α β γ α β γ ( α β )( β γ )( γ α )
|
|
- Διόδωρος Ζαΐμης
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Γραµµικά Συστήµατα Να υθούν τα συστήµατα: (α) x+ 4y z= x+ 8y 6z= 9 (β) x+ y 9z= x+ y z= 4x y+ 7z= (γ) y+ z= x ( ) x y = x+ y = 7z ( + ) x+ y 6z= (δ) x+ y+ z= (ε) x+ y+ z= ( + ) x+ (+ ) y= + x+ y= (στ) (+) x+ ( + 6) y= + 4 x y= + (ζ) (µ ) x µ y= µ (η) x+ (µ + ) y= ( µ ) x+ µ y= µ x+ ( µ ) y= µ x y+ z= 4x y+ z= (θ) x y+ 6z= 6x+ y+ z= Υποογίστε τους µ Rώστε η διατεταγµένη τριάδα ( ) ( ) είναι ύση του γραµµικού συστήµατος: x y z = να x µ y+ z= + µ µ x ( µ ) y z= + Να υθούν τα συστήµατα: (α) x+ y+ z ω= x y+ z = 9 (β) x + y z + ω = 4 x y +4z ω = x y = y+ z= 7 x+ z= (γ) x y+ z+ ω = x+ y z+ 4ω = (δ) x y+ z+ 6ω = x y+ 4z ω = x y+ z= 8 x y+ z= (ε) x+ y+ 4z= x+ y + z= x+ y z= x y+ z= x+ y z= 4 Να ύσετε την εξίσωση x x x+ x+ x+ x+ x+ x+ x+ = Στέφανος Ι Καρναβάς Μαθηµατικός (ΜΕd) Επίκουρος Καθηγητής ΑΕΝ Οινουσσών
2 α β Αν A= γ δ Α + Α+ ΑΙ=Ο δείξτε ότι: ( α δ) 6 Αν Α= R και Β= να βρεθεί ο πίνακας Χ ώστε: Α Χ=Β 7 Αποδείξτε ότι: α ( α+ ) ( α+ ) β ( β+ ) ( β + ) = 4( α β )( α γ )( β γ ) γ ( γ + ) ( γ + ) 8 Αποδείξτε ότι α β γ α β γ α β γ ( α β )( β γ )( γ α ) α β γ = 9 Α Βρείτε το γινόµενο: Β Αν Χ= να βρεθεί ο πίνακας Χ Με την µέθοδο αντιστρόφου πίνακα να υθούν τα συστήµατα: x+ y= (α) (β) x + y + z = (γ) x y= x+ y+ 7z= x + y z = x+ y+ z= (δ) x y+ z= 4 4x+ y z= (ε) x z= x+ y+ z= x+ y+ z= Να ύσετε τα συστήµατα: (α) ( + ) x ( ) y= µ + x+ y= 4+ (β) x+ y+ z= x y z= x + ( ) y = 4 y+ z= (γ) κ ax+ β y+ γ z= β x+ γ y+ α z= µ (δ) 6x+ 7 y+ z= x y+ z = 4x+ 8y+ z = Στέφανος Ι Καρναβάς Μαθηµατικός (ΜΕd) Επίκουρος Καθηγητής ΑΕΝ Οινουσσών
3 Βρείτε τις τιµές των αβ Rώστε το σύστηµα α x+ β y= x x+ (β ) y= α x άπειρες ύσεις τις οποίες και να υποογίσετε να έχει Για ποια τιµή του R είναι αδύνατο το σύστηµα: ( + 6) x+ (+ 4) y= + ; (+) x+ ( + ) y= + 4 Βρείτε τις τιµές των αβ R ώστε να είναι συγχρόνως αδύνατα τα συστήµατα: α x (β + ) y= β x+ y= α β x 6 y = 7α 4β ( α+ β ) x ( α β ) y= ( + ) x y= + Αποδείξετε ότι το σύστηµα έχει µία ύση ( x y ) για x+ y= κάθε τιµή του R Να υποογιστεί η τιµή του ώστε x+ y = 7 6 Να βρεθεί η τιµή του R ώστε να είναι αόριστο το σύστηµα: x+ y z = x+ y+ z= και ακοούθως να υποογισθούν οι άπειρες ύσεις του ( x+ y) + z= 7 Να ύσετε τα συστήµατα: (α) + + = + ( µ ) x ( µ ) y ( µ ) ( + µ ) x+ ( µ ) y= ( + µ µ ) (β) ( ηµα ) x ( συνα ) y= ηµ α (γ) ( συνα ) x+ ( ηµα ) y= συν α x+ y= + x y= (δ) x y= 4 x+ y= 4x+ y= 8 Αποδείξετε ότι είναι αδύνατο το σύστηµα: (κ +) x+ y= κ κµ κ x+ ( + ) y= µ κµ x µ y µ + = + 9 Ποιά σχέση συνδέει τους αβ Rώστε να είναι συµβιβαστό το σύστηµα: α x+ β y= β x+ α y= αβ ; x+ y= α+ β Αν Α= µ µ+ Β= να βρεθεί ο πίνακας Χ ώστε να ισχύει: Α Χ=Β Στέφανος Ι Καρναβάς Μαθηµατικός (ΜΕd) Επίκουρος Καθηγητής ΑΕΝ Οινουσσών
4 Βρείτε τον R ώστε να έχει τουάχιστον µία ύση το σύστηµα: x+ y= x+( + ) y= 8 ( + ) x y= Αποδείξτε ότι για κάθε τιµή του θ R είναι αδύνατο το σύστηµα: ( + ηµθ ) x+ y= ( ηµθ ) x+ y= x y= 4 α x βψ + γ z= ( ) x+ ( ) ψ = Λύστε τα συστήµατα: (α) (β) β x+ γψ + α z= ( ) x+ ( + ) ψ = x+ ψ + z= 4 Αν Α= 4 και R να βρεθεί ο πίνακας Χ Χώστε Α Χ= Χ Αν υπάρχουν x y z R µε x + y + z α x+ β y+ γ z= β x+ γ y+ α z= και γx+ αy+ β z= να αποδείξετε ότι α + β + γ = αβγ 6 Για ποιες τιµές του R το σύστηµα Ποιες είναι τότε οι ύσεις; ( ) x y= x y= έχει άπειρες ύσεις; 7 Αν αβγ R διαφορετικοί ανά δυο και το µηδενικές ύσεις αποδείξτε ότι α+ β+ γ = βγ x+ αγ y+ αβ z= α x+ β y+ γ z= έχει και µη 8 Αν το σύστηµα β = αγ ή γ = αβ 9 Έστω Α= 4 αποδείξετε ότι f ( A ) = O α + αβ + β = x y z β x+ βγ y+ γ z= έχει άπειρες ύσεις δείξτε ότι γ x+ αγ y+ α z= α = βγ ή Βρείτε το πουώνυµο f ( x) = x I A όπου x Rκαι Στέφανος Ι Καρναβάς Μαθηµατικός (ΜΕd) Επίκουρος Καθηγητής ΑΕΝ Οινουσσών 4
