2.7. ր ց ց ր. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας. 1. H παράγωγος µιας συνάρτησης f είναι. f (x) > 0 3(x 1 ) 3 (x 2 ) 2 (x 3) > 0
|
|
- Δημοσθένης Μαυρογένης
- 8 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 .7 Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 67 7 A Οµάδας. H παράγωγος µιας συνάρτησης είναι () = ( ) ( ) ( ) Για ποιες τιµές του η παρουσιάζει τοπικό µέγιστο και για ποιες τοπικό ελάχιστο; D = R, όπου και παραγωγίζεται. Άρα οι πιθανές θέσεις τοπικών ακροτάτων είναι τα για τα οποία () = 0 ( ) ( ) ( ) = 0 = 0 ή = 0 ή = 0 = ή = ή = () > 0 ( ) ( ) ( ) > 0 ( ) ( )( ) ( ) > 0 ( ) ( ) > 0 < ή > Το πρόσηµο της, η µονοτονία της και τα τοπικά ακρότατα παρουσιάζονται στον + () () ր ց ց ր τ.µ τ.ε
2 .i) α) Να µελετήσετε ως προς τη µονοτονία και τα ακρότατα τη συνάρτηση () = + + β) Να βρείτε το πλήθος των πραγµατικών ριζών της εξίσωσης + + = 0 α) D = R, όπου και παραγωγίζεται. () = 6 + = ( + ) = ( ) Το πρόσηµο της και η µονοτονία της παρουσιάζονται στον πίνακα που ακολουθεί Και επειδή η είναι συνεχής στο, είναι γνησίως αύξουσα στο R. β) Η εξίσωση () = 0 συνεχής και γνησίως αύξουσα στο R το σύνολο τιµών της (R ) = ( ()) Αλλά και () = () = + + () () + ր = = + (), ր + Οπότε (R ) = R Επειδή, όµως, 0 (R ) θα υπάρχει ρ R ώστε (ρ) = 0, το οποίο ρ θα είναι µοναδικό, αφού γνησίως αύξουσα.
3 .ii) α) Να µελετήσετε ως προς τη µονοτονία και τα ακρότατα τη συνάρτηση g() = + β) Να βρείτε το πλήθος των πραγµατικών ριζών της εξίσωσης + = 0 α) D = R, όπου και παραγωγίζεται. g g () = = ( ) Το πρόσηµο της g, η µονοτονία της g και τα τοπικά ακρότατα παρουσιάζονται στον g ( ) = g () = ( ) ( ) + = + + = + = + = 0 β) Η εξίσωση g() = 0 g συνεχής και γνησίως αύξουσα στο (, ] g ((, ]) = ( Είναι g(), g( )] = (, ] g() = = Επειδή 0 (, ), κατά το Θ. Ενδιαµέσων τιµών, η εξίσωση g() = 0 έχει ακριβώς µία ρίζα στο διάστηµα (, ] g συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο [, ] g ([, ]) = [g(), g( )] = [0, ] Άρα η εξίσωση g() = 0 έχει ακριβώς µία ρίζα στο διάστηµα [, ], την = g συνεχής και γνησίως αύξουσα στο [, + ) g ([, + )) = ([g(), Είναι + g () g () ր ց ր g() = + g() ) = [0, + ) + = + + τ.µ 0 τ.ε Άρα η εξίσωση g() = 0 έχει ακριβώς µία ρίζα στο διάστηµα [, + ) την = Τελικά, εξίσωση g() = 0 έχει ακριβώς δύο άνισες ρίζες.
4 .iii) α) Να µελετήσετε ως προς τη µονοτονία και τα ακρότατα τη συνάρτηση h() = β) Να βρείτε το πλήθος των πραγµατικών ριζών της εξίσωσης = 0 α) D h = R, όπου και παραγωγίζεται: h () = 6 6 = 6( ) Το πρόσηµο της h, η µονοτονία της h και τα τοπικά ακρότατα παρουσιάζονται στον 0 + h () h () ր ց ր τ.µ τ.ε h(0) = 0 0 = h() = = = β) Η εξίσωση h() = 0 h συνεχής και γνησίως αύξουσα στο (, 0] h ((, 0]) = ( Είναι h(), h(0)] = (, ] h() = = Άρα η εξίσωση h() = 0 δεν έχει ρίζα στο διάστηµα (, 0] h συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο [0, ] h ([0, ]) = [h(), h(0)] = [, ] Άρα η εξίσωση h() = 0 δεν έχει ρίζα στο διάστηµα [0, ] h συνεχής και γνησίως αύξουσα στο [, + ) h ([, + )) = [h(), h()) = [, + ) Είναι h() = = + Άρα η εξίσωση h() = 0 έχει ακριβώς µία ρίζα στο διάστηµα [, + ) Τελικά, εξίσωση h() = 0 έχει ακριβώς µία ρίζα
5 5.i) Να µελετήσετε ως προς τη µονοτονία και τα ακρότατα τη συνάρτηση, () = e, > συνεχής στο (, ) σαν πολυωνυµική. συνεχής στο (, + ) σαν σύνθεση συνεχών () = = = () και Άρα συνεχής στο και στο D = R. () = + + e = e = 0 e =, < () = Η παράγωγος στο δεν ενδιαφέρει. e, > Το πρόσηµο της, η µονοτονία της και τα τοπικά ακρότατα παρουσιάζονται στον 0 + () 0 + () ց ր ց 0 τ.ε τ.µ
6 6.ii) Να µελετήσετε ως προς τη µονοτονία και τα ακρότατα τη συνάρτηση +, < g() = +, g συνεχής στο (, ) σαν πολυωνυµική. g συνεχής στο (, + ) σαν πολυωνυµική. g() = g() = + + ( + ) = + = + = 0 ( + ) = + = + = 0 g() = + = + = 0 Άρα g συνεχής στο και στο D g = R., < g () = Η παράγωγος στο δεν ενδιαφέρει, > Το πρόσηµο της g, η µονοτονία της g και τα ακρότατα παρουσιάζονται στον + g () 0 + g () ց ց ր ολ. ελάχ.. g() = + = 8 + =
7 7.i) Να µελετήσετε ως προς τη µονοτονία και τα ακρότατα τη συνάρτηση () = e Πεδίο ορισµού D = R () = e, R Το πρόσηµο της, η µονοτονία της και τα ακρότατα παρουσιάζονται στον 0 + () 0 + () ց ր ολ.ελάχ.ii) Να µελετήσετε ως προς τη µονοτονία και τα ακρότατα τη συνάρτηση () =, > 0 Για κάθε > 0 είναι () = ( ) = (e ln ) = e ln (ln) = ( + ln) () = 0 + ln = 0 ln = = e - () > 0 + ln > 0 ln > > e - Το πρόσηµο της, η µονοτονία της και τα ακρότατα παρουσιάζονται στον e - + () 0 + () ց ր ( e ) e Ολ. ελάχ
