Δυαδικά Συστήματα. URL:

Transcript

1 Ø ÖÓ Ü Ñ ÒÓ ÓØ Δυαδικά Συστήματα ôö Ó Éº Ð Ü Ò Ö ÔÓÙÐÓ Ä ØÓÖ Èº º ¼» ¼ URL: ÌÑ Ñ Ô Ø Ñ Ì ÕÒÓÐÓ Ì Ð Ô Ó ÒÛÒ ôò

2 È Ö Õ Ñ Ò Ù Ë Ø Ñ ½ ¾ Δυαδικό Σύστημα Μετατροπή Βάσης Αριθμού Αλγεβρικές Πράξεις Συμπληρώματα Αριθμών Αφαίρεση με Συμπληρώματα Προσημασμένοι Δυαδικοί Αριθμοί ΔυαδικοίΚώδικες ΑποθήκευσηΔυαδικήςΠληροφορίας ΔυαδικήΛογική

3 ËÙ Ø Ñ Ø Ù Ë Ø Ñ Ο ψηφιακός Η/Υ χρησιμοποιεί διακριτά στοιχεία πληροφορίας Η πληροφορία παριστάνεται σε δυαδική μορφή χρησιμοποιώντας το δυαδικό σύστημα αρίθμησης και δυαδικούς κώδικες Η επεξεργασία στον Η/Υ διεξάγεται με τα δυαδικά λογικά στοιχεία που χρησιμοποιούν δυαδικά σήματα Η αποθήκευση δεδομένων λαμβάνει χώρα σε δυαδικά στοιχεία αποθήκευσης Βασικά εργαλεία της λογικής σχεδίασης: Δυαδικοί αριθμοί Δυαδικοί κώδικες Άλγεβρα Boole

4 Ò Ô Ö Ø Ö ÑÓ Å Ø ØÖÓÔ Ö ÑÓ Ð Ö ÈÖ Ü Αριθμός με υποδιαστολή και βάση συστήματος αρίθμησης β: (α i α i 1 α 1 α 0.α 1 α j+1 α j ) β i+j +1συντελεστές α n όπουτο n = i,i 1,,1,0, 1, j +1, j α n {0,1,...,β 1} È Ö Ñ Ø ËÙ Ø Ñ ØÛÒ Ö Ñ 2¹ BIN): β = 2 α n {0,1} 8¹ OCT): β = 8 α n {0,1,...,7} 10¹ DEC): β = 10 α n {0,1,...,9} 16¹ HEX): β = 16 α n {0,1,...,9,A,B,C,D,E,F}

5 Å Ø ØÖÓÔ Ö ÑÓ Ð Ö ÈÖ Ü Å Ø ØÖÓÔ ØÓ 10¹ Ë Ø Ñ Στο β-δικό σύστημα αρίθμησης: Στο 10-δικό σύστημα αρίθμησης: (α i α i 1 α 1 α 0.α 1 α j+1 α j ) β ( αi β i +α i 1 β i 1 + +α 1 β 1 +α 0 β 0 Παραδείγματα: +α 1 β 1 + +α j+1 β j+1 +α j β j) 10 (132.52) 10 = 1x x x x x10 2 (110.01) 2 = ( 1x2 2 +1x2 1 +0x2 0 +0x2 1 +1x2 2) 10 = (5.25) 10 (27.1) 8 = ( 2x8 1 +7x8 0 +1x8 1) 10 = (23.125) 10 (A5F) 16 = ( 10x x x16 0) 10 = (2655) 10

6 Å Ø ØÖÓÔ Ö ÑÓ Ð Ö ÈÖ Ü Å Ø ØÖÓÔ Ô ØÓ 10¹ ØÓ β¹ Χωριστήμετατροπήτουακεραίουκαικλασματικούμέρουςτου (x.y) 10 : Ακέραιομέρος (α i α i 1 α 1 α 0 ) β : ÓÕ Ö Ñ Ø Ò ÔÖÓ Ñ Ø ØÖÓÔ β Ñ ÕÖ ØÓ Ô Ð Ó Ò Ñ Ò Ø ÍÔ ÐÓ ÔÓ 1 Ö α 0 ÍÔ ÐÓ ÔÓ 2 Ö α 1... ÍÔ ÐÓ ÔÓ Ø Ð ÙØ ØÛ i¹ó Ø µ Ö α i Κλασματικόμέρος (0.α 1 α j+1 α j ) β : ÓÕ Ó ÔÓÐÐ ÔÐ ÑÓ Ñ Ø Ò ÔÖÓ Ñ Ø ØÖÓÔ β Ñ ÕÖ ØÓ Ò Ñ ÒÓ Ò Ò Ö Ó Ö Ñ Ö Ó Ñ ÖÓ 1ÓÙ ÔÓÐ» ÑÓ α 1 Ö Ó Ñ ÖÓ 2ÓÙ ÔÓÐ» ÑÓ α 2... Ö Ó Ñ ÖÓ Ø Ð ÙØ ÓÙ ØÛ j¹ó ØÓ µ ÔÓÐ» ÑÓ α j

