OIKONOMIKO ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ

Transcript

1 OIKONOMIKO ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ Διδακτορική Διατριβή: Καμπύλη απόδοσης και κρατικά ομόλογα: Μέθοδοι υπολογισμού και ανάλυσης της προγνωστικής τους ικανότητας Υποψήφιος Διδάκτωρ: Ρες Στυλιανός Επιβλέπων Καθηγητής Γεωργούτσος Δημήτριος ΑΘΗΝΑ

2 ΤΡΙΜΕΛΗΣ ΣΥΜΒΟΥΛΕΥΤΙΚΗ ΕΠΤΡΟΠΗ Γεωργούτσος Δημήτριος Σπύρου Σπυρίδων Γιαμουρίδης Δανιήλ ΕΠΤΑΜΕΛΗΣ ΕΠΙΤΡΟΠΗ Γεωργούτσος Δημήτριος Σπύρου Σπυρίδων Γιαμουρίδης Δανιήλ Καβουσανός Εμμανουήλ Δράκος Κωνσταντίνος Μπεκίρος Στυλιανός Χαλαμανδάρης Γεώργιος 2

3 Πίνακας περιεχομένων ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ ΣΗΜΕΙΑ ΜΕΛΕΤΗΣ ΤΗΣ ΚΑΜΠΥΛΗΣ ΑΠΟΔΟΣΗΣ ΚΑΜΠΥΛΗ ΑΠΟΔΟΣΗΣ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΤΗΣ ΚΑΜΠΥΛΗΣ ΑΠΟΔΟΣΗΣ ΚΑΜΠΥΛΗ ΑΠΟΔΟΣΗΣ ΓΙΑ ΤΗ ΓΕΡΜΑΝΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ ΤΥΠΟΠΟΙΗΣΗΣ ΤΗ Σ ΚΑΜΠΥΛΗΣ ΑΠΟΔΟΣΗΣ ΤΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ ΤΩΝ NELSON - SIEGEL ΤΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ SVENSSON ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΚΛΑΣΣΗΣ Nelson Siegel ΤΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ SPLines ΑΡΧΙΚΕΣ ΥΠΟΘΕΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ ΤΩΝ SPLINES ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΚΑΜΠΥΛΗΣ ΑΠΟΔΟΣΗΣ ΜΕ SPLINES ΔΕΔΟΜΕΝΑ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΘΟΔΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΥΠΟΠΟΙΗΣΗ ΤΗΣ ΚΑΜΠΥΛΗΣ ΑΠΟΔΟΣΗΣ ΤΗΣ ΓΕΡΜΑΝΙΚΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ ΑΠΟΔΟΣΗΣ ΜΕ ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑΚΑ ΓΕΡΜΑΝΙΚΑ ZERO COUPON BONDS ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΥΠΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΩΝ ΒΑΘΜΟΣ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗΣ ΤΩΝ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΩΝ ΣΥΜΦΩΝΑ ΜΕ MSE ΚΑΙ MAE ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΕΥΤΕΡΟ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΜΑΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΜΕΓΕΘΩΝ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΚΑΜΠΥΛΗΣ ΕΠΙΤΟΚΙΩΝ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΓΝΩΣΗ ΥΦΕΣΕΩΝ ΣΤΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΕΣ ΤΩΝ ΗΠΑ ΚΑΙ ΤΗΣ ΓΕΡΜΑΝΙΑΣ ΔΕΔΟΜΕΝΑ

4 2.4 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΚΤΙΜΗΣΗΣ ΤΩΝ ΡΥΘΜΩΝ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΤΟΥ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΟΣ NELSON-SIEGEL, ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕ ΤΗΝ ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΩΝ SPREADS ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΕΜΠΛΟΥΤΙΣΜΕΝΟΥ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΕΜΒΑΤΙΚΩΝ ΕΠΙΤΟΚΙΩΝ ΤΗΣ FED και ECB ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΥΦΕΣΗΣ ΤΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΩΝ ΗΠΑ KAI ΤΗΣ ΓΕΡΜΑΝΙΑΣ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ PROBIT MODEL ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΥΦΕΣΗΣ ΜΕ ΠΟΛΥΜΕΤΑΒΛΗΤΟ PROBIT MODEL ΠΟΛΥΜΕΤΑΒΛΗΤΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ ΕΚΤΙΜΗΣΗΣ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΔΕΙΚΤΗ ΤΙΜΩΝ ΑΚΙΝΗΤΩΝ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΥΨΟΥΣ ΤΩΝ ΧΟΡΗΓΗΣΕΩΝ ΣΤΕΓΑΣΤΙΚΩΝ ΔΑΝΕΙΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΗ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΤΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑΣ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΤΩΝ ΑΠΟΔΟΣΕΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΕΠΙΤΟΚΙΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΗ (OUT OF SAMPLE) ΓΙΑ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΡΙΤΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η ΕΞΕΛΙΞΗ ΤΗΣ EXPECTATION HYPOTHESIS ΚΑΙ ΤΩΝ ΕΛΕΓΧΩΝ ΤΗΣ ΕΛΕΓΧΟΙ ΕΗ ΚΑΙ ΙΣΟΔΥΝΑΜΙΑΣ ΕΠΙΤΟΚΙΩΝ ΕΛΕΓΧΟΙ ΤΗΣ EXPECTATION HYPOTHESIS ΙΣΟΔΥΝΑΜΙΑ ΕΠΙΤΟΚΙΩΝ ΚΑΛΥΜΕΝΗ ΙΣΟΔΥΝΑΜΙΑ ΕΠΙΤΟΚΙΩΝ ΑΚΑΛΥΠΤΗ ΙΣΟΔΥΝΑΜΙΑ ΕΠΙΤΟΚΙΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΥΝΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ JOHANSEN Error Correcion Model και VECM ΔΕΔΟΜΕΝΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ

5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ ΚΑΜΠΥΛΗΣ 5

6 1.1 ΣΗΜΕΙΑ ΜΕΛΕΤΗΣ ΤΗΣ ΚΑΜΠΥΛΗΣ ΑΠΟΔΟΣΗΣ Η καμπύλη απόδοσης μιας οικονομίας περιγράφει τη σχέση ανάμεσα στα επιτόκια αποδόσεις των χρεογράφων της στις αγορές χρήματος (ή κόστος δανεισμού) σε σχέση με το χρόνο αποπληρωμής τους. Αρχικά, η γραμμική απεικόνιση της καμπύλης ολοκληρώνονταν με μία διακριτή γραμμή που ένωνε τις αποδόσεις για κάθε διαφορετική χρονική λήξη. Από τη δεκαετία του 1970 ξεκίνησε μια προσπάθεια μαθηματικής έκφρασης και βαθύτερης μελέτης και κατανόησης της καμπύλης απόδοσης με κίνητρο τις ερευνητικές υποψίες ότι υπήρχαν συσχετίσεις ανάμεσα στις βραχυχρόνιες και μακροχρόνιες αποδόσεις των ομολόγων. Στα τέλη της δεκαετίας του 1980 ξεκίνησε μια νέα προσπάθεια κατανόησης των ιδιοτήτων της καμπύλης απόδοσης κρατικών ομολόγων που κατέληξε στη σύνδεση της με μακροοικονομικά μεγέθη. Οι αποδόσεις που τυποποιήθηκαν σε συναρτησιακές σχέσεις ειδικά σε κρατικά ομόλογα επέτρεψαν την εύρεση επιτοκίων για όλο το φάσμα των χρονικών λήξεων γεγονός που έδωσε ώθηση στην αξιολόγηση των επενδύσεων. Για την εύρεση και την ποσοτικοποίηση βασικών εννοιών όπως η Καθαρή Παρούσα Αξία απαιτείται η εκτίμηση του προεξοφλητικού (risk free) επιτοκίου που εξάγεται από την καμπύλη απόδοσης. Με τις συνεχείς μαθηματικές εκφράσεις που διατυπώθηκαν είναι εφικτός ο ακριβής προσδιορισμός των επιτοκίων προεξόφλησης για οποιαδήποτε χρονική διάρκεια λαμβάνει μία επένδυση ώστε να γίνεται καλύτερη, ευκολότερη και ακριβέστερη η αποτίμηση της και στη συνέχεια η αποδοχή ή η απόρριψη του κάθε επενδυτικού σχεδίου. Υπό το πρίσμα της έρευνας αναδείχθηκε σύντομα και η προβλεπτική ικανότητα της καμπύλης απόδοσης που άλλοτε περιείχε πληροφόρηση που αφορούσε στα βραχυχρόνια επιτόκια επόμενων περιόδων και άλλοτε με τις κατάλληλες οικονομετρικές διαδικασίες κατέληγε στη διενέργεια προβλέψεων στους ρυθμούς ανάπτυξης, στον πληθωρισμό, στη βιομηχανική παραγωγή και αλλού. Για την ανάλυση και την κατασκευή της καμπύλης απόδοσης χρησιμοποιήθηκαν αρκετές μαθηματικές μεθοδολογίες που στηρίζονται σε πληθώρα διαφορετικών δεδομένων. Στην παρούσα ενότητα περιγράφεται η κατασκευή των υποδειγμάτων για την τυποποίηση της καμπύλης απόδοσης και διενεργείται σύγκριση των βασικότερων εξ αυτών ώστε να επιλεχθεί η μέθοδος που παρουσιάζει την καλύτερη προσαρμογή στα πραγματικά δεδομένα. Ακόμα η τυποποίηση της καμπύλης απόδοσης αποτελεί θέμα βαρύνουσας σημασία για τις κεντρικές τράπεζες που επιθυμούν την καλύτερη προσαρμογή στα δεδομένα της αγοράς, για 6

