ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ:28/05/2012

HTML
DOWNLOAD

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ:28/05/2012"

Κύμα Κουβέλης
8 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ:8/5/ ΘΕΜΑ Α Α. Θεωρία. Σελίδα σχολικού βιβλίου 53 Α. Θεωρία. Σελίδα σχολικού βιβλίου 9 Α3. Θεωρία. Σελίδα σχολικού βιβλίου 58 Α4. α) Σ β) Σ γ) Λ δ) Λ ε) Λ ΘΕΜΑ Β Β. Αν z = yi, με,yî είναι: yi - yi = 4 Û - y y = 4Û y = Άρα ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z είναι κύκλος κέντρου Ο(, ) και ακτίνα ρ= Β. Είναι ( )( ) z - z = Û z - z = Û z -z z - z = Û οπότε z z ( z z)( z z) Άρα z z = = = z z -zz - zz = Û zz zz = () z z z z z z = Β3. Αν w = yi με,yî είναι: yi -5( - yi) = Û - 4 6yi = Û y 6 36y = 44 Û = 9 4

2 Άρα ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος των εικόνων του w είναι η παραπάνω έλλειψη. Τα κοινά σημεία της έλλειψης με τον άξονα που έχει εξίσωση y = είναι Α( 3, ) και Α ( 3,) -. Άρα η μέγιστη τιμή του w είναι 3. Τα κοινά σημεία της έλλειψης με τον άξονα yy που έχει εξίσωση = είναι Β(,) και Β (, ) -. Άρα η ελάχιστη τιμή του w είναι Β4. Είναι z = και w 3, οπότε: z- w z w 3 = 4 z- w ³ z - w = w - z = w - = w - ³ ΘΕΜΑ Γ Γ. Είναι f ln ( ) = -, > με f = > Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα με f =, οπότε; > Û f > f Û f > < < Û f < f Û f < f = > για κάθε Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ (,] [ ) Δ =, και παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο Είναι lim f = και lim f f Δ é f, lim f ö, êë ø = () = [- ) f Δ é f, lim f, êë = () ) = [- ) =, οπότε: =, γνησίως αύξουσα στο = το Άρα το σύνολο τιμών f ( Δ) είναι f( Δ) = f( Δ ) È f( Δ ) = [-, ) y = f =- ΟΕ Γ. Η δοσμένη εξίσωση ισοδύναμα γράφεται: 3 ln - = ln Û - ln - 3 = Ûf - =

3 Έστω η συνάρτηση h με h = f -, >. Η h έχει το ίδιο είδος μονοτονίας με την f, δηλαδή η h είναι γνησίως φθίνουσα στο Δκαι γνησίως αύξουσα στο Δ με yοε =- 3. Είναι h( Δ) = [- 3, ). Επειδή Î h( Δ ) η h έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο Δ και επειδή είναι γνησίως φθίνουσα η ρίζα είναι μοναδική. Είναι h( Δ ) = [- 3, ). Επειδή Î h( Δ ) η h έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο Δ και επειδή είναι γνησίως αύξουσα η ρίζα είναι μοναδική. Άρα η h επομένως και η δοσμένη εξίσωση έχει δύο θετικές ρίζες. Γ3. Είναι h = h = Έστω η συνάρτηση φ με φ = f f -, Î[, ] Η φ είναι συνεχής στο [,] ως αποτέλεσμα πράξεων συνεχών συναρτήσεων. φ = f f - = f < φ = f f - = f > Άρα φ φ <, οπότε για την φ ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος του Bolzano στο [, ], άρα υπάρχει ένα τουλάχιστον Î (, ), τέτοιο ώστε να είναι φ( ) = που είναι το ζητούμενο. Γ4. Είναι g = ( - ) ln με g = και g ³ για κάθε [,] Επομένως: æ ö Ε = ( - ) ln d = - ln d = ç è ø éæ ö ù æ ö = ê - lnú - - d = ç ç ë û êè ø ú è ø = æ - ö - é - ù = -- é - ù é - ù = ç ê ú ê ú 4 4 ê4 ú è ø ëê ûú ëê ûú ë û 3-3 = -- - = Î. ΘΕΜΑ Δ Δ. Η f είναι συνεχής στο διάστημα (, ) με f ¹ για κάθε >. Επομένως η f διατηρεί σταθερό πρόσημο. Για κάθε > ισχύει: - () f t dt - ³