5 Βρείτε τους x y + = + x y όπου R x y Rώστε ( ) x+ ( + ) y= Να βρεθεί η τιµή του R ώστε το σύστηµα x+ y= ύση ( x y) τέτοια ώστε η παράσταση x+ y να είναι εάχιστη να έχει µία Α Χ αντιστρέψιµος είξτε ότι Αν ο αντιστρέψιµος Α Χ επαηθεύει την Α = Α και Α = Α όπου R 9Α = Α βρείτε την ορίζουσα Α Αποδείξτε ότι δεν υπάρχει πίνακας Α Χ για τον οποίο Α Α + = 4 Αν α β γοι πευρές και Α Β Γ οι γωνίες τριγώνου ΑΒΓ να δειχθεί ο νόµος β συν Γ+ γ συν Β= α των συνηµιτόνων όταν γνωρίζοµε ότι γ συν Α + α συν Γ= β α συν Β+ β συν Α= γ Να υθούν τα συστήµατα: (α) α x+ β y= β x+ α y= αβ όπου α β R x + y = α + β * (β) x+ y= x+ y= (γ) x+ y= ( + ) x+ y= + x+ ( + ) y= x+ y= + x+ y+ ω = 6 ίνεται το σύστηµα 4 x+ ( + ) y+ 6 ω = x+ 4 y+ ( + ) ω= Να βρεθούν οι τιµές του R για τις οποίες το σύστηµα δέχεται και µη µηδενικές ύσεις Να βρεθούν όες οι ύσεις του συστήµατος για την µικρότερη τιµή του που βρέθηκε στο προηγούµενο ερώτηµα 7 Να βρεθούν οι µ R ώστε να είναι συγχρόνως αδύνατα τα συστήµατα: ( ) x+ µ y= x+ 4 y = και ( ) x ( µ + ) y= x 6 y = 8 Να βρεθούν οι τιµές των µ Rγια τις οποίες είναι συγχρόνως αδύνατα τα ( µ ) x+ y= συστήµατα: x+ y= ( µ + ) x+ y= 4x+ y= Στέφανος Ι Καρναβάς Μαθηµατικός (ΜΕd) Επίκουρος Καθηγητής ΑΕΝ Οινουσσών
6 ( + ) x+ ( + ) y+ ( + )ω= + 9 ίνεται το σύστηµα ( + ) x+ ( + ) y+ ω= + ( + ) x+ ( + ) y+ (+ ) ω= Να δειχθεί ότι για το σύστηµα έχει µόνο µία ύση ( x y ω ) Να δειχθεί ότι για = το σύστηµα έχει άπειρες ύσεις x y Αν Α ( ) = y x να υθεί η εξίσωση Α ( ) = 4 Να υθούν µε την µέθοδο επαυξηµένου πίνακα τα συστήµατα: x+ y+ ω = x y+ ω = x+ y= (α) x y+ ω = 4 (β) x+ y+ ω= (γ) 4x+ y+ 4ω = x 6y+ 7ω = x+ y= (δ) x y ω= (ε) x y ω = 4 x+ y+ z+ ω = x+ y z+ ω = (στ) x y+ z+ ω = x y+ 4z ω = x y+ z+ ω= x+ y+ z ω = (ζ) x+ 4y= x y= 4x+ y= 9 (η) x y+ z ω= 6 x y z 9 + = (θ) x+ y ω = 4 x+ y z+ ω = 7 x+ y+ ω= x+ y+ 8ω = (ι) x+ y ω = x+ 6y ω = (κ) x+ y+ 7ω = x+ y= x+ y= () 7x+ 9y= x+ 4ψ = 6x+ 8ψ = 4 (µ) x+ y z+ ω = x 4y 6z ω + = (ν) x+ y z 9ω = x y+ z+ ω = + 4 x y+ z= x+ y z= 8 x 8y+ z= 8 (ξ) x+ y z= 7 x+ y+ z= 4 x y+ z= (ο) x+ y= x+ y= (π) x y+ z= x+ y z= (ρ) x y+ z= x+ y+ z= x+ y+ 4z= (σ) x+ y z+ ω = x y+ z = (τ) x 8 y+ z ω = x+y 8z= x+ y z= (υ) x+ y+ z= x+ y + z = y z+ φ= x y+ z ω+ φ = x y+ z+ ω φ= Στέφανος Ι Καρναβάς Μαθηµατικός (ΜΕd) Επίκουρος Καθηγητής ΑΕΝ Οινουσσών 6
7 4 ίνεται ο Α= 4 9 Να βρεθούν οι τιµές του R ώστε ΑΒ= Β όπου 4 x Β= y Ο z 4 Αν το σύστηµα αx+ β y+ γ z= όπου αβγ R έχει τις διαφορετικές ύσεις β x+ γ y+ α z= ( x y z ) ( x y z ) να δειχθεί ότι ( x + y ) ( x+ y) = z z 4 Να υθούν τα συστήµατα: (α) ( + ) x+ ( ) ψ = ( ) x+ (+ ) ψ = + x+ ( + ) y= (β) (γ) ( + ) x ( ) y= x+ y z= 6 (δ) x y+ z= 4 x+ 4y+ 8z= x+ y+ 7z= (ε) x+ y= 7 x+ y= (στ) x ( ) y= 4 x+ y z= x 4y+ z= 8 (ζ) x y+ z= x+ y+ z= x+ y+ z= x+ y+ z= (η) α x+ y+ z= x+ α y+ z= (θ) x+ y+ α z= 7x+ y z= x+ y+ z + ω= x+ 4 y+ z= x y z ω = (ι) x y+ z= x+ y+ z+ ω= x+ y+ z= x+ y+ z+ ω= (κ) x+ y z= x y z + + = x+ y z= 6 x y z= () x+ y+ z= x+ ( + ) y+ z= α (µ) x+ y+ z= α x+ βy+ γ z= α β β x+ γ y+ α z= β γ γ x+ α y+ β z= γ α όπου α+ β+ γ 44 Να υθούν µε την µέθοδο επαυξηµένου πίνακα τα συστήµατα: x+ y= 7 x+ y= x+ 4y ω= 6 (α) (β) (γ) x y= x y= x+ y+ ω = 8 4x+ y= 7 Στέφανος Ι Καρναβάς Μαθηµατικός (ΜΕd) Επίκουρος Καθηγητής ΑΕΝ Οινουσσών 7
8 (δ) x+ y= 8 x y= (ε) x+ y= x y ω = x+ ω = y (στ) x 8= y ω ( x y) + 4( x y) = 48 ( x+ y) ( x+ y) = 4 Στέφανος Ι Καρναβάς Μαθηµατικός (ΜΕd) Επίκουρος Καθηγητής ΑΕΝ Οινουσσών 8
= = = A X = B X = A B=
Επίλυση γραµµικών συστηµάτων µε αντίστροφο πίνακα Αν ο ν ν πίνακας A είναι αντιστρέψιµος το γραµµικό σύστηµα που γράφεται µε τη µορφή A X = B έχει µοναδική λύση X = A B A είναι ο πίνακας συντελεστών των
