Βιομαθηματικά BIO-156

Transcript

1 Βιομαθηματικά BIO-56 Εισαγωγικές έννοιες Στοιχειώδεις Συναρτήσεις - Εφαρμογές Ντίνα Λύκα Εαρινό Εξάμηνο, 03 lik@biology.uoc.gr

2 Περιεχόμενα Μαθήματος () ιαφορικός λογισμός Βασικές συναρτήσεις Εφαρμογές (πολυωνυμικές, ρητές, εκθετικές, αλλομετρικές, λογαριθμικές, τριγωνομετρικές) Όρια και συνέχεια συναρτήσεων Ρυθμός μεταβολής μιας συνάρτησης - Η παράγωγος Βασικές ιδιότητες και εφαρμογές των παραγώγων ιακριτά στο χρόνο δυναμικά συστήματα Εξισώσεις διαφορών (ε.δ.) πρώτης τάξης Επίλυση γραμμικών ε.δ. -Γραφικήμελέτηε.δ. ης τάξης Σημεία ισορροπίας - Τοπική ανάλυση ισορροπίας Ολοκληρωτικός λογισμός Ολοκληρώματα (αόριστα, ορισμένα, καταχρηστικά) Μέθοδοι ολοκλήρωσης (με αντικατάσταση, κατά παράγοντες, με μερικά κλάσματα) Εφαρμογές

3 Περιεχόμενα Μαθήματος () Συνεχή στο χρόνο δυναμικά συστήματα ιαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης Μεθοδολογία επίλυσης δ.ε. ης τάξης (γραμμικές, χωριζόμενων μεταβλητών) Γραφικήμελέτημηγραμμικώνδ. ε. ης τάξης Σημεία ισορροπίας - Τοπική ανάλυση ισορροπίας Θεωρία Πιθανοτήτων ειγματικός χώρος, γεγονότα, πράξεις με γεγονότα, έννοια της πιθανότητας Αρχές συνδυαστικής Τεχνικές απαρίθμησης εσμευμένη Πιθανότητα - Θεώρημα Ολικής Πιθανότητας - Θεώρημα Byes - Μαρκοβιανές αλυσίδες Τυχαίες μεταβλητές - Κατανομές ιακριτές κατανομές: ιωνυμική, Αρνητική ιωνυμική, Poisson, Υπεργεωμετρική, Πολυωνυμική Συνεχείς κατανομές: Ομοιόμορφη, Κανονική (Guss), Τυπική κανονική 3

4 Μαθηματικά Μοντέλα στη Βιολογία Ένα μαθηματικό μοντέλο είναι ένα σύνολο υποθέσεων για κάποιο βιολογικό σύστημα εκφρασμένες με μαθηματικές εξισώσεις Γιατί; Για να αυξήσει την κατανόηση Γιαναπροβλέψειήναμιμηθεί 4

5 Χαρακτηριστικά των μοντέλων υναμικά vs Στατικά Μηχανιστικά vs Περιγραφικά (ή Εμπειρικά) Στοχαστικά vs Προσδιοριστικά Γραμμικά vs Μη Γραμμικά Χρονοεξαρτόμενα vs Χρονοανεξάρτητα ιακριτά vs Συνεχή 5

6 Μηχανιστικά vs Περιγραφικά () Περιγραφικά Μοντέλα Decline in Coho slmon socks on he Thomson River, BC (from Brdford nd Irvine, 000) Re of decline on individul srems reled o hbi vribles (from Brdford nd Irvine, 000) 6

7 Μηχανιστικά vs Περιγραφικά () Τα δυναμικά, μηχανιστικά μοντέλα έχουν δύο βασικά συστατικά: Λίστα μεταβλητών κατάστασης (se vribles) οι οποίες καθορίζουν την κατάσταση του υπό μελέτη συστήματος υναμικές εξισώσεις (dynmic equions): ένα σύνολο εξισώσεων ή κανόνων που καθορίζουν πως αλλάζουν οι μεταβλητές κατάστασης με το χρόνο 7

