ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Β Τάξη Ενιαίου Λυκείου Θετική Κατεύθυνση ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Transcript

1 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Τάξη Ειίου Λυκείου Θετική Κτεύθυση ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΕΚΔΟΣΕΩΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΩΝ ΒΙΒΛΙΩΝ ΑΘΗΝΑ

2 Με πόφση της ελληικής κυερήσεως τ διδκτικά ιλί του Δημοτικού, του Γυμσίου κι του Λυκείου τυπώοτι πό το Οργισμό Εκδόσεως Διδκτικώ Βιλίω κι διέμοτι δωρεά

3 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Τάξη Ειίου Λυκείου Θετική Κτεύθυση ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

4 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΑΔΑΜΟΠΟΥΛΟΣ ΛΕΩΝΙΔΑΣ ΒΙΣΚΑΔΟΥΡΑΚΗΣ ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ ΓΑΒΑΛΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΠΟΛΥΖΟΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΣΒΕΡΚΟΣ ΑΝΔΡΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Τάξη Ειίου Λυκείου Θετική Κτεύθυση ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΕΚΔΟΣΕΩΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΩΝ ΒΙΒΛΙΩΝ ΑΘΗΝΑ

5 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Σελίδ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : Διύσμτ Η Έοι του Διύσμτος Πρόσθεση κι Αφίρεση Διυσμάτω 6 Πολλπλσισμός Αριθμού με Διάυσμ Συτετγμέες στο Επίπεδο 9 5 Εσωτερικό Γιόμεο Διυσμάτω ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : Η Ευθεί στο Επίπεδο Εξίσωση Ευθείς 57 Γεική Μορφή Εξίσωσης Ευθείς 65 Εμδό Τριγώου 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : Κωικές Τομές Ο Κύκλος 8 Η Προλή 89 Η Έλλειψη Η Υπερολή 5 Η Εξίσωση Α B ΓΔE 5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : Θεωρί Αριθμώ Η Μθημτική Επγωγή 5 Ευκλείδει Διίρεση Διιρετότητ 5 Μέγιστος Κοιός Διιρέτης - Ελάχιστο Κοιό Πολλπλάσιο 5 5 Πρώτοι Αριθμοί 6 6 Η Γρμμική Διοφτική Εξίσωση 7 7 Ισοϋπόλοιποι Αριθμοί 75 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο : Μιγδικοί Αριθμοί

6 5 Η Έοι του Μιγδικού Αριθμού 85 5 Πράξεις στο Σύολο C τω Μιγδικώ 88 5 Μέτρο Μιγδικού Αριθμού 97 5 Τριγωομετρική Μορφή Μιγδικού 55 Πολυωυμικές Εξισώσεις στο C ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5

7 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το ιλίο υτό περιλμάει τη ύλη τω Μθημτικώ, που προλέπετι πό το πρόγρμμ σπουδώ της Θετικής Κτεύθυσης της Β τάξης του Ειίου Λυκείου, του οποίου η εφρμογή ρχίζει πό το σχολικό έτος Κτά τη συγγρφή του κτλήθηκε προσπάθει, ώστε το περιεχόμεό του τποκρίετι στις δυτότητες τω μθητώ, γι τους οποίους προορίζετι, κι είι δυτή η ολοκλήρωση της διδσκλίς του στο χρόο, που προλέπετι πό το ωρολόγιο πρόγρμμ Το ιλίο ποτελείτι πό πέτε κεφάλι Το πρώτο κεφάλιο ποτελεί μι εισγωγή στο Διυσμτικό Λογισμό κι στη Αλυτική Γεωμετρί Τ διύσμτ έχου ιδιίτερη σημσί όχι μόο γι τ Μθημτικά λλά κι γι πολλές άλλες επιστήμες, φού προσφέρου τη δυτότητ μθημτικοποίησης μεγεθώ, τ οποί δε ορίζοτι μόο με τη ριθμητική τιμή τους Εξάλλου, η μφιμοοσήμτη τιστοιχί εός σημείου του επιπέδου με έ διτετγμέο ζεύγος πργμτικώ ριθμώ οδηγεί στη λγεροποίηση της Γεωμετρίς, δηλδή στη μελέτη τω γεωμετρικώ σχημάτω με λγερικές μεθόδους Στο δεύτερο κεφάλιο, φού δοθεί ο ορισμός της εξίσωσης μις γρμμής, μελετώτι οι ιδιότητες της ευθείς Στο τρίτο κεφάλιο συεχίζετι η ύλη της Αλυτικής Γεωμετρίς με τη σπουδή τω κωικώ τομώ, οι οποίες γι πρώτη φορά μελετήθηκ πό τους Αρχίους Έλληες Σήμερ το εδιφέρο γι τις κωικές τομές είι υξημέο εξιτίς του μεγάλου ριθμού τω θεωρητικώ κι πρκτικώ εφρμογώ τους Το τέτρτο κεφάλιο ποτελεί μί εισγωγή στη Θεωρί Αριθμώ, στη άπτυξη της οποίς μεγάλη είι η συμολή τω Αρχίω Ελλήω Κύριος στόχος της διδσκλίς της εότητς υτής είι η άσκηση τω μθητώ στη ποδεικτική διδικσί Στο πέμπτο, τέλος, κεφάλιο εισάγετι ο λογισμός με μιγδικούς ριθμούς, οι οποίοι ποτελού τη άση γι τη Μθημτική Αάλυση κι συγχρόως έ- χου πολλές πρκτικές εφρμογές στις άλλες επιστήμες Τ οποιδήποτε σχόλι, πρτηρήσεις ή κρίσεις γι το ιλίο, πό συδέλφους, πό μθητές κι πό κάθε πολίτη που εδιφέρετι γι τ ζητήμτ της πιδείς, θ είι πολύ ευπρόσδεκτ πό τη συγγρφική ομάδ Οι πρτηρήσεις ποστέλλοτι στο Πιδγωγικό Ιστιτούτο, Μεσογείω 96, 5 Αγί Πρσκευή Μάρτιος 998

8 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Εισγωγή Το διάυσμ είι έ χρκτηριστικό πράδειγμ έοις που πτύχθηκε μέσ πό τη στεή λληλεπίδρση Μθημτικώ κι Φυσικής Ο κός του πρλληλόγρμμου, σύμφω με το οποίο το μέτρο κι η κτεύθυση δύο δυάμεω που σκούτι σε έ σώμ εκφράζοτι πό τη διγώιο του πρλληλόγρμμου που σχημτίζου, ήτ γωστός με διάφορες μορφές στους Αρχίους Έλληες επιστήμοες Ο Ήρω ο Αλεξδρεύς, γι πράδειγμ, στο έργο του Μηχικά ποδεικύει με χρήση λογιώ τη κόλουθη γεωμετρική πρότση: Α έ σημείο Σ κιείτι με ομλή κίηση κτά μήκος μις ευθείς ΑΒ, εώ συγχρόως η ΑΒ κιείτι πράλληλ προς το ευτό της με το άκρο Α διγράφει μι ευθεί ΑΓ, τότε η πργμτική τροχιά του Σ (η συιστμέη κίηση θ είι η διγώιος ΑΔ του πρλληλόγρμμου ΑΒΓΔ Α Β Σ Αυτός ο κός χρησιμοποιήθηκε πολλούς ιώες γι το γεωμετρικό προσδιορισμό της συιστμέης, χωρίς όμως θεωρείτι έ έο είδος πρόσθεσης ευθυγράμμω τμημάτω, διφορετικό πό εκείο που χρησιμοποιείτι στη Ευκλείδει Γεωμετρί Γι γίει υτό, χρειάστηκε πό τη μι μεριά η ποδοχή κι συστημτική χρήση τω ρητικώ ριθμώ στ Μθημτικά κι πό τη άλλη η μελέτη φυσικώ ποσοτήτω όπως η τχύτητ, η δύμη, η ορμή κι η επιτάχυση, που χρκτηρίζοτι τόσο πό το μέτρο όσο κι πό τη διεύθυσή τους Αυτές οι εξελίξεις έφερ στο προσκήιο τις έοιες της προστολισμέης κίησης κι του προστολισμέου ευθύγρμμου τμήμτος, τις πρώτες ιδέες τω οποίω συτάμε σε έργ επιστημόω του 7ου ιώ όπως οι J Wallis, I Newton κι GW Leibniz Η άπτυξη εός συστημτικού λογισμού με προστολισμέ ευθύγρμμ τμήμτ άρχισε στ τέλη του 8ου ιώ, γι δοθεί μι γεωμετρική ερμηεί στους ρητικούς ριθμούς, λλά κι γι ρεθεί ές τρόπος λυτικής έκφρσης του μήκους κι της διεύθυσης τω ευθύγρμμω τμημάτω Πρωτοπορικό υπήρξε προς υτή τη κτεύθυση το έργο τω C Wessel (799 κι R Argand (86 Ξεκιώτς πό τη πλή περίπτωση τω Α Γ Β Δ

9 προστολισμέω τμημάτω που ρίσκοτι στη ίδι ευθεί, προχώρησ στο ορισμό τω πράξεω με τυχί τμήμτ του επιπέδου Συγκεκριμέ, οι ορισμοί του Wessel ήτ οι εξής: Το άθροισμ διδοχικώ προστολισμέω τμημάτω είι το τμήμ που εώει τη ρχή του πρώτου με το τέλος του τελευτίου B A Δ AΔΑΒΒΓΓΔ Γ ab Το γιόμεο δύο προστολισμέω τμημάτω που σχημτίζου γωίες φ κι ω τιστοίχως με έ μοδιίο τμήμ, είι το τμήμ που έχει μήκος το γιόμεο τω μηκώ τω δύο τμημάτω κι σχημτίζει γωί φ ω με το μοδιίο τμήμ φω ω φ b Στις εργσίες τω Wessel κι Argand (κι ορισμέες άλλες που δημοσιεύτηκ εκείη τη εποχή υπάρχου οι σικές ιδέες που συγκροτού σήμερ το Διυσμτικό Λογισμό του επιπέδου Η ουσιστική άπτυξη του κλάδου ρχίζει όμως μερικές δεκετίες ργότερ, ότ επιχειρείτι η γείκευση υτώ τω ιδεώ στο τρισδιάσττο χώρο κι η θεμελίωση μις γεικής μθημτικής θεωρίς Κθοριστικό υπήρξε προς υτή τη κτεύθυση του έργο του W Hamilton (8 κι του H Grassmann (8 Ο W Hamilton χρησιμοποίησε το όρο διάυσμ (vector Ο όρος vector προέρχετι κτά μί εκδοχή πό το λτιικό ρήμ vehere που σημίει μετφέρω Ο H Grassmann χρησιμοποίησε τους όρους εσωτερικό κι εξωτερικό γιόμεο Η πρπέρ εξέλιξη του Διυσμτικού Λογισμού επηρεάστηκε ποφσιστικά πό τις εξελίξεις στη Φυσική κτά το δεύτερο μισό του 9ου ιώ Η χρήση της θεωρίς του Hamilton πό το ιδρυτή της ηλεκτρομγητικής θεωρίς JC Mawell (87 οδήγησε σε ορισμέες τροποποιήσεις, με άση τις οποίες οι φυσικοί JW Gibbs κι O Heaviside δημιούργησ στις ρχές της δεκετίς του 88 τη σύγχροη θεωρί του Διυσμτικού Λογισμού (στοιχεί της οποίς προυσιάζοτι σ υτό το κεφάλιο Τέλος το 888, ο G Peano, με άση τη θεωρί του Grassmann θεμελίωσε ξιωμτικά τη έοι του διυσμτικού χώρου Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ

10 Ορισμός του Διύσμτος Υπάρχου μεγέθη, όπως είι η μάζ, ο όγκος, η πυκότητ, η θερμοκρσί κτλ, τ οποί προσδιορίζοτι πό το μέτρο τους κι πό τη τίστοιχη μοάδ μέτρησης Τ μεγέθη υτά λέγοτι μοόμετρ ή θμωτά Υπάρχου όμως κι μεγέθη, όπως είι η δύμη, η τχύτητ, η επιτάχυση, η μεττόπιση, η μγητική επγωγή κτλ, που γι τ προσδιορίσουμε, εκτός πό το μέτρο τους κι τη μοάδ μέτρησης, χρειζόμστε τη διεύθυση κι τη φορά τους Τέτοι μεγέθη λέγοτι διυσμτικά μεγέθη ή πλώς διύσμτ Στη Γεωμετρί το διάυσμ ορίζετι ως έ προστολισμέο ευθύγρμμο τμήμ, δηλδή ως έ ευθύγρμμο τμήμ του οποίου τ άκρ θεωρούτι διτετγμέ Το πρώτο άκρο λέγετι ρχή ή σημείο εφρμογής του διύσμτος, εώ το δεύτερο λέγετι πέρς του διύσμτος Το διάυσμ με ρχή το Α κι πέρς το Β συμολίζετι AB A (ρχή B (πέρς με AB κι πριστάετι με έ έλος που ξεκιάει πό το Α κι κτλήγει στο Β Α η ρχή κι το πέρς εός διύσμτος συμπίπτου, τότε το διάυσμ λέγετι μηδεικό διάυσμ Έτσι, γι πράδειγμ, το διάυσμ AA είι μηδεικό διάυσμ Γι το συμολισμό τω διυσμάτω χρησιμοποιούμε πολλές φορές τ μικρά γράμμτ του ελληικού ή του λτιικού λφάητου επιγρμμισμέ με έλος γι πράδειγμ,,,, uv,, Η πόστση τω άκρω εός διύσμτος AB, δηλδή το μήκος του ευθύγρμμου τμήμτος ΑΒ, λέγετι μέτρο ή μήκος του διύσμτος AB κι συμολίζετι με AB Α το διάυσμ AB έχει μέτρο, τότε λέγετι μοδιίο διάυσμ Η ευθεί πάω στη οποί ρίσκετι έ μη μηδεικό διάυσμ AB λέγετι φορές του AB A B ε

11 Ως φορέ εός μηδεικού διύσμτος AA μπορούμε θεωρούμε οποιδήποτε πό τις ευθείες που διέρχοτι πό το Α AA Α Α ο φορές εός διύσμτος AB είι πράλληλος ή συμπίπτει με μι ευθεί ζ, τότε λέμε ότι το AB είι πράλληλο προς τη ζ κι γράφουμε AB// ζ Δύο μη μηδεικά διύσμτ AB κι ΓΔ, που έχου το ίδιο φορέ ή πράλληλους φορείς, λέγοτι πράλληλ ή συγγρμμικά διύσμτ Στη περίπτωση υτή λέμε ότι τ AB κι ΓΔ έχου ίδι διεύθυση κι γράφουμε AB // ΓΔ Α Δ Β Α Δ Γ Β Γ Τ συγγρμμικά διύσμτ δικρίοτι σε ομόρροπ κι τίρροπ Συγκεκριμέ: Δύο μη μηδεικά διύσμτ AB κι ΓΔ Β λέγοτι ομόρροπ: ότ έχου πράλληλους φορείς κι Α Δ ρίσκοτι στο ίδιο ημιεπίπεδο ως προς τη Γ ευθεί ΑΓ που εώει τις ρχές τους ή Δ ότ έχου το ίδιο φορέ κι μί πό τις Γ Β ημιευθείες ΑΒ κι ΓΔ περιέχει τη άλλη Στη Α περίπτωση υτή λέμε ότι τ AB κι ΓΔ έχου τη ίδι κτεύθυση (ίδι διεύθυση κι ίδι φορά κι γράφουμε AB ΓΔ

12 Δύο μη μηδεικά διύσμτ AB κι ΓΔ λέγοτι τίρροπ, ότ είι συγγρμμικά κι δε είι ομόρροπ Στη περίπτωση υτή λέμε ότι τ διύσμτ AB κι ΓΔ έχου τίθετη κτεύθυση (ίδι διεύθυση κι τίθετη φορά κι γράφουμε AB ΓΔ Δ Δ Α Γ Γ Α Β Β Ίσ Διύσμτ Δύο μη μηδεικά διύσμτ λέγοτι ίσ ότ έχου τη ίδι κτεύθυση κι ίσ μέτρ Γι B Δ δηλώσουμε ότι δύο διύσμτ AB κι ΓΔ είι ίσ, γράφουμε AB ΓΔ Τ μηδεικά διύσμτ θεωρούτι ίσ μετξύ τους κι συμολίζοτι με Εύκολ ποδεικύετι ότι: Α B Α ΔΓ AB ΓΔ, τότε A Γ ΒΔ, Δ B ΓΑ κι A Γ Δ Γ Β Α Α Β Γ Δ Α Μ είι το μέσο του ΑΒ, τότε κι τιστρόφως AM MB Α Μ Β Ατίθετ Διύσμτ Δύο διύσμτ λέγοτι τίθετ, ότ έχου τίθετη κτεύθυση κι ίσ μέτρ Γι δηλώσουμε ότι δύο διύσμτ γράφουμε AB κι ΓΔ είι τίθετ,

13 AB ΓΔ ή ΓΔ ΑΒ Είι φερό ότι B Γ AB ΓΔ AB ΔΓ Ειδικότερ, έχουμε ΒΑ ΑΒ A Δ Α Β Δ Γ Γωί δύο Διυσμάτω Έστω δύο μη μηδεικά διύσμτ κι πίρουμε τ διύσμτ OA κι OB Με ρχή έ σημείο Ο Ο θ Β Α Ο a Β Α Β Ο a Α a Τη κυρτή γωί AOB, που ορίζου οι ημιευθείες ΟΑ κι ΟΒ, τη οομάζουμε γωί τω διυσμάτω κι κι τη συμολίζουμε με (, ή (, ή κόμ, δε προκλείτι σύγχυση, με έ μικρό γράμμ, γι πράδειγμ θ Εύκολ ποδεικύετι ότι η γωί τω κι είι εξάρτητη πό τη επιλογή του σημείου Ο Είι φερό επίσης ότι θ 8 ή σε κτίι θ π κι ειδικότερ: θ, θ π,

14 5 π Α θ, τότε λέμε ότι τ διύσμτ κι είι ορθογώι ή κάθετ κι γράφουμε Α a Α έ πό τ διύσμτ, είι το μηδεικό διάυσμ, τότε ως γωί τω κι μπορούμε θεωρήσουμε οποιδήποτε γωί θ με θ π Έτσι, μπορούμε θεωρήσουμε ότι το μηδεικό διάυσμ,, είι ομόρροπο ή τίρροπο ή κόμη κι κάθετο σε κάθε άλλο διάυσμ Ο Β ΕΦΑΡΜΟΓΗ Έστω Μ το μέσο της πλευράς ΑΓ εός τριγώου ΑΒΓ Με ρχή το Μ γράφουμε τ διύσμτ MΔ ΓΒ κι ME BA Ν ποδειχτεί ότι το Α είι το μέσο του ΔΕ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Αρκεί δείξουμε ότι ΓΒ ΔΑ ΑΕ Πράγμτι, επειδή Δ Α Ε ΜΔ, είι ΜΓ ΔΒ ( Όμως το Μ είι μέσο του ΑΓ Άρ, Μ ΜΓ ΑΜ ( Β Επομέως, λόγω τω ( κι (, έχουμε ΔΒ ΑΜ, οπότε: ΔΑ ΒΜ ( Γ Επειδή επιπλέο ΜΕ ΒΑ, έχουμε ΑΕ ΒΜ ( Έτσι, πό τις σχέσεις ( κι ( έχουμε ΔΑ ΑΕ

15 6 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ Πρόσθεση Διυσμάτω Έστω δύο διύσμτ a κι Με ρχή έ σημείο Ο πίρουμε διάυσμ OA κι στη συέχει με ρχή το Α πίρουμε διάυσμ AM Το διάυσμ OM λέγετι άθροισμ ή συιστμέη τω διυσμάτω κι κι συμολίζετι με Θ ποδείξουμε ότι το άθροισμ τω διυσμάτω κι είι εξάρτητο της επιλογής του σημείου Ο Πράγμτι, O είι έ άλλο σημείο κι πάρουμε τ διύσμτ O A κι A M, επειδή OA O A κι AM A M, έχουμε O O AA κι A A MM Επομέως, O O MM, M που συεπάγετι ότι κι OM O a a Α a a Μ Α M a Ο O Το άθροισμ δύο διυσμάτω ρίσκετι κι με το λεγόμεο κό του πρλληλόγρμμου Δηλδή, με ρχή έ σημείο Ο πάρουμε τ διύσμτ OA κι OB, τότε το άθροισμ ορίζετι πό τη διγώιο OΜ του πρλληλόγρμμου που έχει προσκείμεες πλευρές τις OΑ κι ΟΒ a Μ a Ο a Α Β a

16 7 Ιδιότητες Πρόσθεσης Διυσμάτω Γι τη πρόσθεση τω διυσμάτω ισχύου οι γωστές ιδιότητες της πρόσθεσης πργμτικώ ριθμώ Δηλδή, γ,, είι τρί διύσμτ, τότε: ( a (Ατιμετθετική ιδιότητ ( ( γ ( γ (Προσετιριστική ιδιότητ ( ( ( ΑΠΟΔΕΙΞΗ Από το προηγούμεο σχήμ έχουμε: OA AM OM κι Επομέως, OB BM OM Από το διπλό σχήμ έχουμε: ( γ ( OA AB BΓ OB BΓ OΓ κι ( γ OA ( AB BΓ OA AΓ OΓ a Α a Β γ γ Επομέως, ( γ a ( γ Ο a γ Γ Οι ιδιότητες ( κι ( είι προφείς Η προσετιριστική ιδιότητ μς επιτρέπει συμολίζουμε κθέ πό τ ίσ θροίσμτ ( γ κι ( γ με γ, το οποίο θ λέμε άθροισμ τω τριώ διυσμάτω, κι γ Το άθροισμ περισσότερω διυσμάτω,,,,, ορίζετι επγωγικά ως εξής: (

17 8 Γι πράδειγμ, ( a a a a a a a a a a a Δηλδή, γι προσθέσουμε διύσμτ,,,,, τ κθιστούμε διδοχικά, οπότε το άθροισμά τους θ είι το διάυσμ που έχει ως ρχή τη ρχή του πρώτου κι ως πέρς το πέρς του τελευτίου Επειδή μάλιστ ισχύου η τιμετθετική κι η προσετιριστική ιδιότητ της πρόσθεσης, το άθροισμ δε μετάλλετι λλάξει η σειρά τω προσθετέω ή μερικοί πό υτούς τικτστθού με το άθροισμά τους Αφίρεση Διυσμάτω Η διφορά του διύσμτος πό το διάυσμ άθροισμ τω διυσμάτω κι Δηλδή ( ορίζετι ως a a a a a a a Σύμφω με τ πρπάω, έχουμε δύο διύσμτ κι, τότε υπάρχει μοδικό διάυσμ, τέτοιο, ώστε Πράγμτι, ( ( ( (

