TEMA 5: DERIVATE ŞI DIFERENȚIALE

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "TEMA 5: DERIVATE ŞI DIFERENȚIALE"

Transcript

1 TEMA 5: DERIVATE ŞI DIFERENȚIALE 35 TEMA 5: DERIVATE ŞI DIFERENȚIALE Obiective: Deinire principlelor proprietăţi mtemtice le uncţiilor, le itelor de uncţii şi le uncţiilor continue Deinire principlelor proprietăţi mtemtice le derivtelor şi diernţilelor Deinire principlelor proprietăţi mtemtice le derivtelor şi diernţilelor de ordin superior Aplicţii le derivtelor Conținut: 5 Funcţii 36 5 Limite de uncţii Funcţii continue Derivte şi dierenţile Derivte şi dierenţile de ordin superior Aplicţii le derivtelor Concepte cheie 5

2 36 MODULUL 3: MODELE DE CALCUL DIFERENȚIAL 5 Funcții Un din noţiunile de bză în nliz mtemtică este noţiune de uncţie, le cărei proprietăţi de bză le vom discut în continure Deiniţi 5: Fie X şi Y două mulţimi Dcă printr-un procedeu orecre cem să corespundă iecărui element X un element y Y, şi numi unul, spunem că m deinit o uncţie pe X cu vlori în Y X se numeşte domeniul (mulţime de deiniţie uncţiei, ir Y se numeşte codomeniu su mulţime în cre uncţi i vlori Un element orecre l mulţimii de deiniţie se numeşte vribilă su rgument l uncţiei Dcă notăm uncţi cu, tunci scriem X Y su : X Y şi y (, unde X şi y Y reprezintă epresi nlitică uncţiei şi ne urnizeză relţi uncţionlă între vribil independentă şi vribil dependentă y Deiniţi 5: Se numeşte gricul uncţiei y ( mulţime perechilor din plnul elor de coordonte de orm (, y, dică mulţime: {( y y, X y Y} X Y G,, Deiniţi 53: Fie două uncţii : X Y şi g : Y Z Funcţi h : X Z, deinită prin h g[ ] se numeşte uncţi compusă uncţiilor g şi Scriem h g o g ( ( ( [ ( ] Deiniţi 54: O uncţie : X Y se numeşte bijectivă (su plicţie biunivocă dcă: ( ( ( ; ( ( ( ; (3 ( X Y Deiniţi 55: Se numeşte uncţie inversă uncţiei biunivoce : X Y uncţi : Y X prin cre iecărui element y Y îi corespunde un element unic X pentru cre y Avem: y [ ] ( y ( y Fie cum A şi B două submulţimi le numerelor rele R, A I B Φ şi ie şi g două uncţii rele deinite pe A şi respectiv B cu vlori în R Atunci operţiile elementre cu uncţii rele sunt următorele: Sum uncţiilor şi g este uncţi + g deinită pe AI B prin: ( g + g Dierenţ uncţiilor şi g este uncţi +, A I B ; (5 ( g g Produsul uncţiilor şi g este uncţi g deinită pe AI B prin:, A I B ; (5 ( g g g deinită pe AI B prin:, A I B ; (53

3 TEMA 5: DERIVATE ŞI DIFERENȚIALE 37 Câtul uncţiilor şi g este uncţi / g deinită pe AI B C, unde { B, g( } C, prin: Deiniţi 56: O uncţie O uncţie Deiniţi 57: O uncţie O uncţie ( g / g /, A I B C (54 : X R este crescătore pe mulţime A X dcă: ( ( <,, A : X R este strict crescătore pe mulţime A X dcă: ( ( < <,, A : X R este descrescătore pe mulţime A X dcă: ( ( <,, A : X R este strict descrescătore pe mulţime A X dcă: ( ( < >,, A Deiniţi 58: Funcţiile crescătore su descrescătore se numesc uncţii monotone Funcţiile strict crescătore su strict descrescătore se numesc uncţii strict monotone 5 Limite de uncții Deiniţi 59: Se spune că uncţi re it l când tinde către, şi scriem l când su l, dcă pentru orice ε > rbitrr, eistă δ δ ( ε >, stel încât l < ε pentru < δ Acestă deiniţie itei unei uncţii, denumită şi deiniţi cu ε, se pote ormul dcă l < ε > N ε, unde într-o mnieră nlogă sub orm ( l ε > pentru ( Convenim în continure să scriem dcă < şi, similr, + dcă > În primul cz, spunem că tinde l prin vlori mi mici decât În l doile cz, spunem că tinde l prin vlori mi mri decât Deiniţi 5: Limitele ( şi ( + stâng şi, respectiv, it l drept uncţiei + se numesc it l în punctul, dcă ceste ite eistă Limit l stâng şi it l drept se numesc ite lterle le uncţiei Pentru eistenţ itei unei uncţii veriictă eglitte: Dcă itele itelor de uncţii: şi ( + tunci când este suicient să ie ( ( + eistă, tunci u loc următorele proprietăţi le [ ] + (55

4 38 MODULUL 3: MODELE DE CALCUL DIFERENȚIAL Fc ecepţie de l cestă propriette situţiile în cre un din ite este, ir celltă ită este + ( [ ] ( (56 Fc ecepţie de l cestă propriette situţiile în cre itele sunt ininite şi u celşi semn (mbele su mbele + (3 [ ] (57 Fc ecepţie de l cestă propriette situţiile în cre un din ite este, ir celltă ită este ± (4 (58 Fc ecepţie de l cestă propriette situţiile în cre sunt ininite (5 [ ( ] ( ( [ ] Fc ecepţie de l cestă propriette situţiile următore: (i şi (ii şi + ; (iii şi ; su mbele ite (59 Pentru determin it rportului două polinome P şi, vom împărţi cele două polinome prin două polinome Q tunci când n, unde n este mimul dintre grdele celor Dcă P ( şi Q ( sunt două polinome pentru cre P ( şi Q ( conorm proprietăţii (4 it se determină direct c iind rportul P ( Q( P ( Q(, tunci este necesr să simpliicăm prin de câte ori este nevoie, tunci Dcă însă 53 Funcții continue Deiniţi 5: Se spune că uncţi dcă sunt îndeplinite următorele condiţii: ( Funcţi este deinită în punctul eistă şi este inită; ( Limit ( este continuă pentru (su în punctul, dică eistă ( ; (3 Limit în este eglă cu vlore uncţiei în punctul, dică: Despre un punct continuitte în cre uncţi ( este continuă se spune că este un punct de