8 8 5. Να βρείτε τις τιµές των α, β R, για τις οποίες η συνάρτηση () = α + β + παρουσιάζει τοπικά ακρότατα στα σηµεία = και =. Να καθορίσετε το είδος των ακροτάτων. Πεδίο ορισµού D = R Για κάθε R είναι () = α + β. Τοπικό ακρότατο στο =, κατά Fermat, ( ) = 0 Τοπικό ακρότατο στο =, κατά Fermat, () = 0 α ( ) + β( ) = 0 α β = 0 () α + β = 0 α + β = 0 () Λύνουµε το σύστηµα των (), () και βρίσκουµε α = και β = 0 Η συνάρτηση γίνεται () = + και η παράγωγος () = Το πρόσηµο της, η µονοτονία της και τα ακρότατα παρουσιάζονται στον + () () ր ց ր ( ) = ( ) ( ) + = + + = () =. + = + = τ.µ τ.ε
9 9 6. Να αποδείξετε ότι, από όλα τα οικόπεδα σχήµατος ορθογωνίου µε εµβαδόν 00 το τετράγωνο χρειάζεται τη µικρότερη περίφραξη. Έστω, y οι διαστάσεις του τυχαίου ορθογωνίου µε εµβαδόν 00 m. y = 00 y = 00 Περίµετρος = + y = ( + y) = ( + 00 ) Έτσι, ορίζεται η συνάρτηση Π() = ( + 00 ), > 0. Π () = ( + 00 ) = ( 00 ) = 00 Το πρόσηµο της Π, η µονοτονία της Π και τα ακρότατα παρουσιάζονται στον Π () 0 + Π() ց ր 80 ελάχιστο Η συνάρτηση Π() παρουσιάζει ελάχιστο για = 0, οπότε y = 00 0 = 0 = Άρα το οικόπεδο µε τη µικρότερη περίµετρο είναι το τετράγωνο. m, 7. Με συρµατόπλεγµα µήκους 80 m θέλουµε να περιφράξουµε οικόπεδο σχήµατος ορθογωνίου. Να βρείτε τις διαστάσεις του οικοπέδου που έχει το µεγαλύτερο εµβαδόν. Έστω, y οι διαστάσεις του τυχαίου ορθογωνίου µε περίµετρο 80 m. + y = 80 + y = 0 y = 0 Εµβαδόν = y = (0 ) = 0 Έτσι, ορίζεται η συνάρτηση E() = + 0, > 0 Ε () = + 0 Το πρόσηµο της E, η µονοτονία της E και τα ακρότατα παρουσιάζονται στον E () + 0 E() ր 00 ց µέγιστο Η συνάρτηση Ε() παρουσιάζει µέγιστο για = 0, οπότε y = 0
10 0 8. Μία ώρα µετά τη λήψη mgr ενός αντιπυρετικού, η µείωση της θερµοκρασίας ενός ασθενούς δίνεται από τη συνάρτηση T() =, 0 < <. Να βρείτε ποια πρέπει να είναι η δόση του αντιπυρετικού, ώστε ο ρυθµός µεταβολής της µείωσης της θερµοκρασίας ως προς να γίνει µέγιστος. Ο ρυθµός µεταβολής της µείωσης της θερµοκρασίας ως προς είναι T () = Πρέπει να βρούµε, για ποια τιµή του η συνάρτηση T () παρουσιάζει µέγιστο. Τ () = 6 = = Το πρόσηµο της Τ, η µονοτονία της Τ και τα ακρότατα παρουσιάζονται στον 0 Τ () + 0 Τ () ր ց µέγιστο T ( ) = ( ) = = 8 6 = 8 = Η συνάρτηση Τ () παρουσιάζει µέγιστο για =
11 9. ίνεται το τετράγωνο ΑΒΓ του διπλανού σχήµατος µε πλευρά cm. Αν το τετράγωνο ΕΖΗΘ έχει τις κορυφές του στις πλευρές του ΑΒΓ, i) να εκφράσετε την πλευρά ΕΖ συναρτήσει του ii) να βρείτε το έτσι, ώστε το εµβαδόν Ε() του ΕΖΗΘ να γίνει ελάχιστο. i) (ΒΖ) = (ΒΓ) (ΖΓ) = Πυθαγόρειο στο τρίγωνο ΒΕΖ : (ΕΖ ) = Θ + ( ) E() = + + E() = +, 0< < ii) E () = = ( ) Το πρόσηµο της E, η µονοτονία της E και τα ακρότατα παρουσιάζονται στον 0 E () 0 + E() ց ր ελάχιστο Η συνάρτηση Ε() παρουσιάζει ελάχιστο για =. A Η E() Ε Γ Ζ B
12 0. Το κόστος της ηµερήσιας παραγωγής µονάδων ενός βιοµηχανικού προϊόντος είναι Κ() = ευρώ, για 0 05, ενώ η είσπραξη από την πώληση των µονάδων είναι Ε() = 0 ευρώ. Να βρεθεί η ηµερήσια παραγωγή του εργοστασίου, για την οποία το κέρδος γίνεται µέγιστο. Το κέρδος είναι Ρ() = Ε() Κ() Ρ() = 0 Ρ() = Ρ () = Το πρόσηµο της Ρ, η µονοτονία της Ρ και τα ακρότατα παρουσιάζονται στον Ρ () Ρ() ց ր ց τ.µ Ρ(0) = 000 Ρ(0) = = = = 800 > Ρ(0) Άρα το Ρ(0) = 800 είναι το µέγιστο του κέρδους, το οποίο συµβαίνει όταν η ηµερήσια παραγωγή είναι = 0µονάδες
13 B Οµάδας. ίνεται η συνάρτηση () = ηµ +, [0, π] i) Να µελετήσετε την ως προς τη µονοτονία και τα ακρότατα. ii) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ηµ = i) () = συν έχει ακριβώς µία ρίζα στο (0, π) () = 0 συν = 0 συν = = π () > 0 συν > 0 συν > 0 < < π Το πρόσηµο της, η µονοτονία της και τα ακρότατα παρουσιάζονται στον (0) = ηµ0 0 + = ( π ) = ηµ π π + = π + > 0 (π) = ηµπ π + = π < 0 Άρα η έχει µέγιστο ( π ) και ελάχιστο (π). ii) H εξίσωση γράφεται ηµ = ηµ + = 0 () = 0 ([0, π ] ) = [(0), ( π )] = [, π + ] και επειδή το 0 δεν ανήκει σ αυτό, η εξίσωση () = 0 δεν έχει λύση στο διάστηµα [0, ( [ π, π] ) = [(π), ( π )] = [ π, π + ] και επειδή το 0 ανήκει σ αυτό, η εξίσωση () = 0 έχει λύση στο διάστηµα [ π, π], µοναδική αφού γνησίως φθίνουσα. 0 π () + 0 () ր ց τ.µ π π ]
14 . i) Να µελετήσετε ως προς τη µονοτονία και τα ακρότατα τη συνάρτηση () = ln + και να βρείτε τις ρίζες και το πρόσηµό της. ii) Να µελετήσετε ως προς τη µονοτονία και τα ακρότατα τη συνάρτηση φ() = ln + + iii) Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων g() = ln και h() = + έχουν ένα µόνο κοινό σηµείο στο οποίο έχουν κοινή εφαπτοµένη. i) συνεχής στο D = (0, + ) () = + > 0, άρα γνησίως αύξουσα, χωρίς ακρότατα. Προφανής ρίζα είναι η =, αφού () = ln + = 0. Είναι και µοναδική λόγω της µονοτονίας. Για κάθε < () <() () < 0 Για κάθε > () >() () > 0 ii) φ συνεχής στο Dφ = (0, + ) φ () = (ln + ) + = (ln + + ) = (ln + ) = () Το πρόσηµο της φ, η µονοτονία της φ και τα ακρότατα παρουσιάζονται στον iii) Οι τετµηµένες των κοινών σηµείων των g() = h() 0 + φ () = () 0 + φ () ց 0 ր ελάχιστο C g, C h είναι οι ρίζες της εξίσωσης ln = + ln = + ln + + = 0 φ() = 0 Προφανής ρίζα είναι η =, αφού φ() = ln + + = 0 και όπως προκύπτει από τον πίνακα του ii), είναι µοναδική. g () = (ln ) = ln + g () = ln + = h () = ( + ) = + h () = + = Άρα είναι g () = h () και g() = h() = 0, εποµένως οι C, C έχουν κοινή εφαπτοµένη στο σηµείο Κ(, 0) g h
