Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα

Transcript

1

2 Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα ISBN Copright, Θωμάς Βαλιάσης, Eκδόσεις Zήτη η έκδοση: Φεβρουάριος, Θεσσαλονίκη Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις του ελληνικού νόμου (N./99 όπως έχει τροποποιηθεί και ισχύει σήμερα) και τις διεθνείς συμβάσεις περί πνευματικής ιδιοκτησίας. Aπαγορεύεται απολύτως η άνευ γραπτής άδειας του εκδότη κατά οποιοδήποτε τρόπο ή μέσο αντιγραφή, φωτοανατύπωση και εν γένει αναπαραγωγή, εκμίσθωση ή δανεισμός, μετάφραση, διασκευή, αναμετάδοση στο κοινό σε οποιαδήποτε μορφή (ηλεκτρονική, μηχανική ή άλλη) και η εν γένει εκμετάλλευση του συνόλου ή μέρους του έργου. Φωτοστοιχειοθεσία Eκτύπωση Βιβλιοδεσία Π. ZHTH & Σια OE 8 ο χλμ Θεσσαλονίκης - Περαίας T.Θ. 47 Περαία Θεσσαλονίκης T.K Tηλ.: Fa: info@iti.gr BIBΛIOΠΩΛO ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ - KENTPIKH IAΘEΣH: Aρμενοπούλου Θεσσαλονίκη Tηλ.: -.7 Fa sales@iti.gr BIBΛIOΠΩΛO AΘHNΩN - ENΩΣH EK OTΩN BIBΛIOY ΘEΣΣAΛONIKHΣ: Στοά του Bιβλίου (Πεσμαζόγλου 5) AΘHNA Tηλ.-Fa: -.97 BIBΛIOΠΩΛO - AΠOΘHKH AΘHNΩN: Χαριλάου Τρικούπη - Τ.Κ. 6 79, Aθήνα Tηλ.-Fa: athina@iti.gr ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟΠΩΛΕΙΟ:

3 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η χρησιμοποίηση του Ηλεκτρονικού Υπολογιστή στο στατικό υπολογισμό των κατασκευών άλλαξε εντελώς τον τρόπο παρουσίασης των μεθόδων της Στατικής. Ο Πολιτικός Μηχανικό που σήμερα επιβάλλεται να χρησιμοποιήσει ένα πρόγραμμα για το στατικό υπολογισμό, πρέπει να έχει την ικανότητα αφενός μεν να δώσει ένα σωστό για τη λειτουργικότητα της κατασκευής στατικό μοντέλο βάσει του οποίου θα εισάγει τα δεδομένα στον υπολογιστή και αφετέρου να ελέγξει τα αποτελέσματα που θα πάρει. Η ικανότητα αυτή αποκτάται μόνο με την πλήρη και σε βάθος γνώση των αρχών της κλασικής Στατικής. Στην ύλη επομένως της κλασικής Στατικής μέθοδοι όπως των ομάδων δυνάμεων, των διορθωτικών υπεραρίθμων, των τριών ροπών για συνεχείς δοκούς, του κυρίου υπερστατικού συστήματος κ.λπ., οι οποίες αναπτύχθηκαν για να διευκολύνουν την επίλυση με το χέρι, δεν έχουν πια πρακτική αξία. Οι δύο τελευταίες μέθοδοι αναπτύσσονται εδώ για εκπαιδευτικούς λόγους. Στη «Στατική των Γραμμικών Φορέων» περιέχονται οι βασικές γνώσεις που διδάσκονται στους φοιτητές του τμήματος Πολιτικών Μηχανικών του ΑΠΘ στα εξάμηνα IV, V και VI. Η όσο το δυνατόν σύντομη αλλά πλήρης ανάπτυξη του θεωρητικού μέρους, ο μεγάλος αριθμός παραδειγμάτων για την κατανόησή του και την κάλυψη των εφαρμογών είναι επιλογές που στοχεύουν στο να γίνει το βιβλίο αυτό ένα χρήσιμο και ευκολότερα αναγνώσιμο βοήθημα για τους φοιτητές στους οποίους βασικά και απευθύνεται. Με την έκδοση του συγγράμματος αυτού ολοκληρώνεται μια προσπάθεια που άρχισε με τη συγγραφή της «Στατικής των Γραμμικών ισοστατικών φορέων» η οποία εκδόθηκε το 995. Ένα δεύτερο μέρος που περιλαμβάνει τους υπερστατικούς φορείς προστέθηκε στην έκδοση του 997. Στη σημερινή τέλος έκδοση του προστέθηκαν και οι φορείς στο χώρο. Έτσι η ύλη του συγγράμματος αυτού διαρθρώνεται ως εξής: Στα κεφάλαια -8 επιλύονται τα διάφορα είδη των ισοστατικών φορέων με τη χρησιμοποίηση των συνθηκών ισορροπίας και προσδιορίζεται η εντατική τους κατάσταση. Στο κεφάλαιο 9 μελετάται η επίδραση των κινούμενων φορτίων στους ισοστατικούς φορείς με τη χρησιμοποίηση των γραμμών επιρροής.

