Βιομαθηματικά BIO-156. Ντίνα Λύκα. Στοιχειώδεις Συναρτήσεις - Εφαρμογές. Εαρινό Εξάμηνο, 2016

Transcript

1 Βιομαθηματικά BIO-56 Στοιχειώδεις Συναρτήσεις - Εφαρμογές Ντίνα Λύκα Εαρινό Εξάμηνο, 6 lik@biology.uoc.gr

2 Περιεχόμενα Βασικές μαθηματικές έννοιες Ορισμός της συνάρτησης Άρτιες, περιττές και περιοδικές συναρτήσεις Ειδικοί τύποι συναρτήσεων Πολυωνυμικές συναρτήσεις Ρητές συναρτήσεις Εκθετικές συναρτήσεις Λογαριθμικές συναρτήσεις Συναρτήσεις δύναμης Τριγωνομετρικές συναρτήσεις

3 Παράδειγμα Q? Πόσο αυξάνει μια καλλιέργεια βακτηρίων μέσα σε μια ώρα? Πείραμα Έξι διαφορετικές καλλιέργειες βακτηρίων, με διαφορετικό αρχικό αριθμό βακτηρίων, μεγαλώνουν κάτω από τις ίδιες συνθήκες Καλλιέργεια Αρχικός (Ν ) Μετά από h (N ) λόγος N / N,47 6,95 6, 3,3 6 6,4 6,94 3,73 6,5 6,5 4,8 6 5,6 6, 5,5 6 3, 6,7 6,6 6, 6,94 Προσεγγιστικά, ο πληθυσμός μέσα σε μια ώρα διπλασιάζεται. 3

4 Παράδειγμα Μεταβλητή κατάστασης (ποσότητα που περιγράφει την κατάσταση της καλλιέργειας): N : αριθμός βακτηρίων τη χρονική στιγμή Δυναμικός κανόνας (κανόνας μετασχηματισμού ή ανατροφοδότησης) N N Η συνάρτηση f ( N ) N ονομάζεται συνάρτηση μετασχηματισμού ή ενημερωτική (upding funcion) 4

5 Βασικές μαθηματικές έννοιες Αριθμοί περιγράφουν μετρήσεις Σετ αριθμών : N Z Q R C Μεταβλητές ποσότητες που αλλάζουν στο χρόνο, χώρο, ή ως απόκριση μιας άλλης ποσότητας Σταθερές ποσότητες που δεν αλλάζουν Παράμετροι ποσότητες που δεν αλλάζουν αλλά παίρνουν διαφορετικές τιμές Συναρτήσεις περιγράφουν σχέσεις μεταξύ μετρήσεων 5

6 Παράδειγμα Κατανομή ενός είδους φυτού κατά μήκος ενός ποταμού Παρουσία/απουσία (ονοματικά δεδομένα) Αφθονία (μη αρνητικοί ακέραιοι) Πυκνότητα (ρητοί),,5,8,6 Μήκος τμήματος m Σχετική αφθονία (ρητοί),,4,38,9 Περιβαλλοντική μεταβλητή (π.χ. ph) (πραγματικοί) 4, 5, 4,93 6, 7,3 7,76 8, 6

7 Μονάδες και διαστάσεις μετρήσεων Κάποιες ποσότητες, οι διαστάσεις τους και κάποια παραδείγματα μονάδων Ποσότητα Διαστάσεις Μονάδες Μήκος Μήκος cm, m, km, mile, inch, κ.λ.π Διάρκεια Χρόνος sec, hour, min, dy, κ.λ.π. Μάζα Μάζα g, kg, Επιφάνεια Μήκος cm, m, Όγκος Μήκος 3 cm 3, m 3, l, Ταχύτητα Μήκος/χρόνο m/sec, m/h, Επιτάχυνση Μήκος/χρόνο m/sec, m/h, Πυκνότητα Μάζα/μήκος 3 gr/l, 7