8 ιαγραμματικό μοντέλο για τη δυναμική της ελονοσίας Άνθρωποι Κουνούπια S S I I S (Suscepibles) άτομα που δεν έχουν μολυνθεί αλλά είναι επιρρεπή στην ασθένεια I (Infecives) άτομα που έχουν μολυνθεί και μπορούν να μεταδώσουν την ασθένεια 8

9 ιαδικασία κατασκευής ενός δυναμικού μοντέλου Εννοιολογικό μοντέλο ιαγραμματικό μοντέλο Μαθηματικό μοντέλο Αναλυτική ή/και αριθμητική λύση 9

10 Προσδιοριστικά vs Στοχαστικά Τα προσδιοριστικά μοντέλα (deerminisic models), κάνουν την υπόθεση ότι αν γνωρίζουμε την παρούσα κατάσταση του συστήματος μπορούμε να προβλέψουμε με ακρίβεια την κατάστασή του στο μέλλον. Τα στοχαστικά μοντέλα (sochsic models) δίνουν μια κατανομή πιθανοτήτων για τις δυνατές τιμές των μεταβλητών κατάστασης. 0

11 ιακριτά vs συνεχή ιακριτά στο χρόνο μοντέλα Αν η κατάσταση του συστήματος τη χρονική στιγμή περιγράφεται από μία μεταβλητή X, τότε η κατάσταση του συστήματος τη χρονική στιγμή +Δ, δίνεται από την εξίσωση διαφορών X + f ( X ) Συνεχή στο χρόνο μοντέλα Αν η κατάσταση του συστήματος τη χρονική στιγμή περιγράφεται από μία μεταβλητή Χ() και ο ρυθμός μεταβολής του είναι μια συνάρτηση, f(χ,), τότε έχουμε τη διαφορική εξίσωση dx d f ( X, )

12 Συναρτήσεις Παράδειγμα - ιακριτό στο χρόνο δυναμικό σύστημα Q? Πόσο αυξάνει μια καλλιέργεια βακτηρίων μέσα σε μια ώρα? Πείραμα Έξι διαφορετικές καλλιέργειες βακτηρίων με διαφορετικό αρχικό πληθυσμό βακτηρίων που μεγαλώνουν κάτω από τις ίδιες συνθήκες Καλλιέργεια Αρχικός (Ν 0 ) Μετά από h (N ) λόγος N / N 0 0, ,95 0 6,0 3, ,40 0 6,94 3 0,73 0 6,50 0 6,05 4, ,60 0 6,00 5, ,0 0 6,07 6 0,6 0 6,0 0 6,94 Προσεγγιστικά, ο πληθυσμός διπλασιάζεται μέσα σε μια ώρα.

13 Μαθηματικό μοντέλο Μεταβλητή κατάστασης (ποσότητα που περιγράφει την κατάσταση της καλλιέργειας): N : αριθμός βακτηρίων τη χρονική στιγμή υναμικός κανόνας (κανόνας μετασχηματισμού ή ανατροφοδότησης) N N + Η συνάρτηση f ( N ) N ονομάζεται συνάρτηση μετασχηματισμού ή ενημερωτική (upding funcion) 3

14 Συναρτήσεις - ορισμοί () Έστω A υποσύνολο των πραγματικών αριθμών ( A R ). Μια συνάρτηση f από το A στο R ( f : A R ) είναι ένας κανόνας (διαδικασία) με τον οποίο κάθε στοιχείο αντιστοιχίζεται με ένα και μόνο ένα στοιχείο y R A Το ονομάζεται ανεξάρτητη μεταβλητή και το y εξαρτημένη μεταβλητή. Το A ονομάζεται πεδίο ορισμού της f και το σύνολο f ( A) { y R: A τέτοιο ώστε yf()} ονομάζεται πεδίο τιμών της f. Αν f είναι μια συνάρτηση, τότε το γράφημα της f είναι το σύνολο των σημείων (,f()). 4