Διαβάστε περισσότεραΠ Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α
Α Ρ Χ Α Ι Α Ι Σ Τ Ο Ρ Ι Α Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α Σ η µ ε ί ω σ η : σ υ ν ά δ ε λ φ ο ι, ν α µ ο υ σ υ γ χ ω ρ ή σ ε τ ε τ ο γ ρ ή γ ο ρ ο κ α ι α τ η µ έ λ η τ ο ύ
Διαβάστε περισσότεραx x = ( x) = 0, = = f x x x = συν x e e = ;
Θεώρηµα του Pierre Fermat Αν µία συνάρτηση f : ορίζεται σε ένα ανοικτό διάστηµα παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο είναι παραγωγίσιµη στο τότε f ( ) = Σχόλια Μία συνάρτηση µπορεί να έχει ακρότατο σε σηµείο
Διαβάστε περισσότερα2.2. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Oµάδας
. Ασκήσεις σχοικού βιβίου σείδας 69 7 A Oµάδας. Να αποδείξτε ότι, για κάθε πραγµατική τιµή του µ η εξίσωση (µ ) + µ + µ παριστάνει ευθεία γραµµή. Πότε η ευθεία αυτή είναι παράηη προς τον άξονα, πότε προς
Διαβάστε περισσότεραΑ Ρ Ι Θ Μ Ο Σ : 6.913
Α Ρ Ι Θ Μ Ο Σ : 6.913 ΠΡΑΞΗ ΚΑΤΑΘΕΣΗΣ ΟΡΩΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ Σ τ η ν Π ά τ ρ α σ ή μ ε ρ α σ τ ι ς δ ε κ α τ έ σ σ ε ρ ι ς ( 1 4 ) τ ο υ μ ή ν α Ο κ τ ω β ρ ί ο υ, η μ έ ρ α Τ ε τ ά ρ τ η, τ ο υ έ τ ο υ ς δ
Διαβάστε περισσότερα1. Αν α 3 + β 3 + γ 3 = 3αβγ και α + β + γ 0, δείξτε ότι το πολυώνυµο P (x) = (α - β) x 2 + (β - γ) x + γ - α είναι
_ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Αν α + β + γ = αβγ και α + β + γ 0, δείξτε ότι το πολυώνυµο P () = (α - β) + (β - γ) + γ - α είναι το µηδενικό πολυώνυµο.. Να δειχθεί ότι το πολυώνυµο P () = (κ - ) + (λ + 6) +
Διαβάστε περισσότεραΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ
ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ Κάθε εξίσωση της µορφής α + β = γ όπου α + β 0 ( α, β όχι συγχρόνως 0) παριστάνει ευθεία. (Η εξίσωση λέγεται : ΓΡΑΜΜΙΚΗ) ΕΙ ΙΚΑ γ Αν α = 0 και β 0έχουµε =. ηλαδή µορφή = c.
Διαβάστε περισσότερα( x) ( ) ( ) ( ) ( ) Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. f x+ h f x. 5x 3 2. x x 2x. 3 x 2. x 2x. f x = log x. f x = ln x 4. log 9. 2x 7x 15. x x.
Κεφάλαιο - Συναρτήσεις I Πεδίο ορισµού συνάρτησης Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ίνονται οι συναρτήσεις: f( ) = +, (ii) f( ) = Να βρεθούν τα f( 0 ), f( ), f( ), f( α ), f( α+ β), f( α 5) ( ) ( ) f + h f, h Να
Διαβάστε περισσότεραΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος
Κεφάλαιο 2ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ Ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος 1. * Οι πραγματικοί αριθμοί είναι σταθερά πολυώνυμα. Σ Λ 2. * Το σταθερό πολυώνυμο 0 λέγεται μηδενικό πολυώνυμο. Σ Λ 3. * Κάθε σταθερό και μη μηδενικό
Διαβάστε περισσότεραΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος
Κεφάλαιο ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ Ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος 1. * Οι πραγματικοί αριθμοί είναι σταθερά πολυώνυμα. Σ Λ. * Το σταθερό πολυώνυμο 0 λέγεται μηδενικό πολυώνυμο. Σ Λ 3. * Κάθε σταθερό και μη μηδενικό
Διαβάστε περισσότεραΕρωτήσεις αντιστοίχισης
Ερωτήσεις αντιστοίχισης 1. ** Να αντιστοιχίσετε κάθε ευθεία που η εξίσωσή της βρίσκεται στη του πίνακα (Ι) µε τον συντελεστή της που βρίσκεται στη, συµπληρώνοντας τον πίνακα (ΙΙ) (α, β 0). 1. ε 1 : y =
Διαβάστε περισσότεραf g µε ( ) ( ) { } gof f ( x ) g( f(x)) A 1 { }
ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ίνονται οι συναρτήσεις, R D Σύνθεση της µε τη ονοµάζεται µία νέα συνάρτηση οποίο ισχύει ότι D µε { } Σ= o η οποία είναι ορισµένη D για το και της οποίας η τιµή για κάθε τέτοιο ισούται
Διαβάστε περισσότερα2. Α ν ά λ υ σ η Π ε ρ ι ο χ ή ς. 3. Α π α ι τ ή σ ε ι ς Ε ρ γ ο δ ό τ η. 4. Τ υ π ο λ ο γ ί α κ τ ι ρ ί ω ν. 5. Π ρ ό τ α σ η. 6.
Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α 1. Ε ι σ α γ ω γ ή 2. Α ν ά λ υ σ η Π ε ρ ι ο χ ή ς 3. Α π α ι τ ή σ ε ι ς Ε ρ γ ο δ ό τ η 4. Τ υ π ο λ ο γ ί α κ τ ι ρ ί ω ν 5. Π ρ ό τ α σ η 6. Τ ο γ ρ α φ ε ί ο 1. Ε ι σ α γ ω
Διαβάστε περισσότερα1. ** ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Αν Μ και Ν είναι τα µέσα των πλευρών ΒΓ και ΓΑ να αποδείξετε ότι:
Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Αν Μ και Ν είναι τα µέσα των πλευρών ΒΓ και ΓΑ να αποδείξετε ότι: α) ΑΜ = 1 2 ( ΑΒ + ΑΓ ) β) ΜΝ = 1 2 ΒΑ 2. ** ίνονται τα διανύσµατα ΑΒ και Α Β. Αν Μ και Μ
Διαβάστε περισσότερα1.3 Εσωτερικό Γινόμενο
1 Εσωτερικό Γινόμενο 1 Αν α = ( 1, ) i α β iii και β = ( 1, ), να υπολογίσετε τα εσωτερικά γινόμενα: ii ( α )( β ) α β α + β α iv Αν α =, β = 1 και ( αβ, ) = 15 ο, να υπολογίσετε το α β Με βάση το διπλανό
Διαβάστε περισσότερα11. Η έννοια του διανύσµατος 22. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο
Παραουσίαση βιβίου Μαθηµατικών Προσαναταισµού Β Λυκείου. Η έννοια του διανύσµατος. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός ποαπασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο Παραουσίαση βιβίου
Διαβάστε περισσότεραΘ έ µ α τ α Τ ύ π ο υ Σ ω σ τ ό Λ ά θ ο ς
Θ έ µ α τ α Τ ύ π ο υ Σ ω σ τ ό Λ ά θ ο ς Να χαρακτηρίσετε µε Σ (Σωστό) ή Λ (Λάθος) τους παρακάτω ισχυρισµούς:. Για κάθε α R ισχύει ότι : α =α.. Για κάθε α R ισχύει ότι : α = α.. Για κάθε α R ισχύει ότι
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ....................................................
Διαβάστε περισσότεραα β. M x f x. f x x x = = =.
Κυρτές συναρτήσεις σηµεία καµπής, Έστω συνάρτηση f συνεχής στο [ α β ] και παραγωγίσιµη στο ( α, β ) (α) Αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο ( α, β ), τότε η fείναι κυρτή ή στρέφει τα κοίλα πάνω στο [ α,
Διαβάστε περισσότεραΤριγωνοµετρική (ή πολική) µορφή µιγαδικού αριθµού. Έστω z = x+ yi ένας µη µηδενικός µιγαδικός αριθµός και OM
1 Τριγωνοµετρική (ή πολική µορφή µιγαδικού αριθµού Έστω z = x+ yi ένας µη µηδενικός µιγαδικός αριθµός και OM η αντίστοιχη διανυσµατική ακτίνα του Ονοµάζοµε όρισµα του µιγαδικού αριθµού z κάθε µια από τις
Διαβάστε περισσότερα, ορίζουμε deta = ad bc. Πρόταση Ένας πίνακας Α είναι αντιστρέψιμος τότε και μόνο αν deta 0.
Για κάθε πίνακα Α ορίζουμε μία τιμή που λέγεται ορίζουσα και συμβολίζεται deta ή Α Ο ορισμός γίνεται επαγωγικά για = 2, 3, 4, και ισχύουν τα εξής: a b Για 22 πίνακα Α = c d, ορίζουμε deta = ad bc a 1 b
Διαβάστε περισσότερα2.1 Πολυώνυμα. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα; 3 2 ii. x iii. 3 iv. vi.
.1 Πολυώνυμα 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα; i. 1 x + x ii. x + 7 x iii. 5 x + 7x x iv. 1 x + x v. 1 4 4 x + x + 4x vi. 1 x + 5x. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα
Διαβάστε περισσότεραΕρωτήσεις πολλαπλής επιλογής
Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1. * Η µέθοδος της µαθηµατικής επαγωγής χρησιµοποιείται για την απόδειξη προτάσεων Ρ (ν), όταν Α. ν R Β. ν Q Γ. ν R*. ν N Ε. κανένα από τα προηγούµενα 2. * Για τους ακεραίους
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις Άλγεβρας Α Λυκείου 2 oυ και 3 oυ Κεφαλαίου 1
Ασκήσεις Άλγεβρας Α Λυκείου oυ και 3 oυ Κεφαλαίου έµης Απόστολος, Ζάχος Ιωάννης, Κατσαργύρης Βασίλειος, Κόσυβας Γεώργιος, Λυγάτσικας Ζήνων Πειραµατικό Γενικό Λύκειο Βαρβακείου Σχολής Οκτώβριος 004 Νοεµβρίου
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Να αποδείξετε ότι: 4 4. Αν x, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: x x. Να απλοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις: 8 8 8, 7 48 4. 4. Να υπολογίσετε τα αναπτύγματα: i. x ii. α β
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις Άλγεβρας Α Λυκείου 2 oυ και 3 oυ Κεφαλαίου 1
Ασκήσεις Άλγεβρας Α Λυκείου oυ και 3 oυ Κεφαλαίου έµης Απόστολος, Ζάχος Ιωάννης, Κατσαργύρης Βασίλειος, Κόσυβας Γεώργιος, Λυγάτσικας Ζήνων Πειραµατικό Γενικό Λύκειο Βαρβακείου Σχολής Οκτώβριος 004 4 εκεµβρίου
Διαβάστε περισσότεραΕΥΘΕΙΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»
Κεφάλαιο ο: ΕΥΘΕΙΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος». * Συντελεστής διεύθυνσης µιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτοµένη της γωνίας που σχηµατίζει η ευθεία (ε) µε τον άξονα x x. Σ Λ. * Ο συντελεστής διεύθυνσης
Διαβάστε περισσότερα(x - 1) 2 + (y + 1) 2 = 8.