15 5.i) Να αποδείξετε ότι, για κάθε > 0 ισχύει α) α) Αρκεί να αποδείξουµε ότι e > 0 Θεωρούµε τη συνεχή συνάρτηση () = β) e > + e > + + e, 0 () = e Το πρόσηµο της, η µονοτονία της και τα ακρότατα παρουσιάζονται στον 0 + () + () ր Για κάθε > 0 () > (0) 0 e > e 0 e > 0 β) Αρκεί να αποδείξουµε ότι e > 0 Θεωρούµε τη συνεχή συνάρτηση g() = e, 0 α ) Για κάθε > 0 είναι g () = e > 0 στο (0, + ) g γνησίως αύξουσα στο [0, + ) Για κάθε > 0 g g() > g(0) e e > > 0 0 e 0 0
16 6.ii) Να αποδείξετε ότι, για κάθε > 0 ισχύει α) συν > α) Αρκεί να αποδείξουµε ότι συν + β) ηµ > 6 > 0 Θεωρούµε τη συνεχή συνάρτηση () = συν +, 0 Για κάθε > 0 είναι () = ηµ + > 0 (από την ηµ < ) Άρα γνησίως αύξουσα στο [0, + ) Για κάθε > 0 β) () >(0) συν + συν + Αρκεί να αποδείξουµε ότι ηµ + 6 > συν0 + > 0 > 0 Θεωρούµε τη συνεχή συνάρτηση g() = ηµ + 6 0, 0 Για κάθε > 0 είναι g () = συν + g γνησίως αύξουσα στο [0, + ) Για κάθε > 0 g g() > g(0) ηµ + 6 ηµ + 6 > ηµ > 0 α ) > 0 στο (0, + ) 0
17 7.iii) Να αποδείξετε ότι, για κάθε > 0 ισχύει α) ( + ) ν > + ν, ν N µε ν β) ( + ) ν > + ν + α) ( ) ν ν, ν N µε ν Αρκεί να αποδείξουµε ότι ( + ) ν ν > 0 Θεωρούµε τη συνεχή συνάρτηση () = ( + ) ν ν, 0,. Για κάθε > 0 είναι () = ν( + ) ν ν () = ν[( + ) ν ] > 0 αφού + > άρα γνησίως αύξουσα στο [0, + ) Για κάθε > 0 () >(0) ( + ) ν ν > ( + 0 ) ν ν. 0 ( + ) ν ν > 0 β) Αρκεί να αποδείξουµε ότι ( + ) ν ν( ν ) ν > 0 Θεωρούµε τη συνεχή συνάρτηση g() = ( + ) ν ν( ν ) ν, 0 Για κάθε > 0 είναι g () = ν( + ) ν ν ν(ν ) g () = ν[( + ) ν (ν )] άρα g γνησίως αύξουσα στο [0, + ) g α ) > 0 στο (0, + ) Για κάθε > 0 g() > g(0) ( + ) ν ν( ν ) ν > ( + 0 ) ν ν. 0 ( + ) ν ν( ν ) ν > 0 ( ) ν ν 0
18 8. Να αποδείξετε ότι, αν για µια συνάρτηση, που είναι παραγωγίσιµη στο R ισχύει ( ) + 6() = + 6 +, τότε η δεν έχει ακρότατα ( ) + 6() = ( ( ) + 6() ) = ( ) Έστω ότι η έχει ακρότατο ( ο ). Τότε, από Θ. Fermat, θα ήταν ( ο ).= 0 () 6 ( ) () + 6 () = ( ) () + () = Η (), για = ο ( ο ) ( ο ) + ( ο ) = 0 = o + που είναι άτοπο o + + () () 5. Στο διπλανό σχήµα έχουµε τις γραφικές παραστάσεις δύο παραγωγίσιµων συναρτήσεων, g σ ένα διάστηµα [α, β]. Το σηµείο ξ (α, β) είναι το σηµείο στο οποίο η κατακόρυφη απόσταση (ΑΒ) µεταξύ των C, C g παίρνει τη µεγαλύτερη τιµή. Να αποδείξετε ότι οι εφαπτόµενες των C, στα σηµεία Α(ξ, (ξ)), Β(ξ, g(ξ)) είναι παράλληλες. O α ξ β Έστω Α() = () g(), (α, β) η συνάρτηση που εκφράζει την κατακόρυφη απόσταση απόσταση των C, C g. ίνεται ότι η Α() παρουσιάζει µέγιστο στο ξ (α, β), οπότε, κατά το Θ. Fermat, θα είναι Α (ξ) = 0. Αλλά Α () = () g () Α (ξ) = (ξ) g (ξ) 0 = (ξ) g (ξ) (ξ) = g (ξ) Άρα, οι εφαπτόµενες των είναι παράλληλες. C, C g g(ξ) y (ξ) C g στα σηµεία Α(ξ, (ξ)), Β(ξ, g(ξ)) Α Β
19 9 6. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση () = ( α ) ( β ) ( γ ) µε α < β < γ έχει τρία τοπικά ελάχιστα και δύο τοπικά µέγιστα. Πεδίο ορισµού D = R σαν πολυωνυµική (αν εκτελεστούν οι πράξεις ) Προφανώς είναι (α) = (β) = (γ) = 0 Με Θ. Rolle στο διάστηµα [α, β], υπάρχει ξ (α, β) ώστε ( Με Θ. Rolle στο διάστηµα [β, γ], υπάρχει ξ (β, γ) ώστε ( ξ ) = 0 () ξ ) = 0 () Είναι () =( α) ( β ) ( γ ) +( α ) ( β) ( γ ) + ( α ) ( β ) ( γ) = ( α) ( β) ( γ)[.] Προφανώς είναι (α) = (β) = (γ) = 0 () Από τις (), (), (), η έχει πέντε ρίζες α, ξ, β, ξ, γ και δε µπορεί να έχει και άλλες, διότι η είναι 6 ου βαθµού και άρα η είναι 5 ου. Οπότε () = ( α) ( ξ ) ( β) ( ξ ) ( γ) Το πρόσηµο της, η µονοτονία της και τα τοπικά ακρότατα παρουσιάζονται στον α ξ β ξ γ + () () ց ր ց ր ց ր τ.ε τ.µ τ.ε τ.µ τ.ε
20 0 7. Με ένα σύρµα µήκους m κατασκευάζουµε ένα ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς m και ένα τετράγωνο πλευράς y m. i) Να βρείτε το άθροισµα των εµβαδών των δύο σχηµάτων συναρτήσει της πλευράς του ισοπλεύρου τριγώνου. ii) Για ποια τιµή του το εµβαδόν γίνεται ελάχιστο. i) Είναι + y = y = Ε() = Ε τρ + Ε τετρ = = = = + ( ) ( ) 6 [( + 9) + 6), 0 < < ii) Ε () = 6 [( + 9) ] = [( 8 + 9) ] Ε () = 0 ( + 9) = 0 = = ρ + 9 Το πρόσηµο της Ε, η µονοτονία της Ε και τα ακρότατα παρουσιάζονται στον 0 ρ Ε () 0 + Ε() ց ր ελάχιστο
