Λ a. 6.1 Γενικά. (i) στην ημιάπειρη λωρίδα σταθερού βάθους ( ) < ψ <, h z 0, σε καρτεσιανό συντεταγμένων, βλ. Σχήμα 6.1, και

Transcript

1 6. Γενικά Στο παρόν κεφάλαιο θα κατασκευασθεί η γενική αναπαράσταση της λύσεως του χρονικά αρμονικού, γραμμικοποιημένου προβλήματος σε ομογενή κυματοδηγό οριζοντίως σταθερών παραμέτρων. Ειδικώτερα, θα περιγράψουμε την κατασκευή της γενικής έκφρασης της λύσεως του προβλήματος (i) στην ημιάπειρη λωρίδα σταθερού βάθους } < ψ <, h z, σε καρτεσιανό συντεταγμένων, βλ. Σχήμα 6., και (ii) στον άπειρο εξωτερικό κύλινδρο σύστημα συντεταγμένων, βλ. Σχήμα 6.. { Λ a x, ψ, z, x a (ή x a ), { θ θ π } Ka,, z, a, <, h z, σε κυλινδρικό Η κατασκευή της γενικής αναπαραστάσεως της λύσεως σε ομογενή κυματοδηγό οριζοντίως σταθερών παραμέτρων παρουσιάζει μεγάλη σημασία διότι, πέραν της φυσικής κατανόησης του φαινομένου που μας προσφέρει, μας επιτρέπει στη συνέχεια να προσδιορίζουμε με σαφήνεια και επάρκεια τις συνθήκες ακτινοβολίας (adiatio coditios) του κυματικού προβλήματος σε γενικό κυματοδηγό. Οι συνθήκες ακτινοβολίας συμπληρώνουν την μαθηματική διατύπωση και εξασφαλίζουν την επιλυσιμότητα του γενικού γραμμικού προβλήματος κυματικής διάδοσης σε κυματοδηγό με οριζόντια μεταβαλλόμενες παραμέτρους. Το θέμα αυτό εξέταζεται διεξοδικά στο επόμενο κεφάλαιο. Και στις δύο περιπτώσεις που θα εξετασθούν θεωρούμε ομογενή, άπειρο σε έκταση κυματοδηγό οριζοντίως σταθερών παραμέτρων. Αυτή η απαίτηση συνεπάγεται αμετάβλητη βαθυμετρία (και στις δύο περιπτώσεις το βάθος του νερού είναι h σταθερό), σταθερή πυκνότητα νερού ( ρ σταθερό), και κατανομή της ταχύτητας του ήχου στο νερό cz που δεν μεταβάλλεται οριζοντίως ( c c και c c, αντίστοιχα). x y θ

2 z z y y x θ x ρσταθ. c(z) ρσταθ. c(z) z-h z-h Σχήμα 6.. Καρτεσιανό σύστημα Σχήμα 6.. Κυλινδρικό σύστημα συντεταγμένων. Ημιάπειρη λωρίδα συντεταγμένων. Εξωτερικός κύλινδρος Λ a ( x,y,z) : x a, < y <, h z K a ( θ ),,z : a, θ < π, θ π, Οι ανωτέρω υποθέσεις μεταφέρονται αυτούσιες και στις κυματικές παραμέτρους του μονοχρωματικού προβλήματος (δηλαδή του κυματικού προβλήματος που αντιστοιχεί σε δεδομένη συχνότητα, ω σταθερή), δηλαδή ω μ g σταθερό μ μ x y, ή μ μ, και () θ ω ( z), c x y ( z) ή. () θ Επιπροσθέτως, θεωρούμε, ότι το κυματικό πεδίο διεγείρεται στις περιοχές Λ a και K a από παράλληλο επίπεδο και κυλινδρικό κύμα, αντίστοιχα Το διεγείρον αίτιο του κυματικού φαινόμενου που εξετάζουμε μπορεί να είναι κύμα που εισέρχεται (δηλαδή προσδίδει κυματική ενέργεια) ή κύμα που εξέρχεται (δηλαδή αφαιρεί κυματική ενέργεια) στις περιοχές Λ a και. Μπορεί επίσης να είναι ένας γραμμικός συνδυασμός από ένα εισερχόμενο και ένα εξερχόμενο K a

3 κύμα, με διαφορετικά χαρακτηριστικά πλάτους και φάσης, στις συνοριακές επιφάνειες x a και a, αντίστοιχα. Έτσι, τόσο οι κυματικές παράμετροι μ και όσο και το διεγείρον αίτιο δεν εξαρτώνται από την εγκάρσια συντεταγμένη y στην περίπτωση της ημιάπειρης λωρίδας Λ a. Ομοίως, οι κυματικές παράμετροι και το διεγείρον αίτιο δεν εξαρτώνται από την γωνία αζιμουθίου θ στην περίπτωση του άπειρου εξωτερικού κυλίνδρου K a. Κατ αυτόν τον τρόπο επιτυγχάνουμε πρακτικά τον περιορισμό της θεώρησης μας στις δύο διαστάσεις. Στην μέν περίπτωση της λωρίδας Λ a το κυματικό πεδίο είναι ανεξάρτητο από την εγκάρσια συντεταγμένη Φ y, στη δε περίπτωση του κυλίνδρου Κ a το κυματικό πεδίο είναι ανεξάρτητο της γωνίας αζιμουθίου Φ θ. Στην τελευταία περίπτωση ομιλούμε για αξονικά συμμετρικό κυματικό πεδίο Φ Φ(, θ ). Στην περίπτωση του χρονικά αρμονικού, γραμμικοποιημένου προβλήματος το κυματικό δυναμικό στις ημιάπειρες λωρίδες ρευστού aαναπαρίσταται, γενικώς, στην ακόλουθη μορφή: Φ ( x,z;t) Re { ϕ( x,z;, μ) exp( iω t) }, (3) όπου χρησιμοποιήθηκε και η ιδιότητα ανεξαρτησίας του πεδίου από την εγκάρσια (y) συντεταγμένη. Στην Εξίσωση (3), ϕ (,z;,μ) x δηλώνει το μιγαδικό πλάτος του κυματικού πεδίου, η οποία είναι συνάρτηση των χωρικών (ανεξάρτητων) μεταβλητών ( x,z) και είναι παραμετρικά εξαρτώμενη από τις κυματικές παραμέτρους (,μ) των εσωτερικών (ακουστικών) και των επιφανειακών κυμάτων. Αντίστοιχα στην περίπτωση του εξωτερικού κυλίνδρου Ka {(, θ, z), a, θ < π, h z }, το κυματικό δυναμικό γράφεται στην ακόλουθη μορφή { } ( μ) Φ x,;t Re ϕ x,;, exp iω t. (4) 3