18 9 Διάυσμ Θέσεως Έστω Ο έ στθερό σημείο του χώρου Τότε γι κάθε σημείο Μ του χώρου ορίζετι το διάυσμ ΟΜ, το οποίο λέγετι διάυσμ θέσεως του Μ ή διυσμτική κτί του Μ Το σημείο Ο, που είι η κοιή ρχή όλω τω διυσμτικώ κτίω τω σημείω του χώρου, λέγετι σημείο φοράς στο χώρο Α Ο είι έ σημείο φοράς, τότε γι οποιοδήποτε διάυσμ AB OB OA κι επομέως O Α Β ΑΒ έχουμε Δηλδή: AB OBOA Κάθε διάυσμ στο χώρο είι ίσο με τη διυσμτική κτί του πέρτος μείο τη διυσμτική κτί της ρχής Μέτρο Αθροίσμτος Διυσμάτω Στο διπλό σχήμ λέπουμε το άθροισμ τω διυσμάτω κι Από τη τριγωική ισότητ γωρίζουμε όμως ότι a Α a Β a ( OA ( AB ( OB ( OA ( AB κι επομέως Ο ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Γι τέσσερ σημεί Α Β, Γ, Δ, ποδειχτεί ότι ΑΒ ΔΓ ΔΒ ΑΓ

19 ΑΠΟΔΕΙΞΗ Α Ο είι έ σημείο φοράς, τότε έχουμε: Α AB ΔΓ OBOA OΓ OΔ OB OΔ OΓ OA ΔB AΓ Β Δ Ν ποδειχτεί ότι γ γ Γ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έχουμε γ ( γ γ γ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Οι δυάμεις F, F,, F5 σκούτι στο σώμ Σ Ποι δύμη χρειάζετι, ώστε μη φήσει το σώμ Σ μετκιηθεί πό τη θέση του; F F 5 F F Σ F Δίοτι τέσσερ σημεί Α, Β, Γ κι Δ κι έστω,, γ κι δ τ τίστοιχ διύσμτ θέσεως ως προς έ σημείο φοράς Ο Τι μπορείτε πείτε γι το τετράπλευρο ΑΒΓΔ : (i γ δ (ii γ δ (iii γ δ κι γ δ Ν εκφράσετε το διάυσμ σε κθέ πό τ πρκάτω σχήμτ ως συάρτηση τω άλλω διυσμάτω που δίοτι:

20 i a ii γ a iii a γ ζ δ ε ΑΕ Α γι δύο τρίγω ΑΒΓ κι ΑΔΕ ισχύει ΑΒ ΑΓ ΑΔ, δείξετε ότι το τετράπλευρο ΒΔΓΕ είι πρλληλόγρμμο 5 Δίοτι τέσσερ σημεί Α,Β,Γ,Δ κι έστω Ο, το μέσο του τμήμτος ΑΓ Ν ποδείξετε ότι ΟΒ ΟΔ ΑΒ ΔΓ 6 Δίετι κοικό εξάγωο ΑΒΓΔΕΖ Α διάυσμ ΓΔ ως συάρτηση τω κι ΑΒ κι B Γ, εκφράσετε το 7 Γι έ τυχίο εξάγωο P P P P P5 P6 ποδείξετε ότι P P P P P5 P P6 P5 P P6 P P ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ Ορισμός Πολλπλσισμού Αριθμού με Διάυσμ Έστω λ ές πργμτικός ριθμός με λ κι έ μη μηδεικό διάυσμ Οομάζουμε γιόμεο του λ με το κι το συμολίζουμε με λ ή λ έ διάυσμ το οποίο: είι ομόρροπο του, λ > κι τίρροπο του, λ < κι έχει μέτρο λ Α είι λ ή, τότε ορίζουμε ως λ το μηδεικό διάυσμ

21 a Μ Μ Α Α M Ο a O a a Ο Α a a Μ Ο Α

22 Γι πράδειγμ, το διάυσμ του διπλού σχήμτος έχει μέτρο, τότε το διάυσμ είι ομόρροπο με το κι έχει μέτρο 6, εώ το διάυσμ είι τίρροπο με το, λλά έχει κι υτό μέτρο ίσο με 6 a a a Το γιόμεο λ το συμολίζουμε κι με λ Ιδιότητες Πολλπλσισμού Αριθμού με Διάυσμ Γι το γιόμεο πργμτικού ριθμού με διάυσμ ισχύου οι επόμεες ιδιότητες: ( λ( λ λ ( ( λ μ λ μ ( λ( μ ( λμ ΑΠΟΔΕΙΞΗ * ( Υποθέτουμε ότι τ διύσμτ κι είι μη μηδεικά κι ότι λ Πίρουμε έ σημείο Ο κι σχεδιάζουμε τ διύσμτ OA, AB Τότε είι OB Σχεδιάζουμε επιπλέο τ διύσμτ OA λ κι OB λ( Επειδή a ( ΟΑ ( ΟΒ Ο Β Β λ, λ( a ( ΟΑ ( ΟΒ τ τρίγω ΟΑΒ κι Ο Α Β είι όμοι κι επομέως η πλευρά Α Β είι πράλληλη με τη ΑΒ κι ισχύει ( Α Β λ ( ΑΒ a λ> Α λ a Α

23 Αυτό σημίει ότι A B λ AB λ B Επομέως, επειδή O B OA A, έχουμε λ( λ λ Η ιδιότητ ισχύει προφώς κι ότ έ τουλάχιστο πό τ διύσμτ κι είι το μηδεικό ή ότ ο ριθμός λ είι μηδέ Β λ< a λ( λ a Ο a a Β Α Η πόδειξη τω ιδιοτήτω ( κι ( φήετι ως άσκηση Α Ως συέπει του ορισμού του γιομέου ριθμού με διάυσμ κι τω πρπάω ιδιοτήτω έχουμε: (i λ λ ή (ii ( λ λ( ( λ (iii λ( λ λ (iv ( λ μ λ μ (v Α λ λ κι λ, τότε (vi Α λ μ κι, τότε λ μ Γρμμικός Συδυσμός Διυσμάτω Ας θεωρήσουμε δύο διύσμτ κι Από τ διύσμτ υτά πράγοτι, γι πράδειγμ, τ διύσμτ γ 5, δ κτλ Κθέ πό τ διύσμτ υτά λέγετι γρμμικός συδυσμός τω κι Γεικά, οομάζετι γρμμικός συδυσμός δύο διυσμάτω κι κάθε διάυσμ της μορφής v κ λ, όπου κ, λ R Αάλογ ορίζετι κι ο γρμμικός συδυσμός τριώ ή περισσότερω διυσμάτω Έτσι, γι πράδειγμ, το διάυσμ v 5γ είι ές γρμμικός συδυσμός τω, κι γ

24 Συθήκη Πρλληλίς Διυσμάτω Όπως είδμε, δύο διύσμτ κι, όπου, συδέοτι με τη σχέση λ, τότε τ διύσμτ υτά είι πράλληλ Ισχύει όμως κι το τίστροφο Δηλδή, τ διύσμτ κι είι πράλληλ κι, τότε υπάρχει μοδικός ριθμός λ τέτοιος ώστε λ Πράγμτι, θέσουμε κ, τότε κ Συεπώς: Α, τότε κ Α, τότε κ Α, τότε Σε κάθε λοιπό περίπτωση υπάρχει λ κι μάλιστ μοδικός (ιδιότητ iv, τέτοιος, ώστε λ Επομέως: ΘΕΩΡΗΜΑ Α, είι δύο διύσμτ, με, τότε // λ, λ R Γι πράδειγμ, στο πρκάτω σχήμ Δ κι Ε είι τ μέσ τω πλευρώ ΑΒ κι ΑΓ του τριγώου ΑΒΓ, έχουμε: BA A A A ( A AE E BΓ Γ Δ Ε Δ Δ Αφού λοιπό E BΓ Δ, συμπερίουμε ότι Α ΔΕ // ΒΓ κι BΓ ΔE, που σημίει ότι ΔΕ ΒΓ Ξρίσκουμε δηλδή τη γωστή μς πό τη Ευκλείδει Γεωμετρί σχέση ΔΕ // ΒΓ Δ Β Ε Γ

25 5 Διυσμτική Ακτί Μέσου Τμήμτος Ας πάρουμε έ διάυσμ AB κι έ σημείο φοράς Ο Γι τη διυσμτική κτί του μέσου Μ του τμήμτος ΑΒ έχουμε: OM OA AM κι OM OB BM Επομέως, OA AM OB BM OA OB OM Άρ OM Ο Α Μ Β OA OB OM ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Ν ποδειχτεί ότι έ σημείο G είι το ρύκετρο εός τριγώου ΑΒΓ, κι μόο ισχύει GA GΒ G Γ κι ότι γι οποιοδήποτε σημείο Ο ισχύει OG ( OA OB OΓ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Γωρίζουμε πό τη Ευκλείδει Γεωμετρί ότι G είι το κέτρο άρους του τριγώου ΑΒΓ, τότε ΑG GΔ, όπου ΑΔ η διάμεσος του τριγώου Επομέως, ισχύει Δ AG G, οπότε έχουμε GA GB GΓ GA GΔ GA AG GG Ατιστρόφως, γι έ σημείο G ισχύει GA GB GΓ, τότε θ έχουμε GA GΔ, όπου Δ το μέσο της ΒΓ, οπότε θ ισχύει AG G Δ Έτσι, το σημείο G ήκει στη διάμεσο ΑΔ κι ισχύει ΑG GΔ Άρ, το G είι το κέτρο άρους του τριγώου ΑΒΓ Από τη σχέση GA GB G Γ έχουμε: OA OG OB OG O Γ OG Άρ OG ( OA OB OΓ Α G Β Δ Γ

26 6 Ν ποδειχτεί ότι τ ευθύγρμμ τμήμτ που ορίζου τ μέσ τω πέτι πλευρώ εός τετρπλεύρου κι τ μέσ τω διγωίω του διέρχοτι πό το ίδιο σημείο κι διχοτομούτι πό το σημείο υτό ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω δ γ,,, τ διύσμτ θέσεως τω κορυφώ Δ Γ Β Α,,,, τιστοίχως, εός τετράπλευρου ΑΒΓΔ ως προς έ σημείο φοράς Ο Τ διύσμτ θέσεως τω μέσω Η της ΒΓ κι Θ της ΑΔ είι ( γ κι ( δ τιστοίχως κι το διάυσμ θέσεως του μέσου G του ΗΘ είι το ( ( ( δ γ δ γ Ομοίως ρίσκουμε ότι το διάυσμ θέσεως τω μέσω τω τμημάτω ΕΖ κι ΙΚ είι το ( δ γ Άρ τ τμήμτ ΗΘ, ΕΖ κι ΙΚ διέρχοτι πό το ίδιο σημείο κι διχοτομούτι πό υτό ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ Α είι έ διάυσμ, τι μπορείτε πείτε γι το μέτρο κι τη κτεύθυση του διύσμτος ; Ν ρείτε το διάυσμ σε κθεμιά πό τις περιπτώσεις: (i ( ( (ii ( ( Α στο διπλό σχήμ είι ( ( ΜΓ ΒΜ, ποδείξετε ότι ( γ Α Κ Ι G Γ Β Θ Ε Η Ζ Δ γ Β Μ Γ A

27 7 Στο διπλό σχήμ έχουμε: ΔΕ ΕΒ, ΑΒ, ΔΓ κι ΔΑ Γ (i Ν εκφράσετε συρτήσει τω κι τ διύσμτ ΔΒ, ΕΒ, ΓΒ, ΑΕ κι ΕΓ (ii Από τις εκφράσεις τω ΑΕ κι ΕΓ ποιο συμπέρσμ προκύπτει γι τ σημεί Α, Ε κι Γ ; a Β A Ε Δ a 5 Στο πρκάτω σχήμ ποδείξετε ότι τ σημεί Α, Γ κι Ε είι συευθεικά Α a Β Γ a Ε Δ 6 Α ΑΚ ΒΚ ΒA ΒΛ ΑΜ, ποδείξετε ότι τ σημεί Κ, Λ κι Μ είι συευθεικά 7 Α ΑΔ, ΒΕ κι ΓΖ είι διάμεσοι τριγώου ΑΒΓ, ποδείξετε ότι ΑΔ ΒΕ ΓΖ 8 Α Κ, Λ, Μ είι τ μέσ τω πλευρώ ΒΓ, ΓΑ, ΑΒ, τιστοίχως, τριγώου ΑΒΓ, ποδείξετε ότι γι οποιοδήποτε σημείο Ο ισχύει: ΟΑ ΟΒ ΟΓ ΟΚ ΟΛ ΟΜ 9 Α Μ κι Ν είι τ μέσ τω διγωίω ΑΓ κι ΒΔ, τιστοίχως, εός τετρπλεύρου ΑΒΓΔ, ποδείξετε ότι A Β ΑΔ ΓΒ ΓΔ ΜΝ Δίετι το μη μηδεικό διάυσμ ΑΓ λαβ κι ΒΓ μαβ Ν ποδείξετε ότι λ μ ΑΒ κι σημείο Γ τέτοιο ώστε ισχύει Δίετι τρίγωο ΑΒΓ Α A Δ κ AB λ A Γ κι ΑΕ λ ΑΒ κ ΑΓ ποδείξετε ότι ΔΕ // ΒΓ