8 Μετασχηματισμός μετρήσεων Μετρήσεις σε μίλια και cm έχουν την ίδια διάσταση. Μετά από κάποιο απλό μετασχηματισμό μετρήσεις π.χ. σε μίλια μπορούν να μετατραπούν σε cm ή km mile=6934 cm =,6934 km km= 5 cm Κάποιες βασικές σχέσεις μεταξύ μετρήσεων με διαφορετικές διαστάσεις Σχέση Μεταβλητές Τύπος Όγκος σφαίρας V= όγκος 4 V r r= ακτίνα 3 Επιφάνεια σφαίρας S= επιφάνεια S 4 r r= ακτίνα Συνολικός αριθμός και μάζα Μάζα, πυκνότητα και όγκος 9 F C 3 5 M= συνολική μάζα m= μάζα ενός ατόμου Ν= αριθμός ατόμων M= συνολική μάζα ρ= πυκνότητα V= όγκος F βαθμοί Fhrenhei C βαθμοί Celsius 3 M mn M V 8

9 Ορισμός της συνάρτησης Έστω A ένα υποσύνολο των πραγματικών αριθμών Μια συνάρτηση f από το A στο R f : A R είναι ένας κανόνας (διαδικασία) με τον οποίο κάθε στοιχείο A αντιστοιχίζεται με ένα και μόνο ένα στοιχείο y R Το ονομάζεται ανεξάρτητη μεταβλητή και το y εξαρτημένη μεταβλητή. Το A ονομάζεται πεδίο ορισμού της f και το σύνολο f ( A) yr: A τέτοιο ώστε y=f()} ονομάζεται πεδίο τιμών της f. Αν f είναι μια συνάρτηση, τότε το γράφημα της f είναι το σύνολο των σημείων (, f()). 9

10 Παραδείγματα f ( ) Π.Ο. { R : } f ( ) Π.Ο. R -{-,} 4 Η συνολική βιομάζα Β ενός φυτού ως συνάρτηση της συγκέντρωσης του αζώτου Ν στο έδαφος: N Β( Ν) α και Κ θετικές σταθερές K N Π.Ο. R +

11 Συναρτήσεις - ορισμοί Μια συνάρτηση f είναι αύξουσα (φθίνουσα) αν για κάθε, στο πεδίο ορισμού της f ) f ( ) ( f ( ) f ( )) Μια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα (γνησίως φθίνουσα) αν για κάθε, στο πεδίο ορισμού της ( f ( ) f ( ) ( f ( ) f ( )) Μια συνάρτηση f είναι άρτια αν f(-) = f() και περιττή αν f(-)= - f () για κάθε στο πεδίο ορισμού της. Μια συνάρτηση f είναι περιοδική αν υπάρχει σταθερά α τέτοια ώστε f ( ) f ( ) για κάθε στο πεδίο ορισμού της. Αν α είναι ο μικρότερος αριθμός με αυτή την ιδιότητα, τότε ο α ονομάζεται περίοδος της f.

12 Ειδικοί τύποι συναρτήσεων Πολυωνυμικές συναρτήσεις Ρητές συναρτήσεις Εκθετικές συναρτήσεις Λογαριθμικές συναρτήσεις Συναρτήσεις δύναμης Τριγωνομετρικές συναρτήσεις

13 Πολυωνυμικές συναρτήσεις f ( ) n συναρτήσεις της μορφής, i i όπου το n (μη αρνητικός ακέραιος) ονομάζεται βαθμός της πολυωνυμικής συνάρτησης αν n. i Ειδική περίπτωση: γραμμική συνάρτηση y = m + b κλίση y m b m> 3

14 Ρητές συναρτήσεις το πηλίκο δύο πολυωνυμικών συναρτήσεων f ( ) p( ) q( ) όπου p() και q() είναι πολυωνυμικές συναρτήσεις με q() 4