7 τις κρατικές αποδόσεις, με μεγέθη που να προέρχονται από κοινές μεθόδους ώστε να είναι συγκρίσιμα ανάμεσα σε διαφορετικές οικονομίες. Η τυποποίηση της καμπύλης απόδοσης θεωρήθηκε το πρώτο βήμα ώστε να γίνει εφικτή η επεξεργασία των επιτοκίων και να περιγραφούν οι διαφορές στις αποδόσεις ανάμεσα στα βραχυχρόνια, τα μεσοπρόθεσμα και τα μακροχρόνια επιτόκια. Καταλυτική ήταν η προσφορά του McCulloch (1975) στη δημιουργία συνεχούς καμπύλης απόδοσης με βάση τον παράγοντα προεξόφλησης ενώ οι Nelson και Siegel (1987) για πρώτη φορά εισήγαγαν μια εύχρηστη και αξιόπιστη παραμετρική μεθοδολογία για την κατασκευή της. Η έρευνα τους, βοήθησε την επεξεργασία και την βαθύτερη κατανόηση των επιτοκίων και επέτρεψε την ανάλυση τους. Αναπτύχθηκαν θεωρίες σχετικά με τη διάρθρωση των αποδόσεων όπως η θεωρία των προσδοκιών αλλά και την πρόβλεψη των επιτοκίων μικρής διάρκειας από τους Mankiew και Miron (1986) καθώς και των Campbell και Shiller (1991) ενώ με τις οικονομετρικές θεωρίες των Eagle και Granger (1987) και Johansen και Juselius (1990) υποβοηθήθηκε σημαντικά ο έλεγχος των θεωριών. Με τη συμβολή των ανωτέρω δόθηκε το έναυσμα για αναζήτηση χαρακτηριστικών της καμπύλης σχετικά με τη πρόβλεψη μεγεθών ενώ από την έρευνα των Harvey και Campbell (1989) αναδείχθηκαν εξαρτήσεις ανάμεσα στη κλίση της καμπύλης απόδοσης και στην εκτίμηση μελλοντικών μακροοικονομικών μεγεθών. Ωστόσο, η καμπύλη απόδοσης εκτός από τη χρήση δεδομένων με τιμές κρατικών ομολόγων δύναται να εξαχθεί από επιτόκια της διατραπεζικής αγοράς, από αποδόσεις δημοτικών ομολόγων και εταιρικά ομόλογα, ενώ διαφορετικές μεθοδολογίες μπορούν να κατασκευάσουν τη δομή των επιτοκίων άλλοτε με τη χρήση ομολόγων με τοκομερίδιο και άλλοτε με την επεξεργασία τιμών ομολόγων χωρίς τοκομερίδιο (zero coupon bonds). Για την κατασκευή της καμπύλης απόδοσης στην παρούσα ενότητα αντλήθηκαν καθαρές τιμές κρατικών ομολόγων (clean prices) με τοκομερίδια τα οποία μετατράπηκαν με τη μέθοδο boosrapping σε zero coupon ώστε να εξαχθούν οι καμπύλες. Οι διάρκειες που συνήθως απαρτίζουν τα διαγράμματα της καμπύλης απόδοσης κυμαίνονται από λίγες εβδομάδες (με δεδομένα από τη διατραπεζική αγορά) έως 30 έτη. Η πρόγνωση για την εξέλιξη των επιτοκίων που απορρέουν από τα παραπάνω αποτελεί ένα ισχυρό εργαλείο για τη χάραξη νομισματικής πολιτικής αλλά και για την επεξεργασία της στρατηγικής δανειοδότησης σε κρατικές και εταιρικές οντότητες. Η μεταβολές της καμπύλης αποτελεί μείζονος σημασία ζήτημα αφού επηρεάζει την αποτίμηση όλων των περιουσιακών στοιχείων σε μια οικονομία και καθορίζει τις μελλοντικές επενδυτικές επιλογές. Από τη μελέτη της καμπύλης απόδοσης σε σχέση με τη πρόβλεψη μακροοικονομικών μεγεθών αναδείχθηκε σε σημαντική παράμετρο η κλίση της καμπύλης. Η ερμηνεία που 7

8 δόθηκε αφορά την προτίμηση των επενδυτών σε ομόλογα να υποκαταστήσουν βραχείες λήξεις με μεγαλύτερης διάρκειες ή το αντίθετο. Σε περίπτωση που οι επενδυτές προβλέπουν οικονομική ανάπτυξη θα αυξήσουν τη ζήτηση σε βραχυχρόνιους τίτλους αυξάνοντας τις αποδόσεις στους μακροχρόνιους τίτλους και μειώνοντας τις αποδόσεις στις βραχυχρόνιες λήξεις. Αντίθετα, αν οι επενδυτές προβλέπουν ύφεση της οικονομίας θα αποταμιεύσουν περισσότερα χρήματα στο μέλλον μειώνοντας την κατανάλωσή τους στο παρόν με αποτέλεσμα να επιλέγουν μακροπρόθεσμα ομόλογα. Αυτό έχει ως συνέπεια την αύξηση των βραχυπρόθεσμων αποδόσεων και τη μείωση των μακροπρόθεσμων με αποτέλεσμα η καμπύλη να μειώνει την κλίση της. Η κλίση της καμπύλης απόδοσης ορίστηκε εμπειρικά ως η διαφορά ανάμεσα στα δεκαετή και τα τρίμηνα επιτόκια ενώ ορισμένες φορές αυτή η παράμετρος εξάγεται από υποδείγματα όπως εκείνα της κλάσης Nelson-Siegel (1987). Η διαμόρφωση των οικονομικών συνθηκών μεταβάλλει την καμπύλη απόδοσης και καθορίζει την κλίση της και τη μορφή της. Η ανάγνωση της καμπύλης και οι μεταβολές στο σχήμα της παρέχουν πληροφόρηση σχετικά με τις προσδοκίες των επενδυτών, τη συμπεριφορά των νομισματικών αρχών και την εξέλιξη των βασικών μακροοικονομικών μεγεθών. Η πλέον συνηθισμένη και αναμενόμενη μορφή της καμπύλης απόδοσης διαθέτει θετική κλίση και υποδηλώνει την απαίτηση των επενδυτών να λάβουν υψηλότερα επιτόκια για μεγαλύτερης διάρκειας δέσμευσης των κεφαλαίων τους, εφόσον η αύξηση του χρονικού ορίζοντα μιας επένδυσης αυξάνει παράλληλα και τη διακύμανση της. Σε οικονομικό επίπεδο η θετική κλίση εκφράζει μια πρόβλεψη για αύξηση των ρυθμών ανάπτυξης σε μακροοικονομικό επίπεδο, του πληθωρισμού και των μελλοντικών επιτοκίων με τέτοιο τρόπο ώστε να αναμένεται πως τα βραχυπρόθεσμα επιτόκια θα είναι χαμηλότερα από τα μακροπρόθεσμα. Η αντίθετη περίπτωση που η καμπύλη απόδοσης έχει αρνητική κλίση (invered yield curve) τα βραχυπρόθεσμα επιτόκια εμφανίζονται υψηλότερα από τα μακροπρόθεσμα. Μία αύξηση στη ζήτηση μακροχρονίων κεφαλαίων είναι ικανή να αυξήσει τα βραχυπρόθεσμα επιτόκια (αποδόσεις) και να μειώσει τις μακροπρόθεσμες αποδόσεις. Η αρνητική κλίση της καμπύλης επιτοκίων υποδεικνύει ύφεση, οικονομική αστάθεια, προσδοκίες μείωσης του πληθωρισμού και χαμηλή επενδυτική εμπιστοσύνη όπως στην οικονομία των ΗΠΑ κατά τη δεκαετία του 1980 όπου τα βραχυπρόθεσμα επιτόκια υπερτερούσαν κατά 3-4 ποσοστιαίες μονάδες των μακροπρόθεσμων. Επίσης, παράδειγμα αποτελεί και η ελληνική αγορά κατά το τέλος της δεκαετίας του 1990, όπου η ένταξη της χώρας στην ΟΝΕ και η επίτευξη των οικονομικών 8

9 κριτηρίων και κυρίως του πληθωρισμού συντέλεσε σε μείωση των επιτοκίων η οποία προκάλεσε αρνητική κλίση στην καμπύλη απόδοσης των ελληνικών ομολόγων. Γενικά, όπως και στην ελληνική οικονομία, σε περιόδους άσκησης περιοριστικής νομισματικής πολιτικής προκαλείται αύξηση των βραχυπρόθεσμων αποδόσεων που σε ορισμένες περιπτώσεις μπορεί να ξεπεράσουν το ύψος των μακροπρόθεσμων δημιουργώντας αντιστραμμένη καμπύλη απόδοσης. Στην περίπτωση που παρατηρείται υπερθέρμανση στην οικονομική δραστηριότητα και απαιτείται αύξηση των βραχυπρόθεσμων επιτοκίων λόγω ανόδου του τιμαρίθμου συνήθως εμφανίζεται η μορφή της επίπεδης (fla) καμπύλης απόδοσης. Αυτή η μορφή υποδεικνύει μεταβολή στην οικονομική κατάσταση θετική ή αρνητική και η διάδοχη καμπύλη απόδοσης μπορεί να διαθέτει θετική ή αρνητική κλίση αν και συνήθως ακολουθείται από οικονομική επιβράδυνση. Επίπεδη καμπύλη απόδοσης των αμερικανικών ομολόγων είχε παρατηρηθεί το 1989 πριν την μεγάλη ύφεση που ακολούθησε στην αμερικανική οικονομία. Ωστόσο, η συνήθης και αναμενόμενη μορφή της καμπύλης απόδοσης έχει θετική κλίση και περιλαμβάνει βραχυπρόθεσμα επιτόκια μικρότερα από τα μακροπρόθεσμα. Σε μια προσπάθεια να ερμηνευτεί το σχήμα της καμπύλης αναπτύχθηκαν ορισμένες επιστημονικές ερμηνείες ορισμένες εκ των οποίων αναλύονται παρακάτω. Η πιο διαδομένη ερμηνεία της καμπύλης προέρχεται από την «θεωρία των προσδοκιών» ( Expecaions Theory), η οποία αντανακλά τις προσδοκίες των επενδυτών σχετικά με την μελλοντική εξέλιξη των βραχυπρόθεσμων επιτοκίων σε μια οικονομία. Όπως αναλύεται και στη δεύτερη ενότητα, για τις περισσότερες χρονικές περιόδους η πλειοψηφία των επενδυτών αναμένουν υψηλότερα επιτόκια για τοποθετήσεις μεγαλύτερης διάρκειας με αποτέλεσμα η καμπύλη να παρουσιάζεται ανοδική. Ο μηχανισμός που συνδέει τα βραχυπρόθεσμα με τα μακροπρόθεσμα επιτόκια είναι: (1 + οf α) (1+ αf β) = (1+ οf β), όπου στο αριστερό μέρος της εξίσωσης εμφανίζεται το βραχυπρόθεσμο επιτόκιο και το προθεσμιακό των οποίων το γινόμενο ισούται με το μακροπρόθεσμο επιτόκιο. Με τη χρήση της Expecaion Hypohesis (ενότητα 3) με τους κατάλληλους μαθηματικούς μετασχηματισμούς γίνεται εφικτή η πρόβλεψη των βραχυπρόθεσμων επιτοκίων για την επόμενη χρονική περίοδο. Μία ακόμα θεωρία που εξηγεί την κλίση της καμπύλης απόδοσης είναι η «θεωρία προτίμησης ρευστότητας» (The liquidiy preference heory), η οποία τοποθετεί στο επίκεντρο τη ρευστότητα και υπογραμμίζει πως για να τοποθετήσει ένας επενδυτής τα χρήματα του σε ένα χρηματοοικονομικό προϊόν με μικρότερη ρευστότητα θα πρέπει να αποζημιωθεί με ένα ασφάλιστρο ρευστότητας (liquidiy premium). 9

