ν = 2, από τους οποίους όμως γνωρίζουμε μόνο 5, αυτούς που προκύπτουν για

Transcript

1 ΠΡΩΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Εισγωγή Δύο πό τ σημντικότερ ποτελέσμτ σχετικά με τους πρώτους ριθμούς ήτν γνωστά ήδη πό την ρχιότητ. Το γεγονός ότι κάθε κέριος νλύετι με μονδικό τρόπο ως γινόμενο πρώτων εμφνίζετι στ Στοιχεί του Ευκλείδη στην εξής μορφή (βιβλίο IX, πρότση 14): Εάν ελάχιστος ριθμός υπό πρώτων ριθμών μετρήτι, υπ ουδενός άλλου πρώτου ριθμού μετρηθήσετι πρέξ των εξ ρχής μετρούντων. Στ Στοιχεί επίσης, το γεγονός ότι υπάρχουν άπειροι πρώτοι ριθμοί εμφνίζετι ως εξής (βιβλίο IX, πρότση 0): Οι πρώτοι ριθμοί πλείους εισί πντός του προτεθέντος πλήθους πρώτων ριθμών. Το ποτέλεσμ υτό κι η πόδειξή του πό τον Ευκλείδη θεωρούντι έν πό τ ριστουργήμτ της θεωρητικής μθημτικής σκέψης. Ο G. Hardy ( ) έγρψε ότι είνι τόσο σύγχρονο κι σημντικό όπως κι ότν νεκλύφθη-εδώ κι 000 χρόνι πρέμεινε νέπφο Ο μεγλύτερος πρώτος ριθμός που έχει εντοπιστεί μέχρι σήμερ είνι ο 1, ένς γίγντς με ψηφί. Πρόκειτι γι τον 36ο πό τους πρώτους ριθμούς της μορφής ν 1 που γνωρίζουμε κι ο οποίος οδήγησε στην νκάλυψη του 36ου τέλειου ριθμού (βλπ. προηγούμενο ιστορικό σημείωμ). Οι τεράστιοι υτοί ριθμοί εντοπίστηκν με τη βοήθει κριτηρίων νγνώρισης πρώτων, που πιτούν πολύωρη χρήση ηλεκτρονικών υπολογιστών. Άλλοι πρώτοι ριθμοί με ιδιίτερο ενδιφέρον είνι υτοί της μορφής p = ν + 1, όπου κ ν =, πό τους οποίους όμως γνωρίζουμε μόνο 5, υτούς που προκύπτουν γι κ = 0134,,,, κι είνι ντίστοιχ οι 3,, 5 17, 57, (όσοι πό τους υπόλοιπους έχουν ελεγχθεί ποδείχτηκν σύνθετοι). Ο C.F. Gauss σε πολύ νερή ηλικί έδειξε ότι έν κνονικό πολύγωνο κτσκευάζετι με κνόν κι διβήτη, μόνο ν το πλήθος των πλευρών του είνι πρώτος ριθμός υτής της μορφής ή γινόμενο πρώτων υτής της μορφής πολλπλσισμένο επί μι δύνμη του ή πλώς μι δύνμη του. Το σημντικότερο όμως ζήτημ σχετικά με τους πρώτους ριθμούς φορά την κτνομή τους μέσ στην κολουθί των φυσικών. Η κτνομή υτή είνι πολύ κνόνιστη, γιτί πό τη μι μεριά υπάρχουν εκτομμύρι ζεύγη των λεγόμενων δίδυμων πρώτων, όπως,γι πράδειγμ, οι ( 9, 31 ), ( 1451, 1453 ), ( 99477, 99479), ενώ πό την άλλη υπάρχουν τεράστι κενά χωρίς κνένν πρώτο. Μι σχετική τάξη στο χάος βάζει το Θεώρημ των πρώτων ριθμών, σύμφων με το οποίο το πλήθος των πρώτων ριθμών που είνι μικρότεροι ή ίσοι πό τον φυσικό ν δίνετι κτά προσέγγιση (κθώς το ν γίνετι πολύ μεγάλο) πό τον τύπο ν /ln ν. Αυτό το διπίστωσν εμπειρικά, μελετώντς πίνκες πρώτων ριθμών, οι A.M. Legendre κι C.F. Gauss στ τέλη του 18ου ιών, ενώ η πρώτη υστηρή πόδειξη δόθηκε 100 χρόνι ργότερ.