15 f ( ),, b b Χρήσιμη συνάρτηση για τη μοντελοποίηση φαινομένων που παρουσιάζουν κορεσμό. Γνωστή με το όνομα : Holling ype II funcionl response στην Οικολογία Michelis Menen εξίσωση στην κινητική των ενζύμων Monod εξίσωση για την αύξηση μικροοργανισμών dose response curve σε ιατρικές και επιδημιολογικές εφαρμογές 5

16 Κινητική των χημικών αντιδράσεων () Χημική εξίσωση : S P S = υπόστρωμα και P = προϊόν της αντίδρασης [S] = συγκέντρωση του υποστρώματος v = ρυθμός της αντίδρασης Γραμμική συνάρτηση : v = f ([S]) = k [S], k Ο ρυθμός της αντίδρασης είναι ανάλογος της συγκέντρωσης του υποστρώματος v [S] 6

17 Κινητική των χημικών αντιδράσεων () 7

18 Κινητική των χημικών αντιδράσεων (3) Χημική εξίσωση : S+E SE P+E S = υπόστρωμα, Ε = ένζυμο, P = προϊόν της αντίδρασης SE = σύμπλοκο ενζύμου-υποστρώματος [S] = συγκέντρωση του υποστώματος v = ρυθμός της αντίδρασης Ρητή συνάρτηση : Michelis Menen kineics v Vm[ S], K [ S] V m, K Μέγιστος ρυθμός Σταθερά ημι-κορεσμού 8

19 Κινητική Michelis Menen v Vm[ S], K [ S] V m, K Αντιστρέφουμε v K V [ S] [ S] m V K [ S] m [ S] V [ S] m K V m [ S] V m Ορίζουμε νέες μεταβλητές y v και [ S] Τότε, ως προς τις νέες μεταβλητές η σχέση είναι γραμμική ( y = m + b ) y K V m V m m b 9

20 v Παράδειγμα 3 () Να εκτιμηθούν οι τιμές των V m και K από τα παρακάτω δεδομένα: [S] nm v nm/min 5 4 5,68,6,8,345,39,59,6 κορεσμός,5,4,3,,, αρχική αύξηση [S]

21 /v Παράδειγμα 3 () /[S],,,5,5,, /v 4,76 7,937 4,587,899,564,89 6, y = 67,45 +,6 4,,, 8, 6, 4,,,,5,5,,,5,5,,,5,5 /[S] /[S] V m K,8 b m b 55,469 nm nm / min

22 Παράδειγμα 3 (3) v f ([ S]),8[ S] 55,469 [ S]

23 Σύνθεση συναρτήσεων Έστω f και g δύο συναρτήσεις. Αν το πεδίο τιμών της g περιέχεται στο πεδίο ορισμού της f τότε η σύνθεση, f g, των συναρτήσεων f και g είναι μια συνάρτηση ορισμένη στο πεδίο ορισμού της g και δίνεται από τον τύπο ( f g)( ) f ( g( )) 3

24 Σύνθεση συναρτήσεων με διαστάσεις Όγκος σφαίρας ακτίνας r : Μάζα αντικειμένου όγκου V : ρ : πυκνότητα 4 3 F( r) r 3 G( V) V Μάζα σφαίρας ακτίνας r : H F o G δεν έχει νόημα ( G F)( r) G F( r) 4 3 G 4 3 r 3 r 3 4

25 Αντίστροφες συναρτήσεις () Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α και πεδίο τιμών το Β είναι ένα προς-ένα όταν για κάθε και στο Α με,, f ( ) f ( ) Αν f : A B είναι ένα προς-ένα, τότε ορίζουμε την αντίστροφη συνάρτηση f : B A τέτοια ώστε f ( y) y f ( ) Έπεται ότι : f f ( f ( y)) ( f ( )) y y B A 5

26 Αντίστροφες συναρτήσεις () Μια γνησίως μονότονη (αύξουσα ή φθίνουσα) συνάρτηση είναι ένα προς-ένα. Η αντίστροφη συνάρτηση μιας γνησίως μονότονης συνάρτησης είναι γνησίως μονότονη με το ίδιο είδος μονοτονίας. Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και f είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y= y f y= f - 6