10 Συνεπώς, για όσο μεγαλύτερη χρονική περίοδο δεσμεύει ένας επενδυτής τα χρήματα του σε ένα χαρτοφυλάκιο τόσο μεγαλύτερο ασφάλιστρο θα απαιτεί με αποτέλεσμα το liquidiy premium να είναι ανάλογο της χρονικής διάρκειας της δέσμευσης και η κλίση της καμπύλης απόδοσης θετική. Εκτός από το liquidiy premium, στη βιβλιογραφία περιγράφεται και το ασφάλιστρο πληθωρισμού, σύμφωνα με το οποίο οι επενδυτές θίγονται από την επίδραση του πληθωρισμού και απαιτούν αυξημένα επιτόκια. Και εφόσον μία μακροπρόθεσμη τοποθέτηση βρίσκεται σε μεγαλύτερο βαθμό εκτεθειμένη στην πληθωριστική επίδραση, τα μακροπρόθεσμα επιτόκια της καμπύλης είναι υψηλότερα από τα βραχυπρόθεσμα και η κλίση της καμπύλης είναι θετική. Ακόμα, η καμπύλη απόδοσης εμπεριέχει στοιχεία που συνδέονται με την παραγωγική οικονομία, ενώ η μορφή της καμπύλης έχει προγνωστική αξία σχετικά με την εξέλιξη βασικών μακροοικονομικών μεγεθών. Μελετώντας τη χρονική διάρθρωση των επιτοκίων οι οικονομικές μονάδες υποβοηθούνται για τη λήψη οικονομικών αποφάσεων σχετικά με την πορεία της οικονομικής δραστηριότητας, του πληθωρισμού και της μεταβολής των επιτοκίων. Από την τυποποίηση της καμπύλης απόδοσης οι Diebold και Li (1996) συνέδεσαν τις μεταβλητές του «Parsimonious model» των Nelson-Siegel (1987) με τις ροπές της κλίσης και της κυρτότητας ενώ ταυτόχρονα συσχετίστηκαν οι ίδιες παράμετροι με τα μακροπρόθεσμα, τα βραχυπρόθεσμα και τα μεσοπρόθεσμα επιτόκια. Η καμπύλη απόδοσης όπως μελετάται και αναλύεται τις τελευταίες δεκαετίες έχει καταστεί ένα σημαντικό εργαλείο έρευνας της νομισματικής πολιτικής. Συγχρόνως, έχει ταυτίσει την κλίση της με τις πιο σύγχρονες αναλύσεις για την πρόβλεψη των διακυμάνσεων των μακροοικονομικών μεγεθών καθώς και με μοντέλα εκτίμησης (probi models) πιθανότητας οικονομικών υφέσεων στο μέλλον. 10

11 1.2 ΚΑΜΠΥΛΗ ΑΠΟΔΟΣΗΣ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ Η καμπύλη απόδοσης αποτελεί μια συνάρτηση που συνδέει το χρονικό ορίζοντα λήξης των ομολόγων με ένα επιτόκιο (απόδοση). Η συνάρτηση που εκφράζει τη μαθηματική σχέση ανάμεσα στις διάφορες χρονικές λήξεις των ομολόγων και τις ετησιοποιημένες αποδόσεις των τίτλων του δημοσίου μπορεί να λάβει παραμετρικές ή μη παραμετρικές δομές. Από τη δεκαετία του 1970 χρησιμοποιήθηκαν στοχαστικές διαδικασίες όπως εκείνες των Vasicek (1977), των Cox Ingersoll Ross (1985) και των Duffie και Kan (1996) 1 που εκτίμησαν και μοντελοποίησαν τις αποδόσεις με τη χρήση των υποδειγμάτων επιστροφής στο μέσο (mean revering). Οι μεθοδολογίες που επικράτησαν κατά τις διάρκεια των δεκαετιών του 1990 και του 2000 ήταν οι παραμετρικές, οι οποίες εκφράστηκαν μέσα από τις εκθετικές συναρτήσεις των Nelson και Siegel (1987), (NS), και την εισαγωγή ενός ακόμα πολυωνύμου από τον Svensson (1994), (SV), στο μοντέλο των NS. Ακόμα, με τη χρήση πολυωνυμικών συναρτήσεων splines και εσωτερικών διαστημάτων δημιουργήθηκε και χρησιμοποιείται το υπόδειγμα των Fisher, Nychka και Zervos (1995) 2, με τη χρήση ενός βελτιωτικού όρου γνωστού ως smoohness penaly. Η καμπύλη απόδοσης αποτελεί το επιτόκιο το οποίο εξισώνει τις χρηματικές ροές (CF) του ομολόγου με την τιμή που διαμορφώνεται στη δευτερογενή αγορά. Το δημόσιο δημοπρατεί ομόλογα βραχείας λήξης που αποφέρουν όλο το κεφάλαιο στην λήξη τους και ομόλογα σταθερού τοκομεριδίου. Από την αποτίμηση ενός εντόκου γραμματίου λαμβάνεται η απόδοση στη λήξη r (υποθέτουμε εναπομένουσα διάρκεια ενός έτους). P = C (1 + r ) T Εξίσωση Όπου P η τιμή του ομολόγου, C το μέγεθος του αρχικού κεφαλαίου και r το κόστος κεφαλαίου. Ενώ από την θεωρητική τιμή ενός ομολόγου σταθερού τοκομεριδίου CF, η απόδοση r υπολογίζεται ως εξής: T P 0 = CF C (1 + r ) + Εξίσωση (1 + r T ) T =1 1 Daffie and Kan 1996, A Yield Facor Model of Ineres Raes, Mahemaical Finance, Vol 6, No4 (Ocober 1996), Fisher M, Nychka D., Zervos D., 1995, Fiing he Term Srucure of Ineres Raes wih Smoohing Splines, Working Paper 95-1, Finance and Economics Discussion Series, Federal Reserve Board. 11

12 Για την εξαγωγή των τρεχόντων επιτοκίων εφαρμόζεται η μέθοδος boosrapping κατά την οποία τα ομόλογα με τοκομερίδιο μετατρέπονται σε ομόλογα μηδενικού τοκομεριδίου και για κάθε διάρκεια του zero bond λαμβάνεται η απόδοση r που αντιστοιχεί στα spo επιτόκια. Στη μεθοδολογία των NS και SV η αρχική εκτίμηση των υποδειγμάτων αφορά στα προθεσμιακά επιτόκια (forward raes) και στη συνέχεια αθροίζοντας (ολοκληρώνοντας) τα προθεσμιακά (οριακά) επιτόκια γίνεται η εξαγωγή των spo επιτοκίων. Η σχέση ανάμεσα στα spo και forward επιτοκίων είναι: (1 + r ) = (1 + r 1 ) 1 (1 + f 1,T ) Εξίσωση Τα spo επιτόκια συμβολίζονται με r ενώ τα προθεσμιακά με f. Η χρονική στιγμή θεωρείται το παρόν, ενώ ως -1 ορίζεται μια χρονική περίοδο στο παρελθόν και Τ η χρονικής στιγμή της λήξης. Το επιτόκιο f -1,T είναι το επιτόκιο μιας περιόδου από -1 έως T που εξισώνει το τρέχον επιτόκιο r με το τρέχον επιτόκιο της προηγούμενης περιόδου -1. Από την παραπάνω σχέση προκύπτει και η έννοια του οριακού επιτοκίου εφόσον το προθεσμιακό επιτόκιο f μπορεί να μετασχηματιστεί σε: f 1,T = (1 + r T) T 1 Εξίσωση (1 + r 1 ) 1 Αντίστοιχα ο προεξοφλητικός παράγοντας δ (Discoun Facor) για τα spo επιτόκια συνοψίζεται στον παρακάτω τύπο: δ = 1 (1 + r ) και 1 δ = (1 + r ) ώστε f 1,Τ = δ τ 1 δ τ δ τ ενώ η σχέση που συνδέει τα τρέχοντα με τα προθεσμιακά επιτόκια επιτρέπει και την έκφραση του προεξοφλητικού παράγοντα σε όρους προθεσμιακών επιτοκίων: (1 + r ) T = (1 + f 1 ) + (1 + f 2 ) + + (1 + f T ) ώστε δ = δ = 1 (1 + f 1 ) + (1 + f 2 ) + + (1 + f T ) 1 (1 + r ) T Εξίσωση Τα προθεσμιακά επιτόκια είναι όλα για διάρκεια μίας περιόδου. Συνεπώς το f 1 συμβολίζει το προθεσμιακό επιτόκιο από την 0 έως την 1 περίοδο, το f 2 από την 1 έως τη 2 περίοδο κοκ. Από τον τύπο της αποτίμησης προκύπτει πως το r είναι η απόδοση που περιέχει το ομόλογο από τη χρονική στιγμή μέχρι τη λήξη του Τ, ενώ η σχέση που συνδέει spo r(s) και 12