4 6. Το γραμμικοποιημένο αρμονικό πρόβλημα σε ημιάπειρη λωρίδα ρευστού Στο παρόν εδάφιο θα ασχοληθούμε με την κατασκευή της γενικής αναπαράστασης της λύσεως (,z; ) ϕ x,μ του χρονικά αρμονικού γραμμικοποιημένου προβλήματος στην θετική ημιάπειρη λωρίδα ρευστού {( x, y,z) : a < x <, < y <, h < z < } Λ, οριζοντίως σταθερών a παραμέτρων, βλ. Σχήμα 4.. Η λύση στην περίπτωση της αρνητικής ημιάπειρης λωρίδας {( x, y,z) < < a, < y <, h < z < } Λ : x προκύπτει κατ αντιστοιχίαν. a Σύμφωνα με την ανάλυση που παρουσιάσθηκε στο Κεφ. 3, η διαφορική διατύπωση του προβλήματος που εξετάζεται, γράφεται στην ακόλουθη μορφή: ω ϕ ϕ, >, c ( xz, ) Λ a, (α) ϕ ω μϕ, μ, z g z, (β) ϕ ϕ, z z h, (γ) όπου z ω η παράμετρος των ακουστικών κυμάτων και cz ω μ η παράμετρος των g επιφανειακών κυμάτων (βαρύτητας). Όπως ήδη έχει αναφερθεί, οι ανωτέρω παράμετροι, όπως και η γεωμετρία των συνόρων, υποτίθενται οριζοντίως αμετάβλητες. Οι ανωτέρω εξισώσεις συμπληρώνονται από την απαίτηση του φραγμένου για το κυματικό πεδίο και τις παραγώγους του στο άπειρο ϕ ϕ ϕ < C, < C, < C 3, για x, (δ) x z όπου C, C, C3 είναι αυθαίρετες σταθερές. Η διαδικασία που θα ακολουθήσουμε για την επίλυση του προβλήματος είναι η ακόλουθη:. Εφαρμόζοντας τη μεθόδο χωρισμού μεταβλητών θα κατασκευάσουμε την γενική λύση του προβλήματος που απαρτίζεται από τις Εξισώσεις (α), (β) και (γ). 4

5 . Από το σύνολο των λύσεων του ανωτέρω μερικού προβλήματος θα επιλέξουμε τις λύσεις εκείνες οι οποίες, επιπλέον, ικανοποιούν την απαίτηση φραγμένου (δ). Διαδικασία χωρισμού μεταβλητών: Θεωρούμε το ακόλουθο, μερικό πρόβλημα: xx zz ( x, z) a ϕ, ϕ, ϕ, Λ, (α) ϕ, z μϕ, στην ελεύθερη επιφάνεια z, (β) ϕ, στον πυθμένα z h. (γ), z Στην συνέχεια, αναζητούμε λύσεις της μορφής ϕ ( x,z) X ( x) Z (z). (3) Αντικαθιστώντας την μορφή (3) στην εξίσωση Helmholtz (α) παίρνουμε Z( z) X x Z z z Z z X ( x) Z( z), (4) X x από την οποία συνάγουμε ότι για X ( x) και ( z) Z θα πρέπει ισοδύναμα να ισχύει X ( x) X x Zz Z z z Z z. (5) Στην ανωτέρω εξίσωση δηλώνει τις πραγματικές σταθερές χωρισμού μεταβλητών, πράγμα που όμως αφήνει περιθώριο στις ρίζες αυτών να είναι μιγαδικές σταθερές ( C). 5

6 Αντικαθιστώντας την μορφή (3) στις συνοριακές συνθήκες ελεύθερης επιφάνειας (α) και πυθμένα (β) λαμβάνουμε { } X x Z z μ Z z, z, (6) και Xx Z z, z h, (7) αντιστοίχως. Σε όλες τις ανωτέρω σχέσεις ο τόνος ( ) δηλώνει παραγώγιση της αντίστοιχης συναρτήσεως ως προς την μεταβλητή από την οποία εξαρτάται. Από το πρώτο τμήμα της εξισώσεως (5) εύκολα παράγεται η ακόλουθη οριζόντια εξίσωση: X x X x. (8) Από το δεύτερο τμήμα της εξισώσεως (5), σε συνδυασμό με τις εξισώσεις (6) και (7), λαμβάνουμε το ακόλουθο κατακόρυφο πρόβλημα συνοριακών τιμών, με ελεύθερη παράμετρο ( ): ( ) Z z z Z z, h < z <, (9α) Z z μ Z z, z, (9β) Z z, z h, (9γ) το οποίο θα εξετασθεί αναλυτικώτερα στην συνέχεια. 6

7 6.3 Το κατακόρυφο πρόβλημα ιδιοτιμών (πρόβλημα Stum-Liouville) Από τη βιβλιογραφία, βλ. π.χ. Coddigto & Leviso (955, Chapte 7), Mose & Feshbach (953), είναι γνωστό ότι το πρόβλημα (7) συνιστά ένα ομαλό, αυτοσυζυγές πρόβλημα ιδιοτιμών στο φραγμένο διάστημα z [ h, ] (egula, self-adjoit eigevalue poblem o a fiite iteval). Το πρόβλημα αυτό είναι γνωστό και ως ομαλό, Stum-Liouville πρόβλημα ιδιοτιμών. Στην συνέχεια θα αναφερόμαστε στο σύστημα (9) χρησιμοποιώντας τον όρο κατακόρυφο πρόβλημα ιδιοτιμών. Υπό την υπόθεση ότι η κατανομή της ταχύτητας του ήχου c( z ) και, κατά συνέπεια, η κυματική παράμετρος z ω, είναι συνεχείς συναρτήσεις στο κατακόρυφο διάστημα [ h, ] cz ( c( z ),( z) C[ h, ] ), θα αναφερθούμε συνοπτικά στη συνέχεια, σε μία σειρά από πολύ σημαντικές ιδιότητες που διαθέτει το σύστημα των λύσεων του κατακορύφου προβλήματος ιδιοτιμών. Οι ιδιότητες αυτές έχουν καθοριστική σημασία για την περαιτέρω μελέτη του εξεταζομένου προβλήματος, επιπλέον δε βρίσκουν και πλήθος άλλες χρήσιμες εφαρμογές, όπως θα φανεί σε επόμενα κεφάλαια. Υπενθυμίζουμε εδώ ότι στην εξεταζόμενη περίπτωση η επιφανειακή κυματική παράμετρος μ ω g εξαρτάται μόνον από τη συχνότητα ω και, κατά συνέπεια, είναι μία θετική πραγματική σταθερά ( μ R ). Ιδιότητες του κατακορύφου προβλήματος ιδιοτιμών (i) Οι ιδιότιμες του προβλήματος είναι πραγματικές και άπειρες το πλήθος. Το απειροσύνολο { } είναι αριθμήσιμο και δεν παρουσιάζει άλλο σημείο συσσωρεύσεως εκτός από το. Θεωρούμε στην συνέχεια το σύνολο { } αναδιαταγμένο κατά φθίνουσα σειρά, έτσι ώστε είναι η μέγιστη (πιθανόν θετική) ιδιοτιμή και lim να. Κατ αυτόν τον τρόπο, και εξαιρώντας την ειδική περίπτωση κατά την οποία για κάποια συχνότητα ω πιθανόν να συμβεί κάποια ιδιοτιμή να μηδενίζεται, έχουμε πάντα την δυνατότητα να διαχωρίσουμε το σύνολο σε δύο υποσύνολα, ένα πεπερασμένο και ένα απειροσύνολο ως ακολούθως: { } 7

