ΛΥΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΘΕΜΑ A Α1. Θεωρία : Σχολικό βιβλίο σελίδα 225 Α2. Θεωρία : Σχολικό βιβλίο σελίδα 303 Α3. α. Λ, β. Σ, γ. Σ, δ.σ, ε.

Transcript

1 ΛΥΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΘΕΜΑ A Α. Θεωρία : Σχολικό βιβλίο σελίδα 5 Α. Θεωρία : Σχολικό βιβλίο σελίδα 33 Α3. α. Λ, β. Σ, γ. Σ, δ.σ, ε. Λ ΘΕΜΑ Β Β. Έστω z = + yi z i = + Im(z) + yi i = + y + (y ) = + y + y y + = + y + y και y = y Β. Έστω w = + yi w( w + 3i) = i (3 w + i) w w +3iw = 3i w + i + y + 3i( + yi) = 3i( yi) + y + 3i 3 3i + 3y + y 6y + = Επειδή Α +Β Γ = + 36 = 3 >, η είσωση + y 6y + = Α Β παριστάνει κύκλο µε κέντρο Κ, = Κ (, 3) Β3. και ακτίνα ρ = 3 = Λύνουµε το σύστηµα y = + y 6y+ = y+ y 6y+ = y y+ = y = και = ±. Εποµένως Α(, ) και Β(, ) (y ) =

2 B. (KA) = ( ) + ( 3) = 8 = Οµοίως βρίσκουµε ότι (ΚΒ) = και (ΑΒ) = Επειδή (ΚΑ) = (ΚΒ) το τρίγωνο ΚΑΒ είναι ισοσκελές και εφ όσον (ΚΑ) +(ΚΒ) = 8+ 8 =6 = (ΑΒ), το τρίγωνο είναι και ορθογώνιο. Β(-,) Γ y Κ(, 3) - Ο Λ Α(, ) Έστω Γ το µέσο του ΑΒ. Τότε Γ(, ). Έστω Λ το συµµετρικό του Κ ως προς κέντρο συµµετρίας το Γ. Τότε Λ(, ) και ΚΑΛΒ τετράγωνο και u = i y ΘΕΜΑ Γ f() =,, η καµπύλη σαν συνάρτηση = (t), t, η συνάρτηση που εκφράζει την τετµηµένη του Μ συναρτήσει του t µε (t) = 6 m/min, t Γ. (t) = 6 (t) = (6t) (t) = 6t + c () Τη χρονική στιγµή t = το κινητό βρίσκεται στην αρχή των αόνων, δηλαδή () =. Η () για t = δίνει () = 6. + c = c H () γίνεται (t) = 6t, t Γ. Ο παρατηρητής έχει οπτική επαφή µε το κινητό µέχρι το σηµείο Α(, y ) όπου η ΠΑ είναι εφαπτοµένη της καµπύλης. Εποµένως αρκεί να βρούµε την είσωση της εφαπτοµένης (ε) η οποία διέρχεται από το Π(, ). Είσωση της (ε) : y f( ) = f ( )( ) y = ( ) + Επειδή η (ε) διέρχεται από το Π(, ) θα έχουµε = Τότε f( ) = f() =, άρα Α (, ) Στο σηµείο Α το κινητό βρίσκεται µετά από χρόνο t τέτοιον ώστε = ο = (t) = 6t = t = Εποµένως η οπτική επαφή διαρκεί από την έναρη της κίνησης t = µέχρι και τη στιγµή t = min

