Lucian Maticiuc SEMINAR 1 3. Capitolul I: Integrala definită. Primitive. 1. Să se arate că. f (x) dx = 0. Rezolvare:

Transcript

1 Cpitolul I: Integrl definită. Primitive Conf. dr. Lucin Mticiuc Fcultte de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineri Mediului Anliz Mtemtică II, Semestrul II Conf. dr. Lucin MATICIUC. Să se rte că Rezolvre: SEMINAR 3 Cpitolul I: Integrl definită. Primitive f d, dcă f este funcţie pră, f d =, dcă f este funcţie impră. Astfel vem conform proprietăţii de ditivitte că Acum dcă f este pră, dică f d = f d + f = f, [, ], tunci în prim integrlă fc schimbre de vribilă = y y = f d. De ici obţinem că d = dy precum şi noile limite de integrre: dcă = tunci y = şi dcă = tunci y =. Deci integrl devine, conform schimbării de vribilă, f d = Dr, conform unei convenţii f y dy = b deci f d = de unde obţinem că f d = f d = f d + b f y dy = f y dy = f d f d = f d f d. f y dy Lucin Mticiuc

2 Cpitolul I: Integrl definită. Primitive Conf. dr. Lucin Mticiuc Dcă f este impră, dică f = f, [, ], tunci în prim integrlă fc ceeşi schimbre de vribilă = y y = De ici obţinem d = dy şi limitele de integrre devin: dcă = tunci y = şi dcă = tunci y =. Deci integrl devine, conform schimbării de vribilă, f d = f y dy = deci f d = Obţinem deci că f d = f y dy = f y dy = f d +. Arătţi, folosind pritte funcţiei de sub integrlă, că c π/4 π/4 Rezolvre: rctg e d =, b + e sin tg =, d / / 3 cos ln + d =, + d = f y dy = f d. f d = f y dy = Aplic eerciţiul nterior. Astfel vom răt că funcţiile cre se integreză sunt impre. Pentru cest folosim pritte funcţiilor trigonometrice: Notăm cu f : [, ] R, f = rctg sin = sin, cos = cos tg = tg, rctg = rctg e +e. Lucin Mticiuc rctg rctg f = e = + e e = f + e b, c, d Temă se v folosi şi fptul că ln y = ln y, y >. f d 3. Fie f : R R, o funcţie continuă şi periodică de periodă T >. Să se rte că re loc +T f d = T f d, R

3 Cpitolul I: Integrl definită. Primitive Conf. dr. Lucin Mticiuc şi poi să se clculeze: nπ Rezolvre: sin d, n N, b nπ cos d, n N Funcţi f periodică însemnă că f + T = f, R. Avem conform proprietăţii de ditivitte că +T f d = f d + În ultim integrlă fc schimbre de vribilă T f d + = y + T y = T +T T f d De ici obţinem d = dy şi limitele de integrre devin: dcă = T tunci y = şi dcă = + T tunci y =. Deci integrl devine, conform schimbării de vribilă, deci +T +T T f d = f d = f d + f y + T dy = T f d + f y dy = +T Ştim că sin şi cos sunt periodice de periodice de periodă π deci evident şi funcţiile sin, cos Conform celor de mi sus, vem că Ir nπ π = π sin d = sin d + sin d = π π π sin + π = sin, R cos + π = cos, R sin d + 4π π sin d + + sin d + π π T sin d + + π sin d = f d = nπ sin d = n π n π π sin d f y dy T f d sin d = sin d Lucin Mticiuc = cos π cos π π = 4 π π sin d = deci b Temă nπ π sin d = n sin d = 4n 3

4 Cpitolul I: Integrl definită. Primitive Conf. dr. Lucin Mticiuc 4. Să se clculeze următorele integrle folosind tbelul: d pd, b d, c, d d d , e, f d d g, h 5, i d 3 + 5, j d 7 8, k 3d, l d m, n d. 5. Să se clculeze următorele integrle folosind metod de integrre prin părţi: + 5 e d, b e sin b d, c sin d, d ln 3 d, e ln f + d, R, g d, h 3 d =... Rezolvre: d, d +, 3 ln d 3 ln d = ln d = Dcă f şi g sunt funcţii cu derivtele continue pe domeniul de definiţie I tunci re loc formul de integrre prin părţi: f g d = f g f g d. Folosim e = e : + 5 e d = + 5 e d = + 5 e + 5 e d = = + 5 e + 5 e d = plicăm încă o dtă = + 5 e + 5 e d = + 5 e + 5 e + 5 e d = = + 5 e + 5 e e d = = + 5 e e + e + C, C R Lucin Mticiuc 4