8 { } { } { },... O,N N,, () όπου η ελάχιστη θετική ιδιοτιμή, δηλαδή >, για N,,... N, και <, για N, N,.... Η διάταξη των ιδιοτιμών του κατακορύφου προβλήματος απεικονίζεται στο Σχήμα 6.3. ω c.. N 5 N 4 N 3 N N N... { } Im... N ω c Re{ } N... Σχήμα 6.3 Διάταξη των ιδιοτιμών { } του κατακορύφου προβλήματος στην πραγματική ευθεία, και των αριθμών { } στο μιγαδικό επίπεδο. (ii) Σε κάθε ιδιοτιμή,,,,... αντιστοιχεί μία ιδιοσυνάρτηση Z z,,,.... Οι { Z z } ιδιοσυναρτήσεις είναι αμοιβαία ορθογώνιες, δηλαδή ισχύει,... z Z, m Z,Z m Z ( z) Z m ( z) dz δ m Z, (), m z h 8

9 z όπου Z Z ( z) z h δέλτα του Kοece. dz / η L -νόρμα της ιδιοσυναρτήσεως Z ( z), και δ m δηλώνει το Απόδειξη της ιδιότητας (ii) Εφαρμόζοντας την εξίσωση (6.-9α) για δύο διαφορετικές ιδιοσυναρτήσεις αντίστοιχα, λαμβάνουμε Z ( z) και Z m ( z), ( ) Z ( z ) Z ( z) ( z) Z z, (3α) ( z) Z m m m z. (3β) Σημειώνουμε εδώ ότι οι ιδιοτιμές και Z m ( z ). κα ι ( ) αντιστοιχούν στις ιδιοσυναρτήσεις m ( z) m Z Πολλαπλασιάζοντας το αριστερό και δεξιό μέλος της σχέσεως (3α) με την ιδιοσυνάρτηση Z m ( z), και το αριστερό και δεξιό μέλος της σχέσεως (3β), αντίστοιχα, με την ιδιοσυνάρτηση Z z, και αφαιρώντας κατά μέλη προκύπτει η σχέση Z m Z ( m ) ZZm ZZ m. (4) Η σχέση (4) ισχύει σε όλο το διάστημα z [ h,]. Ολοκληρώνοντας τη σχέση αυτή στο ανωτέρω διάστημα και εφαρμόζοντας ολοκλήρωση κατά παράγοντες λαμβάνουμε Z,Z Z z Z z dz ZZ ZZ dz ( ) m m m m h m h ZmZ h ZZ m h Z m Z dz Z mz dz m h h, (5) z όπου Z,Z Z z Z z dz δηλώνει το εσωτερικό γινόμενο δύο συναρτήσεων στον m m z h Hilbet χώρο των τετραγωνικά ολοκληρώσιμων συναρτήσεων. 9

10 Χρησιμοποιώντας τις οριακές συνθήκες στα άκρα z, Εξ. (9β), Εδαφ. 6., και z h, Εξ. (9γ), Εδαφ. 6., του προβλήματος, λαμβάνουμε τελικώς από την ανωτέρω σχέση (5) Z Z m m m { Z Z Z Z Z ( h) Z ( h) Z ( h) Z ( h) } { Z μ Z Z μ Z }, m m m m m m (6) η οποία είναι η ζητούμενη συνθήκη ορθογωνιότητας των ιδιοσυναρτήσεων. Το ορθογώνιο σύστημα { Z },,... μπορεί εύκολα να κανονικοποιηθεί, επανορίζοντας τις ιδιοσυναρτήσεις ως ακολούθως ( z) Z z Z z Z ( z). (7) / Z z Z ( z) dz z h Στην περίπτωση αυτή, από την εξίσωση () προκύπτει ότι το σύνολο { Z ~ },,... ορθοκανονικό, δηλαδή είναι Z ~, Z ~ m Z,Z m δ m. (8) Z Zm { Z ~ },,... (iii) Το σύνολο των ιδιοσυναρτήσεων { Z ( z )} και,,... z αποτελεί ορθογώνια και ορθοκανονική βάση, αντiστοίχως, στον χώρο των συνεχών συναρτήσεων επί του διαστήματος [,] C[ h,] z h. Αυτό σημαίνει ότι μία τυχαία συνεχής συνάρτηση προς την ανωτέρω βάση στην ακόλουθη σειρά Fouie: f ( z) Z ( z) f ( z) f αναπτύσσεται ως f,z,z ~ Z ~, (9) Z

11 και το δεξί μέλος της εξισώσεως (9) συγκλίνει ομοιόμορφα στην f ( z) συνάρτηση f z είναι συνεχώς παραγώγισιμη και ικανοποιεί στα άκρα z και διαστήματος τις ίδιες ακριβώς συνοριακές συνθήκες όπως το σύστημα { Z }. Εάν, επιπροσθέτως η z,,... z h του, δηλαδή τις εξισώσεις (9β) και (9γ) του Εδαφ. 6., τότε τόσο το ανάπτυγμα στο δεξί μέλος της εξισώσεως (9) συγκλίνει ομοιόμορφα στην συνάρτηση f ( z) στο z [ h, ], όσο και το ανάπτυγμα που προκύπτει από την όρο-προς-όρο παραγώγιση του δεξιού μέλους της εξ. (9) συγκλίνει στην παράγωγο αυτής f ( z). Δηλαδή f,z f ( z) Z ( z) f,z ~ Z ~ ( z ). () Z (iv) Άμεση συνέπεια της προηγούμενης ιδιότητας είναι η ακόλουθη σχέση για την αναπαράσταση της γενικευμένης συναρτήσεως Diac-δ. Συγκεκριμένα, για z, z ( h, ) ισχύει Z( z) Z( z ) ( ) () δ z z Z z Z z Z Απόδειξη της ιδιότητας (iv). Θα αποδείξουμε ότι η δράση της γενικευμένης συναρτήσεως που αναπαρίσταται από το δεξί μέλος της εξισώσεως () επί της τυχαίας συνεχούς συναρτήσεως f ( z) C[ h, ] έχει ακριβώς το ίδιο αποτέλεσμα με τη γνωστή δράση της συναρτήσεως Diac-δ, δηλαδή δ ( z z) f ( z) dz f ( z), για κάθε z ( h, ) z h. Πράγματι, εναλλάσσοντας τους τελεστές της άθροισης και ολοκλήρωσης λαμβάνουμε ( z ) Z z Z z f ( z) dz z h Z Z f, Z f z Z z dz Z z Z z h Z. ()

