Αιτιότητα κατά Granger σε μη-στάσιμες χρονικές σειρές και εφαρμογή στην Οικονομετρία

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ MΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ» ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Αιτιότητα κατά Granger σε μη-στάσιμες χρονικές σειρές και εφαρμογή στην Οικονομετρία Κωνσταντίνος Θ. Μουρατίδης ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ: Δημήτρης Κουγιουμτζής Αν. Καθηγητής Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη, Νοέμβριος 2012

2

3 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ MΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ» ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Αιτιότητα κατά Granger σε μη-στάσιμες χρονικές σειρές και εφαρμογή στην Οικονομετρία Κωνσταντίνος Θ. Μουρατίδης ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ: Κουγιουμτζής Δημήτρης Αν. Καθηγητής Α.Π.Θ. Εγκρίθηκε από την Τριμελή Εξεταστική Επιτροπή την 22/11/ Κουγιουμτζής Δημήτρης Αντωνίου Ιωάννης Κολυβά - Μαχαίρα Φωτεινή Αν. Καθηγητής Α.Π.Θ. Καθηγητής Α.Π.Θ. Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη, Νοέμβριος 2012

4 .. Κωνσταντίνος Μουρατίδης Πτυχιούχος Μαθηματικός Α.Π.Θ. Copyrigh Κωνσταντίνος Θ. Μουρατίδης, 2012 Με επιφύλαξη παντός δικαιώματος. All righs reserved. Απαγορεύεται η αντιγραφή, αποθήκευση και διανομή της παρούσας εργασίας, εξ ολοκλήρου ή τμήματος αυτής, για εμπορικό σκοπό. Επιτρέπεται η ανατύπωση, αποθήκευση και διανομή για σκοπό μη κερδοσκοπικό, εκπαιδευτικής ή ερευνητικής φύσης, υπό την προϋπόθεση να αναφέρεται η πηγή προέλευσης και να διατηρείται το παρόν μήνυμα. Ερωτήματα που αφορούν τη χρήση της εργασίας για κερδοσκοπικό σκοπό πρέπει να απευθύνονται προς τον συγγραφέα. Οι απόψεις και τα συμπεράσματα που περιέχονται σε αυτό το έγγραφο εκφράζουν τον συγγραφέα και δεν πρέπει να ερμηνευτεί ότι εκφράζουν τις επίσημες θέσεις του Α.Π.Θ.

5 ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στην εργασία αυτήν παρουσιάζεται ο έλεγχος αιτιότητας κατά Granger, σε στάσιμες και σε μη-στάσιμες χρονικές σειρές που αφορούν την Οικονομετρία και τις εφαρμογές της. Το πρώτο κεφάλαιο είναι εισαγωγικό και περιλαμβάνει θέματα που διαπραγματεύονται σ αυτή ν την εργασία. Όσον αφορά στο δεύτερο κεφάλαιο, έχουν αναπτυχθεί οι μέθοδοι ελέγχου της μοναδιαίας ρίζας πρ ο- κειμένου να ελεγχθεί η στασιμότητα μιας χρονοσειράς. Υπάρχει επίσης αναφορά για τα μοντέλα VAR. Ο ορισμός της κατά Granger αιτιότητας, ο τρόπος προσδιορισμού αυτής της αιτιότητας, καθώς και οι τρόποι ελέ γ- χου της στατιστικής σημαντικότητας των αποτελεσμάτων της αιτιότητας δίνονται στο τρίτο κεφάλαιο. Στο τέταρτο κεφάλαιο παρουσιάζονται η έννοια και ο ορισμός της συνολοκλήρωσης δύο ή περισσότερων χρονικών σειρών. Αναπτύσσονται οι μέθοδοι των Εngle-Granger και Johansen, ε- λέγχου συνολοκλήρωσης και εύρεσης του υποδείγματος διόρθωσης λ α- θών ECM. Στο ίδιο κεφάλαιο γίνεται επίσης αναφορά στη μέθοδο ARDL. Στο πέμπτο κεφάλαιο αναπτύσσονται τρόποι ελέγχου της μακροχρόνιας και βραχυχρόνιας αιτιότητας κατά Granger, υπό την προϋπόθεση ότι τα αρχικά δεδομένα είναι μη-στάσιμες χρονολογικές σειρές. Συγχρόνως γ ί- νεται μια εφαρμογή σε δεδομένα του τρ απεζικού κλάδου του χρη ματιστηρίου της Αθήνας. Επιπρόσθετα παρουσιάζεται η προσέγγιση του Hsiao για την κατά Granger αιτιότητα, συνοδευόμενη με μια εφαρμογή σε πραγματικά δεδομένα του τραπεζικού κλάδου του χρηματιστηρίου της Αθήνας. Εν τέλει, δίνονται τρεις δυνατές προσεγγίσεις για τον έλεγχο της αιτιότητας κατά Granger όταν τα αρχικά δεδομένα είναι μη-στάσιμες χρονικές σειρές. Στο έκτο κεφάλαιο μια εφαρμογή της οικονομετρίας γνωστή ως PPP «ισοδυναμία αγοραστικής δύναμης» παρουσιάζεται σε συνδυασμό με τον έ λεγχο αιτιότητας κατά Granger για μη-στάσιμες χρονικές σειρές. Στο έβδομο κεφάλαιο δίνονται κάποια τελικά συμπεράσμ α- τα και παρατηρήσεις. ΛΕΞΕΙΣ ΚΛΕΙΔΙΑ Μη-στάσιμες χρονικές σειρές, Συνολοκλήρωση, Οικονομετρία, Αιτιότητα κατά Granger. 5

6 ABSTRACT In his projec Granger causali y esing on saionary and nons a- ionary ime series, is presened wih regard o Economerics and is applicaions. To begin wih, he firs chaper is inroducory giving an overview of he opics of his projec. Regarding he second chaper, mehods of esing he uni roo and consequenly he saionariy of a ime series are presened, including also VAR models. Granger s definiion of causaliy, measures of causaliy, as well as esing of saisical significance of he causaliy measures are given in he hird chaper. In he forh chaper he coinegraion of wo or more ime series is discussed and he mehods of Engle-Granger and Johansen for esing coinegraion as well as he error correcion model ECM are presened. We also briefly presen he ARDL mehod. In he fifh chaper, he long erm and shor erm Granger causaliy nonsaionary ime series are discussed. In addiion, an applicaion o banking daa of Ahens Sock Marke is presened. Furher, we presen he Hsiao s approach of Granger causali y wih anoher applicaion o real daa from Ahens Sock Marke. Thus approaches are presen o es he Granger causaliy on nonsaionary ime series. In he sixh chaper, an applicaion of Economerics known as PPP Purchasing Power Pariy is presened in conjuncion wih he Granger causali y esing for nons a- ionary ime series. Concluding remarks and noes are given in he sevenh chaper. KEY WORDS Nonsaionary ime series, Coinegraion, Economerics, Granger causaliy. 6

7 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η παρούσα διπλωματική εργασία εκπονήθηκε στα πλαίσια του Μεταπτυχιακού Προγράμματος «Στατιστική και Μοντελοποίηση» του τμήματος Μαθηματικών του Α- ριστοτελείου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης. Θα ήθελα να εκφράσω τις θερμές μου ευχαριστίες στον επιβλέποντα καθηγητή του Α.Π.Θ. κ. Δημήτριο Κουγιουμτζή για την καθοδήγηση, τις συμβουλές και την πολύτιμη αρωγή του που αφειδώς μου προσέφερε κατά τη συγγραφή της διπλωματικής μου εργασίας. Ευχαριστώ επίσης όλους τους καθηγητές του μεταπτυχιακού τμήματος Στατιστικής και Μοντελοποίησης για τη συνολική συμβολή τους στην προσπάθειά μου σε όλη τη διάρκεια των σπουδών μου. Μουρατίδης Κωνσταντίνος 7

8 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΠΕΡΙΛΗΨΗ... 5 ABSTRACT... 6 ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 7 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ... 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΥΝΤΟΜΟΓΡΑΦΙΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο : ΟΡΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΑΣΙΜΕΣ ΧΡΟΝΙΚΕΣ ΣΕΙΡΕΣ Μοναδιαία ρίζα και στασιμότητα Έλεγχοι στασιμότητας ΥΠΟΔΕΙΓΜΑTA VAR(P) Υποθέσεις του VAR υποδείγματος Τάξη του VAR Υπόδειγμα VAR σε όρους πρώτων διαφορών ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΑΙΤΙΟΤΗΤΑ ΚΑΤΑ GRANGER CLIVE W.J. GRANGER ΑΙΤΙΟΤΗΤΑ ΚΑΤΑ GRANGER Περιγραφή του ελέγχου (παραμετρικός) για δύο μεταβλητές Χ, Υ Εφαρμογή του παραμετρικού ελέγχου Έλεγχος με το κριτήριο του πολλαπλασιαστή Lagrange Πολυμεταβλητή περίπτωση (Condiional Granger causaliy) ΕΛΕΓΧΟΣ SIMS ΓΙΑ ΑΙΤΙΟΤΗΤΑ ΚΑΤΑ GRANGER ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο : ΣΥΝΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ ΕΛΕΓΧΟΙ ΣΥΝΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ Η προσέγγιση των Engle-Granger Υπόδειγμα Διόρθωσης Λαθών (ECM) Μεθοδολογία δύο βημάτων Engle-Granger Υποδείγματα VAR και συνολοκλήρωση (μέθοδος του Johansen) Βασικά βήματα της προσεγγίσεως Johansen Η ΜΕΘΟΔΟΣ ΣΥΝΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ ARDL