7 È Ö Ñ Ø Ù Ë Ø Ñ Å Ø ØÖÓÔ Ö ÑÓ Ð Ö ÈÖ Ü Μετατροπή Ακεραίου Αριθμού Ö Ó È Ð Ó Èµ ÍÔ ÐÓ ÔÓ Íµ ËÙÒØ Ð Ø Ëµ AΠ Υ Σ 75 2 = 37 1 α 0 = = 18 1 α 1 = = 9 0 α 2 = = 4 1 α 3 = = 2 0 α 4 = = 1 0 α 5 = = 0 1 α 6 = 1 (75) 10 = ( ) 2 AΠ Υ Σ 75 8 = 9 3 α 0 = = 1 1 α 1 = = 0 1 α 2 = 1 (75) 10 = (113) 8 AΠ Υ Σ = 4 11 α 0 = 11(= B) 4 16 = 0 4 α 1 = 4 (75) 10 = (4B) 16

8 È Ö Ñ Ø Ù Ë Ø Ñ Å Ø ØÖÓÔ Ö ÑÓ Ð Ö ÈÖ Ü Μετατροπή Κλασματικού Αριθμού Ö Ó Å ÖÓ Åµ Å ÖÓ Åµ AM M Σ x α 1 = x α 2 = x α 3 = 1 0.5x2 1 0 α 4 = 1 (0.6875) 10 = (0.1011) 2 AM M Σ x α 1 = 5 0.5x8 4 0 α 2 = 4 (0.6875) 10 = (0.54) 8 AM M Σ x α 1 = 11(= B) (0.6875) 10 = (0.B) 16

9 È Ö Ñ Ø Ù Ë Ø Ñ Å Ø ØÖÓÔ Ö ÑÓ Ð Ö ÈÖ Ü Μετατροπή 10-δικού Αριθμού με Υποδιαστολή ( ) 10 = ( ) 2 ( ) 10 = (113.54) 8 ( ) 10 = (4B.B) 16 Επαλήθευση στο 10-δικό = x8 0 +5x8 1 +4x8 2 = x x x16 1 =

10 8¹ 16¹ Ë Ø Ñ Å Ø ØÖÓÔ Ö ÑÓ Ð Ö ÈÖ Ü Ημετατροπήενόςαριθμούαπότο 2-δικόσύστημαστο 8-δικόκαιστο 16-δικό επιτυγχάνεται εύκολα! Το 8-δικό και το 16-δικό σύστημα χρησιμοποιούνται συχνά στην επικοινωνία μας με τους ψηφιακούς υπολογιστές 8-δικό(OCT): α n {0,1,...,7} 16-δικό(HEX): α n {0,1,...,9,A,B,C,D,E,F} 2-δικόσε 8(2 3 )-δικό(χωρίζωσετριάδες) ( }{{} 11 }{{} 001 }{{} 101. }{{} 111 }{{} 001 }{{} 01 ) 2 = ( ) δικόσε 16(2 4 )-δικό(χωρίζωσετετράδες) (1100 }{{} 1101 }{{} }{{} 0101 }{{} ) 2 = (CD.E5)

11 Å Ø ØÖÓÔ Ö ÑÓ Ð Ö ÈÖ Ü Å Ø ØÖÓÔ Ô 8¹ 16¹ 2¹ Ακολουθώ την αντίστροφη διαδικασία από προηγουμένως Παραδείγματα: 8(2 3 )-δικόσε 2-δικό: (71.23) 8 = ( }{{} 111 }{{} 001. }{{} 010 }{{} ) 2 16(2 4 )-δικόσε 2-δικό: (F5.A3) 16 = ( }{{} }{{} }{{} 0011 }{{} ) 2