28 8 Β ΟΜΑΔΑΣ Έστω κι δύο μη συγγρμμικά διύσμτ (i Α, δείξετε ότι (ii Α, δείξετε ότι κι (iii Ν ρείτε γι ποιες τιμές του R τ διύσμτ u ( κι v ( είι συγγρμμικά Θεωρούμε έ πρλληλόγρμμο ΑΒΓΔ κι τ σημεί Ε κι Ζ, ώστε AE κ AΔ κι AZ λ AB με κλ Α, ποδείξετε ότι τ σημεί κ λ Ε, Γ κι Ζ είι συευθεικά Ν ποδείξετε ότι ισχύου δύο πό τις σχέσεις KA KB zkγ, ΛA ΛB z ΛΓ, z, τότε θ ισχύει κι η τρίτη (το σημείο K είι διφορετικό πό το Λ Α, κι r είι οι διυσμτικές κτίες τω σημείω Α, Β κι Μ ΜΑ κ τιστοίχως κι, ποδείξετε ότι το Μ είι εσωτερικό του ΑΒ, ΜΒ λ λ κ λ κ τότε r, εώ το Μ είι εξωτερικό του ΑΒ, τότε r λ κ λκ Ο Ο a r a r Α Μ Β Α Β Μ 5 Δίετι τρίγωο ΑΒΓ κι έ σημείο Σ Βρίσκουμε τ συμμετρικά Δ, Ε κι Ζ του Σ ως προς τ μέσ Κ, Λ κι Μ τω πλευρώ ΒΓ, ΑΓ κι ΑΒ τιστοίχως Α G κι G τ ρύκετρ τω τριγώω ΑΒΓ κι ΔΕΖ, ποδείξετε ότι τ σημεί Σ, G κι G είι συευθεικά 6 Δίετι τετράπλευρο ΑΒΓΔ κι έστω Μ κι Ν τ μέσ τω διγωίω του ΑΓ κι ΒΔ τιστοίχως Ν ποδείξετε ότι υτό είι πρλληλόγρμμο AΔ BΓ MN, τότε το τετράπλευρο

29 9 7 Α G κι G είι τ ρύκετρ δύο τριγώω ΑΒΓ κι Α Β Γ, ποδείξετε ότι A A BB Γ Γ G G 8 Δίοτι τ σημεί Α, Β κι Γ Ν ποδείξετε ότι γι οποιοδήποτε σημείο Μ το διάυσμ MA 5MB MΓ είι στθερό Γ 5 a 9 Τ σημεί Α, Β, Γ κι Δ εός επιπέδου έχου διύσμτ θέσεως,, 5 κι τιστοίχως, όπου τ διύσμτ κι είι μη συγγρμμικά Ν ρείτε το διάυσμ θέσεως r του σημείου τομής τω ευθειώ ΑΒ κι ΓΔ Ο a Α r Β Δ Ε ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Άξος Πάω σε μι ευθεί επιλέγουμε δύο σημεί Ο κι Ι, έτσι ώστε το διάυσμ OI έχει μέτρο κι ρίσκετι στη ημιευθεί O Λέμε τότε ότι έχουμε έ άξο με ρχή το Ο κι μοδιίο διάυσμ το OI i κι το συμολίζουμε με Η ημιευθεί O λέγετι θετικός ημιάξος O, εώ η O λέγετι ρητικός ημιάξος O Ο Ι Μ( Α, τώρ, πάω στο άξο πάρουμε έ σημείο Μ, επειδή OM // i, θ υπάρχει κριώς ές πργμτικός ριθμός τέτοιος ώστε OM ι Το

30

31 ριθμό το οομάζουμε τετμημέη του Μ Αλλά κι τιστρόφως, πό τη ισότητ OM ι προκύπτει ότι σε κάθε πργμτικό ριθμό τιστοιχεί μοδικό σημείο Μ του άξο με τετμημέη Το σημείο υτό συμολίζετι με Μ ( Κρτεσιό Επίπεδο Πάω σε έ επίπεδο σχεδιάζουμε δύο κάθετους άξοες κι με κοιή ρχή Ο κι μοδιί διύσμτ τ i κι j Λέμε τότε ότι έχουμε έ ορθοκοικό σύστημ συτετγμέω στο επίπεδο ή πλούστερ έ σύστημ συτετγμέω στο επίπεδο ή κόμ έ κρτεσιό επίπεδο κι το συμολίζουμε με O Το σύστημ O λέγετι ορθοκοικό, γιτί είι ορθογώιο κι κοικό Ορθογώιο είι, γιτί οι άξοες κι είι κάθετοι, κι κοικό, γιτί τ διύσμτ i κι j είι ισομήκη Πάω στο κρτεσιό επίπεδο O πίρουμε έ σημείο Μ Από το Μ φέρουμε τη πράλληλη στο, που τέμει το πράλληλη στο του M ως προς το άξο στο M, κι τη, που τέμει το στο M Α είι η τετμημέη κι η τετμημέη του M ως προς το άξο, τότε ο λέγετι τετμημέη του Μ κι ο τετγμέη του Μ Η τετμημέη κι η τετγμέη λέγοτι συτετγμέες του Μ Έτσι σε κάθε σημείο Μ του επιπέδου τιστοιχεί έ ζεύγος συτετγμέω Αλλά κι τιστρόφως σε κάθε ζεύγος (, πργμτικώ ριθμώ τιστοιχεί μοδικό σημείο του επιπέδου, το οποίο ρίσκετι ως εξής: Πάω στο άξο πίρουμε το σημείο M ( κι στο το σημείο M ( Από τ M κι M φέρουμε πράλληλες στους άξοες κι τιστοίχως, που τέμοτι στο Μ Το σημείο Μ είι το ζητούμεο Έ σημείο Μ με τετμημέη κι τετγμέη συμολίζετι κι με M(, ή πλά με (, Μ j Ο i Μ(, Μ Συτετγμέες Διύσμτος

32 Έστω O έ σύστημ συτετγμέω στο επίπεδο κι έ διάυσμ του επιπέδου Με ρχή το Ο σχεδιάζουμε το διάυσμ OA Α A κι A είι οι προολές του Α στους άξοες κι τιστοίχως, έχουμε: OA OA OA ( Α, είι οι συτετγμέες του A, τότε ισχύει OA ι κι OA j Επομέως η ισότητ ( γράφετι i j Αποδείξμε δηλδή ότι το είι γρμμικός συδυσμός τω i κι i j Στη πρπάω κτσκευή οι ριθμοί κι είι μοδικοί Θ ποδείξουμε τώρ ότι κι η έκφρση του ως γρμμικού συδυσμού τω i κι j είι μοδική Πράγμτι, έστω ότι ισχύει κι i j Α j a a Ο A A Τότε θ έχουμε i j i j ( i ( j Α υποθέσουμε ότι, δηλδή ότι, τότε θ ισχύει i j Η σχέση υτή, όμως, δηλώει ότι i // j, που είι άτοπο, φού τ i κι j δε είι συγγρμμικά Επομέως, που συεπάγετι ότι κι Ώστε: Κάθε διάυσμ του επιπέδου γράφετι κτά μοδικό τρόπο στη μορφή i j Τ διύσμτ i κι j λέγοτι συιστώσες του διύσμτος κτά τη διεύθυση τω i κι j τιστοίχως, εώ οι ριθμοί, λέγοτι συτετγμέες του στο σύστημ O Πιο συγκεκριμέ, ο λέγετι

33 τετμημέη του κι ο λέγετι τετγμέη του Από το τρόπο που ορίστηκ οι συτετγμέες εός διύσμτος προκύπτει ότι: Δύο διύσμτ είι ίσ κι μόο οι τίστοιχες συτετγμέες τους είι ίσες Κθέ πό τ ίσ διύσμτ με τετμημέη κι τετγμέη, θ το συμολίζουμε με το διτετγμέο ζεύγος (, Συτετγμέες Γρμμικού Συδυσμού Διυσμάτω Α γωρίζουμε τις συτετγμέες δύο διυσμάτω κι του κρτεσιού επιπέδου, τότε μπορούμε ρούμε τις συτετγμέες του θροίσμτος, του γιομέου λ, λ R κι γεικά κάθε γρμμικού συδυσμού τω κι Πράγμτι,, κι,, τότε έχουμε: ( ( ( i j ( i j ( i ( j λ λ i j ( λ i ( j Επομέως ή ισοδύμ ( λ (, κι λ ( λ, λ (, (, (, λ (, ( λ, λ Γεικότερ, γι το γρμμικό συδυσμό λ μ έχουμε: λ μ ( λ, λ ( μ, μ ( λ μ, λ μ Γι πράδειγμ, (, κι (,, τότε (, (, (,, (, (,, (, (, (, (, (,, κι (, (, (, (, (,

34 Συτετγμέες Μέσου Τμήμτος Ας θεωρήσουμε δύο σημεί Α (, κι Β (, του κρτεσιού επιπέδου κι ς υποθέσουμε ότι (, είι οι συτετγμέες του μέσου Μ του ΑΒ Επειδή OM ( OA OB, κι OM (,, OA,, OB,, έχουμε ( (, [(, (, ], ( Επομέως ισχύει B(, Μ(, A(, Ο κι Συτετγμέες Διύσμτος με Γωστά Άκρ Ας θεωρήσουμε δύο σημεί Α (, κι Β (, του κρτεσιού επιπέδου κι ς υποθέσουμε ότι (, είι οι A(, B(, συτετγμέες του διύσμτος AB Επειδή, AB OB OA, AB (,, OB (,, κι OA (,, έχουμε: Ο Επομέως:, (, (, (, ( Οι συτετγμέες (, του διύσμτος με άκρ τ σημεί A, κι Β, δίοτι πό τις σχέσεις ( κι (

35 Δηλδή τετμημέη του AB τετμημέη του Β τετμημέη του Α τετγμέη του AB τετγμέη του Β τετγμέη του Α Γι πράδειγμ, το διάυσμ AB με ρχή το Α (, κι πέρς το Β (,7 έχει συτετγμέες κι 7 5, δηλδή είι ίσο με το (,5 Μέτρο Διύσμτος Έστω (, έ διάυσμ του κρτεσιού επιπέδου κι Α το σημείο με διυσμτική κτί OA A(, Α Α Α κι Α a είι οι προολές του Α στους άξοες κι τιστοίχως, επειδή το σημείο Α έχει τετμημέη κι τετγμέη, θ ισχύει ( ΟΑ κι ( ΟΑ Έτσι θ έχουμε: Ο A ( ΟΑ ( ΟΑ ( Α Α ( ΟΑ ( ΟΑ Επομέως: Α (,, τότε ( Γι πράδειγμ, (5,, τότε 5 Ας θεωρήσουμε τώρ δύο σημεί Α(, κι Β (, του κρτεσιού επιπέδου Επειδή η πόστση (ΑΒ τω σημείω Α κι Β είι ίση με το μέτρο του διύσμτος AB (,, σύμφω με το τύπο ( θ ισχύει: ( ( ΑΒ ( ( Ο A(, B(,