2 166 Έννοι Πρώτου Αριθμού Πρτηρήσμε προηγουμένως ότι κάθε κέριος 0, ± 1 διιρείτι με τους κέριους ±1 κι ±. Αν υτοί είνι κι οι μόνοι διιρέτες του, τότε υτός λέγετι πρώτος ριθμός. Δηλδή: ΟΡΙΣΜΟΣ Κάθε κέριος p 0, ± 1 λέγετι πρώτος ριθμός ή πλώς πρώτος, ν οι μόνοι θετικοί διιρέτες του είνι οι 1 κι p. Γι πράδειγμ, οι κέριοι κι 7 είνι πρώτοι, ενώ ο 8= 4 κι ο δεν είνι πρώτοι. 39= 3 ( 13) Ένς κέριος ±1 που δεν είνι πρώτος λέγετι σύνθετος. Ένς σύνθετος ριθμός μπορεί ν γρφεί ως γινόμενο β γ με β ±1 κι γ ±1. Οι ριθμοί 1 κι -1 δε χρκτηρίζοντι ούτε ως πρώτοι ούτε ως σύνθετοι. Κάθε πρώτος που διιρεί έν δοθέντ κέριο λέγετι πρώτος διιρέτης του κερίου υτού. Είνι φνερό ότι ο είνι πρώτος, ν κι μόνο ν ο είνι πρώτος. Γι' υτό στη συνέχει θ περιοριστούμε μόνο σε θετικούς πρώτους. Ανάμεσ στους δέκ ριθμούς 1,, 3,..., 10 οι 35,, κι 7 είνι πρώτοι, ενώ οι 468,,, κι 10 είνι σύνθετοι. Ο ριθμός είνι ο μονδικός άρτιος που είνι πρώτος, όλοι οι άλλοι πρώτοι είνι περιττοί. Έν εύλογο ερώτημ είνι το εξής: Αν δοθεί ένς θετικός κέριος, πώς μπορούμε ν ποφνθούμε ν είνι πρώτος ή σύνθετος κι, στην περίπτωση που είνι σύνθετος, πώς μπορούμε πρκτικά ν βρούμε έν διιρέτη διφορετικό πό τους 1 κι ; Η προφνής πάντηση είνι ν κάνουμε διδοχικές διιρέσεις με τους κε-ρίους που είνι μικρότεροι του. Αν κνένς πό υτούς δε διιρεί τον, τότε ο είνι πρώτος. Αν κι η μέθοδος υτή είνι πολύ πλή στην περιγρφή της, δεν μπορεί ν θεωρηθεί πρκτική, γιτί έχει πγορευτικό κόστος σε χρόνο κι εργσί, ιδιίτερ γι μεγάλους ριθμούς. Υπάρχουν ιδιότητες των σύνθετων κερίων που νφέροντι στ επόμεν θεωρήμτ κι μς επιτρέπουν ν περιορίσουμε σημντικά τους νγκίους υπολογισμούς. ΘΕΩΡΗΜΑ 6 Κάθε θετικός κέριος μεγλύτερος του 1 έχει ένν τουλάχιστον πρώτο διιρέτη.