12 Όμως από τη σχέση (9) παρατηρούμε ότι το τελευταίο δεξιό μέλος της εξισώσεως () είναι ακριβώς f z z ( h, )., δηλαδή η τιμή της τυχαίας, συνεχούς συναρτήσεως f στο σημείο Επομένως, Z( z) Z( z ) f ( z) dz f ( z ) δ ( z zo ) f ( z) dz. (3) z h Z z h Αξίζει τέλος να σημειωθεί εδώ ότι τόσο το σύνολο των ιδιοτιμών { },,... αντιστοίχων ιδιοσυναρτήσεων { Z ( z )},,... όσο και το σύνολο των του κατακορύφου προβλήματος εξαρτώνται παραμετρικά από τις κυματικές παραμέτρους του προβλήματος, καθώς και από το βάθος, δηλαδή ( μ ) και Z( z) Z( z;( z ), μ;h) z, ;h,,,,., (4) και μ μεταβάλλονται συνεχώς (όπως π.χ. μπορεί να συμβεί στην περίπτωση συνεχούς μεταβολής της συχνότητας ω). και μεταβάλλονται κατά συνεχή τρόπο, καθώς οι τιμές των παραμέτρων ( z)

13 6.4 Αναλυτική επίλυση του κατακορύφου προβλήματος ιδιοτιμών στην περίπτωση ομογενούς κυματοδηγού ( σταθερό και μ σταθερό) Στην περίπτωση του ομογενούς κυματοδηγού ιδιοτιμών γράφεται στην ακόλουθη μορφή: ω σταθερό, το κατακόρυφο πρόβλημα c ( z) ( ) Z( z), h < < Z z, (α) Z μ Z, στη θέση z, (β) Z, στη θέση z h, (γ) Η γενική λύση της δευτεροτάξιας, απλής διαφορικής εξισώσεως (α) γράφεται στη μορφή ( λ ) ( λ ) Z z A cos z B si z, () όπου λ, και A,B σταθεροί συντελεστές, οι οποίοι θα προσδιορισθούν στην συνέχεια από την εφαρμογή των συνοριακών συνθηκών (β) και (γ). Από την εφαρμογή της συνοριακής συνθήκης στην ελεύθερη επιφάνεια (β) προκύπτει μ A Z μz Bλ μa B. (3) λ Επίσης, από την εφαρμογή της συνοριακής συνθήκης στον πυθμένα (γ) προκύπτει: λ ( λ ) λ ( λ ) B A ta( λ h) Z h A si h B cos h (4) Απαλείφοντας τον συντελεστή εξίσωση διασποράς B από τις εξισώσεις (3) και (4) καταλήγουμε στην ακόλουθη 3

14 ( h) μ λ ta λ, (5α) η οποία σε αδιάστατη μορφή γράφεται ισοδύναμα ως ακολούθως μh λ h ta( λh). (5β) Οι ρίζες λ της εξισώσεως (5β), οι οποίες στην συνέχεια θα δείξουμε ότι είναι άπειρες το πλήθος, εξαρτώνται από την επιφανειακή κυματική παράμετρο μ και από το βάθος h του κυματοδηγού. Επομένως, οι ιδιοτιμές του κατακορύφου προβλήματος θα δίδονται από την σχέση: (,,h) λ (,h),,,,..., μ μ (6) Οι αντίστοιχες ιδιοσυναρτήσεις υπολογίζονται με την βοήθεια των σχέσεων () και (3) ως εξής: ( λ ) ( λ ) cos ( λz) cos( λh) si( λz) si( λh) A cos ( λh) cos λ ( z h) A,,,... cos ( λ h) Z z A cos z A ta h si λ z (7) Παρατηρούμε από την σχέση (7) ότι η γενική έκφραση των ιδιοσυναρτήσεων του κατακορύφου προβλήματος εμπεριέχει τις αντίστοιχες ιδιοτιμές και την απροσδιόριστη πολλαπλασιαστική σταθερά A. Η σταθερά αυτή μπορεί να προσδιοριστεί μέσω της κανονικοποήσεως του συνόλου των ιδιοσυναρτήσεων. Για τον σκοπό αυτό απαιτείται ο υπολογισμός του κατωτέρω ολοκληρώματος: Z z < Z,Z > Z z h h cos ( z) Z ( z) ( λ h) dz ( λ h) si λh,,,.... (8) 4

15 Επομένως, σύμφωνα και με την εξίσωση (7) του εδαφίου 4.3, οι κανονικοποιημένες ιδιοσυναρτήσεις του κατακορύφου προβλήματος, στην μελετώμενη περίπτωση, δίδονται από την ακόλουθη σχέση ( z) ( λh) ( λ ) cos ( ) Z cos λ z h Z ( z ),,,..., (9) Z h μ cos λh όπου υπενθυμίζεται ότι: (,,h),,,.... λ μ () Στην συνέχεια θα εξετάσουμε λεπτομερέστερα την κατανομή των ιδιοτιμών του μελετώμενου κατακορύφου προβλήματος, καθώς και τις ειδικές μορφές που λαμβάνει η λύση του στις ακόλουθες περιπτώσεις : (i) του αμιγώς υδροακουστικού προβλήματος, κατά το οποίο η ελεύθερη επιφάνεια συμπεριφέρεται ως ιδανικά μαλακό σύνορο (συνθήκη Diichlet στην ελεύθερη επιφάνεια), ή μ, και μ (ii) του προβλήματος κυματισμών βαρύτητας ( ). Θεώρημα Για δεδομένες και πεπερασμένες τιμές των κυματικών παραμέτρων ω g μ R και ω c R, και για πεπερασμένο βάθος κυματοδηγού ( h σταθερό), η εξίσωση διασποράς (5) έχει μία καθαρά θετική φανταστική ρίζα { λ } R. N λ ο i λo I και άπειρες διακριτές πραγματικές ρίζες Απόδειξη Θα διακρίνουμε δύο περιπτώσεις, ως ακολούθως: (i) Στην περίπτωση όπου κάποια από τις ρίζες της εξισώσεως (5) είναι καθαρά φανταστικός αριθμός της μορφής i λ η σχέση (5) λαμβάνει ισοδυνάμως την μορφή 5

16 μ h λ h ta h ( λ h). (α) Για μ R και θέτοντας x h η εξίσωση (α) γράφεται στην μορφή λ μh ta h x ( x), (β) και επομένως η ύπαρξη θετικής πραγματικής ρίζας x R λ h της εξισώσεως (β) εξασφαλίζεται, ισοδυνάμως από τα σημεία τομής των εξής δύο καμπυλών (βλέπε και Σχήμα 6.4 ) μh (α) της καμπύλης ψ, η οποία παριστάνει μία υπερβολή και είναι γνησίως φθίνουσα x x R, και (β) της καμπύλης ta h ( x) ψ, η οποία είναι γνησίως αύξουσα x R. ψ μh x ψ tah( x) λ h x 6