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Θέµα 1 Για τις διάφορες τιµές του λ R να βρεθούν οι σχετικές θέσεις της ευθείας ε: y=λx-2 και του κύκλου C: x 2 +y 2 =1 Θέµα 2 Να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑΚΙΑ ΓΕΝΙΚΑ. x 0. 2 x
ΘΕΜΑ A ΘΕΜΑΤΑΚΙΑ ΓΕΝΙΚΑ. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: f ( ) ln,,. Να δείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε το πεδίο ορισμού της αντίστροφής της.. Να δικαιολογήσετε ότι η εξίσωση f ( ) a, a,
Διαβάστε περισσότερα1. Η ευθεία y = 5 είναι κάθετη στον άξονα y y. Σ Λ. 2. Η ευθεία x = - 2 είναι παράλληλη προς τον άξονα x x. Σ Λ
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ Ερωτήσεις του τύπου «σωστό-λάθος» 1. Η ευθεία y = 5 είναι κάθετη στον άξονα y y. Σ Λ 2. Η ευθεία x = - 2 είναι παράλληλη προς τον άξονα x x. Σ Λ 3. Οι ευθείες x = κ και y
Διαβάστε περισσότερα1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ
.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Ονοµάζουµε εσωτερικό γινόµενο των διανυσµάτων α, και συµολίζουµε µε α τον πραγµατικό αριθµό : α = ( α συν α ) αν α και α = αν α = ή =. Ιδιότητες α = α Αν α τότε Αν
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΠΣΕ ΑΝΑΚΕΥΑΛΑΙΩΣΙΚΕ ΕΞΕΣΑΕΙ ΠΕΡΙΟΔΟΤ ΜΑΪΟΤ ΙΟΤΝΙΟΤ ΘΕΩΡΙΑ. Β. Να συμπληρώσετε στο γραπτό σας τις παρακάτω σχέσεις ώστε να προκύψουν ταυτότητες:
ΓΡΑΠΣΕ ΑΝΑΚΕΥΑΛΑΙΩΣΙΚΕ ΕΞΕΣΑΕΙ ΠΕΡΙΟΔΟΤ ΜΑΪΟΤ ΙΟΤΝΙΟΤ ΣΑΞΗ: Γ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α. Τι λέγεται ταυτότητα; Β. Να συμπληρώσετε στο γραπτό σας τις παρακάτω σχέσεις ώστε να προκύψουν ταυτότητες: Γ. Να αποδείξετε
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΑ Β Λυκείου ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 2. Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων : α) συν π 18 συνπ 9 - ηµ π. 18 ηµπ 9. β) συν18 ο συν27 ο - ηµ18 ο ηµ27 ο
ΠΑΝΤΕΛΗΣ ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β Λυκείου Γενικής Παιδείας Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο ο - Φ Υ Λ Λ Ο Νο 6 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΓΩΝΙΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων : α) συν
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 6 η ΕΚΑ Α
1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 6 η ΕΚΑ Α 51. Να γίνει γινόµενο παραγόντων η παράσταση α β + αβ α β Αν α β + β α = α + β, να δείξετε ότι οι αριθµοί α και β είναι ίσοι ή αντίθετοι. α β + αβ α β = αβ(α + (α + β )
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ
ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ Θέμα 1 ο α ) Ποια παράσταση καλείται μονώνυμο; Δώστε παράδειγμα. β ) Πότε δυο μονώνυμα είναι όμοια ; Δώστε παράδειγμα όμοιων μονωνύμων. γ ) Για ποιες τιμές των μεταβλητών
Διαβάστε περισσότεραΓ Ε Ν Ι Κ Ο Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ι Α Σ - Θ Ε Τ Ι Κ Η Σ Γ Τ Α Ξ Η Β. Ρ.
Γ Ε Ν Ι Κ Ο Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ι Α Σ - Θ Ε Τ Ι Κ Η Σ 6 Γ Τ Α Ξ Η Β. Ρ. Θ Ε Μ Α ο Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη στο Δ. Αν η f είναι συνεχής στο Δ και f (χ)= για κάθε εσωτερικό σημείο του
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΘΕΜΑ o Α. Τι ονοµάζουµε εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων α, β. Μονάδες 4 Β. Να αποδείξετε ότι το εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις ευτέρου Βαθµού
ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις ευτέρου Βαθµού 108 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ 1. Να λυθεί η εξίσωση: 1 1 1 ( x+ )(x ) = x 3 3 9. Αν η εξίσωση (x - 3) λ + 3 = λ x έχει ρίζα τον αριθµό, να υπολογιστεί
Διαβάστε περισσότερα2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης
η δεκάδα θεµάτων επανάληψης. ίνεται ο κύκλος x + y = 5 και οι εφαπτόµενες σ αυτόν από το σηµείο Μ(0, 0). Αν Α και Β είναι τα σηµεία επαφής, να βρείτε Τις εξισώσεις των εφαπτόµενων Τις συντεταγµένες των
Διαβάστε περισσότερα1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.
Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή
Διαβάστε περισσότεραΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΕΣ ΙΑΦΟΡΕΣ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΑΦΟΡΩΝ
ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΕΣ ΙΑΦΟΡΕΣ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΑΦΟΡΩΝ Α. Πεπερασµένες διαφορές Εστω δεδοµένος πραγµατικός αριθµός. Για τυχούσα συνάρτηση f = f() ορίζουµε ως διαφορά (πρώτης τάξης) της f() την συνάρτηση f µε f() =
Διαβάστε περισσότερα5. Σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων να σχεδιαστούν οι ευθείες που έχουν εξισώσεις τις: β. y = 4 δ. x = y
. Δύο φίλοι, ο Μάρκος και ο Βασίλης, έχουν άθροισμα ηλικιών 7 χρόνια, και ο Μάρκος είναι μεγαλύτερος από το Βασίλη. Μπορείτε να υπολογίσετε την ηλικία του καθενός; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. β.
Διαβάστε περισσότεραÅÓÙÔÅÑÉÊÏ ÃÉÍÏÌÅÍÏ ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÙÍ ΟΡΙΣΜΟΣ
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου-Απ Παπανικολάου ÅÓÙÔÅÑÉÊÏ ÃÉÍÏÌÅÍÏ ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÙÍ ΟΡΙΣΜΟΣ Ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο μη μηδενικών διανυσμάτων και και το συμβολίζουμε με α β τον πραγματικό αριθμό αβ
Διαβάστε περισσότερα5 Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας
5 Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρηµα Κάθε ευθεία έχει εξίσωση της µορφής: Ax + By +Γ= 0, µε Α 0 ηβ 0 () και αντιστρόφως κάθε εξίσωση της µορφής () παριστάνει ευθεία γραµµή.
