ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΠΟΥ ΥΠΗΡΕΤΟΥΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΠΕΜΠΤΗ 6 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2018

Transcript

1 ΘΕΜΑ Α ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΠΟΥ ΥΠΗΡΕΤΟΥΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΠΕΜΠΤΗ 6 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 8 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α Απόδειξη (iii), σελ44 σχολικού βιβλίου Α Ορισμός, σελ 5 σχολικού βιβλίου Α Από την γραφική παράσταση της συνάρτησης με, την μορφή, καταλαβαίνουμε ότι έχει, άρα έχουμε: Επομένως, η πρώτη παράγωγος έχει μορφή ευθείας με θετική κλίση που διέρχεται από την αρχή των αξόνων (εικόνα (Τ)) Από την γραφική παράσταση της συνάρτησης g, καταλαβαίνουμε ότι έχει, την μορφή g με, άρα έχουμε:,, g Επομένως, η πρώτη παράγωγος έχει σταθερή θετική, τιμή για κάθε και σταθερή αρνητική τιμή για κάθε (εικόνα (Η)) Άρα, τελικά η αντιστοίχιση είναι: T g H Α4 «κάθε ζεύγος πραγματικών συναρτήσεων, g:, lim και lim g, τότε g lim» R, αν ισχύει

2 α) Ψευδής β) Αντιπαράδειγμα: σελ 6 σχολικού βιβλίου, ο παράδειγμα Α5 α) Σ β) Σ γ) Λ ΘΕΜΑ Β Β : συνεχής ως ρητή : συνεχής ως πολυωνυμική Άρα, πρέπει lim lim όμως: lim lim lim lim Άρα: Β Γνωρίζουμε από το (Β) ότι η συνάρτηση συνεχής στο Όμως:,4 είναι συνεχής στο R, άρα είναι lim lim lim lim lim lim lim lim lim Δηλαδή η παραγωγίσιμη στο lim δεν είναι παραγωγίσιμη στο, και επομένως δεν είναι,4 Άρα, δεν ισχύουν οι συνέπειες του Rlle

3 B Πρέπει να λύσουμε την εξίσωση 4,, Όμως, Άρα, για : δεκτή : δεκτή ή 4 4 4, απορ Επομένως, υπάρχουν μόνο δύο περιπτώσεις, οι 8 και 8 η εξίσωση της εφαπτομένης δίνεται από τη σχέση: 65 6 y y y η εξίσωση της εφαπτομένης δίνεται από τη σχέση: y y y 4 4 B4 Η συνάρτηση είναι συνεχής, και επομένως δεν έχει κατακόρυφες ασύμπτωτες Πρέπει να αναζητήσουμε αν έχει πλάγιες ασύμπτωτες στο και στο την περιοχή του έχουμε: lim lim lim, άρα η ευθεία y είναι η οριζόντια ασύμπτωτη της C στο την περιοχή του έχουμε: H δίνεται από την σχέση, δηλαδή είναι πολυώνυμο ου βαθμού και επομένως δεν παρουσιάζει πλάγια ασύμπτωτη

4 Πρέπει να μελετήσουμε την συνάρτηση ακρότατα,, Έχουμε: ως προς την μονοτονία και τα Άρα, για : : στο, : με:,, στο,, : στο την τιμή Άρα, : για, και παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο Επίσης, πρέπει να μελετήσουμε την συνάρτηση καμπυλότητα και τα σημεία καμπής, Άρα:, Όμως, 4 ως προς την : στο : 4 : :, στο, Επίσης, η δεν παρουσιάζει σημεία καμπής Άρα, προκύπτει ο παρακάτω πίνακας μεταβολών: 7 5 7

5 Άρα, προκύπτει η γραφική παράσταση: ΘΕΜΑ Γ e είναι συνεχής και παραγωγίσιμη ως πράξεις συνεχών και παραγωγίσιμων συναρτήσεων Όπου: Γ Η συνάρτηση για, e e e για κάθε, άρα :, στο Επομένως, η είναι -, άρα και αντιστρέψιμη Επίσης, ισχύει: A, lim, lim e, αφού: e e lim lim e και e e lim lim lim DLH Γ Έχουμε: a a a a a a Έστω: g a a a, τότε:

6 g a g a g : συνεχής στο, από θεώρημα Blzan, g g, υπάρχει τουλάχιστον ένα Επίσης, g : συνεχής στο, g a g g g a τουλάχιστον ένα, g τέτοιο ώστε g τέτοιο ώστε από θεώρημα Blzan, υπάρχει Άρα, η συνάρτηση g έχει τουλάχιστον ρίζες Όμως, η συνάρτηση g είναι μία πολυωνυμική συνάρτηση ου βαθμού, επομένως έχει το πολύ ρίζες Άρα, αναγκαστικά έχει ακριβώς ρίζες, μία στο διάστημα διάστημα,, και μία στο Επομένως, η εξίσωση στο διάστημα a a a,, και μία στο διάστημα έχει ακριβώς ρίζες, μία Γ Έχουμε: e ln ln e ln e ln e e : e e e e e ln e e e e e το οποίο ισχύει για κάθε, αφού γνωρίζουμε από το ερώτημα Γ το σύνολο τιμών της συνάρτησης ΘΕΜΑ Δ Δ Η με, είναι συνεχής και παραγωγίσιμη ως πράξεις συνεχών και παραγωγίσιμων συναρτήσεων, όπου: Όμως:

7 k, k Z, Όμως, άρα πρέπει: k 6k 6k k k 6 Άρα μοναδική λύση στο, Επίσης, : στο, Και : στο, Άρα, έχουμε: Άρα, η συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο για, ολικό μέγιστο για την τιμή την τιμή την τιμή και ολικό ελάχιστο για Δ Έστω σημείο, τότε η εξίσωση της εφαπτόμενης ευθείας δίνεται από την σχέση y y Άρα, αρκεί να δείξουμε ότι η εξίσωση μοναδική λύση έχει Προφανής λύση για αφού: Έστω, τότε:

8 : (σχέση ) Όμως, η συνεχής στο, και παραγωγίσιμη στο Θεώρημα Μέσης Τιμής, υπάρχει τουλάχιστον ένα Δηλαδή, από (σχέση ) έχουμε:, Επίσης, στο, : στο, : στο,,,, άρα από το τέτοιο ώστε Άρα: άτοπο, αφού Επομένως, μοναδική λύση της εξίσωσης της, Άρα, η γραφική παράσταση έχει μοναδικό κοινό σημείο με την εφαπτόμενη ευθεία στο τυχαίο σημείο, A Δ Έχουμε: I d d d d d Όμως: Και d d d d d d Άρα: I

9 Δ4 α) Έχουμε: lim lim lim lim, επειδή β) Έχουμε: lim lim ln lim ln lim ln lim ln lim ln lim 4 ln L Όμως: Άρα: lim lim lim ln lim ln lim lim lim DLH L 4