21 8. ίνεται η συνάρτηση () = και το σηµείο Α ( 9, 0). i) Να βρείτε το σηµείο Μ της C που απέχει από το σηµείο Α τη µικρότερη απόσταση. ii) Να αποδείξετε ότι η εφαπτοµένη της C στο Μ είναι κάθετη στην ΑΜ. i) Πεδίο ορισµού D = [0, + ), ενώ παραγωγίζεται στο (0, + ) Έστω Λ(, ) το τυχαίο σηµείο της C. Τότε (ΛΑ ) = ( 9 ) = = + ( 0 ) Έτσι ορίζεται η συνάρτηση g() = g () = , 0, που εκφράζει το (ΛΑ ) Το πρόσηµο της g, η µονοτονία της g και τα ακρότατα παρουσιάζονται στον 0 + g () 0 + g() ց ր ελάχιστο To ελάχιστο της g, άρα και του (ΛΑ ), άρα και του (ΛΑ) συµβαίνει για =. Εποµένως το ζητούµενο σηµείο είναι το Μ(, ), δηλαδή το Μ(, ) ii) Έστω ε η εφαπτοµένη της Τότε λ ε = () Αλλά () = λ = A M Εποµένως 0 9 λε = = C στο Μ () = =, οπότε ε λ = λ = ( ) = ε ΑΜ A M
22 9. Όπως γνωρίζουµε, ο στίβος του κλασσικού αθλητισµού αποτελείται από ένα ορθογώνιο και δύο ηµικύκλια. Αν η περίµετρος του στίβου είναι 00 m, να βρείτε τις διαστάσεις του, ώστε το εµβαδόν του ορθογωνίου µέρους να γίνει µέγιστο. Έστω και y οι διαστάσεις του ορθογωνίου. Το µήκος των δύο ηµικυκλίων είναι π, άρα π + y = 00 E() = (00 π) E() = π + 00, 0 < < 00 π E () = π +00 y = 00 π Το πρόσηµο της E, η µονοτονία της E και τα ακρότατα παρουσιάζονται στον E() 0 00 π E () + 0 E() ր ց + Το εµβαδόν Ε() γίνεται µέγιστο, όταν = 00 π, οπότε y = 00 π 00 π µέγιστο = = 00
23 0. Η ναύλωση µιας κρουαζιέρας απαιτεί τη συµµετοχή τουλάχιστον 00 ατόµων. Αν δηλώσουν ακριβώς 00 άτοµα, το αντίτιµο ανέρχεται σε 000 το άτοµο. Για κάθε επιπλέον άτοµο το αντίτιµο ανά άτοµο µειώνεται κατά 5. Πόσα άτοµα πρέπει να δηλώσουν συµµετοχή, ώστε να έχουµε τα περισσότερα έσοδα; Έστω 00 το πλήθος των ατόµων που δηλώνουν συµµετοχή. Τα επί πλέον των 00 άτοµα είναι 00. Η έκπτωση ανά άτοµο είναι ( 00)5 Άρα, κάθε άτοµο θα πληρώσει 000 ( 00)5 = = Τα έσοδα θα είναι Ε() = (500 5) = Το πρόσηµο της E και η µονοτονία της Ε παρουσιάζονται στον πίνακα που ακολουθεί Ε () + 0 Ε () ր ma ց Άρα, θα έχουµε τα περισσότερα έσοδα, όταν δηλώσουν συµµετοχή 50 άτοµα.
24 . Έστω Ε το εµβαδόν του κυκλικού δακτυλίου του διπλανού σχήµατος. Υποθέτουµε ότι, τη χρονική στιγµή t = 0 είναι r = 5 cm και r ότι για t > 0 η ακτίνα r αυξάνεται µε σταθερό ρυθµό 0,05 cm/sec, ενώ η ακτίνα µε σταθερό ρυθµό 0,0 cm/sec. Να βρείτε : i) πότε θα µηδενιστεί το εµβαδόν του κυκλικού δακτυλίου και ii) πότε θα µεγιστοποιηθεί το εµβαδόν του κυκλικού δακτυλίου. Έστω r r (t) οι συναρτήσεις που εκφράζουν τις ακτίνες και Ε(t) το εµβαδόν του κυκλικού δακτυλίου. ίνονται r r (0) = 5 r i) r (t) = 0,05, r (t) = 0,0 Ε(t) = π r (t) π r (t) Ε(t) = 0 π r (t) π r (t) = 0 r (t) r (t) = r (t) = 0 r (t) r (t) = r (t) () r (t) = 0,05 r (t) = (0,05t) r (t) = 0,05 t + c Η () 0,05 t + = 0,0 t + 5 0,0 t = t = 00 ii) Ε(t) = π r (t) π r (t) για t = 0 είναι r (0) = 0, c, δηλαδή = c εποµένως r (t) = 0,05 t + () Οµοίως r (t) = 0,0 t + 5 () Ε (t) = π r (t) r (t) π r (t) r (t) = π (0,0 t + 5) 0,0 π (0,05 t + ) 0,05 = π [0,006 t + 0,0 0,005 t 0,05] = π [ 0,0009 t + 0,005] Το πρόσηµο της E και η µονοτονία της Ε παρουσιάζονται στον πίνακα t 0 55,6 + Ε (t) + 0 Ε (t) ր ma ց Άρα, το εµβαδόν του κυκλικού δακτυλίου θα µεγιστοποιηθεί όταν t 55,6
25 5. Θέλουµε να κατασκευάσουµε ένα κανάλι του οποίου η κάθε διατοµή ΑΒΓ φαίνεται στο διπλανό σχήµα. i) Να αποδείξετε ότι το εµβαδόν της διατοµής ΑΒΓ είναι ίσο µε Ε = ηµθ( + συνθ) ii) Για ποια τιµή του θ το εµβαδόν της κάθετης διατοµής µεγιστοποιείται; i) Φέρνουµε τα ύψη Κ, ΓΛ του ισοσκελούς τραπεζίου ΑΒΓ. Κ = ηµθ ΑΚ = ΒΛ = συνθ Γ = ΚΛ = ΚΑ + ΑΒ + ΒΛ = συνθ + + συνθ = συνθ + Ε(θ) = (ΑΒ + Γ ) Κ = ( + συνθ + ) ηµθ = ηµθ( + συνθ) ii) Ε (θ) = [συνθ ( + συνθ) + ηµθ ( ηµθ) ] = [συνθ + συν θ ηµ θ] = [συνθ + συν θ ( συν θ) ] = [συνθ + συν θ + συν θ ] = [ συν θ + συνθ ] ιακρίνουσα = + 8 = 9 συνθ = ± 9 = ± = ή Δ Κ Δ m θ θ m Α Α m m B m B θ θ Λ Γ m και επειδή θ οξεία, θα είναι συνθ = άρα θ = π Το πρόσηµο της E και η µονοτονία της Ε παρουσιάζονται στον πίνακα που ακολουθεί θ 0 π/ + Ε (θ) + 0 Ε (θ) ր ma ց Άρα, το εµβαδόν της κάθετης διατοµής µεγιστοποιείται όταν θ = π Γ
26 6. Ένας κολυµβητής Κ βρίσκεται στη θάλασσα 00 t µακριά από το πλησιέστερο σηµείο Α µιας ευθύγραµµης ακτής, ενώ το σπίτι του Σ βρίσκεται 00 t µακριά από το σηµείο Α. Κ 00 t Α Μ Σ 00 t Υποθέτουµε ότι ο κολυµβητής µπορεί να κολυµπήσει µε ταχύτητα t/s και να τρέξει στην ακτή µε ταχύτητα 5 t/s. i) Να αποδείξετε ότι για να διανύσει τη διαδροµή ΚΜΣ του διπλανού σχήµατος ii) i) χρειάζεται χρόνο Τ() = + 5 Για ποια τιµή του ο κολυµβητής θα χρειαστεί το λιγότερο δυνατό χρόνο για να φθάσει στο σπίτι του; Πυθαγόρειο στο τρίγωνο ΑΚΜ : ΚΜ = Άρα Τ() = Τ ΚΜ + Τ ΜΣ = Χρόνος Χρόνος ii) Τ () = Τ () = Τ ΚΜ = Τ ΜΣ = 00 + διάστηµα ταχύτητα = 00 + διάστηµα ταχύτητα = διάστηµα ταχύτητα = = = 0 5 = = 9 ( 00 + ) 5 = , 0< <00 6 = =. 00 = 00 = 75 t Το πρόσηµο της Τ, η µονοτονία της Τ και τα ακρότατα παρουσιάζονται στον T () 0 + T () ց min ր Άρα, ο ζητούµενος ελάχιστος χρόνος συµβαίνει όταν = 75 t.