5 TEMA 5: DERIVATE ŞI DIFERENȚIALE 39 Dcă o uncţie este continuă în iecre punct l unui domeniu (intervl deschis, intervl închis etc, tunci uncţi este continuă pe cest domeniu Deiniţi 5: Funcţi este continuă în punctul dcă sunt îndeplinite următorele condiţii: ( Limit l drept ( + în punctul eistă şi este inită; ( Limit l stâng ( în punctul eistă şi este inită; (3 Cele două ite sunt egle între ele şi egle cu vlore uncţiei în punctul, dică: ( ( + ( În generl, uncţiile elementre sunt continue pe domeniul lor de deiniţie Dcă în punctul condiţiile de continuitte din deiniţiile nteriore nu sunt re un punct de discontinuitte pentru (su în punctul îndeplinite, tunci uncţi, ir uncţi este discontinuă Deiniţi 53: Dcă uncţi re itele lterle inite, respectiv: (, ( + ir vlorile (, ( +, ( punct de discontinuitte de prim speţă + nu sunt egle între ele, tunci se spune că, este un Deiniţi 54: Orice punct de discontinuitte cre nu este de prim speţă se spune că este un punct de discontinuitte de dou speţă Din deiniţi de mi sus rezultă că într-un punct de discontinuitte de dou speţă cel puţin un din itele lterle este ininită su nu eistă Dierenţ ( + ( se numeşte sltul uncţiei în punctul Vom nliz în continure proprietăţile operţiilor cu uncţii continue Fie şi g două uncţii cu celşi domeniu de deiniţie X şi un punct de continuitte pentru uncţiile şi g Au loc următorele proprietăţi: ( Funcţi + g este continuă în punctul ; (5 ( Funcţi g este continuă în punctul ; (5 (3 Funcţi g este continuă în punctul ; (5 (4 Dcă g (, uncţi este continuă în punctul ; (53 g (5 Funcţi inversă unei uncţii continue este o uncţie continuă (54 54 Derivte şi dierențile Fie ( o uncţie deinită pe un intervl rel I R şi un punct din I

6 4 MODULUL 3: MODELE DE CALCUL DIFERENȚIAL Deiniţi 55: Se spune că uncţi : I R este derivbilă în punctul I dcă ( rportul re în punctul ită inită Acestă ită se numeşte derivt uncţiei în punctul şi se noteză ( : ( Notţi ( se citeşte: derivt uncţiei în rport cu în punctul Pentru d ( derivtă se mi olosesc notţiile:, D (, ( d Dcă it eistă dr este ininită, tunci spunem că derivt uncţiei în punctul ( este ininită În cest cz, uncţi nu mi este derivbilă în punctul Din deiniţi derivtei rezultă, de semene, că uncţi trebuie să ie deinită în punctul Dcă o uncţie ( nu este deinită într-un punct, nu se pune problem derivbilităţii sle în cel punct O propriette importntă uncţiilor derivbile este cee că dcă uncţi este derivbilă în punctul : I R I, tunci este continuă în Reciproc cestei proprietăţi nu este devărtă Să nlizăm cum o modlitte similră de deinire derivtei c iind relţi dintre creştere vribilei independente şi creştere uncţiei, bordre întâlnită recvent în izică (de eemplu, în cinemtică, dr şi în modelre enomenelor economice Dcă şi sunt două vlori le vribilei, prţinând domeniului de deiniţie l y, tunci Δ se numeşte creştere uncţiei pe intervlul deschis uncţiei ( (,, ir Δy y y ( ( + Δ celşi intervl ( se numeşte creştere uncţiei y pe, dy Derivt y uncţiei y în rport cu vribil, este prin deiniţie, it d Δy rportului când Δ tinde l (su tinde l, dică: Δ ( + Δ Δy y Δ Δ Δ Δ Să nlizăm cum interpretre geometrică derivtei uncţiei : I R Pe intervlul M (, şi M (, două puncte cre G {, I}, iind punctul în cre uncţi este derivbilă, ir un punct orecre din I, ş cum sunt reprezentte în Figur 5 În triunghiul dreptunghic M MN vem: I gricul lui este un rc de curbă plnă Fie ( prţin gricului ( tg ( α, unde tg α este coeicientul unghiulr (pnt secntei M M Dcă M M, tunci secnt M M se propie de drept M P, cre este tngent l gricul uncţiei în punctul M şi ormeză cu O unghiul ϕ

7 TEMA 5: DERIVATE ŞI DIFERENȚIALE 4 y M (, ( P M (, ( α N ϕ O Avem: Figur 5: Interpretre geometrică derivtei ( tgα tgϕ M M Rezultă că derivt uncţiei în punctul este tngent unghiului pe cre îl ce drept tngentă l gric în punctul ( ( cu O Dcă derivt este ininită, tunci tngent M P este prlelă cu O, Fiind it rportului dintre creştere uncţiei şi creştere vribilei independente, când tinde l, derivt reprezintă vitez (instntnee de vriţie uncţiei în punctul Deiniţi 56: Se spune că uncţi : I R este derivbilă pe intervlul I dcă este derivbilă în iecre punct I Funcţi : I R se numeşte uncţi derivtă uncţiei d su derivt lui şi se noteză, su D d Să investigăm cum derivtele lterle (derivt l drept şi derivt l stâng le unei uncţii, utilizând deiniţi generlă derivtei şi proprietăţile itelor lterle discutte nterior Deiniţi 57: Fie uncţi : I R şi I Se spune că uncţi este derivbilă l drept în punctul dcă rportul: (, >, I, re it l drept inită în punctul Acestă ită se numeşte derivt l drept d : uncţiei în punctul şi se noteză ( d ( + (

8 4 MODULUL 3: MODELE DE CALCUL DIFERENȚIAL Deiniţi 58: Fie uncţi : I R şi I l stâng în punctul dcă rportul: ( Se spune că uncţi, <, I, este derivbilă re it l stâng inită în punctul Acestă ită se numeşte derivt l stâng s : uncţiei în punctul şi se noteză ( s ( ( Din deiniţiile derivtelor lterle rezultă că o uncţie este derivbilă într-un punct dcă este derivbilă l drept şi l stâng în şi dcă cele două derivte lterle sunt egle: ( ( d Dcă derivt l stâng (su l drept este ininită într-un punct s (, tunci uncţi nu este derivbilă l stâng (su l drept în punctul Din punct de vedere geometric, dcă derivtele lterle sunt ininite, tunci în punctul M (, ( gricul curbei dmite semitngente prlele cu Oy, situte desupr (su dedesubtul lui M, după cum derivt lterlă este eglă cu + (su Dcă uncţi re în punctul derivte lterle dierite şi cel puţin un dintre ele se numeşte punct unghiulr l gricului uncţiei este inită, tunci punctul Dcă uncţi re în punctul derivte lterle ininite şi egle, tunci cele două semitngente sunt în prelungire, ir punctul se numeşte punct de inleiune l gricului uncţiei Dcă uncţi re în punctul derivte lterle ininite şi dierite, tunci cele două semitngente se suprpun, ir punctul se numeşte punct de întorcere l gricului uncţiei Cele trei tipuri de puncte discutte nterior sunt denumite puncte critice le gricului uncţiei şi sunt reprezentte în Figur 5 (, (b, (c Să remrcăm ptul că mi eistă şi lte tipuri de puncte critice le unei uncţii ( Punct unghiulr (b Punct de inleiune (c Punct de întorcere Figur 5: Punctele critice le unei uncţii Să discutăm în continure operţiile cu uncţii derivbile Vom utiliz pentru cest deiniţiile derivtei într-un punct şi pe un intervl