12 Å Ø ØÖÓÔ Ö ÑÓ Ð Ö ÈÖ Ü Ð Ö ÈÖ Ü ØÓ 2¹ Ë Ø Ñ Οι κανόνες αλγεβρικών πράξεων στο β-δικό σύστημα αρίθμησης είναι αυτοί που γνωρίζουμε από το 10-δικό ÈÖ 2¹ ôò Ý ÛÒ = = = = 10 ¼ Ö ØÓ Ñ ÒÓ 1 Ø Ò Ô ÖÔØÛ Ò Ý ÓÙµ Ö 2¹ ôò Ý ÛÒ 0 0 = = = = 1 ÕÖ ÑÓÔÓ Ò Ö ØÓ Ñ ÒÓ 1µ ÈÓÐÐ ÔÐ Ñ 2¹ ôò Ý ÛÒ 0x0 = 0 0x1 = 1 1x0 = 1 1x1 = 1

13 Å Ø ØÖÓÔ Ö ÑÓ Ð Ö ÈÖ Ü Ð Ö ÈÖ Ü ØÓ 2¹ Ë Ø Ñ Πρόσθεση: (8.75) 10 = ( ) 2 και (1.5) 10 = (1.1) (10.25) 10 = ( ) 2

14 Å Ø ØÖÓÔ Ö ÑÓ Ð Ö ÈÖ Ü Ð Ö ÈÖ Ü ØÓ 2¹ Ë Ø Ñ Αφαίρεση: (8.75) 10 = ( ) 2 και (1.5) 10 = (1.1) (7.25) 10 = (111.01) 2

15 Å Ø ØÖÓÔ Ö ÑÓ Ð Ö ÈÖ Ü Ð Ö ÈÖ Ü ØÓ 2¹ Ë Ø Ñ Πολλαπλασιασμός: (8.75) 10 = ( ) 2 και (1.5) 10 = (1.1) x x (13.125) 10 = ( ) 2

16 Å Ø ØÖÓÔ Ö ÑÓ Ð Ö ÈÖ Ü Ð Ö ÈÖ Ü ØÓ 2¹ Ë Ø Ñ Διαίρεση: Η διαίρεση δύο αριθμών στο 2-δικό σύστημα επιτυγχάνεται με τη βοήθεια διαδοχικών αφαιρέσεων Εστω Δ: διαιρετέος και δ: διαιρέτης, τότε: Βήμα1:Ευθυγραμμίζωστο MSBτουςΔκαιδ Βήμα2: ΕστωΧοαριθμόςμέροςτουΔπουεκτείνεταιαπότο MSBτου ΔέωςτοψηφίοτουΔπουείναιευθυγραμμισμένομετο LSBτου δκιέστωυουπόλοιποςαριθμόςμεέστω iψηφία Βήμα 3: Ελέγχω: ΑνΧ δ,σημειώνω 1στο i-οστό MSBτουπηλίκουκι εκτελώ Χ δ ΑνΧ<δ,σημειώνω 0στο i-οστό MSBτουπηλίκου Βήμα4:ΤοποθετώδεξιάαπότοαποτέλεσμαΧ δτο i-οστό MSBτουΖ κιφτιάχνωτονέοχ.θέτω i 1 iκιεπιστρέφωστοβήμα3

17 Å Ø ØÖÓÔ Ö ÑÓ Ð Ö ÈÖ Ü Ð Ö ÈÖ Ü ØÓ 2¹ Ë Ø Ñ Διαίρεση: Z (53 6) 10 = (6x8+5) 10 È Ð Ó Èµ α i,α i 1,...,α 0 {}}{}{{} X Εκτελώ X 110 = 0καιθέτω α 3 = 1 Εφόσον 01 < 110,θέτω α 2 = 0 Εφόσον 010 < 110,θέτω α 1 = 0 Εφόσον 0101 < 110,θέτω α 0 = 0 ΕξάντλησατοΖ,άρα Υ = 101 ( ) 2 = (110x ) 2

