Μέρος Α - Kεφάλαιο 7ο - Θετικοί και Αρνητικοί Αριθμοί Α.7.8. Δυνάμεις ρητών αριθμών με εκθέτη φυσικό

Transcript

1 Μέρος Α - Kεφάλιο 7ο - Θετικοί κι Αρνητικοί Αριθμοί Α.7.8. Δυνάμεις ρητών ριθμών με εκθέτη φυσικό ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ Ένς υπολογιστής μολύνθηκε πό κάποιο ιό, ο οποίος είχε την ιδιότητ ν κτστρέφει τ ηλεκτρονικά ρχεί με τον εξής τρόπο: Κάθε μολυσμένο ρχείο μόλυνε, πριν κτστρφεί, τρί άλλ ρχεί μέσ σε μί ώρ λειτουργίς του υπολογιστή. Προσπάθησε ν βρεις, πόσ μολυσμέν ρχεί υπάρχουν στο τέλος της 5ης ώρς. Θυμόμστε - Μθίνουμε Συμβολισμοί πράγοντες Το γινόμενο... (είτε ο είνι θετικός είτε ρνητικός ρητός), συμβολίζετι με το ν κι λέγετι δύνμη με βάση το κι εκθέτη το φυσικό ν>. } ν Γι ν =, γράφουμε =. εκθέτης ν =... βάση } ν πράγοντες Η δύνμη ν διβάζετι κι νιοστή δύνμη του. Η δύνμη 2 λέγετι κι τετράγωνο του ή στο τετράγωνο. Η δύνμη 3 λέγετι κύβος του ή στον κύβο. Πρόσημο δύνμης Πρτηρούμε ότι: (+2) 5 = (+2)(+2)(+2)(+2)(+2) = +32 > 0 άρτιο πλήθος } ( 2) 4 = ( 2)( 2)( 2)( 2) = +6 > 0 πλήθος }περιττό ( 2) 5 = ( 2)( 2)( 2)( 2)( 2) = 32 < 0 Γενικά ισχύει ότι: Δύνμη με βάση θετικό ριθμό είνι θετικός ριθμός. Αν > 0, τότε ν > 0 Δύνμη με βάση ρνητικό ριθμό κι εκθέτη άρτιο είνι θετικός ριθμός. Αν < 0 κι ν άρτιος, τότε ν > 0 Δύνμη με βάση ρνητικό ριθμό κι εκθέτη περιττό είνι ρνητικός ριθμός. Αν < 0 κι ν περιττός, τότε ν < book.indb 37 6//203 9:44:2 μμ

2 Μέρος Α - Kεφάλιο 7ο - Θετικοί κι Αρνητικοί Αριθμοί Ιδιότητες δυνάμεων ρητών με εκθέτη φυσικό Πρτηρούμε ότι: ( 3) 3 ( 3) 5 = 3 πράγοντες 5 πράγοντες = ( 3)( 3)( 3)( 3)( 3)( 3)( 3)( 3) = 8 πράγοντες = ( 3) 8 = ( 3) 3+5 Γενικά ισχύει ότι: Γι ν πολλπλσιάσουμε δυνάμεις με την ίδι βάση, φήνουμε την ίδι βάση κι βάζουμε εκθέτη το άθροισμ των εκθετών. μ ν = μ+ν 7 8 : 7 3 = = = = = 7 5 = Γι ν διιρέσουμε δυνάμεις με την ίδι βάση, φήνουμε την ίδι βάση κι βάζουμε εκθέτη τη διφορά του εκθέτη του διιρέτη πό τον εκθέτη του διιρετέου. μ : ν = μ ν (27) 6 = (27)(27)(27)(27)(27)(27) =(222222) (777777)= = Γι ν υψώσουμε έν γινόμενο σε εκθέτη, υψώνουμε κάθε πράγοντ του γινομένου στον εκθέτη υτό. (β) ν = ν β ν ( 2 9 ) 5 = = = = Γι ν υψώσουμε έν πηλίκο σε ένν εκθέτη, υψώνουμε κθέν πό τους όρους του πηλίκου στον εκθέτη υτό. ν () ν = β β ν (8 3 ) 7 = = = = = 8 73 = 8 2 Γι ν υψώσουμε μί δύνμη σε ένν εκθέτη, υψώνουμε τη βάση της δύνμης στο γινόμενο των εκθετών. ( μ ) ν = μν book.indb 38 6//203 9:44:23 μμ