27 Εκθετικές συναρτήσεις Εκθετική συνάρτηση με βάση το α είναι μια συνάρτηση της μορφής f ( ) όπου α είναι ένας θετικός πραγματικός αριθμός ( ) και ονομάζεται βάση. Η μορφή της γραφικής παράστασης εξαρτάται από τη βάση α εκθετική αύξηση α> f() f() εκθετική μείωση < α< 7

28 8 Ιδιότητες των εκθετών k k / y y y y y y ) ( b b ) ( b b Ειδική περίπτωση : Η εκθετική συνάρτηση με βάση το e f() = e

29 Λογαριθμικές συναρτήσεις Η συνάρτηση f ( ), ( ) είναι ένα-προς-ένα και επομένως υπάρχει η αντίστροφη συνάρτηση. Η αντίστροφή της είναι ο λογάριθμος με βάση το α, f ( ) log Συνάρτηση Πεδίο Πεδίο τιμών Εκθετική f ( ) (, ) (, ) Λογαριθμική f ( ) log (, ) (, ) Η αντίστροφη συνάρτηση της f() = e συμβολίζεται με ln και ονομάζεται φυσικός λογάριθμος του. 9

30 3 Ιδιότητες των λογαρίθμων R log log Ισχύει ότι : Αλλαγή βάσης ln ln log log log log log 6. log 5. ) ( log log 4. ) ( log ) ( log 3. ) ( log ) ( log log. ) ( log ) ( log ) ( log. y y y y y y

31 Ασκήσεις Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις e,5 ln( 3) Απ. e 5 3. ln Σε ένα ιχθυοτροφείο πέστροφας επιθυμούν να έχουν κάποια στιγμή 4 πέστροφες. Αρχικά έχουν πέστροφες. Μετά από μήνες, έχουν περίπου 6 πέστροφες στις δεξαμενές. α) Χρησιμοποιείστε αυτά τα στοιχεία για να βρείτε μια εκθετική συνάρτηση για τον αριθμό των ψαριών στις δεξαμενές σαν συνάρτηση του χρόνου β) Πότε θα φτάσει ο αριθμός των ψαριών στα 4; (Απ. α) N( ) e,35 β) =5.899 μήνες) 3

32 Λογαριθμική κλίμακα Χρησιμοποιείται για να μειώσει τις αποστάσεις μεταξύ μετρήσεων που το εύρος των τιμών του είναι αρκετά μεγάλο Ριβόσωμα Άνθρωπος Βακτήριο Μπλε φάλαινα,e-8-8,e-7-7,e-6-6,e-5-5,e-4-4,e-3-3,e- -,E- -,E+,E+,E+,E+3 3 Μήκος (σε m) Ριβόσωμα Άνθρωπος Βακτήριο Μπλε φάλαινα,e-8,e-7,e-6,e-5,e-4,e-3,e-,e-,e+,e+,e+,e Log(Μήκος) (σε m) 3

33 Κλίμακα Richer R Α : πραγματική μετατόπιση του εδάφους στη διάρκεια του σεισμού. Α : είναι η μικρότερη μετατόπιση του εδάφους που ο σεισμογράφος μπορεί να καταγράψει. log A A R A 6,9 log A A A 6,9 R A J J AJ 8,9 log A 8,9 A A 6,9 A X 33

34 Συναρτήσεις δύναμης - Αλλομετρίες Σχέσεις μεταξύ βιολογικών μεταβλητών Scling relions Δύο μεταβλητές και y λέμε ότι σχετίζονται αλλομετρικά αν y, όπου α και β είναι πραγματικές σταθερές Οι αλλομετρικές σχέσεις περιγράφουν διαφορετικά χαρακτηριστικά ενός οργανισμού: Μήκος ως προς όγκο Επιφάνεια ως προς όγκο Όγκος αίματος ως προς μάζα σώματος Μάζα καρδιάς ως προς μάζα σώματος 34