27 7. Ένας εργολάβος επιθυµεί να χτίσει ένα σπίτι στο δρόµο που συνδέει δύο εργοστάσια E, Ε Σ - Ε E, τα οποία βρίσκονται σε απόσταση km και εκπέµπουν καπνό µε παροχές Ρ και 8Ρ αντιστοίχως. Αν η πυκνότητα του καπνού σε µια απόσταση d από ένα τέτοιο εργοστάσιο είναι ανάλογη της παροχής καπνού του εργοστασίου και αντιστρόφως ανάλογη του τετραγώνου της απόστασης d, να βρείτε σε ποια απόσταση από το εργοστάσιο E πρέπει ο εργολάβος να χτίσει το σπίτι για να έχει τη λιγότερη δυνατή ρύπανση. (Παροχή καπνού µιας καπνοδόχου ενός εργοστασίου λέγεται η ποσότητα του καπνού που εκπέµπεται από την καπνοδόχο στη µονάδα του χρόνου). Έστω ρ () η συνάρτηση που εκφράζει την πυκνότητα του καπνού από το E και ρ () αντίστοιχα από το E. Θα είναι ρ () = cp Άρα ρ () = cp + c8p ( ) ρ () = cρ ( ) = cρ και ρ () = c8p ( ) = cρ, όπου c σταθερά + c8ρ ( ), 0 < < + c8ρ ( ) ( ) ( ) + 6cρ ( ) ρ () = 0 cρ + 6cρ ( ) = 0 8 ( ) = 0 = ( ) = ( ) ( ) = ( ) = = = Το πρόσηµο της ρ, η µονοτονία της ρ και τα ακρότατα παρουσιάζονται στον 0 ρ () 0 + ρ () ց min ր Άρα, ο εργολάβος πρέπει να χτίσει το σπίτι σε απόσταση km από το εργοστάσιο E.
2.7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 45 Πότε μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α παρουσιάζει στο τοπικό μέγιστο και πότε τοπικό ελάχιστο ; (, 5) Απάντηση : α) Μια συνάρτηση, με πεδίο
και είναι παραγωγισιμη στο σημειο αυτό, τότε : f ( x 0
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο 7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (Θεώρημα Frmat) Εστω μια συναρτηση ορισμενη σ ένα διαστημα Δ και ένα εσωτερικο σημειο του Δ Αν η παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο
1.4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ
1 1. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Θεώρηµα γνησίως αύξουσας Αν µία συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη σ ένα διάστηµα και για κάθε εσωτερικό σηµείο του ισχύει f () > 0 τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο.
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 4 o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Σ 0. Σ 9. Λ. Λ. Σ 40. Σ. Σ. Σ 4. Λ 4. Λ. Σ 4. Σ 5. Σ 4. Σ 4. Λ 6. Σ 5. Λ 44.
1.1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. 1. Ορισµός. 2. Συµβολισµός. 3. Επεξήγηση συµβόλων. 4. Γραφική παράσταση της συνάρτησης f : A R
. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Ονοµάζουµε συνάρτηση µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου συνόλου Β. Σηµείωση: Στο εξής θα είναι Α R και
Γενικές ασκήσεις σχ. Βιβλίου σελίδας
Γενικές ασκήσεις σχ. Βιβλίου σελίδας 9 94 Γ οµάδας. Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f() και g() +, (0, + ) έχουν κοινή εφαπτοµένη στο σηµείο Α(, ) Να βρείτε τη σχετική θέση των
Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμοί. Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι παρουσιάζει στο o Α τοπικό μέγιστο, όταν υπάρχει δ > 0, τέτοιο ώστε f () f( o ) για κάθε A ( o δ, o δ ), όπου Α το πεδίο ορισμού της f. Το o λέγεται
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Τάξης Γενικού Λυκείου Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας & Πληροφορικής
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Τάξης Γενικού Λυκείου Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας & Πληροφορικής Β ΜΈΡΟΣ Τόμος 4ος ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΧΙΚΗΣ ΕΚΔΟΣΗΣ ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ Ανδρεαδάκης Στυλιανός Καθηγητής Παν/μίου
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Η διαδικασία, µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο
ΜΑΘΗΜΑ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ Θ.Μ.Τ Μονοτονία συνάρτησης Ασκήσεις Εξισώσεις Θεωρητικές Συνέχεια του µαθήµατος 31. e 3 = 0. e + e 3, x R.
ΜΑΘΗΜΑ.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ Θ.Μ.Τ Μονοτονία συνάρτησης Ασκήσεις Εξισώσεις Θεωρητικές Συνέχεια του µαθήµατος ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να λύσετε την εξίσωση Η εξίσωση γράφεται e + e e 0 Προφανής ρίζα Θεωρούµε τη συνάρτηση f()
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008
-6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8.doc ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΘΕΜΑ ο Έστω, α,β, α β και ν α i = βi () β αi α) Να αποδείξετε ότι ο δεν είναι
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ
www.apodeiis.gr ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ 1 1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: 1 i. ii. 1. Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων: i. 1 1 ii. ln. Δίνεται η συνάρτηση g, i. Να αποδείξετε
Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο 1ο Ανάλυση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ
Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο ο Ανάλυση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Η διαδικασία, με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Ερώτηση θεωρίας Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και c είναι μια πραγματική σταθερά, να δείξετε ότι: ( c f( )) = c f ( ),. Έστω F( )
Κεφάλαιο 2ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ
Κεφάλαιο ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟ ΟΓΙΜΟ ο ΜΕΡΟ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό - άθος» 1. * Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο R και f (α) f (β), α, β R, α < β, τότε ισχύει f () για κάθε (α, β).. * Αν η συνάρτηση f
1.4. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας A ΟΜΑ ΑΣ. Να βρείτε τα ακρότατα των συναρτήσεων i) f(x) = x 2x ii) f(x) = 3 x iii) f(x) = x 2x + 4
.4 Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 45 47 A ΟΜΑ ΑΣ. Να βρείτε τα ακρότατα των συναρτήσεων i) f() ii) f() + 6 iii) f() i) Πεδίο ορισµού είναι το R f () f () 0 0 f () > 0 > 0 > > + 4 Το πρόσηµο της f και η µονοτονία
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2019 ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΟ ο ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΜΕΝΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 9 ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 5/4/9 ΘΕΜΑ Α Α. Θεωρία-Ορισμός,σχολικού
Διαφορικός Λογισμός. Κεφάλαιο Συναρτήσεις. Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση;
Κεφάλαιο 1 Διαφορικός Λογισμός 1.1 Συναρτήσεις Κατανόηση εννοιών - Θεωρία 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση; 2. Πως ορίζονται οι πράξεις της πρόσθεσης, της διαφοράς, του γινομένου και του πηλίκου μεταξύ δύο συναρτήσεων;
Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [ <
Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το ο Γενικό Λύκειο Χανίων [00-0 < Mathematica.gr], τον οποίο κι ευχαριστώ ιδιαίτερα για το ήθος
6 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 51.
ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 6 η ΕΚΑ Α 5. ίνεται η συνάρτηση ln, αν > 0 f () 0, αν 0 Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο 0 i Να µελετήσετε την f ως προς την µονοτονία και τα ακρότατα και να βρείτε το σύνολο τιµών
ΜΑΘΗΜΑ ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ Κοίλα κυρτά συνάρτησης Σηµεία καµπής Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις
1 ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑ 4.8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ Κοίλα κυρτά συνάρτησης Σηµεία καµπής Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις 1. Ορισµός Έστω συνεχής σε διάστηµα και παραγωγίσιµη στο εσωτερικό του. Θα λέµε ότι η στρέφει
ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. οι f, g είναι συνεχείς στο και f (x) = g (x) για κάθε εσωτερικό σηµείο του, ÏÅÖÅ
Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 8 ΘΕΜΑ ο Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α. α. Έστω δυο συναρτήσεις f, g ορισµένες σε ένα διάστηµα. Αν οι f, g είναι συνεχείς στο και f () g ()
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. f3 x = και
7 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση
ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Β ΦΑΣΗ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 6 ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ / ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Μ. Τετάρτη 7 Απριλίου 6 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες
ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x )
() Μονοτονία ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( ) και βρίσκω το πρόσηµό της ii) Αν προκύψει να είναι αύξουσα ή φθίνουσα,
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Β ΦΑΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. lim = 0. Βλέπε σελίδα 171 σχολικού. σχολικού βιβλίου.
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 6 ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ / ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Μ. Τετάρτη 7 Απριλίου 6 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Ερώτηση θεωρίας Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και c είναι μια πραγματική σταθερά, να δείξετε ότι: ( c f) = c f, Έστω F = c f Έχουμε
f( ) + f( ) + f( ) + f( ). 4 γ) υπάρχει x 2 (0, 1), ώστε η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της
ΘΕΜΑΤΑ. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο κλειστό διάστηµα [, ] και ισχύει f () > για κάθε (, ). Αν f() και f(), να δείξετε ότι: α. η ευθεία y τέµνει τη γραφική παράσταση της f σ' ένα ακριβώς σηµείο
ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ
5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση
1. Η διαδικασία, με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο ενός άλλου συνόλου Β είναι συνάρτηση.
Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Ανάλυση o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». Η διαδικασία, με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο ενός άλλου συνόλου
Πανελλήνιες Εξετάσεις Ημερήσιων Γενικών Λυκείων. Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Προσανατολισμού, Θετικών & Οικονομικών Σπουδών
Πανελλήνιες Εξετάσεις Ημερήσιων Γενικών Λυκείων Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Προσανατολισμού, Θετικών & Οικονομικών Σπουδών Ημερομηνία: Ιουνίου 08 Απαντήσεις Θεμάτων Θέμα Α Α.. Θεωρία σχολικού βιβλίου,
Διαγώνισμα Προσομοίωσης Εξετάσεων 2017
Ένα διαγώνισμα προετοιμασίας για τους μαθητές της Γ Λυκείου στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Διαγώνισμα Προσομοίωσης Εξετάσεων 7 Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κων/νος Παπασταματίου Μαθηματικός Φροντιστήριο
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Β ΦΑΣΗ Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ / ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 6 Ε_3.Μλ3ΘΟ(ε) ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ / ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ηµεροµηνία: Μ. Τετάρτη 7 Απριλίου 6 ιάρκεια Εξέτασης:
o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση
010-011 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη Μαθηματικά Γενικής Παιδείας γ Ασκήσεις για λύση Επιμέλεια: Μ. Ι. Παπαγρηγοράκης http://users.sch.gr/mipapagr Γ Λυκείου Μαθηματικά Γενικής Παιδείας ΚΕΦ1 1 Δίνεται
4.2 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y = αx 2 + βx + γ µε α 0
1. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y = α + + γ µε α 0 ΘΕΩΡΙΑ 1. Τετραγωνική συνάρτηση : Ονοµάζεται κάθε συνάρτηση της µορφής y = α + + γ, α 0. Γραφική παράσταση της συνάρτησης y = α + + γ, α 0 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης
ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση.
1ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου
Θέμα Α ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Α Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα
0 ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο x
wwwaskisopolisgr ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΚΑΙ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 5 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 7 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Θέμα Α ΑΈστω μια συνάρτηση
2.2. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας. e = 2. e, x ο. e f ( ln 2 ) = όταν : 4
. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 7 9 A Οµάδας. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης στο σηµείο ο όταν : i) ( ), ο ii) ( ), ο 9 iii) ( ) συν, v) ( ) ο 6 π e, ο ln iv) ( ) ln, ο e i) Για κάθε R είναι
f ( x) x EΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Συναρτήσεις ( ) 1. Έστω συνάρτηση f γνησίως αύξουσα στο R τέτοια ώστε να ισχύει
Συναρτήσεις Έστω συνάρτηση γνησίως αύξουσα στο R τέτοια ώστε να ισχύει Να δείξετε ότι (), για κάθε R ( ) +, για κάθε R Έστω συνάρτηση µε πεδίο ορισµού και σύνολο τιµών το R και τέτοια ώστε ( ) ( ) e +,
6.2 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
1 6. ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Οι συντεταγµένες σηµείου Ο Ο άξονας τετµηµένων άξονας τεταγµένων (ΟΚ) µε πρόσηµο = α, η τετµηµένη του Μ (ΟΛ) µε πρόσηµο = β, η τεταγµένη του Μ Το ζευγάρι (α,
= x + στο σηµείο της που
Ασκήσεις στην εφαπτοµένη καµπύλης 1. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f ( ) = + στο σηµείο της που έχει τετµηµένη.. Σε ποια σηµεία της γραφικής παράστασης της
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 36 Κεφάλαιο 3ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Σ. Σ 4. Λ. Λ 3. Λ 4. Λ 3. Σ 4. Σ 43. Σ 4. Λ 5. Σ 44. Σ 5. Σ 6. Σ 45. Λ 6.
Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. και η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x. την παράγωγο f' ( x. 0 ) (ή και στιγμιαίο ρυθμό μεταβολής).
Ρυθμός μεταβολής Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ i Αν δύο μεταβλητά μεγέθη x, y συνδέονται με τη σχέση y = f( x) και η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το
1. ** Να βρεθεί το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ορίζεται καθεµιά από τις παρακάτω συναρτήσεις: , x [0, 2π] εφx -1
Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Να βρεθεί το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ορίζεται καθεµιά από τις παρακάτω συναρτήσεις: α) f () = ( -) 4 - + β) f () = - - + 3 4 - - γ) f () = δ) f () = - + - - 5-3
Ερωτήσεις κατανόησης σελίδας Κεφ. 1
Ερωτήσεις κατανόησης σελίδας 50 5 Κεφ.. Ο όγκος του διπλανού ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου εκφράζεται µε τη συνάρτηση V() = ( )( ). Το πεδίο ορισµού της συνάρτησης αυτής είναι το διάστηµα : A. [0, + ] B.
Παράγωγοι. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΕΠΑΛ Κεφάλαιο ασκήσεις σε 19 σελίδες. εκδόσεις. Καλό πήξιμο / 1 1 /
Παράγωγοι Κώστας Γλυκός ΕΠΑΛ Κεφάλαιο 59 ασκήσεις σε 9 σελίδες 6 9 7. 0 0. 8 8. 8 8 εκδόσεις / / 0 8 Καλό πήξιμο Τα πάντα για παραγώγους (ΕΠΑΛ) Να βρεις τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων :. f ( ) 9. f(
1. ** Αν F είναι µια παράγουσα της f στο R, τότε να αποδείξετε ότι και η
Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Αν F είναι µια παράγουσα της f στο R, τότε να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση G () = F (α + β) είναι µια παράγουσα της h () = f (α + β), α α στο R. β + γ α+ γ. ** α) Να δείξετε ότι
Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής
Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. * Το θεώρηµα µέσης τιµής του διαφορικού λογισµού για κάθε α, β R και τη συνάρτηση f () = e εξασφαλίζει την ύπαρξη ενός αριθµού κ R, ώστε να ισχύει Α. e α-β = e κ (α - β) Β.