36 5 Επομέως: Η πόστση τω σημείω Α(, κι Β, είι ίση με ( ( ( ΑΒ ( Γι πράδειγμ, η πόστση τω σημείω Α (, 7 κι Β ( 5, είι ίση με ( ΑΒ (5 ( 7 5 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Α Α (, κι Β (, είι οι δύο κορυφές του πρλληλόγρμμου ΑΒΓΔ κι Κ (, το κέτρο του, ρεθού οι συτετγμέες τω κορυφώ Γ κι Δ ΛΥΣΗ Α Γ (, κι Δ (, είι οι δύο άλλες κορυφές του πρλληλόγρμμου, επειδή το Κ είι το μέσο τω ΑΓ κι ΒΔ, έχουμε: ( κι A(-, B(, K(, - Επομέως, Δ 6 κι 7 Άρ, οι συτετγμέες τω κορυφώ Γ κι Δ είι ( 6, 7 κι (, τιστοίχως Γ Ν ρεθού οι συτετγμέες του κέτρου άρους G του τριγώου ΑΒΓ, είι γωστές οι συτετγμέες τω κορυφώ του ΛΥΣΗ Α (,, (,, (, είι οι συτετγμέες τω κορυφώ Α, Β,Γ τιστοίχως κι Β(, A(, G(, Γ(,

37 6 (, είι οι συτετγμέες του κέτρου άρους του ΑΒΓ, επειδή G Α GΒ GΓ (Εφρμ, θ έχουμε:, (, (, (,, (, ( ( κι Άρ, Συθήκη Πρλληλίς Διυσμάτω Έστω (, κι (, δύο διύσμτ του κρτεσιού επιπέδου Α τ διύσμτ είι πράλληλ κι υποθέσουμε ότι, τότε θ υπάρχει λ R, τέτοιος, ώστε λ Επομέως, θ έχουμε (, (, λ ή ισοδύμ: λ κι λ, οπότε θ ισχύει λ λ ή ισοδύμ Α, τότε θ ισχύει Δείξμε δηλδή ότι τ διύσμτ κι είι πράλληλ, τότε Ατιστρόφως,, τότε τ διύσμτ κι θ είι πράλληλ Πράγμτι, επειδή, έχουμε Επομέως, Α, τότε, οπότε, θέσουμε λ, θ έχουμε λ κι λ

38 7 Άρ, λ κι συεπώς //

39 7 Α, τότε, οπότε, τ διύσμτ κι θ είι πράλληλ προς το άξο τω τετγμέω, άρ κι μετξύ τους πράλληλ, εώ,, τότε το θ είι το μηδεικό διάυσμ κι άρ, πράλληλο προς το Αποδείξμε λοιπό ότι // Τη ορίζουσ, που έχει ως η τη γρμμή τις συτετγμέες του διύσμτος κι ως η γρμμή τις συτετγμέες του διύσμτος, τη λέμε ορίζουσ τω διυσμάτω κι (με τη σειρά που δίοτι κι θ τη συμολίζουμε με det(, Έτσι, η πρπάω ισοδυμί διτυπώετι ως εξής: // det( a, Γι πράδειγμ: Τ διύσμτ (, κι (, είι πράλληλ, φού det(,, εώ Τ διύσμτ (, κι (, δε είι πράλληλ, φού det(, 7 ( Συτελεστής Διεύθυσης Διύσμτος Έστω (, έ μη μηδεικό διάυσμ κι A το σημείο του επιπέδου γι το οποίο ισχύει OA a Τη γωί φ, που διγράφει ο ημιάξος O στρφεί γύρω πό το Ο κτά τη θετική φορά μέχρι συμπέσει με τη ημιευθεί ΟΑ, τη οομάζουμε γωί που σχημτίζει το διάυσμ με το άξο Είι φερό ότι A(, Ο φ φ< π

40 8 Γι τη γωί φ, όπως είι γωστό πό τη Τριγωομετρί, το δε είι πράλληλο προς το άξο, ισχύει εφ φ Το πηλίκο της τετγμέης προς τη τετμημέη του διύσμτος (,, με, το λέμε συτελεστή διεύθυσης του κι το συμολίζουμε με λ ή πλώς με λ Επομέως: λ εφφ Είι φερό ότι Α, δηλδή //, τότε ο συτελεστής διεύθυσης του διύσμτος είι ο λ Α, δηλδή //, τότε δε ορίζετι συτελεστής διεύθυσης του διύσμτος Ας θεωρήσουμε τώρ δύο διύσμτ (, κι (, με συτελεστές διεύθυσης λ κι λ τιστοίχως Τότε έχουμε τις ισοδυμίες: // λ λ Επομέως, η συθήκη πρλληλίς γι δύο διύσμτ συτελεστές διεύθυσης λ κι λ διτυπώετι ως εξής: // λ λ κι με ΕΦΑΡΜΟΓΗ Ν ρεθού οι τιμές του Γ ( 5μ,9 είι συευθεικά ΛΥΣΗ μ R γι τις οποίες τ σημεί Α (,, Β ( μ, κι Τ σημεί Α,Β,Γ είι συευθεικά, κι μόο τ διύσμτ AB ( μ, κι AΓ ( 5μ, 9 είι πράλληλ, δηλδή, κι μόο, AΓ det( AB

41 9 Έχουμε λοιπό μ det( AB, AΓ 5μ 9 9μ 9 5μ μ 5μ μ ή μ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ Ποι είι η θέση στο κρτεσιό επίπεδο τω σημείω M (, γι τ οποί ισχύει: (i (ii < (iii > (iv Ν ρείτε τις ποστάσεις τω πρκάτω σημείω πό τους άξοες κι : Α (,, Β (,, Γ ( 5, 6, Δ(,, M (, Δίετι το διάυσμ ( λ, λ λ, λ R Γι ποι τιμή του λ είι: (i ; (ii κι // ; Δίοτι τ διύσμτ ( λ λ, λ λ κι ( λ 5λ 6, λ 7λ Ν ρείτε το λ R, ώστε είι 5 Ν ρείτε το πργμτικό ριθμό, ώστε τ διύσμτ (, κι (, είι ομόρροπ 6 Α u (,, ποιο διάυσμ είι συγγρμμικό με το u κι έχει διπλάσιο μέτρο πό το u ;

42 7 Στο διπλό σύστημ συτετγμέω είι ΟΑ i κι ΟΒ j Ν εκφράσετε ως συάρτηση τη i κι j : Τ διύσμτ θέσεως τω σημείω Γ, Δ, Ε, Ζ, Κ κι Η Τ διύσμτ ΓΔ, ΚΑ, ΗΔ, ΚΔ, Β j Ζ Ε Δ Θ Η Κ ΗΘ, ΖΑ κι ΚΖ Ο i Γ Α 8 Δίοτι τ σημεί Α (,6 κι Β ( 9, Ν ρείτε (i Το σημείο του άξο που ισπέχει πό τ Α κι Β (ii Το σημείο του άξο που ισπέχει πό τ Α κι Β Β ΟΜΑΔΑΣ κι Ξ, είι τ μέσ τω πλευρώ ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ κι ΕΑ, τιστοίχως, του πετγώου ΑΒΓΔΕ, ρεθού οι συτετγμέες τω κορυφώ του πετγώου Α τ σημεί Κ,, Λ,, Μ,, Ν (, Σε έ σύστημ συτετγμέω οι τετμημέες δύο σημείω Α κι Β είι οι ρίζες της εξίσωσης ( λ λ 7 Ν ρείτε τη τιμή του λ R, ώστε το μέσο του τμήμτος ΑΒ έχει τετμημέη ίση με Δίοτι τ σημεί Μ ( κ, λ, Μ ( κ, λ, Μ ( κ, λ κι Μ ( κ, λ Ν εξετάσετε πότε τ σημεί υτά είι τ μέσ τω διδοχικώ πλευρώ τετρπλεύρου Γι οποιουσδήποτε πργμτικούς ριθμούς,,,,, ποδείξετε ότι: ( ( ( ( ( ( 5 Δίοτι δύο μη συγγρμμικά διύσμτ κι εός επιπέδου Ν ποδείξετε ότι οποιοδήποτε διάυσμ r του επιπέδου υτού μπορεί εκφρστεί ως γρμμικός συδυσμός τω κι κτά μοδικό τρόπο

43 5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ Γωρίζουμε ότι το έργο που πράγετι πό μι δύμη F ότ μεττοπίζει το σημείο εφρμογής της πό το Ο στο Α είι ίσο με το γιόμεο F ( ΟΑ συφ Το γιόμεο υτό συμολίζετι με F OA κι λέγετι εσωτερικό γιόμεο της δύμης F με το διάυσμ OA Γεικότερ, έχουμε το κόλουθο ορισμό: φ F Ο A ΟΡΙΣΜΟΣ Οομάζουμε εσωτερικό γιόμεο δύο μη μηδεικώ διυσμάτω κι κι το συμολίζουμε με το πργμτικό ριθμό συφ, όπου φ η γωί τω διυσμάτω κι Α ή, τότε ορίζουμε Γι πράδειγμ, το εσωτερικό γιόμεο δύο διυσμάτω κι με, π 8 κι φ είι π 8 συ 8 Άμεσες συέπειες του πρπάω ορισμού είι οι εξής: (Ατιμετθετική ιδιότητ Α τότε κι τιστρόφως Α τότε κι τιστρόφως Α τότε κι τιστρόφως Το εσωτερικό γιόμεο Έχουμε: συ Επομέως κι λέγετι τετράγωο του

44 Ειδικότερ, γι τ μοδιί διύσμτ i κι j του κρτεσιού επίπεδου ισχύου: i j j i κι i j Αλυτική Έκφρση Εσωτερικού Γιομέου Θ δούμε τώρ πώς μπορούμε εκφράσουμε το εσωτερικό γιόμεο δύο διυσμάτω (, κι (, συρτήσει τω συτετγμέω τους Με ρχή το Ο πίρουμε τ διύσμτ OA κι OB Από το όμο τω συημιτόω στο τρίγωο ΟΑΒ έχουμε τη ισότητ Β(, θ Ο a Α(, ( ΑΒ ( ΟΑ ( ΟΒ ( ΟΑ( ΟΒ συαοβ, η οποί ισχύει κι στη περίπτωση που τ σημεί Ο,Α,Β είι συευθεικά Όμως είι ( ( (, ( ΑΒ Επομέως, έχουμε διδοχικά: ( ΟΑ ( κι ( ΟΒ ( ΟΑ( ΟΒ συαο Β ( ΟΑ( ΟΒ συαο Β κι επειδή ( ΟΑ( ΟΒ συαο Β, έχουμε τελικά: Δηλδή: Το εσωτερικό γιόμεο δύο διυσμάτω είι ίσο με το άθροισμ τω γιομέω τω ομώυμω συτετγμέω τους Γι πράδειγμ, το εσωτερικό γιόμεο τω (, κι (, είι: ( ( Με τη οήθει της λυτικής έκφρσης του εσωτερικού γιομέου θ ποδείξουμε ότι ισχύου οι επόμεες ιδιότητες:

45 λ ( λ λ(, λ R ( γ γ (Επιμεριστική Ιδιότητ λ λ όπου λ λ κι λ λ, (, // Πράγμτι, (,, (, κι γ (,, τότε έχουμε: ( λ ( λ, λ(, ( λ ( λ λ( λ( κι ( λ (, ( λ, λ ( λ ( λ λ( λ( Άρ, ( λ ( λ λ( ( γ (, (, ( ( ( ( ( ( γ λ λ Συημίτοο Γωίς δύο Διυσμάτω Α (, κι (, είι δύο μη μηδεικά διύσμτ του επιπέδου που σχημτίζου γωί θ, τότε συθ κι επομέως, συθ Είι όμως, κι Επομέως, συθ Γι πράδειγμ, θ είι η γωί τω διυσμάτω (, κι (,, τότε: συθ 5 5 π, οπότε θ

