λογική Αποδείξεις Σύνολα Συναρτήσεις Διακριτά Μαθηματικά
3 Αποτελεί τη βάση εξαγωγής μαθηματικών συμπερασμάτων Λογική Αποδείξεις Σύνολα Συναρτήσεις Διακριτά Μαθηματικά
4 Σωστάμαθηματικάεπιχειρήματα Λογική Αποδείξεις Σύνολα Συναρτήσεις Διακριτά Μαθηματικά
5 Διακριτές δομές που αναπαριστούν διακριτά αντικείμενα (συνδυασμοί, διατάξεις, σχέσεις, γραφήματα, πεπερασμένα αυτόματα, ) Λογική Αποδείξεις Σύνολα Συναρτήσεις Διακριτά Μαθηματικά
6 Τρόποι ανάθεσης σε κάθε στοιχείο ενός συνόλου μόνο ενός στοιχείου ενός άλλου συνόλου Λογική Αποδείξεις Σύνολα Συναρτήσεις Διακριτά Μαθηματικά
7 Λογική δήλωση σημασία κανόνες λογικής: διαχωρίζουν τα επιχειρήματα σε έγκυρα και άκυρα Η λογική έχει καθοριστική σημασία στην κατανόηση της (μαθηματικής) σκέψης
8 Πρόταση Μια φράση που δηλώνει κάτι Μπορεί να είναι είτε αληθής είτε ψευδής αλλά όχι και τα δύο μαζί Αποτελεί βασικό κατασκευαστικό στοιχείο της λογικής
9 Πρόταση Μια φράση που δηλώνει κάτι Μπορεί να είναι είτε αληθής είτε ψευδής αλλά όχι και τα δύο μαζί Αποτελεί βασικό κατασκευαστικό στοιχείο της λογικής Η Αθήνα είναι πρωτεύουσα της Ελλάδας ΑΛΗΘΗΣ (TRUE T) Η Πάτρα είναι πρωτεύουσα της Ελλάδας ΨΕΥΔΗΣ (FALSE F) 1+1=2 ΑΛΗΘΗΣ (TRUE T) 2+2=3 ΨΕΥΔΗΣ (FALSE F)
10 Πρόταση Μια φράση που δηλώνει κάτι Μπορεί να είναι είτε αληθής είτε ψευδής αλλά όχι και τα δύο μαζί Αποτελεί βασικό κατασκευαστικό στοιχείο της λογικής Η Αθήνα είναι πρωτεύουσα της Ελλάδας ΑΛΗΘΗΣ (TRUE T) Η Πάτρα είναι πρωτεύουσα της Ελλάδας ΨΕΥΔΗΣ (FALSE F) 1+1=2 ΑΛΗΘΗΣ (TRUE T) 2+2=3 ΨΕΥΔΗΣ (FALSE F) Τι ώρα είναι; Διάβασέ το με προσοχή. x+1=2 x+y=z Οι φράσεις αυτές ΔΕΝ είναι προτάσεις γιατί είτε δε δηλώνουν κάτι είτε αυτό που δηλώνουν δεν είναι αληθές ή ψευδές
11 Προτασιακή λογική Προτασιακός λογισμός Τομέας της λογικής που ασχολείται με προτάσεις Αναπτύχθηκε συστηματικά από τον Αριστοτέλη Μαθηματικές φράσεις ή σύνθετες προτάσεις κατασκευάζονται από συνδυασμό μιας ή περισσότερων προτάσεων με χρήση λογικών τελεστών George Boole [1854]: Οι νόμοι της σκέψης
12 Λογικοί τελεστές Σήμερα είναι Παρασκευή Σήμερα ΔΕΝ είναι Παρασκευή
13 Λογικοί τελεστές Σήμερα είναι Παρασκευή Σήμερα βρέχει Σήμερα είναι Παρασκευή ΚΑΙ σήμερα βρέχει
14 Λογικοί τελεστές Όσοι δήλωσαν μαθηματικά Ή επιστήμη των υπολογιστών μπορούν να παρακολουθούν το μάθημα
15 Λογικοί τελεστές Όσοι δήλωσαν ΕΙΤΕ μαθηματικά ΕΙΤΕ επιστήμη των υπολογιστών (ΑΛΛΑ ΟΧΙ ΚΑΙ ΤΑ ΔΥΟ) μπορούν να παρακολουθούν το μάθημα
16 Συνεπαγωγές
17 Συνεπαγωγές p q Αν p τότε q Αν εκλεγώ θα μειώσω τους φόρους Αν σήμερα είναι Παρασκευή, τότε 2+3=5 Ητοπικήομάδακερδίζειόταν βρέχει ή αλλιώς Αν βρέχει τότε η τοπική ομάδα κερδίζει Αντιθετοαντίστροφη Αν ΔΕΝ κερδίζει η τοπική ομάδα τότε ΔΕΝ βρέχει Αντίστροφη Αν η τοπική ομάδα κερδίζει τότε βρέχει Αντιθετική Αν Δεν βρέχει τότε η τοπική ομάδα ΔΕΝ κερδίζει p q Μπορείς να μπεις στο αεροπλάνο αν και μόνον αν αγοράσεις εισιτήριο
18 Προτεραιότητα λογικών τελεστών
19 Μετάφραση φράσεων ομιλίας Μπορούμε να έχουμε πρόσβαση στο Internet από πανεπιστημιακό χώρο μόνον αν είμαστε διπλωματούχοι Η/Υ ή όχι πρωτοετείς Πρόταση p = Μπορούμε να έχουμε πρόσβαση στο Internet από πανεπιστημιακό χώρο Πρόταση q = είμαστε διπλωματούχοι Η/Υ Πρόταση r = (είμαστε) πρωτοετείς p (q r)
20 Μετάφραση φράσεων ομιλίας Δε μπορούμε να ανεβούμε στο τραινάκι του λούνα παρκ με τις καμπύλες τροχιές αν έχουμε ύψος μικρότερο από 1,30 εκτός και αν είμαστε μεγαλύτεροι από 16 χρονών Πρόταση p = Μπορούμε να ανέβουμε στο τραινάκι του λούνα παρκ με τις καμπύλες τροχιές Πρόταση q = έχουμε ύψος μικρότερο από 1,30 Πρόταση r = είμαστε μεγαλύτεροι από 16 χρονών (q r) p
21 Μετάφραση φράσεων φυσικής γλώσσας σε λογικές εκφράσεις Δε μπορεί να σταλεί η αυτόματη απάντηση όταν το σύστημα αρχείων είναι πλήρες Πρόταση p = Μπορεί να σταλεί η αυτόματη απάντηση Πρόταση q = το σύστημα αρχείων είναι πλήρες q p
22 Σύμφωνες (ή συνεπείς) προτασιακές εκφράσεις Υπάρχει ανάθεση τιμών στις μεταβλητές των προτασιακών εκφράσεων που τις κάνει όλες ΑΛΗΘΕΙΣ Το διαγνωστικό μήνυμα αποθηκεύεται στην προσωρινή μνήμη ή επαναμεταδίδεται = P1 Το διαγνωστικό μήνυμα δεν αποθηκεύεται στην προσωρινή μνήμη = P2 Αν το διαγνωστικό μήνυμα αποθηκεύεται στην προσωρινή μνήμη τότε επαναμεταδίδεται = P3 Πρόταση p = Το διαγνωστικό μήνυμα αποθηκεύεται στην προσωρινή μνήμη Πρόταση q = Το διαγνωστικό μήνυμα επαναμεταδίδεται P1: p q P2: p P3: p q Ηανάθεσηp=0, q=1 δίνει P1: p q= 0 1=1 P2: p= 0=1 P3: p q=0 1=1 Οι προτασιακές εκφράσεις είναι συνεπείς
23 Σύμφωνες (ή συνεπείς) προτασιακές εκφράσεις Υπάρχει ανάθεση τιμών στις μεταβλητές των προτασιακών εκφράσεων που τις κάνει όλες ΑΛΗΘΕΙΣ Το διαγνωστικό μήνυμα αποθηκεύεται στην προσωρινή μνήμη ή επαναμεταδίδεται = P1 Το διαγνωστικό μήνυμα δεν αποθηκεύεται στην προσωρινή μνήμη = P2 Αν το διαγνωστικό μήνυμα αποθηκεύεται στην προσωρινή μνήμη τότε επαναμεταδίδεται = P3 Το διαγνωστικό μήνυμα δεν επαναμεταδίδεται = P4 Πρόταση p = Το διαγνωστικό μήνυμα αποθηκεύεται στην προσωρινή μνήμη Πρόταση q = Το διαγνωστικό μήνυμα επαναμεταδίδεται P1: p q P2: p P3: p q P4: q Δεν υπάρχει ανάθεση τιμών στις p, q που να κάνει τις P1, P2, P3 ταυτόχρονα αληθείς Οι προτασιακές εκφράσεις δεν είναι συνεπείς
24 Προτασιακή λογική και αναζητήσεις στο Internet Με χρήση των AND ( ), OR ( ), NOT ( ) κάνουμε σύνθετη αναζήτηση στο Internet Ιστοσελίδες για πανεπιστήμια στο New Mexico NEW AND MEXICO AND UNIVERSITIES Ιστοσελίδες για πανεπιστήμια στο New Mexico ή στην Arizona (NEW AND MEXICO OR ARIZONA) AND UNIVERSITIES Ιστοσελίδες για πανεπιστήμια στο Mexico (MEXICO AND UNIVERSITIES) NOT NEW
25 Λογικοί γρίφοι Γρίφοι που μπορούν να λυθούν με χρήση λογικών συλλογισμών Αποτελούν εξαιρετικό τρόπο εξάσκησης με τους κανόνες της λογικής Χρησιμοποιούνται για την επίδειξη δυνατοτήτων προγραμμάτων υπολογιστών που είναι σχεδιασμένα για να εκτελούν λογικούς συλλογισμούς Γρίφοι Smullyan (Σμάλιεν) & Γρίφος των λασπωμένων παιδιών
26 Λογικοί γρίφοι [Smullyan 1978] Σε ένα νησί υπάρχουν 2 είδη κατοίκων: Οι αφέντες που λένε πάντα αλήθεια Οι υπηρέτες που λένε πάντα ψέματα Συναντάμε 2 ανθρώπους, τον Α και τον Β Τι είναι ο Α και τι ο Β αν Ο Α λέει: ο Β είναι αφέντης Ο Β λέει: οι δυο μας είμαστε διαφορετικοί p=ο B είναι αφέντης q=οι Α και Β είναι διαφορετικοί Αν p=1 ο Α λέει αλήθεια ότι ο Β είναι αφέντης ο Α είναι αφέντης οβλέει ψέματα ο Β ΔΕΝ είναι αφέντης: άτοπο Άρα πρέπει p=0 Αν p=0 ο Α λέει ψέματα ότι ο Β είναι αφέντης ο Α είναι υπηρέτης αφού λέει ψέματα ο Β δεν είναι αφέντης, δηλ. ο Β είναι υπηρέτης ο Β λέει ψέματα οι Α και Β δεν είναι διαφορετικοί, δηλ. είναι ίδιοι ΟΚ ΑΠΑΝΤΗΣΗ: Α υπηρέτηςκαιβυπηρέτης