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Usus est magister optimus (η χρήση είναι ο καλύτερο δάσκαλο ) y M(,f()) C f A( 0,f( 0 )) M ε O 0 (α) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΠΑΠΠΑΣ
5o Φύλλο Ασκήσεων. Γενικής Παιδείας. ΑΣΚΗΣΗ 1η. ΑΣΚΗΣΗ 2η. Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας και τα ακρότατα των συναρτήσεων :
ΛΥΚΕΙΟ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Κ E Φ Α Λ Α Ι Ο Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ 1ο Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ ΤΡΙΜΗΣ ΠΑΝΤΕΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Γενικής Παιδείας 5o Φύλλο Ασκήσεων ΑΣΚΗΣΗ 1η Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας
ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ
Ενότητα 1 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Ασκήσεις για λύση 3 3, < 1). Δίνεται η συνάρτηση f ( ). 6, Να βρείτε : i ) την παράγωγο της f, ii) τα κρίσιμα σημεία της f. ). Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία
ΗΡΑΚΛΕΙΤΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΤΟΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β') ΔΕΥΤΕΡΑ 28 ΜΑΪΟΥ 2012
ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β') ΔΕΥΤΕΡΑ 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ
Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Τελική Επανάληψη
Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Τελική Επανάληψη e d g h g h Εκφωνήσεις 65, 6 Δίνονται η συνάρτηση και η σχέση g, 8 α) Να βρεθούν οι τιμές του πραγματικού αριθμού λ ώστε η συνάρτηση να έχει πεδίο
ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1.
Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1.Δίνεται η συνάρτηση f()= 4 1 α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; β) Αν χ=, ποια είναι η τιμή της f; γ) Αν f()=1, ποια είναι
2.8. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας. 1.i)
1.8 Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 77 79 A Οµάδας 1.i) Να βρείτε τα διαστήµατα στα οποία η συνάρτηση () 5 5 4 + είναι κυρτή ή κοίλη και να προσδιορίσετε (αν υπάρχουν) τα σηµεία καµπής της γραφικής της
Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ
Παρουσίαση ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση η Κάθετες συνιστώσες διανύσµατος Παράδειγµα Θα αναλύσουµε το διάνυσµα v (, ) σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη στο α (3,) Πραγµατικά
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΘΕΜΑ ο : Έστω, C με Re( ) και Re( ) Αν f() ( )( )( )( ) και
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ÏÅÖÅ. x και f ( x ) >, τότε f ( ) 0
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε. 3 ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέµα ο Α. α) Έστω η συνάρτηση ( ) στο R και ισχύει: f '( ) ηµ f = συν. Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιµη
ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ
Ενότητα 17 ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Ασκήσεις για λύση 1. Σε ένα ορθογώνιο ΑΒΓΔ η πλευρά ΑΒ αυξάνεται με ρυθμό cm / s, ενώ η πλευρά ΒΓ ελαττώνεται με ρυθμό 3 cm / s. Να βρεθούν: i) ο ρυθμός μεταβολής
Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας. 1.i) 1.ii) 1.iii) 1.iv) Ποιο είναι το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f(x) = ln(1.
.. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 45 48 A Οµάδας.i) Ποιο είναι το πεδίο ορισµού της συνάρτησης () + 3+ Οι ρίζες του τριωνύµου 3 + είναι και. Πρέπει 3 + 0 και Άρα D (, ) (, ) (, + ).ii) Ποιο είναι το
, όταν f είναι μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο x. 0, τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το x στο σημείο x. 0 την παράγωγο f ( x 0
ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ : Αν δυο μεταβλητά μεγέθη, y συνδέονται με τη σχέση y f (, όταν f είναι μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο, τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το στο σημείο την παράγωγο
Κεφάλαιο 3ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ
Κεφάλαιο 3ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟ ΟΓΙΜΟ ο ΜΕΡΟ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό - άθος». * Αν µια συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστηµα [α, β], παραγωγίσιµη στο διάστηµα (α, β) και f (α) = f (β), τότε υπάρχει τουλάχιστον
7 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 61. Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιµη στο R, τέτοια ώστε. (e + 1)dt = x 1
ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 7 η ΕΚΑ Α 6. Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιµη στο R, τέτοια ώστε t (e + )dt για κάθε R Για δυνατούς παίκτες i) είξτε ότι e f() + f() ii) είξτε ότι η f αντιστρέφεται και βρείτε την f iii)
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Δευτέρα 11 Ιουνίου 2018 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Δευτέρα Ιουνίου 08 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (Ενδεικτικές Απαντήσεις) ΘΕΜΑ Α Α Απόδειξη θεωρήματος σελ 99 σχολικού βιβλίου
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΘΕΜΑ ο : Έστω, C με Re( ) και Re( ) Αν f() ( )( )( )( ) και
2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης
1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 11. Σε κάθε τρίγωνο να αποδείξετε ότι το τετράγωνο µιας πλευράς που βρίσκεται απέναντι από οξεία γωνία, ισούται µε το άθροισµα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών ελαττωµένο
ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή 7 Απριλίου 4 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες Α. Να αποδείξετε
2.7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
.7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ I. Αν μια συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό ακρότατο σε ένα εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού της και είναι παραγωγισιμη σε αυτό τότε ( ).(Θεώρημα Fermat) II.
1o. Θ Ε Μ Α Β Ε. Γ Κ Ο Ρ Α. βρίσκεται ολόκληρη μέσα στο τετράγωνο ΑΒΓΔ.
o. Θ Ε Μ Α Β Ε. Γ Κ Ο Ρ Α Δίνεται τετράγωνο με κορυφές τα σημεία Α,, Β,, Γ, και Δ, και μία συνεχής στο, συνάρτηση της οποίας η γραφική παράσταση βρίσκεται ολόκληρη μέσα στο τετράγωνο ΑΒΓΔ. B. Nα βρείτε
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΘΕΜΑ ο Έστω, α,β, α β και ν α + + i = βi () β + αi α) Να αποδείξετε ότι ο δεν είναι πραγµατικός αριθµός. β) Να αποδείξετε
( ) ( ) ɶ = = α = + + = = z1 z2 = = Οπότε. Έχουµε. ii) γ) 1ος Τρόπος. Οπότε Ελάχιστη απόσταση είναι:
ΘΕΜΑ ο Γ' ΤΑΞΗ ΓΕΝΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α Έστω f µία συνεχής συνάρτηση σ ένα διάστηµα [α, β] Αν G είναι µία β παράγουσα της f στο [α, β], τότε f ( t) dt = G( β )
2. ** ίνεται η συνάρτηση f (x) = logx. α) Να εξετάσετε αν ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήµατος µέσης τιµής στο [1, 20] για τη συνάρτηση f.
Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Έστω µια συνάρτηση f παραγωγίσιµη στο R, η οποία έχει δύο τουλάχιστον ρίζες. α) Να αποδείξετε ότι µεταξύ δύο ριζών της f περιέχεται τουλάχιστον µια ρίζα της f. β) Αν η f έχει δύο
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. f x > κοντά στο x0.
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε. 3 Θέµα ο ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ B. α) Λάθος διότι η f είναι «-» που σηµαίνει δεν είναι πάντα γνησίως µονότονη. β) Σωστό διότι
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 94 Κεφάλαιο ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ o ΜΕΡΟΣ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Λ 4. Λ 43. Λ. Σ 5. Λ 44. Σ 3. Λ 6. Λ 45. α) Σ 4. Σ 7. Λ β) Λ 5. Σ 8. Σ
( x) β ], παρουσιάζει ελάχιστη τιµή α, δηλαδή υπάρχει. ξ µε g( ξ ) = 0. Το ξ είναι ρίζα της δοσµένης εξίσωσης.