3 Μέρος Α - Kεφάλιο 7ο - Θετικοί κι Αρνητικοί Αριθμοί N υπολογιστούν οι τιμές των πρστάσεων: () 3 3, (β) ( 3) 3, (γ) 3 4,(δ) ( 3) 4. () Η πράστση θ είνι: 3 3 = -333 = 27 (β) Επειδή ο εκθέτης είνι περιττός, η δύνμη θ είνι ρνητικός ριθμός. Άρ, θ είνι: ( 3) 3 = (-3)(-3)(-3) = 3 3 = 27. (γ) Η πράστση θ είνι: 3 4 = = 8 (δ) Επειδή ο εκθέτης είνι άρτιος, η δύνμη θ είνι θετικός ριθμός. Άρ, θ είνι: ( 3) 4 = (-3)(-3)(-3)(-3) = +3 4 = +8 N υπολογιστεί η τιμή της πράστσης: Π=( 2) ( 2) 4 :6+[ ( ) 7 8]. Η σειρά των πράξεων είνι η εξής: ο Δυνάμεις, 2ο Πολλπλσισμοί κι διιρέσεις, 3ο Προσθέσεις κι φιρέσεις. Αν υπάρχουν πρενθέσεις, προηγούντι οι πράξεις μέσ σ υτές με την ίδι σειρά. Άρ: Π = ( 2) ( 2) 4 :6+[ ( ) 7 8] = ( 8)3 8+(+6):6+[ +8] = = = ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Συμπλήρωσε τ πρκάτω κενά: () Δύνμη με βάση θετικό ριθμό είνι... ριθμός. (β) Δύνμη με βάση ρνητικό ριθμό κι εκθέτη... είνι θετικός ριθμός. (γ) Δύνμη με βάση... ριθμό κι εκθέτη περιττό είνι ρνητικός ριθμός. (δ) Γι ν πολλπλσιάσουμε δυνάμεις με την ίδι βάση, φήνουμε την ίδι βάση κι βάζουμε εκθέτη το... των εκθετών. (ε) Γι ν διιρέσουμε δυνάμεις με την ίδι βάση, φήνουμε την ίδι βάση κι βάζουμε εκθέτη.... (στ) Γι ν υψώσουμε έν γινόμενο σε ένν εκθέτη, υψώνουμε... του γινομένου στον εκθέτη υτό. (ζ) Γι ν υψώσουμε έν πηλίκο σε ένν εκθέτη, υψώνουμε... του πηλίκου στον εκθέτη υτό. (η) Γι ν υψώσουμε μι δύνμη σε ένν εκθέτη, υψώνουμε τη βάση της δύνμης στο... των εκθετών. Βρες με ποιο στοιχείο της 2ης κι της 3ης γρμμής ντίστοιχ είνι ίσο κάθε στοιχείο της ης γρμμής του πρκάτω πίνκ (3 + 5) (35) (3 5) Διφορά των 3 κι 5 2 Άθροισμ των 3 κι 5 2 Γινόμενο των 3 κι 5 2 Πηλίκο των 3 2 κι 5 Τετράγωνο της διφοράς 3 πλην 5 Τετράγωνο του πηλίκου 3 δι 5 Τετράγωνο του θροίσμτος 3 κι 5 Τετράγωνο του γινομένου 3 επί ,36 225,8 22 Yπολόγισε τις τιμές των πρστάσεων: Α = ( ) +( ) 2 +( ) 3 + ( ) 4 + ( ) 5, Β = ,54 3, Γ = ( 6) ( 4) ( 5) book.indb 39 6//203 9:44:26 μμ