17 Σχήμα 6.4 Το πεδίο τιμών της συνεχούς συναρτήσεως x ) ( x) ( ψ ) (, D ψ ) ψ, θεωρούμενης x R, είναι ( ψ. Επομένως, εφαρμογή του θεωρήματος Bolzao, βλ. π.χ. Apostol (974), εξασφαλίζει την ύπαρξη μίας τουλάχιστον θετικής πραγματικής ρίζας για την εξίσωση (β). Η μοναδικότητα της ρίζας αυτής εξασφαλίζεται από το γεγονός ότι η συνάρτηση ψ ψ είναι γνησίως φθίνουσα ως διαφορά μίας γνησίως φθίνουσας και μίας αύξουσας συναρτήσεως. Τη μοναδική αυτή ρίζα λ i λ την αντιστοιχίζουμε στον δείκτη ο ο. (ii) Θα δείξουμε στην συνέχεια ότι η εξίσωση διασποράς στην πρωταρχική της μορφή, δηλαδή όπως δίδεται από την Εξίσωση (5α), έχει άπειρες διακριτές, πραγματικές ρίζες και η ακολουθία των ριζών αυτών δεν παρουσιάζει άλλο σημείο συσσωρεύσεως εκτός από το. Για μ R, θέτοντας x λ h >, η εξίσωση (5α) γράφεται στην μορφή. μ h ta x ( x), () και επομένως οι υπόλοιπες ρίζες της εξισώσεως διασποράς προκύπτουν ως σημεία τομής των εξής δύο συναρτήσεων (βλ. και Σχήμα 6.5) α) της συνάρτησης ( x) x R, και μ h ψ, η οποία παριστάνει υπερβολή και είναι γνησίως φθίνουσα x β) της συνάρτησης ψ ( x) ta( x), η οποία ως γνωστόν παρουσιάζει περιοδικότητα στα ακόλουθα υποδιαστήματα του θετικού πραγματικού ημιάξονα, βλ. και Σχ. 6.5, I π, π,,, 3... (3) 7

18 ψ ta( x) ψ μh x λ h λ h λ 3h Σχήμα 6.5 Παρατηρούμε με την βοήθεια του σχήματος 6.5 ότι σε κάθε ένα από τα διαστήματα I, N υπάρχει μία και μοναδική λύση x λ h της εξισώσεως (). Αυτό προκύπτει επίσης από εφαρμογή του θεωρήματος Bοlzao, με την παρατήρηση ότι το πεδίο τιμών της συναρτήσεως ψ (x D x ) ( ψ ψ ) (, ) { },, ψ σε κάθε ένα από τα ανωτέρω διαστήματα ( x Ι ) είναι, και η συνάρτηση διαφοράς είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα σε αυτά. Επομένως, υπάρχουν άπειρες θετικές πραγματικές ρίζες της εξισώσεως (5α) λ,3..., κάθε μία από τις οποίες ευρίσκεται εντός του διαστήματος, και πιο συγκεκριμένα λ π, π ) I. I 8

19 Επίσης, με την βοήθεια του Σχήματος 6.5 παρατηρούμε σχετικά με την ασυμπτωτική κατανομή των ριζών της εξισώσεως διασποράς ότι: π λh π λ. (4) h Συνεπώς, το μοναδικό σημείο συσσωρεύσεως της ακολουθίας { λ } είναι το. Συνοψίζοντας τα ανωτέρω αποτελέσματα έχουμε για το σύνολο των ριζών της εξισώσεως διασποράς (5): { },,... λ : λ i λ : μh λ htah ο ο ( λ h) { λ } : μh λ hta( λ ) h,,.. ο ο. (5α) Κατά συνέπεια, το σύνολο των ιδιοτιμών του κατακορύφου προβλήματος στην εξεταζόμενη περίπτωση δίδεται ως ακολούθως { },,.. o λ ο, (5β) λ και διατάσσεται στο μιγαδικό επίπεδο όπως παρουσιάζεται στο Σχήμα

20 { } Im... N N ω c Re{ } N... μ Σχήμα 6.6 Με την βοήθεια των σχημάτων 6.4, 6.5 και 6.6 μπορούμε να κάνουμε τις ακόλουθες γενικές παρατηρήσεις. (i) Η απόσταση μ αυξάνεται με την αύξηση της παραμέτρου μ, και για. Πραγμάτι, η συνεχής αύξηση της παραμέτρου μ συνεπάγεται την αντίστοιχη αύξηση του συντελεστή της υπερβολής ψ x μh / x και την μετατόπιση του σημείου τομής της καμπύλης αυτής με την καμπύλη ( x ) ta h( x) ψ σε μεγαλύτερες τιμές του x. Στο όριο μ h (όριο βαθέως ύδατος) προκύπτει λ h μh (πρακτικά αυτό συμβαίνει για μ h >> ). Επομένως μ μ, μ >> (6) για (ii) Η κατανομή των υπολοίπων ιδιοτιμών { } διαχωρίζεται σε πραγματικές και φανταστικές ανάλογα με την τιμή της ακουστικής παραμέτρου. Επειδή η

21 ακολουθία { },... λ είναι γνησίως αύξουσα ακολουθία θετικών πραγματικών αριθμών, η αντίστοιχη ακολουθία των τετραγώνων των ιδιοτιμών { λ },, είναι γνησίως φθίνουσα. Ετσι το σύνολο των ιδιοτιμών διαχωρίζεται στο πεπερασμένο υποσύνολο των πραγματικών ιδιοτιμών και στο απειροσύνολο των φανταστικών ιδιοτιμών στη θέση N για τη οποία ισχύει: { } N, N { λ > } N <. (7), N... Επίσης, από την σχέση (4) λαμβάνουμε για την ασυμπτωτική κατανομή των ιδιοτιμών i π h π i h, για μεγάλο. (8) (iii) Στην περίπτωση όπου, δηλαδή στην περίπτωση του προβλήματος κυματισμών ελεύθερης επιφάνειας, σε πεπερασμένο βάθος νερού επομένως h <, ισχύει ότι N, και { } o λ R ο i λ I (9α) ) Στην περίπτωση αυτή (, το σύνολο των κανονικοποιημένων ιδιοσυναρτήσεων όπως προκύπτει από τις σχέσεις (9) και (9α) είναι: Z ~ ( z ) ( h) μ cos h o z h Z ( z ) h μ cosh oh cosh ( h) ( ) cos z h Z ( z ) h cos cos ( ) (9β)

22 (iv) Η περίπτωση του αμιγώς ακουστικού προβλήματος, κατά το οποίο η ελεύθερη επιφάνεια συμπεριφέρεται ως ιδανικά ακουστικά μαλακό σύνορο (ομογενής συνθήκη Diichlet στην ελεύθερη επιφάνεια: p στην θέση z) προκύπτει θεωρώντας μ (ή ισοδύναμα ). Σύμφωνα με τα όσα έχουν αναφερθεί μ προηγουμένως στην περίπτωση αυτή και επομένως η ιδιοτιμή αυτή μπορεί o να εξαιρεθεί από το σύνολο των ιδιοτιμών δεδομένου ότι το άπειρο εμπεριέχεται (ως σημείο συσσώρευσεως) στο απειροσύνολο { }. Οι λοιπές ρίζες { } από την σχέση: λ της εξισώσεως διασποράς (5) στην περίπτωση αυτή δίδονται π λ h π,. (α) h Τέλος, στην περίπτωση αυτή, το σύνολο των κανονικοποιημένων ιδιοσυναρτήσεων όπως προκύπτει από εφαρμογή της σχέσεως (9) είναι: Z ( z) cos π ( z h) h h ( ) πz ( ) π ( ) πz ( ) cos si si si h h h πz ( ) si ( 5. ). h h π (β)