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ
2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και
Διαβάστε περισσότεραπ (α,β). Έστω τα διανύσματα π (α,β) να βρεθούν:
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 1. Για τα διανύσματα α, β δίνεται ότι α =1, β = και u α β, v α - β.να υπολογίσετε: π (α,β). Έστω τα διανύσματα α. το εσωτερικό γινόμενο α β β. τα μέτρα u, v των διανυσμάτων
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Β ΦΑΣΗ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 016 Ε_.ΜλΘ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή 17 Απριλίου 016 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α1. Έστω a, v
Διαβάστε περισσότερα3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = α + β, Β = α β + αβ
TΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι Ο ρ ι σ μ ο ι. Να δειχτει οτι α + α. Ποτε ισχυει το ισον; Ονομαζουμε ημx την τεταγμενη π/ του Μ (εντονο. Aν μπλε) α, β θετικοι, να συγκρινεται
Διαβάστε περισσότεραα έχει μοναδική λύση την x α
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Να εξετάσετε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες είναι λάθος.. H εξίσωση ( α)( β) ( β)( γ) έχει τις ίδιες λύσεις με την εξίσωση α γ για οποιεσδήποτε τιμές των
Διαβάστε περισσότεραΒ. Στο διπλανό σχήμα παρουσιάζεται η γραφική παράσταση της
ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 96 Διαγώνισμα μαθηματικών Χρήστος Λαζαρίδης Α1. Να αποδείξετε ότι ένα πουώνυμο Ρ(x) έχει παράγοντα το x-μ άν και μόνο αν το ρ είναι ρίζα του Α. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές
Διαβάστε περισσότεραv Α. Τι ονοµάζουµε εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων, β
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ o α Α Τι ονοµάζουµε εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων, β Μονάδες 4 Β Να αποδείξετε ότι το εσωτερικό γινόµενο
Διαβάστε περισσότεραΛύση. Λύση Άσκηση 3. Λύση. ( Α Α Α Ι ) Α. Α Α=Ιν. Άσκηση 4. επαληθεύει τη σχέση Χ. Λύση.
Άσκηση Α A, B ατιστρέψιµοι πίακες µε AB= A, BA= B είξτε ότι A = A, B = B ος τρόπος Α = Α Α=( Α Β) Α= Α Β Α Α = Α Οµοίως Α= Α Β= Α ( Β Α)= Α Β Α B = B ος τρόπος Α =Α Α= ( Α Β) Α=Α ( Β Α ) =Α Β=Α Οµοίως
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 4 η ΕΚΑ Α
1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 4 η ΕΚΑ Α 31. Μία κυλινδρική δεξαµενή έχει µήκος βάσης 1,56 m. Η δεξαµενή είναι γεµάτη κατά τα 6 7 και περιέχει 75,36 m3 νερό. Να υπολογίσετε το βάθος της δεξαµενής. Να υπολογίσετε
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Γεώργιος Α. Κόλλιας - μαθηματικός. 150 ασκήσεις επανάληψης. και. Θέματα εξετάσεων
Γεώργιος Α. Κόλλιας - μαθηματικός Περιέχονται 50 συνδυαστικές ασκήσεις επανάληψης και θέματα εξετάσεων. Δεν συμπεριλαμβάνεται το κεφάλαιο των πιθανοτήτων, της γεωμετρικής προόδου, της μονοτονίας συνάρτησης,
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΔΙΑΦΟΡΑΣ ΓΩΝΙΩΝ
Υπολογισμός παραστάσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΔΙΑΦΟΡΑΣ ΓΩΝΙΩΝ. Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων : 4 6 6 4 δ) ε) 4 6 4. Να υπολογίσετε τις τιμές των
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ
ΘΕΜΑ A ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. α) Έστω η συνάρτηση f ( ) = µε R και p.να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο R και ισχύει f '( ) = ln. β) Έστω οι συναρτήσεις f,
Διαβάστε περισσότερα( ) 10 ( ) εποµ ένως. π π π π ή γενικότερα: π π. π π. π π. Άσκηση 1 (10 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i.
http://elern.mths.gr/, mths@mths.gr, Τηλ: 697905 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ 00-0: Άσκηση (0 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i. α) (5 µον) Βρείτε την τριγωνοµετρική µορφή του z.
Διαβάστε περισσότερα1. Να λυθεί και να διερευνηθεί η εξίσωση: ( 2x 1 ) µ 2 = 5( 10x µ
1. Να λυθεί και να διερευνηθεί η εξίσωση: ( x 1 ) µ = 5( 10x µ ) Μετασχηµατίζουµε την εξίσωση στη µορφή αx = β. ( x 1 ) µ 5( 10x µ ) ( µ 50) x = µ 5µ () 1 = µ x µ = 50x 5µ µ x 50x = µ 5µ Λύνουµε την εξίσωση:
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2005
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 5 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ A στω µια συν ρτηση f, η οποία είναι ορισµ νη σε ένα κειστό δι στηµα [α, β] Αν: η f είναι συνεχής στο [α, β] και fα fβ δείξτε ότι για κάθε
Διαβάστε περισσότεραν ν Άσκηση 1. Α =Α, Β =Β. Λύση Άσκηση Α Β =Β Α, Α Β=ΒΑ. Β Α= ( Β Β)( ΑΒ ) Β Α=Ι( ΑΒ ) Β Α=ΑΒ. Άσκηση = Α Α Α Α=.
Άσκηση Α, Β ατιστρέψιµοι πίακες µε ΑΒ=Α, ΒΑ=Β είξτε ότι ος τρόπος Α = Α Α = ( Α Β) Α = Α Β Α Α = Α Οµοίως Α = Α Β = Α ( Β Α) = Α Β Α ος τρόπος Α =Α Α= ( Α Β) Α=Α ( Β Α ) =Α Β=Α Οµοίως Α =Α, Β =Β Β =Β Β
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα 1 ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ............................................
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης 999-000) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος».