46 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Α, ( κι, (, ποδειχτεί ότι: (i (ii ( Πότε ισχύου οι ισότητες; ΑΠΟΔΕΙΞΗ (i Α θ είι η γωί τω διυσμάτω κι, τότε έχουμε: συ συ θ θ Η ισότητ ισχύει μόο, ± συθ, δηλδή, μόο // (ii Επίσης, έχουμε ( ( Η ισότητ ισχύει, όπως κι προηγουμέως, μόο ότ // Έστω δύο διύσμτ κι που έχου μέτρ, κι σχημτίζου γωί 6 π φ Ν ρεθεί η γωί τω διυσμάτω κι ΛΥΣΗ Α θ είι η γωί τω κι, τότε συ θ Αρκεί, επομέως, υπολογίσουμε το κι τ μέτρ τω, Έχουμε λοιπό ( ( a ( φ συ 7 ( φ συ Άρ, συ θ, οπότε θ

47 5 Ν ποδειχτεί ότι συ ( συσυ ημημ, όπου < π ΑΠΟΔΕΙΞΗ Α στο τριγωομετρικό κύκλο τ διύσμτ OA κι OB σχημτίζου με το άξο τιστοίχως, τότε θ είι OB ( συ,ημ γωίες κι OA ( συ,ημ κι Α Ο - Β Επομέως, θ έχουμε: OA OB OA OB συ( συ( συ( κι OA OB ( συ,ημ(συ,ημ συ συ ημ ημ Άρ, συ( συ συ ημ ημ Προολή Διύσμτος σε Διάυσμ Έστω, v δύο διύσμτ του επιπέδου με Με ρχή έ σημείο Ο πίρουμε τ διύσμτ OA κι OM Από το Μ φέρουμε κάθετο στη διεύθυση του OA κι έστω M το ίχος της κθέτου Το διάυσμ OM λέγετι προολή του στο κι συμολίζετι με προ Δηλδή, Ο OM προ Αποδεικύετι ότι η προολή του πάω στο είι εξάρτητη πό τη επιλογή του σημείου Ο Γι το εσωτερικό γιόμεο τω κι έχουμε: v ( OM προ M M OM M M OM v θ M M a A Επομέως: προ

48 6 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Ν ρεθεί η προολή του διύσμτος v πάω στο διάυσμ,, v κι η γωί τω διυσμάτω κι v π είι ίση με φ 6 ΛΥΣΗ Έστω v προ Τότε θ ισχύει v λ Επειδή v a προ v, έχουμε: v v v λ v λ vσυφ λ λ λ Άρ, v Δίοτι τ διύμτ (, κι (, Ν λυθεί το σε δύο κάθετες συιστώσες, πό τις οποίες η μί είι πράλληλη στο ΛΥΣΗ Έστω ε η ευθεί η κάθετη στη διεύθυση του Από το πέρς Μ του φέρουμε τις κάθετες ΜΜ κι ΜΜ στη διεύθυση του κι στη ε τιστοίχως κι έστω ΟΜ κι ΟΜ Έχουμε v v ( M Το διάυσμ είι η προολή του στο Ο κι επειδή //, υπάρχει λ R, τέτοιο ώστε προ λ (λ, λ Όμως προ κι επομέως έχουμε διδοχικά: ε M v M a (, (, (, (λ, λ λ λ 5 λ λ

49 7 Συεπώς, (,, κι v ΑΣΚΗΣΕΙΣ v v (,,, Α ΟΜΑΔΑΣ Α (, κι (,5, τότε (i Ν ρείτε τ εσωτερικά γιόμε, ( ( κι ( ( (ii Ν ρείτε τη σχέση που συδέει τους κ, λ R, ώστε το εσωτερικό γιόμεο τω διυσμάτω u ( κ, λ κι είι ίσο με μηδέ Ποι η σχέση όλω τω διυσμάτω u στη περίπτωση υτή; Α u (,, v (, κι w (6,, υπολογίσετε τις πρστάσεις: u ( 7v w, u( v w, ( u v w κι ( u v w Α (, κι (,, ρείτε το λ R, ώστε: (i Τ διύσμτ κι λ είι κάθετ (ii Τ διύσμτ κι λ είι κάθετ Ν ρείτε τ διύσμτ που είι κάθετ στο u (, κι έχου μέτρο ίσο με 5 Α, π κι (,, υπολογίσετε το κ R, ώστε τ διύσμτ u κι v κ είι κάθετ 6 Α (κ, κι (,, ρείτε το κ R ώστε ισχύει: (i π (ii (, (iii // π 7 Α κι (,, υπολογίσετε τη γωί τω διυσμάτω u κι v a 8 Α τ διύσμτ a κι είι μη μηδεικά, ποδείξετε ότι: ( συ(, 9 Ν ποδείξετε ότι τ διύσμτ u κι v είι κάθετ

50 8 Ν ποδείξετε ότι γι δύο μη μηδεικά διύσμτ κι, το διάυσμ v ( είι κάθετο στο Δίοτι τ σημεί Α(,, Β (6,, Γ (,5 κι Δ (, Ν υπολογίσετε (i Το εσωτερικό γιόμεο ΑΒ ΓΔ (ii Τι συμπερίετε γι τ διύσμτ ΑΒ κι ΓΔ ; Δίοτι τ διύσμτ (, κι (8,5 Ν λύσετε το σε δύο κάθετες συιστώσες, πό τις οποίες η μί είι πράλληλη προς το Ν υπολογίσετε τ μήκη τω διγωίω εός πρλληλογράμμου που κτσκευάζετι με τ διύσμτ 5 κι,, κι (, 5 Γι τ διύσμτ του διπλού σχήμτος υπολογίσετε τη πράστση ΑΒ ΑΓ ΑΒ ΓΔ Β Γ 5 Ν εξετάσετε πότε ισχύει: (i (ii Α Δ Β ΟΜΑΔΑΣ Τ διύσμτ κι είι μη μηδεικά κι μη συγγρμμικά Ν ποδείξετε ότι γι όλους τους πργμτικούς ριθμούς λ κι μ ισχύει: λ λμ( μ Πότε ισχύει το ""; Ν ποδείξετε ότι: (i u v u v u v (iii u v u v u v Δίοτι τ μη μηδεικά κι μη συγγρμμικά διύσμτ κι Ν ποδείξετε ότι:

51 9 (i Ο φορές του διύσμτος κι (ii Ο φορές του διύσμτος τω διυσμάτω κι u a διχοτομεί τη γωί τω διυσμάτω v διχοτομεί τη πρπληρωμτική γωί Α,, γ κι γ, υπολογίσετε το άθροισμ γ γ 5 Α τ διύσμτ ( κ, λ κι ( μ, μοάδ, δείξετε ότι ( κ λμ είι κάθετ κι έχου μέτρ ίσ με τη γ δ 6 Ν ποδείξετε ότι γ δ 7 Σε ημικύκλιο με διάμετρο ΑΒ κι κέτρου Ο πίρουμε σημείο Μ ΜΑ κι MB ως (i Ν εκφράσετε τ διύσμτ συάρτηση τω κι (ii Ν ρείτε το γιόμεο ΜΑ ΜΒ Τι συμπερίετε γι τη γωί τω διυσμάτω ΜΑ κι ΜΒ ; Ποι πρότση της Ευκλείδεις Γεωμετρίς έχει ποδειχτεί; Μ Α a Ο a Β 8 Σε τρίγωο ΑΒΓ τ δύο ύψη του ΒΕ κι Α ΓΖ τέμοτι στο Η Έστω ΗΑ, a ΗΒ κι ΗΓ γ Ζ Η (i Ν εκφράσετε τ διύσμτ ΑΒ, A Γ κι B Γ ως συάρτηση τω, κι γ Β (ii Ν ποδείξετε ότι γ γ κι γ (iii Από το προηγούμεο ερώτημ προκύπτει ότι γ Ε γ Γ Με τη οήθει της ισότητς υτής δείξετε ότι Ευκλείδεις Γεωμετρίς έχει ποδειχτεί; AH BΓ Ποι πρότση της

52 5 9 Δίετι τρίγωο ΑΒΓ κι εξωτερικώς υτού κτσκευάζουμε τ τετράγω ΑΒΕΖ κι ΑΓΗΘ Ν εκφράσετε τ διύσμτ ΒΘ κι ΖΓ ως συάρτηση τω,, γ, γ κι υπολογίσετε το εσωτερικό γιόμεο ΒΘ ΖΓ Τι συμπερίετε γι τ τμήμτ ΒΘ κι ΓΖ ; Ε Ζ B A γ γ Θ Γ Η Δίετι πρλληλόγρμμο ΑΒΓΔ κι κύκλος κέτρου Ο που διέρχετι πό τη κορυφή Α κι τέμει τις ευθείες ΑΒ, ΑΓ κι ΑΔ στ Β, Γ κι Δ τιστοίχως Ν ποδείξετε ότι ΑΒ ΑΔ ΑΔ ΑΓ ΑΓ ΑΒ B B O Γ Γ A Δ Δ Δίετι κύκλος ( O, R κι σημείο Μ του επιπέδου του Α μετλητή ευθεί που διέρχετι πό το Μ τέμει το κύκλο στ Α κι Β, ποδείξετε ότι το γιόμεο ΜΑ ΜΒ είι στθερό (Το γιόμεο υτό λέγετι δύμη του σημείου Μ ως προς το κύκλο Ο ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α υπάρχου πργμτικοί ριθμοί κ, λ, μ με κ λ μ, τέτοιοι, ώστε ποδείξετε ότι τ σημεί κ λ μ κι κ ΟΑ λ ΟΒ μ ΟΓ, Α, Β κι Γ είι συευθεικά κι τιστρόφως Α γι το σημείο Μ του επιπέδου εός τριγώου ΑΒΓ ισχύου οι σχέσεις λ ΑΒ μαγ ΑΜ κι ΒΜ λ ΑΓ μβα, ποδείξετε ότι το Μ είι το μέσο της πλευράς ΒΓ Έστω Ο κι Α δύο στθερά σημεί του επιπέδου με ΟΑ Ποι γρμμή 7 γράφου τ σημεί Μ του επιπέδου γι τ οποί είι ΟΜ ( ΟΜ ΟΑ ;

53 5 Δίοτι δύο μη μηδεικά διύσμτ κι Α υπάρχει λ R, τέτοιος, ώστε λ, ποδείξετε ότι το εμδό του πρλληλόγρμμου ΟΑΓΒ με ΟΑ κι ΟΒ είι μικρότερο ή ίσο του 5 Έστω Ο το περίκετρο τριγώου ΑΒΓ (δηλδή το σημείο γι το οποίο ισχύει ΟΑ ΟΒ ΟΓ, κι έστω,, κι γ τ διύσμτ θέσεως τω κορυφώ Α, Β κι Γ τιστοίχως με σημείο φοράς το Ο (i Ν δείξετε ότι το σημείο Η με διάυσμ θέσεως ΟΗ γ είι το ορθόκετρο του τριγώου ΑΒΓ (ii Ν ρείτε το διάυσμ θέσεως του ρύκετρου του τριγώου ΑΒΓ με σημείο φοράς το Ο (iii Ν ποδείξετε ότι το περίκετρο Ο, το ρύκετρο G κι το ορθόκετρο Η εός τριγώου ΑΒΓ είι συευθεικά σημεί κι ότι G διιρεί το τμήμ ΟΗ σε λόγο 6 Τ διύσμτ,, γ κι του επιπέδου ικοποιού τη σχέση ( γ (i Ν ποδείξετε ότι ( ( γ (ii Α, εκφράσετε το διάυσμ ως συάρτηση τω, κι γ 7 Τετρπλεύρου ΑΒΓΔ οι πλευρές ΑΒ κι ΓΔ τέμοτι στο Ε κι οι πλευρές ΒΓ κι ΑΔ τέμοτι στο Ζ Α ΕΑ, ΕΒ κ B κι ΕΔ, ΕΓ λ, τότε (i Ν εκφράσετε ως συάρτηση τω A Κ,, κ κι λ τις διυσμτικές κτίες Λ ως προς το Ε τω σημείω Κ, Λ κι Ε Γ Δ Μ, που είι μέσ τω ΒΔ, ΑΓ κι ΕΖ τιστοίχως (ii Ν δείξετε ότι τ σημεί Κ, Λ κι Μ M είι συευθεικά Ζ 8 Δίετι τρίγωο ΑΒΓ κι τ σημεί Δ, Ε κι Ζ τω πλευρώ του ΒΓ, ΓΑ ΒΔ ΓΕ ΑΖ κι ΑΒ τιστοίχως, ώστε ισχύει ΔΓ ΕΑ ΖΒ τρίγω ΑΒΓ κι ΔΕΖ έχου το ίδιο ρύκετρο μ Ν ποδείξετε ότι τ