13 προθεσμιακά f() επιτόκια συνίσταται σε ένα συνεχές άθροισμα της συνάρτησης των προθεσμιακών επιτοκίων: r(s) = 1 s F()d 0 s Εξίσωση

14 1.3 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΤΗΣ ΚΑΜΠΥΛΗΣ ΑΠΟΔΟΣΗΣ Η καμπύλη απόδοσης αποτελεί την συναρτησιακή και γραφική απεικόνιση των αποδόσεων, των οποίων το μέγεθος δεν είναι άμεσα παρατηρήσιμο. Αντίθετα, στις αγορές που διαπραγματεύονται τα ομόλογα γνωστές είναι οι ημερήσιες τιμές, οι ημερομηνίες λήξης και τα τοκομερίδια των τίτλων σταθερού εισοδήματος. Από τον μαθηματικό τύπο της τιμής μιας ομολογίας συνεπάγεται ότι η θεωρητική τιμή είναι το άθροισμα των προεξοφλημένων ροών στο παρόν: P = δ CF i1 + δ CF i2 + + δ CF T + δ C T = T =1 δ CF ι, + δ C i,t με δ = δ (β ) Εξίσωση Όπου δ ο προεξοφλητικός παράγοντας ως συνάρτηση του β = 1 (1+r ) και Ρ η εκτιμώμενη θεωρητική τιμή, ενώ CF είναι το τοκομερίδιο του ομολόγου και C T το κεφάλαιο στη λήξη. Θέτοντας τη συνάρτηση: P P = 0 T CF i C it (1 + r ) + (1 + r ) P = 0 T =1 Εξίσωση των διαφορών της εκτίμησης του Ρ σε σχέση με την πραγματική τιμή του Ρ ίση με το μηδέν γίνεται αναζήτηση των εκτιμώμενων επιτοκίων r που να ελαχιστοποιούν το σφάλμα ε,i = P P (β ), ενώ αν η αρχική σχέση του υπολογισμού της θεωρητικής τιμής λυθεί ως προς την απόδοση αντίστοιχα το σφάλμα συνίσταται σε ε,i = r i, r (β). i, Για την εκτίμηση των παραμέτρων ακολουθείται η μέθοδος της ελαχιστοποίησης: T min (e (β )) 2 Εξίσωση β =1 Οι μεθοδολογίες που αναπτύχθηκαν στηρίζονταν σε μια πληθώρα οικονομετρικών τύπων ή παραμέτρων ώστε να απεικονίσουν με σχετική ακρίβεια τις αποδόσεις των ομολόγων προκειμένου να δώσουν στους επενδυτές μια σαφή εικόνα των χωρίς κίνδυνο επιτοκίων της οικονομίας ώστε να αξιολογηθούν τα επενδυτικά έργα για διάφορους χρονικούς ορίζοντες. Με τα υποδείγματα των Nelson Siegel, των Nelson- Siegel- Svensson και τη μεθοδολογία 14

15 Splines επιχειρείται η εκτίμηση μιας συνεχούς συνάρτησης η οποία μπορεί να αποδώσει με τη χρήση κυβερνητικών ομολόγων τα επιτόκια μηδενικού κινδύνου για όλες τις χρονικές περιόδους και τις υποδιαιρέσεις αυτών. 15

16 1.4 ΚΑΜΠΥΛΗ ΑΠΟΔΟΣΗΣ ΓΙΑ ΤΗ ΓΕΡΜΑΝΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ Στην παρούσα ενότητα κατασκευάζεται η καμπύλη απόδοσης για την γερμανική οικονομία με δεδομένα της περιόδου από το 2002 έως το Οι μεθοδολογίες που χρησιμοποιούνται αποτελούν τους τρεις σημαντικότερους τρόπους υπολογισμού της καμπύλης απόδοσης από τις μεγαλύτερες κεντρικές τράπεζες σε ολόκληρο τον κόσμο. Ειδικότερα, η μεθοδολογία που ανέπτυξαν οι Nelson Siegel (1987) με στοιχεία που παραθέτει η BIS (Bank for Inernaional Selemens, 2005) 3, χρησιμοποιείται από την κεντρική τράπεζα της Ιταλίας, της Φιλανδίας και του Βελγίου ως κύρια μεθοδολογία, ενώ η επέκταση που εισήγαγε ο Svensson (1994), ακολουθείται από τις κεντρικές τράπεζες της Γερμανίας, του Καναδά, της Νορβηγίας, της Σουηδίας και Ελβετίας. Για την καμπύλη απόδοσης των ομολόγων η κεντρική τράπεζα της Γαλλίας χρησιμοποιεί τόσο τη μέθοδο Nelson-Siegel όσο και την επέκταση Svensson, ενώ η FED χρησιμοποιεί την μεθοδολογία του Svensson και παράλληλα την Smoohing Splines (SS) όπως και η κεντρική τράπεζα της Ιαπωνίας. H μεθοδολογία SS αναπτύχθηκε από το Mc Culloch (1971) και εμπλουτίστηκε από τους Fisher e al (1995) και αποτελεί μια μέθοδο που χρησιμοποιούν μόνο δύο κεντρικές τράπεζες σήμερα. Η Ευρωπαϊκή Κεντρική Τράπεζα (ECB) χρησιμοποιεί της μέθοδο των Nelson Siegel (1987) με την επέκταση Svensson εκτιμώντας την προθεσμιακή καμπύλη και στη συνέχεια την καμπύλη απόδοσης των τρεχουσών επιτοκίων. Συγκεκριμένα, η Γερμανική Καμπύλη απόδοσης εξάγεται με τη χρήση του αλγόριθμου των Nelson-Siegel (NS) με τη χρήση της επέκτασης Svensson (SV) για λήξεις μεγαλύτερες των τριών μηνών με τη χρήση τιμών, λήξεων και αποδόσεων. Οι κρατικοί τίτλοι χρέους στη γερμανική οικονομία διαχωρίζονται ανάλογα με τις λήξεις τους και συνίστανται σε: Bubill bills που αποτελούν βραχυπρόθεσμα αξιόγραφα με λήξεις μικρότερες από 2 έτη Bundesschazanweisungen (Schäze) που αποτελούν ομόλογα με λήξη τα 2 έτη Bundesobligaionen (Bobls) που αποτελούν πενταετείς ομολογίες Bundesanleihen (Bunds and Buxl) που αποτελούν ομολογίες με διάρκειες μεγαλύτερες από 5 έτη και μικρότερες από BIS 2005, Zero Coupon Yield Curves: Technical Documenaion, Moneary and Economic Deparmen 16

17 Στην ενότητα που ακολουθεί θα γίνει εκτίμηση με τις τρεις κύριες μεθοδολογίες των NS, SV και SS αξιολογώντας με τη χρήση του Mean Square Error (MSE) και του Roo Mean Square Error (RMSE) τις τρεις μεθόδους ως προς την προσαρμογή τους στα δεδομένα. 17

18 1.5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ ΤΥΠΟΠΟΙΗΣΗΣ ΤΗ Σ ΚΑΜΠΥΛΗΣ ΑΠΟΔΟΣΗΣ Οι προσπάθειες τυποποίησης της καμπύλης απόδοσης αποτελούν έρευνα των τελευταίων έξι δεκαετιών και συνίστανται στην εύρεση οικονομετρικών μεθόδων για τη δημιουργία συναρτήσεων και την αποτύπωση των επιτοκίων σε δύο διαστάσεις. Η μία αφορά στα επιτόκια των κυβερνητικών ομολόγων και η δεύτερη στις ημερομηνίες λήξεις τους. Η πλέον διαδεδομένη μεθοδολογία για την εξαγωγή της καμπύλης απόδοσης των ομολόγων δημιουργήθηκε από τους Nelson και Siegel (1987) και αφορά σε ένα μοντέλο τριών παραγόντων μιας εκθετικής συνάρτησης που αποδίδει προθεσμιακά και τρέχοντα επιτόκια. Στο παρελθόν η πρώτη επιστημονική προσέγγιση της καμπύλης επιτοκίων έγινε από τον David Durand (1942) 4 στα πλαίσια σύγκρισης και κατανόησης των διαφορών των επιτοκίων ανάμεσα σε ομόλογα υψηλής (Moody s A και Poor s A**) και χαμηλής πιστοληπτικής ικανότητας. Ταυτόχρονα, ερευνήθηκε η επιτοκιακή διαφορά ανάμεσα στις βραχυπρόθεσμες και μακροπρόθεσμες λήξεις χρησιμοποιώντας ως δείγμα τιμές ομολόγων από το 1900 έως το 1942b, ενώ η μέθοδος που ακολουθήθηκε ήταν εκείνη των ελαχίστων τετραγώνων. Στη συνέχεια ο J. Huson Mc Culloch (1971) 5, δημιούργησε τη συνάρτηση του παράγοντα προεξόφλησης (discoun facor) για τον υπολογισμό των τιμών των προθεσμιακών και τρεχουσών επιτοκίων για την κατασκευή της καμπύλης απόδοσης. O Mc Culloch με μαθηματικούς μετασχηματισμούς της συνάρτησης που αποδίδει τη θεωρητική τιμή ενός ομολόγου: mo P 100 c ( m) dm, και ( m) 1jfj( m), με αντικατάσταση: 0 k P 100 cmo aj[100 fj( mo) c fj( m) dm], ενώ αν όπου mo j1 0 y= P-100-cm 0 και x j = [ 100 fj( mo) c j f ( m) dm], προκύπτει: mo 0 k j1 y k j1 ajxj Εξίσωση Durand David, 1942, Basic yields of corporae bonds , Technical Paper No 3. Cambridge Mass: Naional Bureau of Economics Research 5 McCulloch, J. Huson 1971, Measuring he erm srucure of ineres raes. Journal of Business 34:

19 Ανάμεσα στην τιμή προσφοράs και ζήτησης χρησιμοποιήθηκε ο αριθμητικός μέσο p i = (p b + p a )/2, όπου P a και P b η τιμή για την προσφορά και τη ζήτηση. H μεταβλητή Ρ εκφράζει τη θεωρητική τιμή του ομολόγου και c το μέγεθος του επενδυμένου κεφαλαίου και το χρονικό διάστημα [0,m 0] τη διάρκεια του. Για την οικονομετρική επεξεργασία της συνάρτησης συμπεριλήφθησαν οι όροι ε ι και β, ώστε οι συναρτήσεις να διαμορφωθούν ως εξής: P k 100 cmo aj[100 fj( mo) c j f ( m) dm] +ε i και y mo j1 0 k j1 ajxj + ε i, Εξίσωση Ενώ η p i = (p b + p a )/2 γίνεται p i = (p b + p a )/2+β, όπου β η ύπαρξη κόστους συναλλαγών. Ενώ η εκτίμηση του α j προέκυψε με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων από ομόλογα υψηλής πιστοληπτικής ικανότητας εταιριών σιδηροδρόμων των ΗΠΑ για την περίοδο , ενώ το δεύτερο δείγμα αφορούσε κυβερνητικά ομόλογα της περιόδου , Mc Culloch (1971). Ο παράγοντας προεξόφλησης διαμορφώνεται ως εξής: k d( m) 1 ajfj( m) Εξίσωση j1 Γνωρίζοντας τη μορφή της συνάρτησης του προεξοφλητικού παράγοντα μπορούν να εξαχθούν τα προθεσμιακά επιτόκια με τη χρήση του τύπου: '( m) r( m) και με αντικατάσταση προκύπτει r( m) ( m) 1 ajfj'( m). ajfj( m) Η γραφική αναπαράσταση της r(m) αποτελεί την καμπύλη απόδοσης των προθεσμιακών επιτοκίων ενώ η καμπύλη απόδοσης των επιτοκίων δίνεται από τον τύπο: m 1 r( m) F( x) dx, όπου F(x) η συνάρτηση των προθεσμιακών επιτοκίων. Η επιλογή της m 0 μορφής της αρχικής συνάρτησης f(x) σύμφωνα με τον Mc Culloch είναι ζήτημα καθαρά εμπειρικό, ενώ προτείνεται η εφαρμογή δύο προϋποθέσεων που αφορούν στη συνέχεια και παραγωγισιμότητα της f στο διάστημα [0,m] καθώς και στη συνθήκη f(0)=0. Από την τελευταία υπόθεση συνάγεται ότι για m=0 και f(0) τότε δ(0)=1, αφού ( m) 1jfj( m) Εξίσωση Ο Mc Culloch προτείνει ένα σύνολο πολύκλαδων συναρτήσεων χωρίζοντας το πεδίο ορισμού της A f = [0,m] σε k-1 υποδιαστήματα [d j, d j+l] που εξαρτώνται από το σχήμα της καμπύλης. Γενικά, η καμπύλη με το γνωστό σχήμα S χωρίζεται σε 3 διαστήματα και σε ισάριθμες συναρτήσεις. Το πρώτο τμήμα f 1(x) λαμβάνει για d=0 την τιμή f(0) =0 και αποκτά θετική κλίση 19 k j1

20 έως το τέλος του πρώτου διαστήματος στο σημείο d 2 στο οποίο η f παραμένει σταθερή. Στο επόμενο διάστημα (d 2, d 3) η f αυξάνει με αύξοντα ρυθμό, ενώ στο διάστημα (d 3, d k-1) η f αποκτά φθίνουσα πορεία όπως περιγράφεται παρακάτω: 1 2 m m, 0 m d 2 2d 2 f1( m) Εξίσωση d 2, d 2 m d n 2 Ο Vasicek (1977) 6 δανειζόμενος στοιχεία από τη μεθοδολογία των Black και Scholes (1973) 7 για την αποτίμηση δικαιωμάτων προαίρεσης εισήγαγε μία νέα μεθοδολογία υπολογισμού των βραχυχρόνιων επιτοκίων με τη χρήση στοχαστικής διαδικασίας της επιστροφής στο μέσο (mean-revering sochasic process). Η στοχαστική διαδικασία του Vasicek βασίστηκε στο γεγονός ότι η μεταβολή ενός μεγέθους r σε συνάρτηση με το χρόνο μπορεί να περιγραφεί από τη σχέση: dr ) A d A DW ( ) Εξίσωση ( 0 1 όπου ο πρώτος όρος A 0d αποκαλείται ντετερμινιστικός ενώ, αντίθετα ο δεύτερος όρος A 1DW(), ενσωματώνει την τυχαιότητα στο μοντέλο. Οι πίνακες Α 0 και Α 1 αποτελούν τις προς εκτίμηση παραμέτρους ενώ ο όρος dr() μετρά τη μεταβολή του επιτοκίου r ως προς το χρόνο και DW αποτελεί τη διαδικασία Wiener. Στη μεθοδολογία Vasicek χρησιμοποιούνται οι συναρτήσεις που περιγράφουν την απόδοση ενός ομολόγου μηδενικού τοκομεριδίου ως 1 R (, T ) log P(, T ), T 0 και την εύρεση των spo από τα forward επιτόκια ( f (, T ) ) T με τον τύπο T 1 r (, T) f (, T ) d. H στοχαστική εξίσωση που δείχνει τη διαφορά των T τιμών είναι: dp P(,s,r)d - Pσ(,s,r)dz Εξίσωση Vasicek Oldrich 1977, An equilibrium characerizaion of he erm srucure, Journal of Economics 5 (1977) Black F and Scholes M. 1973, The pricing of opions and corporae liabiliies, Journal of Poliical Economy 81,

21 (, s,r) f (,, ) 2 P s r P(,s,r) r 2 r 1 (,s,r) - P(, s, r) P(,s,r) r Εξίσωση όπου z() η διαδικασία Wiener και μ(,s), σ(,s), ο μέσος και η διακύμανση για χρόνο και λήξη s. Για τα επιτόκια η στοχαστική διαδικασία που προτείνεται περιγράφεται στη συνάρτηση: dr a( r)d ρdz Εξίσωση O όρος α δείχνει την ταχύτητα προσαρμογής των επιτοκίων στο μακροπρόθεσμα μέσο γ, ενώ αν γ>r τότε α>0 και οι διαφορές για κάθε μονάδα του χρόνου d θα λειτουργούν προσθετικά ενώ αν γ<r τότε α<0 και οι διαφορές των επιτοκίων θα λειτουργούν αφαιρετικά. Για r 2 2 2, ενώ το μοντέλο μπορεί να δημιουργεί αύξουσα, φθίνουσα μονοτονία και κυρτότητα, ενώ το r συμβολίζει την απόδοση. Συνεπώς, αν r 2 2 4, τότε η καμπύλη απόδοσης εμφανίζεται γνησίως αύξουσα, ενώ αν r η μονοτονία είναι γνησίως 2 2 φθίνουσα, ενώ το σημείο καμπής για το χρόνο είναι r r Αναπτύσσοντας το υπόδειγμα του Vasicek, οι Cox, Ingersoll και Ross (1985) 8, δημιούργησαν το υπόδειγμα (CIR) που αποτελεί ένα στοχαστικό μοντέλο υπολογισμού των επιτοκίων αρκετά διαδεδομένο για την κατασκευή καμπύλης απόδοσης ενώ θεωρείται ως ένα από τα καλύτερα και καταλληλότερα μονοπαραγοντικά υποδείγματα. Σύμφωνα με το CIR η εκτίμηση του προεξοφλητικού παράγοντα γίνεται από τη σχέση: δ(,t)=a(,t)e -B(,T)r(), όπου: ( k )( ) 2 2 (, ) e A T, ( ) ( )( e 1) 2 8 Cox C, Ingersoll J, Ross S 1985, A heory of he erm srucure of ineres raes, Economerica, Volume 53, Issue 2 (Mar 1985),

22 ( ) 2e 1 (, T ) και ( ) ( )( e 1) ( ) 2 Εξίσωση Ο συντελεστής k δείχνει την ταχύτητα προσαρμογής των παρατηρήσεων προς το μέσο του δείγματος, ενώ η τιμή του ομολόγου περιγράφεται ως συνάρτηση του προεξοφλητικού όρου δ(,t) για την περίοδο από τη χρονική τ έως την Τ. Η τιμή αποτελεί μια φθίνουσα συνάρτηση ως προς τα επιτόκια και μία αύξουσα συνάρτηση ως προς το χρόνο, ενώ συγχρόνως είναι αύξουσα συνάρτηση του κινδύνου της αγοράς που συμβολίζεται στο υπόδειγμα με τον όρο λ. Όσο αυξάνει ο κίνδυνος της αγοράς (λ) τόσο αυξάνει και η αναμενόμενη απόδοσης ενός ομολόγου ενώ το ίδιο συμβαίνει για τη διακύμανση σ 2 που υποδηλώνει μεγαλύτερη αβεβαιότητα για μελλοντικές επενδύσεις. Η επικρατέστερη μεθοδολογία για την τυποποίηση της καμπύλης απόδοσης προήλθε από τους Nelson και Siegel (1987) οι οποίοι κατάφεραν να προσαρμόσουν την καμπύλη χρησιμοποιώντας ένα αρκετά εύκολο στην εκτίμηση υπόδειγμα. Η ανάγκη για ένα απλό υπόδειγμα είχε διατυπωθεί από τον Milon Friedman (1977) 9 ώστε να υπολογίζονται τα επιτόκια σε σχέση με το χρονικό ορίζοντα και να καθίσταται λιγότερο περίπλοκη και χρονοβόρα η αξιολόγηση κάθε μορφής επένδυσης. Οι Nelson Siegel (1987) πρότειναν ένα παραμετρικό υπόδειγμα το οποίο επαλήθευσαν με δεδομένα από τιμές αμερικανικών ομολόγων από την Ομοσπονδιακή Τράπεζα των Ηνωμένων Πολιτειών. Τα ομόλογα περιλάμβαναν 32 διαφορετικές λήξεις και οι τιμές του δείγματος περιλάμβαναν χρονικά περίπου τρία έτη από τις 22/1/1981 έως 27/10/1983. Το μοντέλο που πρότειναν περιέχει τρεις παραμέτρους όπως παρατίθεται στη συνέχεια: f m m m m) 0 1exp( ) [( )exp( )] Εξίσωση ( 2 Ο μαθηματικός τύπος των NS (Nelson Siegel) περιέχει τρεις παραμέτρους (β 0, β 1, β 2) και μια σταθερά (τ) ώστε να εμφανίζει τη γραφική απεικόνιση τύπου S με τη μέγιστη δυνατή ευελιξία και προσαρμοστικότητα ανάλογα με την εκτίμηση των παραμέτρων και την τιμή των σταθερών όρων. Ο όρος m περιγράφει τη διάρκεια ωρίμανσης του ομολόγου. Η συνάρτηση f(m) εκφράζει τη σχέση ανάμεσα στα προθεσμιακά επιτόκια (forward raes) και στο χρόνο m 9 Friedman Milon 1977, Time perspecive in demand for money. Chicago: Universiy of Chicago 22