Διαβάστε περισσότεραΆλγεβρα Β Λυκείου Επαναληπτικά θέματα ΟΕΦΕ α φάση
Άλγεβρα Β Λυκείου Επαναληπτικά θέματα ΟΕΦΕ 00-08 α φάση Συναρτήσεις Θεωρούμε τη συνάρτηση Α, 6 wwwaskisopolisgr f κ, με 4,4 και κ η οποία διέρχεται από το σημείο και τμήμα της γραφικής της παράστασης φαίνεται
Διαβάστε περισσότεραΠαραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Ι. Λυχναρόπουλος
Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Ι. Λυχναρόπουος Παράδειγμα Να βρείτε τις ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα του πίνακα 3. Επίσης να προσδιοριστούν οι ιδιοχώροι και οι γεωμετρικές ποαπότητες
Διαβάστε περισσότεραΓραµµικη Αλγεβρα Ι. Ακαδηµαϊκο Ετος Βοηθος Ασκησεων: Χ. Ψαρουδάκης
Γραµµικη Αλγεβρα Ι Ακαδηµαϊκο Ετος 2011-2012 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml 21-2 - 2012
Διαβάστε περισσότεραΘα ξέρεις τι λέγεται γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους. Λέγεται κάθε εξίσωση της μορφής αχ +βψ =γ. Θα ξέρεις τι είναι το σύστημα εξισώσεων
1. Θα ξέρεις τι λέγεται γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους. Λέγεται κάθε εξίσωση της μορφής αχ +βψ =γ. Θα ξέρεις τι είναι το σύστημα εξισώσεων Είναι ομάδα από δύο ή περισσότερες εξισώσεις των οποίων ζητάμε
Διαβάστε περισσότεραΣ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ
Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ. Να βρείτε το πεδίο ορισµού των παρακάτω συναρτήσεων: ( = g( = + 4 h( = t( = 5 φ( = ln σ( = ln(ln p( = ln m( = λ R λ - λ - k( = ln 4 s( = ηµ. Να εξετάσετε αν για τις παραπάνω συναρτήσεις
Διαβάστε περισσότεραΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ α + β + γ = 0 α 0 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΙΑΚΡΙΝΟΥΣΑΣ 1. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις ως προς ή y: α) - 4 = 0 β) 3 = 4 γ) + - 15 = 0 δ) 5-18 -
Διαβάστε περισσότεραΕπαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα
Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα A. Αν α, β i. αβ Θέµα ο µη µηδενικά διανύσµατα και ισχύει α+ β + α β =, τότε να δείξετε ότι: και ii. Αν α β τότε ισχύει α + β =. B. Να βρεθούν οι τιµές του λ ώστε η εξίσωση
Διαβάστε περισσότεραΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ
ΥΤΗΜΑΤΑ ΩΤΟ ΑΘΟ. Aν όταν α = β τότε το σύστημα, έχει μοναδική λύση.. Το σύστημα, έχει μοναδική λύση για κάθε α, β με α β 3. Το σύστημα, είναι αδύνατο όταν α = β και γ β 4. Το σύστημα, έχει απειρία λύσεων
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό σας. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1. Να συμπληρώσετε
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 10ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα Επιμέεια: Ι. Λυχναρόπουος. Έστω ο πίνακας 3. Δείξτε ότι το διάνυσμα v (,3) είναι ένα ιδιοδιάνυσμα που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή
Διαβάστε περισσότερα2.2 ιαίρεση Πολυωνύμων
ιαίρεση Πολυωνύμων 1 Να γίνουν οι διαιρέσεις: α) (x 5 - x + x - 9) : (x - 1) β) (x 4-7x + x - 15) : (x + 5) γ) (x - 4αx + α ) : (x - α) δ) [7x - (9α + 7α ) x + 9α ] : (x - α) Με τη βοήθεια του σχήματος
Διαβάστε περισσότεραΕπαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα
Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα Θέµα ο A. Αν α, β µη µηδενικά διανύσµατα και ισχύει α+ β + α β =, τότε να δείξετε ότι: i. αβ και ii. Αν α β τότε ισχύει α + β =. 4 4 B. Να βρεθούν οι τιµές του λ ώστε η
Διαβάστε περισσότεραΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Βλαχόπουλος Αποστόλης Δικαιοσυνόπουλος Νίκος Κολλινιάτη Γιωργία Μάκος Σπύρος Μαρωνίτη
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο.Π. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Γιάννης Ζαµπέλης Μαθηµατικός
ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 5 Γιάννης Ζαµπέλης Μαθηµατικός 867 (Αναρτήθηκε 8 4 ) ίνονται τα διανύσµατα a και b µε µέτρα, 6 αντίστοιχα και ϕ [, π] a b+ x+ a b y 5= () δίνεται η εξίσωση ( ) ( ) α) Να αποδείξετε
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΘΕ ΠΛΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ µον Να βρεθούν οι τιµές της παραµέτρου έτσι ώστε το σύστηµα ² α Να έχει άπειρες ύσεις οι οποίες αι να
Διαβάστε περισσότεραΓ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α
ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση f παραγωγίσιµη σ ένα διάστηµα (α, β), µε εξαίρεση ίσως ένα σηµείο του, στο
Διαβάστε περισσότερα1 ΘΕΩΡΙΑΣ...με απάντηση
1 ΘΕΩΡΙΑΣ.....με απάντηση ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 0 Εξισώσεις Ανισώσεις 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών.