5 Cpitolul I: Integrl definită. Primitive Conf. dr. Lucin Mticiuc b Folosim e = e : e sin b d = e sin b d = e sin b e sin b d = = e sin b b e cos b d = plicăm încă o dtă = e sin b b e cos b d = e sin b b e cos b e cos b d = = e sin b b e cos b + be sin b d = = e sin b b e cos b b e sin b d Deci e sin b d + b e sin b d = e sin b b e cos b + C, C R e sin b d = + b e sin b b e cos b + C, C R Observţie: putem plec şi de l sin b = b cos b c Temă folosim sin = cos. d ln 3 d = ln 3 d = ln 3 ln 3 d = = ln 3 3 ln d = ln3 3 ln d = plicăm încă o dtă = ln 3 3 = ln 3 3 ln ln d = ln 3 3 ln = ln 3 3 ln ln ln d = ln d = ln 3 3 ln ln d = = ln 3 3 ln ln + C, C R e Temă folosim 3 = 4 4 f I = + + d = rţionlizre = + d = = + d + = ln d = = ln I d ln d = Lucin Mticiuc d + ln + + = 5

6 Cpitolul I: Integrl definită. Primitive Conf. dr. Lucin Mticiuc Deci I = + d = + + ln C, C R g, h, i, j, k Temă. 6. Temă Să se clculeze următorele integrle folosind metod de integrre prin părţi: 3 + e 5 d, b e sin b d, c e cos b d, d e 3 sin 4 d, e e 4 cos 3 d, f 3 cos d, g 3 sin 5 d, h 3 cos 5 d, 5 i ln d, j ln 3 d, k + 5d, l 5d, m d ln ln n d, o cos d, p + 3 ln d 7. Folosind prim metodă de schimbre de vribilă să se clculeze: + rccos d, b ln d, c ln 5 d, π/ cos 3 d + sin d, e 6 5 d, f + + d Rezolvre: Aplic prim metodă de schimbre de vribilă: f u u d = F u + C, C R, unde F este o primitivă lui funcţiei f. De semene re loc şi în czul integrlei definite: b f u u d = Observ că ub u = rccos, deci f y dy = F y y=ub = F u b F u. y=u Lucin Mticiuc + rccos rccos d = d + d = d + rccos rccos d = = rccos rccos d = rccos d rccos. Acum dcă notăm y not = rccos dy = rccos d 6

7 Cpitolul I: Integrl definită. Primitive Conf. dr. Lucin Mticiuc deci integrl devine + rccos d = ydy = = y + C = rccos + C, C R b Observ că = ln şi voi not y not = ln dy = ln d ln d = ln ln d = y dy = y dy = c Temă = y 3 3 ln 3 + C = + C, C R 3 d Observ că cos = sin şi voi not y not = sin dy = sin d şi limitele de integrre devin: dcă = tunci y = sin = şi dcă = π/ tunci y = sin π/ = π/ cos + sin d = π/ + sin sin d = e Folosim form cnonică trinomului de grdul + b + c = + b + 4 unde = b 4c. Deci 6 5 = = şi 3 = = d = 4 3 d = + y dy = rctgy = rctg rctg = π/ d = Notez y not = 3 dy = 3 d şi limitele de integrre devin: dcă = tunci y = şi dcă = 3 tunci y = d = 4 y dy Pentru clcul ultim integrlă vezi eerciţiile precedente. f Temă. Lucin Mticiuc 8. Temă Folosind prim metodă de schimbre de vribilă să se clculeze: cos sin sin cos d, b d, c d, d sin cos cos sin 3 d 7

8 Cpitolul I: Integrl definită. Primitive Conf. dr. Lucin Mticiuc e d + 4, f e 3 d, g d. 9. Temă i Aduceţi l form cnonică următorele trinome de grdul l doile: f = 4 + 5, b f = + 3 5, c f = + + 3, d f = e f = 5+3, f f =, g f = +3, h f = ++, i f = ++5, j f = 3 +, k f = +3, l f = 4+5 ii Clculţi diferenţilele df le următorelor funcţii de o vribilă: f = sin, b f = ln, c f = ln, d f = 3, e f =, f f = cos, g f = e 3, h f = +, i f = 4, j f = tg.. Folosind dou metodă de schimbre de vribilă să se clculeze integrlele: cos d, b 4 d, c d, d + d Rezolvre: tunci Aplic dou metodă de schimbre de vribilă: Dcă fcem schimbre de vribilă = u y d = u y dy, unde u este invers funcţiei u, şi integrl devine b f d = u b u y = u f u y u y dy Vom not = y = y deci d = ydy şi integrl devine cos d = cos y ydy = y cos y dy Lucin Mticiuc Pentru clculul cestei integrle vezi metod de integrre prin părţi. L sfârşit se v înlocui y =. b Avem substituţiile trigonometrice:. Dcă integrl conţine termenul tunci este utilă substituţi = sin y su = cos y. Dcă integrl conţine termenul tunci este utilă substituţi = chy 3. Dcă integrl conţine termenul + tunci este utilă substituţi = shy 8