23 και συνδέεται με τα spo επιτόκια από τη σχέση m 1 R( m) r( x) dx. Η εξίσωση που m 0 περιγράφει την καμπύλη απόδοσης των προθεσμιακών επιτοκίων f(m) είναι η εξίσωση Οι τρεις παράγοντες (β 0, β 1, β 2) του μοντέλου Nelson και Siegel υποδηλώνουν το μακροπρόθεσμο, βραχυπρόθεσμο και μεσοπρόθεσμο χαρακτήρα των επιτοκίων. Ο παράγοντας β 0 εκφράζει το ύψος των μακροπρόθεσμων επιτοκίων και είναι σταθερός για κάθε διάρκεια. Ο παράγοντας β 1 δείχνει τα βραχυπρόθεσμα επιτόκια που εξαρτώνται από την σταθερά τ ή οποία λαμβάνει μικρότερες τιμές όσο οι λήξεις τείνουν προς το 0. Τέλος, τα μεσοπρόθεσμα επιτόκια εκτιμώνται από την παράμετρο β 2. Η καμπύλη προθεσμιακών επιτοκίων που εκτιμά η εξίσωση των Nelson Siegel σχηματοποιείται με βάση τις τιμές των εκτιμηθέντων όρων β 0, β 1, β 2 και της παραμέτρου τ. Κάθε εκτιμητής ευθύνεται για το επίπεδο, τη μονοτονία και την κυρτότητα της εκθετικής m καμπύλης απόδοσης. Ο όρος β 0 είναι σταθερός, ενώ ο όρος 1exp( ) προσδιορίζει μια συνάρτηση γνησίως φθίνουσα (αύξουσα) στην περίπτωση που ο όρος β 1 είναι θετικός m m (αρνητικός). Ο όρος β 2 [( )exp( )] παράγει μία κύρτωση με τα κοίλα προς τα κάτω αν η εκτίμηση β 2 είναι θετική, ενώ σε αντίθετη περίπτωση που β 2 < 0 η κύρτωση που παράγει το τρίτο πολυώνυμο της συνάρτησης Nelson Siegel στρέφει τα κοίλα προς τα επάνω. Ο σταθερός όρος τ είναι υπεύθυνος για το σημείο καμπής της συνάρτησης R(m). Αν τ=50 τότε η μονοτονία της καμπύλης απόδοσης από εκείνη τη λήξη (π.χ. 50 ημέρες) θα μεταβληθεί και από αύξουσα θα γίνει φθίνουσα. Το μοντέλο NS προσέφερε μία καλή προσαρμογή των δεδομένων σε συνδυασμό με μεγάλο βαθμό ομαλότητας (smoohness) της καμπύλης απόδοσης των επιτοκίων. Oι Diebold και Li 10 (2006), απέδειξαν πως η προσέγγιση των τριών παραγόντων των Nelson και Siegel μπορούσε να καταλήξει σε αξιόπιστες προβλέψεις για την εξέλιξη της πορείας των επιτοκίων. Στην ερμηνεία των τριών αυτών παραγόντων, πρόσθεσαν και μια στατιστική προσέγγιση σύμφωνα με την οποία ο μακροπρόθεσμος παράγοντας β 0 δείχνει το ύψος (level) της καμπύλης απόδοσης, ενώ ο βραχυπρόθεσμος και μεσοπρόθεσμος παράγοντας β 1 και β 2 καθορίζει την κλίση (slope) και την καμπυλότητα (curvaure) της καμπύλης απόδοσης. 10 Diebold and Li 2006, Forecasing he erm srucure of governmen bond yields, Journal of Economerics 130 (2006)

24 Για τον μακροπρόθεσμο παράγοντα β 0 μπορεί εύκολα να αποδειχθεί ότι R ( ) 0 επηρεάζοντας με σταθερό τρόπο ολόκληρη την καμπύλη απόδοσης αποτελώντας το επίπεδο (level) της γραφικής της απεικόνισης. Ο βραχυπρόθεσμος παράγοντας β 1 των Nelson Siegel μπορεί να θεωρηθεί η διαφορά ανάμεσα στο 10ετές και στο 3μηνο επιτόκιο απεικονίζοντας την κλίση της καμπύλης. Οι Frankel και Lown (1994) 11 υποστήριξαν επίσης ότι ο ίδιος συντελεστής στατιστικά εμφανίζει την κλίση της καμπύλης η οποία αν τεθεί ως R( ) R(0) αποδίδει ακριβώς το συντελεστή β 1 του υποδείγματος. Για τον μεσοπρόθεσμο παράγοντα β 2 οι Diebold και Li κατέληξαν στο συμπέρασμα πως αποτελεί την κυρτότητα της καμπύλης απόδοσης και ισούται με 2R m(24)-r m(3)-r m(120). Η έκφραση των Diebold και Li (2006) αποδίδει εμπειρικά την κυρτότητα της καμπύλης απόδοσης στο διπλάσιο διαφορά των αποδόσεων για 24 μήνες μείον την απόδοση του τριμήνου μείον την απόδοση για 120 μήνες. Για την απόδειξη της θεωρίας ότι οι τρεις παράγοντες του NS ταυτίζονται με το επίπεδο, την κλίση και την κυρτότητα της καμπύλης απόδοσης χρησιμοποίησαν δεδομένα από την αγορά ομολόγων των ΗΠΑ για το διάστημα από τον Ιανουάριο του 1985 έως το Δεκέμβρη του 2000 με λήξεις 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 30, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108 και 120 μηνών. Αφού εκτιμήθηκε το υπόδειγμα των τριών παραμέτρων των NS από την εξίσωση έγιναν γνωστές οι τιμές των β 0, β 1, β 2 και ορίστηκε το τ, αποδείχθηκε ότι οι τιμές ήταν ίσες με τις τιμές που εκτιμήθηκαν με την παραπάνω μεθοδολογία για το επίπεδο, την κλίση και την κυρτότητα της καμπύλης, ώστε να αντιστοιχούν σε: β 0= επίπεδο β 1=κλίση β 2=κυρτότητα Συμπερασματικά οι τιμές β 1, β 2 και β 3, ταυτίστηκαν με το επίπεδο (level), την κλίση (slope) και την κυρτότητα (curvaure) της καμπύλης απόδοσης. Από το 1987 και μετά, προτάθηκαν πολλές παραλλαγές της μεθόδου, με σημαντικότερη την «επέκταση Svensson» που δημοσιεύτηκε το 1994 και πλέον 9 από τις 13 κεντρικές τράπεζες που κατασκευάζουν καμπύλες απόδοσης για zero coupon bonds σύμφωνα με την BIS (Bank of Inernaional Selemens) χρησιμοποιούν την εν λόγω μεθοδολογία. 11 Frankel and Lown 1994, An indicaor of fuure inflaion exraced from he seepness of he ineres rae yield curve along is enire lengh, Quarerly Journal of Economics 109,

25 To 1994 o Lars Svensson 12 πρόσθεσε έναν ακόμη όρο στην εξίσωση των Nelson Siegel για μεγαλύτερη ευελιξία στην καμπύλη αποδόσεων των προθεσμιακών επιτοκίων κατασκευάζοντας ένα υπόδειγμα τεσσάρων παραγόντων, σε αντίθεση με το NS οπου κλίση και κυρτότητα τείνουν στο μηδέν σε μακρές διάρκειες. Η μαθηματική απεικόνιση του μοντέλου Svensson στην καμπύλη των προθεσμιακών επιτοκίων αναλύεται ως εξής: m m m m m m f ( m) 0 1exp( ) 2[( )exp( )] 3[ exp( )exp( )] Εξίσωση Αντίστοιχα, με τον τύπο m 1 R( m) f ( x) dx η συνάρτηση f(m) των προθεσμιακών m 0 επιτοκίων μετασχηματίζεται στη συνάρτηση spo επιτοκίων με την εξής μορφή: m m 1 exp( ) 1 exp( ) 1 ( ) exp 1 m r m exp( ) m m Εξίσωση m 1 exp( ) 3 2 m exp( ) 2 m 2 Η εκτίμηση των παραμέτρων πραγματοποιείται με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων ελαχιστοποιώντας το τετραγωνικό σφάλμα μεταξύ των παρατηρούμενων και των εκτιμώμενων τιμών των επιτοκίων: Min Εξίσωση εκτιμώμενη 2 b0, b1,b2,b3,1,2 [Y - Y (β0,β1,β 2,β3,τ 1,τ 2)] Εκτιμώντας τις παραμέτρους ο Svensson και λαμβάνοντας δεδομένα ομολόγων της περιόδου από τη Σουηδική οικονομία κατέληξε στο συμπέρασμα ότι η προσθήκη του τρίτου παράγοντα βελτίωνε την προσαρμογή του μοντέλου αυξάνοντας το συντελεστή R 2 σε σχέση με το υπόδειγμα του μοντέλου των Nelson Siegel. 12 Svensson L 1994, Esimaing and Inerpreing Forward Ineres Raes: Sweden , Naional Bureau of Economic Research wih number

