Α3. Σχολικό βιβλίο σελ. 142 Γεωμετρική ερμηνεία του θ. Fermat: Στο σημείο (x o, f(x o )) η εφαπτομένη της C f είναι οριζόντια.

Transcript

1 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΗΣΗΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 8 ΜΑΡΤΙΟΥ 08 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΜΑ Α Α. Σχολικό βιβλίο σελ. 76 Α. α. Ψ β. Σχολικό βιβλίο σελ. 56 ΣΧΟΛΙΟ): Η f()= είναι κυρτή στο R αφού η f ()= 3 είναι γνησίως αύξουσα στο R Εντούτοις, η f ()= δεν είναι θετική στο R αφού f (0)=0 Α3. Σχολικό βιβλίο σελ. Γεωμετρική ερμηνεία του θ. Fermat: Στο σημείο (, f( )) η εφαπτομένη της C f είναι οριζόντια. Α. α. Σωστό (Κριτήριο παρεμβολής, σελ 5) β. Λάθος (ΣΧΟΛΙΟ σελ 65: Οι κανόνες de L Hspital ισχύουν και για πλευρικά όρια) γ. Λάθος (ΣΧΟΛΙΟ σελ 56: αν μια συνάρτηση f είναι κοίλη σ ένα διάστημα Δ, τότε η εφαπτομένη της C f σε κάθε σημείο του Δ βρίσκεται «πάνω» από τη C f με εξαίρεση το σημείο επαφής τους.) δ. Λάθος (ΣΧΟΛΙΑ σελ 63) ε. Σωστό (σελ 57)

2 ΘΕΜΑ Β Β. ος τρόπος : Λύσεις σχολικού βιβλίου σελ. 3 ος τρόπος : (Χωρίς ομοιότητα) Από ορισμό εφαπτομένης οξείας γωνίας Β. Με πλευρικά όρια έχουμε: ˆ NM κλπ. A f ( ) f () lim lim lim lim f ( ) lim f () lim Άρα f είναι παραγωγίσιμη στο B3. f ( ) lim 0 f ( ) lim 0 lim B. H f είναι γνησίως αύξουσα σε κάθε ένα απ τα διαστήματα (0, ], (, 3] και συνεχής στο (αφού f παραγωγίσιμη στο από Β), άρα τελικά f (0, 3] επομένως f - άρα αντιστρέφεται. Αν (0,] τότε y= y με 0 y 0 y y y Αν (,3] τότε y= με 3 y 5

3 Άρα f (),, 0 5 Οι γραφικές παραστάσεις των f και παρακάτω σχήμα: y f φαίνονται στο 5 y= y=- y= + y= y= O 5 3

4 ΘΕΜΑ Γ Γ. H εξίσωση ε της εφαπτομένης της C f στο τυχαίο σημείο της (, f( )) είναι ε: y f( ) = f ( )( ) y = ( ) 3 = ) ( Έστω h() 3 ( ), >0 Επειδή h()=0=h() υπάρχουν δύο τουλάχιστον εφαπτομένες ε, ε που άγονται από το σημείο Α στην C f με εξισώσεις: ε : y = ( ) ε : y και ε : y = ( ) ε : y Θα δείξω ότι δεν υπάρχουν άλλες εφαπτομένες που άγονται από το Α ος τρόπος : Η h είναι παραγωγίσιμη με h'(), >0 Επομένως h (0, ] και h [, +), άρα οι ρίζες =(0, ] και =[, +) της h είναι μοναδικές αφού η h είναι γνησίως μονότονη σε κάθε ένα από τα διαστήματα που ανήκουν αυτές. ος τρόπος : Έστω ότι η h έχει 3 τουλάχιστον ρίζες < < 3. τότε απ το θεώρημα Rlle στα διαστήματα [, ], [, 3 ] υπάρχουν ξ (, ), ξ (, 3 ) τέτοια ώστε h (ξ )=h (ξ )=0 δηλ. η εξίσωση h ()=0 έχει τουλάχιστον ρίζες, άτοπο γιατί η h ()=0 έχει μοναδική ρίζα την =

5 3 ος τρόπος : h() 0 3 ( ) ή ή ή Γ. Γραφικά έχουμε ε 3/ Α f = ε / 0 Άρα το ζητούμενο εμβαδόν είναι: 3 ος τρόπος : d... ος τρόπος : d Γ3. Η gf ορίζεται αφού 3 5 d... D gf ={D f f()d g }={[0,+ ) (0,+ )} = (0,+ ) και έχει τύπο (gf)() = g(f()) = ln, >0 ος τρόπος : Για κάθε >0 ισχύει ln και επειδή >0 έχουμε ln δηλ. g(f()) f() f() g(f()) + που σημαίνει ότι η C f είναι πάνω από την C gf στο (0, + )