9 Cpitolul I: Integrl definită. Primitive Conf. dr. Lucin Mticiuc unde şi evident vem sh def = e e, ch def = e + e ch sh =, sh = ch, ch = sh. În czul nostru este utilă substituţi = sin y de semene e utilă şi substituţi = cos y. Deci d = sin y dy = cos ydy şi = sin y y = rcsin /. Limitele de integrre devin: dcă = tunci y = rcsin = şi dcă = tunci y = rcsin / = π/6. Atunci integrl devine π/6 4 d = 4 sin y 4 4 sin y cos ydy = Avem formulele Deci = 4 = 6 π/6 4 d = 6 π/6 c Temă. sin y sin y cos ydy = 6 sin y + cos y = π/6 sin y = sin y cos y sin y cos y = cos y = cos y cos y = cos y = sin y sin y = π/6 cos 4y dy = sin y cos y dy = 4 π/6 dy π/6 π/6 sin y cos ydy sin y +cos y cos y sin ydy = sin 4y π/6 cos 4ydy = y 4 d În cest cz este utilă substituţi = ey e y. Deci d = ey e y dy = ey + e y dy = π şi + = ey e y e + = y + e y + = ey + e y + = ey + e y. 4 4 Deci + d = = 4 e y Lucin Mticiuc + e y + y ey + e y + C, C R ey + e y dy = e y + e y e dy = y + e y + dy 4 4 9

10 Cpitolul I: Integrl definită. Primitive Conf. dr. Lucin Mticiuc. Să se clculeze următorele integrle din funcţii ce conţin un trinom de grdul l doile: d 5 + 7, b d, c d, d d, e + d, f d d, g 3 +, h d.. Temă Să se clculeze următorele integrle din funcţii rţionle: d, b α d, α, c d, d b + b α d, 4 5 e d, f d, g d, h d, i d = + b + c d, j d = + + b + c d Să se clculeze următorele integrle din funcţii rţionle: 4 4 d, b 3 d, c + 3 d, d + Rezolvre: d Dcă integrl este dintr-o funcţie rţionlă tunci: Psul I: dcă grdul numărătorului este mi mre decât grdul numitorului tunci mi întâi se împrt polinomele până se junge c grdul numărătorului să fie mi mic strict decât grdul numitorului. Psul II: poi se vor căut divizorii numitorului şi se v descompune frcţi în frcţii simple. 4 4 = 4 + = = + + = = + + = Descompunere în frcţii simple însemnă să căută constntele, b, c, d.î. să ibă loc Aducând l celşi numitor obţin + + = + b + + c+d + Lucin Mticiuc + + = + ++b ++c+d = b + + c + d + = + b + c 3 + b + d + + b c + b d + b + c = b + d = + b c = b d =

11 Cpitolul I: Integrl definită. Primitive Conf. dr. Lucin Mticiuc Rezolvând sistemul obţin = /4, b = /4, c =, d = / deci re loc dică 4 4 d = d = = + 4 ln ln + rctg + C b + + d = d = = + + = + + b+c + = b + c = + b + + b + c + + c + b = + b + c = + c = Rezolvând sistemul obţin = /3, b = /3, c = /3 deci re loc + + = /3 /3 + / dică 3 + d = 3 + d = + 3 ln d Acum vem + d = + d d. Pentru ceste două se vor fce clcule + stndrd. Mi întâi, pentru prim, se formeză l numărător derivt numitorului dică + d = + d = + + d = = + d + + d = + + d + + d = = ln + + / + 3/4 d = ln + + / + 3/ d = = ln + + 3/ rctg / 3/ + C c Temă: determinţi... Lucin Mticiuc 3 + = = + = + b + c unde, b, c trebuie d Temă: Rădăcinile întregi le lui = se găsesc printre divizorii termenului liber Temă Să se clculeze următorele integrle din funcţii rţionle:

12 Cpitolul I: Integrl definită. Primitive Conf. dr. Lucin Mticiuc e 3 d, b 3 d, c + d , f d, g + d +, d 5. Să se clculeze următorele integrle din funcţii irţionle: d, b + 3 d, c d, d Rezolvre: Fie integrlele de form R, +b c+d p q, +b c+d p d +, d d q,... d unde R este o epresie rţionlă. Aceste integrle se reduc l integrle rţionle cu jutorul substituţiei + b c + d = ts unde s este cel mi mic multiplu comun l numitorilor q, q,... Apre termenul + = + / deci este utilă substituţi deci integrl devine + = t = t d = tdt d = t + t t tdt = t + t t + = t 4 t dt = t 3 dt = t + t t + t + dt şi m juns l integrl dintr-o funcţie rţionlă. Descompunem în frcţii simple t + t t + t + = t + bt + c t + t + cu, b, c determinţi ducând l celşi numitor şi identificând coeficienţii. Obţin =.b =, c = şi integrl se reduce l integrle simple. I = t+ t t +t+ dt = t t+ dt = t +t+ = ln t t+ t +t+ dt Mi întâi Lucin Mticiuc t + t + t + dt = t t + t + dt + t + t + dt ir ceste se fc prin clcule stndrd. L sfârşit se v înlocui t = + /.

13 Cpitolul I: Integrl definită. Primitive Conf. dr. Lucin Mticiuc b Temă: Apre = / şi 3 = /3 deci se v fce substituţi = t 6 unde 6 este cel mi mic multiplu comun l numitorilor şi 3. c, d Temă. 6. Să se clculeze următorele integrle din funcţii irţionle integrle binome: d, b d, c d, d d, 5 e + 3 d, f d 4, g d /3 Rezolvre: Fie integrlele de form m + b n p d unde m, n, p Q. Aceste integrle se reduc l integrle rţionle dor în următorele trei situţii cu jutorul substituţiilor respective: i Dcă p este număr întreg. ii Dcă m + este număr întreg şi în cest cz este utilă substituţi + b n = t s unde s n este numitorul lui p. iii Dcă m + + p este număr întreg şi în cest cz este utilă substituţi + bn n n unde s este numitorul lui p. + 3 = / + /3 deci m = /, n = /3, p = deci suntem în prim situţie şi, evident, merge substituţi = t 6 d = 6t 5 dt deci integrl devine + 3 t d = 6 / + t 6 /3 6t 5 dt = t 6 = / + t 6 /3 6t 5 dt = t 3 + t 6t 5 dt = = t 3 + t 6t 5 dt şi obţin integrl dintr-o funcţie polinomilă... b Temă: = t s = 5/4 + /3 3 deci m = 5/4, n = /3, p = 3 deci suntem în prim situţie şi merge substituţi =... d =...dt deci integrl devine... c = / + /4 /3 deci m = /, n = /4, p = /3 şi Lucin Mticiuc m + n = / + /4 deci suntem în dou situţie şi merge substituţi = Z + /4 = t 3 /4 = t 3 = t 3 4 d = 4 t 3 3 3t dt 3

14 Cpitolul I: Integrl definită. Primitive Conf. dr. Lucin Mticiuc deci integrl devine d = / + /4 /3 d = = t 3 4 / t 3 /3 t t 3 3 dt = = t 3 tt t 3 3 dt = t 3 t 3 dt = = t 6 t 3 dt = t 7 /7 t 4 /4 + C şi cum se înlocuieşte t cu + /4 /3. d, e Temă, suntem în situţi ii. f, g Temă, suntem în situţi iii. 7. Să se clculeze următorele integrle din funcţii trigonometrice: sin sin cos 3 3 d, b cos 4 d, c d, d sin + tg + sin d, e cos 4 d, f + sin + cos d Rezolvre: Fie integrlele de form R sin, cos d unde R, b este o epresie rţionlă în şi b. Aceste integrle se reduc l integrle rţionle cu jutorul următorelor substiţituţii: i Dcă R sin, cos = R sin, cos tunci este utilă substituţi cos = t. ii Dcă R sin, cos = R sin, cos tunci este utilă substituţi sin = t. iii Dcă R sin, cos = R sin, cos tunci este utilă substituţi tg = t. iv Substituţi universlă tg = t. În czul integrlelor din funcţii trigonometrice sunt utile următorele formule trigonometrice sin + cos =, sin cos = t sin, sin = cos, cos = sin =, cos = t, unde t = tg +t +t, sin = t, cos = +t +t Avem că R sin, cos = sin cos 3 deci, unde t = tg. +cos, Lucin Mticiuc R sin, cos = sin cos 3 = sin cos 3 = R sin, cos dică suntem în czul ii. Este utilă substituţi sin = t sin cos 3 d = sin cos cos d = = sin cos sin d = sin sin d sin 4