15 Συναρτήσεις - ορισμοί () Μια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα (γνησίως φθίνουσα) αν για κάθε, στο πεδίο ορισμού της < f ( ) < f ( ) ( f ( ) > f ( )) Μια συνάρτηση f είναι αύξουσα (φθίνουσα) αν για κάθε, στο πεδίο ορισμού της < f ( ) f ( ) ( f ( ) f ( )) Μια συνάρτηση f είναι άρτια αν f(-)f() και περιττή αν f(-)-f() για κάθε στο πεδίο ορισμού της. Μια συνάρτηση f είναι περιοδική αν υπάρχει σταθερά α τέτοια ώστε f ( + ) f ( ) για κάθε στο πεδίο ορισμού της. Αν α είναι ο μικρότερος αριθμός με αυτή την ιδιότητα, τότε ο α ονομάζεται περίοδος της f. 5

16 Ειδικοί τύποι συναρτήσεων Πολυωνυμικές συναρτήσεις Ρητές συναρτήσεις Εκθετικές συναρτήσεις Λογαριθμικές συναρτήσεις Συναρτήσεις δύναμης Τριγωνομετρικές συναρτήσεις 6

17 Πολυωνυμικές συναρτήσεις συναρτήσεις της μορφής n i f ( ) i, i 0 όπου το n (μη αρνητικός ακέραιος) ονομάζεται βαθμός της πολυωνυμικής 0 συνάρτησης αν n. Ειδική περίπτωση: γραμμική συνάρτηση y m + b κλίση Δy m Δ b 7

18 Ρητές συναρτήσεις το πηλίκο δύο πολυωνυμικών συναρτήσεων f ( ) p( ) q( ) όπου p() και q() είναι πολυωνυμικές συναρτήσεις με q( ) 0 8

19 Παραδείγματα - κινητική των χημικών αντιδράσεων () Χημική εξίσωση : S P S υπόστρωμα και P προϊόν της αντίδρασης [S] συγκέντρωση του υποστρώματος v ρυθμός της αντίδρασης Γραμμική συνάρτηση : v k [S] v [S] 9

20 Παραδείγματα - κινητική των χημικών αντιδράσεων () 0

21 Παραδείγματα - κινητική των χημικών αντιδράσεων (3) Χημική εξίσωση : S+E SE P+E S υπόστρωμα, Ε ένζυμο, P προϊόν της αντίδρασης SE σύμπλοκο ενζύμου-υποστρώματος [S] συγκέντρωση του υποστώματος v ρυθμός της αντίδρασης Ρητή συνάρτηση : Michelis Menen kineics v Vm[ S], Vm 0, K + [ S] K 0 Μέγιστος ρυθμός Σταθερά ημι-κορεσμού

22 Κινητική Michelis Menen v Vm[ S], Vm 0, K + [ S] K 0 Αντιστρέφουμε v K V + [ S] [ S] m V K [ S] m + [ S] V [ S] m K V m [ S] + V m Ορίζουμε νέες μεταβλητές y v και [ S] Τότε, ως προς τις νέες μεταβλητές η σχέση είναι γραμμική K y + V V m m m K V m b V m

23 Παράδειγμα () Να εκτιμηθούν οι τιμές των V m και K από τα παρακάτω δεδομένα: [S] nm v 0,068 0,6 0,8 0,345 0,390 0,59 nm/min 0,600 κορεσμός 0,500 0,400 v 0,300 0,00 0,00 0,000 αρχική αύξηση [S] 3

24 Παράδειγμα () /[S] 0, 0, 0,05 0,05 0,0 0,0 /v 4,706 7,937 4,587,899,564,890 6,000 y 67,45 +,6 4,000,000 0,000 /v 8,000 6,000 4,000,000 0, ,05 0,05 0, 0, 0,5 0,5 0, 0, 0,5 0,5 /[S] /[S] V,8 nm m b m K 55,444 nm b / min 4

25 Σύνθεση συναρτήσεων Έστω f και g δύο συναρτήσεις. Αν το πεδίο τιμών της g περιέχεται στο πεδίο ορισμού της f τότε η σύνθεση, f o g, των συναρτήσεων f και g είναι μια συνάρτηση ορισμένη στο πεδίο ορισμού της g και δίνεται από τον τύπο ( f o g)( ) f ( g( )) 5