4 8 Στο κεφάλαιο περιλαμβάνονται οι ενεργειακές μέθοδοι υπολογισμού των μετακινήσεων των ισοστατικών φορέων. Στο κεφάλαιο με τίτλο «Γεωμετρικές Μέθοδοι» υπολογίζονται βυθίσεις και κλίσεις σημείων καθώς και η ελαστική γραμμή των ισοστατικών φορέων με βάση τη διαφορική εξίσωση που ισχύει για τον άξονα μιας δοκού που βρίσκεται σε καθαρή κάμψη. Στο κεφάλαιο αναπτύσσεται η μέθοδος των δυνάμεων. Στο κεφάλαιο 4 η κλασική μέθοδος μετακινήσεων δίδεται για διδακτικούς λόγους σε εκτεταμένη μορφή ενώ θα μπορούσε να δοθεί συνοπτικότερα επειδή σημαντικότερη είναι η μητρωϊκή διατύπωσή της, η οποία εισάγει στις μεθόδους υπολογισμού της μητρωϊκής στατικής. Η μητρωϊκή διατύπωση της μεθόδου μετακινήσεων (μέθοδος δυσκαμψίας) αναπτύσσεται στο κεφάλαιο 5. Στο κεφάλαιο 6 αναπτύσσεται η μέθοδος Cross. Στο κεφάλαιο 7 δίδεται η θεωρητική ανάλυση της άμεσης μεθόδου δυσκαμψίας στην οποία στηρίζεται η διατύπωση των περισσοτέρων προγραμμάτων στατικού υπολογισμού των κατασκευών. Στο κεφάλαιο 8, τέλος με συνοπτική θεωρία και ασκήσεις αναπτύσσονται οι φορείς στο χώρο, κεφάλαιο σημαντικό αφού με τέτοιους φορείς θα ασχοληθεί κατά βάσει ο Πολιτικός Μηχανικός. Ευχαριστώ θερμά την κ. Βάσω Μπινίκου-Σιφουνάκη η οποία επιμελήθηκε όλα τα σχήματα. Ευχαριστώ θερμά επίσης τις κ. κ. Μαρίκα Γιουζουκτίδου - Βαφειάδου και Βιργινία Μπαξεβάνη - Παπαδοπούλου οι οποίες δακτυλογράφησαν τα κείμενα και επεξεργάσθηκαν τους τύπους του πρώτου και δεύτερου μέρους, καθώς και τις εκδόσεις Ζήτη οι οποίες ανάλαβαν την υπόλοιπη εκδοτική προσπάθεια. Θεωρώ επίσης χρέος μου να ευχαριστήσω τη σύζυγό μου Ευαγγελία για την κατανόηση και υπομονή που έδειξε όλο αυτό το διάστημα που τόσες πολλές ώρες ήμουν σκυμμένος στο γραφείο μου. Θεσσαλονίκη, Φεβρουάριος ΘΩΜΑΣ Ν. ΒΑΛΙΑΣΗΣ