9 g deinite pe intervlul I R, cu I, sunt derivbile într- + g este derivbilă în punctul şi: un punct Dcă uncţiile şi I, tunci uncţi ( TEMA 5: DERIVATE ŞI DIFERENȚIALE 43 + (55 [ g ] ( + g ( Pentru demonstr cestă propriette plicăm deiniţi derivtei şi obţinem, ţinând g sunt derivbile în punctul I cont că ( şi ( : + g ( g( ( g g( + ( + g ( Propriette nterioră rămâne devărtă pentru sum unui număr init de uncţii g sunt ininite, derivbile De semene, propriette re loc şi dcă derivtele ( şi ( cu condiţi c sum ( + g ( să ibă sens C o consecinţă, dcă şi g derivbile pe intervlul I R + g este derivbilă pe I şi: [ g ] + g g deinite pe intervlul I R, cu I, sunt derivbile într- I, tunci uncţi g este derivbilă în punctul şi: un punct Dcă uncţiile şi, tunci sum + (56 Dcă şi derivbilă pe I şi: g deinite pe intervlul I R, cu I, sunt derivbile într- I, tunci uncţi g este derivbilă în punctul şi: un punct Dcă uncţiile şi (57 [ g ] ( g ( g derivbile pe intervlul I R, tunci dierenţ g este [ g ] g (58 (59 [ g ] ( g + g ( Dcă şi g derivbile pe intervlul R derivbil pe I şi: g deinite pe intervlul I R, cu I, sunt derivbile într-, tunci uncţi este derivbilă în punctul şi: g un punct Dcă uncţiile şi I, cu g ( [ g ] g + g g I, tunci produsul g este ( (5 ( ( g g ( (5 g

10 44 MODULUL 3: MODELE DE CALCUL DIFERENȚIAL Dcă şi este derivbil pe I şi: g derivbile pe intervlul R g I, cu g g g g pe I, tunci câtul g (5 Fie cum uncţi u (, I, cu domeniul vlorilor J şi uncţi (u, u J şi să g u( Dcă uncţi u (, I, este derivbilă în punctul I şi uncţi (u este u u g u(, considerăm uncţi compusă ( derivbilă în punctul corespunzător ( J, tunci uncţi compusă ( I, este derivbilă în punctul şi vem: ( ( u( u ( u este derivbilă pe I şi ( u ( ( [ ( u ] ( u u Să considerăm cum, I, cre se pote invers pe I Dcă şi (, tunci uncţi s inversă ( y, y J ( J Dcă ( u este derivbilă pe I şi vem: în punctul y şi: g (53 [ ( y ] este derivbilă pe J, tunci uncţi compusă ( (54 este derivbilă, este derivbilă în punctul (55 Să nlizăm derivt uncţiei logritmice şi derivt uncţiei eponenţile, cre ne intereseză în modelre numerose enomene economice Fie uncţi logritmică log, >,, cre este derivbilă pe tot domeniul său de deiniţie (, + Scriind rportul din ormul derivtei vem: log log log log + Trecând l ită şi ţinând cont că rezultă succesiv: log log log + Din relţi log e ln rezultă derivt logritmului: ( log log e (56 ln

11 TEMA 5: DERIVATE ŞI DIFERENȚIALE 45 Pentru tot domeniul de deiniţie obţinem: ( log (57 ln Funcţi eponenţilă, >,, este derivbilă pe tot domeniul său de deiniţie R Funcţi este invers uncţiei logritmice log, deci vem y şi log y Atunci ( y şi ( y y log Din ultim relţie rezultă, de unde y y ln ln y y ln ln şi deci: Am obţinut ( ( ln Dcă u deinită pe I este derivbilă pe I, tunci: u u ( u ln (58, I (59 Sintetizând cum principlele reguli de clcul le derivtelor pentru constnt c R şi uncţiile u u şi v v, obţinem, pe bz proprietăţilor nlizte relţiile de clcul următore: ( ( c (derivt unei constnte este ; ( ( (derivt uncţiei identice este ; (3 ( u ± v u ± v ; (4 ( c u c u ; (5 ( u v u v + u v ; (6 u u v u v, ( v ; v v (7 c c v, ( v v v Derivtele principlelor uncţii elementre sunt dte de relţiile următore: n (i n ( n ; (ii (, > ; (iii ( ln ; (iv ( e e ; (v ( ln ; (vi log e ( log ln ( >, > Cu jutorul derivtei vom deini în continure noţiune de dierenţilă

12 46 MODULUL 3: MODELE DE CALCUL DIFERENȚIAL o uncţie deinită pe un intervl I, derivbilă într-un punct I Pentru Fie se pote scrie: de unde, împărţind prin obţinem: ( ( ( + ( α, ( ( + α Funcţi iind derivbilă în cu derivt ( de unde rezultă α, vem: (, vem: ( + ( α, Din cest motiv, pentru vlori l lui suicient de propite de ( ( ( (53 Dcă notăm h, rezultă + h, ir relţi (53 se pote scrie: ( h ( h ( + (53 Deiniţi 59: Funcţi h (, h R dierenţil uncţiei în punctul şi se noteză ( d ( h (, cre depinde linir de h, se numeşte d : (53 Din deiniţi de mi sus rezultă că dierenţil uncţiei în punctul este produsul ϕ şi derivt uncţiei în punctul Aşdr dierenţil unei uncţii într-un punct pote i deinită dcă şi numi dcă dintre dierenţil uncţiei ( uncţi este derivbilă în punctul Dierenţil d ( este o uncţie liniră pe h, pentru orice h rel Pentru h suicient de mic, vem ( h ( h (, dierenţil +, deci când se propie de + h proimeză creştere uncţiei ( ( Ţinând cont că h este dierenţil uncţiei ( ϕ, R, deci h d, pentru dierenţil d ( se utilizeză notţi d ( ( d, unde d R şi este independent de Cu cestă notţie, derivt uncţiei într-un punct se scrie: d d, (533 cee ce însemnă că derivt într-un punct este eglă cu rportul dintre dierenţil uncţiei şi dierenţil uncţiei ϕ (

13 TEMA 5: DERIVATE ŞI DIFERENȚIALE 47 Dcă u şi v sunt două uncţii derivbile pe un intervl I, tunci vem următorele reguli de clcul pentru dierenţile: + ; (534 ( d ( u v ( u + v d du + dv ; (535 ( d( u v ( u v d du dv ; (536 (3 d ( u v ( u v + uv d vdu + udv u ( u v uv vdu udv (4 d v v d (5 ( u ( u u d ( udu v ; (537 d ( Derivte şi dierențile de ordin superior Derivtele discutte până cum u ost derivte de ordinul Să nlizăm în continure derivtele de ordin superior Fie uncţi : I R şi I, cu propriette că este derivbilă în Deiniţi 5: Dcă derivt este derivbilă în punctul, se spune că este de două ori derivbilă în punctul Derivt lui în punctul se numeşte derivt dou (su derivt de ordinul doi uncţiei în punctul D (, iind eglă cu: Dcă uncţi (, şi se noteză ( ( d d (, su (539, I, este derivbilă de două ori pe intervlul I, tunci uncţi se numeşte derivt dou pe intervlul I Fie cum o uncţie : I R derivbilă de două ori în punctul Deiniţi 5: Dcă este derivbilă în punctul, se spune că este de trei ori derivbilă în punctul Derivt lui în punctul se numeşte derivt trei (su derivt de ordinul trei uncţiei în punctul iind eglă cu: (, şi se noteză ( ( Să deinim cum prin recurenţă derivt de ordinul n, derivbilă de n ori în punctul d d ( 3, ( D, (54 n N Fie o uncţie : I R