18 Ö Ñ ËÙÑÔÐ ÖôÑ Ø Στους ψηφιακούς υπολογιστές χρησιμοποιούνται τα συμπληρώματα με σκοπό την απλοποίηση της αφαίρεσης κι άλλων λογικών πράξεων Για κάθε β-δικό σύστημα υπάρχουν: ËÙÑÔÐ ÖÛÑ Û ÔÖÓ β 1 ËÙÑÔÐ ÖÛÑ Û ÔÖÓ β Εστωοαριθμός A = (α i α i 1 α 1 α 0 ) β,τότε: ËÙÑÔÐ ÖÛÑ Û ÔÖÓ β 1 β i+1 1 A ËÙÑÔÐ ÖÛÑ Û ÔÖÓ β β i+1 A A 0 0 A = 0

19 Ö Ñ ËÙÑÔÐ ÖôÑ Ø Παραδείγματα: Εστωο(1051) 10,τότε: Συμπλήρωμαωςπρος 9: = 8948 }{{} 9999 Συμπλήρωμαωςπρος 10: }{{} = Εστωο(11010) 2,τότε: Συμπλήρωμαωςπρος 1: = 00101(εναλλαγήτων 0 }{{} και 1) Συμπλήρωμαωςπρος 2: }{{} = 00110(= )

20 Ö Ñ ËÙÑÔÐ ÖôÑ Ø Ã Ò Ò Ö ËÙÑÔÐ ÖÛÑ ØÛÒ ØÓ 2¹ Συμπλήρωμα ως προς 1: Αντικαθιστώτα 0με 1καιτα 1με 0,αντίστοιχα Συμπλήρωμα ως προς 2: Αφήνωταλιγότεροσημαντικά 0καιτοπρώτο 1αμετάβλητακι έπειτααντικαθιστώτα 0με 1καιτα 1με 0,αντίστοιχα Στην περίπτωση αριθμού με υποδιαστολή συμπληρώνω αγνοώντας την υποδιαστολή

21 Ö Ñ ËÙÑÔÐ ÖôÑ Û ÔÖÓ β Ö Ñ ËÙÑÔÐ ÖôÑ Ø Η μέθοδος αφαίρεσης με συμπληρώματα και πρόσθεση είναι αυτή που χρησιμοποιείται στα ψηφιακά κυκλώματα Ηαφαίρεσηδύοθετικών n-ψήφιωναριθμών M Nβάσης β επιτυγχάνεται ως: ÈÖÓ ØÛ ØÓ Ñ ÛØ M ØÓ ÙÑÔÐ ÖÛÑ Û ÔÖÓ β ØÓÙ Ö Ø ÓÙ N M N +β n Ò M N ØÓ Ô Ö Ô ÒÛ ÖÓ Ñ Õ Ø Ð Ö ØÓ Ñ ÒÓ β n ØÓ ÓÔÓÓ ÒÓô Òô ÙØ ÔÓÙ Ñ Ò Ò ØÓ ÔÓØ Ð Ñ Ø Ö Ò M < N Ø Ø ÔÖÓ Ý Ö ØÓ Ñ ÒÓ ØÓ Ô Ö Ô ÒÛ ÖÓ Ñ Ó Ø Ñ β n (N M) ÙÑÔÐ ÖÛÑ Û ÔÖÓ β ØÓÙ N Mµº ³ÍÔÓÐÓ ÞÛ ØÓ ÙÑÔÐ ÖÛÑ Û ÔÖÓ β ØÓÙ ÔÓØ Ð Ñ ØÓ ØÓÔÓ Øô Ò Ñ ÓÒ ÑÔÖÓ Ø ØÓÙ Ò ÜÛ Ø ÔÖ Ø ÖÒ Ø

22 Ö Ñ ËÙÑÔÐ ÖôÑ Û ÔÖÓ β Ö Ñ ËÙÑÔÐ ÖôÑ Ø Παραδείγματαμε β = 10: Εστωτο ,τότε: Συμπλήρωμαωςπρος 10του 38: = = Το 1051 > 38(στο προηγούμενο βήμα προέκυψε κρατούμενο) οπότε αγνοώ το τελικό κρατούμενο, δηλαδή εκτελώ: = 1013πουείναικαιτοτελικόαποτέλεσμα