3 3 Γ3. Η είσωση της εφαπτοµένης (ε) είναι + + Επειδή η εφαπτοµένη είναι ψηλότερα από την C f ( εκτός του σηµείου Α), η διαφορά + είναι, εποµένως το ζητούµενο εµβαδόν είναι Ε = + d = = 3 Γ. Έστω Μ(, ) = ( 6t, t ) τυχαίο σηµείο της καµπύλης Τότε g(t) = (ΠM) = ( 6t) + ( t) = 56t +6t 8 t + τετραγωνικές µονάδες. Πρέπει να αποδείουµε ότι η συνάρτηση g έχει ελάχιστο. Είναι g (t) = 5 t = 5 t + 6, < t t t g (t) = 5 + >, < t t t Άρα g γνησίως αύουσα στο, lim g (t) = lim 5t 6 + = + 6 (+ ) = t g = = = 36 Εποµένως, όταν t,, το σύνολο τιµών της g είναι το (, 36 ] στο οποίο περιέχεται το, άρα θα υπάρχει t ο, ώστε g (t ) =. g γν. αύουσα Όταν t < t g (t) < g (t ) = g γν. φθίνουσα στο (, t ] g γν. αύουσα Όταν t > t g (t) > g (t ) = g γν. αύουσα στο t, Άρα η g παρουσιάζει ελάχιστο τη χρονική στιγµή t

4 ΘΕΜΑ. Η ζητούµενη είσωση είναι η y f() = f ()( ) f () + f() Επειδή η f είναι παραγωγίσιµη στο =, θα είναι και συνεχής σε αυτό. f () Εποµένως f() = lim f () = lim = f () lim lim = ( + f()) = f () Τότε βέβαια θα είναι και lim = + =. f () f () f () Ακόµα f () = lim = lim = Εποµένως η είσωση της εφαπτοµένης είναι η.. Αρκεί να δείουµε ότι η f είναι γνησίως αύουσα στο R, δηλαδή ότι f () > για κάθε R. Επειδή η f είναι τρείς φορές παραγωγίσιµη η f θα είναι συνεχής. Και επειδή f (), η f θα διατηρεί σταθερό πρόσηµο στο R. Η f στο διάστηµα [, ] ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήµατος µέσης τιµής. Άρα θα υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) έτσι ώστε f () = f() f(), και λόγω της υπόθεσης (ii) f () > f () f () f () > () Η f στο διάστηµα [, ] ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήµατος µέσης τιµής. Άρα θα υπάρχει η (, ) έτσι ώστε f (η) = f ( ) f () f (η) = f ( ) f () > λόγω της () Αφού λοιπόν η f διατηρεί σταθερό πρόσηµο και είδαµε ότι f (η) >, θα είναι f () > για κάθε R. 3. Είναι g() = f() για κάθε R ος τρόπος Είναι g () = f () = f () f (). Όµως f γνησίως αύουσα. Άρα για > f () > f () f () f ( ) > για < g () > f () < f () f () f ( ) < g () < Επειδή δε η g είναι παραγωγίσιµη, είναι και συνεχής, εποµένως θα παρουσιάζει ελάχιστο για = το g() = f() = ος τρόπος Αφού η f είναι κυρτή, η C f είναι ψηλότερα από την εφαπτοµένη σε οποιοδήποτε σηµείο εκτός βέβαια του σηµείου επαφής. Εφαπτοµένη στο = είναι η. Άρα για κάθε R θα είναι

5 5 f() f() µε το ίσον να ισχύει µόνο για =. Εποµένως g() για κάθε R. ηλαδή η g παρουσιάζει ελάχιστο για = το g() = ηµ ηµ lim = lim g() g() ηµ Όµως lim = και lim g() = g() = µε g() > κοντά στο. Άρα lim = + g() ηµ ηµ Οπότε lim = lim lim = (+ ) = + g() g(). είαµε ότι g() µε το ίσον να ισχύει µόνο για =. Άρα g()d > (f () )d > f ()d f ()d > d > d f ()d > 5. Αφού g() το εµβαδόν Ε του χωρίου Ω είναι ίσο µε Ε = g()d e 5 = Έστω η συνάρτηση Κ() = Αφού η f είναι συνεχής, η (f () )d e 5 = f ()d e 5 = f ()d f ()d = e 5 + d f (t)dt, [, ] f ()d > f ()d = e f (t)dt είναι παραγωγίσιµη άρα και συνεχής. Εποµένως η Κ() είναι συνεχής στο [, ] µε Κ() = f (t)dt = e = e < και Κ() = f (t)dt > λόγω του Οπότε, από το θεώρηµα Blzan, θα υπάρχει (, ) έτσι ώστε Κ() = f (t)dt = f (t)dt =