26 Σύνθεση συναρτήσεων με διαστάσεις f o g Όγκος σφαίρας ακτίνας r : Μάζα αντικειμένου όγκου V : 4 3 F( r) πr 3 G( V ) ρv Μάζα σφαίρας ακτίνας r : ( G o F)( r) [ ( r) ] G F 4 G πr πr 3 3 6

27 Μονάδες και διαστάσεις μετρήσεων Κάποιες ποσότητες, οι διαστάσεις τους και κάποια παραδείγματα μονάδων Ποσότητα Διαστάσεις Μονάδες Μήκος Μήκος cm, m, km, mile, inch, κ.λ.π Διάρκεια Χρόνος sec, hour, min, dy, κ.λ.π. Μάζα Μάζα g, kg, Επιφάνεια Μήκος cm, m, Όγκος Μήκος 3 cm 3, m 3, l, Ταχύτητα Μήκος/χρόνο m/sec, m/h, Επιτάχυνση Μήκος/χρόνο m/sec, m/h, Πυκνότητα Μάζα/μήκος 3 gr/l, 7

28 Μετασχηματισμός μετρήσεων () Μετρήσεις σε μίλια και cm έχουν την ίδια διάσταση. Μετά από κάποιο απλό μετασχηματισμό μετρήσεις π.χ. σε μίλια μπορούν να μετατραπούν σε cm. mile cm, km 5 km 0 cm 8

29 Μετασχηματισμός μετρήσεων Μετρήσεις σε διαφορετικές διαστάσεις μπορούν να μετατραπούν χρησιμοποιώντας κάποιες βασικές σχέσεις Σχέση Όγκος σφαίρας Επιφάνεια σφαίρας Συνολικός αριθμός και μάζα Μάζα, πυκνότητα και όγκος Μεταβλητές V όγκος r ακτίνα S επιφάνεια r ακτίνα M συνολική μάζα m μάζα ενός ατόμου Ν αριθμός ατόμων M συνολική μάζα ρ πυκνότητα V όγκος Τύπος V 4π r 3 S 4π r 3 M mn M ρ V 9

30 Αντίστροφες συναρτήσεις () Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α και πεδίο τιμών το Β είναι ένα προς-ένα όταν για κάθε και στο Α με,, f ( ) f ( ) f : A B Αν είναι ένα προς-ένα, τότε ορίζουμε την αντίστροφη συνάρτηση τέτοια ώστε f : B A f ( y) y f ( ) Έπεται ότι : f f ( f ( y)) ( f ( )) y για για y B A 30

31 Αντίστροφες συναρτήσεις () Μια γνησίως μονότονη (αύξουσα ή φθίνουσα) συνάρτηση είναι ένα προς-ένα. Η αντίστροφη συνάρτηση μιας γνησίως μονότονης συνάρτησης είναι γνησίως μονότονη με το ίδιο είδος μονοτονίας. Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και f είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y y f y f - 3

32 Εκθετικές συναρτήσεις Εκθετικήσυνάρτησημεβάσητοα είναι μια συνάρτηση της μορφής f ( ) όπου α είναι ένας θετικός πραγματικός αριθμός ( ) και ονομάζεται βάση. Η μορφή της γραφικής παράστασης εξαρτάται από τη βάση α εκθετική αύξηση α> f() f() 0 εκθετική μείωση 0< α< 0 3

33 33 Ιδιότητες των εκθετών 0 k k / y y + y y y y ) ( b b ) ( b b Ειδική περίπτωση : Η εκθετική συνάρτηση με βάση το e f() e

34 Λογαριθμικές συναρτήσεις Η συνάρτηση f ( ), > 0 ( ) είναι ένα-προς-ένα και επομένως υπάρχει η αντίστροφη συνάρτηση. Η αντίστροφή της είναι ο λογάριθμος με βάση το α, f ( ) log Συνάρτηση Εκθετική f ( ) Λογαριθμική f ( ) log Πεδίο (, ) ( 0, ) Πεδίο τιμών ( 0, ) (, ) Η αντίστροφη συνάρτηση της f() e συμβολίζεται με ln και ονομάζεται φυσικός λογάριθμος του. 34