54 5 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ Δίετι ότι το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είι ρόμος Κθεμί πό τις πρκάτω ισότητες είι σωστή ή λάθος Α είι σωστή, κυκλώστε το γράμμ Σ, είι λάθος κυκλώστε το Λ (iii (i ΑΒ ΔΓ Σ Λ (ii ΑΒ ΒΔ Σ Λ ΑΒ ΓΔ Σ Λ (iv ΑΒ ΔΓ Σ Λ (v ΑΒ ΑΔ Σ Λ (vi ΑΒ ΒΓ Σ Λ Α Α, Β, Γ κι Δ είι τέσσερ σημεί, συμπληρώσετε τις ισότητες: (i (ii (iii (iv (v ΑΒ ΒΓ (vi A Γ ΓΔΒΔ ΑΒ ΔB (vii ΓΒ ΒΔΑΔ ΑΒ ΒΓ ΓΔ (viii ΑΔ ΔΒ ΒΑ ΒΔ ΓΔ (i ΑΒ ΒΔΓΔΑΓ AB ΔΒ ΔΓ Α O είι το σημείο τομής τω διγωίω του πρλληλόγρμμου ΑΒΓΔ, συμπληρώσετε τις ισότητες: (i (ii ΑΒ ΒΔ (iv ΑΓ ΒΓ ΑΒ ΑΓ ΔΒ (v ΑΔ ΒΓ ΔΓ ΑΒ (iii ΑΓ ΑΟ ΓΟ Γι τ διύσμτ του διπλού σχήμτος άλετε σε κύκλο τη σωστή πάτηση Μ i AM MB > AN NB ii AM MB AN NB Α Β iii AM MB < AN NB Ν

55 5 5 Σε έ σύστημ συτετγμέω στο επίπεδο δίετι το σημείο Α (, Ν συμπληρώσετε τις ισότητες: (i Συμμετρικό του Α ως προς το : Α (, (ii Συμμετρικό του Α ως προς το : Α (, (iii Συμμετρικό του Α ως προς τη ρχή O: Α (, (iv Συμμετρικό του Α ως προς τη διχοτόμο της O : Α (, 6 Δίοτι τ σημεί Α (,, Β (6,5, Γ (,, Δ(, κι Ε (,5 Ν συδέσετε με μι γρμμή κάθε διάυσμ της πρώτης στήλης με τις συτετγμέες του στη δεύτερη στήλη Διάυσμ Συτετγμέες διύσμτος ΑΒ (, ΑΓ (, ΑΕ ( 7, ΑΔ ( 6, ΒΕ ( 9, 7 Δίοτι τ σημεί Α (,, Β (,5, Γ (,, Δ(, Ν συδέσετε με μι γρμμή κάθε τμήμ της πρώτης στήλης με τις συτετγμέες του μέσου του στη δεύτερη στήλη Τμήμ Συτετγμέες μέσου ΑΒ (, ΒΓ 7, ΓΔ 7, ΑΓ (, 8 Ν άλετε σε κύκλο το ριθμό που τιστοιχεί στη σωστή πάτηση (i Δίετι το διάυσμ (, κι τ σημεί Α (,, Β (,7, Γ (, κι Δ (,5 Ποιο πό τ διύσμτ είι ίσο με το : ΑΒ ΑΓ ΔΒ ΒΔ 5 ΔΓ

56 5 (ii Δίετι το διάυσμ (, Ποιο πό τ διύσμτ είι πράλληλο με το : (8, γ (, δ (6, 9 Δίοτι τετράγωο ΑΒΓΔ με κέτρο Ο κι πλευρά Ν ρείτε ως συάρτηση του τ εσωτερικά γιόμε: Δ Γ (i ΑΒ ΑΔ (iv (ii ΟΓ ΟΑ ΑΒ ΑΓ (v ΑΒ ΔΓ (iii ΟΑ ΟΒ (vi ΑΒ ΓΔ Τ διύσμτ u κι v έχου μέτρ κι τιστοίχως Ν ρείτε το γιόμεο u v, η γωί τω διυσμάτω υτώ είι: i ii iii 6 iv 9 v vi 5 vii 8 Ν άλετε σε κύκλο τη σωστή πάτηση: Α u v u w κι u, τότε Α v w Β v // w Γ u v w Δ u v w Ν συδέσετε με μι γρμμή κάθε ζεύγος διυσμάτω της πρώτης στήλης με το είδος της γωίς τους που φέροτι στη δεύτερη στήλη Διύσμτ Γωί u ( 7,5, v (, ορθή u (,, v (, u (,5, v (6, οξεί u (,, v ( 5, 5 u (,, v (, μλεί 6 u ( κ, λ, v ( λ, κ Γι τ διύσμτ του πρκάτω σχήμτος άλετε σε κύκλο τη σωστή πάτηση: (i AB AΔ > AB AΓ Γ (ii AB AΔ < AB AΓ Δ (iii AB AΔ AB AΓ Α Β Α O B

57 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισγωγή Η ιδέ της χρησιμοποίησης εός συστήμτος συτετγμέω γι το προσδιορισμό της θέσης εός σημείου πάω σε μι επιφάει προέρχετι πό τη Γεωγρφί κι ήτ γωστή στους ρχίους γεωγράφους Στη εφρμογή υτής της ιδές στη Γεωμετρί στηρίζετι η έοι της εξίσωσης μις κμπύλης, δηλδή της λγερικής ισότητς που ικοποιείτι πό τις συτετγμέες τω σημείω της κμπύλης (κι μόο υτώ Η έοι υτή θεωρείτι σήμερ τόσο πλή, ώστε η διδσκλί της ρχίζει πό το Γυμάσιο Στη πργμτικότητ όμως η εξέλιξή της χρειάστηκε πολύ χρόο κι υπήρξε το ποτέλεσμ μις σύθεσης άμεσ στη Γεωμετρί κι στη Άλγερ, με επσττικές συέπειες γι τ Μθημτικά κι τις Θετικές Επιστήμες Η άγκη κι τ πρώτ ίχη εός συστήμτος φοράς εμφίζοτι στη ρχί ελληική Γεωμετρί κτά τη μελέτη τω κωικώ τομώ (δηλδή της προλής, της υπερολής κι της έλλειψης, τις οποίες θ μελετήσουμε πρκάτω Ο Απολλώιος στο ο ιλίο τω Κωικώ, φού ορίζει υτές τις κμπύλες στερεομετρικά ως τομές του κώου πό έ επίπεδο, χρησιμοποιεί δύο συγκεκριμέες ευθείες του σχήμτος, γι ποδείξει χρκτηριστικές ιδιότητες κάθε κμπύλης Γι πράδειγμ, στη προλή του διπλού σχήμτος ποδεικύει ότι φέρουμε τη κάθετη ΚΛ ( τετγμέως κτγόμεη πό σημείο της κμπύλης προς τη διάμετρο ΖΗ, τότε το τετράγωο με πλευρά ΚΛ είι ισοδύμο με το ορθογώιο που έχει πλευρές ΖΛ, ΖΘ, όπου ΖΘ έ τμήμ κάθετο στη ΖΗ στη κορυφή κμπύλης (το μήκος του οποίου προσδιορίζετι πό το είδος του κώου κι πό τη θέση του τέμοτος επιπέδου Θ Ζ Κ Λ Τετγμέως κτγόμεη Η

58 56 Η σχέση ΚΛ ΖΘ ΖΛ ισοδυμεί έι με τη σύγχροη εξίσωση p της προλής, όπου, οι συτετγμέες τω σημείω της ως προς έ ορθογώιο σύστημ συτετγμέω με άξοες το άξο συμμετρίς της προλής κι τη κάθετη σ υτό στη κορυφή της Η σική διφορά άμεσ στη ρχί κι στη σύγχροη μέθοδο ρίσκετι στο γεγοός ότι η τελευτί χρησιμοποιεί τη συμολική πράστση τω γεωμετρικώ σχέσεω κι ξιοποιεί τη ευελιξί του λγερικού λογισμού (που εκφράζετι με τη χρήση ρητικώ συτετγμέω κτλ Αυτό το ποφσιστικό ήμ έγιε γύρω στο 6 πό τους R Descartes κι P Fermat, οι οποίοι επιχείρησ χρησιμοποιήσου στη μελέτη δύσκολω προλημάτω της ρχίς ελληικής Γεωμετρίς τη συμολική Άλγερ που είχε δημιουργηθεί στη διάρκει του 6ου ιώ πό τους Cardano, Viete κά Στ έργ τω Descartes κι Fermat δε υπάρχου οι άξοες συτετγμέω ή οι εξισώσεις τω κμπύλω που χρησιμοποιούμε σήμερ, λλά περιγράφετι με συστημτικό τρόπο η διδικσί γωγής εός γεωμετρικού προλήμτος σε λγερικό (ή τίστροφ Ιδιίτερη επίδρση είχε το έργο του Descarte La Géométrie (67, στο οποίο κριώς γι γίει πιο ποτελεσμτική η χρήση του λγερικού λογισμού στη Γεωμετρί εισάγοτι έοι συμολισμοί (όπως, γι πράδειγμ, η εκθετική γρφή τω δυάμεω, που φέρου ουσιστικά τη Άλγερ στη σημεριή μορφή της Ύστερ πό τη πρώτη σύθεση της Άλγερς κι της Γεωμετρίς, οι εξελίξεις υπήρξ ργδίες κι οδήγησ στη κετρική έοι της σύγχροης Αλυτικής Γεωμετρίς: Η εξίσωση μις κμπύλης, πό οηθητικό μέσο γι τη λύση εός γεωμετρικού προλήμτος, γίετι μέσο ορισμού κι πράστσης υτής της κμπύλης Ο J Wallis, στο ιλίο του Tractatus de sectionibus conicis (655, ορίζει τη έλλειψη, τη προλή κι τη υπερολή τόσο με το κλσικό τρόπο, ως τομές κώου, όσο κι με εξισώσεις ου θμού, εώ ο I Newton το 676 χρησιμοποιεί με συστημτικό τρόπο δύο άξοες κι ρητικές συτετγμέες, γι μελετήσει κι τξιομήσει τις κμπύλες τρίτου θμού Στη εργσί επίσης του Newton Artis analticae specimina vel geometria analtica (που δημοσιεύτηκε το 779 χρησιμοποιείτι γι πρώτη φορά ο όρος Αλυτική Γεωμετρί Οι εξελίξεις υτές, που έλ χώρ πράλληλ με τη δημιουργί του διφορικού κι ολοκληρωτικού λογισμού, διμόρφωσ έ έο κλάδο τω Μθημτικώ Ο ος τόμος του κλσικού έργου του L Euler Introductio in analsin infinitorum (78 ποτελεί έ πλήρες διδκτικό εγχειρίδιο Αλυτικής Γεωμετρίς, στο οποίο οι κμπύλες του επιπέδου κι οι επιφάειες Τετγμέη Τετμημέη