27 Λογικοί γρίφοι [Smullyan 1978] Σε ένα νησί υπάρχουν 2 είδη κατοίκων: Οι αφέντες που λένε πάντα αλήθεια Οι υπηρέτες που λένε πάντα ψέματα Συναντάμε 2 ανθρώπους, τον Α και τον Β Τι είναι ο Α και τι ο Β αν Ο Α λέει: τουλάχιστον ένας από εμάς είναι υπηρέτης Ο Β λέει: τίποτα Αν ο Α είναι υπηρέτης λέει ψέματα κανένας τους δεν είναι υπηρέτης και ο Α και ο B είναι αφέντες (άτοπο) Αν ο Α είναι αφέντης λέει αλήθεια τουλάχιστον ένας από τους δύο είναι υπηρέτης ο B είναι υπηρέτης ΑΠΑΝΤΗΣΗ: Ο Α είναι αφέντης και ο Β είναι υπηρέτες
28 Λογικοί γρίφοι [Smullyan 1978] Σε ένα νησί υπάρχουν 2 είδη κατοίκων: Οι αφέντες που λένε πάντα αλήθεια Οι υπηρέτες που λένε πάντα ψέματα Συναντάμε 2 ανθρώπους, τον Α και τον Β Τι είναι ο Α και τι ο Β αν Ο Α λέει: και οι δύο είμαστε αφέντες Ο Β λέει: ο Αείναιυπηρέτης Αν ο Α είναι αφέντης λέει αλήθεια και ο Α και ο Β είναι αφέντες Αν ο Β είναι αφέντης λέει αλήθεια οαείναιυπηρέτης(άτοπο) Αν ο Α είναι υπηρέτης λέει ψέματα τουλάχιστον ένας από τους δύο είναι υπηρέτης ο B είναι αφέντης Αν ο Β είναι αφέντης λέει αλήθεια οαείναιυπηρέτηςοκ ΑΠΑΝΤΗΣΗ: ο Α είναι υπηρέτης και ο Β είναι αφέντης
29 Λογικοί γρίφοι [Smullyan 1978] Σε ένα νησί υπάρχουν 2 είδη κατοίκων: Οι αφέντες που λένε πάντα αλήθεια Οι υπηρέτες που λένε πάντα ψέματα Συναντάμε 2 ανθρώπους, τον Α και τον Β Τι είναι ο Α και τι ο Β αν Ο Α λέει: είμαι υπηρέτης ή ο Β είναι αφέντης Ο Β λέει: τίποτα Αν ο Α είναι υπηρέτης λέει ψέματα ούτε ο Α είναι υπηρέτης ούτε ο Β αφέντης (άτοπο) Αν ο Α είναι αφέντης λέει αλήθεια ο B πρέπει να είναι αφέντης ΑΠΑΝΤΗΣΗ: ο Α είναι αφέντης και ο Β είναι αφέντης
30 Λογικοί γρίφοι [Smullyan 1978] Σε ένα νησί υπάρχουν 2 είδη κατοίκων: Οι αφέντες που λένε πάντα αλήθεια Οι υπηρέτες που λένε πάντα ψέματα Συναντάμε 2 ανθρώπους, τον Α και τον Β Τι είναι ο Α και τι ο Β αν Ο Α λέει: είμαι αφέντης Ο Β λέει: είμαι αφέντης ΑΠΑΝΤΗΣΗ: και ο Α και ο Β μπορεί να είναι είτε αφέντης είτε υπηρέτης
31 Λογικοί γρίφοι [Smullyan 1978] Σε ένα νησί υπάρχουν 2 είδη κατοίκων: Οι αφέντες που λένε πάντα αλήθεια Οι υπηρέτες που λένε πάντα ψέματα Συναντάμε 2 ανθρώπους, τον Α και τον Β Τι είναι ο Α και τι ο Β αν Ο Α λέει: είμαστε και οι δύο υπηρέτες Ο Β λέει: τίποτα Αν ο Α είναι υπηρέτης λέει ψέματα τουλάχιστον ένας από τους Α και Β είναι υπηρέτης ο Β είναι αφέντης Αν ο Α είναι αφέντης λέει αλήθεια και ο Α και ο B είναι υπηρέτες (άτοπο) ΑΠΑΝΤΗΣΗ: ο Α είναι υπηρέτης και ο Β είναι αφέντης
32 Λογικοί γρίφοι [Smullyan 1978] Σε ένα νησί υπάρχουν 3 είδη κατοίκων: Οι αφέντες που λένε πάντα αλήθεια Οι υπηρέτες που λένε πάντα ψέματα Οι κατάσκοποι που μπορεί να λένε αλήθεια ή ψέματα Συναντάμε 3 ανθρώπους, τον Α, τον Β και τον C Ξέρουμε ότι από αυτούς ένας είναι αφέντης, ένας υπηρέτης και ένας κατάσκοπος Το κάθε άτομο ξέρει σε ποιες κατηγορίες ανήκουν τα άλλα δύο άτομα ΤιείναιοιΑ, Β,C αν Ο Α λέει: ο C είναι υπηρέτης Ο Β λέει: ο Α είναι αφέντης O C λέει: εγώ είμαι ο κατάσκοπος Αν ο Α είναι αφέντης λέει αλήθεια ο C είναι υπηρέτης ο C λέει ψέματα Ο Β λέει αλήθεια ο Α είναι αφέντης Οπότε ο Β είναι ο κατάσκοπος Αν ο Α είναι υπηρέτης λέει ψέματα ο C δεν είναι υπηρέτης Ο Β λέει ψέματα Ο Β είναι υπηρέτης (άτοπο) ΑΠΑΝΤΗΣΗ: ο Αείναιαφέντης, ο Β είναι κατάσκοπος και ο C υπηρέτης
33 Λογικοί γρίφοι [Smullyan 1978] Σε ένα νησί υπάρχουν 3 είδη κατοίκων: Οι αφέντες που λένε πάντα αλήθεια Οι υπηρέτες που λένε πάντα ψέματα Οι κατάσκοποι που μπορεί να λένε αλήθεια ή ψέματα Συναντάμε 3 ανθρώπους, τον Α, τον Β και τον C Ξέρουμε ότι από αυτούς ένας είναι αφέντης, ένας υπηρέτης και ένας κατάσκοπος Το κάθε άτομο ξέρει σε ποιες κατηγορίες ανήκουν τα άλλα δύο άτομα ΤιείναιοιΑ, Β,C αν Ο Α λέει: είμαι ο αφέντης Ο Β λέει: είμαι ο υπηρέτης O C λέει: ο Β είναι ο αφέντης Αν ο Α είναι αφέντης λέει αλήθεια ο C λέει ψέματα οβδενείναιοαφέντης Αν ο Β είναι ο υπηρέτης ο Β λέει ψέματα δε μπορεί να είναι ο υπηρέτης οβ είναι ο κατάσκοπος ο C είναι ο υπηρέτης Αν ο Α είναι υπηρέτης λέει ψέματα Αν ο Β είναι ο αφέντης ο Β λέει αλήθεια ο Β είναι ο υπηρέτης (άτοπο) οβδεν είναι ο αφέντης ο Β είναι ο κατάσκοπος ο C είναι ο υπηρέτης ΑΠΑΝΤΗΣΗ: ο Αείναιαφέντης, ο Β είναι κατάσκοπος και ο C υπηρέτης
34 Λογικοί γρίφοι [Smullyan 1978] Σε ένα νησί υπάρχουν 3 είδη κατοίκων: Οι αφέντες που λένε πάντα αλήθεια Οι υπηρέτες που λένε πάντα ψέματα Οι κατάσκοποι που μπορεί να λένε αλήθεια ή ψέματα Συναντάμε 3 ανθρώπους, τον Α, τον Β και τον C Ξέρουμε ότι από αυτούς ένας είναι αφέντης, ένας υπηρέτης και ένας κατάσκοπος Το κάθε άτομο ξέρει σε ποιες κατηγορίες ανήκουν τα άλλα δύο άτομα ΤιείναιοιΑ, Β,C αν Ο Α λέει: είμαι ο αφέντης Ο Β λέει: ο Α λέει αλήθεια O C λέει: είμαι ο κατάσκοπος Αν ο Α είναι αφέντης λέει αλήθεια ο Β λέει αλήθεια ο Β είναι ο κατάσκοπος ο C λέει ψέματα ο C είναι ο υπηρέτης Αν ο Α δεν είναι αφέντης λέει ψέματα ο Β λέει ψέματα ο C δε μπορεί να είναι οκατάσκοπος ΑΠΑΝΤΗΣΗ: ο Αείναιαφέντης, ο Β είναι κατάσκοπος και ο C υπηρέτης
35 Λογικοί γρίφοι [Smullyan 1978] Σε ένα νησί υπάρχουν 3 είδη κατοίκων: Οι αφέντες που λένε πάντα αλήθεια Οι υπηρέτες που λένε πάντα ψέματα Οι κατάσκοποι που μπορεί να λένε αλήθεια ή ψέματα Συναντάμε 3 ανθρώπους, τον Α, τον Β και τον C Ξέρουμε ότι από αυτούς ένας είναι αφέντης, ένας υπηρέτης και ένας κατάσκοπος Το κάθε άτομο ξέρει σε ποιες κατηγορίες ανήκουν τα άλλα δύο άτομα Τι είναι οι Α, Β,C αν Ο Α λέει: είμαι ο αφέντης Ο Β λέει: ο Α δεν είναι ο υπηρέτης O C λέει: οβδενείναιουπηρέτης Αν ο Α είναι αφέντης λέει αλήθεια ο Β λέει αλήθεια ο Β είναι ο κατάσκοπος ο C λέει αλήθεια ο C δε μπορεί να είναι ο υπηρέτης άτοπο Αν ο Α δεν είναι αφέντης λέει ψέματα ο Α είναι υπηρέτης ή κατάσκοπος Βλέειψέματα ο Β είναι υπηρέτης ή κατάσκοπος ο C λέει ψέματα ο C είναι υπηρέτης ή κατάσκοπος άτοπο Αν ο Α είναι υπηρέτης λέει ψέματα Βλέειψέματα οβείναιοκατάσκοπος ο C λέει αλήθεια ο C είναι ο αφέντης ΑΠΑΝΤΗΣΗ: ο Αείναιυπηρέτης, ο Β είναι κατάσκοπος και ο C αφέντης
36 Λογικοί γρίφοι [Smullyan 1978] Σε ένα νησί υπάρχουν 3 είδη κατοίκων: Οι αφέντες που λένε πάντα αλήθεια Οι υπηρέτες που λένε πάντα ψέματα Οι κατάσκοποι που μπορεί να λένε αλήθεια ή ψέματα Συναντάμε 3 ανθρώπους, τον Α, τον Β και τον C Ξέρουμε ότι από αυτούς ένας είναι αφέντης, ένας υπηρέτης και ένας κατάσκοπος Το κάθε άτομο ξέρει σε ποιες κατηγορίες ανήκουν τα άλλα δύο άτομα Τι είναι οι Α, Β,C αν Ο Α λέει: είμαι ο αφέντης Ο Β λέει: είμαι ο αφέντης O C λέει: είμαι ο αφέντης Αν ο Α είναι αφέντης λέει αλήθεια οβλέειψέματα ο Β είναι κατάσκοπος ή υπηρέτης ο C λέει ψέματα ο C είναι κατάσκοπος ή υπηρέτης Αν ο Α δεν είναι αφέντης λέει ψέματα ο Α είναι υπηρέτης ή κατάσκοπος Αν ο Β είναι αφέντης ο C λέει ψέματα ο C είναι υπηρέτης ή κατάσκοπος Όμοια για B, C ΑΠΑΝΤΗΣΗ: οποιοσδήποτε από τους Α, B, C μπορεί να είναι ο υπηρέτης, ο κατάσκοπος και ο αφέντης