3 167 Έστω ο θετικός κέριος >1 κι p ο μικρότερος πό τους θετικούς διιρέτες του με p >1. Θ ποδείξουμε ότι ο p είνι πρώτος ριθμός. Αν ο p ήτν σύνθετος, θ είχε έν θετικό διιρέτη, έστω β με 1< β < p. Αφού όμως β p κι p, τότε θ ισχύει β (θεώρημ ). Βρήκμε έτσι έν θετικό διιρέτη β του που είνι μικρότερος του p. Αυτό όμως είνι άτοπο, φού ο p θεωρήθηκε ως ο ελάχιστος διιρέτης του. Έτσι ο μικρότερος πό τους θετικούς διιρέτες ενός κερίου είνι πρώτος ριθμός. ΠΟΡΙΣΜΑ 4 Αν είνι ένς σύνθετος κέριος με >1, τότε υπάρχει ένς τουλάχιστον πρώτος ριθμός p, τέτοιος, ώστε p κι p. Επειδή ο είνι σύνθετος, γράφετι στη μορφή = β γ, με 1< β < κι 1< γ <. Υποθέτουμε ότι β γ, οπότε β βγ = κι επομένως β. Αφού β >1, ο β έχει ένν τουλάχιστον πρώτο διιρέτη p κι επομένως p β. Επειδή p β κι β, θ ισχύει p. Επομένως, ο πρώτος p διιρεί τον κι είνι p. Το πρπάνω συμπέρσμ έχει μεγάλη πρκτική σημσί ότν εξετάζουμε ν ένς κέριος >1 είνι πρώτος ή όχι, φού περιορίζει τις δοκιμές στους πρώτους ριθμούς που είνι μικρότεροι ή ίσοι της. Έστω, γι πράδειγμ, ο κέριος =71. Επειδή 16< 71 < 17, χρειάζετι μόνο ν εξετάσουμε ν οι πρώτοι που δεν υπερβίνουν τον 16 είνι διιρέτες του 71. Οι πρώτοι υτοί είνι οι 35711,,,, κι 13 κι κνένς τους δε διιρεί τον 71. Άρ, ο 71 είνι πρώτος. Το Κόσκινο του Ερτοσθένη Μι έξυπνη τεχνική γι τον προσδιορισμό των πρώτων που δεν υπερβίνουν έν θετικό κέριο ν >1 στηρίζετι στο προηγούμενο θεώρημ κι την οφείλουμε στον Αρχίο Έλλην μθημτικό Ερτοσθένη (περίπου 50 π.χ.). Η τεχνική λέγετι κόσκινο του Ερτοσθένη κι είνι η εξής: Γράφουμε σε ένν πίνκ με ύξουσ σειρά τους κερίους πό μέχρι ν. Αφήνουμε τον πρώτο κι διγράφουμε όλ τ πολλπλάσιά του. Ο επόμενος πρώτος στον πίνκ μετά τον είνι ο 3. Αφήνουμε τον 3 κι διγράφουμε όλ τ πολλπλάσιά του

4 168 κτλ. Συνεχίζουμε την ίδι διδικσί μέχρι τον πρώτο p με p ν. Οι κέριοι που πομένουν, δηλδή όσοι δεν "έπεσν" πό το "κόσκινο", είνι οι πρώτοι μετξύ κι ν. Όλοι οι άλλοι "έπεσν", διότι, ως σύνθετοι, είχν διιρέτη κάποιον πρώτο μικρότερο ή ίσο της ν κι ως πολλπλάσι του διγράφηκν. Στον πρκάτω πίνκ έχουν προσδιοριστεί οι πρώτοι μετξύ 1 κι 100. Έχουν διγρφεί τ πολλπλάσι των πρώτων 35,, κι 7, φού ο επόμενος πρώτος είνι ο ριθμός 11 κι ισχύει 11> Στο σημείο υτό πιθνόν ν νρωτηθεί κάποιος: Τελειώνουν κάπου οι πρώτοι; Υπάρχει δηλδή μέγιστος πρώτος ή οι πρώτοι συνεχίζοντι επ άπειρον ; ΘΕΩΡΗΜΑ 7 (του Ευκλείδη) Υπάρχουν ά π ε ι ρ ο ι θετικοί πρώτοι ριθμοί. Έστω ότι υπάρχει πεπερσμένο πλήθος πρώτων ριθμών p1, p,..., pν. Θ ποδείξουμε ότι υτό οδηγεί σε άτοπο. Σχημτίζουμε τον ριθμό A= p1p... pν + 1. Ο ριθμός όμως υτός, επειδή είνι μεγλύτερος του 1, θ έχει ένν τουλάχιστον πρώτο διιρέτη, έστω τον p i με 1 i ν. Αλλά ν ο p i διιρεί τον A, επειδή διιρεί κι τον pp 1... pν, θ πρέπει ν διιρεί κι τον 1. Αυτό όμως είνι άτοπο, γιτί p i >1.