35 35 Ιδιότητες των λογαρίθμων R > για για log 0 log Ισχύει ότι : Αλλαγή βάσης ln ln log log log log 0 0 ( ) () 0 log 6. log 5. ) ( log log 4. ) ( log ) ( log 3. ) ( log ) ( log log. ) ( log ) ( log ) ( log. + y y y y y y

36 Συναρτήσεις δύναμης - Αλλομετρίες Μια συνάρτηση δύναμης έχει τη μορφή β f ( ), όπου β πραγματικός αριθμός. Η μορφή της γραφικής παράστασης της β y εξαρτάται από τον εκθέτη β y β> y 0<β< β<0 y 36

37 Λογαριθμική κλίμακα Ριβόσωμα Άνθρωπος Βακτήριο Μπλε φάλαινα,0e-08-8,0e-07-7,0e-06-6,0e-05-5,0e-04-4,0e-03-3,0e-0 -,0E-0 -,0E+00 0,0E+0,0E+0,0E Μήκος (σε m) Ριβόσωμα Άνθρωπος Βακτήριο Μπλε φάλαινα,0e-08,0e-07,0e-06,0e-05,0e-04,0e-03,0e-0,0e-0,0e+00,0e+0,0e+0,0e Log(Μήκος) (σε m) 37

38 Αλλομετρίες Σχέσεις μεταξύ βιολογικών μεταβλητών Scling relions Είναι σχέσεις της μορφής όπου β μη μηδενικός πραγματικός αριθμός, ή β y όπου α σταθερά αναλογίας. y β 38

39 Γραφικές παραστάσεις Λογαριθμικές και ημι-λογαριθμικές log-liner ή Semilog plo log-log ή double log plo 39

40 Μετατροπή σε γραμμικές συναρτήσεις Εκθετική συνάρτηση: Λογαριθμοποιώντας: y y0 e k lny ln y e k 0 ln y ln y + 0 k Η γραφική παράσταση του Υln y ως προς X είναι μια ευθεία γραμμή Συνάρτηση δύναμης: Λογαριθμοποιώντας: β y β ln y ln ln y ln + β ln Η γραφική παράσταση του Υln y ως προς Xln είναι μια ευθεία γραμμή 40

41 Παράδειγμα Ο παρακάτω πίνακας περιέχει δεδομένα για την αύξηση του πληθυσμού (N) των Η.Π.Α. πριν το 900 Έτος 6 0,6 5,3 40,0 75,9 Ν( ) N (εκατομμύρια) Έτος Να προσαρμόσετε μια εκθετική συνάρτηση N ( ) ce k στα δεδομένα (δηλαδή, εκτιμείστε τιμές για τις σταθερές c και k), όπου 0 αντιστοιχεί στο χρόνο

42 Μετασχηματισμός των δεδομένων Έτος YLn(N) 0,47,67 3,69 4, ln (N)

43 Η εξίσωση της ευθείας που περνάει από τα σημεία (0, 0,47) και (50, 4,33) είναι Y 0,47 + 0, 057 ln (N) Y 0,499+0,07 Y0,47+0, Από την εξίσωση της ευθείας προκύπτει: ln N 0,47 + 0, 057 N,6e 0,057 43

44 Γραφική παράσταση της N,6e 0, N

45 Παράδειγμα Ο παρακάτω πίνακας περιέχει δεδομένα για τo μήκος (L) και το βάρος (W) του τόνου στον Ειρηνικό Ωκεανό. L (cm) W (Kg) 6,5 9, ,5 33 4,5 53,5 80, Βάρος (Kg) Μήκος (cm) Να προσαρμόσετε μια συνάρτηση δύναμης στα δεδομένα W L β 45

46 Μετασχηματισμός των δεδομένων XLn L 4,5 4,38 4,50 4,6 4,70 4,79 4,87 4,94 5,08 5,9 YLn W,87,5,64,94 3,4 3,50 3,75 3,98 4,39 4,74 Yln W 5 4,5 4 3,5 3,5,5 4 4,5 5 5,5 Xln L 46

47 Η εξίσωση της ευθείας που περνάει από τα σημεία (4,5,,87) και (5,9, 4,74) είναι Y,09+ 3, 05X Yln W 5 4,5 4 3,5 3,5,5 4 4,5 5 5,5 Xln L Από την εξίσωση της ευθείας προκύπτει: lnw,09+ 3,05ln L W 0,00005 L 3, 05 47