23 Ö Ñ ËÙÑÔÐ ÖôÑ Û ÔÖÓ β Ö Ñ ËÙÑÔÐ ÖôÑ Ø Παραδείγματαμε β = 2: Εστωτο ,τότε: Συμπλήρωμαωςπρος 2του 1100: = = Το > 1100(στο προηγούμενο βήμα προέκυψε κρατούμενο) οπότε αγνοώ το τελικό κρατούμενο, δηλαδή εκτελώ: = 1010πουείναικαιτοτελικόαποτέλεσμα

24 Ö Ñ ËÙÑÔÐ ÖôÑ Û ÔÖÓ β Ö Ñ ËÙÑÔÐ ÖôÑ Ø Παραδείγματαμε β = 10: Εστωτο ,τότε: Συμπλήρωμαωςπρος 10του 1051: = = 8987 Το 38 < 1051(στο προηγούμενο βήμα δεν προέκυψε κρατούμενο), οπότε το τελικό αποτέλεσμα προκύπτει ως: ( ) = 1013πουείναικαιτοτελικόαποτέλεσμα

25 Ö Ñ ËÙÑÔÐ ÖôÑ Û ÔÖÓ β Ö Ñ ËÙÑÔÐ ÖôÑ Ø Παραδείγματαμε β = 2: Εστωτο ,τότε: Συμπλήρωμαωςπρος 2του 10110: = = Το 1100 < 10110(στο προηγούμενο βήμα δεν προέκυψε κρατούμενο), οπότε το τελικό αποτέλεσμα προκύπτει ως: ( ) = 1010πουείναικαιτοτελικόαποτέλεσμα

26 Ö Ñ ËÙÑÔÐ ÖôÑ Ø Ö Ñ ËÙÑÔÐ ÖôÑ Û ÔÖÓ β 1 Παραδείγματαμε β = 2καισυμπληρώμαωςπρος 1: Εστωτο ,τότε: Συμπλήρωμαωςπρος 1του 1100: = = = 11010(κυκλική επαναφορά κρατουμένου πρόσθεσης) Το > 1100(στο προηγούμενο βήμα προέκυψε κρατούμενο) οπότε αγνοώ το τελικό κρατούμενο, δηλαδή εκτελώ: = 1010πουείναικαιτοτελικόαποτέλεσμα

27 Ö Ñ ËÙÑÔÐ ÖôÑ Ø Ö Ñ ËÙÑÔÐ ÖôÑ Û ÔÖÓ β 1 Παραδείγματαμε β = 2καισυμπληρώμαωςπρος 1: Εστωτο ,τότε: Συμπλήρωμαωςπρος 1του 10110: = = Το 1100 < 10110(στο προηγούμενο βήμα δεν προέκυψε κρατούμενο), οπότε το τελικό αποτέλεσμα προκύπτει ως: ( ) = 1010πουείναικαιτοτελικόαποτέλεσμα

28 ÈÖÓ Ñ Ñ ÒÓ 2¹ Ó Ö ÑÓ Η απεικόνιση αρνητικών αριθμών στα ψηφιακά συστήματα επιτυγχάνεται με κατάλληλο συμβολισμό(πχ για 8 bits): Προσημασμένο μέτρο: ( ) 2 = (+15) 10 ( ) 2 = ( 15) 10 Προσημασμένο συμπλήρωμα ως προς 1: ( ) 2 = (+15) 10 ( ) 2 = ( 15) 10 Προσημασμένο συμπλήρωμα ως προς 2: ( ) 2 = (+15) 10 ( ) 2 = ( 15) 10

29 ÈÖÓ Ñ Ñ ÒÓ 2¹ Ó Ö ÑÓ Αναπαράσταση προσημασμένων 10-δικών αριθμών σε 2-δικό

30 ÈÖÓ Ñ Ñ ÒÓ 2¹ Ó Ö ÑÓ Με την απεικόνιση προσημασμένου μέτρου ελέγχω τα πρόσημα των αριθμών κι εκτελώ ανάλογα πρόσθεση ή αφαίρεση. Οι Η/Υ, όμως, χρησιμοποιούν απεικόνιση προσημασμένου συμπληρώματος κι ιδίως του συμπληρώματος ως προς 2. Η πρόσθεση: Προσθέτω τους προσημασμένους 2-δικούς αριθμούς συμπεριλαμβανομένων και των bits των προσήμων τους Στην περίπτωση που το αποτέλεσμα της πρόσθεσης δύο 2-δικών αριθμώντων i bitsκαταλαμβάνει i+1 bits,λέμεότιέχουμε υπερχείλιση Η υπερχείλιση αποτελεί πρόβλημα γιατί ο αριθμός των bits που είναι προορισμένα να απεικονίζουν έναν αριθμό είναι πεπερασμένος Εάν προκύψει κρατούμενο από τα bits προσήμου αγνοείται