14 48 MODULUL 3: MODELE DE CALCUL DIFERENȚIAL Deiniţi 5: Dcă derivbilă în punctul Derivt lui ( n este derivbilă în punctul, se spune că este de n ori derivt de ordinul n uncţiei în punctul şi se noteză iind eglă cu: ( n ( ( n în punctul se numeşte derivt n- (su ( n ( n ( ( n (, d n (, ( d n D n, (54 Dcă : I R este derivbilă de n ori pe I şi derivt de ordinul n este deinită în ( iecre punct I, tunci uncţi n se numeşte derivt de ordinul n lui pe I şi se noteză: ( n, n d d, n D n Dcă o uncţie re derivte de orice ordin, tunci se spune că este indeinit derivbilă Polinomele, uncţiile logritmice şi uncţiile eponenţile sunt indeinit derivbile Vom deini în continure dierenţilele de ordin superior Deiniţi 53: Fie : I R şi I Se spune că uncţi este dierenţibilă de două ori în punctul dcă este derivbilă în şi dcă este dierenţibilă în punctul Dierenţil de ordinul doi în se noteză d ( şi se deineşte prin eglitte ( ( d d, de unde împărţind prin ( d obţinem: d (, (54 d cre reprezintă notţi dierenţilă derivtei dou Prin d se înţelege d d Deiniţi 54: Se spune că uncţi I dcă este derivbilă de n ori în punctul şi dcă punctul Dierenţil de ordinul n în punctul ( n ( n ( d n d, de unde împărţind prin ordinul n: n d d : I R este dierenţibilă de n ori în punctul se noteză d n ( ( n este dierenţibilă în şi se deineşte prin eglitte n d obţinem notţi dierenţilă derivtei de ( ( n ( n (543

15 TEMA 5: DERIVATE ŞI DIFERENȚIALE Aplicții le derivtelor Un din cele mi importnte plicţii le uncţiilor derivbile este reprezenttă de posibilitte de determin punctele de etrem (mim su minim reltiv su locl le unei uncţii Deiniţi 55: Fie : I R şi I ( Se spune că este un punct de mim (locl l uncţiei dcă eistă o vecinătte V lui, stel încât să vem ( pentru orice V I I (b Se spune că este un punct de minim (locl l uncţiei dcă eistă o vecinătte V lui, stel încât să vem ( pentru orice V I I Punctele de mim su minim locl se numesc şi puncte de mim su minim reltiv su puncte de etrem reltiv (su locl, deorece un punct de etrem locl nu este în mod necesr şi un punct de etrem bsolut Pentru determinre punctului de etrem l unei uncţii se utilizeză rezulttul următor Teorem 5 (Fermt: Dcă o uncţie : I R re derivtă într-un punct din interiorul unui intervl I şi dcă este un punct de mim su de minim locl pentru uncţi, tunci derivt s este nulă în punctul, dică ( Într-un punct de etrem tngent l gricul uncţiei este prlelă cu O, în cest punct derivt iind (cu ecepţi punctelor cre sunt cpetele gricului Dcă este unul din cpetele intervlului I, tunci pote i un punct de etrem ără c derivt în cel punct să ie De semene, o uncţie pote ve etrem într-un punct, ără ve derivtă în Să mi notăm şi ptul că reciproc teoremei lui Fermt nu este în generl devărtă O uncţie derivbilă într-un punct, cre re derivt nulă în, nu re în mod necesr în un punct de etrem Fie : I R o uncţie derivbilă pe I Au loc următorele proprietăţi: ( Dcă este crescătore pe I, tunci derivt s este pozitivă pe I; (b Dcă este descrescătore pe I, tunci derivt s este negtivă pe I Au loc, de semene, şi următorele proprietăţi: (i Dcă uncţi este continuă pe intervlul închis [, b] I şi dcă > pentru < < b, tunci este crescătore pe intervlul [, b] (ii Dcă uncţi este continuă pe intervlul închis [, b] I şi dcă < pentru < b, b <, tunci ( este descrescătore pe intervlul [ ] În generl, domeniul de deiniţie l unei uncţii pote i descompus într-un număr init de intervle de creştere su descreştere (numite intervle de monotonie Aceste intervle u drept cpete punctele critice le uncţiei, în cre su în cre nu eistă derivt

16 5 MODULUL 3: MODELE DE CALCUL DIFERENȚIAL Sintetizând proprietăţile discutte nterior, obţinem următorele situţii: ( Într-un punct de mim (reltiv vem (reprezentt în Figur 53 (: >,, <, < >, ( crescătore (punct critic (544 ( descrescătore Să remrcăm ptul că în punctul critic pote să nu ie deinită, punctul iind însă unul de mim reltiv (ş cum se observă în Figur 53 (b derivt ( ( ( ( > ( < ( > nedeinită ( < ( Mim (reltiv (b Mim (reltiv Figur 53: Mimul (reltiv l unei uncţii ( Într-un punct de minim (reltiv vem (reprezentt în Figur 54 (: <,, >, < >, ( crescătore (punct critic (545 ( descrescătore Să remrcăm ptul că în punctul critic pote să nu ie deinită, punctul iind însă unul de minim reltiv (ş cum se observă în Figur 54 (b derivt ( ( Minim (reltiv > ( < ( ( ( < ( nedeinită ( > (b Minim (reltiv Figur 54: Minimul (reltiv l unei uncţii Să studiem în continure, cu jutorul derivtelor de ordin superior, conveitte şi concvitte unei uncţii

17 TEMA 5: DERIVATE ŞI DIFERENȚIALE 5 Fie : I R o uncţie derivbilă pe un intervl I şi, b I, cu < b, două puncte din >, [, b], tunci este strict crescătore pe [, b], <, b, b I Am văzut nterior că dcă ( ir dcă (, [ ], tunci ( este strict descrescătore pe [ ] Dcă pe intervlul [, b] tngent în orice punct l gricul uncţiei rămâne sub gricul uncţiei, tunci spunem că pe intervlul [, b] uncţi este conveă (su ţine pă, ş cum este reprezenttă în Figur 55 ( Dcă pe intervlul [, b] tngent în orice punct l gricul uncţiei rămâne desupr gricului uncţiei, tunci spunem că pe intervlul [, b] uncţi este concvă (su nu ţine pă, ş cum este reprezenttă în Figur 55 (b Dcă l stâng punctului [, b] uncţi este conveă, ir l drept lui uncţi este concvă (su invers, tunci se numeşte punct de inleiune, punct în cre tngent tie gricul uncţiei, ş cum este reprezenttă în Figur 55 (c ( Conveitte (b Concvitte (c Punct de inleiune Figur 55: Conveitte, concvitte şi inleiune unei uncţii Conveitte, concvitte şi inleiune unei uncţii se pot determin cu jutorul derivtelor de ordin superior, ş cum rezultă din teorem următore Teorem 5: Fie : I R o uncţie de două ori derivbilă pe intervlul I ( Dcă derivt dou ( > ( Dcă derivt dou ( < (3 Dcă pentru I, tunci este conveă pe I;, tunci este concvă pe I;, ( şi ( Dcă punctul (, tunci este punct de inleiune, se deplseză în mod continuu de- lungul gricului uncţiei, stel încât cel puţin un din coordontele cestui punct tinde către ±, ir distnţ de l cest punct l o numită dreptă tinde către, tunci drept respectivă se numeşte simptotă Eistă trei tipuri de simptote: verticle, orizontle şi oblice Deiniţi 56: Drept este simptotă verticlă gricului uncţiei, dcă cel puţin un din itele lterle le uncţiei în punctul eistă şi este ininită, dică: ± su ± + Pentru c drept (prlelă cu Oy să ie simptotă verticlă trebuie c să su uncţi să nu ie deinită în punctul ie punct de discontinuitte l uncţiei Deiniţi 57: Drept y y este simptotă orizontlă gricului uncţiei, dcă: y su y +