37 Λογικοί γρίφοι [Smullyan 1978] Σε ένα νησί υπάρχουν 3 είδη κατοίκων: Οι αφέντες που λένε πάντα αλήθεια Οι υπηρέτες που λένε πάντα ψέματα Οι κατάσκοποι που μπορεί να λένε αλήθεια ή ψέματα Συναντάμε 3 ανθρώπους, τον Α, τον Β και τον C Ξέρουμε ότι από αυτούς ένας είναι αφέντης, ένας υπηρέτης και ένας κατάσκοπος Το κάθε άτομο ξέρει σε ποιες κατηγορίες ανήκουν τα άλλα δύο άτομα ΤιείναιοιΑ, Β,C αν Ο Α λέει: δεν είμαι ο κατάσκοπος Ο Β λέει: δεν είμαι ο κατάσκοπος O C λέει: ο Α είναι ο κατάσκοπος Αν ο Α είναι ο κατάσκοπος λέει ψέματα ο C λέει αλήθεια ο C είναι ο αφέντης οβείναιουπηρέτης(άτοπο αφού τότε ο Β λέει αλήθεια) Αν ο Α δεν είναι ο κατάσκοπος λέει αλήθεια ο Α είναι ο αφέντης ο C λέει ψέματα ο C είναι ο κατάσκοπος ή ο υπηρέτης Αν ο Β είναι ο κατάσκοπος λέει ψέματα ο C είναι ο υπηρέτης Αν ο Β δεν είναι ο κατάσκοπος λέει αλήθεια οβείναιοκατάσκοπος(άτοπο) ΑΠΑΝΤΗΣΗ: ο Αείναιοαφέντης, ο Β ο κατάσκοπος και ο C ο υπηρέτης
38 Λογικοί γρίφοι [Smullyan 1978] Σε ένα νησί υπάρχουν 3 είδη κατοίκων: Οι αφέντες που λένε πάντα αλήθεια Οι υπηρέτες που λένε πάντα ψέματα Οι κατάσκοποι που μπορεί να λένε αλήθεια ή ψέματα Συναντάμε 3 ανθρώπους, τον Α, τον Β και τον C Ξέρουμε ότι από αυτούς ένας είναι αφέντης, ένας υπηρέτης και ένας κατάσκοπος Το κάθε άτομο ξέρει σε ποιες κατηγορίες ανήκουν τα άλλα δύο άτομα ΤιείναιοιΑ, Β,C αν Ο Α λέει: δεν είμαι ο κατάσκοπος Ο Β λέει: δεν είμαι ο κατάσκοπος O C λέει: δεν είμαι ο κατάσκοπος ΑνοΑδενείναιοκατάσκοπος λέει αλήθεια ο Α είναι αφέντης Αν ο Β είναι ο κατάσκοπος ο C λέει αλήθεια ο C δε μπορεί να είναι ο υπηρέτης Αν ο Β δεν είναι ο κατάσκοπος ο Β λέει αλήθεια ο Β είναι ο αφέντης (άτοπο) Αν ο Α είναι ο κατάσκοπος λέει ψέματα οι Β και C λένε αλήθεια οι Β και C είναι και οι δύο αφέντες (άτοπο) Όμοια για τις άλλες περιπτώσεις ΑΠΑΝΤΗΣΗ: δεν υπάρχει ανάθεση
39 Λογικοί γρίφοι [Smullyan 1978] Σε ένα νησί υπάρχουν 3 είδη κατοίκων: Οι αφέντες που λένε πάντα αλήθεια Οι υπηρέτες που λένε πάντα ψέματα Οι κατάσκοποι που μπορεί να λένε αλήθεια ή ψέματα Συναντάμε 3 ανθρώπους, τον Α, τον Β και τον C Ξέρουμε ότι από αυτούς ένας είναι αφέντης, ένας υπηρέτης και ένας κατάσκοπος Το κάθε άτομο ξέρει σε ποιες κατηγορίες ανήκουν τα άλλα δύο άτομα Τι είναι οι Α, Β,C αν Ο Α λέει: είμαι ο υπηρέτης Ο Β λέει: είμαι ο υπηρέτης O C λέει: ο Β είναι ο υπηρέτης Αν ο Α είναι ο υπηρέτης λέει ψέματα οαδενείναιουπηρέτης(άτοπο) οαδενείναιουπηρέτης Αν ο Α δεν είναι ο υπηρέτης οαλέειψέματα ο Α δε μπορεί να είναι αφέντης οαείναιο κατάσκοπος Αν ο Β είναι ο υπηρέτης οβλέειψέματα δε μπορεί να είναι ο υπηρέτης Αν ο Β δεν είναι ο υπηρέτης οβλέειψέματα ο Β δε μπορεί να είναι αφέντης και ο Β είναι ο κατάσκοπος ΟΒδενείναιουπηρέτης ο C λέει ψέματα ο C είναι ο υπηρέτης Όμως, τότε ο C είναι ο υπηρέτης ο C λέει ψέματα οβδενείναιουπηρέτηςοκ Τότε όμως κανένας από τους Α και Β δε μπορεί να είναι ο αφέντης αφού αν ήταν θα έλεγε αλήθεια οα και ο Β είναι ο κατάσκοπος (άτοπο) ΑΠΑΝΤΗΣΗ: δεν υπάρχει
40 Γρίφος των λασπωμένων παιδιών Έναςπατέραςλέεισταπαιδιάτου ένα κορίτσι κι ένα αγόρι - να παίξουν χωρίς να λερωθούν Τα παιδιά τελικά λερώνονται και τα δύο με λάσπες στο μέτωπο και όταν σταματούν να παίζουν ο πατέρας λέει: «Τουλάχιστον ένα από τα παιδιά έχει λασπωμένο μέτωπο» και ζητά και από τα δύο παιδιά να απαντήσουν με Ναι ή Όχι στην ερώτηση: «Μήπως γνωρίζεις αν το μέτωπό σου αν είναι λασπωμένο» Τι θα απαντήσουν τα παιδιά δεδομένου ότι: Μπορούν να δουν το μέτωπο του άλλου αλλά όχι το δικό τους Και τα δύο παιδιά είναι έντιμα και απαντούν ταυτόχρονα Ο πατέρας κάνει την ερώτηση 2 φορές
41 Γρίφος των λασπωμένων παιδιών s = το αγόρι έχει λερωμένο μέτωπο d = το κορίτσι έχει λερωμένο μέτωπο Πατέρας: «τουλάχιστον ένας από τους 2 έχει λερωμένο μέτωπο» σημαίνει ότι η πρόταση s d πρέπει να είναι αληθής Και τα δύο παιδιά απαντούν ΟΧΙ στην ερώτηση του πατέρα «Γνωρίζεις αν το μέτωπό σου είναι λερωμένο;» αφού βλέπουν το μέτωπο του άλλου παιδιού λερωμένο, δηλ. Το αγόρι γνωρίζει ότι η d είναι αληθής αλλά δε γνωρίζει τι είναι η s Το κορίτσι γνωρίζει ότι η s είναι αληθής αλλά δε γνωρίζει τι είναι η d Μετά την απάντηση ΟΧΙ του αγοριού, το κορίτσι μπορεί να καταλάβει ότι η d είναι αληθής αφού διαφορετικά το αγόρι θα είχε απαντήσει ΝΑΙ Όμοια, μετά την απάντηση ΟΧΙ του κοριτσιού, το κορίτσι μπορεί να καταλάβει ότι η s είναι αληθής αφού διαφορετικά το κορίτσι θα είχε απαντήσει ΝΑΙ Επομένως, τη δεύτερη φορά που θα γίνει η ερώτηση, απαντάνε και οι δύο ΝΑΙ
42 Ταυτολογία, Αντιλογία, Ενδεχόμενο Παράδειγμα ταυτολογίας και αντιλογίας:
43 Λογικά ισοδύναμες προτάσεις
44 Λογικά ισοδύναμες προτάσεις
45 Λογικά ισοδύναμες προτάσεις
46 Κατηγορήματα Π1: Το x είναι μεγαλύτερο από 3 Το x είναι το υποκείμενο της πρότασης Π1 «μεγαλύτερο του 3»: κατηγόρημα Συμβολίζουμε την πρόταση Π1 ως P(x), όπου P είναι το κατηγόρημα Ποιες είναι οι τιμές αλήθειας των P(4) (αληθής) και P(2) (ψευδής) ;
47 Κατηγορήματα Π2: Q(x,y): x=y+3 Ποια είναι η τιμή αλήθειας της Q(1,2); ψευδής Ποια είναι η τιμή αλήθειας της Q(3,0); αληθής Π3: R(x,y,z): x+y=z Ποια είναι η τιμή αλήθειας της R(1,2,3); αληθής Ποια είναι η τιμή αλήθειας της R(0,0,1); ψευδής
48 Ποσοτικοποιήσεις
49 Ποσοτικοποιήσεις Καθολικός ποσοδείκτης, : «για κάθε» - x P(x) P(x): x+1>x Ποια είναι η τιμή αλήθειας της ποσοτικοποίησης x P(x) όταν το πεδίο ορισμού είναι οι πραγματικοί αριθμοί; (αληθής) Q(x): x<2 Ποια είναι η τιμή αλήθειας της ποσοτικοποίησης x Q(x) όταν το πεδίο ορισμού είναι οι πραγματικοί αριθμοί; (ψευδής) R(x): x 2 <10 Ποια είναι η τιμή αλήθειας της ποσοτικοποίησης x R(x) όταν το πεδίο ορισμού είναι οι θετικοί ακέραιοι που δεν υπερβαίνουν το 4; (ψευδής) Τ(x): ο x έχει 2 γονείς Ποια είναι η τιμή αλήθειας της ποσοτικοποίησης x Τ(x) όταν το πεδίο ορισμού είναι οι όλοι οι άνθρωποι; (αληθής) Κ(x): x 2 x Ποια είναι η τιμή αλήθειας της ποσοτικοποίησης x K(x) όταν το πεδίο ορισμού είναι Όλοι οι πραγματικοί αριθμοί; (ψευδής) Όλοι οι ακέραιοι; (αληθής) L(x): x 2 >0 Ποια είναι η τιμή αλήθειας της ποσοτικοποίησης x L(x) όταν το πεδίο ορισμού είναι όλοι οι ακέραιοι; (ψευδής)