23 6.5 Η γενική αναπαράσταση της λύσεως του κυματικού προβλήματος σε ημιάπειρη λωρίδα. Επίπεδα κύματα. Με βάση τον διαχωρισμό του συνόλου των ιδιοτιμών { } στο πεπερασμένο υποσύνολο των θετικών ιδιοτιμών και στο απειροσύνολο των αρνητικών ιδιοτιμών είμαστε σε θέση να προσδιορίσουμε τα χαρακτηριστικά των αντιστοίχων λύσεων της οριζοντίου εξισώσεως. Πράγματι, από την Εξίσωση (8) του Εδαφίου 6. έχουμε X ( x) A exp( i x) B exp ( i x), για,,..., N () ενώ, X ( x) A exp( x) B exp ( x ), για N,... () όπου A και B μιγαδικές, γενικώς, σταθερές. Εκ των ανωτέρω είμαστε σε θέση να κάνουμε τις ακόλουθες σημαντικές διαπιστώσεις: (i) Στην περίπτωση της θετικής ημιάπειρης λωρίδας ( x > a), οι λύσεις της μορφής ( x), N, N,... A exp απειρίζονται με εκθετικό ρυθμό καθώς το x. Αυτό έρχεται σε άμεση αντίθεση με την υπόθεση φραγμένου για το κυματικό πεδίο Εξισ. (δ), Εδαφ. 6.. Συνεπώς, οι λύσεις αυτές θα πρέπει να αποριφθούν ( A, N,N... ). Αντίστοιχα, και για τον ίδιο λόγο, στην περίπτωση της αρνητικής ημιάπειρης λωρίδας ( x < a) θα πρέπει να απορριφθούν οι λύσεις της μορφής: B exp( x) ( B, N, N,... ). Επομένως, στην περίπτωση της θετικής ημιάπειρης λωρίδας ( x > a) η γενική αναπαράσταση του κυματικού πεδίου θα δίδεται στην ακόλουθη μορφή: ϕ N N Z ( z) ( x,z) { A exp( i x) B exp( i x) } Z ( z) B exp ( x a), (3α) 3

24 ενώ στην περίπτωση της αρνητικής ημιάπειρης λωρίδας ( x < a) κυματικού πεδίου δίδεται αντιστοίχως στην μορφή:, η γενική αναπαράσταση του ϕ N N Z ( z) ( x,z) { A exp( i x) B exp( i x) } Z ( z) B exp ( x a). (3β) Στις Εξισώσεις (3α) και (3β) οι εμφανιζόμενες παράμετροι και οι συναρτήσεις ( z) Z έχουν προκύψει ως ιδιοτιμές και ιδιοσυναρτήσεις, αντίστοιχα, του κατακορύφου προβλήματος ιδιοτιμών, Εξισ. (), Εδαφ. 6.4, και ως εκ τούτου εξαρτώνται από το βάθος την συχνότητα h της λωρίδας, ω του κύματος, και την κατακόρυφη κατανομή της ταχύτητας του ήχου c ( z) στην εξεταζόμενη περιοχή. Από τις ίδιες παραμέτρους εξαρτάται επίσης και ο αριθμός Ν των διαδιδόμενων ιδιομορφών στον επίπεδο κυματοδηγό. (ii) Παρατηρώντας πιο προσεκτικά τους όρους στο πρώτο άθροισμα του δεξίου μέλους των σχέσεων (3α) και (3β) είμαστε σε θέση να κάνουμε τις ακόλουθες διαπιστώσεις: (α) Η συναρτησιακή δομή των όρων αυτών είναι γενικώς της μορφής: exp ( i x) Z ( z) μορφή αυτή μεταφερόμενη στο πεδίο του χρόνου γράφεται ως εξής ±. Η Re ± i x iω t { e Z ( z) e } cos( ± x ωt) (4) Έτσι, κάθε ένας από τους πρώτους όρους του αναπτύγματος της λύσεως αντιστοιχεί σε μορφή κυματικής διαταραχής, η οποία για δεδομένη χρονική στιγμή είναι οριζοντίως συνημιτονοειδής. Ανάλογα με το πρόσημο αποτελεί και την συνάρτηση φάσεως της κάθε μορφής N ( ± ) στο όρισμα του συνημιτόνου στην εξ. (4), που χ ± x ω t, (5) και με την βοήθεια του Σχήματος 6.7, προκύπτει για τους όρους στο πρώτο άθροισμα του δεξίου μέλους των σχέσεων (3α) και (3β) ότι αποτελούν κυματικές συνιστώσεις οι οποίες διαδίδονται προς τα θετικά ή τα αρνητικά του οριζοντίου άξονα, αντίστοιχα. 4

25 λ π / t t t t > t ( ωt) cos x λ π / t t > t t t ( ωt) cos x Σχήμα 6.7 Μετάδοση των μορφών της κυματικής διαταραχής και ερμηνεία του προστίμου ± στη συνάρτηση της φάσεως χ ± x ωt. 5

26 (β) Για δεδομένη χρονική στιγμή ( t σταθερό) η εξάρτηση της κάθε μιας από τις πρώτες N κυματικές μορφές, Εξισ. (3), στην οριζόντια διάσταση (δηλαδή κατά τη διεύθυνση του άξονα) είναι περιοδική, με μήκος κύματος που δίδεται από τη σχέση, βλ. Σχήμα 6.4, x π λ. (6) Συνεπώς, οι ρίζες του υποσυνόλου των θετικών ιδιοτιμών του κατακορύφου προβλήματος { },,... N ιδιομορφών αποτελούν ταυτόχρονα τους οριζόντιους κυματαριθμούς των αντιστοίχων exp ( i x) Z (z ) μηδενικές καθ όλο το διάστημα. Επειδή οι ιδιομορφές αυτές παραμένουν φραγμένες και μη x (, ), συγχρόνως δε αντιστοιχούν σε κυματικές μορφές που διαδίδονται με διεύθυνση προς τα θετικά ή τα αρνητικά του x -άξονα ονομάζονται διαδιδόμενες ιδιομορφές (popagatig modes). (iii) Η συναρτησιακή δομή των όρων στο δεύτερο άθροισμα στο δεξί μέλος των σχέσεων (3α) και (3β) στην περίπτωση της θετικής ημιάπειρης λωρίδας ( x > a) είναι της μορφής exp ( x) Z ( z), (7α) ενώ στην περίπτωση της αρνητικής ημιάπειρης λωρίδας ( x < a) είναι της μορφής exp ( x) Z ( z). (7β) Οι όροι αυτοί για x στην θετική λωρίδα, και για x στην αρνητική λωρίδα, αποσβένονται εκθετικά. Για τον λόγο αυτό οι αντίστοιχες ιδιομορφές της λύσεως { exp ( K x) Z ( z) } N, N... ± ονομάζονται αποσβενύμενες ιδιομορφές (evaescet modes). (iv) Από τα γενικά αναπτύγματα της λύσης στην θετική και στην αρνητική ημιάπειρη λωρίδα, Εξισώσεις (3α) και (3β), αντίστοιχα, προκύπτουν οι ακόλουθες εκφράσεις για την ασυμπτωτική συμπεριφορά του κυματικού πεδίου στο άπειρο: 6