4 Μέρος Α - Kεφάλιο 7ο - Θετικοί κι Αρνητικοί Αριθμοί Α.7.9. Δυνάμεις ρητών ριθμών με εκθέτη κέριο Θυμόμστε - Μθίνουμε Σύμφων με τον κνόν της διίρεσης των δυνάμεων με την ίδι βάση, που μάθμε στην προηγούμενη πράγρφο, είνι: = 57 7 = 5 0, γνωρίζουμε ότι είνι κι = επομένως, 50 =. Με την έννοι υτή ορίζουμε: Η δύνμη κάθε ριθμού, διάφορου του μηδενός με εκθέτη το μηδέν είνι ίση με μονάδ. 0 = Επίσης, θ είνι: = 57 8 = 5, γνωρίζουμε ότι είνι κι = = 5,άρ 5 = = 56 8 = 5 2, γνωρίζουμε ότι είνι κι = = 5 2,άρ 5 2 = 5 2 κ.ο.κ. Με την έννοι υτή ορίζουμε: Η δύνμη κάθε ριθμού, διάφορου του μηδενός, με εκθέτη ρνητικό είνι ίση με κλάσμ που έχει ριθμητή τη μονάδ κι προνομστή τη δύνμη του ριθμού υτού με ντίθετο εκθέτη. ν = = ( ) ν ν Επειδή τ β κι β είνι ντίστροφοι ριθμοί, όπως κι τ κι στην προηγούμενη σχέση, εξάγουμε το συμπέρσμ ότι ισχύει: β () ν = ( ) ν β Oι ιδιότητες των δυνάμεων με εκθέτη φυσικό, που μάθμε στην προηγούμενη πράγρφο, ισχύουν κι γι τις δυνάμεις με εκθέτη κέριο book.indb 40 6//203 9:44:28 μμ

5 Μέρος Α - Kεφάλιο 7ο - Θετικοί κι Αρνητικοί Αριθμοί ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ - ΕΦΑΡΜΟΓEΣ Ν υπολογιστούν οι δυνάμεις: () ( 2) 5, (β) 3 3, (γ) ( ) 0. () ( 2) 5 = ( 2) 5 = 32 = 32, (β) 3 3 = 3 3 = 27, (γ) ( )0 = Ν υπολογιστούν οι τιμές των πρστάσεων: () [( 3) 3 ] 2, (β) 3 3 : 3 2, (γ) ( 2) 4 ( 2) 6, (δ) () [( 3) 3 ] 2 = ( 3) 32 = ( 3) 6 = (β) 3 3 : 3 2 = 3 3 ( 2) = = 3 5 = 243 (γ) ( 2) 4 ( 2) 6 = ( 2) 4+6 = ( 2) 0 = 024 (δ) = ( 2 3 ) 3 = ( 4 ) 3 = ( 4 )3 = 4 3 = Ν υπολογιστούν οι δυνάμεις: 0, 0 2, 0 3, 0 4, 0 5, 0 6, = 0 = 0 =0, 0 2 = 0 2 = 00 =0,0 0 3 = 0 3 = 000 =0, = 0 4 = 0000 =0, = 0 5 = =0, = 0 6 = =0, = 0 7 = =0, book.indb 4 6//203 9:44:29 μμ

6 Μέρος Α - Kεφάλιο 7ο - Θετικοί κι Αρνητικοί Αριθμοί. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Συμπλήρωσε τον πίνκ: ( ) 2 β γ (+β) 2 (β) 2 β 2 G 0 0 0,0 ( ) 2 (γβ) Υπολόγισε τις τιμές των πρστάσεων: Α = ( ) 3 +( ) 2 +( ) +( ) 0 +( ) +( ) 2, Β = [( 2) 2 ] 5 [( 3) 2 ] 2 +[( 23,5) 2 (23,5) 2 ] 5, Γ = ( 6) ( 32) ( 0) 3. Βρες ποιος πό τους ριθμούς: 0,03 52, 0 3, , δεν είνι δύνμη του 0. Συμπλήρωσε τον πίνκ: x 0,00 0,0 0, G x 3 x 3 x 5. Συμπλήρωσε τον πίνκ: book.indb 42 6//203 9:44:33 μμ