. Έστω συνάρτηση f, δύο φορές παραγωγίσιµη στο R, µε συνεχή δεύτερη παράγωγο και σύνολο τιµών το διάστηµα [, ] a β, όπου a< < β. Να αποδείξετε ότι: i) υπάρχουν δύο τουλάχιστον σηµεία,, µε, ώστε f ( ) =
ΜΑΘΗΜΑ 47 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 η ΕΚΑ Α
ΜΑΘΗΜΑ 47 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 η ΕΚΑ Α Όχι βιαστικά, όχι αργά. Στο ρυθµό σου.. Έστω συνάρτηση f ορισµένη στο R µε συνεχή δεύτερη παράγωγο που ικανοποιεί τις σχέσεις f() f () και f ()f() + (f ()) f()f ()
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ 000 ΘΕΜΑ ο Α.α) Δίνεται η συνάρτηση F f g αποδείξετε ότι: F f g. cf,. Αν οι συναρτήσεις
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2017 Β ΦΑΣΗ Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ / ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7 Ε_3.Μλ3ΘΟ(ε) ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ / ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ηµεροµηνία: Τετάρτη 9 Απριλίου 7 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ & ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
5 Σεπτεμβρίου 7 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ & ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απαντήσεις Θεμάτων Επαναληπτικών Πανελλαδικών Εξετάσεων Ημερησίων και Εσπερινών Γενικών Λυκείων ΘΕΜΑ
2.4. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας
.4 Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 4 45 A Οµάδας. Μια σφαιρική µπάλα χιονιού αρχίζει να λειώνει. Η ακτίνα της, που ελαττώνεται δίνεται σε cm από τον τύπο r = 4 t, όπου t ο χρόνος σε sec. Να βρείτε το
lim lim ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1. Tι ορίζουμε ως εφαπτομένης της C f στο σημείο της A x, f ( )); Έστω f μια συνάρτηση και A x, f ( )) ένα σημείο της C
ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Tι ορίζουμε ως εφαπτομένης της C στο σημείο της A, ( ; ( Έστω μια συνάρτηση και A, ( ένα σημείο της C. Αν υπάρχει το ( ( ( lim και είναι ένας πραγματικός αριθμός λ, τότε ορίζουμε ως
0. Η ) λέγεται επιτάχυνση του κινητού τη χρονική στιγμή t 0 και συμβολίζεται με t ). Είναι δηλαδή : t ) v t ) S t ).
Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ 8 ΟΡΙΣΜΟΣ Τι λέμε ρυθμό μεταβολής του μεγέθους y ως προς το μέγεθος για, αν y f( είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση ; Απάντηση : Αν δύο μεταβλητά μεγέθη, y συνδέονται
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β. 0και 4 x 3 0.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. IΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ [Ενότητα
ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. σε µια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρµοσµένα στις επιταγές του ΝΤ MΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΓΕΝΩΝ 05 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ
ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε µια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρµοσµένα στις επιταγές του ΝΤ (IMF: 4o µεσοπρόθεσµο.) ( WWF:.εξοικονόµηση πόρων.) MΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΓΕΝΩΝ 5 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΓΕΝΩΝ 7 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ...
Συνοπτική θεωρία - Τι να προσέχουμε Ασκήσεις Θέματα από Πανελλαδικές. γ) g( x) e 2. ln( x 1) 3. x x. ζ) ( x) ln(9 x2) ια) ( ) ln x 1
Κεφ ο : Διαφορικός Λογισμός Συνοπτική θεωρία - Τι να προσέχουμε Θέματα από Πανελλαδικές Α Πεδίο ορισμού συνάρτησης (Περιορισμούς για το χ ) Όταν έχουμε κλάσμα πρέπει : παρονομαστής 0 Όταν έχουμε ρίζα πρέπει
1. ** α) Αν η f είναι δυο φορές παραγωγίσιµη συνάρτηση, να αποδείξετε ότι. β α. = [f (x) ηµx] - [f (x) συνx] β α. ( )
Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** α) Αν η f είναι δυο φορές παραγωγίσιµη συνάρτηση, να αποδείξετε ότι β ( f () f () ) + α ηµ d β α = [f () ηµ] - [f () συν] β α. ( ) β) Αν f () = ηµ, να αποδείξετε ότι f () + f ()
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. Γ. Το µέτρο της διαφοράς δύο µιγαδικών αριθµών είναι ίσο µε την απόσταση των εικόνων τους στο µιγαδικό επίπεδο.
ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΠΕΜΠΤΗ 6 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 4 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ) ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ:
ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Α) Έστω η συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής στο διάστημα [α,β] με f(α) f(β). Να αποδείξετε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των f(α) και
Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α
ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση f παραγωγίσιµη σ ένα διάστηµα (α, β), µε εξαίρεση ίσως ένα σηµείο του, στο
lim είναι πραγµατικοί αριθµοί, τότε η f είναι συνεχής στο x 0. β) Να εξετάσετε τη συνέχεια της συνάρτησης f (x) =
Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** α) Να αποδείξετε ότι αν τα όρια lim - f () - f - είναι πραγµατικοί αριθµοί, τότε η f είναι συνεχής στο. ( ) και β) Να εξετάσετε τη συνέχεια της συνάρτησης f () = lim + στο σηµείο
ΛΥΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΘΕΜΑ A Α1. Θεωρία : Σχολικό βιβλίο σελίδα 225 Α2. Θεωρία : Σχολικό βιβλίο σελίδα 303 Α3. α. Λ, β. Σ, γ. Σ, δ.σ, ε.
ΛΥΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΘΕΜΑ A Α. Θεωρία : Σχολικό βιβλίο σελίδα 5 Α. Θεωρία : Σχολικό βιβλίο σελίδα 33 Α3. α. Λ, β. Σ, γ. Σ, δ.σ, ε. Λ ΘΕΜΑ Β Β. Έστω z = + yi z i = + Im(z) + yi i = + y + (y ) = + y + y
Παράγωγοι. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΕΠΑΛ Κεφάλαιο ασκήσεις σε 19 σελίδες. εκδόσεις. Καλό πήξιμο / 1 1 /
Παράγωγοι Κώστας Γλυκός ΕΠΑΛ Κεφάλαιο 59 ασκήσεις σε 9 σελίδες 6 9 7. 0 0. 8 8. 8 8 εκδόσεις / / 0 8 Καλό πήξιμο τηλ. Οικίας : 0-60.78 κινητό : 697-00.88.88 Τα πάντα για παραγώγους (ΕΠΑΛ) Να βρεις τα πεδία
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ
Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ.Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: ( ) 6+ 9, g ( ), h ( ) 5 +, k
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ o A. Έστω f µια συνεχής συνάρτηση σ' ένα διάστηµα [α, ]. Αν G είναι µια παράγουσα της f στο [α, ], τότε να δείξετε ότι f(t)
ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï
ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 Ε_3.Μλ3ΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΥΛΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ:ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΥΛΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ:ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΘΕΜΑ Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. lim f(x) έχουμε P(x) 2x (1 ). Επειδή. lim ( 2x )
ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α Σχολικό βιβλίο σελίδα 86 Α Σχολικό βιβλίο σελίδα 4 Α i γ) ii δ) Α4 α) Συνεχής,, f( ) β) Υπάρχει το f '() lim g'(), θετικό,,, γ),, Α5 i A ii Έστω P()
Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. iv) f(x)= v) f(x)= ln(x 2-4) vi) f(x) =, v) f(x) = 6 x 5. vi) vii) f(x) = ln(x 2-2) viii) f(x) = lnx 2.
Ερωτήσεις ανάπτυξης Β. Να βρεθούν τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων: 5 4 i) f() = ii) f()= iii) f()= iv) f()= ln( ) e v) f()= ln( -4) 4 4 vi) f() =, 5. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων f με τύπο:
********* Β ομάδα Κυρτότητα Σημεία καμπής*********
********* Β ομάδα Κυρτότητα Σημεία καμπής********* 5 Για την δύο φορές παραγωγίσιμη στο R συνάρτηση ισχύει: e για κάθε R. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της δεν παρουσιάζει σημείο καμπής. Υποθέτουμε