4 Έστω η συνάρτηση g με () - ισχύει g ³ και g =. Άρα ισχύει g g g = f t dt -,Î για την οποία ³ για κάθε Î, δηλαδή η g παρουσιάζει στο = ελάχιστο και σύμφωνα με το θεώρημα του Frmat είναι g =. Είναι: g = f - - -, οπότε: g () = Û f () = Û f () = - < Άρα είναι f < για κάθε >. Για κάθε > ισχύει: æ lnt-t ö ln- = dt f ç f() t è ø Επειδή ln- < για κάθε > από την παραπάνω ισότητα συμπεραίνουμε ότι ισχύει lnt-t dt > για κάθε f t () > άρα ln- f =, > lnt-t dt f t και η f είναι παραγωγίσιμη ως πηλίκο παραγωγίσιμων συναρτήσεων. Είναι ln - lnt t = - dt. Παραγωγίζουμε τα μέλη της ισότητας οπότε: f f() t () æln-ö ln- =. Άρα ç f è ø f Για = προκύπτει = c Û c = - Άρα f = ln-, > ln- = c f Δ. Έίναι ημ - é ù f f f ημ - f = f êημ - ú = f êë f f úû f Θέτουμε u =, οπότε επειδή lim f f é ù - lim ê( f ) ημ f ú lim - u = - είναι lim =, οπότε: f ημu u συνu - συνu - - = = lim = lim = - - êë f úû u u u u u

5 Δ3. Είναι F = f - æ ö F = f = ç - ln -, > è ø > για κάθε Επομένως είναι F >, άρα η F είναι κυρτή στο (, ) Για την F ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος της Μέσης Τιμής στα ξ Î, και διαστήματα [, ] και [,3 ], οπότε υπάρχουν ξ Î (,3) τέτοια ώστε να είναι: F -F F ( ξ ) = και F ( ξ F( 3) -F ) = Επειδή η F είναι κυρτή η F είναι γνησίως αύξουσα συνάρτηση οπότε: ξ < ξ Û F ξ < F ξ ÛF - F < F 3 -F Û F F 3 > F Δ4. Έστω η συνάρτηση Η με Η = F -F β -F 3β, Î β,β Η Η είναι συνεχής στο [ β,β ] συναρτήσεων Η β = F β -F β - F 3β < Η( β) = F( β) - F( 3β) > [ ] ως αποτέλεσμα πράξεων συνεχών διότι F = f < για κάθε >, άρα η F είναι γνησίως φθίνουσα, οπότε: β< 3βÛ Fβ > F3β ÛFβ - F3β > Û Hβ > Άρα H( β) Η( β) <, επομένως για την Η ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος του Bolzano, οπότε υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ Î ( β,β ), τέτοιο ώστε να είναι Η( ξ) = που είναι το ζητούμενο. Κλάδος Μαθηματικών Σκύφας Αθανάσιος Γιαννάκος Παναγιώτης Ανδριώτης Δημήτρης Σαρρή Ελένη Παύλου Φώτης Τάτσης Πέτρος Κουκόσιας Δημήτρης Σταθοπούλου Ιωάννα Βασιλακόπουλος Πραξιτέλης Μπαλαδήμα Βάνα ΑΘΗΝΑ: ΣΟΛΩΝΟΣ ΤΗΛ ΠΑΓΚΡΑΤΙ: ΑΓ. ΦΑΝΟΥΡΙΟΥ 3 ΤΗΛ ΒΥΡΩΝΑΣ: ΝΙΚΗΦΟΡΙΔΗ ΤΗΛ mail: info@ spoudi.gr

Σχετικά έγγραφα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται

ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία, σελ. 53, σχολικού βιβλίου. Α. Θεωρία, σελ. 9, σχολικού βιβλίου. Α3. Θεωρία, σελ. 58, σχολικού βιβλίου. Α4. α) Σ, β) Σ,