9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Ο : ΣΥΝΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΚΑΙ ΑΙΤΙΟΤΗΤΑ ΚΑΤΑ GRANGER ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΥΝΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΚΑΙ ΑΙΤΙΟΤΗΤΑ ΚΑΤΑ GRANGER Εφαρμογή H ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΟΥ HSIAO ΓΙΑ ΤΗΝ ΚΑΤΑ GRANGER ΑΙΤΙΟΤΗΤΑ Η μέθοδος του Hsiao Εφαρμογή ΤΡΕΙΣ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟΝ ΕΛΕΓΧΟ ΤΗΣ ΑΙΤΙΟΤΗΤΑΣ ΣΕ ΜΗ- ΣΤΑΣΙΜΕΣ Ι(1) ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 Ο : P.P.P. & ΑΙΤΙΟΤΗΤΑ ΚΑΤΑ GRANGER - ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΙΣΟΔΥΝΑΜΙΑ ΑΓΟΡΑΣΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΗΣ (PPP) PPP ΚΑΙ GRANGER ΑΙΤΙΟΤΗΤΑ ΜΕΤΑΞΥ ΣΥΝΑΛΛΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΙΣΟΤΙΜΙΩΝ ΚΑΙ ΤΙΜΩΝ ΓΙΑ ΔΑΝΙΑ - ΗΠΑ & ΗΝΩΜΕΝΟ ΒΑΣΙΛΙΟ - ΗΠΑ Έλεγχος υπόθεσης απόλυτου PPP Long-Run PPP και Granger causaliy ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο : ΕΠΙΛΟΓΟΣ - ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΕΠΙΛΟΓΟΣ - ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

10 10

11 Κεφάλαιο 1 ο : ΕΙΣΑΓΩΓΗ 11

12 12

13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο υσιαστικής σημασίας αποδεικνύεται ο προσδιορισμός της χρονοσειράς ως στάσιμης ή ως μη στάσιμης για θέματα που σχετίζονται με την ανάλυση της παλινδρόμησης. Είναι γεγονός ότι η αποτελεσματικότητα της ανάλυσης διαφέρει στην κάθε περίπτωση. Έτσι, είναι εφικτή για τις στάσιμες χρονοσειρές, των οποίων τα χαρακτηριστικά παραμένουν αναλλοίωτα στο χρόνο, ενώ αντίθετα η ανάλυση των μη-στάσιμων χρονοσειρών δυσχεραίνεται καθώς, αφενός δε συγκλίνουν σε μία σταθερή τιμή κι αφετέρου δύσκολα προσδιορίζεται ο τρόπος δημιουργίας των τιμών τους. Καθοριστική λοιπόν σχετικά με το θέμα αυτό κρίνεται η πρώτη σημαντική συμβολή του Granger στην οικονομετρία. Granger και Newbold, το 1974, καταλήγουν ότι παραδοσιακοί στατιστικοί έλεγχοι των γραμμικών σχέσεων μεταξύ μη-στάσιμων χρονοσειρών μπορούν να αποβούν εσφαλμένοι και οι τιμές τους πλασματικές. Οι ίδιοι επισημαίνουν ότι κάθε εξίσωση παλινδρόμησης που δείχνει υψηλού βαθμού συσχέτιση και έχει αυτοσυσχετιζόμενα κατάλοιπα πρέπει να αντιμετωπίζεται με σκεπτικισμό διότι είναι πολύ πιθανόν να μην είναι καλά εξειδικευμένη. Αυτό αποτελεί το λεγόμενο, κατά τους Granger και Newbold, «πρόβλημα ψευδούς παλινδρόμησης» (spurious regression) [1]. Σε αυτήν την περίπτωση, ενώ τα υπάρχοντα στατιστικά μεγέθη εγγυώνται τον καθορισμό της γραμμικής σχέσης, ωστόσο εμφανίζεται χαμηλή τιμή στη στατιστική d για τον έλεγχο της αυτοσυσχέτισης πρώτου βαθμού των Durbin-Wason 1. Μία πιθανή και ενδεχομένως εύστοχη αντιμετώπιση αποτελεί η πρόταση των Granger και Newbold για την εκτίμηση του ιδίου υποδείγματος σε πρώτες διαφορές. Έτσι, από τις μη-στάσιμες χρονικές σειρές πολλές φορές προκαλούνται λανθασμένα στατιστικά αποτελέσματα ακόμη και χωρίς να υπάρχουν γραμμικές σχέσεις εξάρτησης μεταξύ των μεταβλητών που σχετίζονται με το θέμα. Παράλληλα, ο προσδιορισμός της αιτιοκρατικής σχέσης εξάρτησης μεταξύ των οικονομικών μεταβλητών που σχετίζονται με την ερμηνεία ενός ζητήματος είναι ένα ε- πιπλέον θέμα μελέτης του Granger και αφορά κυρίως προβλήματα οικονομικής ή χρηματοοικονομικής φύσεως. Πολλές φορές, κατά τη διάρκεια μιας μελέτης και έρευνας ενός οικονομικού φαινομένου, αίτημα των μελετητών είναι η γνώση της σχέσης εξάρτησης των μεταβλητών που χρησιμοποιούν, έτσι ώστε να οδηγηθούν στην ορθή και ασφαλή λήψη οικονομικών και διοικητικών αποφάσεων, επιτρέποντας τις προβλέψεις. 1 Ο έλεγχος Durbin-Wason αφορά στον έλεγχο αυτοσυσχέτισης πρώτης τάξης των καταλοίπων στην ε- ξίσωση παλινδρόμησης μιας χρονικής σειράς. Βασίζεται στη στατιστική d γνωστή ως Durbin-Wason d στατιστική. Βλέπε Γ. Χρήστου 2007 [21]. 13

14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο Granger προτείνει για την αιτιοκρατική σχέση εξάρτησης των μεταβλητών από χρονικές σειρές ένα στατιστικό έλεγχο, γνωστό ως Granger Causaliy es, βάσει του οποίου ορίζεται ο ρόλος των μεταβλητών κατά τη μελέτη ενός φαινομένου, πώς δηλαδή οι τιμές μιας μεταβλητής επηρεάζουν και ερμηνεύουν τις τιμές της άλλης, ενώ οι τιμές αυτών των μεταβλητών κινούνται διαχρονικά παράλληλα. H ιδέα της Granger αιτιότητας καθιερώθηκε από τον Granger το 1969 και αποτελεί μια τυποποίηση της διαίσθησης του Wiener και του Akaike ότι η μεταβλητή Χ αιτιάζει την μεταβλητή Υ, όταν γνωρίζουμε ότι η Χ βοηθά να προβλέψουμε το μέλλον της Υ [2]. Διάφορες τεχνικές για τον προσδιορισμό των βραχυχρόνιων σχέσεων μεταξύ των μεταβλητών, καθώς και της μακροχρόνιας μεταβολής τους εφαρμόστηκαν από τον Granger. Θεμέλιο αυτής της μεθόδου αποτελεί η σκέψη ότι ο γραμμικός συνδυασμός δύο (ή περισσοτέρων) μη στάσιμων χρονοσειρών μπορεί να είναι στάσιμη χρονοσειρά. Το σκεπτικό αυτής της ανάλυσης προέρχεται από την οικονομική επιστήμη, η οποία διαπιστώνει ότι αν υπάρχει μακροχρόνια ισορροπία μεταξύ δύο μεταβλητών, για παράδειγμα διαθέσιμο εισόδημα και κατανάλωση, τότε η βραχυχρόνια συμπεριφορά τους μπορεί να διαφέρει από τη μακροχρόνια αλλά προοδευτικά θα διαμορφώνεται κάθε φορά σύμφωνα με τη μακροχρόνια ισορροπία. Η έννοια αυτή ονομάστηκε από τον Granger ως έννοια της συνολοκλήρωσης (coinegraion). Επιπλέον, ο Granger με τη συμβολή του Engle δημοσίευσε το 1987 ένα άρθρο σταθμό, όχι μόνο για την οικονομική επιστήμη αλλά και γενικότερα για την οικονομετρική προσέγγιση ποσοτικής διερεύνησης φαινομένων. Βασικό θέμα του αποτελούσαν οι στατιστικές τεχνικές για τον έλεγχο της συνολοκλήρωσης, καθώς και η μέθοδος ε- κτίμησης γραμμικών συστημάτων στα οποία εμπεριέχεται η έννοια της μακροχρόνιας μεταβολής. Ειδικότερα, για την εκτίμηση γραμμικών σχέσεων μεταξύ δύο μη-στάσιμων μεταβλητών απαιτούνται δύο στάδια. Αρχικά επισημαίνεται η μακροχρόνια μεταβολή τους και εξετάζεται αν ισχύει η έννοια της συνολοκλήρωσης κι έπειτα υπολογίζεται το λεγόμενο υπόδειγμα διόρθωσης λαθών ECM (error correcion model), όπου ρυθμίζεται η βραχυχρόνια συμπεριφορά των μεταβλητών προσαρμοσμένη από τη μακροχρόνια μεταβολή τους. Η έννοια της συνολοκλήρωσης επεκτάθηκε αργότερα από τον Johansen για τη διερεύνηση της συνολοκλήρωσης δύο ή περισσότερων μεταβλητών. Στη μεθοδολογία του Johansen η προσέγγιση αυτή γίνεται με τη χρήση των υποδειγμάτων διανυσματικών αυτοπαλινδρομήσεων VAR. 14

15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1.2 ΣΥΝΤΟΜΟΓΡΑΦΙΕΣ LS Leas Squares OLS Ordinary Leas Squares ML Maximum Likelihood AIC Akaike s Informaion Crierion SC Schwarz Crierion AR Auoregressive Process i.i.d. Independenly Idenically Disribued RW Random walk VAR Vecor auoregression DW Durbin - Wason Saisic I Inegraed Processs SSE Sum of Squares of Errors ECM Error Correcion Model VECM Vecor Error Correcion Model ecm Error Correcion Term ή Error Correcion Μechanism P.P.P. Purchasing Power Pariy CPI Consumer Price Index 15