50 Ποσοτικοποιήσεις Καθολικός ποσοδείκτης, : «για κάθε» - x P(x) P(x): x+1>x Ποια είναι η τιμή αλήθειας της ποσοτικοποίησης x P(x) όταν το πεδίο ορισμού είναι οι πραγματικοί αριθμοί; (αληθής) Q(x): x<2 Ποια είναι η τιμή αλήθειας της ποσοτικοποίησης x Q(x) όταν το πεδίο ορισμού είναι οι πραγματικοί αριθμοί; (ψευδής) R(x): x 2 <10 Ποια είναι η τιμή αλήθειας της ποσοτικοποίησης x R(x) όταν το πεδίο ορισμού είναι οι θετικοί ακέραιοι που δεν υπερβαίνουν το 4; (ψευδής) Τ(x): ο x έχει 2 γονείς Ποια είναι η τιμή αλήθειας της ποσοτικοποίησης x Τ(x) όταν το πεδίο ορισμού είναι οι όλοι οι άνθρωποι; (αληθής) Κ(x): x 2 x Ποια είναι η τιμή αλήθειας της ποσοτικοποίησης x K(x) όταν το πεδίο ορισμού είναι Όλοι οι πραγματικοί αριθμοί; (ψευδής) Όλοι οι ακέραιοι; (αληθής) L(x): x 2 >0 Ποια είναι η τιμή αλήθειας της ποσοτικοποίησης x L(x) όταν το πεδίο ορισμού είναι όλοι οι ακέραιοι; (ψευδής)
51 Ποσοτικοποιήσεις Υπαρξιακός ποσοδείκτης, : «υπάρχει» - x P(x) P(x): x>3 Ποια είναι η τιμή αλήθειας της ποσοτικοποίησης x P(x) όταν το πεδίο ορισμού είναι οι πραγματικοί αριθμοί; (αληθής) Q(x): x=x+1 Ποια είναι η τιμή αλήθειας της ποσοτικοποίησης x Q(x) όταν το πεδίο ορισμού είναι οι πραγματικοί αριθμοί; (ψευδής) R(x): x 2 >10 Ποια είναι η τιμή αλήθειας της ποσοτικοποίησης x R(x) όταν το πεδίο ορισμού είναι οι θετικοί ακέραιοι που δεν υπερβαίνουν το 4; (αληθής)
52 Ποσοτικοποιήσεις
53 Άρνηση ποσοτικοποιήσεων Υπάρχει φοιτητής στην τάξη που έχει διδαχθεί μαθηματικά Q(x): Ο φοιτητήςx έχει διδαχθεί μαθηματικά, xq(x) Άρνηση: Κάθε φοιτητής στην τάξη δεν έχει διδαχθεί μαθηματικά, x Q(x) Κάθε φοιτητής στην τάξη έχει διδαχθεί μαθηματικά P(x): Ο φοιτητήςx έχει διδαχθεί μαθηματικά, xp(x) Άρνηση: Υπάρχει φοιτητής που δεν έχει διδαχθεί μαθηματικά, x P(x)
54 Αρνήσεις ποσοτικοποιήσεων Ποιες είναι οι αρνήσεις των δηλώσεων Υπάρχει έντιμος πολιτικός Όλοι οι πολιτικοί είναι ανέντιμοι Όλοι οι Έλληνες τρώνε σάντουιτς Υπάρχει Έλληνας που δεν τρώει σάντουιτς x(x 2 >x) x (x 2 x) x(x 2 =2) x (x 2 2)
55 Από την καθομιλούμενη γλώσσα σε λογικές εκφράσεις Κάθε φοιτητής στην τάξη αυτή έχει μελετήσει ανώτερα μαθηματικά φοιτητής: x C(x):έχει μελετήσει ανώτερα μαθηματικά x C(x) Κάποιοι φοιτητές στην τάξη αυτή έχουν επισκεφθεί το Μεξικό x Μ(x) Κάθε φοιτητής στην τάξη αυτή έχει επισκεφθεί είτε τον Καναδά είτε το Μεξικό x (Κ(x) Μ(x))
56 Αλίκη στη χώρα των θαυμάτων & Λογική;;; Lewis Caroll Charles Lutwidge Dodgson [ ] Συγγραφέας της «Αλίκης στη χώρα των θαυμάτων» Συμβολική Λογική, Το παιχνίδι της Λογικής Παραδείγματα λογικών συμβολισμών με χρήση ποσοτικοποιητών
57 Σύνολα Χρησιμοποιούνται για να ομαδοποιούν μεταξύ τους αντικείμενα Τα αντικείμενα σε ένα σύνολο έχουν παρόμοιες ιδιότητες Αποτελούν μέσο μελέτης παρόμοιων συλλογών με οργανωμένο τρόπο
58 Σύνολα Σύνολο: μη διαταγμένη συλλογή αντικειμένων (π.χ., Α) αντικείμενα ενός συνόλου: στοιχεία ή μέλη του συνόλου (π.χ., Α= {a,b,c,d}) Συμβολίζουμε b A για να δηλώσουμε ότι το b είναι στοιχείο του συνόλου Α Συμβολίζουμε f A για να δηλώσουμε ότι το f ΔΕΝ είναι στοιχείο του συνόλου Α Τα σύνολα περιγράφονται Με καταγραφή των στοιχείων τους {a,b,c,d} Σύνολο φωνηέντων αγγλικού αλφαβήτου: V={a,e,i,o,u} Σύνολο περιττών θετικών ακεραίων που είναι μικρότεροι του 10: Ο={1,3,5,7,9} Σύνολα μπορεί να περιέχουν και φαινομενικά μη συσχετιζόμενα στοιχεία: {α,2,evi,patras} Σύνολο θετικών ακεραίων που είναι μικτότεροι από 100: {1,2,3,,99} δεν καταγράφουμε όλα τα στοιχεία όταν είναι φανερή η γενική μορφή τους Ν={0,1,2,3, }: σύνολο φυσικών αριθμών Ζ={ -2,-1,0,1,2, }: σύνολο ακεραίων αριθμών Ζ + ={0,1,2, }: σύνολο θετικών ακεραίων αριθμών Q={p/q p Z, q Z, q 0}: σύνολο ρητών αριθμών R: σύνολο πραγματικών αριθμών Με συμβολισμό κατασκευής συνόλου, δηλ., με αναφορά κάποιας κοινής ιδιότητας των στοιχείων Ο={x ο x είναι περιττός θετικός ακέραιος μικρότερος του 10} R={x ο x είναι πραγματικός αριθμός}
59 Σύνολα Δύοσύνολαείναιίσαανκαιμόνονανέχουνταίδια στοιχεία Τα σύνολα {1,3,5} και {3,5,1} είναι ίσα Δεν έχει σημασία η σειρά καταγραφής των στοιχείων ενός συνόλου Κενό: σύνολο χωρίς στοιχεία, {}, Μοναδιαίο: σύνολο με ένα στοιχείο, π.χ., {α}, { } Σύνολο Α είναι υποσύνολο ενός συνόλου Β (συμβολίζουμε Α Β) αν και μόνον αν κάθε στοιχείο του Α είναι και στοιχείο του Β Κάθε σύνολο έχει δύο (τετριμμένα) υποσύνολα: τον εαυτό του και το κενό σύνολο ( ) Σύνολο Α είναι γνήσιο υποσύνολο ενός συνόλου Β (συμβολίζουμε Α Β) όταν το Α είναι υποσύνολο του Β και επιπλέον Α Β
60 Σύνολα Σ: σύνολο Το Σ περιέχει n ξεχωριστά στοιχεία n: μη αρνητικός ακέραιος το σύνολο Σ είναι πεπερασμένο και ο αριθμός n είναι ο πληθικός αριθμός ή πληθάριθμος συμβολίζεται με Σ - του συνόλου Σ Σ : πλήθος στοιχείων του Σ Α: σύνολο περιττών θετικών ακέραιων που είναι μικρότεροι του 10 Α =5 Σ: σύνολο γραμμάτων ελληνικού αλφαβήτου Σ =24 S: σύνολο γραμμάτων αγγλικού αλφαβήτου S =26 =0 Ένα σύνολο είναι άπειρο αν ΔΕΝ είναι πεπερασμένο
61 Δυναμοσύνολο Δυναμοσύνολο συνόλου Α είναι το σύνολο όλων των υποσυνόλων του Α και συμβολίζεται με P(A) (P από Powerset = Δυναμοσύνολο) Β={0,1,2} P(B)={,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},{0,1,2}} P( )={ } P({ })={,{ }} Αν Α =n P(A) =2 n Γιατί; Κάθε ένα από τα n στοιχεία του Α μπορεί είτε να μετέχει είτε να μη μετέχει σε κάποιο υποσύνολο
62 Καρτεσιανά γινόμενα Όταν μας ενδιαφέρει η σειρά των n στοιχείων σε μια συλλογή τότε έχουμε μια διατεταγμένη ομάδα n στοιχείων (α1,α2,,αn) Δύο διατεταγμένες ομάδες n στοιχείων είναι ίσες αν και μόνον αν κάθε αντίστοιχο ζευγάρι στοιχείων τους είναι ίσο (α1,α2,,αn)=(b1,b2,,bn) αν και μόνον αν αi=bi για i=1,2,,n Καρτεσιανό γινόμενο των σύνολων Α και Β, ΑxΒ είναι το σύνολο των διατεταγμένων ζευγών (α,b) με α Ακαιb Β ΑXB={(α,b) α Α b Β} A το σύνολο των φοιτητών του Τμήματος Β το σύνολο των μαθημάτων που προσφέρονται στο Τμήμα Το καρτεσιανό γινόμενο AxB περιέχει όλα τα διατεταγμένα ζεύγη της μορφής (α,b) όπου α είναι κάποιο άτομο που φοιτά στο Τμήμα και b κάποιο προσφερόμενο μάθημα Α={1,2} Β={a,b,c} AxB={(1,a),(1,b), (1,c),(2,a), (2,b),(2,c),} AxB BxA εκτός αν Α= ήβ= ήα=β Ένα υποσύνολο R του ΑxΒ ονομάζεταισχέση απότοσύνολοαστοσύνολοβ R={(α,0),(α,1),(b,1),(c,0),(c,3)} είναι σχέση από το σύνολο {α,b,c} στο σύνολο {0,1,2,3}
63 Πράξεις με σύνολα: Ένωση
64 Πράξεις με σύνολα: Τομή
65 Πράξεις με σύνολα: Τομή Δύο σύνολα λέγονται ξένα μεταξύ τους όταν η τομή τους είναι το κενό σύνολο Δηλ., όταν δεν έχουν κοινά στοιχεία Α={1,3,5,7,9} και Β={2,4,6,8,10} Α Β= άρα Α και Β ξένα μεταξύ τους Α Β = Α + Β - Α Β Η γενίκευση σε ενώσεις αυθαίρετου πλήθους συνόλων ονομάζεται αρχή Εγκλεισμού- Αποκλεισμού