31 ÈÖÓ Ñ Ñ ÒÓ 2¹ Ó Ö ÑÓ Πρόσθεση: (+11) + (+3) = (+11) + ( 3) = ( 10) + ( 15) +7 ÙÔ ÖÕ Ð

32 ÈÖÓ Ñ Ñ ÒÓ 2¹ Ó Ö ÑÓ Ηαφαίρεση: Υπολογίζω το συμπλήρωμα ως προς 2 του αφαιρετέου συμπεριλαμβανομένου και του bit προσήμου Προσθέτω το παραπάνω αποτέλεσμα στο μειωτέο συμπεριλαμβανομένων και των bits των προσήμων Εξασφαλίζω ότι δε θα υπάρξει υπερχείλιση για να μην υπάρξει πρόβλημα από το αποτέλεσμα της πρόσθεσης Εάν προκύψει κρατούμενο από τα bits προσήμου αγνοείται

33 ÈÖÓ Ñ Ñ ÒÓ 2¹ Ó Ö ÑÓ Συνοπτικά: (±A) (+B) = (±A)+( B 2 Σ ) (±A) ( B) = (±A)+(+B 2 Σ ) Απεικόνιση Προσημασμένου Συμπληρώματος Το ίδιο κύκλωμα υλικού μπορεί να χρησιμοποιηθεί τόσο για την πρόσθεση όσο και για την αφαίρεση!

34 ÈÖÓ Ñ Ñ ÒÓ 2¹ Ó Ö ÑÓ Αφαίρεση: (+7) (+3) = (+7) ( 3) = +10

35 Ù Ë Ø Ñ 2-δικά σήματα 2-δικά ηλεκτρονικά κυκλώματα 2-δικά ψηφία Εχοντας ν bitsδιαθέσιμααναπαριστώ 2 ν διακριτάστοιχεία πληροφορίας Ακριβής 2-δική αναπαράσταση vs 2-δική κωδικοποίηση Οι 2-δικοί κώδικες χρησιμοποιούνται για να αναπαριστούμε διακριτή πληροφορία Γιαπαράδειγμα,οι 10-δικοίαριθμοί {0,1,...,9}κωδικοποιούνται μετηβοήθεια 4 bits

36 Ãô BCD Ù Ë Ø Ñ Κώδικας Binary Coded Decimal (BCD) Πχστο BCD: το (0111) BCD = (7) 10 μιας και 1x4+1x2+1x1 = 7 Πχστο : το (0111) = (1) 10 μιας και 1x4+1x( 2)+1x( 1)= 1

37 Ãô Gray Ù Ë Ø Ñ 4-bit Κώδικας Gray Οι διαδοχικοί αριθμοί στον κώδικα διαφέρουν μόνο κατά ένα bit Μεταφορά δεδομένων Πιθανότητα σφάλματος. Με τον κώδικας Gray ελαχιστοποιείται η επίδραση σφάλματος Τυπικές εφαρμογές: A/D μετατροπή και διαμόρφωση

38 ³ ÐÐÓ Για αναπαράσταση αριθμών Για αναπαράσταση γραμμάτων(κεφαλαίων, πεζών κτλ) Για αναπαράσταση ειδικών χαρακτήρων(*,% κτλ) Για αναπαράσταση συμβόλων εκτύπωσης Για αναπαράσταση συμβόλων ελέγχου

39 ³ ÐÐÓ Παραδείγματα: 7-bit ASCII 8-bit Extended ASCII 7-bit EBCDIC ISO (Latin-1), (Ελληνικά-1) Unicode, UTF-8, UTF-16, UTF-32

40 Ãô Extended ASCII

41 Ãô Extended ASCII

42 Ãô ÒÕÒ Ù Ë ÐÑ ØÛÒ Κώδικας ελέγχου ισοτιμίας Αριστερά της κωδικής λέξης εισάγεται ένα επιπλέον bit Περιττή ή άρτια ισοτιμία: È Ö ØØ ÔÐ Ó Ô 1 Ø Ð Ü ³ ÖØ Ó ÔÐ Ó Ô 1 Ø Ð Ü