16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΕΙΣΑΓΩΓΗ 16

17 Κεφάλαιο 2 ο : ΟΡΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 17

18 18

19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΟΡΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 2.1 ΣΤΑΣΙΜΕΣ ΧΡΟΝΙΚΕΣ ΣΕΙΡΕΣ Χ ρονική σειρά (ή χρονολογική σειρά) είναι μια οικογένεια τυχαίων μεταβλητών X, T όπου Τ είναι χρονική περίοδος ή υποσύνολο του χώρου. Αν Τ συνεχές, η χρονική σειρά λέγεται συνεχής, ενώ αν Τ διακριτό, η σειρά λέγεται διακριτή [3]. Οι χρονικές σειρές που θα ασχοληθούμε είναι διακριτές και οι παρατηρήσεις λαμβάνονται σε ισαπέχοντα χρονικά διαστήματα. Αν λοιπόν έχουμε Ν διαδοχικές τιμές, τότε γράφουμε X 1,X 2,...,X N, για να δηλώσουμε παρατηρήσεις που έγιναν στους χρόνους τ0 h, τ0 2h,...,τ0 Nh. Γενικά X είναι η παρατήρηση στο χρόνο. Μια χρονική σειρά X, T θα λέγεται αυστηρά στάσιμη ή στάσιμη πρώτης τάξης αν η κοινή κατανομή F των X, X 1,..., X 2 είναι ανεξάρτητη της αρχής των συ- n ντεταγμένων, δηλαδή F(X,X,...,X ) F(X,X,...,X ) 1 2 n 1k 2 k n k για κάθε φυσικό k, n και για κάθε n-άδα 1, 2,..., n T. Η χρονική σειρά X, T θα λέγεται στάσιμη δεύτερης τάξης αν η μέση τιμή και οι συνδιασπορές, είναι ανεξάρτητες του χρόνου, δηλαδή α) EX μ και Var(X ) σ, T 2 x Cov(X,X ) γ,,s T ή αλλιώς Cov(X, X k) γ k, T, k N, β) s s δηλαδή η συνδιασπορά μεταξύ δύο όρων της χρονικής σειράς εξαρτάται μόνο από την απόλυτη τιμή της χρονικής διαφοράς τους, η οποία αναφέρεται ως υστέρηση (lag) [3]. Η αυστηρή στασιμότητα συνεπάγεται ταύτιση όλων των ροπών των τυχαίων μεταβλητών κάτι που είναι δύσκολο και εξαιρετικά περιοριστικό. Για αυτό συνήθως εξετάζεται η στασιμότητα δεύτερης τάξης, που εξαρτάται μόνο από τον έλεγχο των δύο πρώτων ροπών. Εάν μια μη στάσιμη σειρά d διαφορές της, τότε η αρχική σειρά X μετατρέπεται σε στάσιμη σειρά αφού πάρουμε τις X λέγεται ότι είναι ολοκληρωμένη d τάξης και συμβολίζεται με Ι(d). Εξ ορισμού με Ι(0) συμβολίζουμε μία στάσιμη σειρά. 19

20 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΟΡΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Μοναδιαία ρίζα και στασιμότητα Θεωρούμε το αυτοπαλίνδρομο AR(p) υπόδειγμα Y α Y α Y... α Y u (2.1) p p όπου E(u ) 0 και Var(u ) σ 2 u και α 1,α 2,...,α p οι p άγνωστες παράμετροι του υποδείγματος. Η σχέση (2.1) με τη βοήθεια του αυτοπαλίνδρομου τελεστή τάξης p γράφεται: (1 α Bα B... α B )Y u 2 p 1 2 p όπου m B Y (τελεστής προς τα πίσω μετατόπισης) ή ισοδύναμα Y m Φ(Β)Y u (2.2) ΘΕΩΡΗΜΑ Η ικανή και αναγκαία συνθήκη για να είναι η AR(p) χρονική σειρά στάσιμη, είναι: οι ρίζες της εξίσωσης Φ(ω) 0, ω C να βρίσκονται έξω από το μοναδιαίο κύκλο, στο μιγαδικό επίπεδο. (Θα αποδείξουμε το θεώρημα για την περίπτωση p1 2 ). Απόδειξη: Για p 1, η AR χρονική σειρά είναι η Y αy u (2.3) 1 Με διαδοχικές αντικαταστάσεις στην (2.3) μπορούμε να γράψουμε Y α[αy u ] u α [αy u ] αu u και συνεχίζοντας να παραστήσουμε την Y ως σειρά απείρων όρων MA( ), δηλαδή Y u αu α u η οποία με τους τελεστές προς τα πίσω μετατόπισης γράφεται Y (1 αbα B...)u Ψ(Β)u 2 2 όπου Ψ(Β) j0 j j α B 2 Για την πλήρη απόδειξη βλέπε: Box G.E.P και Jenkins G.M. (1976) : Time Series Analysis, forecasing and Conrol. 20

21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΟΡΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Για να είναι η Y στάσιμη, πρέπει και αρκεί η δυναμοσειρά ψ(ω) j j α ω να συγκλίνει για ω 1. Από τον διαφορικό λογισμό γνωρίζουμε ότι η προηγούμενη δυναμοσειρά j0 συγκλίνει απόλυτα στο 1 1, α α, οπότε πρέπει και αρκεί 1 1 [ 1,1], α α ή ισοδύναμα α 1. Επειδή όμως για AR(1) χρονικές σειρές είναι Φ(ω) 1 αω, άρα η 1 α είναι ρίζα της Φ(ω). Ώστε η ρίζα της Φ(ω) είναι απολύτως μεγαλύτερη του 1, δηλαδή βρίσκεται έξω από το μοναδιαίο κύκλο [3]. Εάν μια ή περισσότερες ρίζες του φ(ω) 0 βρίσκονται πάνω στον μοναδιαίο κύκλο, τότε η χρονική σειρά δεν είναι στάσιμη. Και αν οι ρίζες είναι μεγαλύτερες της μονάδας πάλι η χρονική σειρά δεν είναι στάσιμη, αλλά τότε «χάνεται στο άπειρο» και δεν αποτελεί πρότυπο πραγματικής κατάστασης Έλεγχοι στασιμότητας Οι έλεγχοι της στασιμότητας μπορούν να γίνουν είτε με τους ελέγχους των δειγματικών συναρτήσεων αυτοσυσχέτισης είτε με τους ελέγχους των μοναδιαίων ριζών (uni roo ess) οι οποίοι θεωρούνται αρκετά ισχυροί και αποτελεσματικοί. Στη συνέχεια θα περιγράψουμε τους πιο γνωστούς ελέγχους των μοναδιαίων ριζών οι οποίοι είναι οι: έλεγχος Dickey-Fuller(DF), επαυξημένος έλεγχος Dickey-Fuller(ADF) και έλεγχος Phillips-Perron. Έλεγχος Dickey-Fuller Έστω το AR(1) υπόδειγμα που περιγράφεται από την σχέση (2.3) όπου τα κατάλοιπα u πληρούν τις γνωστές ιδιότητες του λευκού θορύβου. Όπως αποδείχτηκε θα έχουμε μια στάσιμη διαδικασία μόνο όταν α 1. Στην περίπτωση όπου α 1 το υπόδειγμα (2.3) θα είναι τυχαίος περίπατος και η σειρά δεν θα είναι στάσιμη. Με τον απλό έλεγχο των Dickey Fuller, ελέγχεται στη σχέση (2.3) η μηδενική υπόθεση Η 0 : α 1, δηλαδή ελέγχεται η ύπαρξη μοναδιαίας ρίζας που έχει σαν συνέπεια τη μη στασιμότητα. Αυτό γίνεται με την εκτίμηση του υποδείγματος με την μέθοδο των ελαχίστων τε- 21

22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΟΡΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ τραγώνων και στη συνέχεια τον συνήθη έλεγχο με την κατανομή. Τα αποτελέσματα όμως αυτού του ελέγχου είναι μη αξιόπιστα όταν ισχύει η μηδενική υπόθεση Η 0 : α 1. Συγκεκριμένα η κατανομή του ή F δε συμπίπτει με τη γνωστή κατανομή ή F και ο εκτιμητής ˆα είναι μεροληπτικός και ασυνεπής [4]. Για να αποφύγουν οι Dickey Fuller το προηγούμενο πρόβλημα ακολουθούν την εξής διαδικασία. Αφαιρείται και από τα δύο μέλη της (2.3) το Y 1, οπότε έχουμε: ΔY (α 1)Y u 1 ή 1 ΔY βy u (2.4) όπου ΔY Y Y 1 και β α 1 Μετά το μετασχηματισμό αυτό, η μηδενική υπόθεση Η 0 : α 1, παίρνει τη μορφή Η 0 : β 0 με εναλλακτική την Η 1 : β 0. Η απόρριψη λοιπόν της μηδενικής υπόθεσης Η 0 : β 0 και η αποδοχή της εναλλακτικής της σημαίνει ότι η θεωρούμενη σειρά είναι στάσιμη δηλαδή Ι(0). O έλεγχος είναι μονόπλευρος. Δεν ενδιαφέρει η περίπτωση β 0 δηλαδή α 1 όπου έχουμε ε- κρηκτική συμπεριφορά της εξεταζόμενης μεταβλητής Υ. Επίσης β 1, δηλαδή α 0, είναι μάλλον σπάνια περίπτωση για μία μεταβλητή που χαρακτηρίζεται από μοναδιαία ρίζα. Επομένως, στην πράξη 0 α 1, δηλαδή 1 β 0 [4]. Ο έλεγχος αυτός γίνεται εκτιμώντας το συντελεστή β με τη μέθοδο OLS και στη συνέχεια υπολογίζοντας τη στατιστική που προκύπτει από κανονικοποίηση (μετασχηματισμό) του εκτιμητή ˆβ. Η τιμή συγκρίνεται στη συνέχεια με τις κρίσιμες τιμές για ορισμένο επίπεδο σημαντικότητας και μέγεθος δείγματος από πίνακες που έχουν καταρτίσει οι Dickey Fuller. Για διάκριση οι κρίσιμες τιμές συμβολίζονται με το ελληνικό γράμμα τ. Με την προϋπόθεση ότι τα κατάλοιπα στο υπόδειγμα (2.4) δεν αυτοσυσχετίζονται, η μηδενική υπόθεση απορρίπτεται, αν σε απόλυτες τιμές η είναι μεγαλύτερη της τ. Επισημαίνουμε ότι στον έλεγχο Dickey Fuller όπως επίσης και στους ελέγχους που περιγράφονται στη συνέχεια (επαυξημένο έλεγχο Dickey-Fuller(ADF) και έλεγχο Phillips-Perron) τα κριτήρια ελέγχου δεν ακολουθούν την τυποποιημένη κατανομή του Suden. Οι Dickey-Fuller έδωσαν τροποποιημένες κριτικές τιμές. Αυτές προέκυψαν 22

23 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΟΡΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ μετά από πειράματα των ιδίων με τις μεθόδους Mone Carlo. Οι τιμές αυτές αναθεωρήθηκαν από τον Mackinnon(1991, 2010) [5] για κάθε μέγεθος δείγματος και οποιοδήποτε αριθμό μεταβλητών στο δεξί μέλος της εξίσωσης παλινδρόμησης. Στο υπόδειγμα (2.3) μπορεί να προστεθεί και σταθερός όρος δ, οπότε θα έχουμε: με μετασχηματισμένο υπόδειγμα το: Y δ αy u (2.5) 1 ΔY δ βy u (2.6) 1 όπου β α 1 Για τον έλεγχο της ύπαρξης μοναδιαίας ρίζας και στο υπόδειγμα (2.6) ακολουθείται η ίδια διαδικασία όπως προηγουμένως, με τη διαφορά ότι οι κρίσιμες τιμές τ της στατιστικής είναι διαφορετικές. Οι Dickey-Fuller δίνουν επίσης πίνακα με τροποποιημένες τιμές Φ, της κατανομής F για τον έλεγχο της από κοινού υπόθεσης Η 0 : δ β 0. Όταν η μεταβλητή Υ έχει μη μηδενικό μέσο ενδείκνυται να χρησιμοποιηθεί το υπόδειγμα (2.5), διότι η παράληψη του σταθερού όρου πιθανόν να οδηγήσει σε λάθος συμπεράσματα [4]. Στο υπόδειγμα (2.3) μπορεί να περιλαμβάνεται και μια μεταβλητή χρονικής τάσης δηλαδή: με μετασχηματισμένο υπόδειγμα το: Y δ γ αy u (2.7) 1 ΔY δ γ βy u (2.8) 1 όπου β α 1 Ο έλεγχος για την ύπαρξη μοναδιαίας ρίζας όπως και προηγουμένως, αλλά με διαφορετικές κριτικές τιμές τ και Φ. Η σωστή επιλογή του υποδείγματος μεταξύ των (2.3), (2.5) και (2.7) που θα χρησιμοποιηθεί στην εφαρμογή του ελέγχου μοναδιαίας ρίζας είναι σημαντική. Τα αποτελέσματα του ελέγχου εξαρτώνται άμεσα από το αν θα περιλαμβάνεται στο υπόδειγμα σταθερός όρος ή/και ο χρόνος ως παλινδρομητής. Συγκεκριμένα βήματα που βοηθούν στην επιλογή του κατάλληλου υποδείγματος περιγράφονται από τον Γ. Χρήστου (2007) (Εισαγωγή στην Οικονομετρία, Τόμος Β, Σελ ) [4]. Αν τέλος κάνουμε στο κατάλληλο υπόδειγμα τον έλεγχο και διαπιστώσουμε ότι η σειρά δεν είναι στάσιμη, τότε παίρνουμε τις πρώτες διαφορές και επαναλαμβάνουμε τον έλεγχο, για την ύπαρξη μο- 23

24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΟΡΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ναδιαίας ρίζας. Αν και η νέα σειρά είναι μη στάσιμη, τότε παίρνουμε τις δεύτερες, τρίτες κ.ο.κ. διαφορές έως ότου η τελική σειρά που θα προκύψει να είναι στάσιμη. Επαυξημένος έλεγχος των Dickey-Fuller, ADF Η εφαρμογή των ελέγχων Dickey-Fuller προϋποθέτουν ότι τα κατάλοιπα της ε- λεγχόμενης εξίσωσης είναι λευκός θόρυβος. Κατά συνέπεια πρέπει να θεωρείται κάθε φορά ένα AR(p) υπόδειγμα όπου η τάξη p να είναι τόσο μεγάλη ώστε τα κατάλοιπα να μην αυτοσυσχετίζονται. Ο έλεγχος για την ύπαρξη μοναδιαίας ρίζας, μπορεί να εφαρμοστεί και στη γενική περίπτωση ενός υποδείγματος AR(p), δηλαδή: Y δ α Υ α Y... α Y u (2.9) p p Αφαιρούμε από τα δύο μέλη της (2.9) τον όρο Y 1. Στη συνέχεια προσθέτουμε και α- φαιρούμε στο δεύτερο μέλος τον όρο αy p p 1, μετά τον όρο (αp 1 α p)y p2 κ.ο.κ. ο- πότε βρίσκουμε την επαναδιατυπωμένη μορφή της AR(p) διαδικασίας: ΔY δ βυ γ ΔY γ ΔY... γ ΔY u (2.10) p1 p1 όπου β α1 α 2... αp 1 και τα γ i, i 1,...,p είναι συναρτήσεις των α i, i 24 1,...,p. Ο έλεγχος για την ύπαρξη μοναδιαίας ρίζας, δηλαδή ότι η σειρά δεν είναι στάσιμη γίνεται με βάση την (2.10). Ελέγχουμε τη μηδενική υπόθεση ότι Η 0 : β 0, έναντι της εναλλακτικής της Η 1 : β 0. Η απόρριψη της μηδενικής υπόθεσης, συνεπάγεται ότι η θεωρούμενη σειρά είναι στάσιμη. Η υπόθεση μηδέν ελέγχεται με το στατιστικό και τις κριτικές τιμές τ του απλού έλεγχου Dickey-Fuller. Οι Dickey-Fuller έδειξαν ότι η ασυμπτωτική κατανομή του στατιστικού για τον έλεγχο στατιστικής σημαντικότητάς του είναι ανεξάρτητος από τον αριθμό των υστερήσεων ΔY j. Αυτό που επηρεάζει τις τιμές της κατανομής είναι η παρουσία ή όχι των προσδιοριστικών όρων όπως είναι η σταθερά και η τάση [6]. Το υπόδειγμα (2.9) μπορεί να περιλαμβάνει σταθερά ή/και τάση, όπου και πάλι χρησιμοποιούνται οι κατάλληλες κριτικές τιμές των απλών ελέγχων Dickey-Fuller [7]. Έλεγχος Phillips -Perron Στον επαυξημένο έλεγχο Dickey-Fuller (ADF) η προσθήκη τιμών υστέρησης ο- δηγεί στην απώλεια βαθμών ελευθερίας με συνέπεια τη μείωση της ισχύος του ελέγχου.

25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΟΡΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Οι Phillips-Perron αναπτύσσουν μια γενικευμένη μορφή της διαδικασίας των Dickey- Fuller, όπου δεν είναι απαραίτητες όλες οι υποθέσεις που αναφέρονται στα κατάλοιπα. Στην περίπτωση όπου τα κατάλοιπα αυτοσυσχετίζονται οι Dickey-Fuller προτείνουν την επαύξηση του δεξιού μέλους των εξισώσεων με υστερήσεις της εξαρτημένης μεταβλητής. Αντίθετα, η μέθοδος των Phillips-Perron αντιμετωπίζει την πιθανή μη τυχαιότητα των καταλοίπων τροποποιώντας τα στατιστικά κριτήρια της κατανομής με τη βοήθεια μη παραμετρικών μεθόδων. Οι προτεινόμενες στατιστικές ελέγχου, που συμβολίζονται με Z(α) και Z() είναι τροποποιημένες Dickey-Fuller στατιστικές, έτσι ώ- στε η αυτοσυσχέτιση να μην επηρεάζει την ασυμτωτική κατανομή τους. Οι στατιστικές Z(α) και Z() χρησιμοποιούνται για τον έλεγχο της μοναδιαίας ρίζας, δηλαδή α 1. Οι κρίσιμες τιμές για τον έλεγχο μοναδιαίας ρίζας παραμένουν ίδιες με αυτές των Dickey-Fuller [8]. Εκτός των προηγούμενων ελέγχων έχουν αναπτυχτεί και άλλοι παρόμοιοι έλεγχοι μοναδιαίας ρίζας όπως για παράδειγμα: O έλεγχος DF-GLS των Ellio, Rohenberg και Sock (1996) [9] που είναι μια τροποποιημένη μορφή του ελέγχου ADF, όπου από τα δεδομένα έχει αφαιρεθεί η επίδραση των προσδιοριστικών όρων δηλαδή του σταθερού όρου και της χρονικής τάσης. O έλεγχος KPSS των Kwiakowski, Phillips, Schmid και Shin (1992) [10], οι οποίοι προτείνουν ένα LM κριτήριο για τον έλεγχο της μοναδιαίας ρίζας και σε αντίθεση με τους προηγούμενους ελέγχους η μηδενική υπόθεση είναι ότι η σειρά είναι στάσιμη έναντι της εναλλακτικής υπόθεσης του τυχαίου περιπάτου. 2.2 ΥΠΟΔΕΙΓΜΑTA VAR(p) Τ α υποδείγματα διανυσματικής αυτοπαλινδρόμησης (Vecor Auoregressions) ή συντομότερα VAR υποδείγματα, είναι δυναµικά υποδείγματα µιας οµάδας χρονολογικών σειρών. Αποτελούν επέκταση των µονοµεταβλητών αυτοπαλινδροµικών υποδειγμάτων, δηλαδή των γνωστών ΑR(p) υποδειγμάτων. Χρησιμοποιούνται σήμερα κυρίως στη θέση των υποδειγμάτων συστημάτων εξισώσεων 3 (simulaeous equaions models) [6]. Η μεθοδολογία αυτή εφαρμόσθηκε για πρώτη φορά από τον Sims (1980) στο άρθρο του «Μακροοικονομία και πραγματικότητα» όπου εξηγεί τη χρησιμότητα των VAR υποδειγμάτων και τις εφαρμογές τους µε συγκεκριμένα παραδείγματα. Η μεθοδολογία των VAR υποδειγμάτων εφαρμόζεται ευρέως στις εμπειρικές µελέτες (αν 3 Υποδείγματα που περιλαμβάνουν περισσότερες από μία συναρτησιακές σχέσεις οι οποίες περιγράφουν τα διάφορα οικονομικά φαινόμενα και οικονομικές δραστηριότητες (Βλέπε Γ. Χρήστου 2007) [4]. 25

26 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΟΡΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ και έχει δεχτεί αυστηρή κριτική) διότι έχουν αποδειχθεί αποτελεσματικά και επιτυχή για την πρόβλεψη συστημάτων αλληλοσχετιζόμενων μεταβλητών και λόγω της ευκολίας της χρήσης τους. Μια από τις σημαντικές τους εφαρμογές είναι η χρήση τους στους ελέγχους αιτιότητας. Το υπόδειγμα VAR είναι ένα σύστημα εξισώσεων όπου όλες οι μεταβλητές είναι ενδογενείς και καθεμιά από αυτές προσδιορίζεται ως συνάρτηση των προηγούμενων τιμών (pas ή lagged values) όλων των υπόλοιπων μεταβλητών του συστήματος [6]. Σε ένα VAR(p) υπόδειγμα το p δηλώνει την τιμή της μεγαλύτερης υστέρησης που χρησιμοποιείται στο σύστημα. Οι μεταβλητές σε πλήθος n, όπου n 2. X, Y, που μπορούν να συμμετέχουν είναι Ας υποθέσουμε ότι έχουμε δύο υστερήσεις ( p 2), για κάθε ενδογενή μεταβλητή τότε το υπόδειγμα μας γράφεται VAR(2). Αν θεωρήσουμε και ότι οι μεταβλητές που συμμετέχουν είναι δύο, οι X και Y, τότε θα έχουμε ένα διμεταβλητό VAR(2) υπόδειγμα το οποίο περιγράφεται από το παρακάτω σύστημα: 2 2 i i i i i1 i1 X α β X γ Y u 2 2 i i i i i1 i1 Y a b Y c X v Το ίδιο σύστημα σε διανυσματική μορφή γράφεται: X α β1 γ1 X1 β2 γ2 X2 u Y a b c Y b c Y v ή Z c Α1 Ζ 1 Α2 Ζ2 e (2.11) όπου Ζ X Y το διάνυσμα των ενδογενών μεταβλητών, α c a το διάνυσμα των σταθερών όρων, A i βi bi γi c i (i 1, 2) οι μήτρες των συντελεστών των ενδογενών μεταβλητών χρονικής υστέρησης και u e v το διάνυσμα των καταλοίπων. Η εξίσω- ση (2.11) είναι ένα VAR(2) υπόδειγμα στο διμεταβλητό διάνυσμα Ζ. 26

27 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΟΡΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Γενικά τώρα, αν έχουμε p υστερήσεις και πλήθος μεταβλητών n το υπόδειγμα VAR(p) έχει την παρακάτω μορφή: ή ισοδύναμα όπου Z c Α Ζ Α Ζ... Α Ζ e p p p j j (2.12) j1 Z c Α Ζ e Z το (n 1) διάνυσμα των ενδογενών μεταβλητών, οπότε οι μήτρες A j είναι τάξης (n n) και τα διανύσματα c των σταθερών και e των καταλοίπων είναι τάξης (n 1). Το υπόδειγμα αυτό έχει συνολικά 2 N n pn άγνωστες παραμέτρους Υποθέσεις του VAR υποδείγματος Οι υποθέσεις που ακολουθούν ένα VAR υπόδειγμα είναι οι ακόλουθες: α) Οι υποθέσεις για τα σφάλματα ενός υποδείγματος ταυτόχρονων εξισώσεων. Το διάνυσμα των καταλοίπων e ενός VAR συστήματος έχει μέσο μηδέν και το κατάλοιπο κάθε εξίσωσης χωριστά έχει σταθερή διακύμανση που οι τιμές του δεν αυτοσυσχετίζονται, αλλά το κατάλοιπο αυτό μπορεί να συσχετίζεται με το κατάλοιπο άλλης εξίσωσης. Για το διμεταβλητό υπόδειγμα έχουμε: E(e ) 0 Σe όταν s E(e e s) 0 όταν s όπου Σ E(e e ) var(e ) cov(e, e ) e cov(e 1, e 2) var(e 2) Για το υπόδειγμα VAR(p) με πλήθος μεταβλητών n έχουμε: e i ~ N(0,w ii) για κάθε και i 1,2,...,n όπου wii var(e i) E(ei e j) wij για κάθε και i, j 1,2,...,n όπου wij cov(e i,e j) E(e e ) 0 για s και i 1,2,...,n. i si Σε κάθε εξίσωση τα κατάλοιπα e i είναι λευκός θόρυβος και τα διανύσματα θορύβου συσχετίζονται την ίδια χρονική περίοδο, όχι όμως και σε διαφορετικές χρονικές περιόδους. 27

28 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΟΡΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ β) Η υπόθεση της στασιμότητας Μια διανυσματική στοχαστική διαδικασία Z ονομάζεται στάσιμη εάν E(Z ) μ για κάθε, όπου μ τάξης n x 1 Var(Ζ i) για κάθε και i 1,2,...,n Cov(Ζ,i,Z k, j) Γ ij(k) για κάθε. Το VAR είναι στάσιμο, όταν το διάνυσμα και οι μήτρες συνδιακυμάνσεων μεταξύ Z έχει σταθερό μέσο, σταθερή διακύμανση Z και Z k εξαρτώνται μόνο από την απόσταση k μεταξύ των τιμών και όχι από τον χρόνο. Οι υποθέσεις περί στασιμότητας πρακτικά δείχνουν ότι οι μεταβλητές του VAR συστήματος δεν θα πρέπει να έχουν τάση ούτε εποχικότητα ούτε διακυμάνσεις που μεταβάλλονται διαχρονικά. Για να επιτευχθούν αυτά συχνά απαιτούνται μετασχηματισμοί των στατιστικών δεδομένων όπως για παράδειγμα πρώτες ή δεύτερες διαφορές, εποχικά διορθωμένα στοιχεία ή λογαριθμικοί μετασχηματισμοί. Θα μπορούσαμε βέβαια στην εξειδίκευση του VAR να συμπεριλάβουμε και ένα διάνυσμα μη-στοχαστικών μεταβλητών όπως την τάση ή τις εποχικές ψευδομεταβλητές και να εκτιμήσουμε το VAR στις αρχικές τιμές αντί στις μετασχηματισμένες. Κάτω από τις υποθέσεις που σημειώθηκαν παραπάνω, οι παράμετροι ενός VAR(p) υποδείγματος είναι δυνατόν να εκτιμηθούν με τη μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων (Leas Squares, LS) και όπως έχει δειχτεί από τον Sims, η εκτίμηση των εξισώσεων του VAR συστήματος σ αυτήν την περίπτωση δίνει συνεπείς και αποτελεσματικούς εκτιμητές των παραμέτρων του συστήματος [11] [6] Τάξη του VAR Η προηγούμενη μεθοδολογία εκτίμησης υποθέτει ότι ο αριθμός των υστερήσεων ή αλλιώς η τάξη του VAR, είναι γνωστή. Στις περισσότερες όμως περιπτώσεις η τάξη του VAR είναι άγνωστη, οπότε πρέπει να βρεθεί. Για τον προσδιορισμό της τάξης του VAR χρησιμοποιούνται μεταξύ άλλων οι παρακάτω έλεγχοι [11]: Α) Ο έλεγχος λόγου πιθανοφανειών (LR). Β) Το κριτήριο Akaike (AIC). Γ) Το κριτήριο Schwarz (SCH). 28

29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΟΡΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Υπόδειγμα VAR σε όρους πρώτων διαφορών Το VAR(2) υπόδειγμα στη διανυσματική του μορφή, όπως είδαμε και προηγουμένως γράφεται: Z c Α Ζ Α Ζ e (2.13) Αφαιρούμε το Z 1και από τα δύο μέλη και έχουμε Z Z c (Α I) Ζ Α Ζ e Προσθέτουμε και αφαιρούμε στο 2ο μέλος τον όρο Α2 Ζ 1 και έχουμε ή αλλιώς Z Z c (Α Α I) Ζ Α (Ζ Ζ ) e ΔZ c Π Ζ Q ΔΖ e (2.14) όπου Π A1 A2 I και Q1 A2 (I ο μοναδιαίος πίνακας) Μετασχηματίσαμε λοιπόν την αρχική εξίσωση (2.13) (VAR στις αρχικές τιμές), στην ισοδύναμη εξίσωση (2.14). Στην τελευταία έχουμε τις πρώτες διαφορές στο αριστερό μέλος, ενώ στο δεξί μέλος έχουμε μια μόνο υστέρηση και ένα νέο όρο, την υστέρηση του διανύσματος των αρχικών μεταβλητών. μορφή: Ακολουθώντας τα ίδια βήματα το VAR(p) υπόδειγμα (2.12) μπορεί να πάρει τη ΔZ c ΠZ Q ΔZ... Q ΔZ e p1 p1 ή p1 1 j j (2.15) j1 ΔZ c ΠZ Q ΔZ e όπου Π Α 1... Αp I και Q i p A. j i 1 j Με διαδικασία παρόμοια το υπόδειγμα (2.15) μπορεί να επαναδιατυπωθεί και ως εξής: p1 j j p (2.16) j1 ΔZ c Q ΔZ ΠZ e όπου Q A I j j p k και Π Ak I. k1 k1 29

30 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΟΡΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Ο βαθμός της μήτρας Π Η συμπεριφορά του συστήματος εξισώσεων (2.15), (ή του (2.16)), εξαρτάται από το βαθμό r(π) της μήτρας Π. Ο βαθμός της μήτρας Π καθορίζεται από τις ρίζες λ του συστήματος των χαρακτηριστικών εξισώσεων [6]: p p-1 λ Ι λ Α 1... λαp 1 Ap 0 Α) Αν r(π) n, αυτό συμβαίνει όταν κάθε ρίζα λ κατά απόλυτη τιμή είναι μικρότερη της μονάδας, τότε όλες οι μεταβλητές του διανύσματος Ζ του αρχικού συστήματος (2.12) θα είναι στάσιμες Ι(0). Σ αυτήν την περίπτωση μπορούμε να εκτιμήσουμε με τη μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων το αρχικό σύστημα (2.12) ή το σύστημα (2.15). Β) Αν r(π) n, αυτό συμβαίνει όταν υπάρχει μια πολλαπλή ρίζα λ και οι υπόλοιπες ρίζες είναι μικρότερες της μονάδας, τότε το διάνυσμα Ζ περιέχει Ι(1) ή υψηλότερης τάξης μεταβλητές. Σ αυτήν την περίπτωση η μήτρα Π μπορεί να εκφραστεί ως γινόμενο δύο μητρών τάξης (η κάθε μια) ίσης με τον βαθμό r(π). Γ) Αν r(π) 0, τότε θα είναι Α 1... Αp I. Σ αυτήν την περίπτωση το VAR υπόδειγμα είναι ικανοποιητικό να εκφραστεί σε όρους των πρώτων διαφορών των μεταβλητών. Τα προηγούμενα, που αφορούν το βαθμό της μήτρας Π, χρειάζονται για την ανάλυση των συνθηκών συνολοκλήρωσης, που διαπραγματεύονται σε επόμενο κεφάλαιο του παρόντος, ως εκ τούτου θεωρήθηκε σκόπιμο να αναφερθούν. 30

31 Κεφάλαιο 3 ο : ΑΙΤΙΟΤΗΤΑ ΚΑΤΑ GRANGER 31

32 32

33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΑΙΤΙΟΤΗΤΑ ΚΑΤΑ GRANGER 3.1. CLIVE W.J. GRANGER Ο Clive W. J. Granger γεννήθηκε στις 4 Σεπτεμβρίου του 1934 στην Swansea της Νότιας Ουαλίας στη Βρετανία. Το 1955 πήρε το πτυχίο Μαθηματικών από το πανεπιστήμιο του Noingham. Το 1957 δημοσιεύθηκε η πρώτη του ακαδημαϊκή εργασία, «ένα στατιστικό μοντέλο για τη δραστηριότητα των ηλιακών κηλίδων» στην «Asrophysical Journal». Το 1959 έλαβε το διδακτορικό του δίπλωμα με θέμα διατριβής «Έλεγχος μη-στασιμότητας». Το 1964 ο Granger, μαζί με τον Haanaka, εξέδωσε ένα βιβλίο με τίτλο «φασματική ανάλυση των Οικονομικών Χρονοσειρών». Το 1969 πρωτοστάτησε στην ιδέα της αιτιότητας κατά Granger στην «Economerica». Από το 1974 εργάστηκε ως καθηγητής στο Πανεπιστήμιο της Καλιφόρνιας στο Saniago των Ηνωμένων Πολιτειών. Το 1987 εισήγαγε την έννοια της συνολοκλήρωσης στην «Economerica» σε κοινή μαζί με τον Rober Engle δημοσίευση. Το 2003 κέρδισε το βραβείο Νόμπελ στις Οικονομικές Επιστήμες, μαζί με τον Rober Engle. Το 2003 συνταξιοδοτείται από το πανεπιστήμιο της Καλιφόρνιας ως ομότιμος Καθηγητής. Το 2009 στις 27 Μαΐου Clive W. J. Granger απεβίωσε εξαιτίας εγκεφαλικού όγκου στο Scripps Memorial Hospial στην Καλιφόρνια ΑΙΤΙΟΤΗΤΑ ΚΑΤΑ GRANGER Σ την εξειδίκευση ενός υποδείγματος ένα ερώτημα που τίθεται είναι η αιτιώδης συνάφεια μεταξύ των μεταβλητών. Η τυπική οικονομετρική ανάλυση μπορεί να μας λέει για το βαθμό εξάρτησης μεταξύ των μεταβλητών, αυτό όμως δε σημαίνει αιτιότητα [12]. Η αιτιώδης σχέση μεταξύ των μεταβλητών μπορεί να θεωρηθεί δεδομένη, υπό την έννοια ότι υπαγορεύεται από την ανάλογη οικονομική θεωρία. Για παράδειγμα αν οι μεταβλητές είναι, Χ το εισόδημα και Υ οι καταναλωτικές δαπάνες, είναι εύλογο ότι οι μεταβολές στο εισόδημα Χ είναι αυτές που επηρεάζουν κατά βάση τις καταναλωτικές δαπάνες. Ο έλεγχος για τη διαπίστωση της αιτιότητας κατά Granger μας δίνει τη δυνατότητα να αποφανθούμε ποια από τις μεταβλητές Χ, Υ είναι η ερμηνευτική, σε ένα οικονομετρικό υπόδειγμα όταν αυτό δεν απορρέει από την οικονομική θεωρία. Σύμφωνα με τον ορισμό του Granger, θα λέμε πως η μεταβλητή Χ αιτιάζει την Y αν η πρόβλεψη Ŷ, της Υ για μια περίοδο στο μέλλον, που προέκυψε από όλη την προηγούμενη πληροφόρηση έχει μικρότερο μέσο τετραγωνικό σφάλμα MSE (Mean Square Error) από την πρόβλεψη Ŷ που έγινε από όλη την προηγούμενη πληροφόρηση εκτός εκείνης που αφορά τη μεταβλητή Χ. Δηλαδή: 33

34 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΑΙΤΙΟΤΗΤΑ ΚΑΤΑ GRANGER MSE(Y ˆ U) MSE(Y ˆ U X) Όπου U όλη η προηγούμενη πληροφόρηση και X όλη η προηγούμενη πληροφόρηση της μεταβλητής Χ. Στον ορισμό του ο Granger περιορίζεται στις αμερόληπτες προβλέψεις ελαχίστων τετραγώνων και χρησιμοποιεί για τη μέτρηση της ακρίβειας των προβλέψεων τη διακύμανση των λαθών πρόβλεψης μιας χρονικής περιόδου στο μέλλον [6]. Όπως γίνεται βέβαια αντιληπτό, όλη η προηγούμενη πληροφόρηση U δεν μπορεί να συλλεχτεί, για αυτό ο Granger πρότεινε την αντικατάσταση της με το σύνολο της σχετικής πληροφόρησης. Μπορούμε να υποθέσουμε ότι όλη η σχετική πληροφόρηση περιέχει τις πληροφορίες των δύο μεταβλητών Χ και Υ. Θα λέμε λοιπόν πως η μεταβλητή Χ είναι το αίτιο που προκαλεί τις μεταβολές στις τιμές της Y αν η παρούσα τιμή της τελευταίας αυτής μεταβλητής μπορεί να προβλεφτεί καλύτερα, όταν θεωρήσουμε τις παρελθούσες τιμές της Χ και της Υ, παρά αν θεωρήσουμε μόνο τις παρελθούσες τιμές της Υ. Αυτή είναι η λεγόμενη απλή κατά Granger αιτιότητα. Διακρίνεται από τη στιγμιαία κατά Granger αιτιότητα (insananeous causaliy) σύμφωνα με την οποία, η παρούσα τιμή της Υ μπορεί να προβλεφτεί, αν θεωρήσουμε εκτός από τις παρελθούσες τιμές της Υ και της Χ, και την παρούσα τιμή της Χ, οπότε θα λέμε ότι η Χ αιτιάζει την Υ και στιγμιαία. Για να δώσουμε μια εικόνα της G-αιτιότητας (αιτιότητα κατά Granger), ας υποθέσουμε ότι η διαχρονική δυναμική δύο χρονοσειρών X και Y (ίδιου μήκους Τ) μπορεί να περιγραφεί από ένα διμεταβλητό μοντέλο αυτοπαλινδρόμησης VAR(p). p p i i i i (3.1) i1 i1 X α β X γ Y u p p i i i i (3.2) i1 i1 Y a b Y c X v Θα εξετάσουμε την αιτιότητα από την Υ προς την Χ. Αν παραλείψουμε τους όρους στην πρώτη εξίσωση (3.1) (μη περιορισμένη εξίσωση - Unresriced), θα έχουμε την ακόλουθη (περιορισμένη - Resriced) εξίσωση: 34 Y

35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΑΙΤΙΟΤΗΤΑ ΚΑΤΑ GRANGER p X α β i X i u (3.3) i1 Εάν var(u ) var(u ), δηλαδή η διακύμανση των κατάλοιπων (σφαλμάτων πρόβλεψης) μειώνεται από την ένταξη των όρων Y στην εξίσωση (3.1), τότε λέγεται ότι η Υ αιτιάζει κατά Granger την Χ. Υποθέτοντας ότι οι Χ και Υ είναι στάσιμης συνδιακύμανσης (δηλαδή έχουν αμετάβλητη μέση τιμή και διασπορά), το μέγεθος αυτής της αλληλεπίδρασης μπορεί να μετρηθεί από το λογάριθμο του λόγου των διακυμάνσεων των σφαλμάτων πρόβλεψης της περιορισμένης προς τη μη περιορισμένη εξίσωση. Δηλαδή με τον δείκτη F YX var(u ) ln var(u ) Αν F Y X 0 μπορούμε να πούμε ότι υπάρχει αιτιότητα από την Υ προς την Χ και όσο μεγαλύτερη είναι η τιμή του δείκτη τόσο μεγαλύτερος είναι ο βαθμός εξάρτησης. Αν var(u ) var(u ) συνεπώς δεν υπάρχει αιτιότητα. Τέλος για αρνητικές F YX 0 τότε τιμές του δείκτη δεχόμαστε ότι δεν υπάρχει αιτιότητα (A. Seh 2010) [13]. Ο Geweke (1982) [14] δίνει μια πιο πλήρη περιγραφή αυτού του μέτρου συμπεριλαμβάνοντας και κάποιες επιπλέον μορφές του, όπως της στιγμιαίας κατά Granger αιτιότητα (insananeous causaliy). Οι Dufour και Taamoui (2010) [15] προεκτείνουν τα μέτρα αιτιότητας που έχουν αναπτυχθεί από τον Geweke (1982, 1984) [14] [16] και άλλους, οι οποίοι ποσοτικοποιούν την επίδραση της μεταβλητής Υ σε μια μεταβλητή Χ στον χρονικό ορίζοντα μιας περιόδου. Οι Dufour και Taamoui υποστηρίζουν ότι είναι δυνατόν η μεταβλητή Υ να προκαλεί την Χ σε χρονικό ορίζοντα μεγαλύτερο από 1, ακόμη και αν δεν υπάρχει αιτιώδης συνάφεια στον χρονικό ορίζοντα 1. Σε αυτήν την περίπτωση, μιλάμε για μια έμμεση αιτιότητα (indirec causaliy). Στην εργασία τους προτείνουν μέτρα αιτιότητας σε διάφορους χρονικούς ορίζοντες για την ποσοτικοποίηση της βραχυπρόθεσμης και μακροπρόθεσμης αιτιότητας (shor- and long-run causaliy) [15]. Έχοντας υπολογίσει αυτό το μέγεθος της G-αιτιότητας (αιτιότητα κατά Granger), είναι σημαντικό να αξιολογηθεί η στατιστική σημαντικότητά του. Αυτό μπορεί να 35

36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΑΙΤΙΟΤΗΤΑ ΚΑΤΑ GRANGER πραγματοποιηθεί (όπως περιγράφεται στην επόμενη παράγραφο) μέσω ενός ελέγχου F για τη μηδενική υπόθεση ότι οι συντελεστές γ i στην εξίσωση (3.1) είναι όλοι μηδέν (Granger, 1969) [13] Περιγραφή του ελέγχου (παραμετρικός) για δύο μεταβλητές Χ, Υ Θεωρούμε τα υποδείγματα (3.1) και (3.2). Υποθέτουμε ότι οι τιμές των μεταβλητών Χ και Υ, εξαρτώνται από τις προηγούμενες τιμές και των δύο μεταβλητών. Υποθέτουμε επίσης ότι Cov(u,v ) 0 και ότι οι σειρές X και Y είναι στάσιμες, επισημαίνοντας τη σημαντικότητα της τελευταίας υπόθεσης γιατί διαφορετικά υπάρχει το ενδεχόμενο της πλασματικής παλινδρόμησης οπότε και τα αποτελέσματα των ελέγχων με τη στατιστική F (που αναλύεται στη συνέχεια) μπορεί να είναι παραπλανητικά. Οι σχέσεις αιτίου αποτελέσματος με βάση τα υποδείγματα (3.1) και (3.2) μπορούν να διατυπωθούν ως ακολούθως: α. Αν οι συντελεστές c i,(i 1,2,...,p) των μεταβλητών X iστην (3.2) είναι στατιστικά σημαντικοί, ενώ οι συντελεστές γ i,(i 1,2,...,p) των μεταβλητών Y i στην (3.1) είναι στατιστικά ίσοι με το μηδέν, υπάρχει αιτιότητα κατά Granger, από τη Χ προς την Υ, ( X Y). Αυτό σημαίνει ότι οι μεταβολές των τιμών της Χ, προηγούνται των ανάλογων μεταβολών των τιμών της Υ. Οπότε σε ένα ανάλογο διμεταβλητό υπόδειγμα η Υ θα είναι η εξαρτημένη μεταβλητή και η Χ η ερμηνευτική μεταβλητή. β. Αν οι συντελεστές c i,(i 1,2,...,p) των μεταβλητών X iστην (3.2) δεν είναι στατιστικά σημαντικοί, ενώ οι συντελεστές γ i,(i 1,2,...,p) των μεταβλητών Y iστην (3.1) είναι στατιστικά σημαντικοί, υπάρχει αιτιότητα κατά Granger, από την Υ προς την Χ, ( Y X). γ. Αν οι συντελεστές c i,(i 1,2,...,p) και γ i,(i 1,2,...,p) των μεταβλητών X i και Y iαντίστοιχα στις δύο εξισώσεις, είναι στατιστικά σημαντικοί, υπάρχει ένδειξη αιτιότητας κατά Granger και προς τις δύο κατευθύνσεις, ( X υπάρχει αμφίδρομη σχέση μεταξύ των μεταβλητών Χ και Υ. Y). Μ άλλα λόγια, 36

37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΑΙΤΙΟΤΗΤΑ ΚΑΤΑ GRANGER δ. Τέλος, θεωρείται ότι δεν υπάρχει αιτιώδης σχέση μεταξύ των μεταβλητών Χ και Υ αν οι συντελεστές c i,(i 1,2,...,p) και γ i,(i 1,2,...,p) των μεταβλητών X i και Y iαντίστοιχα στις δύο εξισώσεις, δεν είναι στατιστικά σημαντικοί. Η περίπτωση αυτή αναφέρεται και ως κατάσταση ανεξαρτησίας [12] Εφαρμογή του παραμετρικού ελέγχου Εκτιμούμε με τη μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων OLS τα υποδείγματα (3.1) και (3.2) υπολογίζουμε το SSE 1 του πρώτου υποδείγματος και το SSE2του δεύτερου υποδείγματος (δηλαδή τα αθροίσματα τετραγώνων των καταλοίπων που προκύπτουν από τις εξισώσεις παλινδρόμησης (3.1) και (3.2) αντίστοιχα). Έπειτα θεωρούμε τα υποδείγματα p X α β i X i u (3.4) i1 p Y a b i Y i v (3.5) i1 Το (3.4) είναι ουσιαστικά το (3.1) με τον περιορισμό γ1 γ2 γ 3... γp 0 και το (3.5) είναι το (3.2) με τον περιορισμό c1 c2 c 3... cp 0. Και εδώ υπολογίζουμε τα SSE 3 και SSE 4 για τα υποδείγματα (3.4) και (3.5) αντίστοιχα. Στη συνέχεια υπολογίζουμε τα στατιστικά F 1 και F 2 από τις σχέσεις : F 1 SSE SSE p SSE1 T (2p 1) 3 1 F 2 SSE SSE p SSE2 T (2p 1) 4 2 όπου Τ ο αριθμός των παρατηρήσεων που χρησιμοποιήθηκαν στη διαδικασία της εκτίμησης. F Αν 1 π Αν 1 π F και F2 Fπ τότε υπάρχει αιτιότητα κατά Cranger από την Υ προς την Χ. F F και F2 Fπ τότε υπάρχει αιτιότητα κατά Cranger από την Χ προς την Υ. F Αν 1 π F και F2 Fπ τότε υπάρχει αμφίδρομη σχέση μεταξύ των δύο μεταβλητών. 37

38 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΑΙΤΙΟΤΗΤΑ ΚΑΤΑ GRANGER Αν F1 Fπ και F2 Fπ τότε δεν υπάρχει σχέση αιτιότητας μεταξύ των Χ και Υ. Το F π είναι το F των πινάκων για ορισμένο επίπεδο σημαντικότητας και (p,t 2p 1) βαθμούς ελευθερίας. Ο έλεγχος των υποθέσεων που αφορά τη σημαντικότητα ή όχι των συνόλων των συντελεστών των εξισώσεων του υποδείγματος VAR αναφέρεται και ως έλεγχος Wald. Ο έλεγχος του Wald αναφέρεται στη σημαντικότητα των συντελεστών των μεταβλητών μιας παλινδρόμησης. Ο έλεγχος Wald μπορεί να γίνει για μερικούς μόνο συντελεστές ταυτόχρονα ή για όλους τους συντελεστές ταυτόχρονα ή ακόμη για κάποιους γραμμικούς περιορισμούς μεταξύ των συντελεστών (Βλέπε Α. Κάτος 2004 σελ ) [11] και Γ. Χρήστου 2007 Β τόμος σελ [4]) Έλεγχος με το κριτήριο του πολλαπλασιαστή Lagrange Aν θεωρήσουμε και εκτιμήσουμε μόνο τα υποδείγματα (3.2) και (3.5), αφού ελέγξουμε την υπόθεση c1 c2 c 3... cp 0 εφαρμόζοντας τον έλεγχο για το στατιστικό F, μπορούμε να συμπεράνουμε αν υπάρχει απλή κατά Granger αιτιότητα από την Χ προς την Υ ( X Y). Εναλλακτικά αυτός ο έλεγχος μπορεί να γίνει με το γνωστό κριτήριο του Lagrange, δηλαδή με τις στατιστικές LM και LM. Σημειώνεται ότι στο υπόδειγμα (3.2) είναι δυνατό να συμπεριληφθεί και μεταβλητή χρονικής τάσης. Η διαδικασία περιγράφεται παρακάτω. Βήμα 1 ο Αρχικά εκτιμούμε την περιορισμένη μορφή, δηλαδή το υπόδειγμα (3.5) και υπολογίζουμε τα κατάλοιπα ˆv. Βήμα 2 ο Έπειτα εκτιμούμε μια νέα παλινδρόμηση με σταθερό όρο, όπου εξαρτημένη μεταβλητή είναι τα κατάλοιπα ˆv και ερμηνευτικές οι h 2p μεταβλητές X i (i 1,2,...,p) και Y i (i 1,2,...,p) που εμφανίζονται στην εξίσωση (3.2) (αν υπάρχει και μεταβλητή χρονικής τάσης τότε h 2p 1) και βρίσκουμε τον συντελεστή προσδιορισμού Βήμα 3 ο 2 R. Ο έλεγχος της υπόθεσης που προαναφέρθηκε γίνεται με μία από τις δύο στατιστικές LM και LM που δίνονται από τις παρακάτω σχέσεις: (Τ ο αριθμός των παρατηρήσεων που χρησιμοποιήθηκαν στη διαδικασία της εκτίμησης) 38

39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο η οποία ακολουθεί την LM T R 2 X κατανομή με p βαθμούς ελευθερίας και 2 ΑΙΤΙΟΤΗΤΑ ΚΑΤΑ GRANGER LM 2 T h R p 1 R η οποία ακολουθεί την F κατανομή με (p,t h) βαθμούς ελευθερίας. Για επίπεδο σημαντικότητας a, απορρίπτουμε την υπόθεση c1 c2 c 3... cp 0, αν LM αν (a,p,th) 2 2 LM X (a,p) ή F οπότε συμπεραίνουμε ότι υπάρχει απλή κατά Granger αιτιότητα από την Χ προς την Υ ( X Y). Όμοια αν θεωρήσουμε τα υποδείγματα (3.1) και (3.4) με την ίδια διαδικασία μπορούμε να διαπιστώσουμε αν υπάρχει αιτιώδης σχέση από την Υ προς την Χ ( Y X). Είναι σκόπιμο πάντως να επισημανθεί ότι τα αποτελέσματα των ελέγχων αυτών είναι έγκυρα, μόνο στις περιπτώσεις που οι μεταβλητές Χ, Υ είναι στάσιμες. Όπως α- ναφέρει ο Lukepohl (2005) [17], αν οι μεταβλητές δεν είναι στάσιμες, τότε η εγκυρότητα των ελέγχων που προαναφέρθηκαν είναι αμφισβητήσιμη [12] Πολυμεταβλητή περίπτωση (Condiional Granger causaliy) Είναι σημαντικό ότι, η αιτιότητα κατά Granger είναι εύκολο να γενικευθεί στην πολυμεταβλητή (υπό όρους) περίπτωση κατά την οποία η G-αιτιότητα (αιτιότητα κατά Granger) της X2 στη X 1 εξετάζεται στο πλαίσιο των πολλών πρόσθετων μεταβλητών X 3...X n [16]. Στην περίπτωση αυτή, η X 2 G-αιτιάζει την X 1, γνωρίζοντας ότι η X 2 μειώνει τη διακύμανση σφάλματος πρόβλεψης της X 1, όταν όλες οι άλλες μεταβλητές X 3...X n περιλαμβάνονται επίσης στο μοντέλο παλινδρόμησης. Για παράδειγμα έστω ένα σύστημα VAR(p) με τρεις μεταβλητές X 1, X 2 και X 3 στο οποίο θέλουμε να εξετάσουμε αν υπάρχει αιτιότητα κατά Granger από την X 2 προς την X 1. Το μοντέλο αυτοπαλινδρόμησης που περιλαμβάνει όλες τις μεταβλητές (μοντέλο χωρίς περιορισμούς) έχει μήτρα συνδιακύμανσης θορύβου την var(e 1) cov(e 1, e 2) cov(e 1, e 3) Σ cov(e 2, e 1) var(e 2) cov(e 2, e 3) cov(e 3, e 1) cov(e 3, e 2) var(e 3) 39

40 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΑΙΤΙΟΤΗΤΑ ΚΑΤΑ GRANGER Αν τώρα από το αυτοπαλίνδρομο μοντέλο παραλείψουμε τη μεταβλητή X 2, θα πάρουμε το περιορισμένο μοντέλο με μήτρα συνδιακύμανσης θορύβου την Σ 2 var(e 1) cov(e 1, e 3) cov(e 3, e 1) var(e 3) Η πρώτη εξίσωση του μοντέλου χωρίς περιορισμούς είναι p p p 1 i 1,1 i 2,1 i 3,1 1 i1 i1 i1 X α β X γ X δ X e Αν από την παραπάνω εξίσωση παραλείψουμε τη μεταβλητή X 2, θα πάρουμε την περιορισμένη εξίσωση p p 1 i 1,1 i 3,1 1 i1 i1 X α β X δ X e O δείκτης F της αιτιότητας Granger από τη μεταβλητή X 2 στη μεταβλητή X 1, εξαρτώμενη από τη μεταβλητή X 3, δίνεται από τη σχέση F var(e ) 1 ln var(e 1 ) Και εδώ, όπως και στην περίπτωση των δύο μεταβλητών, το θετικό πρόσημο του δείκτη (δηλαδή αν F ) δηλώνει την ύπαρξη αιτιότητας. 3.3 ΕΛΕΓΧΟΣ SIMS ΓΙΑ ΑΙΤΙΟΤΗΤΑ ΚΑΤΑ GRANGER. A υπόδειγμα: ν στο υπόδειγμα (3.1) προσθέσουμε ως παλινδρομητές και τις τιμές της Υ με προήγηση (lead values), δηλαδή Y 1, Y 2,, Y p θα έχουμε το παρακάτω p p p i i i i i i (3.6) i1 i1 i1 X α β X γ Y δ Y u Εφόσον γίνεται αποδεκτό ότι το μέλλον δεν προκαλεί το παρόν ή το παρελθόν, αν υ- πάρχει αιτιότητα κατά Granger από την Χ προς την Υ, τότε θα πρέπει να υπάρχει κάποια σχέση ανάμεσα στο Χ και στο Υ με προήγηση. Δηλαδή δεν θα πρέπει οι συντελεστές δ 1, δ 2,, δ p να είναι 0. 40

41 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΑΙΤΙΟΤΗΤΑ ΚΑΤΑ GRANGER Η απόρριψη λοιπόν της μηδενικής υπόθεσης Η 0 :δ1 δ2 δp 0 συνεπάγεται αιτιότητα κατά Granger από την Χ προς την Υ. Ο έλεγχος της μηδενικής υπόθεσης γίνεται κατά τα γνωστά με το στατιστικό F. Το υπόδειγμα (3.6) είναι το υπόδειγμα χωρίς περιορισμό και το ακόλουθο p p i i i i i1 i1 X α β X γ Y u είναι το υπόδειγμα με περιορισμό όπου λείπουν οι τιμές της Υ με προήγηση [4]. Πολλές εναλλακτικές τεχνικές για την εύρεση αιτιότητας έχουν προκύψει και ε- φαρμόζονται, συμπεριλαμβανομένων των Granger(1969) [2], Sims(1972) [18], Geweke e al. (1982) [14] για να ελεγχτεί η κατεύθυνση της αιτιότητας. Οι Guilkey και Salemi (1982) [19] και οι Geweke e al. (1984) [16] εξετάζοντας σε πεπερασμένα δείγματα τις ιδιότητες αυτών των τριών ελέγχων δείχνουν ότι οι Granger τύπου έλεγχοι πρέπει να προτιμούνται έναντι των άλλων. 41

42 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΑΙΤΙΟΤΗΤΑ ΚΑΤΑ GRANGER 42

43 Κεφάλαιο 4 ο : ΣΥΝΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ 43

44 44

45 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΣΥΝΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ 4.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ Π ολλές φορές μετά από παλινδρόμηση δύο μη στάσιμων χρονικών σειρών έχουμε υψηλή συσχέτιση χωρίς στην πραγματικότητα να υπάρχει καμιά σχέση μεταξύ τους. Οι Granger και Newbold (1974) [20] υποστήριξαν ότι η υψηλή συσχέτιση οφείλεται στην ύπαρξη χρονικών τάσεων και στις δύο χρονικές σειρές. Τις παλινδρομήσεις αυτές όπου τα αποτελέσματα φαίνονται πολύ καλά ως προς τα στατιστικά R 2 και, αλλά οι μεταβλητές που συμμετέχουν στην παλινδρόμηση είναι χρονικές σειρές που σημειώνουν τάση τις ονόμασαν πλασματικές παλινδρομήσεις. Οι ίδιοι μάλιστα πρότειναν, ως έναν αδρό κανόνα, όταν είναι DW 2 R (όπου DW είναι ο έλεγχος Durbin- Wason που αφορά στον έλεγχο αυτοσυσχέτισης των καταλοίπων στην εξίσωση παλινδρόμησης μιας χρονικής σειράς. Βασίζεται στη στατιστική d γνωστή ως Durbin-Wason d στατιστική. Βλέπε Γ. Χρήστου (2007) [21]) τότε υποπτευόμαστε ότι η παλινδρόμηση είναι πλασματική [11]. Συνήθως για την αποφυγή της μη στασιμότητας των χρονικών σειρών χρησιμοποιούνται οι πρώτες διαφορές τους. Όταν όμως οι μεταβλητές είναι εκφρασμένες στις πρώτες διαφορές αναφερόμαστε σε βραχυχρόνιες καταστάσεις (ή αλλιώς σε καταστάσεις ανισορροπίας) και όχι στη μακροχρόνια κατάσταση (ή αλλιώς στην κατάσταση ισορροπίας όπου οι μεταβλητές είναι στα αρχικά τους επίπεδα). Τις πιο πολλές φορές όμως, αυτό που ενδιαφέρει τους ερευνητές είναι οι μακροχρόνιες σχέσεις ανάμεσα στα επίπεδα των χρονικών σειρών. Η έννοια της συνολοκλήρωσης συνδέεται άμεσα με την έννοια της μακροχρόνιας ισορροπίας μεταξύ μη στάσιμων χρονικών σειρών [6]. Σε μη-στάσιμες χρονικές σειρές που εμφανίζουν την ίδια τάση, ή αλλιώς «μετακινούνται μαζί» μπορεί τα αποτελέσματα που προκύπτουν από την παλινδρόμηση να μην είναι πλασματικά οπότε και να ισχύουν τα συνηθισμένα συμπεράσματα που βασίζονται στα στατιστικά και F. Όταν υπάρχει αιτιολογική σχέση όπως προσδοκάται για παράδειγμα ανάμεσα στις μεταβλητές του εισοδήματος και της κατανάλωσης, οι δύο μεταβλητές δε θα αποκλίνουν μακροχρόνια παρόλο που και οι δύο μεγεθύνονται, δηλαδή έχουν τάση και άρα είναι μη-στάσιμες [6]. Ο «συγχρονισμός» αυτός των μη στάσιμων χρονικών σειρών είναι η βασική ιδέα πίσω από την έννοια της συνολοκλήρωσης, όπου δύο ή περισσότερες μεταβλητές κινούνται μακροπρόθεσμα προς την ίδια κατεύθυνση δηλαδή υπάρχει μια μακροχρόνια σχέση ισορροπίας μεταξύ των μεταβλητών χωρίς απαραίτητα να ισχύει το ίδιο και βραχυπρόθεσμα. 45