48 Γραφική παράσταση της W 0,00005 L 3, Βάρος (Kg) Μήκος (cm) 48

49 Log-log relionship of field mebolic re o body mss in 9 species of Ngy, K. A. J Ep Biol 005;08:

50 Τριγωνομετρικές συναρτήσεις Ορισμός ημιτόνου και συνημιτόνου Έστω γωνία στο διάστημα [0, π) και (,y) οι συντεταγμένες του σημείου F. Ορίζουμε: συν ( cos ) και yημ (sin ) y (0,) F (-,0) (,0) (0,-) 50

51 y f()ημ περιττή π π 0 - π π 3π π - y f()συν άρτια π π 0 π π 3π π - - Το πεδίο ορισμού τους είναι το R και το πεδίο τιμών τους το [-,] Το ημίτονο και το συνημίτονο είναι περιοδικές συναρτήσεις με περίοδο π και ημ ημ( + π ) συν συν( + π ) Επιπλέον, συν π ημ + 5

52 Γενικευμένη ημιτονοειδής συνάρτησης f ( ) B + Aημω( ), A, B, ω, 0 0 > 0 f()a ημ ω f()a ημ ω(-0) y A + 0 T T T A 0 y f()b+aημ ω(-0) B + A B B A T T 4 5

53 Γενικευμένη ημιτονοειδής συνάρτησης f ( ) B + Aημω( ), A, B, ω, 0 0 > 0 T π : περίοδος της ταλάντωσης ω Α : πλάτος της ταλάντωσης Β : μέση τιμή της ταλάντωσης f ( 0 T + ) 4 B + A (μέγιστη τιμή) f ( 0 3T + ) 4 B A (ελάχιστη τιμή) 53

54 Παράδειγμα Αν D είναι η διάρκεια της μέρας σε ώρες και ο χρόνος σε μέρες, τότε η διάρκεια της μέρας περιγράφεται αρκετά καλά από τον τύπο D k π + ημ ( 79) 365 όπου 0 αντιστοιχεί στην η Ιανουαρίου. Η σταθερά k εξαρτάται από το γεωγραφικό πλάτος. Q? Ποια είναι η περίοδος και ποιο το πλάτος της ταλάντωσης; Q? Πότε έχουμε τη μεγαλύτερη και πότε τη μικρότερη διάρκεια μέρας; 54

55 Παράδειγμα D k π + ημ ( 79) 365 Περίοδος: 365 μέρες Πλάτος : Αk/ Έχουμε τη μεγαλύτερη σε διάρκεια μέρα όταν + T ,5 (~9-0 Ιουνίου) Έχουμε τη μικρότερη σε διάρκεια μέρα όταν + 3T (365 ) ,75 (~9 εκεμβρίου) 55

56 y 0 f ( ) 5 + ημ (4) + ημ( ) Μια συνεχής περιοδική συνάρτηση προσεγγίζεται από ένα άθροισμα ημιτονοειδών συναρτήσεων της μορφής: y + ημω( ) + ημω ( ) + L+ n ημωn ( 0 n ) Θεώρημα Fourier. 56

57 57 Τριγωνομετρικές ταυτότητες ) συν ( συν ) συν ( ημ 5. ημ συν συν συν ημ ημ 4. ) )ημ( ημ( ) )συν( συν( ) συν( 3. ) )ημ( συν( ) )συν( ημ( ) ημ(. ημ συν. + ± + ± ± m

58 Αντίστροφες Συναρτήσεις Οι συναρτήσεις ημίτονο και συνημίτονο δεν είναι ένα-προς-ένα σε όλο το πεδίο ορισμού τους. Αν περιορίσουμε το Π.Ο. τους στο π, π [ 0,π ] για το ημίτονο και για το συνημίτονο, τότε οι συναρτήσεις είναι ένα-προς-ένα και επομένως υπάρχουν οι αντίστροφες συναρτήσεις. 58