26 1.5.1 ΤΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ ΤΩΝ NELSON - SIEGEL Οι Nelson και Siegel (1987), προσπάθησαν να εκφράσουν αυτή τη σχέση επιτοκίων και χρόνου με τη χρήση των ελάχιστων δυνατών παραμέτρων δημιουργώντας ένα μαθηματικό υπόδειγμα που συνδύαζε ακρίβεια στην προσαρμογή του και απλότητα (parsimonious model) στη διαδικασία υπολογισμού του. Η αρχική μορφή της συνάρτησης της καμπύλης απόδοσης έκανε χρήση τριών παραμέτρων β 0, β 1, β 2 και μιας σταθεράς τ. Η καμπύλη των NS μπορεί να εκφράσει όλες τις μορφές της καμπύλης απόδοσης αντικατοπτρίζοντας τα επιτόκια και βασίζεται σε εκθετικά πολυώνυμα της μορφής: f(m) = β 0 + β 1 e ( m τ ) + β 2 m m τ e( τ ) Εξίσωση Όπου f(m) είναι το προθεσμιακό επιτόκιο της τελευταίας περιόδου για το χρόνο m. Για την εξαγωγή των spo επιτοκίων r(m) απαιτείται η ολοκλήρωση της σχέσης r(m) = 1 s ώστε: r(m) = β 0 + β 1 ( 1 m e( τ ) m τ m 0 ) + β 2 ( 1 m e( τ ) m e ( m τ ) ) Εξίσωση τ f()d Επίσης, η συνάρτηση των spo επιτοκίων r(m) μπορεί να μετασχηματιστεί σε: m r(m) = β 0 + (β 1 + β 2 ) [1 e( τ ) ] m -β 2 e ( m τ ) Εξίσωση τ Χρησιμοποιώντας την έννοια του ορίου στην συνάρτηση r(m) γίνεται φανερό πως στις μικρές λήξεις των ομολόγων (m 0) το επιτόκιο θα τείνει στην τιμή του β 0, ενώ αντίθετα στις μεγαλύτερες λήξεις (m ) η απόδοση των ομολόγων θα τείνει στο άθροισμα β 0+β 1. 26

27 lim r(m) = β 0 ενώ lim r(m) = β 0 + β 1 Εξίσωση m m 0 Γίνεται σαφές πως από την εκτίμηση του υποδείγματος των Nelson Siegel απορρέουν άμεσα και οι βραχυπρόθεσμες και μακροπρόθεσμες αποδόσεις των ομολόγων. Η παράμετρος β 2 δεν έχει κάποιον ακριβή ρόλο, εκφράζει ένα μεσοπρόθεσμο επιτόκιο και σε συνεργασία με τη σταθερά τ καθορίζουν το σχήμα και την κυρτότητα της καμπύλης απόδοσης. Οι παράμετροι β 0, β 1, β 2 με τους συντελεστές που τις συνοδεύουν καθορίζουν το σχήμα και τη μορφή της καμπύλης απόδοσης. Η πρώτη παράμετρος β 0 με συντελεστή 1 αποτελεί έναν σταθερό όρο για τη συνάρτηση σε σχέση με τις χρονικές διάρκειες και θεωρείται ότι αντιπροσωπεύει τις μακροχρόνιες αποδόσεις της καμπύλης. Το πολυώνυμο e m τ που συνοδεύει την παράμετρο β 1 αποτελεί μια γνησίως φθίνουσα συνάρτηση που τείνει γρήγορα προς το μηδέν αντιπροσωπεύοντας τις βραχυπρόθεσμες αποδόσεις. Η τρίτη παράμετρος β 2 που συνοδεύεται από το πολυώνυμο m τ e m τ ξεκινά από την τιμή μηδέν αυξάνει όσο αυξάνουν οι διάρκειες λήξεις των ομολόγων και στη συνέχεια βαίνει μειούμενη έως ότου καταλήγει επίσης στο μηδέν. Αυτός είναι ο λόγος που οι Diebold και Li συμπέραναν ότι ο όρος β 2 δεν μπορεί να αντιπροσωπεύει βραχυπρόθεσμα και μακροπρόθεσμα επιτόκια, αλλά έχει ερμηνευτική αξία σαν ένα είδος μεσοπρόθεσμης απόδοσης. Συγχρόνως, οι τρεις παράμετροι από την σκοπιά των μαθηματικών εκπροσωπούν το ύψος της καμπύλης, την κλίση και την κυρτότητά της. Μια αύξηση στο συντελεστή β 0 συνεπάγεται μια συνολική ισόποση άνοδο της καμπύλης, ενώ αποδεικνύεται ότι lim m r(m) = β 0. Αντίθετα, μια μεταβολή στον παράγοντα β 1 δεν επηρεάζει ισόποσα όλες τις λήξεις αλλά μια αύξηση επιδρά περισσότερο στα βραχυπρόθεσμα και λιγότερο στα μακροπρόθεσμα επιτόκια αλλάζοντας την κλίση. Οι Frankel και Lown (1994) 13, έδειξαν πως η κλίση της καμπύλης lim r(m) lim r(m) ισούται με το συντελεστή β1 ο οποίος εκπροσωπεί την κλίση της m 0 m καμπύλης. Ακόμα, ο συντελεστής β 1 τείνει να ταυτιστεί με τη διαφορά των δεκαετών και των τρίμηνων αποδόσεων συμπεραίνοντας με μικρές αποκλίσεις ότι ισχύει β 1 = lim m 0 r(m) lim r(m) = r(120) m r(3)14. Εν συνεχεία, ο τρίτος παράγοντας των μεσοπρόθεσμων 13 Frankel J and Lown C, 1994, An indicaor of fuure inflaion exraced from he sepness of he ineres rae yield curve along is enire lengh, Quarerly Journal of Economics 109, Ο συμβολισμός r(120) και r(3) αναφέρεται σε επιτόκιο 120 και αντίστοιχα 3 μηνών. 27

28 αποδόσεων β 2, δεν επηρεάζει ιδιαίτερα την καμπύλη στις μικρές και μεγάλες λήξεις αλλά μεταβάλει τα επιτόκια της καμπύλης στα ενδιάμεσα χρονικά διαστήματα. Αντίστοιχα με το συντελεστή β 1 που εκφράζει την κλίση, έχει διαπιστωθεί εμπειρικά ότι ο συντελεστής β 2 εκφράζει την κυρτότητα της καμπύλης απόδοσης η οποία μπορεί να αποδοθεί με τον αριθμητικό τύπο 2r(24)-r(3)-r(120). Με τη χρήση των τριών παραμέτρων και της σταθεράς τ το υπόδειγμα Nelson-Siegel εξασφαλίζει την ευελιξία που απαιτείται ώστε η καμπύλη απόδοσης να λαμβάνει όλα τα απαραίτητα σχήματα που απαιτούν οι οικονομικές συνθήκες όπως αντανακλώνται από την πληροφόρηση που περιέχουν οι τιμές των ομολόγων για όλες τις διάρκειες. Συνήθως σε περιόδους ανάπτυξης της οικονομίας η καμπύλη βαίνει αύξουσα ενώ, όταν βασικοί μακροοικονομικοί δείκτες όπως οι ρυθμοί ανάπτυξης η βιομηχανική παραγωγή κλπ επιβραδύνονται η καμπύλη τείνει να γίνει οριζόντια, ενώ τέλος, όταν υπάρχει ύφεση η καμπύλη αντιστρέφεται. Στην έρευνα των Diebold και Li χρησιμοποιώντας δεδομένα της οικονομίας των ΗΠΑ για την περίοδο υπογραμμίζεται ο ρόλος των τριών παραμέτρων του υποδείγματος και η ταύτισή τους με το επίπεδο, την κλίση και την κυρτότητα της συνάρτησης. Συγκεκριμένα ο συντελεστής συσχέτισης της πρώτης παραμέτρου με το συντελεστή του επιπέδου της συνάρτησης l (συμβολίζει το level) λαμβάνει την τιμή ρ(β 0,l )=97% 15, ενώ οι συντελεστές για την κλίση και το β 1 είναι ρ(β 1,s )=-99% και τέλος η παράμετρος β 2 συσχετίζεται με το συντελεστή κυρτότητας ρ(β 2,c )=99%. 15 Συντελεστής Συσχέτισης ρ = cov(x,y) S x S y 28

29 1.5.2 ΤΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ SVENSSON Ο Svensson (1994), ανέπτυξε και παρουσίασε ένα εκτεταμένο υπόδειγμα βασιζόμενο στο μοντέλο των Nelson Siegel. Το υπόδειγμα Svensson (SV) αποτελεί επίσης μια παραμετρική εκθετική μέθοδο υπολογισμού προθεσμιακών επιτοκίων αποδίδοντας μια συναρτησιακή μορφή για την καμπύλη απόδοσης. Ως προς τη μεθοδολογία που ακολουθείται απορρίπτεται η μέθοδος των splines που εισήγαγε ο McCulloch (1971) εξαιτίας της αστάθειας και των προβλημάτων προσαρμογής που παρουσιάζει για τις μεγαλύτερες λήξεις επιλέγοντας το μοντέλο των Nelson Siegel εξίσωση Εξίσωση για τα προθεσμιακά επιτόκια f(m) = β 0 + β 1 e ( m τ ) + β 2 m m τ e( τ ) Εξίσωση Στην μέθοδο Svensson προστίθεται ένας ακόμα πολυωνυμικός όρος β 3 m e ( m τ 2 τ2 ) και το διάνυσμα των παραμέτρων θ πλέον μετασχηματίζεται σε θ={β 0, β 1, β 2, β 3, τ 1, τ 2} αποτελούμενο από τέσσερις παραμέτρους {β 0, β 1, β 2, β 3} και δύο σταθερές {τ 1, τ 2} και το υπόδειγμα διαμορφώνεται σε: f(m) = β 0 + β 1 e ( m ) m τ 1 + β2 e ( m ) m τ 1 + β3 e ( τ 1 τ 2 m ) τ 2 Εξίσωση Όπως και στο υπόδειγμα των NS ο πρώτος όρος είναι σταθερός και δείχνει το μακροπρόθεσμο επιτόκιο, ο δεύτερος έχει μονοτονία γνησίως φθίνουσα και δείχνει το βραχυπρόθεσμο επιτόκιο και ο τρίτος όρος επηρεάζει την κυρτότητα (βλ. Παράρτημα 1) Ο όρος που εισήγαγε ο Svensson βελτιώνει την κυρτότητα δίνοντας ακόμα μια καμπύλη η οποία αν β 3 <0 έχει σχήμα U ενώ σε αντίθετη περίπτωση (β 3>0) λαμβάνει σχήμα. Η σταθερά τ 2 η οποία υποχρεωτικά ορίζεται θετική δείχνει το χρονικό σημείο που σχηματίζεται η δεύτερη καμπύλη μετά την πρώτη που υποδεικνύεται από την σταθερά τ 1. Ολοκληρώνοντας τη συνάρτηση των προθεσμιακών επιτοκίων f(m) διατυπώνεται η συνάρτηση των τρεχόντων (spo) επιτοκίων που δίδεται για το υπόδειγμα Svensson από την συνάρτηση: 29