27 Θετική ημιάπειρη λωρίδα ( x > a) ( x,z) { A exp( i x) B exp( i x) } Z ( z) x N ϕ (8α) Αρνητική ημιάπειρη λωρίδα ( x < a) ( x,z) { A exp( i x) B exp( i x) } Z ( z) x N ϕ (8β) Ειδικά στην περίπτωση των επιφανειακών κυμάτων (βαρύτητας) έχουμε μόνο μία διαδιδόμενη ιδιομορφή (Ν). Ετσι οι ανωτέρω σχέσεις για την ασυμπτωτική συμπεριφορά του κυματικού πεδίου στο άπειρο απλουστεύονται ως ακολούθως: Θετική ημιάπειρη λωρίδα ( x > a) (,z) { A exp( i x) B exp( i x) } Z ( z) ϕ (9α) x x Αρνητική ημιάπειρη λωρίδα ( x < a) (,z) { A exp( i x) B exp( i x) } Z ( z) ϕ (9β) x x Από τις Εξισ. (8) και (9) συνάγουμε ότι στο άπειρο το κυματικό πεδίο συμπεριφέρεται ως υπέρθεση επιπέδων, αρμονικών, προοδευτικών κυματισμών, οι οποίοι διαδίδονται προς αντίθετες κατευθύνσεις. 7

28 6.6 Η γενική αναπαράσταση της λύσεως του προβλήματος σε εξωτερικό κυλινδρικό χωρίο. Κυλινδρικά κύματα Στο παρόν εδάφιο θα ασχοληθούμε με την κατασκευή της γενικής αναπαράστασης της λύσεως του χρονικά αρμονικού γραμμικοποιημένου προβλήματος Φ(,z;t) Re { ϕ(,z;, μ) exp( iω t) }, όπου χρησιμοποιήθηκε και η ιδιότητα ανεξαρτησίας του πεδίου από γωνία αζιμουθίου θ, στο εξωτερικό κυλινδρικό χωρίο { K, θ, a z, a, θ < π, h z, βλ. Σχήμα 6.. } οριζοντίως σταθερών παραμέτρων, H διαφορική διατύπωση του προβλήματος γράφεται στην ακόλουθη μορφή ω ϕ ϕ, >, ( x,z) K a, (α) c ϕ μϕ, z ω μ g >, z, (β) ϕ, z z h, (γ) όπου z ω η παράμετρος των εσωτερικών (ακουστικών) κυμάτων, μ η cz g παράμετρος των επιφανειακών κυμάτων (βαρύτητας), και,z, a, h z. K a { } ω Όπως ήδη έχει αναφερθεί, οι ανωτέρω παράμετροι, όπως και η γεωμετρία των συνόρων, υποτίθενται οριζοντίως αμετάβλητες. Οι ανωτέρω εξισώσεις συμπληρώνονται από την απαίτηση του φραγμένου για το κυματικό πεδίο και τις παραγώγους του στο άπειρο 8

29 ϕ ϕ ϕ < C, < C, < C3, για, (δ) z όπου C, C, C3 είναι αυθαίρετες σταθερές. Η διαδικασία που θα ακολουθήσουμε για την επίλυση του ανωτέρ προβλήματος είναι η ακόλουθη:. Εφαρμόζοντας τη μεθόδο χωρισμού μεταβλητών θα κατασκευάσουμε την γενική λύση του προβλήματος που απαρτίζεται από τις Εξισώσεις (α), (β) και (γ).. Από το σύνολο των λύσεων του ανωτέρω μερικού προβλήματος θα επιλέξουμε τις λύσεις εκείνες οι οποίες, επιπλέον, ικανοποιούν την απαίτηση φραγμένου (δ). Διαδικασία χωρισμού μεταβλητών: Θεωρούμε το ακόλουθο μερικό πρόβλημα: ϕ (α) z ϕ ϕ ( ) ϕ, (,z) K a ϕ, z μϕ, στην ελεύθερη επιφάνεια z (β) ϕ, στον πυθμένα z h (γ), z Στην συνέχεια, αναζητούμε λύσεις της μορφής (,z) R( ) Z (z) ϕ. (3) Αντικαθιστώντας την μορφή (3) στην εξίσωση Helmholtz (α) παίρνουμε την ακόλουθη εξίσωση: 9

30 R () Z () z R Z ( z) ( z) Z ( z), (4) Z( z) ( ) R ( ) R ( ) από την οποία συνάγουμε ότι για R ( ) και ( z) Z θα πρέπει να ισχύει R () R ( ) Z. R ( ) ( z) ( z) Z( z) Z( z) (5) Στην ανωτέρω εξίσωση δηλώνει τις σταθερές χωρισμού μεταβλητών οι οποίες, όπως ήδη έχει αναφερθεί θεωρούνται μιγαδικές σταθερές, ( C), βλ. Εδαφ. 4.3 και 4.4. Αντικαθιστώντας την μορφή (3) στις συνοριακές συνθήκες ελεύθερης επιφάνειας (α) και πυθμένα (β) λαμβάνουμε () { Z () z Z() z }, z R μ, (6) και R () Z () z, z h, (7) αντιστοίχως. Σε όλες τις ανωτέρω σχέσεις ο τόνος ( ) δηλώνει παραγώγιση της συναρτήσεως ως προς την μεταβλητή από την οποία εξαρτάται. Από το πρώτο τμήμα της εξισώσεως (5) παράγεται εύκολα η ακόλουθη οριζόντια εξίσωση ( ) R ( ) R R. (8) Από το δεύτερο τμήμα της εξισώσεως (5), σε συνδυασμό με τις εξισώσεις (6) και (7), καταλήγουμε στο ίδιο κατακόρυφο πρόβλημα ιδιοτιμών όπως στην περίπτωση της 3