7 Μέρος Α - Kεφάλιο 7ο - Θετικοί κι Αρνητικοί Αριθμοί Α.7.0. Tυποποιημένη μορφή μεγάλων κι μικρών ριθμών. Η διάμετρος ενός τόμου υδρογόνου είνι 0, cm. Μπορείς ν διβάσεις κι ν θυμηθείς εύκολ υτόν τον ριθμό; Πρτηρούμε ότι υπάρχει, ρκετή δυσκολί στη γρφή κι των ριθμών που εκφράζουν πολύ μικρά μεγέθη. Όμως, η κτάλληλ προσρμοσμένη χρήση της τυποποιημενης μορφής των ριθμών, που μάθμε στην πράγρφο 3.4., γι τη γρφή των πολύ μεγάλων ριθμών, μπορεί ν βοηθήσει στην ντιμετώπιση κι της γρφής των πολύ μικρών ριθμών. Μθίνουμε Όπως οι πολύ μεγάλοι, έτσι κι οι πολύ μικροί ριθμοί μπορούν ν γρφούν σε τυποποιημένη μορφή κι συγκεκριμέν στη μορφή: 0 -ν, όπου είνι ένς δεκδικός ριθμός με κέριο μέρος μεγλύτερο ή ίσο του κι μικρότερο του 0 κι ν φυσικό ριθμό. Ν εκφρστεί με τυποποιημένη μορφή το βάρος ενός μορίου νερού, που είνι: 0, gr. Γι ν εκφράσουμε το βάρος ενός μορίου νερού με την τυποποιημένη μορφή πρέπει ν βρούμε εκείνη τη δύνμη του 0 που, ότν πολλπλσιάσει ένν δεκδικό ριθμό με ένν μόνο κέριο ψηφίο, δίνει ξνά το πρπάνω βάρος. Δηλδή: 0, gr=2, ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 23 θέσεις Γι ν βρούμε τον φυσικό ριθμό ν (ο οποίος με ρνητικό πρόσημο είνι εκθέτης του 0) μετράμε πόσες θέσεις προς τ δεξιά πρέπει ν μετκινηθεί η υποδιστολή (ώστε ν προκύψει ο δεκδικός ριθμός που έχει κέριο μέρος μεγλύτερο ή ίσο του κι μικρότερο του 0). Ν εκφρστούν με τυποποιημένη μορφή οι ριθμοί: () 0, , (β) 0, , (γ) 0,000008: () 0, =, , (β) 0, =3,5980 8, (γ) 0,000008:000000=0, = ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Γράψε με τυποποιημένη μορφή τους ριθμούς: () Η πόστση Γης - Σελήνης είνι m. (β) Η ηλικί της Γης είνι έτη. (γ) Η πόστση Γης - Ήλιου είνι km. H μάζ του τόμου του υδρογόνου είνι, gr. Ν βρεις πόσ άτομ περιέχει gr υδρογόνου. Γράψε με τυποποιημένη μορφή τους ριθμούς: () Η διάμετρος ενός πυρήν τόμου είνι 0, cm. (β) Το βάρος ενός μορίου λτιού είνι 0, gr book.indb 43 6//203 9:44:37 μμ

8 Μέρος Α - Kεφάλιο 7ο - Θετικοί κι Αρνητικοί Αριθμοί Aνκεφλίωση Aκέριοι ριθμοί: Ρητοί ριθμοί:..., 4, 3, 2,, 0,, 2, 3, 4,... Φυσικοί, Κλάσμτ, Δεκδικοί (Θετικοί κι Αρνητικοί) Ομόσημοι ρητοί ριθμοί: Ετερόσημοι ρητοί ριθμοί: Απόλυτη τιμή ρητού a : Αντίθετοι ρητοί ριθμοί: Έχουν το ίδιο πρόσημο Έχουν ντίθετο πρόσημο Εκφράζει την πόστση σημείου με τετμημένη πό την ρχή Ο του άξον των ρητών Οι ετερόσημοι με ίδι πόλυτη τιμή Αν > 0, τότε = a κι ν a < 0, τότε a = a Πράξεις μετξύ ρητών ριθμών Ιδιότητες της πρόσθεσης: Ιδιότητες του πολλπλσισμού: +β = β+ (Αντιμετθετική) +(β+γ)=(+β)+γ (Προσετιριστική) +0=0+= +( )=( )+=0 ( κι, ντίθετοι) Αφίρεση β=+( β) β = β (βγ)=(β)γ (Αντιμετθετική) (Προσετιριστική) == = = ( κι ντίστροφοι) 0=0 : β = = β Διίρεση β ΕΠΙΜΕΡΙΣΤΙΚΗ ΙΔΙΟΤΗΤΑ Του πολλπλσισμού ως προς την πρόσθεση: (β+γ)=β+γ Του πολλπλσισμού ως προς την φίρεση: (β γ)=β γ Προτεριότητ Πράξεων ò Δυνάμεις É ù Πολλπλσισμοί & Διιρέσεις É ä Προσθέσεις & Αφιρέσεις Οι πράξεις μέσ στις πρενθέσεις προηγούντι κι γίνοντι με την πρπάνω σειρά Ορισμοί ν =... (ν φορές) Το λέγετι βάση κι το ν εκθέτης 0 = κι = ΔΥΝΑΜΕΙΣ Ιδιότητες των δυνάμεων μ ν = μ+ν μ : ν = μ ν (β) ν = ν β ν ν = ν ή ν = ( )ν ( β )ν = ν β ν ( β ) ν = ( β )ν ( μ ) ν = μν (όπου:, β 0 κι μ, ν φυσικοί ριθμοί) book.indb 44 6//203 9:44:40 μμ