59 Η αντίστροφη συνάρτηση του ημίτονου - Συμβολισμός: τοξημ, rcsin, ημ, sin Για y τοξημ(y) είναι ο μοναδικός πραγματικός αριθμός στο διάστημα [-π/, π/] του οποίου το ημίτονο είναι y. y y ημ y π y ημ π 0 - π - π 59

60 Η αντίστροφη συνάρτηση του συνημίτονου Συμβολισμός: τοξσυν, rccos, συν, - cos Για y τοξσυν(y) είναι ο μοναδικός πραγματικός αριθμός στο διάστημα [0, π] τουοποίουτο συνημίτονο είναι y. y y συν y y π συν π π π 60

61 Λύσεις της εξίσωσης ημ k, k ± nπ και ( π ) ± nπ, n 0,,, K όπου ημ k y y k ημ π k 6

62 Λύσεις της εξίσωσης συν k, k ± nπ και ± nπ, n 0,,, K όπου συν k y συν y y k συν k 6

63 Παράδειγμα Η μεταβολή της θερμοκρασίας κατά τη διάρκεια της μέρας περιγράφεται από τον τύπο T B + Aημω( 0 ) Να προσαρμοστεί η () στα δεδομένα: α) Η θερμοκρασία φτάνει στη μέγιστη τιμή o των 7 C στις μ.μ. o β) Η ελάχιστη θερμοκρασία είναι 9 C γ) 0 αντιστοιχεί στις π.μ. 63

64 T B + Aημω( ) 0 () Από τα δεδομένα προκύπτει: Περίοδος: Τ4 ώρες 4 π ω ω π Μέγιστη τιμή Β+Α7, Ελάχιστη τιμή Β- Α9. Επομένως, Β8 και Α9 Έχουμε τη μεγαλύτερη θερμοκρασία στις μ.μ., δηλαδή για 4. Η () παίρνει τη μέγιστη τιμή για + 0 T 4 Επομένως, 0 T Η θερμοκρασία κατά τη διάρκεια της μέρας είναι: π T 8 + 9ημ ( 8) 64

65 Γραφική παράσταση της T π 8 + 9ημ ( 8) T (ώρες) Ποια ώρα της ημέρας έχουμε την ελάχιστη θερμοκρασία; Ποιες ώρες της ημέρας η θερμοκρασία είναι 5 Celsius; 65

66 Ποια ώρα της ημέρας έχουμε την ελάχιστη θερμοκρασία; π π ημ ( 8) ( 8) ± 4n, n 0,,,K π ± nπ Η μόνη λύση στο διάστημα [0,4] είναι : ( π.μ.) Ποιες ώρες της ημέρας η θερμοκρασία είναι 5 Celsius; π π ημ ( 8) ημ ( 8) Λύσεις: 8 + ημ ( ) ± 4n π 3 0 ημ ( ) ± 4n, π 3 ημ ( ) 3 0,3398 n 0,,,K Οι μόνες λύσεις στο διάστημα [0,4] είναι 6,7 και,3, που αντιστοιχούν στις 6:4 και :

67 Συνάρτηση εφαπτομένης εφ ημ συν ( n) π Το πεδίο ορισμού είναι R \ ± (n + ) Το πεδίο τιμών R Είναι περιοδική συνάρτηση με περίοδο π. Αν την περιορίσουμε στο (-π/, π/), τότε είναι ένα-προς-ένα και επομένως υπάρχει η αντίστροφη συνάρτηση (εφ -, τοξεφ, rcn). 67

68 Άλλες τριγωνομετρικές συναρτήσεις Συνεφαπτομένη : Τέμνουσα : Συντέμνουσα : συν σφ ημ τεμν συν στεμν ημ ( cn) ( sec) ( csc) 68

69 Προτεινόμενη Βιβλιογραφία C. Neuhuser Clculus for biology nd medicine Person/Prenice Hll, 004 Chper : Preview nd Review F. R. Adler. Modeling he dynmics of life: clculus nd probbiliy for life scieniss. Brooks/Cole, 998. Chper : Inroducion o Discree- Time Dynmicl Sysems.-.4,.6-.9 M. R. Cullen Mhemics for he biosciences. Techbooks, 983 Secions:, 3, 4, 5, 5, 9 69