35 Συναρτήσεις δύναμης - Αλλομετρίες Η μορφή της γραφικής παράστασης της y εξαρτάται από τον εκθέτη β y β> <β< y y β< β<ο 35

36 Σχέση επιφάνειας - όγκου Έστω L το μήκος ενός ισομορφικού αντικειμένου, Α η επιφάνειά του και V ο όγκος του. A c A L 3 V c V L A cv /3 Αν V V, τότε / 3 / 3 A c(v ) A, 587A 36

37 Άσκηση Ο βασικός μεταβολικός ρυθμός R (σε kcl/dy) των μεγάλων μυρμηγκοφάγων δίνεται από τον τύπο f ( ) 9,7.753 όπου η μάζα του μυρμηγκοφάγου (σε kg). ) N βρείτε το βασικό μεταβολικό ρυθμό μυρμηγκοφάγων μάζας (i) 5 kg και (ii) 5 kg b) Υποθέστε ότι η μάζα ενός μυρμηγκοφάγου δίνεται σε pounds(lbs) αντί για kg. Βρείτε μια συνάρτηση =g(z) που θα δίνει τη μαζα σε kg αν zείναι η μάζα του ζώου σε lbs ( lb =,454 kg) c) Γράψτε τη συνάρτηση f(g(z)), δηλαδή, το βασικό μεταβολικό ρυθμό μυρμηγκοφάγων όταν η μάζα τους δίνεται σε lbs. Απ. α) i) 66.9 kcl/dy ii),39 kcl/dy b) = g(z) =,454 z c) f(z) =.87 z,753 37

38 log y log y y y Αλλαγή κλίμακας : Log-Log και Semilog γραφικά log-liner ή Semilog plo log-log ή double log plo log 38

39 Μετατροπή σε γραμμικές συναρτήσεις Εκθετική συνάρτηση: Λογαριθμοποιώντας: y y e k log y log y e k σταθερά σταθερά log y log y ( k log e) μεταβλ. μεταβλ. Προκύπτει ευθεία ως προς τις μεταβλητές Υ=log y και X=, με κλίση k log e και σταθερά log y. Η γραφική παράσταση του Υ=log y ως προς X= είναι μια ευθεία γραμμή 39

40 Μετατροπή σε γραμμικές συναρτήσεις Συνάρτηση δύναμης : Λογαριθμοποιώντας: y log y log log σταθερά σταθερά y log log μεταβλ. μεταβλ. Προκύπτει ευθεία ως προς τις μεταβλητές Υ=log y και X= log, με κλίση β και σταθερά log α. Η γραφική παράσταση του Υ=log y ως προς X= log είναι μια ευθεία γραμμή 4

41 N ( 6 ) N ( 6 ) Παράδειγμα 4 Ο παρακάτω πίνακας περιέχει δεδομένα για την αύξηση του πληθυσμού (N) των Η.Π.Α. πριν το 9 Έτος Ν( ),6 5,3 4, 75, Έτος Έτος Να προσαρμόσετε μια εκθετική συνάρτηση N( ) στα δεδομένα (δηλαδή, προσδιορίστε τις σταθερές c και k), όπου = αντιστοιχεί στο χρόνο 75. ce k 4

42 log N Παράδειγμα 4 Μετασχηματισμός των δεδομένων Έτος Y=log(N),4,743,6,88,,5,,5,

43 log N Η εξίσωση της ευθείας που περνάει από τα σημεία (,,4) και (5,,88) είναι Y,4,,5, Καλύτερη ευθεία y =,8 +,68,5, y=,+,4,5, Από την εξίσωση της ευθείας προκύπτει: log N,4, N,6e,58 43