5 ΠEPIEXOMENA MEPOΣ ΠPΩTO H ENTAΣH TΩN ΓPAMMIKΩN IΣOΣTATIKΩN ΦOPEΩN Εισαγωγή.... Γενικές Αρχές. H κίνηση του δίσκου.... Στηρίξεις Σύνδεσμοι Εξισώσεις στατικής ισορροπίας Υπολογισμός των αντιδράσεων του δίσκου Εσωτερικές δυνάμεις του δίσκου.... Η Απλή Δοκός. Γενικά Επίλυση της δοκού Διαφορικές εξισώσεις της δοκού Χαρακτηριστικές ιδιότητες των διαγραμμάτων M, Q, N ευθύγραμμων δοκών Αρχή της επαλληλίας Συμμετρία Αντισυμμετρία Ομόλογη δοκός Δικτυώματα. Γενικά Μόρφωση των επίπεδων δικτυωμάτων Στατικότητα των δικτυωμάτων Κινητότητα των δικτυωμάτων Παραδοχές για την επίλυση των δικτυωμάτων Μέθοδοι επίλυσης Η Αρθρωτή Δοκός 4. Συνεχής δοκός Αρθρωτή δοκός... 84

6 Πλαίσια 5. Γενικά Απλά αμφιέριστα πλαίσια Τριαρθρωτά πλαίσια Στατικότητα και στερεότητα των πλαισίων Σύνθετα πλαίσια Καμπύλες Δοκοί Τόξα 6. Καμπύλες δοκοί Τόξα Καλωδιακοί Φορείς 7. Γενικά Επίλυση με την εφαρμογή των συνθηκών ισορροπίας Επίλυση με τη βοήθεια της ομόλογης δοκού Αρθρωτός συρμός ράβδων Ενισχυμένες δοκοί 8. Γενικά Επίλυση της ενισχυμένης δοκού Γραμμές Επιρροής 9. Γενικά Ορισμός των γραμμών επιρροής Εύρεση των γραμμών επιρροής Κινηματική μέθοδος Χρησιμότητα των γραμμών επιρροής... MEPOΣ ΔΕΥΤΕΡΟ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΙΣ ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ Εισαγωγή.... Ενεργειακές Μέθοδοι. Γενικά.... Έργο εξωτερικών δυνάμεων.... Υπολογισμός των μετακινήσεων με την εφαρμογή της διατήρησης της ενέργειας...

7 769.4 Υπολογισμός των μετακινήσεων με την εφαρμογή της αρχής των δυνατών έργων Υπολογισμός ορισμένων ολοκληρωμάτων της μορφής φ() ψ()d με τη βοήθεια πινάκων Καταναγκασμοί Υπολογισμός των μετακινήσεων λόγων καταναγκασμών Θεώρημα Castigliano Θεώρημα Betti Το σχήμα του παραμορφωμένου φορέα Γεωμετρικές Μέθοδοι. Γενικά Μέθοδος των ροπών Μέθοδος Mohr Ελαστική γραμμή Ισοστατικοί φορείς με ελαστικές στηρίξεις.... Προσεγγιστική Επίλυση Υπερστατικών Φορέων. Γενικά.... Τρόπος επίλυσης.... Πλαίσια....4 Δικτυώματα... Ú MEPOΣ ΤΡΙΤΟ ΥΠΕΡΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ. Μέθοδος Δυνάμεων (Μέθοδος Ευκαμψίας). Γενικά Το σκεπτικό της μεθόδου δυνάμεων Δείκτες ευκαμψίας Συμμετρία Aντισυμμετρία Εξίσωση των τριών ροπών Μετακινήσεις υπερστατικών φορέων Ελαστική γραμμή υπερστατικών φορέων Γραμμές επιρροής (Γ.E) Υπερστατικοί φορείς με ελαστικές στηρίξεις Κλασική Μέθοδος Μετακινήσεων 4. Γενικά