6 ος τρόπος : Έστω φ() = ln, >0 '(), Παρατηρούμε ότι φ (0, ], φ [, +) και το σημείο (, φ()=) ολικό ελάχιστο, άρα φ() ln f() g(f()) + που σημαίνει ότι η C f είναι πάνω από την C gf στο (0, + ) 3 ος τρόπος : Σχεδιάζοντας τις C f και C gf (μελετώντας μόνο την συνάρτηση y = y ln ) C f C gf 0 Γ. y (t) ln (t) y'(t) (t) '(t) (t) ' '(t) (t) (t) (t) '(t ) y'(t ) () (t ) () '(t Aπό υπόθεση '(t ) y'(t ) (t ) ) 6 '(t ) (t ) '(t ) 0 και y(t ) ln (t ) y(t ) ln 0 άρα Μ(, 0) (t )

7 ΘΕΜΑ Δ Δ. Αν [ π, 0] τότε f ()=συν=(ημ) f() = ημ + c, c R Αν [0, + ) τότε η τετμημένη Β του σημείου Β ικανοποιεί την B σχέση B και η εξίσωση της ημιευθείας Αz είναι y y Επομένως f '() ' f () c, c R Ώστε c, 0 f () c, 0 και από την συνέχεια της f στο 0 (f παραγωγίσιμη άρα και συνεχής στο 0) έπεται ότι c =c και επειδή f(0)=0 c =c =0, άρα τελικά ημ, f(), π 0 0 Δ. Από το ΘΜΤ για την f στο [α, β] υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ(α, β) : f ( ) f ( ) f '( ) ή f ( ) f ( ) Σχόλιο : Το Δ αντιμετωπίζεται και αλγεβρικά αλλά θα πρέπει να διακρίνουμε τρεις ξεχωριστές περιπτώσεις για τα α, β και έτσι δεν ενδείκνυται αυτός ο τρόπος. Δ3. Για κάθε, 9 ισχύει 8 f (), ό 0 > ημ > 0 > f() > 0 f () f () την μονοτονία του ολοκληρώματος παίρνουμε και από 7

8 / 9 / 8 f () d 0 / 9 / / 9 8 ln d 0 ln / 8 / 8 f () 9 9 / 8 f () Σχόλιο : Το ολοκλήρωμα υπολογίζεται, πχ. / 9 / 9 / 9 / 9 / 9 d d d d d / 8 f () / 8 / 8 / 8 / 8 ' / 9 ' / 9 / 9 d d ln ln / 8 / 8 / 8 αλλά θα πρέπει επιπλέον να αποδείξουμε την ανίσωση 8 ln ln, πχ. δείχνοντας ότι η συνάρτηση y είναι στο [8, 9] και έτσι δεν ενδείκνυται αυτός ο τρόπος. d Δ. ος τρόπος : Για κάθε ( π, 0) ισχύει 0 f () () f () () f f () ( ) 08 άρα η δοθείσα εξίσωση έχει Η ισότητα ισχύει μόνο όταν Επίσης, Η ισότητα ισχύει μόνο όταν Από τις σχέσεις () και () έχουμε Η ισότητα ισχύει μόνο όταν μοναδική λύση την 8

9 ος τρόπος : Έστω '() 08 Παρατηρούμε ότι: ln 08 ον ) ' 0 08, ( π, 0) ον ), διότι για κάθε, είναι 0 και 0 και 0 άρα '() 0, 0 3 ον ), 0 διότι για κάθε είναι 0 και 0 0 και 0 άρα '() 0 άρα η έχει μοναδική ρίζα στο διάστημα ( π, 0) την Σχόλιο : Η επίλυση της εξίσωσης ' 0 δεν είναι δυνατή, γι αυτό βρήκαμε το πρόσημο της ' συνθετικά και αυτή ακριβώς είναι η δυσκολία αυτού του τρόπου. Τελικό σχόλιο: Όλα τα θέματα είναι ιδιοκατασκευές που στηρίζονται αποκλειστικά στο σχολικό βιβλίο και στα περσινά θέματα εξετάσεων του 07. Με το ελάχιστο πλήθος ερωτημάτων πιστεύω ότι κάλυψα το μεγαλύτερο μέρος της ύλης. Επιστημονική επιμέλεια: Ηρακλείδης Χρήστος 9