44 N Παράδειγμα 4 Γραφική παράσταση της N,6e,

45 Βάρος (Kg) Βάρος (Kg) Παράδειγμα 5 Ο παρακάτω πίνακας περιέχει δεδομένα για τo μήκος (L) και το βάρος (W) του τόνου στον Ειρηνικό Ωκεανό. L (cm) W (Kg) 6,5 9, ,5 33 4,5 53,5 8, Μήκος (cm) Μήκος (cm) Να προσαρμόσετε στα δεδομένα μια συνάρτηση δύναμης W L 45

46 log W Παράδειγμα 5 Μετασχηματισμός των δεδομένων X=log L,85,9,95,,4,8,,5,,6 Y=log W,8,98,5,8,4,5,63,73,9, log L 46

47 log W Η εξίσωση της ευθείας που περνάει από τα σημεία (,,,8) και (,6,,6) είναι Y 4,7 3, X log L Από την εξίσωση της ευθείας προκύπτει: logw 4,7 3, logl W 5 L3 47

48 Βάρος (Kg) Παράδειγμα 5 Γραφική παράσταση της W 5 L Μήκος (cm) 48

49 Log-log relionship of field mebolic re o body mss in 9 species of erresril verebres Ngy, K. A. J Ep Biol 5;8:

50 Τριγωνομετρικές συναρτήσεις Ορισμός ημιτόνου και συνημιτόνου Έστω γωνία στο διάστημα [, π) και (,y) οι συντεταγμένες του σημείου F. Ορίζουμε: =συν ( cos ) και y=ημ (sin ) y (,) F (-,) (,) (,-) 5

51 y f()=ημ περιττή y f()=συν άρτια Το πεδίο ορισμού τους είναι το R και το πεδίο τιμών τους το [-,] Το ημίτονο και το συνημίτονο είναι περιοδικές συναρτήσεις με περίοδο π και ημ ημ( ) συν συν( ) Επιπλέον, συν ημ 5

52 Γενικευμένη ημιτονοειδής συνάρτησης f ( ) B Aημ( ), A, B,, f()=a ημ ω y A f()=a ημ ω(-) T T T A y f()=b+aημ ω(-) B A B B A T 4 3T 4 5

53 Γενικευμένη ημιτονοειδής συνάρτησης f ( ) B Aημ( ) T : περίοδος της ταλάντωσης Α : πλάτος της ταλάντωσης Β : μέση τιμή της ταλάντωσης f f ( ( T ) B A 4 3T ) B A 4 (μέγιστη τιμή) (ελάχιστη τιμή) 53

54 Παράδειγμα 6 () Έστω ότι D είναι η διάρκεια της μέρας (φως) σε ώρες. Μια συνάρτηση που περιγράφει αρκετά καλά τη διάρκεια της μέρας συναρτήσει του (σε μέρες του χρόνου) δίνεται από τον τύπο k D( ) ημ ( 79) 365 όπου = αντιστοιχεί στην η Ιανουαρίου. Η σταθερά k εξαρτάται από το γεωγραφικό πλάτος. Q? Ποια είναι η περίοδος και ποιο το πλάτος της ταλάντωσης; Q? Πότε έχουμε τη μεγαλύτερη και πότε τη μικρότερη διάρκεια μέρας; 54

55 Παράδειγμα 6 () k D( ) ημ ( 79) 365 Περίοδος: 365 μέρες Πλάτος : Α=k/ Έχουμε τη μεγαλύτερη σε διάρκεια μέρα όταν T ,5 (~9- Ιουνίου) Έχουμε τη μικρότερη σε διάρκεια μέρα όταν 3T (365) 4 35,75 (~9 Δεκεμβρίου) 55

56 Παράδειγμα 7 () Η μεταβολή της θερμοκρασίας κατά τη διάρκεια της μέρας περιγράφεται από τον τύπο T B A( ) () Να προσαρμοστεί η () στα δεδομένα: α) Η θερμοκρασία φτάνει στη μέγιστη τιμή των 7 o C στις μ.μ. β) Η ελάχιστη θερμοκρασία είναι 9 o C γ) = αντιστοιχεί στις π.μ. 56