30 m r(m) = β 0 + β 1 ( 1 e( ) τ 1 1 e ( m ) τ 1 ( m ) m ) + β 2 ( m e τ 1 ) τ 1 τ 1 m + β 3 ( 1 e( ) τ 2 ( m ) m e τ 2 ) Εξίσωση τ 2 Για την εκτίμηση των επιτοκίων χρησιμοποιείται η μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων για μη γραμμικές συναρτήσεις ή της μέγιστης πιθανοφάνειας ή η μέθοδος των ροπών με τη χρήση του υποδείγματος της αποτίμησης των ομολόγων χρησιμοποιώντας τον i ( προεξοφλητικό παράγοντα δ = e 100 ). Από την εφαρμογή διαφαίνεται πως ορισμένες φορές για πιο απλά συνήθως δεδομένα η μέθοδος Nelson Siegel κάνει καλύτερη προσαρμογή, ενώ όταν η καμπύλη απόδοσης έχει πιο σύνθετη μορφή συνήθως επιτυγχάνεται καλύτερη προσαρμογή με την επέκταση Svensson. Το υπόδειγμα Svensson δίνει μεγαλύτερη ακρίβεια και καλύτερη προσαρμογή από εκείνη των NS, ενώ παρέχει περισσότερη ευελιξία στη διαμόρφωση των καμπυλών απόδοσης. Για την εκτίμηση και απεικόνιση της καμπύλης επιλέγεται η συνάρτηση των προθεσμιακών επιτοκίων η οποία περιέχει την ίδια πληροφόρηση με εκείνη των spo αλλά κρίνεται περισσότερο ευανάγνωστη για νομισματικούς σκοπούς. 30

31 1.5.3 ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΚΛΑΣΣΗΣ Nelson Siegel Αντίστοιχα υποδείγματα της κλάσης των Nelson Siegel έχουν αναπτυχθεί στα τέλη της δεκαετίας του 1990 με σημαντικότερο του Bliss (1997) 16. Το μοντέλο υπολογισμού παραμένει το ίδιο δομικά με το NS αποδίδοντας αρχικά τις τιμές των προθεσμιακών επιτοκίων με μοναδική μεταβολή την εισαγωγή μιας δεύτερης σταθεράς στον τρίτο όρο της συνάρτησης Εξίσωσης : f(m) = β 0 + β 1 e ( m ) m τ 1 + β2 e ( m τ 2 τ 2 ) Εξίσωση Στη συνάρτηση του Bliss υπάρχουν δύο σταθεροί όροι τ 1 και τ 2 που επιτρέπουν στην συνάρτηση NS δύο διαφορετικά σημεία καμπής. Χρησιμοποιώντας ορισμένο ολοκλήρωμα επιστρέφονται οι τιμές των τρεχόντων επιτοκίων από την συνάρτηση r(m): m r(m) = β 0 + β 1 ( 1 e( ) τ 1 1 e ( m ) τ 2 ( m ) m ) + β 2 ( m e τ 2 ) Εξίσωση τ 1 τ 2 Στην περίπτωση όπου τ 1=τ 2 το μοντέλο μετατρέπεται σε εκείνο των Nelson Siegel. Αντίστοιχα η παραλλαγή των Bjork και Chrisensen (1999), αποτελείται από την εισαγωγή ενός τέταρτου όρου μετασχηματίζοντας το μοντέλο των NS ως εξής: f(m) = β 0 + β 1 e ( m τ ) + β 2 m m τ e( τ ) + β 3 e 2(m τ ) Εξίσωση Στην ουσία ο τέταρτος παράγοντας β 3 αποτελεί έναν ακόμα συντελεστή κλίσης της καμπύλης απόδοσης. Η προσαρμογή του υποδείγματος κρίνεται ικανοποιητική αλλά υποστηρίζεται ότι 16 Bliss R. (1997), Tesing Term Srucure Esimaion Mehods, Advance Feaures and Opion research, v9 p

32 υπάρχουν αδυναμίες στην προγνωστική του ικανότητα σε ou of sample δεδομένα. Η μορφή που παρέχει τα τρέχοντα (spo) επιτόκια είναι η εξής: r(m) = β 0 + β 1 ( 1 m e ( m τ τ ) ) + β 2 ( 1 m e( τ ) m e (m τ ) ) τ + β 3 ( 1 m e ( τ ) 2 m ) Εξίσωση τ Τέλος ερευνητές υποστηρίζουν μια προέκταση του μοντέλου Nelson-Siegel-Svensson προσθέτοντας στην επέκταση Svensson έναν ακόμα όρο δημιουργώντας ένα υπόδειγμα πέντε παραγόντων: f(m) = β 0 + β 1 e ( m ) τ 1 + β2 e ( m ) m τ 2 + β3 e ( m ) m τ 1 + β τ 4 e ( m ) τ 2 Εξίσωση τ 2 Στο υπόδειγμα των πέντε παραγόντων εμφανίζεται ο όρος της κλίσης για δεύτερη φορά με διαφορετική σταθερά τ 2 και παράλληλα ο δεύτερος όρος για την κυρτότητα. Η μαθηματικός μετασχηματισμός που αποδίδει την καμπύλη απόδοσης zero coupon είναι: m r(m) = β 0 + β 1 ( 1 e ( τ1 ) m τ1 e (m τ2 ) ) Εξίσωση m ) + β 2 ( 1 e( τ2 ) m τ2 m ) + β 3 ( 1 e ( τ1 ) m τ1 e (m τ1 ) m ) + β 4 ( 1 e ( τ ) m τ2 Το υπόδειγμα με τη χρήση πέντε παραγόντων παρουσιάζει στη γραφική του απεικόνιση δύο σημεία καμπής και παρέχει καλύτερη προσαρμογή σε δεδομένα που απαιτούν πιο σύνθετα σχήματα καμπύλης απόδοσης. 32

33 1.5.4 ΤΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ SPLines Από τις πρώτες προσπάθειες τυποποίησης της καμπύλης απόδοσης χρησιμοποιήθηκε η μέθοδος των splines η οποία συνίσταται στην εκτίμηση πολυωνυμικών συναρτήσεων για συγκεκριμένα χρονικά διαστήματα ώστε να δημιουργηθεί μια εξίσωση που να προσαρμόζεται στα δεδομένα των αποδόσεων των ομολόγων ΑΡΧΙΚΕΣ ΥΠΟΘΕΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ ΤΩΝ SPLINES Η μεθοδολογία των splines για την προσαρμογή της καμπύλης απόδοσης ξεκίνησε από το McCulloch (1975) 17 σε μια προσπάθεια εξαγωγής της καμπύλης από το πολυώνυμο του προεξοφλητικού παράγοντα και συνεχίστηκε από το Vasicek και Fog (1982) 18 οι οποίοι χρησιμοποίησαν εκθετικούς όρους ενώ εμπλουτίστηκε περεταίρω από τους Fisher, Nychka και Zervos (1995) 19. Η μέθοδος των splines συνίσταται σε πολυκλαδικές πολυωνυμικές συναρτήσεις των οποίων οι κλάδοι διαχωρίζονται από συγκεκριμένα σημεία της ανεξάρτητης μεταβλητής (knos). Τα πολυώνυμα που χρησιμοποιούνται για την τυποποίηση της καμπύλης απόδοσης είναι τρίτου βαθμού και η μεθοδολογία χαρακτηρίζεται με βάση την τάξη των πολυωνύμων (3 ου βαθμού) ως cubic splines. Για την εκτίμηση μιας συνάρτησης spline μπορούν να χρησιμοποιηθούν γραμμικές συναρτήσεις, παραβολικές (δευτέρου βαθμού) και κυβικές (τρίτου βαθμού). Η καλύτερη προσαρμογή για συναρτήσεις που περιγράφουν επιτόκια ως προς το χρόνο προτείνεται από τον Grandville (2001) 20 και άλλους η χρήση cubic spline. Για την εφαρμογή της μεθοδολογίας πρέπει να συντρέχουν τέσσερις υποθέσεις. Επίσης, εκτός των τεσσάρων προϋποθέσεων θεωρούμε τις συναρτήσεις συνεχείς και δύο φορές παραγωγίσιμες. 17 McCulloch H. 1975, The Tax Adjused Yield Curve, The Journal of Finance, Vol No3, p , June Vasicek O and Fong H (1982), Term Srucure Modeling Using Exponenial Splines, Journal of Finance, 37:2, p Fisher M., Nychka D, Zervos D (1995), Fiing he Term Srucure of Ineres Raes wih Smoohing Splines, Working Paper 95-1, Finance and Economics Discussion Series, Federal Reserve Board. 20 Grandville O. 2001, Bond Pricing and Porfolio Analysis, MIT Press 2001, p