5 169 Θεμελιώδες Θεώρημ Αριθμητικής Οι πρώτοι ριθμοί έχουν μεγάλη σπουδιότητ γι τη Θεωρί των Αριθμών, φού, όπως θ ποδείξουμε στο Θεμελιώδες Θεώρημ της Αριθμητικής, κάθε φυσικός νλύετι με μονδικό τρόπο σε γινόμενο πρώτων πργόντων. Με άλλ λόγι οι πρώτοι ριθμοί ποτελούν τ δομικά υλικά με τ οποί, μέσω του πολλπλσισμού κτσκευάζουμε τους άλλους φυσικούς ριθμούς, όπως γι πράδειγμ στη Χημεί με κτάλληλ άτομ σχημτίζουμε τ μόρι των διάφορων ουσιών. Η πόδειξη του σημντικού υτού θεωρήμτος στηρίζετι στον κόλουθο ληθή ισχυρισμό. ΘΕΩΡΗΜΑ 8 Αν ένς πρώτος p διιρεί το γινόμενο β δύο κέριων, τότε διιρεί ένν, τουλάχιστον, πό τους κερίους υτούς. Έστω ότι p/. Επειδή ο ριθμός p είνι πρώτος, οι μονδικοί διιρέτες του είνι οι 1 κι p. Επομένως, ο Μ.Κ.Δ. των κι p είνι ( p, ) =1, δηλδή ο p είνι πρώτος προς τον a. Αφού λοιπόν p β κι ( p, ) =1, σύμφων με το Πόρισμ 3, p β. Το θεώρημ ισχύει κι γι γινόμενο περισσότερων κερίων. Δηλδή: Αν p πρώτος κι p ν, τότε ο p διιρεί ένν, τουλάχιστον, πό τους πράγοντες του γινομένου. ΘΕΩΡΗΜΑ 9 Κάθε θετικός κέριος >1 νλύετι κτά μονδικό τρόπο ως γινόμενο πρώτων πργόντων (ν πρβλέψουμε τη σειρά των πργόντων). Αν ο είνι πρώτος, τότε προφνώς το θεώρημ ισχύει. Αν ο είνι σύνθετος, τότε, σύμφων με το θεώρημ 6, θ ισχύει = p 1 β 1, όπου p 1 πρώτος κι β 1 κέριος με > β1 > 1. Αν ο β 1 είνι πρώτος, τότε ο είνι γινόμενο πρώτων πργόντων κι το θεώρημ ληθεύει. Αν ο β 1 είνι σύνθετος, τότε θ έχουμε β1 = p β, με p πρώτο κι > β > 1. Αν ο β είνι πρώτος, τότε = p1 p β κι ο είνι γινόμενο πρώτων πργόντων.

6 170 Αν ο β είνι σύνθετος, τότε η πρπάνω διδικσί μπορεί ν συνεχιστεί κι οδηγεί σε μι σχέση = p1 p p3 β3, με p 3 πρώτο κι > β1 > β > β3 > 1. Αποδεικνύετι ότι ν συνεχίσουμε τη διδικσί υτή, ύστερ πό έν πεπερσμένο πλήθος βημάτων θ βρούμε τελικά ένν πρώτο, τέτοιο, ώστε p κ = p1 p p3... pκ. Ας υποθέσουμε ότι ο νλύετι κι με άλλο τρόπο σε γινόμενο πρώτων πργόντων, ότι δηλδή υπάρχουν κι οι πρώτοι q1, q, q3,..., qλ, τέτοιοι, ώστε = p1 p p3... pκ = q1 q q3... qλ (1) κι έστω ότι κ λ. Ο πρώτος p 1 είνι διιρέτης του άρ κι του γινομένου q1 q q3... qλ. Επομένως, σύμφων με το θεώρημ 8, ο p 1 θ είνι διιρέτης ενός τουλάχιστον πό τους πράγοντες q1, q, q3,..., qλ, έστω pq 1 μ, όπου 1< μ < λ. Ο q όμως είνι πρώτος κι έχει ως διιρέτες μόνο το 1 κι τον ευτό του. Άρ, επειδή μ p 1 1, θ είνι p q. Ύστερ πό τη διγρφή των δυο υτών ίσων πργόντων, 1 = μ με νάλογο συλλογισμό συμπερίνουμε ότι ο p πρέπει ν είνι ίσος με ένν, τουλάχιστον πό τους υπόλοιπους πράγοντες του δεύτερου μέλους της (1) π.