66 Πράξεις με σύνολα: Διαφορά
67 Πράξεις με σύνολα: Συμπλήρωμα
68 Ασκήσεις
69 A (A B)=A Αν x A (A B) (από τον ορισμό της τομής) x A και x (A B) Αν x A (από τον ορισμό της ένωσης) x (A B) (από τον ορισμό της τομής) x A (A B)
70
71 Συναρτήσεις Σε κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αναθέτουμε ένα συγκεκριμένο στοιχείο ενός συνόλου Β (μπορεί να είναι Α=Β) Π.χ., ανάθεση βαθμών σε φοιτητές Η ανάθεση αυτή αποτελεί παράδειγμα συνάρτησης
72 Συναρτήσεις
73 Παράδειγμα
74 Συναρτήσεις
75 Συναρτήσεις ένα-προς-ένα Διαφορετικά στοιχεία του πεδίου ορισμού έχουν διαφορετικές εικόνες Μια συνάρτηση f είναι ένα-προς-έναανκαιμόνοναν f(x) f(y) αν x y Ησυνάρτησηf(x)=x+1 είναι ένα-προς-ένα αφού f(x+1) f(y+1) όταν x y Η παρακάτω συνάρτηση είναι ένα-προς-ένα
76 Συναρτήσεις επί Χρησιμοποιείται όλο το πεδίο ορισμού τους Μια συνάρτηση f απότοσύνολοαστοσύνολοβ είναι επί αν και μόνον αν για κάθε στοιχείο b Β υπάρχει στοιχείο α Αμεf(α)=b
77 Αντιστοιχίες Μια συνάρτηση f αντιστοιχία αν είναι και ένα-προς-ένα και επί
78 Ασκήσεις ΠΤ=Το σύνολο των ακεραίων ΠΤ=Το σύνολο των μη αρνητικών άρτιων ακεραίων ΠΤ={0,1,2,3,4,5,6,7} ΠΤ={0,1,4,16,25,36,49,64, } Μόνο η (a)
79 Ασκήσεις
80 Αν Amy αφέντης λέει αλήθεια είναι αθώα ΑΤΟΠΟ αφού ένοχος=αφέντης Αν Amy υπηρέτης λέει ψέματα δεν είναι αθώα είναι ένοχη ΑΤΟΠΟ αφού ένοχος=αφέντης Άρα Amy κανονική λέει αλήθεια ή ψέματα Αν λέει ψέματα δεν είναι αθώα είναι ένοχη ΑΤΟΠΟ αφού ένοχος=αφέντης Άρα λέει αλήθεια είναι αθώα Aν Brenda αφέντης λέει αλήθεια ό,τι λέει η Amy είναι αλήθεια η Amy είναι αθώα ΑΛΗΘΕΣ Brenda ένοχη Claire λέει αλήθεια Claire κανονική που λέει αλήθεια Aν Brenda υπηρέτης λέει ψέματα ό,τι λέει η Amy δεν είναι αλήθεια η Amy είναι ένοχη ΑΤΟΠΟ αφού ένοχος=αφέντης Aν Brenda κανονική λέει αλήθεια ή ψέματα Αν λέει ψέματα ό,τι λέει η Amy δεν είναι αλήθεια η Amy είναι ένοχη ΑΤΟΠΟ αφού ένοχος=αφέντης Αν λέει αλήθεια ό,τι λέει η Amy είναι αλήθεια η Amy είναι αθώα ΑΛΗΘΕΣ Claire είναι αφέντης Claire λέει αλήθεια Brenda όχι κανονικός άνθρωπος ΑΤΟΠΟ
81 Ασκήσεις
82 Λογικά παράδοξα Το παράδοξο του Επιμενίδη από την Κρήτη Κρῆτες ἀεὶ ψεῦσται (οι Κρήτες είναι πάντα ψεύτες) Λύση: φαίνεται να εννοούσε όλους τους άλλους Κρήτες εκτός από τον εαυτό του Το παράδοξο της κάρτας του Jourdain Σε μια καρτ-ποστάλ υπάρχουν οι εξής δηλώσεις: Μπροστά μέρος: Η πρόταση στο άλλο μέρος είναι ΑΛΗΘΗΣ Ό, τι λέει η μητέρα σου είναι σωστό Πίσω μέρος: Η πρόταση στο άλλο μέρος είναι ΨΕΥΔΗΣ Ό, τι λέει ο πατέρας σου είναι λάθος Λύση: καμία πρόταση δεν είναι αληθής ή ψευδής Το παράδοξο του κουρέα (Bertrand Russell) Σε ένα χωριό, ο κουρέας ξυρίζει μόνον όποιον δεν ξυρίζεται μόνος του Ποιος ξυρίζει τον κουρέα; Λύση: δεν υπάρχει τέτοιος κουρέας
Διακριτά Μαθηματικά. Λογική, Αποδείξεις, Σύνολα, Συναρτήσεις
Διακριτά Μαθηματικά Λογική, Αποδείξεις, Σύνολα, Συναρτήσεις Διακριτά Μαθηματικά: πυλώνες Image source: http://www.patrasevents.gr Διακριτά Μαθηματικά: λογική Διακριτά Μαθηματικά: αποδείξεις Διακριτά Μαθηματικά:
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 2: Λογική και απόδειξη, Σύνολα, Συναρτήσεις
Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 2: Λογική και απόδειξη, Σύνολα, Συναρτήσεις Εύη Παπαϊωάννου Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διαχείρισης Πολιτισμικού Περιβάλλοντος και Νέων Τεχνολογιών Σκοποί
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά. Εξεταστέα ύλη. Ιανουάριος και Σεπτέμβριος 2016
Διακριτά Μαθηματικά Εξεταστέα ύλη Ιανουάριος και Σεπτέμβριος 2016 Διακριτά Μαθηματικά Λογική, Αποδείξεις, Σύνολα, Συναρτήσεις Λογική δήλωση σημασία κανόνες λογικής: διαχωρίζουν τα επιχειρήματα σε έγκυρα
Διαβάστε περισσότεραHY118-Διακριτά Μαθηματικά
HY118-Διακριτά Μαθηματικά Παρασκευή, 02/03/2018 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 02-Mar-18
Διαβάστε περισσότεραK15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων
K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Στοιχεία προτασιακής λογικής Περιεχόμενα
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων
Διαβάστε περισσότεραHY118- ιακριτά Μαθηµατικά
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 09/03/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/9/2017
Διαβάστε περισσότεραHY118-Διακριτά Μαθηματικά
HY118-Διακριτά Μαθηματικά Πέμπτη, 15/02/2018 Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε Αντώνης διαφάνειες Α. Αργυρός του Kees van e-mail: argyros@csd.uoc.gr Deemter, από το University of Aberdeen 15-Feb-18
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά Γιάννης Εμίρης Τμήμα Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών http://eclass.uoa.gr/ Οκτώβριος 2017 Οργάνωση Μαθήματος Προτασιακή Λογική, Αποδείξεις Κατηγορήματα και ποσοδείκτες Συνεπαγωγή Αποδείξεις
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά Γιάννης Εμίρης Τμήμα Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών http://eclass.uoa.gr/ Οκτώβριος 2018 Οργάνωση και περιεχόμενα Μαθήματος Προτασιακή Λογική, Αποδείξεις Κατηγορήματα και ποσοδείκτες
Διαβάστε περισσότεραHY118-Διακριτά Μαθηματικά
HY118-Διακριτά Μαθηματικά Παρασκευή, 16/02/2018 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 17-Feb-18
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά
Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 2:Στοιχεία Μαθηματικής Λογικής Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,
Διαβάστε περισσότεραΤι είναι σύνολο; Ο ορισμός αυτός είναι σύμφωνος με τη διαισθητική μας κατανόηση για το τι είναι σύνολο
ΣΥΝΟΛΑ Τι είναι σύνολο; Ένας ορισμός «Μια συλλογή αντικειμένων διακεκριμένων και πλήρως καθορισμένων που λαμβάνονται από τον κόσμο είτε της εμπειρίας μας είτε της σκέψης μας» (Cantor, 19 ος αιώνας) Ο ορισμός
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχεία Προτασιακής Λογικής
Μαθηματικές Προτάσεις Στοιχεία Προτασιακής Λογικής Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Διαβάστε περισσότεραΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 2017 Τελική Εξέταση Ιουνίου - Τετάρτη, 14/06/2017 ΛΥΣΕΙΣ
ΗΥ8: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 07 Τελική Εξέταση Ιουνίου - Τετάρτη, 4/06/07 ΛΥΣΕΙΣ Σημείωση: Οι παρακάτω λύσεις είναι ενδεικτικές. Ενδεχομένως, υπάρχουν και άλλοι σωστοί τρόποι επίλυσης. Θέμα
Διαβάστε περισσότερα4. Ο,τιδήποτε δεν ορίζεται με βάση τα (1) (3) δεν είναι προτασιακός τύπος.
Κεφάλαιο 10 Μαθηματική Λογική 10.1 Προτασιακή Λογική Η γλώσσα της μαθηματικής λογικής στηρίζεται βασικά στις εργασίες του Boole και του Frege. Ο Προτασιακός Λογισμός περιλαμβάνει στο αλφάβητό του, εκτός
Διαβάστε περισσότεραιακριτά Μαθηµατικά Ορέστης Τελέλης Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σύνολα 1 / 36
ιακριτά Μαθηµατικά Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σύνολα 1 / 36 Γνωριµία ιδάσκων: Ορέστης Τελέλης e-mail: telelis@unipi.gr
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά
Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 3: Σύνολα Συνδυαστική Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως
Διαβάστε περισσότεραΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 2019 Λύσεις ασκήσεων προόδου
ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 2019 Λύσεις ασκήσεων προόδου Θέμα 1: a. Δείξτε κατά πόσον η πρόταση ((p q) r) ((p q) (q r)) αποτελεί ή όχι ταυτολογία. Κάποιος ιδιόρρυθμος δικαστής ρωτήθηκε κατά
Διαβάστε περισσότεραΓνωριµία. ιακριτά Μαθηµατικά. Βιβλία Μαθήµατος. Επικοινωνία. ιδάσκων: Ορέστης Τελέλης. Ωρες γραφείου (502, Γρ.
Γνωριµία ιακριτά Μαθηµατικά Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς ιδάσκων: Ορέστης Τελέλης e-mail: telelis@unipi.gr Ωρες γραφείου (502, Γρ.Λαµπράκη 26): ευτέρα
Διαβάστε περισσότεραHY118-Διακριτά Μαθηματικά
HY118-Διακριτά Μαθηματικά Τρίτη, 20/02/2018 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 20-Feb-18
Διαβάστε περισσότεραΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά. Εαρινό Εξάμηνο Παράδοση: Τρίτη 26/2/2019, μέχρι το τέλος του φροντιστηρίου
ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό Εξάμηνο 2019 1 η Σειρά Ασκήσεων (Προτασιακός Λογισμός) Παράδοση: Τρίτη 26/2/2019, μέχρι το τέλος του φροντιστηρίου Σημείωση: Όλες οι απαντήσεις πρέπει να είναι τεκμηριωμένες
Διαβάστε περισσότεραΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 1: Μαθηματικό Υπόβαθρο
ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 1: Μαθηματικό Υπόβαθρο Τι θα κάνουμε σήμερα Εισαγωγικά (0.1) Σύνολα (0.2.1, 0.2.2) Συναρτήσεις & Σχέσεις (;;) (0.2.3) 1 Περιοχές που θα μελετήσουμε
Διαβάστε περισσότεραΠροτασιακή Λογική. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ ΤΕΙ Ηπείρου Γκόγκος Χρήστος
Προτασιακή Λογική (Propositional Logic) Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ ΤΕΙ Ηπείρου Γκόγκος Χρήστος - 2015 Λογική Λογική είναι οι κανόνες που διέπουν τη σκέψη. Η λογική αφορά τη μελέτη των διαδικασιών
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β.
ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε.1 ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο
Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Σύνολα Συναρτήσεις και Σχέσεις Γραφήματα Λέξεις και Γλώσσες Αποδείξεις ΕΠΛ 211 Θεωρία
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής
Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Κατηγορηματική Λογική
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής
Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Κατηγορηματική
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 6: Προτασιακός Λογισμός
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 6: Προτασιακός Λογισμός Αν. Καθηγητής Κ. Στεργίου e-mail: kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα 1 Πρωτοβάθμια Λογική Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) / 60
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής
Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Κατηγορηματική Λογική
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχεία Προτασιακής Λογικής
Στοιχεία Προτασιακής Λογικής ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μαθηματικές Προτάσεις
Διαβάστε περισσότεραHY118-Διακριτά Μαθηματικά. Προτασιακός Λογισμός. Προηγούμενη φορά. Βάσεις της Μαθηματικής Λογικής. 02 Προτασιακός Λογισμός
HY118-Διακριτά Μαθηματικά Πέμπτη, 08/02/2018 Το υλικό των Αντώνης διαφανειών Α. Αργυρός έχει βασιστεί σε διαφάνειες του e-mail: Kees argyros@csd.uoc.gr van Deemter, από το University of Aberdeen Προηγούμενη
Διαβάστε περισσότεραHY118-Διακριτά Μαθηματικά
HY118-Διακριτά Μαθηματικά Πέμπτη, 08/02/2018 Το υλικό των Αντώνης διαφανειών Α. Αργυρός έχει βασιστεί σε διαφάνειες του e-mail: Kees argyros@csd.uoc.gr van Deemter, από το University of Aberdeen 08-Feb-18
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Βασικά Στοιχεία Λογικής
ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Βασικά Στοιχεία Λογικής 2 Η Πριγκίπισσα και το Κάστρο Αν ρώταγα ένα μέλος της φυλής που δεν ανήκεις για το ποιον δρόμο πρέπει να πάρω για το κάστρο τι θα μου έλεγε; Μία πριγκίπισσα
Διαβάστε περισσότεραΠροτάσεις. Εισαγωγή στις βασικές έννοιες των Μαθηματικών. Ποιες είναι προτάσεις; Προτάσεις 6/11/ ο Μάθημα Μαθηματική Λογική (επανάληψη)
Εισαγωγή στις βασικές έννοιες των Μαθηματικών 5 ο Μάθημα Μαθηματική Λογική (επανάληψη) Προτάσεις Η πρόταση είναι μια γλωσσική ενότητα, η οποία εκφράζει κάποιο νόημα. Παραδείγματα: Η Μαρία σχεδιάζει ένα
Διαβάστε περισσότεραΠΛΗ 20, 3 η ΟΣΣ (Κατηγορηματική Λογική)
ΠΛΗ 20, 3 η ΟΣΣ (Κατηγορηματική Λογική) Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 2 η Εργασία: Γενική Εικόνα Αρκετά καλή βαθμολογική εικόνα (
Διαβάστε περισσότεραΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό Εξάμηνο η Σειρά Ασκήσεων Λύσεις
ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό Εξάμηνο 2016 3 η Σειρά Ασκήσεων Λύσεις Άσκηση 3.1 [1 μονάδα] Έστω p(x) και q(x) κατηγορήματα με πεδίο ορισμού Ω με σύνολα αλήθειας Α και Β αντίστοιχα (Σύνολα αλήθειας:
Διαβάστε περισσότεραΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 2018 Τελική Εξέταση Ιουνίου Λύσεις
ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 018 Τελική Εξέταση Ιουνίου Λύσεις Προσοχή: Οι παρακάτω λύσεις είναι ενδεικτικές, μπορεί να υπάρχουν και άλλες που επίσης να είναι σωστές. Θέμα 1: [16 μονάδες]
Διαβάστε περισσότεραΥποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια
Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Περίληψη Στην εργασία αυτή επιχειρείται μια ερμηνεία της λογικής αλήθειας
Διαβάστε περισσότεραΣύνολα, Σχέσεις, Συναρτήσεις
Κεφάλαιο 2 Σύνολα, Σχέσεις, Συναρτήσεις Τα σύνολα, οι σχέσεις και οι συναρτήσεις χρησιμοποιούνται ευρύτατα σε κάθε είδους μαθηματικές αναπαραστάσεις και μοντελοποιήσεις. Στη θεωρία υπολογισμού χρησιμεύουν,
Διαβάστε περισσότεραΚατηγορηματικός Λογισμός (ΗR Κεφάλαιο 2.1-2.5)
Κατηγορηματικός Λογισμός (ΗR Κεφάλαιο 2.1-2.5) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Εισαγωγή στον Κατηγορηματικό Λογισμό Σύνταξη Κανόνες Συμπερασμού Σημασιολογία ΕΠΛ 412 Λογική στην
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου
ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 1: Σύνολα ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 1: Σύνολα Συγγραφή: Ομάδα Υποστήριξης Μαθηματικών
Διαβάστε περισσότεραΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ε.1 I. 1. α 2 = 9 α = 3 ψ p: α 2 = 9, q: α = 3 Σύνολο αλήθειας της p: Α = {-3,3}, Σύνολο αλήθειας της q: B = {3} A B 2. α 2 = α α = 1 ψ p: α 2 = α, q: α = 1 Σύνολο
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. eclass.di.uoa.gr. Περιγραφή μαθήματος
Περιγραφή μαθήματος Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ Σκοπός του μαθήματος είναι η εισαγωγή στη Θεωρία Υπολογισμού και στη Θεωρία Υπολογιστικής Πολυπλοκότητας (Θεωρία Αλγορίθμων). Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Υπολογισμού Αρτιοι ΑΜ Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος eclass.di.uoa.gr
Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος eclass.di.uoa.gr Περιγραφή μαθήματος Σκοπός του μαθήματος είναι η εισαγωγή στη Θεωρία Υπολογισμού και στη Θεωρία Υπολογιστικής Πολυπλοκότητας
Διαβάστε περισσότεραΠΛΗ 20, 3 η ΟΣΣ (Κατηγορηματική Λογική)
ΠΛΗ 20, 3 η ΟΣΣ (Κατηγορηματική Λογική) Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 2 η Εργασία: Γενική Εικόνα Ικανοποιητική βαθμολογική εικόνα
Διαβάστε περισσότεραΗ έννοια του συνόλου. Εισαγωγικό κεφάλαιο 27
Εισαγωγικό κεφάλαιο 27 Η έννοια του συνόλου Σύνολο είναι κάθε συλλογή αντικειμένων, που προέρχονται από την εμπειρία μας ή τη διανόησή μας, είναι καλά ορισμένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο. Αυτός
Διαβάστε περισσότεραHY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα. Από τα συµπεράσµατα στις υποθέσεις Αποδείξεις - Θεωρία συνόλων. Από τις υποθέσεις στα συµπεράσµατα...
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 11/03/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/15/2016
Διαβάστε περισσότεραΑς θεωρήσουμε δύο πραγματικούς αριθμούς. Είναι γνωστό ότι:,. Αυτό σημαίνει ότι: «=», «
.1 Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη διατύπωση μαθηματικών εννοιών, προτάσεων
Διαβάστε περισσότεραHY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Θεωρία Συνόλων. Προηγούµενη φορά. «ανήκει» 10 Θεωρία συνόλων
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 09/03/2017 Θεωρία Συνόλων Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of
Διαβάστε περισσότεραHY118- ιακριτά Μαθηµατικά
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 23/02/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 2/23/2017
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στις Βάσεις Δεδομζνων II
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΣΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΚΡΗΣΗ Εισαγωγή στις Βάσεις Δεδομζνων II Ενότητα: Λογική και Θεωρία Συνόλων Διδάσκων: Πηγουνάκης Κωστής ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΣΧΟΛΗ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ Άδειες Χρήσης
Διαβάστε περισσότεραHY118-Διακριτά Μαθηματικά
HY118-Διακριτά Μαθηματικά Πέμπτη, 01/03/2018 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 02-Mar-18
Διαβάστε περισσότεραΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 2016 Λύσεις ασκήσεων προόδου
ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 016 Λύσεις ασκήσεων προόδου Θέμα 1: [16 μονάδες] [8] Έστω ότι μας δίνουν τα παρακάτω δεδομένα: Εάν αυτό το πρόγραμμα ΗΥ είναι αποδοτικό, τότε εκτελείται γρήγορα.
Διαβάστε περισσότεραΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΨΗΦΙΑΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ. Κεφάλαιο 3
ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΨΗΦΙΑΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Κεφάλαιο 3 Δυαδική λογική Με τον όρο λογική πρόταση ή απλά πρόταση καλούμε κάθε φράση η οποία μπορεί να χαρακτηριστεί αληθής ή ψευδής με βάση το νόημα της. π.χ. Σήμερα
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 4. Λογική Σχεδίαση
Κεφάλαιο 4 Λογική Σχεδίαση 4.1 Εισαγωγή Λογικές συναρτήσεις ονομάζουμε εκείνες για τις οποίες μπορούμε να αποφασίσουμε αν είναι αληθείς ή όχι. Χειριζόμαστε τις λογικές προτάσεις στην συγγραφή λογισμικού
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Περιεχόμενα : Α) Προτάσεις-Σύνθεση προτάσεων Β)Απόδειξη μιας πρότασης Α 1 ) Τι είναι πρόταση Β 1 ) Βασικές έννοιες Α ) Συνεπαγωγή Β ) Βασικές μέθοδοι απόδειξης Α 3 ) Ισοδυναμία
Διαβάστε περισσότεραHY118- ιακριτά Μαθηµατικά
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Τρίτη, 21/02/2017 Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε Αντώνης διαφάνειες Α. Αργυρός του Kees van e-mail: argyros@csd.uoc.gr Deemter, από το University of Aberdeen 2/21/2017
Διαβάστε περισσότεραΕλληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Θεωρία Υπολογισμού. Ενότητα 1 : Σύνολα & Σχέσεις (1/2) Αλέξανδρος Τζάλλας
1 Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 1 : Σύνολα & Σχέσεις (1/2) Αλέξανδρος Τζάλλας 2 Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής
Διαβάστε περισσότεραΠΑΙΓΝΙΑ Παιχνίδια Γενική Θεώρηση μεγιστοποιήσει την πιθανότητά
ΠΑΙΓΝΙΑ Παιχνίδια Γενική Θεώρηση: Έστω ότι έχουμε τους παίκτες Χ και Υ. Ο κάθε παίκτης, σε κάθε κίνηση που κάνει, προσπαθεί να μεγιστοποιήσει την πιθανότητά του να κερδίσει. Ο Χ σε κάθε κίνηση που κάνει
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα
Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 1. Μαθηματικό Υπόβαθρο 23, 26 Ιανουαρίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 1.1. Σύνολα Ορισμός : Σύνολο μια συλλογή από αντικείμενα Στοιχεία: Μέλη συνόλου Τα στοιχεία
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Η ΓΛΩΣΣΑ PASCAL
8.1. Εισαγωγή ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Η ΓΛΩΣΣΑ PACAL Πως προέκυψε η γλώσσα προγραμματισμού Pascal και ποια είναι τα γενικά της χαρακτηριστικά; Σχεδιάστηκε από τον Ελβετό επιστήμονα της Πληροφορικής Nicklaus Wirth to
Διαβάστε περισσότεραHY118- ιακριτά Μαθηµατικά
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Τρίτη, 21/02/2017 Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε Αντώνης διαφάνειες Α. Αργυρός του Kees van e-mail: argyros@csd.uoc.gr Deemter, από το University of Aberdeen 2/21/2017
Διαβάστε περισσότεραΣ αυτή την παράγραφο θα γνωρίσουμε τέσσερις βασικές έννοιες της λογικής, οι οποίες θα μας φανούν χρήσιμες στα επόμενα κεφάλαια του βιβλίου.
Σ αυτή την παράγραφο θα γνωρίσουμε τέσσερις βασικές έννοιες της λογικής, οι οποίες θα μας φανούν χρήσιμες στα επόμενα κεφάλαια του βιβλίου. Η προσέγγιση των εννοιών αυτών θα γίνει με τη βοήθεια απλών παραδειγμάτων,
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων
Διαβάστε περισσότεραΗΥ118 - Διακριτά Μαθηματικά. Εαρινό Εξάμηνο 2013
ΗΥ118 - Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό Εξάμηνο 2013 2 η Σειρά Ασκήσεων Λύσεις Άσκηση 2.1 [2 μονάδες] Έστω μεταβλητές και σταθερές στο σύνολο των ανθρώπων και η προτασιακή μορφή Ρ(x, y) με το νόημα "o x αγαπά
Διαβάστε περισσότεραΣχόλιο. Παρατηρήσεις. Παρατηρήσεις. p q p. , p1 p2
A. ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ Στα Μαθηµατικά χρησιµοποιούµε προτάσεις οι οποίες µπορούν να χαρακτηριστούν ως αληθείς (α) ή ψευδείς (ψ). Τις προτάσεις συµβολίζουµε µε τα τελευταία µικρά γράµµατα του Λατινικού αλφαβήτου:
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Υπολογισμού. Ενότητα 5 : Λογικά Επιχειρήματα, Αλφάβητα & Γλώσσες (2/2) Αλέξανδρος Τζάλλας
1 Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 5 : Λογικά Επιχειρήματα, Αλφάβητα & Γλώσσες (2/2) Αλέξανδρος Τζάλλας 2 Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τμήμα Μηχανικών
Διαβάστε περισσότεραΠρόταση. Αληθείς Προτάσεις
Βασικές έννοιες της Λογικής 1 Πρόταση Στην καθημερινή μας ομιλία χρησιμοποιούμε εκφράσεις όπως: P1: «Καλή σταδιοδρομία» P2: «Ο Όλυμπος είναι το ψηλότερο βουνό της Ελλάδας» P3: «Η Θάσος είναι το μεγαλύτερο
Διαβάστε περισσότεραΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ; Η επιστήμη των αριθμών Βασανιστήριο για τους μαθητές και φοιτητές Τέχνη για τους μαθηματικούς ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α Εξάμηνο ΙΩΑΝΝΗΣ
Διαβάστε περισσότεραΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ
1. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στόχος Να γνωρίζουν οι μαθητές: να αξιοποιούν το σύμβολο της συνεπαγωγής και της ισοδυναμίας να αξιοποιούν τους συνδέσμους «ή», «και» ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η συννενόηση μεταξύ των ανθρώπων
Διαβάστε περισσότεραp p 0 1 1 0 p q p q p q 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 p q
Σημειώσεις του Μαθήματος Μ2422 Λογική Κώστας Σκανδάλης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2010 Εισαγωγή Η Λογική ασχολείται με τους νόμους ορθού συλλογισμού και μελετά τους κανόνες βάσει των οποίων
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 4: Εισαγωγή / Σύνολα
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 4: Εισαγωγή / Σύνολα Αν. Καθηγητής Κ. Στεργίου e-mail: kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες
Διαβάστε περισσότερα, για κάθε n N. και P είναι αριθμήσιμα.