18 5 MODULUL 3: MODELE DE CALCUL DIFERENȚIAL Deiniţi 58: Se spune că drept este simptotă oblică l rmur y m + n, unde şi n [ m] m, + gricului uncţiei y dcă: [ m n] Deiniţi 59: Se spune că drept m este simptotă oblică l rmur y m + n, unde şi n [ m], gricului uncţiei y dcă: [ m n ] Să remrcăm ptul că o uncţie dmite simptote oblice su orizontle dcă mulţime de deiniţie este nemărginită (inerior şi/su superior Cu noţiunile discutte până cum reltive l derivte şi l proprietăţile cestor, suntem în măsură să trecem l reprezentre grică uncţiilor, cre ne jută să înţelegem mi bine comportre uncţiilor respective Trsre gricului unei uncţii implică prcurgere următorelor etpe: ( Stbilire domeniului de deiniţie şi intersecţi cu ele de coordonte; ( Clculul derivtei întâi, intervlele de monotonie şi punctele de etrem; (3 Clculul derivtei dou, intervlele de conveitte, concvitte şi punctele de inleiune; (4 Determinre simptotelor; (5 Tbelul de vriţie l uncţiei; (6 Trsre gricului uncţiei 57 Concepte cheie Funcţie Funcţie continuă Funcţie inversă Funcţie monotonă Limit unei uncţii Limită lterlă Funcţie continuă Funcţie derivbilă Derivtă Dierenţilă Derivtă de ordin superior Dierenţilă de ordin superior Punct de etrem (mim su minim Funcţie conveă Funcţie concvă

Analiza matematică, clasa a XI-a probleme rezolvate Rolul derivatei întâi

Analiza matematică, clasa a XI-a probleme rezolvate Rolul derivatei întâi Anliz mtemtică, cls XI- proleme rezolvte Rolul derivtei întâi Virgil-Mihil Zhri DefiniŃie: Punctele critice le unei funcńii derivile sunt rădăcinile (zerourile) derivtei întâi DefiniŃie: Fie f:i R, cu

Διαβάστε περισσότερα

Integrale cu parametru

Integrale cu parametru 1 Integrle proprii cu prmetru 2 3 Integrle proprii cu prmetru Definiţi 1.1 Dcă f : [, b ] E R, E R este o funcţie cu propriette că pentru orice y E, funcţi de vribilă x x f (x, y) este integrbilă pe intervlul

Διαβάστε περισσότερα

Seminariile 1 2 Capitolul I. Integrale improprii

Seminariile 1 2 Capitolul I. Integrale improprii Cpitolul I: Integrle improprii Lect. dr. Lucin Mticiuc Fcultte de Mtemtică Clcul integrl şi Aplicţii, Semestrul I Lector dr. Lucin MATICIUC Seminriile Cpitolul I. Integrle improprii. Să se studieze ntur

Διαβάστε περισσότερα

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3) BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul

Διαβάστε περισσότερα

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele

Διαβάστε περισσότερα

EcuaŃii de gradul al doilea ax 2 + bx + c = 0, a,b,c R, a 0 1. Formule de rezolvare: > 0 b x =, x =, = b 2 4ac; sau

EcuaŃii de gradul al doilea ax 2 + bx + c = 0, a,b,c R, a 0 1. Formule de rezolvare: > 0 b x =, x =, = b 2 4ac; sau EcuŃii de grdul l doile x + x + c = 0,,,c R, 0 Formule de rezolvre: > 0 + x =, x =, = c; su ' + ' ' ' x =, x =, =, = c Formule utile în studiul ecuńiei de grdul l II-le: x + x = (x + x ) x x = S P 3 x

Διαβάστε περισσότερα

CURS I II. Capitolul I: Integrala definită. Primitive. 1 Integrabilitate Riemann. Criterii de integrabilitate

CURS I II. Capitolul I: Integrala definită. Primitive. 1 Integrabilitate Riemann. Criterii de integrabilitate Cpitolul I: Integrl definită. Primitive Conf. dr. Lucin Mticiuc Fcultte de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineri Mediului Anliz Mtemtică II, Semestrul II Conf. dr. Lucin MATICIUC CURS I II Cpitolul I: Integrl

Διαβάστε περισσότερα

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE. 5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este

Διαβάστε περισσότερα

MULTIMEA NUMERELOR REALE

MULTIMEA NUMERELOR REALE www.webmteinfo.com cu noi totul pre mi usor MULTIMEA NUMERELOR REALE office@ webmteinfo.com 1.1 Rdcin ptrt unui numr nturl ptrt perfect Ptrtul unui numr rtionl este totdeun pozitiv su zero (dic nenegtiv).

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1 Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui

Διαβάστε περισσότερα

Asupra unei metode pentru calculul unor integrale definite din functii trigonometrice

Asupra unei metode pentru calculul unor integrale definite din functii trigonometrice Educţi Mtemtică Vol. 1, Nr. (5), 59 68 Asupr unei metode pentru clculul unor integrle definite din functii trigonometrice Ion Alemn Astrct In this pper is presented one method of clcultion for the trigonometricl

Διαβάστε περισσότερα

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a. Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă

Διαβάστε περισσότερα

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă. III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar

Διαβάστε περισσότερα

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL VII EXTINDERI ALE CONCEPTULUI DE INTEGRALĂ DEFINITĂ

CAPITOLUL VII EXTINDERI ALE CONCEPTULUI DE INTEGRALĂ DEFINITĂ CAPITOLUL VII EXTINDERI ALE CONCEPTULUI DE INTEGRALĂ DEFINITĂ În teori Integrlei definite numită şi Integrl Riemnn, s- urmărit c, l numite funcţii rele de o vriilă relă, dte pe mulţimi din R, după o schemă

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element

Διαβάστε περισσότερα

Seminar 3. Serii. Probleme rezolvate. 1 n . 7. Problema 3.2. Să se studieze natura seriei n 1. Soluţie 3.1. Avem inegalitatea. u n = 1 n 7. = v n.

Seminar 3. Serii. Probleme rezolvate. 1 n . 7. Problema 3.2. Să se studieze natura seriei n 1. Soluţie 3.1. Avem inegalitatea. u n = 1 n 7. = v n. Semir 3 Serii Probleme rezolvte Problem 3 Să se studieze tur seriei Soluţie 3 Avem ieglitte = ) u = ) ) = v, Seri = v este covergetă fiid o serie geometrică cu rţi q = < Pe bz criteriului de comprţie cu

Διαβάστε περισσότερα

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ

Διαβάστε περισσότερα

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gh. Asachi Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia

Διαβάστε περισσότερα

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

Integrale generalizate (improprii)

Integrale generalizate (improprii) Integrle generlizte (improprii) Fie f : [, ] R, definită prin =, α > 0. Pentru u, funţi α f este integrilă pe intervlul [, u] şi u ln α+ α+ u u = ( α)u α α, α = ln u, α =. Dă treem l limită pentru u oţinem

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ) Funcţii diferenţiabile. cos x cos x 2. Fie D R o mulţime deschisă f : D R şi x0 D. Funcţia f este

( ) ( ) ( ) Funcţii diferenţiabile. cos x cos x 2. Fie D R o mulţime deschisă f : D R şi x0 D. Funcţia f este o ( ) o ( ) sin π ( sec ) = = ; R 2 + kπ k Z cos cos 2 cos ( cosec ) = = ; R 2 { kπ k Z} sin sin ( arcsec ) = ; (, ) (, ) 2 ( arcosec ) = ; (, ) (, ) 2 Funcţii dierenţiabile. Fie D R o mulţime deschisă