Διαβάστε περισσότερα2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης
1 2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 11. Α. Αν α > 0 µε α 1 τότε για οποιουσδήποτε πραγµατικούς αριθµούς θ 1, θ 2 > 0 να αποδείξετε ότι log α (θ 1 θ 2 ) = log α θ 1 + log α θ 2 Β. Έστω το σύστηµα Σ : α1x +
Διαβάστε περισσότεραΜαθηµατικά Θετικής & Τεχν/κής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 2001
Μαθηµατικά Θετικής & Τεχν/κής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 00 Ζήτηµα ο Α.. Έστω α, β, γ ακέραιοι αριθµοί. Να δείξετε ότι ισχύουν οι επόµενες ιδιότητες: α. Αν α β, τότε α λβ για κάθε ακέραιο λ. β. Αν α β και α
Διαβάστε περισσότεραΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 7 ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΥ 2014
ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 7 ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΥ 04 ΘΕΜΑ Α Α. Θεωρία από το σχολικό βιβλίο σελίδα 60. Α. α) Θεωρία από το σχολικό βιβλίο σελίδα 3. β) Θεωρία από το σχολικό
Διαβάστε περισσότερα1. Αν είναι. 2. Να λύσετε τις εξισώσεις: 3. Αν α= 4. Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η σχέση ηµα.συνβ=1+συνα.ηµβ, δείξτε
Τ Ρ Ι Γ Ω Ν Ο Μ Ε Τ Ρ Ι Α Αν είναι π π α < β <
Διαβάστε περισσότεραΗ εξίσωση 2ου βαθμού στο επίπεδο
Η εξίσωση ου βαθμού στο επίπεδο Στο επίπεδο θεωρούμε ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων xοy, και την εξίσωση ax +βxy+γy +δx+εy+η=0 () με α, β,γ R α +β +γ 0 Το ερώτημα στο οποίο θέλουμε να απαντήσουμε είναι
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ α ) η μ + συν = γ ) εφ + =, ¹ κπ+ sun hm β ) εφ =, ¹ κπ+ sun sun δ ) σφ =, ¹
Διαβάστε περισσότεραΕπαναληπτικές Ασκήσεις
Επαναληπτικές Ασκήσεις Έστω ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου ( x ) α Να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης β Να βρείτε τα 0 και Ρ γ Αν το πολυώνυμο ( x) είναι x να βρείτε: x + x είναι 3x
Διαβάστε περισσότεραΜΕΡΟΣ Α. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΜΕΡΟΣ Α ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών. Ονομάζεται αλγεβρική παράσταση μια παράσταση
Διαβάστε περισσότεραΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΑΞΕΙΣ
ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΑΞΕΙΣ Να δείξετε ότι (x 2) 3 + (3x 4) 3 + (6 4x) 3 = 3(x 2)(3x 4)(6 4x). Λύση Στο 1 0 μέλος βλέπουμε άθροισμα κύβων 3 αριθμών, εξετάζουμε αν έχουν άθροισμα 0, (x 2) + (3x 4) + (6
Διαβάστε περισσότεραx 1 vii) f(x) 5 x 4 viii) 2 + γ) f (x) = στ) f (x) = e x -1 Β. Γραφική παράσταση Γ. Ίσες συναρτήσεις x 3 x 3 f(x), g(x) ιι)
Α.Πεδίο ορισμού. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους ι) f() = v) f() 4 6 6 5 log 4 ii) f() = iii) f() = log ( ) iv) f() = log ( log 4(- )) vi) f() = 4 vii) f() 5 4 viii) f() ημ.
Διαβάστε περισσότερα1 Ασκήσεις. Άσκηση 1.1 Να επιλυθούν τα παρακάτω γραμμικά συστήματα.
1 Ασκήσεις Άσκηση 1.1 Να επιλυθούν τα παρακάτω γραμμικά συστήματα. x 1 2x 2 + x =1 x 1 + x 2 x =0 (i) x 1 + x 2 x =2 (ii) 2x 1 2x 2 + x = 2x 1 x 2 + x =1 x 1 4x 2 +2x =4 Άσκηση 1.2 Να βρεθεί η γενική λύση
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων
Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων Άσκηση i. Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση f : A IR. Να αποδείξετε ότι
Διαβάστε περισσότερα1.0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία
0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία Ένας αρατηρητής βρίσκεται σε μια όχθη ενός οταμού και βλέει στην αέναντι όχθη ένα δέντρο υό γωνία ύψους 60 ο Αν αομακρυνθεί κατά 40m, βλέει το ίδιο δέντρο υό γωνία
Διαβάστε περισσότεραΕπαναληπτικά Θέματα Μαθηματικών Γ Λυκείου Κατεύθυνσης
6 Επαναληπτικά Θέματα Μαθηματικών Γ Λυκείου Κατεύθυνσης ΘΕΜΑ Έστω η συνεχής συνάρτηση f : (, ) R τέτοια ώστε για κάθε να ισχύει: t f ( ) dt. f () t te ( ) α) Να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει: β) Να αποδείξετε
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ( 2 ) ( 2 ) y να υπολογιστεί η α) Για ποιες τιμές του χ δεν ορίζεται η διπλανή παράσταση. Β) Να απλοποιηθεί η διπλανή παράσταση.
Ασκήσεις 1. Να υπολογιστεί η παράσταση: 5 6 6. Να αποδειχθεί ότι: ( ) ( ) (90 ) (90 ) (180 ) 1 (180 ) (180 ) ( ) ( ) ( ) ( ). Να λυθούν τα συστήματα :. Να λυθούν οι εξισώσεις: 1 y 1 5y 7 0 y 1 0 5 6 y
Διαβάστε περισσότερα1.1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1.2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων : π α) f() = + ηµ β) g() = + συν( ) 6 π π γ) f() = ηµ( ) δ) g() = συν( ) Να γίνει η µελέτη και η γραφική παράσταση
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού
ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού 97 98 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ 1. Να λυθεί η εξίσωση: 1 1 1 ( x+ )(x ) = x 3 3 9. Αν η εξίσωση (x - 3) λ + 3 = λ x έχει ρίζα τον αριθμό, να υπολογιστεί
Διαβάστε περισσότεραx y z xy yz zx, να αποδείξετε ότι x=y=z.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦ. ο A. Ταυτότητες, ιδιότητες δυνάμεων, διάταξη.1 Να παραγοντοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις: 1. 15a x 15a y 5a x 5a y. a x a x a x a x 3 3 4 3 3 3 3. x 4xy 16 4 y
Διαβάστε περισσότερα3Νο. ασκήσεις Α Ν Α Λ Υ Σ Η 1Ο Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο. Θετική Τεχνολογική Κατεύθυνση ( ) ( 0)
Λ Υ Κ Ε Ι Ο Α Ν Α Λ Υ Σ Η 1Ο Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Π Δ ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Θετική Τεχνολογική Κατεύθυνση ασκήσεις (ΝΑ ΛΥΘΟΥΝ ΜΕΤΑ ΑΠΟ ΤΙΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΕΣ ΤΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ) 3Νο ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1 Να μελετήσετε
Διαβάστε περισσότερα1 x και y = - λx είναι κάθετες
Κεφάλαιο ο: ΕΥΘΕΙΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» 1. * Συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία (ε) με τον άξονα. Σ Λ. * Ο συντελεστής διεύθυνσης
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ η Εηνική Μαθηματική Ουμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" ΣΑΒΒΑΤΟ, ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 009 ΟΙ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ Θέματα μεγάων τάξεων ΠΡΟΒΛΗΜΑ Να προσδιορίσετε τις τιμές του θετικού ακέραιου 9n Α n 7 είναι
Διαβάστε περισσότερα