χ. τον q τ. Αφού διγράψουμε τους p κι q τ, συνεχίζουμε ομοίως με τους p3,..., pκ. Στο τέλος της διδικσίς όλοι οι πράγοντες p1, p, p3,..., pκ θ έχουν διγρφεί, φήνοντς μόνο τον ριθμό 1 στο πρώτο μέλος της ισότητς (1). Κνένς όμως κι πό τους πράγοντες q1, q, q3,..., qλ δε θ έχει πομείνει κι στο δεύτερο μέλος της (1), φού όλοι υτοί οι πράγοντες είνι μεγλύτεροι πό το 1. Έτσι, οι πράγοντες p1, p, p3,..., pκ του πρώτου μέλους σχημτίζουν ζεύγη ίσων ριθμών με τους πράγοντες του δεύτερου μέλους. Αυτό ποδεικνύει ότι, με εξίρεση ίσως τη σειρά των πργόντων, οι δύο νλύσεις του ριθμού είνι τυτόσημες. Βέβι, μερικοί πό τους πρώτους πράγοντες που εμφνίζοντι στην νάλυση ενός θετικού κερίου μπορεί ν επνλμβάνοντι όπως στην περίπτωση του 360 γι τον οποίο έχουμε 360= 335. Γράφοντς τ γινόμεν των ίδιων πργόντων με μορφή δυνάμεων, μπορούμε ν επνδιτυπώσουμε το θεώρημ ως εξής: Κάθε θετικός κέριος >1 μπορεί ν γρφεί κτά μονδικό τρόπο στη μορφή: κ 1 = p p 1... pκ, όπου οι p1, p,..., pκ είνι θετικοί πρώτοι με p1 < p <... < pκ κι 1,,..., κ θετικοί κέριοι. 1 κ 1 Η μορφή = p p... p λέγετι κι κνονική μορφή του. κ Μ.Κ.Δ. κι Ε.Κ.Π. Αριθμών σε Κνονική Μορφή

7 171 Ότν είνι γνωστή η νάλυση ενός φυσικού ριθμού σε πρώτους πράγοντες, εύκολ μπορούμε ν επισημάνουμε τους διιρέτες του. a Έστω = p κ 1 1 p... pκ η κνονική μορφή του κι d ένς θετικός διιρέτης του. Αν p είνι ένς πρώτος που εμφνίζετι στην κνονική μορφή του d, τότε p κι επομένως, πρέπει p = p i με 1 i κ. Επίσης ο p i δεν μπορεί ν εμφνίζετι στον ριθμό d περισσότερο πό i φορές. Πρτηρούμε δηλδή ότι ένς διιρέτης d του έχει στην κνονική του μορφή πράγοντες μόνο πό τους p1, p,..., pκ κι με εκθέτες ίσους ή μικρότερους των 1,,..., κ ντιστοίχως. Γι πράδειγμ, επειδή = 3, οι διιρέτες του 1 είνι οι 3 = 1, 3 =, 3 = 4, 3 = 3, 3 = 6 1 κι 3 = 1. Με βάση την πρτήρηση υτή μπορούμε εύκολ ν βρούμε Μ.Κ.Δ. κι το Ε.Κ.Π. ριθμών που έχουν νλυθεί σε πρώτους πράγοντες. Συγκεκριμέν: Ο Μ.Κ.Δ. θετικών κερίων που είνι γρμμένοι σε κνονική μορφή είνι ίσος με το γινόμενο των κοινών τους πργόντων κι με τον κάθε πράγοντ υψωμένο στο μικρότερο εμφνιζόμενο εκθέτη. Το Ε.Κ.Π. θετικών κερίων που είνι γρμμένοι σε κνονική μορφή είνι ίσο με το γινόμενο των κοινών κι μη κοινών τους πργόντων κι με τον κάθε πράγοντ υψωμένο στο μεγλύτερο εμφνιζόμενο εκθέτη. 3 3 Γι πράδειγμ, επειδή 50= 3 57 κι 756= 3 7, έχουμε 3 3 ( 50,756) = 3 7=5 κι [ 50,756] = 3 5 7=7560. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1. Ν ποδειχτεί ότι ν ο ριθμός ν 1, ν Ν είνι πρώτος, τότε κι ο ν είνι πρώτος. Αν ο ν δεν είνι πρώτος, τότε ν = β με, β θετικούς κέριους κι, β >1, οπότε έχουμε ν β β = 1 = 1 ( ) 1. Ο ριθμός υτός, όμως, έχει ως πράγοντ τον 1, γι τον οποίο ν ισχύει 1 < 1 < 1. Επομένως, ο ν 1 είνι σύνθετος που είνι άτοπο.. Αν ο φυσικός ριθμός ν δεν είνι τετράγωνο φυσικού, ν ποδειχτεί ότι ο ριθμός ν είνι άρρητος.