43 ÔÓ Ù Ù ÈÐ ÖÓ ÓÖ Ενα 2-δικό κύτταρο είναι μια διάταξη με δύο σταθερές καταστάσεις κι έτσι είναι ικανή να αποθηκεύσει ένα bit πληροφορίας Καταχωρητής: ομάδα ν 2-δικών κυττάρων Το περιεχόμενο ενός καταχωρητή εξαρτάται από το τι αναπαριστά η λέξη που περιέχει, δηλαδή το εάν είναι κωδικοποιημένη και με ποιο κώδικα 16-bit καταχωρητής

44 Å Ø ÓÖ ÓÑ ÒÛÒ Μεταφορά περιεχομένων καταχωρητών

45 Ô Ü Ö ÓÑ ÒÛÒ Επεξεργασία 2-δικής πληροφορίας

46 Στη 2-δική λογική οι μεταβλητές παίρνουν δυο διακριτές τιμές(πχ. 0και 1,αλήθειακαιψέμακτλ) Περιγράφεται θεωρητικά από την άλγεβρα Boole και χρησιμοποιείται για τη μαθηματική περιγραφή της επεξεργασίας 2-δικών πληροφοριών Υπάρχουν τρεις λογικές πράξεις: ÈÖ Ü Ã Á AND) Ñ Ñ ÓÐÓ ÐÓ ÔÓÐ» Ñ µ ÈÖ Ü ³À OR) Ñ Ñ ÓÐÓ + ÐÓ ÔÖ µ ÈÖ Ü ³ÇÉÁ NOT) Ñ Ñ ÓÐÓ x Ò x 2¹ Ñ Ø Ð Ø Απαιτείται προσοχή στη χρήση των συμβόλων μιας και αυτά χρησιμοποιούνται και στην κλασική άλγεβρα

47 ÄÓ ÈÖ Ü Ù Ë Ø Ñ Εστωοι 2-δικέςμεταβλητές x,y = {0,1}. Αν zτοαποτέλεσμαλογικώνπράξεωντων x, y,τότε: ΠράξηΚΑΙ: z = x y Πράξη Η: z = x+y Πράξη ΟΧΙ: z = x Αναπαριστώντας όλους τους δυνατούς συνδυασμούς των x, y καθώς και του z, προκύπτουν οι πίνακες αληθείας των παραπάνω συναρτήσεων:

48 ÄÓ È Ð Ù Ë Ø Ñ Τάση ( Volts) aaaaaaaaaaaaaaa aaaaaaaaaaaaaaa aaaaaaaaaaaaaaa aaaaaaaaaaaaaaa aaaaaaaaaaaaaaa aaaaaaaaaaaaaaa aaaaaaaaaaaaaaa aaaaaaaaaaaaaaa aaaaaaaaaaaaaaa aaaaaaaaaaaaaaa aaaaaaaaaaaaaaa aaaaaaaaaaaaaaa aaaaaaaaaaaaaaa aaaaaaaaaaaaaaa aaaaaaaaaaaaaaa aaaaaaaaaaaaaaa aaaaaaaaaaaaaaa aaaaaaaaaaaaaaa aaaaaaaaaaaaaaa aaaaaaaaaaaaaaa Υψηλή Στάθμη Λογικό 1 Μεταβατική Περιοχή Χαμηλή Στάθμη Λογικό 0 Οι λογικές πύλες είναι ηλεκτρονικά κυκλώματα που υλοποιούν λογικές πράξεις Οι είσοδοι κι οι έξοδοί τους παίρνουν μόνοδύοτιμέςτάσης(hκαι L) Ο ακροδέκτης εισόδου ή εξόδου βρίσκεται στη μεταβατική περιοχή μόνο κατά τη μετάβαση ανάμεσα στις δύο επιτρεπόμενες περιοχές

49 ÄÓ È Ð Ù Ë Ø Ñ Τα σχηματικά διαγράμματα των παραπάνω λογικών πυλών είναι τα ακόλουθα: Τα σήματα εισόδου εξόδου θα είναι:

50 ÄÓ È Ð Ù Ë Ø Ñ Τα σχηματικά διαγράμματα λογικών πυλών τριών εισόδων θα είναι αντίστοιχα τα ακόλουθα: Οι δε πίνακες αληθείας: