CURS I II. Capitolul I: Integrala definită. Primitive. 1 Integrabilitate Riemann. Criterii de integrabilitate
|
|
- Ὀφιοῦχος Βαρουξής
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Cpitolul I: Integrl definită. Primitive Conf. dr. Lucin Mticiuc Fcultte de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineri Mediului Anliz Mtemtică II, Semestrul II Conf. dr. Lucin MATICIUC CURS I II Cpitolul I: Integrl definită. Primitive Integrbilitte Riemnn. Criterii de integrbilitte Fie [, b] un intervl compct (închis şi mărginit). Definiţi ) O fmilie finită de puncte = (,,..., n ) stfel încât = < < < n < n = b, se numeşte diviziune intervlului [, b]. ) Lungime celui mi mre intervl de form [ i, i+ ], i =, n se numeşte norm diviziunii şi se noteză cu def = m ( i+ i ). i=,n 3) Punctele rbitrre ξ i [ i, i+ ], i =, n formeză un sistem de punte intermedire socit diviziunii. 4) Sum nottă prin σ (f) def = n f (ξ i ) ( i+ i ) se numeşte sum Riemnn socită i= funcţiei f : [, b] R corespunzătore diviziunii şi sistemului de punte intermedire {ξ i } i=,n. Definiţi Spunem că funcţi f : [, b] R este integrbilă Riemnn pe [, b] dcă, oricre r fi un şir de diviziuni ( n ) n N, n = ( n, n,..., n k n ) cu norm n, pentru n, oricre r fi sistemul de puncte intermedire ξ n i [ n i, n i+], i =, kn, şirul sumelor Riemnn (σ n (f)) n N este un şir convergent. Numărul lim σ n n (f) din cestă definiţie se v not cu b f () d şi se numeşte integrl definită Riemnn funcţiei f pe [, b]. Au loc următorele rezultte Teorem 3 Orice funcţie continuă pe [, b] este integrbilă pe [, b]. Lucin Mticiuc Teorem 4 Orice funcţie monotonă pe [, b] este integrbilă pe [, b]. Teorem 5 Orice funcţie integrbilă pe [, b] este mărginită pe [, b].
2 Cpitolul I: Integrl definită. Primitive Conf. dr. Lucin Mticiuc Proprietăţi le funcţiilor integrbile Proposiţi 6 Dcă f este integrbilă pe [, b] tunci b f () d = b f () d şi f () d =. Proposiţi 7 () (propriette de liniritte) Dcă f, g sunt integrbile pe [, b] şi α, β R tunci funcţi αf + βg este integrbilă pe [, b] şi re loc b (αf () + βg ()) d = α b f () d + β b g () d (b) (propriette de ditivitte) Dcă f este integrbilă pe [, b] tunci oricre r fi punctul c [, b] vem c f () d + b c f () d = b f () d (c) (propriette de monotonie) Dcă f, g sunt integrbile pe [, b] şi dcă f g pe [, b] tunci b f () d b g () d (d) Dcă f este integrbilă pe [, b] tunci f este integrbilă pe [, b] şi b b f () d f () d Teorem 8 (de medie) Dcă f este continuă pe [, b] (deci şi integrbilă pe [, b]) şi dcă g este integrbilă pe [, b] şi g, tunci eistă ξ (, b) stfel încât b În prticulr, pentru g, obţinem f () g () d = f (ξ) b g () d Corolrul 9 Dcă f este continuă pe [, b] tunci eistă ξ (, b) stfel încât b f () d = f (ξ) (b ) Proposiţi Dcă f este integrbilă pe intervlele [, c] şi [c, b] tunci f este integrbilă pe [, b]. Lucin Mticiuc 3 Primitive. Metode de clcul În continure fie f o funcţie integrbilă pe [, b] şi c [, b] Definiţi Funcţi F : [, b] R, dtă de F () = se numeşte integrl nedefinită funcţiei f c f (t) dt
3 Cpitolul I: Integrl definită. Primitive Conf. dr. Lucin Mticiuc Teorem (continuitte integrlei nedefinite) Fie f o funcţie integrbilă pe [, b]. Funcţi F : [, b] R, F () = f (t) dt este continuă pe [, b]. Demonstrţie. Fie (, b) un punct rbitrr. Funcţi f este mărginită pe [, b] (deorece este integrbilă pe [, b]) dică f () M, [, b]. Avem că deci F () F ( ) = f (t) dt f (t) dt = f (t) dt F () F ( ) = f (t) dt f (t) dt Mdt = M De ici vem continuitte lui F în, dică lim F () = F ( ). Teorem 3 (derivbilitte integrlei nedefinite) Fie f o funcţie continuă pe [, b]. Funcţi F : [, b] R, F () = f (t) dt este derivbilă pe (, b) şi F () = f () (su echivlent df () = f () ). d Demonstrţie. Demonstrţie: Fie (, b) un punct rbitrr. Avem F () F ( ) = f (t) dt f (t) dt = f (t) dt, (, b), Conform unei teoreme de medie, deorece f este continuă, vem că ξ între şi.î. F () F ( ) = f (ξ) ( ). Deci F () F ( ) = f (ξ), şi trecând l limită obţin, deorece f este continuă F () F ( ) lim = lim f (ξ) = f ( ) F () F ( ) (dcă ξ este între şi şi dcă tunci ξ ). Deci eistă lim = f ( ) F ( ) = f ( ). Definiţi 4 Se numeşte primitivă funcţiei f pe [, b] o funcţie F cu propriette că este derivbilă pe [, b] şi re loc F () = f (), [, b]. Remrc 5 Dcă f dmite primitiv F tunci orice ltă primitivă este de form F + C, C R Remrc 6 Dcă f dmite primitiv F tunci mulţime {F + C, C R} se numeşte tot integrl nedefinită lui f şi se noteză cu f () d Lucin Mticiuc Remrc 7 Să remrcăm că integrl definită b f () d este un număr, pe când primitiv unei funcţii este o funcţie (ir integrl nedefinită este mulţime infinită de funcţii). Eemplul 8 Determinţi primitivele următorelor funcţii: ) f () = 4, b) f () = e 3, c) f () = sin (5), d) f () = cos (). 3
4 Cpitolul I: Integrl definită. Primitive Conf. dr. Lucin Mticiuc Proposiţi 9 (propriette de liniritte) Dcă f, g dmit primitive şi α, β R tunci funcţi αf + βg dmite primitive şi re loc (αf () + βg ()) d = α f () d + β g () d. Eemplul Clculţi următorele primitive: (4 ) ) d, b) cos d, c) sin d. (se vor folosi formulele cos () = cos = sin şi sin () = sin cos ). Teorem (formul lui Leibniz-Newton) Fie f o funcţie integrbilă şi cre dmite primitive pe [, b]. Atunci re loc b oricre r fi F o primitivă lui f. f () d = F () b = F (b) F () Demonstrţie. Fie F o primitivă lui f. Fie n un şir de diviziuni le lui [, b] cu norm n. Conform teoremei creşterilor finite lui Lgrnge vem că eistă ξ i [ i, i+ ].î. F ( i+ ) F ( i ) = F (ξ i ) ( i+ i ) = f (ξ i ) ( i+ i ), i =, n Deci sum Riemnn socită diviziunii d cu s.p.i. dte de Teorem lui Lgrnge este n n σ dn = f(ξ i ) ( i+ i ) = (F ( i+ ) F ( i )) = F (b) F () i= i= Deci şirul sumelor Riemnn este constnt deci σ dn [F (b) F ()]. Pe de ltă prte, f fiind integrbilă, vem că σ dn b f () d. Limit fiind unică obţin că b f () d = F (b) F (). Eemplul Clculţi următorele integrle definite: ) 5 d, b) π d, c) sin d, d) 6 d. Lucin Mticiuc Teorem 3 (metod de integrre prin părţi) Dcă f, g sunt derivbile cu derivtele continue pe intervlul I, tunci f () g () d = f () g () f () g () d 4
5 Cpitolul I: Integrl definită. Primitive Conf. dr. Lucin Mticiuc Demonstrţie. Din ipoteză vem că funcţiile f () g () şi f () g () sunt continue, deci integrlele f () g () d şi f () g () d u sens. Avem (fg) = f g + fg deci (f () g () + f () g () ) d = (f () g ()) d = f () g () + C deci Dr deci obţinem concluzi. f () g () d = f () g () + C f () g () d ( ) = f () g () f () g () d C f () g () d C = f () g () d Proposiţi 4 În celeşi condiţii c mi sus re loc formul de integrre prin părţi pentru integrle definite b b f () g () d = f () g () b f () g () d Eemplul 5 Clculţi, folosind metod de integrre prin părţi, următorele integrle: ) e d, b) e 3 d, c) ln d, d) ln d, e) e sin (b) d, f) sin d, g) ln 3 d, h) + d, R 3 i) + d, j) + d, k) d, l) d, e) Folosim e = (e ) : e sin (b) d = (e ) sin (b) d = e sin (b) e (sin (b)) d = = e sin (b) b e cos (b) d = mi plicăm odtă = e sin (b) b (e ) cos (b) d = = e sin (b) b ( ) e cos (b) e (cos (b)) d = = e sin (b) b Lucin Mticiuc ( e cos (b) + = e sin (b) b e cos (b) b ) be sin (b) d = e sin (b) d 5
6 Cpitolul I: Integrl definită. Primitive Conf. dr. Lucin Mticiuc Deci e sin (b) d + b e sin (b) d = e sin (b) b e cos (b) + C, C R ( e sin (b) d = + b e sin (b) b ) e cos (b) + C, C R Observţie: putem plec şi de l sin (b) = b (cos (b)). ( ) f) Observăm că = 3 şi că sin = (cos ) deci plecăm de l funcţi sin. 3 Teorem 6 (prim metodă de schimbre de vribilă) Fie funcţiile u : I J şi f : J R, unde I, J sunt intervle. Dcă u este derivbilă pe I ir f dmite primitive pe J tunci funcţi f (u) u : I R dmite primitive pe I şi re loc f (u ()) u () d = F (u ()) + C unde F este o primitivă lui f. Demonstrţie. Avem că F este derivbilă, deci funcţi F (u ()) este derivbilă şi re loc (F (u ())) = F (u ()) u () = f (u ()) u () dică funcţi F (u ()) este o primitivă lui f (u ()) u () deci f (u ()) u () d = F (u ()) + C Remrc 7 Prctic: notăm y not = u () deci dy = u () d deci f (u ()) u () d = f (y) dy = F (y) + C = F (u ()) + C Proposiţi 8 (prim metodă de schimbre de vribilă pentru integrl definită) Dcă u este derivbilă pe J cu derivt continuă şi f este continuă pe I, tunci b f (u ()) u () d = u(b) u() f (y) dy = F (u (b)) F (u ()) Eemplul 9 Clculţi următorele integrle folosind prim metodă de schimbre de vribilă: + rccos ) e d, b) tg d, c) e d, d) d, e) + e π/ f) Lucin Mticiuc cos + sin d, g) π/4 sin 3 cos d, h) 3 ln d, 6 5d, i) + + d 6
7 Cpitolul I: Integrl definită. Primitive Conf. dr. Lucin Mticiuc d) Observ că = ( rccos ) + rccos rccos d = d + d = ( ) = d + rccos ( rccos ) d = = rccos (rccos ) d = Acum dcă notăm y not = rccos dy = (rccos ) d deci integrl devine + rccos d = ydy = rccos d (rccos ) = y + C = (rccos ) + C, C R e) Observ că = (ln ) şi voi not y not = ln dy = (ln ) d f) Observ că cos = (sin ) şi voi not y not = sin dy = (sin) d şi limitele de integrre devin: dcă = tunci y = sin = şi dcă = π/ tunci y = sin π/ = h) Folosim form cnonică trinomului de grdul + b + c = ( + b ) + unde = b 4c. Deci ( ) 6 5 = = (36 ) şi 3 = ( 3) + 4 = 4 ( 3) 3 6 5d = 4 ( 3) d = ( 3) ( 3) d = Notez y not = 3 dy = ( 3) d şi limitele de integrre devin: dcă = tunci y = şi dcă = 3 tunci y =. 3 cre se v clcul prin rţionlizre. 6 5d = 4 y dy Teorem 3 ( dou metodă de schimbre de vribilă) Fie funcţiile u : I J şi f : J R, unde I, J sunt intervle. Dcă f e continuă pe J ir u este strict monotonă şi derivbilă pe I ir invers s v : J I re derivt continuă pe J tunci funcţi f (u) : I R dmite primitive pe I şi re loc f (u ()) d = F (u ()) + C unde F este o primitivă lui fv, dică f (y) v (y) dy = F (y) + C. Lucin Mticiuc 7
8 Cpitolul I: Integrl definită. Primitive Conf. dr. Lucin Mticiuc Demonstrţie. Avem că f şi v sunt continue deci eistă primitiv f (y) v (y) dy = F (y)+c deci F (y) = f (y) v (y) Evident că F (u ()) este derivbilă şi (F (u ())) = F (u ()) u () = f (u ()) v (u ()) u () Dr u şi v sunt inverse un celeilte deci v (u ()) = = u (v ()). Derivând prim eglitte obţin (v (u ())) = v (u ()) u () = deci (F (u ())) = f (u ()) v (u ()) u () = f (u ()) dică F (u ()) este o primitivă lui f (u ()). Prctic: fcem substituţi = u (y) = v (y) deci d = v (y) dy deci f (u ()) d = f (u (v (y))) v (y) dy = f (y) v (y) dy = F (y) + C = F (u ()) + C Proposiţi 3 ( dou metodă de schimbre de vribilă pentru integrl definită) În celeşi ipoteze c mi sus vem b f (u ()) d = u(b) u() f (y) v (y) dy Prctic: notăm y not = u () deci vem şi = u (y) = v (y) d = v (y) dy b f (u ()) d = u(b) u() f (u (v (y))) v (y) dy = u(b) u() f (y) v (y) dy Eemplul 3 Fie f : [, ] R o funcţie integrbilă pe [, ]. Arătţi că dcă f este pră, tunci şi dcă f este impră, tunci f () d = f () d =. f () d Lucin Mticiuc Eemplul 33 Clculţi următorele integrle folosind dou metodă de schimbre de vribilă: ) cos d, b) 4 d ) Vom not = y = y deci d = ydy şi integrl devine cos d = cos y ydy = y cos y dy Pentru clculul cestei integrle vezi metod de integrre prin părţi. L sfârşit se v înlocui y = 8
9 Cpitolul I: Integrl definită. Primitive Conf. dr. Lucin Mticiuc b) Folosim substituţi trigonometrică = sin y su = cos y. Dcă folosim substituţi = sin y tunci d = ( sin y) dy = cos ydy şi = sin y y = rcsin / Limitele de integrre devin: dcă = tunci y = rcsin = şi dcă = tunci y = rcsin / = π/6. 4 Clculul integrlelor unor clse de funcţii (vezi şi eerciţiile de l seminr). În cestă secţiune vom prezent pe scurt metode de clcul le integrlelor unor clse de funcţii. I. Clculul primitivelor funcţiilor rţionle. Pentru clculul primitivelor unei funcţii rţionle P () se prcurg următorele etpe: Q() Dcă grd P () grd Q () tunci se v împărţi P l Q şi se v obţine P () Q() = C () + P () Q() unde grd P () < grd Q (). Se v descompune numitorul Q () în fctori ireductibili, dică Q () = k ( α i ) r i i= k ( ) sj + β j + γ j j= = ( α ) r ( α k ) r k ( + β + γ ) s ( + β l + γ l ) sl. Frcţi rţionlă P () Q() (suntem în czul când grdul numărătorului este mi mic strict decât grdul numitorului) se v descompune în frcţii simple (utilizând descompunere de mi sus): P () Q () = k i l ( α i= i ) r + i j= b j + c ( j ) sj. + β j + γ j Eemplul 34 Să se clculeze următorele integrle din funcţii rţionle (eemple fundmentle): ) d, b) ( ) α d, α, c) d, d) b ( + b) α d, 4 5 e) d, f) d, g) d, ( h) d, i) d = + b + c ) d, ( ) ( j) Lucin Mticiuc d = + + b + c ) d
10 Cpitolul I: Integrl definită. Primitive Conf. dr. Lucin Mticiuc II. Clculul primitivelor unor epresii irţionle. ( Fie integrlele de form R, ( + b) p q, ( + b) ) p q,... d unde R este o epresie c + d c + d rţionlă. Aceste integrle se reduc l integrle rţionle cu jutorul substituţiei + b c + d = ts unde s este cel mi mic multiplu comun l numitorilor q, q,... Eemplul 35 Să se clculeze integrl 3 d. Fie integrlele de form m ( + b n ) p d unde m, n, p Q (integrle binome). Aceste integrle se reduc l integrle rţionle dor în următorele trei situţii (cu jutorul substituţiilor respective) : i) Dcă p este număr întreg. ii) Dcă m + este număr întreg şi în cest cz este utilă substituţi + b n = t s unde s este n numitorul lui p. iii) Dcă m + + p este număr întreg şi în cest cz este utilă substituţi + bn n n = t s unde s este numitorul lui p. ( Eemplul 36 Să se clculeze integrlele + 3 ) 3 d (vem m = /, n = /3, p = 3) şi d (vem m = /, n = /4, p = /3). III. Clculul primitivelor unor epresii ce conţin funcţii trigonometrice. Fie integrlele de form R (sin, cos ) d unde R (, b) este o epresie rţionlă în şi b. Aceste integrle se reduc l integrle rţionle cu jutorul următorelor substiţituţii: i) Dcă R ( sin, cos ) = R (sin, cos ) tunci este utilă substituţi cos = t. ii) Dcă R (sin, cos ) = R (sin, cos ) tunci este utilă substituţi sin = t. iii) Dcă R ( sin, cos ) = R (sin, cos ) tunci este utilă substituţi tg = t. iv) Substituţi universlă tg = t. Lucin Mticiuc În cest cz sunt utile următorele formule trigonometrice sin + cos =, sin cos = sin = sin = sin, sin cos =, cos +cos =, t +t, cos = t +t, unde t = tg, t, cos = +t +t, unde t = tg.
11 Cpitolul I: Integrl definită. Primitive Conf. dr. Lucin Mticiuc 5 Aplicţii le integrlei definite I. Ari unei suprfeţe plne ( unui domeniu din R ). Avem două czuri: ) (curb cre dă domeniul este dtă eplicit) Dcă domeniul este dt de D = {(, y) : b, y f ()} su D = {(, y) : b, f () y } tunci ri domeniului D este dtă de A (D) = b f () d ) (curbele cre du domeniul sunt dte eplicit) Dcă domeniul este dt de D = {(, y) : b, f () y f ()} tunci ri domeniului D este dtă de II. Volumul corpurilor de rotţie A (D) = b [f () f ()] d Dcă volumul V R 3 este obţinut prin rotţi mulţimii F = {(, y) : b, y f ()} tunci volumul este dt de V (F ) = π b f () d III. Lungimi de curbe (în pln şi spţiu). Avem trei czuri: ) (curb este dtă eplicit) Curb este dtă de (C) : y = f (), b tunci lungime curbei este dtă de L (C) = b + (f ()) d b ) (curb este în pln şi este dtă prmetric) { = (t) Curb este dtă de (C) :, t b tunci lungime curbei este dtă de y = y (t) L (C) = b ( (t)) + (y (t)) dt b ) (curb este în spţiu şi este dtă prmetric) = (t) Curb este dtă de (C) : y = y (t), t b tunci lungime curbei este dtă de z = z (t) Lucin Mticiuc L (C) = b ( (t)) + (y (t)) + (z (t)) dt Eemplul 37 Să se clculeze ri suprfeţei plne cuprinsă între curbele de ecuţie f () = şi g () =.
12 Cpitolul I: Integrl definită. Primitive Conf. dr. Lucin Mticiuc Eemplul 38 Să se clculeze ri discului de rză r (şi cu centrul în origine reperului): f () = r r şi A = 4 f () d =... Eemplul 39 Să se clculeze lungime cercului de rză r (şi cu centrul în origine reperului): f () = r r şi L = 4 + (f ()) d =... Lucin Mticiuc
13 Cpitolul I: Integrl definită. Primitive Conf. dr. Lucin Mticiuc 6 Tbloul integrlelor nedefinite d = + C α d = α+ α + + C, α R, α d = ln + C + d = rctg + C, d = ln + + C, ± d = ln + ± + C, d = rcsin + C, > d = ln + C, >,, sin d = cos + C cos d = sin + C cos d = tg + C sin d = ctg + C tg sin d = ln + C ( tg cos d = ln + π ) + C 4 tg d = ln cos + C ctg d = ln sin + C e d = e + C Lucin Mticiuc 3
Lucian Maticiuc SEMINAR 1 3. Capitolul I: Integrala definită. Primitive. 1. Să se arate că. f (x) dx = 0. Rezolvare:
Cpitolul I: Integrl definită. Primitive Conf. dr. Lucin Mticiuc Fcultte de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineri Mediului Anliz Mtemtică II, Semestrul II Conf. dr. Lucin MATICIUC. Să se rte că Rezolvre: SEMINAR
Διαβάστε περισσότεραSeminariile 1 2 Capitolul I. Integrale improprii
Cpitolul I: Integrle improprii Lect. dr. Lucin Mticiuc Fcultte de Mtemtică Clcul integrl şi Aplicţii, Semestrul I Lector dr. Lucin MATICIUC Seminriile Cpitolul I. Integrle improprii. Să se studieze ntur
Διαβάστε περισσότεραIntegrale cu parametru
1 Integrle proprii cu prmetru 2 3 Integrle proprii cu prmetru Definiţi 1.1 Dcă f : [, b ] E R, E R este o funcţie cu propriette că pentru orice y E, funcţi de vribilă x x f (x, y) este integrbilă pe intervlul
Διαβάστε περισσότεραAsupra unei metode pentru calculul unor integrale definite din functii trigonometrice
Educţi Mtemtică Vol. 1, Nr. (5), 59 68 Asupr unei metode pentru clculul unor integrle definite din functii trigonometrice Ion Alemn Astrct In this pper is presented one method of clcultion for the trigonometricl
Διαβάστε περισσότεραAnaliza matematică, clasa a XI-a probleme rezolvate Rolul derivatei întâi
Anliz mtemtică, cls XI- proleme rezolvte Rolul derivtei întâi Virgil-Mihil Zhri DefiniŃie: Punctele critice le unei funcńii derivile sunt rădăcinile (zerourile) derivtei întâi DefiniŃie: Fie f:i R, cu
Διαβάστε περισσότεραCurs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
Διαβάστε περισσότεραsin d = 8 2π 2 = 32 π
.. Eerciţii reolvte. INTEGRALA E UPRAFAŢĂ E AL OILEA TIP. ÂMPURI OLENOIALE. Eerciţiul... ă se clculee dd dd dd, () fiind fţ eterioră sferei + + 4. oluţie. Avem: sin θ cos φ, sin θ sin φ, cos θ, θ[, π],
Διαβάστε περισσότεραBARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)
BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL VII EXTINDERI ALE CONCEPTULUI DE INTEGRALĂ DEFINITĂ
CAPITOLUL VII EXTINDERI ALE CONCEPTULUI DE INTEGRALĂ DEFINITĂ În teori Integrlei definite numită şi Integrl Riemnn, s- urmărit c, l numite funcţii rele de o vriilă relă, dte pe mulţimi din R, după o schemă
Διαβάστε περισσότεραANALIZĂ MATEMATICĂ pentru examenul licenţă, manual valabil începând cu sesiunea iulie 2013 Specializarea Matematică informatică coordonator: Dorel I.
ANALIZĂ MATEMATICĂ pentru exmenul licenţă, mnul vlbil începând cu sesiune iulie 23 Specilizre Mtemtică informtică coordontor: Dorel I. Duc Cuprins Cpitolul. Serii de numere rele. Noţiuni generle 2. Serii
Διαβάστε περισσότεραIntegrala nedefinită (primitive)
nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei
Διαβάστε περισσότερα2 Ecuaţii diferenţiale Ecuaţia diferenţială de ordinul n... 55
Cuprins 1 Integrl definită şi generlizări 3 1.1 Definiţie, proprietăţi, formule de clcul............... 3 1. Integrl curbilinie......................... 17 1.3 Integrl improprie.........................
Διαβάστε περισσότεραCurs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"
Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia
Διαβάστε περισσότεραTema: şiruri de funcţii
Tem: şiruri de fucţii. Clculţi limit (simplă) şirului de fucţii f : [ 0,], f ( ) R Avem lim f ( 0) = ir petru 0, vem lim f ( ) Î cocluzie, dcă otăm f: [ 0, ], f ( ) =, = 0 =, 0 + + = +, tuci lim f f =..
Διαβάστε περισσότεραME.09 Transformate Fourier prin sinus şi cosinus
ME.9 Trnsformte Fourier prin sinus şi cosinus Cuvinte cheie Trnsformre Fourier prin cosinus, trnsformre Fourier prin sinus, trnsformt Fourier prin sinus, trnsformt Fourier prin cosinus, formule de inversre,
Διαβάστε περισσότεραSunt variabile aleatoare care iau o infinitate numărabilă de valori. Diagrama unei variabile aleatoare discrete are forma... f. ,... pn.
86 ECUAŢII 55 Vriile letore discrete Sut vriile letore cre iu o ifiitte umărilă de vlori Digrm uei vriile letore discrete re form f, p p p ude p = = Distriuţi Poisso Are digrm 0 e e e e!!! Se costtă că
Διαβάστε περισσότεραIntegrale generalizate (improprii)
Integrle generlizte (improprii) Fie f : [, ] R, definită prin =, α > 0. Pentru u, funţi α f este integrilă pe intervlul [, u] şi u ln α+ α+ u u = ( α)u α α, α = ln u, α =. Dă treem l limită pentru u oţinem
Διαβάστε περισσότεραSeminar 3. Serii. Probleme rezolvate. 1 n . 7. Problema 3.2. Să se studieze natura seriei n 1. Soluţie 3.1. Avem inegalitatea. u n = 1 n 7. = v n.
Semir 3 Serii Probleme rezolvte Problem 3 Să se studieze tur seriei Soluţie 3 Avem ieglitte = ) u = ) ) = v, Seri = v este covergetă fiid o serie geometrică cu rţi q = < Pe bz criteriului de comprţie cu
Διαβάστε περισσότεραπ } R 4. ctg:r\{kπ} R FuncŃii trigonometrice 1. DefiniŃii în triunghiul dreptunghic 2. ProprietãŃile funcńiilor trigonometrice 1.
Trigonometrie FuncŃii trigonometrice. DefiniŃii în triunghiul dreptunghic b c b sin B, cos B, tgb c C c ctgb, sin B cosc, tgb ctgc b b. ProprietãŃile funcńiilor trigonometrice. sin:r [-,] A c B sin(-x)
Διαβάστε περισσότεραELEMENTE DE CALCUL INTEGRAL (material incomplet, în curs de redactare) Paul GEORGESCU
ELEMENTE DE CALCUL INTEGRAL (mteril incomplet, în curs de redctre) Pul GEORGESCU Cuprins PRIMITIVE. Primitive................................... Operţii cu funcţii cre dmit primitive................ 7.3
Διαβάστε περισσότερα(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
Διαβάστε περισσότεραCurs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
Διαβάστε περισσότεραV.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile
Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ
Διαβάστε περισσότεραSeminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
Διαβάστε περισσότεραMetode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
Διαβάστε περισσότερα5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.
5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este
Διαβάστε περισσότεραIon CRĂCIUN ANALIZĂ MATEMATICĂ CALCUL INTEGRAL EDITURA PIM
Ion CRĂCIUN ANALIZĂ MATEMATICĂ CALCUL INTEGRAL EDITURA PIM IAŞI 27 2 Cuprins 1 Integrle improprii 9 1.1 Introducere............................ 9 1.2 Definiţi integrlei improprii................... 1 1.3
Διαβάστε περισσότεραa n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea
Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,
Διαβάστε περισσότεραIII. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar
Διαβάστε περισσότεραCONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICĂ APLICATĂ "ADOLF HAIMOVICI" ETAPA FINALĂ - 22 mai 2010
ETAPA FINALĂ - mi 00 BAREM DE CORECTARE CLASA A IX A. Pe o dreptă se consideră 00 puncte, cre formeză 009 segmente, fiecre de cm. Pe primul segment, desupr dreptei, construim un pătrt, pe l doile segment,
Διαβάστε περισσότεραTEMA 5: DERIVATE ŞI DIFERENȚIALE
TEMA 5: DERIVATE ŞI DIFERENȚIALE 35 TEMA 5: DERIVATE ŞI DIFERENȚIALE Obiective: Deinire principlelor proprietăţi mtemtice le uncţiilor, le itelor de uncţii şi le uncţiilor continue Deinire principlelor
Διαβάστε περισσότεραGHEORGHE PROCOPIUC ANALIZĂ MATEMATICĂ
GHEORGHE PROCOPIUC ANALIZĂ MATEMATICĂ IAŞI, 2002 Cuprins 1 ELEMENTE DE TEORIA SPAŢIILOR METRICE 6 1.1 Introducere................................... 6 1.1.1 Elemente de teori teori mulţimilor.................
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element
Διαβάστε περισσότεραCurs 1 Şiruri de numere reale
Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,
Διαβάστε περισσότεραTITULARIZARE 2002 Varianta 1
TITULARIZARE 2002 Vrint 1 A. Omotetii plne: definiţie, oricre două triunghiuri omotetice sunt semene, mulţime omotetiilor de celşi centru formeză un grup belin izomorf cu grupul multiplictiv l numerelor
Διαβάστε περισσότερα1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE
. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE. Eerciţii rezolvte Eerciţiul Stbiliţi dcă următorele şiruri sut fudmetle: ), N 5 b) + + + +, N * c) + + +, N * cos(!) d), N ( ) e), N Soluţii p p ) +p - < şi mjortul este
Διαβάστε περισσότεραMULTIMEA NUMERELOR REALE
www.webmteinfo.com cu noi totul pre mi usor MULTIMEA NUMERELOR REALE office@ webmteinfo.com 1.1 Rdcin ptrt unui numr nturl ptrt perfect Ptrtul unui numr rtionl este totdeun pozitiv su zero (dic nenegtiv).
Διαβάστε περισσότεραEcuaŃii de gradul al doilea ax 2 + bx + c = 0, a,b,c R, a 0 1. Formule de rezolvare: > 0 b x =, x =, = b 2 4ac; sau
EcuŃii de grdul l doile x + x + c = 0,,,c R, 0 Formule de rezolvre: > 0 + x =, x =, = c; su ' + ' ' ' x =, x =, =, = c Formule utile în studiul ecuńiei de grdul l II-le: x + x = (x + x ) x x = S P 3 x
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0
Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,
Διαβάστε περισσότεραANALIZĂ MATEMATICĂ Noţiuni teoretice şi probleme rezolvate. Mircea Olteanu
@ ANALIZĂ MATEMATICĂ Noţiuni teoretice şi probleme rezolvte Mirce Oltenu Cuprins Integrle improprii şi cu prmetri 5. Noţiuni teoretice......................... 5. Integrle improprii.........................3
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite
Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval
Διαβάστε περισσότεραTEMA 3. Analiză matematică - clasa a XI-a (3h/săpt.), clasa a XII-a (3h/săpt.)
LECłII DE SINTEZĂ în vedere pregătirii sesiunii iulie-ugust emenului de BACALAUREAT - M pentru cndidńii solvenńi i liceelor din filier tehnologică, profil: servicii, resurse nturle şi protecńi mediului,
Διαβάστε περισσότεραSeminariile Capitolul IX. Integrale curbilinii
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 7 8 Capitolul IX. Integrale curbilinii. Să se calculee Im ) d, unde este segmentul
Διαβάστε περισσότεραSisteme diferenţiale liniare de ordinul 1
1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2
Διαβάστε περισσότεραR R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.
5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța
Διαβάστε περισσότεραCurs 2 Şiruri de numere reale
Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un
Διαβάστε περισσότερα2 ELEMENTE DE CALCUL VARIAŢIONAL
1 2 ELEMENTE DE CALCUL VARIAŢIONAL 2.1 Probleme clsice de clcul vriţionl Din punct de vedere istoric, prim problemă de clcul vriţionl este ş numit problemă lui Dido. Legend mitologică spune că Dido, su
Διαβάστε περισσότεραCURS VII-IX. Capitolul IV: Funcţii derivabile. Derivate şi diferenţiale. 1 Derivata unei funcţii. Interpretarea geometrică.
Lect dr Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr Lucian MATICIUC CURS VII-IX Capitolul IV: Funcţii derivabile Derivate şi diferenţiale 1
Διαβάστε περισσότεραREZUMAT CURS 3. i=1. Teorema 2.2. Daca f este (R)-integrabila pe [a, b] atunci f este marginita
REZUMAT CURS 3. Clse de uctii itegrbile Teorem.. Dc :, b] R este cotiu tuci este itegrbil pe, b]. Teorem.2. Dc :, b] R este mooto tuci este itegrbil pe, b]. 2. Sume Riem. Criteriul de itegrbilitte Riem
Διαβάστε περισσότεραTit Tihon CNRV Roman FISA DE EVALUARE A UNITATII DE INVATARE. Caracteristici vizibile observate PUNCTAJ ACORDAT
Tit Tihon CNRV Romn FISA DE EVALUARE A UNITATII DE INVATARE Nr. crt 5 6 7 8 9 0 Nr. crt Nr. crt Crcteristici vizibile observte PUNCTAJ ACORDAT preciere D+ Nu Observţii privind preciere folosire mnulului
Διαβάστε περισσότεραIoan ROŞCA CALCUL NUMERIC. Elemente de teoria aproximarii
Ion ROŞCA CALCUL NUMERIC Elemente de teori proximrii P R E F A T A In ultimul timp, u pǎrut nevoi enorme de modele mtemtice tot mi sofisticte şi simulǎri pe clcultor tot mi vste şi complexe. In cest mod,
Διαβάστε περισσότεραCursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15
MĂSURI RELE Cursul 13 15 Măsuri reale Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi f : R o funcţie -măsurabilă. Cum am văzut în Teorema 11.29, dacă f are integrală pe, atunci funcţia de mulţime ν : R, ν()
Διαβάστε περισσότεραDefiniţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice
1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă
Διαβάστε περισσότεραCursul 4. Matrice. Rangul unei matrice. Rezolvarea sistemelor de ecuaţii liniare. Metoda eliminării a lui Gauss
Lector univ dr Cristin Nrte Cursul 4 Mtrice Rngul unei mtrice Rezolvre sistemelor de ecuţii linire Metod eliminării lui Guss Definiţie O mtrice m n este o serie de mn intrări, numite elemente, rnjte în
Διαβάστε περισσότεραCOLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.
SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care
Διαβάστε περισσότεραCalcul diferenţial şi integral (notiţe de curs)
Clcul diferenţil şi integrl (notiţe de curs) Şt. Blint E. Kslik, L. Tǎnsie, A. Tomoiogă, I. Rodilǎ, N. Bonchiş, S. Mriş Cuprins 0 L ce pote fi util un curs de clcul diferenţil şi integrl pentru un student
Διαβάστε περισσότεραPlanul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL 6 FORME LINIARE, BILINIARE ŞI PĂTRATICE. 6.1 Forme liniare
Algebră liniră CAPITOLUL 6 FORME LINIARE, BILINIARE ŞI PĂTRATICE 6 Forme linire Fie V un spţiu vectoril peste un corp K Definiţi 6 Se numeşte formă liniră su funcţionlă liniră o plicţie f : V K cre stisfce
Διαβάστε περισσότεραSERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0
SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................
Διαβάστε περισσότεραToate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I.
Modelul 4 Se acordă din oficiu puncte.. Fie numărul complex z = i. Calculaţi (z ) 25. 2. Dacă x şi x 2 sunt rădăcinile ecuaţiei x 2 9x+8 =, atunci să se calculeze x2 +x2 2 x x 2. 3. Rezolvaţi în mulţimea
Διαβάστε περισσότεραOrice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)).
Teoremă. (Y = f(x)). Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism Demonstraţie. f este continuă pe X: x 0 X, S Y (f(x 0 ), ε), S X (x 0, ε) aşa ca f(s X (x 0, ε)) = S Y (f(x 0 ), ε) : y
Διαβάστε περισσότεραDISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VIII-a
Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul
Διαβάστε περισσότεραz a + c 0 + c 1 (z a)
1 Serii Laurent (continuare) Teorema 1.1 Fie D C un domeniu, a D şi f : D \ {a} C o funcţie olomorfă. Punctul a este pol multiplu de ordin p al lui f dacă şi numai dacă dezvoltarea în serie Laurent a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραLucian Maticiuc SEMINAR Conf. dr. Lucian Maticiuc. Capitolul VI. Integrala triplă. Teoria:
Capitolul I: Integrala triplă Conf. dr. Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Analiza Matematică II, Semestrul II Conf. dr. Lucian MATICIUC Teoria: SEMINAR 3 Capitolul I. Integrala
Διαβάστε περισσότεραEDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă
Coordonatori DANA HEUBERGER NICOLAE MUŞUROIA Nicolae Muşuroia Gheorghe Boroica Vasile Pop Dana Heuberger Florin Bojor MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Clasa a
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. 1. Probleme
SEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. Probleme. Să se precizeze dacă funcţiile de mai jos sunt absolut integrabile pe R şi, în caz afirmativ să se calculeze { transformata Fourier., t a. σ(t), t < ; b. f(t) σ(t)
Διαβάστε περισσότεραEcuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.
pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu
Διαβάστε περισσότεραAsupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL 1. În acest paragraf vom reaminti noţiunea de primitivă, proprietăţile primitivelor şi metodele generale de calcul ale acestora.
Cp PRIMITIVE 5 CAPITOLUL PRIMITIVE METOE GENERALE E CALCUL ALE PRIMITIVELOR Î cest prgrf vom remiti oţiue de primitivă, proprietăţile primitivelor şi metodele geerle de clcul le cestor efiiţi Fie f : I,
Διαβάστε περισσότεραCURS 11, Analiză matematică, semestrul I,
CURS, Anliză mtemtiă, semestrul I, 4 5 Integrle duble Fie R un domeniu ompt înhis şi mărginit. Să presupunem ă,,..., n este un şir finit de domenii ompte, fără punte interiore omune, stfel înât... n. Vom
Διαβάστε περισσότεραf(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l +
Semnul local al unei funcţii care are limită. Propoziţie. Fie f : D (, d) R, x 0 D. Presupunem că lim x x 0 f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl,
Διαβάστε περισσότερα4. Integrale improprii cu parametru real
4. Itegrle improprii cu prmetru rel Fie f: [ b, ) [ cd, ] y [, itegrl improprie R cu < b +, stfel îcât petru fiecre b cd ] f (, ) ydeste covergetă. Atuci eistă o fucţie defiită pritr-o itegrlă improprie
Διαβάστε περισσότεραSEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a
Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 3. Serii Fourier. a unei funcţii periodice de perioadă Dezvoltarea în serie Fourier
Capitolul Serii Fourier 7-8. Dezvoltarea în serie Fourier a unei funcţii periodice de perioadă Pornind de la discuţia asupra coardei vibrante începută în anii 75 între Euler şi d Alembert, se ajunge la
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL 1. ELEMENTE DE ALGEBRA
CAPITOLUL. ELEMENTE DE ALGEBRA. Mulţimi Definiţi.. (Cntor) Prin mulţime se înţelege un nsmlu de oiecte ine determinte şi distincte, cre formeză o entitte. Oiectele cre formeză o mulţime se numesc elementele
Διαβάστε περισσότερα6. INTEGRALA SIMPLĂ. INTEGRALA SIMPLĂ CU PARAMETRU
6. INTEGRALA SIMPLĂ. INTEGRALA SIMPLĂ CU PARAMETRU 6.1. Noţiui teoretice şi rezultte fudmetle 6.1.1. Metod lui Droux de defii itegrl simplă Fie [, ] u itervl. Descompuem itervlul [, ] îtr-u umăr orecre
Διαβάστε περισσότεραFunctii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011
Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)
Διαβάστε περισσότεραCURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă.
Sala: 2103 Decembrie 2014 Conf. univ. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 11: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat.
Διαβάστε περισσότεραConice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca
Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este
Διαβάστε περισσότεραCONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICĂ APLICATĂ "ADOLF HAIMOVICI"
INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN IAŞI CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICĂ APLICATĂ "ADOLF HAIMOVICI" ETAPA JUDEŢEANĂ 8 mrtie 04 Profil rel, specilizre ştiinţele nturii FACULTATEA CONSTRUCŢII DE MAŞINI ŞI MANAGEMENT
Διαβάστε περισσότεραcateta alaturata, cos B= ipotenuza BC cateta alaturata AB cateta opusa AC
.Masurarea unghiurilor intr-un triunghi dreptunghic sin B= cateta opusa ipotenuza = AC BC cateta alaturata, cos B= AB ipotenuza BC cateta opusa AC cateta alaturata AB tg B=, ctg B= cateta alaturata AB
Διαβάστε περισσότεραLucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b.
Lucrare Soluţii 28 aprilie 2015 Varianta 1 I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2 Definiţie. Numărul întreg p se numeşte număr prim dacă p 0,
Διαβάστε περισσότερα* K. toate K. circuitului. portile. Considerând această sumă pentru toate rezistoarele 2. = sl I K I K. toate rez. Pentru o bobină: U * toate I K K 1
FNCȚ DE ENERGE Fie un n-port care conține numai elemente paive de circuit: rezitoare dipolare, condenatoare dipolare și bobine cuplate. Conform teoremei lui Tellegen n * = * toate toate laturile portile
Διαβάστε περισσότερα7. INTEGRALA IMPROPRIE. arcsin x. cos xdx
7 INTEGRALA IMPROPRIE 7 Erciţii rzolv Erciţiul 7 Să s sudiz nur urăorlor ingrl irorii şi să s drin vloril csor în cz d convrgnţă: d c sin d 3 / rcsin d cos d d sin d > R Soluţii Funcţi f : - R f s ingrilă
Διαβάστε περισσότεραlim lim lim lim (criteriul cu şiruri); lim lim = lim ; Limite de funcńii NotaŃii: f :D R, D R, α - punct de acumulare a lui D;
Limit d fucńii Aliz mtmtică, cls XI- Limit d fucńii NotŃii: f :D R, D R, α - puct d cumulr lui D DfiiŃii l iti DfiiŃi f ( = l, l R, dcă ptru oric vciătt V lui l istă o vciătt α U lui α stfl îcât D U, α,
Διαβάστε περισσότεραCriptosisteme cu cheie publică III
Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) ( ) Funcţii diferenţiabile. cos x cos x 2. Fie D R o mulţime deschisă f : D R şi x0 D. Funcţia f este
o ( ) o ( ) sin π ( sec ) = = ; R 2 + kπ k Z cos cos 2 cos ( cosec ) = = ; R 2 { kπ k Z} sin sin ( arcsec ) = ; (, ) (, ) 2 ( arcosec ) = ; (, ) (, ) 2 Funcţii dierenţiabile. Fie D R o mulţime deschisă
Διαβάστε περισσότεραLaborator 11. Mulţimi Julia. Temă
Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VII-a
lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate
Διαβάστε περισσότεραT R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.
Trignmetrie Funcţia sinus sin : [, ] este peridică (periada principală T * = ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus arcsin : [, ], este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia csinus cs : [, ] este peridică
Διαβάστε περισσότεραMETODE ŞI ETAPE NECESARE PENTRU DETERMINAREA
ETOE ŞI ETAPE ECESARE PETRU ETERIAREA UGHIULUI A OUĂ PLAE PROF. IACU ARIA, ŞCOALA ROUL LAEA, ORAVIłA, CARAŞ- SEVERI (). Unghi diedru. Fie α şi β două semiplne vând ceeşi frontieră (muchie)d. Se numeşte
Διαβάστε περισσότεραProfesor emerit dr. Octavian STĂNĂŞILĂ ANALIZĂ MATEMATICĂ EDIŢIA DEFINITIVĂ. Floarea Darurilor
Profesor emerit dr. Octvin STĂNĂŞILĂ ANALIZĂ MATEMATICĂ EDIŢIA DEFINITIVĂ Colecţi Cărţi mri le Şcolii Româneşti Fundţi Flore Drurilor Bucureşti, 214 Culegere textului şi tehnoredctre: MORARU Cmeli Controlul
Διαβάστε περισσότεραGEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii
GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile
Διαβάστε περισσότερα1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune
.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este
Διαβάστε περισσότεραCURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi
Lect. dr. Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/ CURS XI XII SINTEZĂ 1 Algebra vectorială
Διαβάστε περισσότεραCONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ CONCURS DE ADMITERE, 7 iulie 207 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (30 puncte) ) (0 puncte) Să se arate că oricare ar
Διαβάστε περισσότεραGeometrie computationala 2. Preliminarii geometrice
Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Preliminarii geometrice Spatiu Euclidean: E d Spatiu de d-tupluri,
Διαβάστε περισσότεραConcurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8
Διαβάστε περισσότερα