Διαβάστε περισσότερα

Lucian Maticiuc SEMINAR 1 3. Capitolul I: Integrala definită. Primitive. 1. Să se arate că. f (x) dx = 0. Rezolvare:

Lucian Maticiuc SEMINAR 1 3. Capitolul I: Integrala definită. Primitive. 1. Să se arate că. f (x) dx = 0. Rezolvare: Cpitolul I: Integrl definită. Primitive Conf. dr. Lucin Mticiuc Fcultte de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineri Mediului Anliz Mtemtică II, Semestrul II Conf. dr. Lucin MATICIUC. Să se rte că Rezolvre: SEMINAR

Διαβάστε περισσότερα

TITULARIZARE 2002 Varianta 1

TITULARIZARE 2002 Varianta 1 TITULARIZARE 2002 Vrint 1 A. Omotetii plne: definiţie, oricre două triunghiuri omotetice sunt semene, mulţime omotetiilor de celşi centru formeză un grup belin izomorf cu grupul multiplictiv l numerelor

Διαβάστε περισσότερα

Tema: şiruri de funcţii

Tema: şiruri de funcţii Tem: şiruri de fucţii. Clculţi limit (simplă) şirului de fucţii f : [ 0,], f ( ) R Avem lim f ( 0) = ir petru 0, vem lim f ( ) Î cocluzie, dcă otăm f: [ 0, ], f ( ) =, = 0 =, 0 + + = +, tuci lim f f =..

Διαβάστε περισσότερα

Sunt variabile aleatoare care iau o infinitate numărabilă de valori. Diagrama unei variabile aleatoare discrete are forma... f. ,... pn.

Sunt variabile aleatoare care iau o infinitate numărabilă de valori. Diagrama unei variabile aleatoare discrete are forma... f. ,... pn. 86 ECUAŢII 55 Vriile letore discrete Sut vriile letore cre iu o ifiitte umărilă de vlori Digrm uei vriile letore discrete re form f, p p p ude p = = Distriuţi Poisso Are digrm 0 e e e e!!! Se costtă că

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICĂ APLICATĂ "ADOLF HAIMOVICI" ETAPA FINALĂ - 22 mai 2010

CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI ETAPA FINALĂ - 22 mai 2010 ETAPA FINALĂ - mi 00 BAREM DE CORECTARE CLASA A IX A. Pe o dreptă se consideră 00 puncte, cre formeză 009 segmente, fiecre de cm. Pe primul segment, desupr dreptei, construim un pătrt, pe l doile segment,

Διαβάστε περισσότερα

METODE ŞI ETAPE NECESARE PENTRU DETERMINAREA

METODE ŞI ETAPE NECESARE PENTRU DETERMINAREA ETOE ŞI ETAPE ECESARE PETRU ETERIAREA UGHIULUI A OUĂ PLAE PROF. IACU ARIA, ŞCOALA ROUL LAEA, ORAVIłA, CARAŞ- SEVERI (). Unghi diedru. Fie α şi β două semiplne vând ceeşi frontieră (muchie)d. Se numeşte

Διαβάστε περισσότερα

sin d = 8 2π 2 = 32 π

sin d = 8 2π 2 = 32 π .. Eerciţii reolvte. INTEGRALA E UPRAFAŢĂ E AL OILEA TIP. ÂMPURI OLENOIALE. Eerciţiul... ă se clculee dd dd dd, () fiind fţ eterioră sferei + + 4. oluţie. Avem: sin θ cos φ, sin θ sin φ, cos θ, θ[, π],

Διαβάστε περισσότερα

Anexa B2 Elemente de reprezentare grafică în plan şi în spaţiu.

Anexa B2 Elemente de reprezentare grafică în plan şi în spaţiu. Anex B Elemente de reprezentre grfică în pln şi în spţiu. 1. Tipuri de sisteme de coordonte. Coordonte crteziene Fie xoy un sistem de coordonte crteziene în pln. Fie P un punct în pln vând coordontele

Διαβάστε περισσότερα

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.

Διαβάστε περισσότερα

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare 1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe

Διαβάστε περισσότερα

TEMA 3. Analiză matematică - clasa a XI-a (3h/săpt.), clasa a XII-a (3h/săpt.)

TEMA 3. Analiză matematică - clasa a XI-a (3h/săpt.), clasa a XII-a (3h/săpt.) LECłII DE SINTEZĂ în vedere pregătirii sesiunii iulie-ugust emenului de BACALAUREAT - M pentru cndidńii solvenńi i liceelor din filier tehnologică, profil: servicii, resurse nturle şi protecńi mediului,

Διαβάστε περισσότερα

ANALIZĂ MATEMATICĂ pentru examenul licenţă, manual valabil începând cu sesiunea iulie 2013 Specializarea Matematică informatică coordonator: Dorel I.

ANALIZĂ MATEMATICĂ pentru examenul licenţă, manual valabil începând cu sesiunea iulie 2013 Specializarea Matematică informatică coordonator: Dorel I. ANALIZĂ MATEMATICĂ pentru exmenul licenţă, mnul vlbil începând cu sesiune iulie 23 Specilizre Mtemtică informtică coordontor: Dorel I. Duc Cuprins Cpitolul. Serii de numere rele. Noţiuni generle 2. Serii

Διαβάστε περισσότερα

Tit Tihon CNRV Roman FISA DE EVALUARE A UNITATII DE INVATARE. Caracteristici vizibile observate PUNCTAJ ACORDAT

Tit Tihon CNRV Roman FISA DE EVALUARE A UNITATII DE INVATARE. Caracteristici vizibile observate PUNCTAJ ACORDAT Tit Tihon CNRV Romn FISA DE EVALUARE A UNITATII DE INVATARE Nr. crt 5 6 7 8 9 0 Nr. crt Nr. crt Crcteristici vizibile observte PUNCTAJ ACORDAT preciere D+ Nu Observţii privind preciere folosire mnulului

Διαβάστε περισσότερα

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval

Διαβάστε περισσότερα

π } R 4. ctg:r\{kπ} R FuncŃii trigonometrice 1. DefiniŃii în triunghiul dreptunghic 2. ProprietãŃile funcńiilor trigonometrice 1.

π } R 4. ctg:r\{kπ} R FuncŃii trigonometrice 1. DefiniŃii în triunghiul dreptunghic 2. ProprietãŃile funcńiilor trigonometrice 1. Trigonometrie FuncŃii trigonometrice. DefiniŃii în triunghiul dreptunghic b c b sin B, cos B, tgb c C c ctgb, sin B cosc, tgb ctgc b b. ProprietãŃile funcńiilor trigonometrice. sin:r [-,] A c B sin(-x)

Διαβάστε περισσότερα

2 ELEMENTE DE CALCUL VARIAŢIONAL

2 ELEMENTE DE CALCUL VARIAŢIONAL 1 2 ELEMENTE DE CALCUL VARIAŢIONAL 2.1 Probleme clsice de clcul vriţionl Din punct de vedere istoric, prim problemă de clcul vriţionl este ş numit problemă lui Dido. Legend mitologică spune că Dido, su

Διαβάστε περισσότερα

1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE

1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE . ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE. Eerciţii rezolvte Eerciţiul Stbiliţi dcă următorele şiruri sut fudmetle: ), N 5 b) + + + +, N * c) + + +, N * cos(!) d), N ( ) e), N Soluţii p p ) +p - < şi mjortul este

Διαβάστε περισσότερα

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0 Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VII-a

Subiecte Clasa a VII-a lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate

Διαβάστε περισσότερα

Curs 4 Serii de numere reale

Curs 4 Serii de numere reale Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni

Διαβάστε περισσότερα

GHEORGHE PROCOPIUC ANALIZĂ MATEMATICĂ

GHEORGHE PROCOPIUC ANALIZĂ MATEMATICĂ GHEORGHE PROCOPIUC ANALIZĂ MATEMATICĂ IAŞI, 2002 Cuprins 1 ELEMENTE DE TEORIA SPAŢIILOR METRICE 6 1.1 Introducere................................... 6 1.1.1 Elemente de teori teori mulţimilor.................