8 17 Έστω ότι ο ριθμός ν είνι ρητός. Τότε ν =, όπου κι β θετικοί κέριοι. Οι β κέριοι κι β μπορούν ν θεωρηθούν πρώτοι μετξύ τους, γιτί ν δε συμβίνει υτό, τους διιρούμε με το Μ.Κ.Δ. τους, οπότε μεττρέποντι σε πρώτους μετξύ τους. Από την ισότητ ν = έχουμε = νβ. Επειδή ο ν δεν είνι τετράγωνο φυσικού θ είνι β >1. Επομένως, β ο κέριος β θ έχει ένν πρώτο διιρέτη p, οπότε θ ισχύει p, δηλδή p κι άρ p (Θεώρημ 10). Επομένως, p κι p β, που είνι άτοπο, φού οι κι β είνι πρώτοι μετξύ τους. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α Ομάδς 1. Ποιοι πό τους πρκάτω ριθμούς είνι πρώτοι; 101, 103, 107, 111, 113, 11.. Ν βρείτε το μικρότερο φυσικό ριθμό γι τον οποίο οι ριθμοί: (i), + 1, + είνι όλοι σύνθετοι (ii), + 1, +, + 3 είνι όλοι σύνθετοι 3. Ν βρείτε τους, β Ν κι τον πρώτο p > 3 σε κθεμιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις: (i) ( β)( + β) = 3 (ii) 4= p (iii) ( 1) p= Ν ποδείξετε ότι ο μονδικός θετικός πρώτος p γι τον οποίο ισχύει ν Ν, είνι ο p = 5. 3p + 1= ν, όπου 5. Ν ποδείξετε ότι ο μονδικός θετικός πρώτος p που μπορεί ν πάρει τη μορφή p =ν 3 1, ν Ν είνι ο p = 7, ενώ τη μορφή p = ν 3 + 1, ν Ν, είνι ο p =. 6. Αν, β είνι δύο περιττοί θετικοί κέριοι μεγλύτεροι του 1, ν ποδείξετε ότι ο κέριος + β είνι σύνθετος. 7. Έστω, ν θετικοί κέριοι κι p θετικός πρώτος. Αν ν p, ν ποδείξετε ότι ν ν p. 8. Έστω μ β ν, β, μ, ν Ν με (, β) = 1. Ν ποδείξετε ότι (, ) = Ν γράψετε στην κνονική τους μορφή τους φυσικούς ριθμούς 490, 115, 78 κι ν βρείτε το Μ.Κ.Δ. κι το Ε.Κ.Π. υτών.

9 173 1 κ 1 κ 10. Έστω = p p... p η κνονική μορφή ενός θετικού κερίου. Ν ποδείξετε ότι ο είνι τετράγωνο ενός θετικού κερίου, ν κι μόνο ν οι εκθέτες άρτιοι. 1,,..., κ είνι όλοι 1. Αν (, β) = 1, ν ποδείξετε ότι (i) ( + β, β) = 1, (ii) ( + β, β) = 1. B ΟΜΑΔΑΣ. Ν ποδείξετε την ισοδυνμί: (, βγ) = 1 (, β) = (, γ) = Έστω, β Ν κι p θετικός πρώτος. Αν (, p ) = p κι ( β, p = p, ν βρείτε τον 4 4 ( β, p ) κι τον ( + β, p ). 4. Ν ποδείξετε ότι οι κέριοι της μορφής ν 4 + 4, όπου ν θετικός κέριος μεγλύτερος ν του 1, κι οι κέριοι της μορφής 8 + 1, όπου ν θετικός κέριος, είνι σύνθετοι ριθμοί. 3 ) 5. Αν, β Ν με β 43 = 34, ν ποδείξετε ότι ο ριθμός + β είνι σύνθετος. 6. Ν ποδείξετε ότι ο μονδικός θετικός πρώτος p γι τον οποίον οι ριθμοί p, p+ κι p +4 είνι κι οι τρεις πρώτοι είνι ο p = Ν λύσετε στο Ν τις εξισώσεις 3 (i) x + x + x 3 = 0 (ii) x + x+ p= 11, όπου p θετικός πρώτος. 8. Έστω, β Ν. Αν β, ν ποδείξετε ότι β.