31 ημιάπειρης λωρίδας Λ a, βλ. Εξισ. (9), Εδαφ. 4.. Η επίλυση του κατακορύφου προβλήματος ιδιοτιμών (δηλαδή, η εύρεση των συνόλων { },{ Z ( z) },,...,,... ) και οι ιδιότητες του παρουσιάσθησαν αναλυτικά στα Εδάφια 4.3 και 4.4 του παρόντος Κεφαλαίου. Με βάση τον διαχωρισμό του συνόλου των ιδιοτιμών { } στο πεπερασμένο υποσύνολο των θετικών ιδιοτιμών και στο απειροσύνολο των αρνητικών ιδιοτιμών, είμαστε σε θέση να προσδιορίσουμε τα χαρακτηριστικά των αντιστοίχων λύσεων της οριζοντίου εξισώσεως (9). Από την μαθηματική ανάλυση γνωρίζουμε ότι η δευτεροτάξια απλή διαφορική εξίσωση (9) (i) στην περίπτωση >, αντιστοιχεί στην εξίσωση Bessel μηδενικής τάξεως, η οποία έχει την ακόλουθη γενική λύση R ( () ) ( aj by AH ( ) BH ) ( ), (9α) και (ii) στην περίπτωση <, αντιστοιχεί στην τροποποιημένη εξίσωση Bessel μηδενικής τάξεως, η οποία έχει την ακόλουθη γενική λύση ( ) ak ( ) bi ( ) R, (9β) όπου a, b και A, B σταθεροί (απροσδιόριστοι) συντελεστές, και H ( ) ( x) είναι οι συναρτήσεις Hael μηδενικής τάξεως πρώτου είδους αντίστοιχα, βλ. π.χ. Abamowitz & Stegu (97). H ( x) και και δευτέρου Στις ανωτέ ρω σχέσεις J ( x) και ( x) Y είναι οι δύο γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις της K και εξισώσεως Bessel μηδενικής τάξεως, και x x είναι οι δύο γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις της τροποποιημένης εξισώσεως Bessel μηδενικής τάξεως, βλ. π.χ. Abamowitz & Stegu (97). Οι συναρτήσεις αυτές εικονίζονται στο Σχ I 3

32 K ( x ) I ( x ) J ( x ) Y ( x ) Σχήμα 6.8 Οι συναρτήσεις Bessel J ( x) και Y ( x), και ( x) K και I ( x). Μαλιστα δε ισχύουν οι ακόλουθες συνδετικές σχέσεις ( ) ( x) J ( x) i Y ( x), H ( x) J ( x) i Y ( x) H, (α) ( ) K i π () ( x) H ( i x), I ( x) i J ( i x), x R (β) Από την γνωστή ασυμπτωτική συμπεριφορά των ανωτέρω συναρτήσεων H x, H ( ) ( x), K ( x) I και x για μεγάλες τιμές του ορίσματος x είμαστε σε θέση να δώσουμε φυσική ερμηνεία στον κάθε όρο που εμφανίζεται στις σχέσεις (9). 3

33 Πράγματι, για Abamowitz & Stegu (97), x>> ισχύουν οι ακόλουθες ασυμπτωτικές εκφράσεις, βλ., π.χ., H ( ) π ( ) π x exp i x, H ( x) exp i x π x 4 π x 4, (α) και K π π (β) x x ( x) exp( x), I ( x) exp( x) Εξ ολων των ανωτέρω καταλήγουμε τελικώς ότι η γενική λύση της οριζοντίου εξισώσεως στην περίπτωση > είναι () () R A H B H, για,,..., N. (α) Η ασυμπτωτική συμπεριφορά της ανωτέρω μορφής για μεγάλες οριζόντιες αποστάσεις είναι π π π π R () A exp i B exp i, (β) 4 4 και αντιστοιχεί σε ένα συνδυασμό από ένα εξερχόμενο προοδεύοντα κυλινδρικό κυματισμό (με κατεύθυνση διάδοσης προς μεγαλύτερες οριζόντιες αποστάσεις ) και από ένα εισερχόμενο προοδεύοντα κυματισμό (με κατεύθυνση διάδοσης προς μικρότερα ). Το πλάτος και των δύο κυματισμών εξασθενεί γεωμετρικά, δηλαδή με ρυθμό αντιστρόφως ανάλογο του εμβαδού της κυλινδρικής επιφάνειας σε κάθε ακτίνα. Επειδή οι ιδιομορφές R ( ) Z ( z), για,,..., N, αντιστοιχούν σε διαδιδόμενες κυματομορφές ονομάζονται διαδιδόμενες ιδιομορφές (popagatig modes). 33

34 Οι λύσεις της μορφής I ( ) που εμφανίζονται στην Εξίσωση (9β) δεν ικανοποιούν την απαίτηση φραγμένου, Εξισ. (δ), όπως εύκολα προκύπτει από την ασυμπτωτική συμπεριφορά της τροποποιημένης συναρτήεως I ( x) για μεγάλες τιμές του ορίσματος ( βλ. και Εξισ. (β) ). Ο μόνος τρόπος να ικανοποιηθεί η απαίτηση φραγμένου είναι να τεθεί b στην Εξίσ. (9β). Επομένως, η γενική λύση της οριζοντίου εξισώσεως στην περίπτωση < θα δίνεται από την ακόλουθη σχέσ η R () () ( ) A H ( ) a K, (3α) όπου χρησιμοποιήθηκε και η συνδετική σχέση (β). Η ασυμπτωτική συμπεριφορά της ανωτέρω μορφής για μεγάλες οριζόντιες αποστάσεις προκύπτει με εφαρμογή της Εξισ. (9β) R () i A exp π ( ). (3β) Ετσι στην περίπτωση >N (δηλαδή όταν < ) οι προκύπτουσες ιδιομορφές R () Z (z) αντιστοιχούν σε εκθετικά αποσβενόμενους κυλινδρικούς κυματισμούς, οι οποίοι δεν μεταφέρουν κυματική ισχύ ( δηλαδή πρόκειται περί αμιγώς στασίμων κυματομορφών). Κατ αυτήν την έννοια, οι ιδιομορφές R ( ) Z ( z) ονομάζονται αποσβενύμενες ιδιομορφές (evaescet modes)., για > N Με βάση όλα τα ανωτέρω, η γενική αναπαράσταση της λύσεως στο εξωτερικό κυλινδρικό χωρίο σχέση { θ θ π } K,, z, a a, <, h z, θα δίνεται από την ϕ N () Z ( z) A H ( ) Z ( () ( (,z) A H ( ) B H ) ( ) N z) (4) 34

35 35 τοιχα, προκύπτουν οι ακόλουθες εκφράσεις γ ιφορά του κυματικού πεδίου στο άπειρο: Από τα γενικά αναπτύγματα της λύσης στο εξωτερικό κυλινδρικό χωρίο, Εξισώσεις (3α) και (3β), αντίσ ια την ασυμπτωτική συμπερ () z Z N i i N e B A e z Z H B H A,z 4 4 π π π ϕ (5) ασυμπτωτική συμπεριφορά του στο πειρο απλουστεύονται ως ακολούθως: ), (6α) Ειδικά στην περίπτωση των επιφανειακών κυμάτων (βαρύτητας) έχουμε μόνο μία διαδιδόμενη ιδιομορφή (Ν). Ετσι, οι ανωτέρω σχέσεις για την γενική αναπαράσταση του κυματικού πεδίου και την ά () () ( z Z H A z Z H B H A,z ϕ και () z Z e B A e Z H B H A,z i i 4 4 π π ϕ z π, (6β) αντιστοίχως. ΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΕΣ ΑΝΑΦΟΡΕΣ bamowitz, M., Stegu, I.A., 97, Hadboo of Mathematical Fuctios, Dove Publicatios Coddigto, E.A., Leviso, N., 955, Theoy of Odiay Diffeetial Equatios, Mc Gaw-Hill. Mose, P.M., Feshbach, H., 953, Methods of Theoetical Physics, Mc Gaw-H Β A ill.