Διαβάστε περισσότερα

Integrala nedefinită (primitive)

Integrala nedefinită (primitive) nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei

Διαβάστε περισσότερα

Curs 2 Şiruri de numere reale

Curs 2 Şiruri de numere reale Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un

Διαβάστε περισσότερα

Axiomele geometriei în plan şi în spańiu

Axiomele geometriei în plan şi în spańiu xiomele geometriei în pln şi în spńiu 1 xiomele geometriei în pln şi în spńiu unoştinńele de geometrie cumulte în clsele gimnzile pot fi încdrte într-un sistem logic de propozińii mtemtice: xiome, definińii,

Διαβάστε περισσότερα

ME.09 Transformate Fourier prin sinus şi cosinus

ME.09 Transformate Fourier prin sinus şi cosinus ME.9 Trnsformte Fourier prin sinus şi cosinus Cuvinte cheie Trnsformre Fourier prin cosinus, trnsformre Fourier prin sinus, trnsformt Fourier prin sinus, trnsformt Fourier prin cosinus, formule de inversre,

Διαβάστε περισσότερα

Calcul diferenţial şi integral (notiţe de curs)

Calcul diferenţial şi integral (notiţe de curs) Clcul diferenţil şi integrl (notiţe de curs) Şt. Blint E. Kslik, L. Tǎnsie, A. Tomoiogă, I. Rodilǎ, N. Bonchiş, S. Mriş Cuprins 0 L ce pote fi util un curs de clcul diferenţil şi integrl pentru un student

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICĂ APLICATĂ "ADOLF HAIMOVICI"

CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN IAŞI CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICĂ APLICATĂ "ADOLF HAIMOVICI" ETAPA JUDEŢEANĂ 8 mrtie 04 Profil rel, specilizre ştiinţele nturii FACULTATEA CONSTRUCŢII DE MAŞINI ŞI MANAGEMENT

Διαβάστε περισσότερα

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005. SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care

Διαβάστε περισσότερα

2 Ecuaţii diferenţiale Ecuaţia diferenţială de ordinul n... 55

2 Ecuaţii diferenţiale Ecuaţia diferenţială de ordinul n... 55 Cuprins 1 Integrl definită şi generlizări 3 1.1 Definiţie, proprietăţi, formule de clcul............... 3 1. Integrl curbilinie......................... 17 1.3 Integrl improprie.........................

Διαβάστε περισσότερα

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)

Διαβάστε περισσότερα

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale. 5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța

Διαβάστε περισσότερα

CURS VII-IX. Capitolul IV: Funcţii derivabile. Derivate şi diferenţiale. 1 Derivata unei funcţii. Interpretarea geometrică.

CURS VII-IX. Capitolul IV: Funcţii derivabile. Derivate şi diferenţiale. 1 Derivata unei funcţii. Interpretarea geometrică. Lect dr Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr Lucian MATICIUC CURS VII-IX Capitolul IV: Funcţii derivabile Derivate şi diferenţiale 1

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL 6 FORME LINIARE, BILINIARE ŞI PĂTRATICE. 6.1 Forme liniare

CAPITOLUL 6 FORME LINIARE, BILINIARE ŞI PĂTRATICE. 6.1 Forme liniare Algebră liniră CAPITOLUL 6 FORME LINIARE, BILINIARE ŞI PĂTRATICE 6 Forme linire Fie V un spţiu vectoril peste un corp K Definiţi 6 Se numeşte formă liniră su funcţionlă liniră o plicţie f : V K cre stisfce

Διαβάστε περισσότερα

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1 1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2

Διαβάστε περισσότερα

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,

Διαβάστε περισσότερα

CINEMATICA RIGIDULUI

CINEMATICA RIGIDULUI CNEMATCA GDULU CNEMATCA CPULU GD CNEMATCA CPULU GD 8.. Elementele generle le mişcării corpului rigid 8.. Problemele cinemticii corpului rigid Corpul rigid este un element importnt în tehnică şi semnifică

Διαβάστε περισσότερα

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................

Διαβάστε περισσότερα

Cursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15

Cursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15 MĂSURI RELE Cursul 13 15 Măsuri reale Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi f : R o funcţie -măsurabilă. Cum am văzut în Teorema 11.29, dacă f are integrală pe, atunci funcţia de mulţime ν : R, ν()

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2 .1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,

Διαβάστε περισσότερα

Ioan ROŞCA CALCUL NUMERIC. Elemente de teoria aproximarii

Ioan ROŞCA CALCUL NUMERIC. Elemente de teoria aproximarii Ion ROŞCA CALCUL NUMERIC Elemente de teori proximrii P R E F A T A In ultimul timp, u pǎrut nevoi enorme de modele mtemtice tot mi sofisticte şi simulǎri pe clcultor tot mi vste şi complexe. In cest mod,

Διαβάστε περισσότερα

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice 1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă

Διαβάστε περισσότερα

EDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă

EDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Coordonatori DANA HEUBERGER NICOLAE MUŞUROIA Nicolae Muşuroia Gheorghe Boroica Vasile Pop Dana Heuberger Florin Bojor MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Clasa a

Διαβάστε περισσότερα

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011 Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE ANALITICĂ. Capitolul 5 VECTORI LIBERI. #1. Spaţiul vectorial al vectorilor liberi

GEOMETRIE ANALITICĂ. Capitolul 5 VECTORI LIBERI. #1. Spaţiul vectorial al vectorilor liberi GEOMETRIE ANALITICĂ Cpitolul 5 VECTORI LIBERI # Spţiul vectoril l vectorilor liberi Fie E spţiul tridimensionl l geometriei elementre orientt Definiţii Pentru oricre două puncte A B E considerăm segmentul

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL 1. ELEMENTE DE ALGEBRA

CAPITOLUL 1. ELEMENTE DE ALGEBRA CAPITOLUL. ELEMENTE DE ALGEBRA. Mulţimi Definiţi.. (Cntor) Prin mulţime se înţelege un nsmlu de oiecte ine determinte şi distincte, cre formeză o entitte. Oiectele cre formeză o mulţime se numesc elementele

Διαβάστε περισσότερα

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia

Διαβάστε περισσότερα

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii

Διαβάστε περισσότερα

z a + c 0 + c 1 (z a)

z a + c 0 + c 1 (z a) 1 Serii Laurent (continuare) Teorema 1.1 Fie D C un domeniu, a D şi f : D \ {a} C o funcţie olomorfă. Punctul a este pol multiplu de ordin p al lui f dacă şi numai dacă dezvoltarea în serie Laurent a funcţiei

Διαβάστε περισσότερα

Profesor emerit dr. Octavian STĂNĂŞILĂ ANALIZĂ MATEMATICĂ EDIŢIA DEFINITIVĂ. Floarea Darurilor