59 57 του χώρου ορίζοτι κι εξετάζοτι ποκλειστικά μέσω τω εξισώσεώ τους ως προς έ πλγιογώιο σύστημ συτετγμέω ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ Εξίσωση Γρμμής Α έχουμε μι εξίσωση με δύο γώστους, γι πράδειγμ τη λύση της εξίσωσης υτής λέγετι κάθε ζεύγος ριθμώ (, που τη επληθεύει Έτσι, γι πράδειγμ, τ ζεύγη (, (,, (,9, (,,, τότε,, (, είι λύσεις της Α τώρ σε έ σύστημ συτετγμέω πρστήσουμε με σημεί όλες τις λύσεις της εξίσωσης, τότε θ προκύψει η γρμμή C, του διπλού σχήμτος που, όπως O γωρίζουμε πό προηγούμεες τάξεις λέγετι προλή Επειδή οι συτετγμέες (, τω σημείω M(, της προλής C, κι μόο υτές, επληθεύου τη εξίσωση, γι υτό η εξίσωση λέγετι εξίσωση της προλής C Γεικά: Μι εξίσωση με δύο γώστους, λέγετι εξίσωση μις γρμμής C, ότ οι συτετγμέες τω σημείω της C, κι μόο υτές, τη επληθεύου Στη συέχει, τί λέμε, γι πράδειγμ, δίετι η προλή C με εξίσωση, θ λέμε δίετι η προλή C : ή πλώς δίετι η προλή Με τις εξισώσεις τω γρμμώ μπορούμε με λγερικές μεθόδους μελετήσουμε τις γεωμετρικές ιδιότητες τω γρμμώ υτώ ή τιμετωπίσουμε διάφορ άλλ συφή προλήμτ Αυτό είι κι το σικό τικείμεο της Αλυτικής Γεωμετρίς Συτελεστής Διεύθυσης Ευθείς

60 58 Η ευθεί γρμμή είι η πλούστερη κι η πιο συχά χρησιμοποιούμεη γρμμή Στη ζήτηση της εξίσωσης μις ευθείς θ μς διευκολύει η έοι του συτελεστή διεύθυσης ευθείς Έστω O έ σύστημ συτετγμέω στο επίπεδο κι ε μι ευθεί που τέμει το άξο στο σημείο Α ε ε Ο ω Α ω Ο Α Τη γωί ω που διγράφει ο άξος ότ στρφεί γύρω πό το Α κτά τη θετική φορά μέχρι συμπέσει με τη ευθεί ε τη λέμε γωί που σχημτίζει η ε με το άξο Α η ευθεί ε είι πράλληλη προς το άξο, τότε λέμε ότι σχημτίζει με υτό γωί ω Σε κάθε περίπτωση γι τη γωί ω ισχύει ω < 8 ή σε κτίι ω< π Ως συτελεστή διεύθυσης μις ευθείς ε ορίζουμε τη εφπτομέη της γωίς ω που σχημτίζει η ε με το άξο Προφώς ο συτελεστής διεύθυσης μις ευθείς είι θετικός, η γωί ω που σχημτίζει με το άξο είι οξεί κι ρητικός, είι μλεί Α η ευθεί σχημτίζει με το μηδεική γωί, δηλδή είι πράλληλη στο άξο, ο συτελεστής διεύθυσης είι ίσος με μηδέ Στη περίπτωση που η γωί της ευθείς ε με το άξο είι 9, δηλδή η ευθεί ε είι κάθετη στο άξο, δε ορίζουμε συτελεστή διεύθυσης γι τη ευθεί υτή Ότ είι γωστά έ σημείο μις ευθείς κι ο Β(-5, συτελεστής διεύθυσης της ευθείς, τότε μπορούμε σχεδιάσουμε τη ευθεί Γι A(-, πράδειγμ, γι σχεδιάσουμε τη ευθεί που Ο διέρχετι πό το σημείο Α(-, κι έχει συτελεστή διεύθυσης λ -, ρκεί πό το Α κιηθούμε μοάδες προς τ ριστερά κι

61 59 στη συέχει μοάδες προς τ πάω Προσδιορίζουμε έτσι το σημείο B (-5,, οπότε η ζητούμεη ευθεί είι η AB Έστω τώρ έ διάυσμ δ πράλληλο σε μι ευθεί ε Α φ κι ω είι οι γωίες που σχημτίζου το δ κι η ε με το τιστοίχως, τότε θ ισχύει φ ω ή φ π ω κι επομέως εφ φ εφω Άρ: Ότ μι ευθεί κι έ διάυσμ είι πράλληλ, έχου το ίδιο συτελεστή διεύθυσης Ο δ φ ω ε φ ω Ο ω ω ε φω δ φπω Α είι γωστές οι συτετγμέες δύο σημείω μις μη κτκόρυφης ευθείς ε, δηλδή μις ευθείς που δε είι κάθετη στο άξο, τότε μπορούμε ρούμε κι το συτελεστή διεύθυσης της ευθείς υτής Πράγμτι, A (, κι B (, είι δύο σημεί της ευθείς ε, τότε ο συτελεστής διεύθυσης της ε είι ίσος με το συτελεστή διεύθυσης του διύσμτος - AB ( -, -, δηλδή ίσος με Επομέως: - Ο συτελεστής διεύθυσης λ μις ευθείς που διέρχετι πό τ σημεί A (, κι B (,, με είι λ Γι πράδειγμ, ο συτελεστής διεύθυσης της ευθείς που διέρχετι πό τ ( σημεί A (, κι B (, είι λ Συθήκες Κθετότητς κι Πρλληλίς Ευθειώ

62 6 Με τη οήθει του συτελεστή διεύθυσης ευθείς, μπορούμε διτυπώσουμε τις συθήκες πρλληλίς κι κθετότητς δύο ευθειώ στο επίπεδο Πράγμτι, ε,ε είι δύο ευθείες με τίστοιχους συτελεστές διεύθυσης λ,λ κι τ διύσμτ δ κι δ είι πράλληλ προς τις ε κι ε τιστοίχως, έχουμε τις ισοδυμίες ε // ε δ // δ λ λ κι ε ε δ δ λ λ Επομέως, οι ευθείες ε κι ε έχου συτελεστές διεύθυσης λ κι λ τιστοίχως, τότε: ε κι ε ε λ λ // ε λ λ Εξίσωση Ευθείς Μι ευθεί στο επίπεδο κθορίζετι, ότ δίοτι έ σημείο της κι ο συτελεστής διεύθυσής της ή δύο σημεί της Θ ρούμε τη εξίσωση της ευθείς σε κθεμιά πό τις δύο υτές περιπτώσεις Έστω O έ σύστημ συτετγμέω στο επίπεδο κι A (, έ σημείο του επιπέδου Ζητάμε τη εξίσωση της ευθείς ε που διέρχετι πό το Α κι έχει συτελεστή διεύθυσης λ ε M(, Έ σημείο M (, διφορετικό του Α(, A, ήκει στη ε, κι μόο το ( διάυσμ AM είι πράλληλο στη ε, δηλδή Ο κι μόο το AM κι η ε έχου το ίδιο συτελεστή διεύθυσης Επειδή AM (,, έχουμε λ AM Επομέως, το σημείο M (, ήκει στη ε κι μόο λ ή λ( Η τελευτί εξίσωση επληθεύετι κι πό το σημείο A, Άρ η εξίσωση της ευθείς ε είι: ( Με το συμολισμό ε // ε εοούμε ότι οι ευθείες ε κι ε είι πράλληλες ή συμπίπτου φ

63 6 λ( ( Γι πράδειγμ, η ευθεί που διέρχετι πό το σημείο A(, κι έχει συτελεστή διεύθυσης λ έχει εξίσωση (, δηλδή Έστω ε η ευθεί που διέρχετι πό τ σημεί A (, κι B (, Α, τότε ο συτελεστής διεύθυσης της ευθείς είι λ κι επομέως η εξίσωση λ γίετι: ( ( ( ε B(, Α(, Ο Οι εξισώσεις ( κι ( δε μπορού χρησιμοποιηθού, ότ η ευθεί ε είι κτκόρυφη, φού στη περίπτωση υτή δε ορίζετι ο συτελεστής διεύθυσης της ευθείς Όμως η εξίσωση μις κτκόρυφης ευθείς που διέρχετι πό το σημείο A (, μπορεί ρεθεί μέσως, φού κάθε σημείο της Μ έχει τετμημέη κι άρ η εξίσωσή της είι: Γι πράδειγμ, η ευθεί που διέρχετι πό τ σημεί A (,5 κι B (, έχει 5 εξίσωση 5 (, η οποί μετά τις πράξεις γίετι κι η 7 7 κτκόρυφη ευθεί που διέρχετι πό το σημείο A (,5 έχει εξίσωση Ειδικές περιπτώσεις Η εξίσωση ευθείς που τέμει το άξο στο σημείο A (, κι έχει συτελεστή διεύθυσης λ είι λ(, η οποί τελικά γράφετι λ ε Α(, Ο

64 6 Α μι ευθεί διέρχετι πό τη ρχή τω ξόω κι έχει συτελεστή διεύθυσης λ, τότε η εξίσωσή της είι λ( ή λ ε Ο δ δ Έτσι, οι διχοτόμοι τω γωιώ O κι O έχου εξισώσεις κι τιστοίχως - 5 o 5 o Ο Τέλος, μι ευθεί διέρχετι πό το σημείο A (, κι είι πράλληλη στο άξο, δηλδή είι όπως λέμε μι οριζότι ευθεί, έχει εξίσωση (, δηλδή ε Α(, Ο ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Δίετι τρίγωο με κορυφές τ σημεί A (,, B (,5 κι Γ (, Ν ρεθού οι εξισώσεις: i Του ύψους που άγετι πό τη κορυφή Α ii Της διμέσου που άγετι πό τη κορυφή Β iii Της μεσοκθέτου της πλευράς ΑΓ ΛΥΣΗ 5 (i Επειδή λ BΓ, ο συτελεστής Α(-, Β(,5 Μ Γ(, Ο

65 6 διεύθυσης του ύψους του τριγώου πό το Α είι ύψους είι ( ή λ Επομέως, η εξίσωση του (ii Το μέσο Μ του τμήμτος ΑΓ έχει συτετγμέες,, 5 Επομέως, ο συτελεστής διεύθυσης της διμέσου ΒΜ είι λ 7 κι άρ η εξίσωση της ΒΜ είι 5 7(, η οποί γράφετι ισοδύμ 7 (iii Επειδή η ευθεί ΑΓ έχει συτελεστή διεύθυσης, η οποιδήποτε 5 κάθετος σε υτή έχει συτελεστή διεύθυσης 5, επομέως η εξίσωση της μεσοκθέτου είι 5 ή ισοδύμ 5 6 κι το σημείο A (, Ν ρεθού οι συτετγμέες του συμμετρικού του σημείου Α ως προς τη ευθεί ε Δίοτι η ευθεί ε με εξίσωση ΛΥΣΗ Α A ( μ, είι το συμμετρικό του Α ως προς Α (μ, τη ε, τότε το μέσο Μ του A A ε ήκει στη ε κι το γιόμεο τω συτελεστώ διεύθυσης Μ τω ε κι A A είι -, φού ε AA Οι συτετγμέες του μέσου Μ είι Α(, μ, κι ο συτελεστής διεύθυσης Ο του A A είι Έτσι έχουμε το σύστημ μ μ, το οποίο μετά τη εκτέλεση τω πράξεω γράφετι μ μ μ 5