57 Παράδειγμα 7 () T B A( ) () Από τα δεδομένα προκύπτει: Περίοδος: Τ=4 ώρες 4 Μέγιστη τιμή : Β+Α=7 Ελάχιστη τιμή : Β-Α=9 Β=8 και Α=9 Έχουμε τη μεγαλύτερη θερμοκρασία στις μ.μ., δηλαδή για =4. Η () παίρνει τη μέγιστη τιμή για Επομένως, T Η μεταβολή της θερμοκρασίας κατά τη διάρκεια της μέρας : T 8 9 ( 8) T 4 57

58 Παράδειγμα 7 (3) Γραφική παράσταση της T 8 9 ( 8) T (ώρες) Ποια ώρα της ημέρας έχουμε την ελάχιστη θερμοκρασία; Ποιες ώρες της ημέρας η θερμοκρασία είναι 5 Celsius; 58

59 Αντίστροφες Συναρτήσεις Οι συναρτήσεις ημίτονο και συνημίτονο δεν είναι ένα-προς-ένα σε όλο το πεδίο ορισμού τους. Αν περιορίσουμε το Π.Ο. τους στο,, για το ημίτονο και για το συνημίτονο, τότε οι συναρτήσεις είναι ένα-προς-ένα και επομένως υπάρχουν οι αντίστροφες συναρτήσεις. 59

60 Η αντίστροφη συνάρτηση του ημίτονου τόξο ημιτόνου Συμβολισμός: τοξημ, rcsin, ημ -, sin - Για - y, =ημ - (y) είναι ο μοναδικός πραγματικός αριθμός στο διάστημα [-π/, π/] του οποίου το ημίτονο είναι y. y y y - y - 6

61 Η αντίστροφη συνάρτηση του συνημίτονου τόξο συνημιτόνου Συμβολισμός: τοξσυν, rccos, συν -, cos - Για - y, =συν - (y) είναι ο μοναδικός πραγματικός αριθμός στο διάστημα [, π] του οποίου το συνημίτονο είναι y. y y y - y - 6

62 Λύσεις της εξίσωσης ημ k, k n και ( ) n, n,,, όπου ημ k y y k k 6

63 Λύσεις της εξίσωσης k, k n και n, n,,, όπου k y y y k k 63

64 Παράδειγμα 7 (4) Ποια ώρα της ημέρας έχουμε την ελάχιστη θερμοκρασία; ( 8) ( 8) 4n, n,,, n Η μόνη λύση στο διάστημα [,4] είναι : = ( π.μ.) 64

65 Παράδειγμα 7 (5) Ποιες ώρες της ημέρας η θερμοκρασία είναι 5 Celsius; ( 8) ( 8) 3 Λύσεις: 8 ( ) 4n 3 ( ) 3 4n, n,,, ( ) 3,3398 Οι μόνες λύσεις στο διάστημα [,4] είναι =6,7 και =,3, που αντιστοιχούν στις 6:4 και :8. 65

66 66 Τριγωνομετρικές ταυτότητες ) συν ( συν ) συν ( ημ 5. ημ συν συν συν ημ ημ 4. ) )ημ( ημ( ) )συν( συν( ) συν( 3. ) )ημ( συν( ) )συν( ημ( ) ημ(. ημ συν.

67 Προτεινόμενη Βιβλιογραφία C. Neuhuser Clculus for biology nd medicine Person/Prenice Hll, 4 Chper : Preview nd Review F. R. Adler. Modeling he dynmics of life: clculus nd probbiliy for life scieniss. Brooks/Cole, 998. Chper : Inroducion o Discree- Time Dynmicl Sysems.-.4,.6-.9 M. R. Cullen Mhemics for he biosciences. Techbooks, 983 Secions:, 3, 4, 5, 5, 9 67