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΔΙΑΚΡΙΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Διδάσκοντες: Δ.Φωτάκης Θ. Σούλιου η Γραπτή Εργασία Ημ/νια παράδοσης 5/4/8 Θέμα (Διαδικασίες Απαρίθμησης.
Διαβάστε περισσότερατα βιβλία των επιτυχιών
Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από
Διαβάστε περισσότεραψ φ2 = k χ φ2 = 4k χ φ1 = χ φ1 + χ φ2 + 3 = 4(k 1 + k 2 + 1) + 1 ψ φ1 = ψ φ1 + χ φ2 = k k = (k 1 + k 2 + 1) + 1
Ασκήσεις στο μάθημα της Λογικής 15 Οκτωβρίου 2015 Άσκηση 1. Να δειχτεί ότι δεν υπάρχουν τύποι μήκους 2,3,6 αλλά κάθε άλλο (θετικό ακέραιο) μήκος είναι δυνατό (άσκηση 2, σελίδα 39) Απόδειξη. Δείχνουμε πρώτα
Διαβάστε περισσότεραf(t) = (1 t)a + tb. f(n) =
Παράρτημα Αʹ Αριθμήσιμα και υπεραριθμήσιμα σύνολα Αʹ1 Ισοπληθικά σύνολα Ορισμός Αʹ11 (ισοπληθικότητα) Εστω A, B δύο μη κενά σύνολα Τα A, B λέγονται ισοπληθικά αν υπάρχει μια συνάρτηση f : A B, η οποία
Διαβάστε περισσότεραHY118- ιακριτά Μαθηµατικά
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 02/03/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/2/2017
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 34 416 ασκήσεις για λύση ερωτήσεις κατανόησης λυμένα παραδείγματα 0 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγική ενότητα Το λεξιλόγιο
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα. Πρόλογος 3
Πρόλογος Τα πρώτα μαθήματα, σχεδόν σε όλους τους κλάδους των μαθηματικών, περιέχουν, ή θεωρούν γνωστές, εισαγωγικές έννοιες που αφορούν σύνολα, συναρτήσεις, σχέσεις ισοδυναμίας, αλγεβρικές δομές, κλπ.
Διαβάστε περισσότεραΣημειώσεις Λογικής I. Εαρινό Εξάμηνο Καθηγητής: Λ. Κυρούσης
Σημειώσεις Λογικής I Εαρινό Εξάμηνο 2011-2012 Καθηγητής: Λ. Κυρούσης 2 Τελευταία ενημέρωση 28/3/2012, στις 01:37. Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 5 2 Προτασιακή Λογική 7 2.1 Αναδρομικοί Ορισμοί - Επαγωγικές Αποδείξεις...................
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχεία Προτασιακής Λογικής
Στοιχεία Προτασιακής Λογικής ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μαθηματικές Προτάσεις (Μαθηματική)
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά Ι
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Διακριτά Μαθηματικά Ι Θεωρία συνόλων Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Σπύρος Κοντογιάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις μελέτης της 8 ης διάλεξης
Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών, Τμήμα Πληροφορικής Μάθημα: Τεχνητή Νοημοσύνη, 2017 18 Διδάσκων: Ι. Ανδρουτσόπουλος Ασκήσεις μελέτης της 8 ης διάλεξης 8.1. (i) Έστω ότι α και β είναι δύο τύποι της προτασιακής
Διαβάστε περισσότεραΣυνέπεια, Εγκυρότητα, Συνεπαγωγή, Ισοδυναμία, Κανονικές μορφές, Αλγόριθμοι μετατροπής σε CNF-DNF
Συνέπεια, Εγκυρότητα, Συνεπαγωγή, Ισοδυναμία, Κανονικές μορφές, Αλγόριθμοι μετατροπής σε CNF-DNF 1 ο φροντιστήριο ΗΥ180 Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Πέμπτη 15/02/2018 Κρεατσούλας Κωνσταντίνος Ασυνεπές σύνολο
Διαβάστε περισσότεραm + s + q r + n + q p + s + n, P Q R P Q P R Q R F G
Λύσεις Θεμάτων Θεμελίων των Μαθηματικών 1. Εστω A, B, C τυχόντα σύνολα. Να δειχθεί ότι A (B C) (A B) (A C). Απόδειξη. Εστω x τυχαίο στοιχείο του A (B C). Εξ ορισμού, το x ανήκει σε ακριβώς ένα από τα A,
Διαβάστε περισσότερα5. 1 ΣΥΝΟΛΑ. Η έννοια του συνόλου
ΜΕΡΟΣ Α 5.1 ΣΥΝΟΛΑ 359 5. 1 ΣΥΝΟΛΑ Η έννοια του συνόλου Ονομάζουμε σύνολο στα Μαθηματικά κάθε ομάδα αντικειμένων τα οποία διακρίνονται μεταξύ τους με απόλυτη σαφήνεια Κάθε αντικείμενο που περιέχεται σε
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Κ. Δεμέστιχας Εργαστήριο Πληροφορικής Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Επικοινωνία μέσω e-mail: cdemest@aua.gr, cdemest@cn.ntua.gr 1 4. ΑΛΓΕΒΡΑ BOOLE ΛΟΓΙΚΗ ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΜΕΡΟΣ Α 2 Άλγεβρα
Διαβάστε περισσότεραΚατηγορηµατική Λογική Προτασιακή Λογική: πλαίσιο διατύπωσης και µελέτης επιχειρηµάτων για πεπερασµένο πλήθος «λογικών αντικειµένων». «Λογικό αντικείµε
Στοιχεία Κατηγορηµατικής Λογικής ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Σ. Ζάχος,. Σούλιου Επιµέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Κατηγορηµατική
Διαβάστε περισσότεραΕΡΓΑΣΊΑ ΠΡΟΌΔΟΥ #1 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ. και ΠΟΛΥΜΕΣΩΝ. "ΕΙΣΑΓΩΓΗ στις ΒΑΣΕΙΣ και στις ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ των ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ι"
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2014-2015 Χειμερινό Εξάμηνο Ρόδος, Σεπτέμβριος 2014 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ και ΠΟΛΥΜΕΣΩΝ Μάθημ α: ΥΓ0000 3 "ΕΙΣΑΓΩΓΗ
Διαβάστε περισσότεραΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 2016 Τελική Εξέταση Ιουνίου - Τετάρτη, 15/06/2016 Λύσεις Θεμάτων
ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 2016 Τελική Εξέταση Ιουνίου - Τετάρτη, 15/06/2016 Λύσεις Θεμάτων Θέμα 1: [14 μονάδες] 1. [5] Έστω Y(x): «Το αντικείμενο x είναι ηλεκτρονικός υπολογιστής», Φ(y):
Διαβάστε περισσότεραHY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Ένα παράδειγµα... Έχουµε δει. Κατηγορηµατικός Λογισµός. ιακριτά Μαθηµατικά, Εαρινό εξάµηνο Πέµπτη, 23/02/2017
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 23/02/2017 Κατηγορηµατικός Λογισµός Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University
Διαβάστε περισσότερα[(W V c ) (W c V c )] c \ W = [(W V c ) (W c V c )] c \ W = [(W V c ) c (W c V c ) c ] \ W = [(W c W ) V ] \ W
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ιανουάριος 2012 Τμήμα Μαθηματικών Διδάσκων: Χρήστος Κουρουνιώτης Μ1124 ΘΕΜΕΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Παρατηρήσεις 1. Διαβάστε προσεκτικά τα θέματα πριν αρχίσετε να απαντάτε. Οι απαντήσεις
Διαβάστε περισσότεραHY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Νόµοι ισοδυναµίας. Κατηγορηµατικός Λογισµός. ιακριτά Μαθηµατικά, Εαρινό εξάµηνο Παρασκευή, 24/02/2017
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 24/02/2017 Κατηγορηµατικός Λογισµός Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University
Διαβάστε περισσότερα(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac
Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας
Διαβάστε περισσότερα\5. Κατηγορηματικός Λογισμός (Predicate Calculus)
\5 Κατηγορηματικός Λογισμός (Predicate Calculus) 51 Αντικείμενα Ιδιότητες και Σχέσεις Θεωρείστε την παρακάτω εξαγωγή συμπεράσματος: Κανένας ακέραιος δεν είναι μεγαλύτερος από το τετράγωνό του Το 1 2 είναι
Διαβάστε περισσότεραΔώστε έναν επαγωγικό ορισμό για το παραπάνω σύνολο παραστάσεων.
Εισαγωγή στη Λογική Α Τάξης Σ. Κοσμαδάκης Συντακτικό τύπων Α τάξης Α Θεωρούμε δεδομένο ένα λεξιλόγιο Λ, αποτελούμενο από (1) ένα σύνολο συμβόλων για σχέσεις, { R, S,... } (2) ένα σύνολο συμβόλων για συναρτήσεις,
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά
Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 4: Διατάξεις Μεταθέσεις Συνδυασμοί Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκοντες: Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών
Σχέσεις Διδάσκοντες: Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διμελής Σχέση Διατεταγμένο ζεύγος (α, β):
Διαβάστε περισσότερα