9 Μέρος Α - Kεφάλιο 7ο - Θετικοί κι Αρνητικοί Αριθμοί Επνληπτικές Ερωτήσεις Αυτοξιολόγησης Α. Ασκήσεις Σωστού ή Λάθους Τοποθέτησε έν x στην ντίστοιχη θέση.. 7,2 + ( 5) = 2,2,2 0,2 = 3. 2,2 + 2,2 = 4,4 4. 7,8 8 = 0,2 5. 3,5 9 = 5,5 6. 3,5 4,5 = = ,4 = 5, = = 5 ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ B. Ασκήσεις Συμπλήρωσης κενού. Συμπλήρωσε τ κενά στις πρκάτω ισότητες: () (...8)+(...3)+(...6)+(...5)=+4 (β) (...8)+(...3)+(...6)+(...5)= 0. (γ)(...3,7)+(...4,8)+(...5,2)+(...6,3)=0 (δ) (...3,7)+(...4,8)+(...5,2)+(...6,3)= 0,4. Βρες ποιο πό τ Α, Β, Γ, Δ κι Ε είνι το μεγλύτερο, ν γνωρίζεις ότι: Α + ( ) = Β + 3 = Γ + ( 3) = Δ + 4 = Ε + ( 5). 3. Βρες τ θροίσμτ: () +( 2)+3+( 4) ( 50), (β) +( 2)+3+( 4)+... +( 98) Βάλε τ γράμμτ Α, Ε, Ι, Κ, Ο, Π, Ρ, Υ κι Ω με ύξουσ σειρά κι γράψε τη λέξη που βρήκες, ότν: Α = 4+(,5), Ε = 0,8+( 4,8), Ι = 0,8+4,8, Κ = 4+,5, Ο = 0,8+4,8, Π = 0,8+( 0,8), Ρ = 0,8+( 4,8), Υ = 4+(,5), Ω = 4+,5. 5. Πολλπλσίσε νά δύο τους τρεις ρητούς 6,5, 3,5 κι 4,5 με όλους τους δυντούς τρόπους. () Πόσοι τρόποι υπάρχουν; (β) Ποιος πό τους τέσσερις ρητούς 29,25, 5,75, 22,75 κι 5,75 ως ποτέλεσμ των πολλπλσισμών υτών είνι λάθος; 6. Συμπλήρωσε τ κενά στο σχήμ: Αν γνωρίζεις ότι: Συμπλήρωσε τ κενά στ σχήμτ, ν γνωρίζεις ότι: β β Γ. Ασκήσεις Αντιστοίχισης Αντιστοίχισε κάθε στοιχείο της πρώτης στήλης στο στοιχείο της δεύτερης στήλης που βγάζει το ίδιο ποτέλεσμ. () (+4)+( 7) (+3)+( 23) (β) (+3) ( 8) (+3) (+7) (γ) ( 2)0, () ( 2)+( 8) (+)+( ) (β) (+) (+3) (+3) (+3) (γ) 25( 0,9)( 0) 900 () (+)+( 9) ( 22)+(+9) (β) ( 5) (+25) ( 37) ( 7) (γ) 2( 5)( 9)( 0) 9 () ( 5)+(+25) ( 9)+(+2) (β) ( 6) ( 6) (+7) (+9) (γ) 259( 0) 90 () ( 6)+(+6) (+37)+( 7) (β) ( 2) ( 8) ( 2) ( 33) (γ) 0,2( 5)( 0,9) book.indb 45 6//203 9:44:43 μμ