15 Cpitolul I: Integrl definită. Primitive Conf. dr. Lucin Mticiuc deci sin = t dt = d sin = sin d dică I = t t t dt = t 4 dt = t 3 /3 t 5 /5 unde t trebuie înlocuit cu sin b Temă: R sin, cos = sin3 este impră în sin, deci czul i cos 4 c R sin, cos = sin +tg. În cest cz vom folosi substituţi universlă în czul integrlelor trigonometrice: tg = t = rctgt = rctgt d = + t dt Deci, folosind şi formulele trigonometrice respective, re loc sin + tg d = sin + sin d = cos = t + t + t +t t dt = t t = dt = dt = t t t dt t = ln tg 4 tg + C d e Temă: suntem în czul iii. f Temă: suntem în czul iv. t + +t t ++t t +t t +t t +t + t dt = + t dt = t dt = ln t 4 t + C = 8. Să se clculeze următorele integrle folosind metod de integrre prin părţi: rctg d, b rctg d, c rctg d d rcsin d, e rcsin d, f rcsin d. 9. Să se clculeze următorele integrle: d +, b d +, c d +, d d +, d e + 3, f + 3 d, g sin n d, n {,, 3, 4,...}. Rezolvre: Lucin Mticiuc 5

16 Cpitolul I: Integrl definită. Primitive Conf. dr. Lucin Mticiuc d + d = + d = + + d = = + + d + d = + d + d = = rctg + d = 3 rctg d = = 3 rctg d = 3 rctg + + rctg + C. g Pentru n = : sin sin d = sin d = cos cos d = subst. cos = t = = ln t t + + C = ln cos cos + + C. su, folosind substituţi universlă obţinem tg = t sin d = = rctgt = rctgt d = + t dt tg t + t +t dt = t dt = ln t + C = ln + C. Pentru n =, folosind tbelul obţinem: sin d = ctg + C t dt su, folosind substituţi universlă, obţinem sin d = + t dt = + t t dt = + t + C = t + C t t t +t = tg + C = = ctg + C. tg Pentru n = 3 : sin sin 3 d = sin 4 d = cos cos d = subst. cos = t = = = t + b + t + c t + d + t dt =. Lucin Mticiuc su, folosind substituţi universlă, obţinem sin 3 d = t +t 3 + t dt = + t 4 t 3 dt =. 6 t dt

17 Cpitolul I: Integrl definită. Primitive Conf. dr. Lucin Mticiuc. Temă Să se clculeze următorele integrle: + + d, b + + d, c + + d d, e d. + + d,. Clculţi ri figurii plne cuprinsă între curbele dte eplicit y = p şi = py. Prticulrizţi pentru p = /. Rezolvre: Dcă suntem în czul în cre curbele cre du domeniul sunt dte eplicit ir domeniul este deci D = {, y : b, f y f } tunci ri domeniului D este dtă de A D = b [f f ] d. Clculţi volumul sferei. Clculţi volumul elipsoidului ceste se obţin prin rotţi unui semicerc şi respectiv unei semielipse în jurul ei O. Rezolvre: Dcă volumul V R 3 este obţinut prin rotţi mulţimii F = {, y : b, y f } tunci volumul este dt de V F = π b f d În czul nostru sfer este dtă de rotţi domeniului semidiscului F = {, y : r r, y } r respectiv dt de rotţi domeniului semielipsei { F =, y :, y b }. 3. Determinţi volumul corpului de rotţie dt de f : [, /] R, f = rcsin Lucin Mticiuc 4. Determinţi lungime grficului funcţiei f : [3, 8] R, f = 3 Rezolvre: Dcă suntem în czul în cre curb este dtă eplicit de C : y = f, b tunci lungime curbei este dtă de L C = b + f d. 7

18 Cpitolul I: Integrl definită. Primitive Conf. dr. Lucin Mticiuc 5. Determinţi lungime grficului funcţiei f : [π/3, π/] R, f = ln cos. { = cos 6. Determinţi lungime curbei dtă prmetric 3 t y = sin 3 t, t [, π/] Rezolvre: Dcă { suntem în czul în cre curb este dtă curb este în pln şi este dtă prmetric de C :, t b tunci lungime curbei este dtă de = t y = y t L C = b t + y t dt = cos t 7. Determinţi lungime curbei din spţiu dtă prmetric y = sin t, t [, π]. z = ct = t Rezolvre: În czul în cre C : y = y t, t b dică în czul în cre curb este z = z t dtă curb este în spţiu şi este dtă prmetric lungime curbei este dtă de L C = 8. Determinţi ri discului. b 9. Determinţi lungime cercului. t + y t + z t dt. Lucin Mticiuc 8