Profesor emerit dr. Octavian STĂNĂŞILĂ ANALIZĂ MATEMATICĂ EDIŢIA DEFINITIVĂ. Floarea Darurilor Profesor emerit dr. Octvin STĂNĂŞILĂ ANALIZĂ MATEMATICĂ EDIŢIA DEFINITIVĂ Colecţi Cărţi mri le Şcolii Româneşti Fundţi Flore Drurilor Bucureşti, 214 Culegere textului şi tehnoredctre: MORARU Cmeli Controlul

Διαβάστε περισσότερα

CONICE. DEFINITII CA LOCURI GEOMETRICE SI PROPRIETATI. 1. Elipsa. Cadrul de lucru al acestui curs este un plan an euclidian orientat E 2 =

CONICE. DEFINITII CA LOCURI GEOMETRICE SI PROPRIETATI. 1. Elipsa. Cadrul de lucru al acestui curs este un plan an euclidian orientat E 2 = CONICE. DEFINITII CA LOCURI GEOMETRICE SI PROPRIETATI 1. Elips Cdrul de lucru l cestui curs este un pln n euclidin orientt E = ( ( E ) ) E,, , Φ. Denition 1.1. Se consider dou puncte distincte F, F

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare

Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R În cele ce urmează, vom studia unele proprietăţi ale mulţimilor din R. Astfel, vom caracteriza locul" unui punct în cadrul unei mulţimi (în limba

Διαβάστε περισσότερα

Cursul 4. Matrice. Rangul unei matrice. Rezolvarea sistemelor de ecuaţii liniare. Metoda eliminării a lui Gauss

Cursul 4. Matrice. Rangul unei matrice. Rezolvarea sistemelor de ecuaţii liniare. Metoda eliminării a lui Gauss Lector univ dr Cristin Nrte Cursul 4 Mtrice Rngul unei mtrice Rezolvre sistemelor de ecuţii linire Metod eliminării lui Guss Definiţie O mtrice m n este o serie de mn intrări, numite elemente, rnjte în

Διαβάστε περισσότερα

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006 Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale

Διαβάστε περισσότερα

Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.

Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera. pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l +

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l + Semnul local al unei funcţii care are limită. Propoziţie. Fie f : D (, d) R, x 0 D. Presupunem că lim x x 0 f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl,

Διαβάστε περισσότερα

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:, REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii

Διαβάστε περισσότερα

a) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A.

a) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A. Bac Variata Proil: mate-izica, iormatica, metrologie Subiectul I (3 p) Se cosidera matricele: X =, Y = ( ) si A= a) (3p) Sa se calculeze XY A b) (4p) Sa se calculeze determiatul si ragul matricei A c)

Διαβάστε περισσότερα

Geometria triunghiului

Geometria triunghiului Geometri triunghiului 1 I Triunghiul ritrr Fie AB A c h m l β γ B D E A 1 Geometri triunghiului Formule de z pentru triunghiuri Notm prin:,, c lungimile lturilor B, A, respectiv AB; α, β, γ mrimile unghiurilor

Διαβάστε περισσότερα

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi Lect. dr. Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/ CURS XI XII SINTEZĂ 1 Algebra vectorială

Διαβάστε περισσότερα

4. Integrale improprii cu parametru real

4. Integrale improprii cu parametru real 4. Itegrle improprii cu prmetru rel Fie f: [ b, ) [ cd, ] y [, itegrl improprie R cu < b +, stfel îcât petru fiecre b cd ] f (, ) ydeste covergetă. Atuci eistă o fucţie defiită pritr-o itegrlă improprie

Διαβάστε περισσότερα

riptografie şi Securitate

riptografie şi Securitate riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare

Διαβάστε περισσότερα

Conice - Câteva proprietǎţi elementare

Conice - Câteva proprietǎţi elementare Conice - Câteva proprietǎţi elementare lect.dr. Mihai Chiş Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Universitatea de Vest din Timişoara Viitori Olimpici ediţia a 5-a, etapa I, clasa a XII-a 1 Definiţii

Διαβάστε περισσότερα

ILE FUNCłIILOR DERIVABILE PE UN INTERVAL

ILE FUNCłIILOR DERIVABILE PE UN INTERVAL PROPRIETĂłILE ILE FUNCłIILOR DERIVABILE PE UN INTERVAL 1. Puncte de etrem ale unei uncńii Determinarea punctelor de etrem ale unei uncńii are o mare importanńă practică, iind legată de rezolvarea problemelor

Διαβάστε περισσότερα

CONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ

CONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ CONCURS DE ADMITERE, 7 iulie 207 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (30 puncte) ) (0 puncte) Să se arate că oricare ar

Διαβάστε περισσότερα

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.

Διαβάστε περισσότερα

4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica

Διαβάστε περισσότερα

* K. toate K. circuitului. portile. Considerând această sumă pentru toate rezistoarele 2. = sl I K I K. toate rez. Pentru o bobină: U * toate I K K 1

* K. toate K. circuitului. portile. Considerând această sumă pentru toate rezistoarele 2. = sl I K I K. toate rez. Pentru o bobină: U * toate I K K 1 FNCȚ DE ENERGE Fie un n-port care conține numai elemente paive de circuit: rezitoare dipolare, condenatoare dipolare și bobine cuplate. Conform teoremei lui Tellegen n * = * toate toate laturile portile

Διαβάστε περισσότερα

Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)).

Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)). Teoremă. (Y = f(x)). Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism Demonstraţie. f este continuă pe X: x 0 X, S Y (f(x 0 ), ε), S X (x 0, ε) aşa ca f(s X (x 0, ε)) = S Y (f(x 0 ), ε) : y

Διαβάστε περισσότερα

Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme

Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme GHEORGHE ECKSTEIN 1 Atunci când întâlnim o problemă pe care nu ştim s-o abordăm, adesea este bine să considerăm cazuri particulare ale acesteia.

Διαβάστε περισσότερα

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită. Trignmetrie Funcţia sinus sin : [, ] este peridică (periada principală T * = ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus arcsin : [, ], este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia csinus cs : [, ] este peridică

Διαβάστε περισσότερα

Ion CRĂCIUN ANALIZĂ MATEMATICĂ CALCUL INTEGRAL EDITURA PIM

Ion CRĂCIUN ANALIZĂ MATEMATICĂ CALCUL INTEGRAL EDITURA PIM Ion CRĂCIUN ANALIZĂ MATEMATICĂ CALCUL INTEGRAL EDITURA PIM IAŞI 27 2 Cuprins 1 Integrle improprii 9 1.1 Introducere............................ 9 1.2 Definiţi integrlei improprii................... 1 1.3

Διαβάστε περισσότερα

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare

Διαβάστε περισσότερα

ANALIZĂ MATEMATICĂ Noţiuni teoretice şi probleme rezolvate. Mircea Olteanu

ANALIZĂ MATEMATICĂ Noţiuni teoretice şi probleme rezolvate. Mircea Olteanu @ ANALIZĂ MATEMATICĂ Noţiuni teoretice şi probleme rezolvte Mirce Oltenu Cuprins Integrle improprii şi cu prmetri 5. Noţiuni teoretice......................... 5. Integrle improprii.........................3

Διαβάστε περισσότερα

MARCAREA REZISTOARELOR

MARCAREA REZISTOARELOR 1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea

Διαβάστε περισσότερα