8 77 4. Κινηματική αοριστία (Γενικά) Οι βαθμοί ελευθερίας της κλασικής μεθόδου μετακινήσεων Σχηματισμός των ράβδων Πρόσημα της μεθόδου μετακινήσεων Δομικά στοιχεία των φορέων Εξισώσεις ροπών - μετακινήσεων Το σκεπτικό της μεθόδου μετακινήσεων Συνεχείς δοκοί Πάγια πλαίσια Υπερπάγια πλαίσια Κινητά πλαίσια Καταναγκασμοί Μητρωϊκή Διατύπωση της Μεθόδου Μετακινήσεων (Μέθοδος Δυσκαμψίας) 5. Υπολογισμός των μεγεθών έντασης Υπολογισμός των μετακινήσεων Υπολογισμός της ελαστικής γραμμής Υπολογισμός των γραμμών επιρροής Έλεγχος των αποτελεσμάτων Παραλληλισμός των μεθόδων δυνάμεων και μετακινήσεων Σχέση μεταξύ του μητρώου ευκαμψίας F και του μητρώου δυσκαμψίας K Μέθοδος Cross 6. Γενικά Πρόσημα της μεθόδου Cross Δείκτης δυσκαμψίας δοκού Συντελεστής μεταβίβασης δοκού Συντελεστής κατανομής Ανάπτυξη της μεθόδου Cross Συνεχείς δοκοί Πάγια και υπερπάγια πλαίσια Κινητά πλαίσια Εφαρμογής της Μεθόδου Μετακινήσεων στον Ηλεκτρονικό Υπολογιστή 7. Γενικά Το σκεπτικό της εφαρμογής της άμεσης μεθόδου δυσκαμψίας στον Ηλεκτρονικό Υπολογιστή Το ημιεύρος ταινίας του συστήματος εξισώσεων ισορροπίας... 64

9 77 8. Φορείς στο Χώρο 8. Γενικά Κίνηση στερεού σώματος στο χώρο Στήριξη στερεού σώματος στο χώρο Εξισώσεις στατικής ισορροπίας Αντιδράσεις Φορτία διατομής Επίλυση χωρικών γραμμικών φορέων Χωροδικτυώματα Μέθοδος ευκαμψίας Μέθοδος δυσκαμψίας Σχάρες ΠΑΡΑΡΤΗΜΑΤΑ I. Πίνακες II. Θέματα εξεταστικών περιόδων στο Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών της Πολυτεχνικής Σχολής του A.Π.Θ Eφ. Στατική I: Iσοστατικοί φορείς (Ένταση Μετακινήσεις Ελαστική γραμμή)... 7 Eφ. Στατική II: Mέθοδος δυνάμεων Eφ. Στατική III: Mέθοδος μετακινήσεων... 75

10 8 ΦΟΡΕΙΣ ΣΤΟ ΧΩΡΟ 8. ΓΕΝΙΚΑ Σχεδόν όλες οι κατασκευές που συναντώνται στην πράξη μπορούν να χαρακτηρισθούν σαν τρισδιάστατες, όχι μόνο γιατί ορθώνονται στο χώρο, αλλά και γιατί δέχονται γενικά φορτία τριών διευθύνσεων. Έτσι π.χ. και η απλή δοκός όταν δέχεται φορτία χώρου, μελετάται σαν ένας τρισδιάστατος φορέας. Στους γραμμικούς φορείς του χώρου τα επιβεβλημένα φορτία και οι αντιδράσεις θεωρούμε ότι διέρχονται από τους κεντροβαρικούς άξονες των δοκών, όπως ακριβώς και στους γραμμικούς επίπεδους φορείς. Για τον λόγο αυτό στην επίλυση αρκεί να σχεδιάζεται ο κεντροβαρικός άξονάς τους. Η μελέτη σε βάθος των επίπεδων γραμμικών φορέων που προηγήθηκε στο σύγγραμμα αυτό, χωρίς παράλληλα να μελετώνται και οι χωρικοί φορείς έγινε γιατί: Είναι απλούστεροι. Επιτρέπουν έτσι την ευκολότερη και σε βάθος κατανόηση και επίλυση των προβλημάτων. Οι νόμοι, οι αρχές και οι μέθοδοι της επίλυσης των στατικών προβλημάτων τους ισχύουν και για τους φορείς στο χώρο, αρκεί να ληφθούν υπόψη και τα επιπλέον μεγέθη που χαρακτηρίζουν τους φορείς αυτούς. Υπάρχουν φορείς στο χώρο που μπορούν υπό ορισμένες συνθήκες να αναλυθούν σ ένα σύνολο επίπεδων φορέων, των οποίων η συνισταμένη στατική συμπεριφορά προσεγγίζει αυτήν των χωρικών φορέων. Η μελέτη των επίπεδων αυτών φορέων προφανώς είναι απλούστερη και θα μπορούσε ενδεχομένως να επιλεγεί στην περίπτωση που δε θα υπήρχε η βοήθεια του υπολογιστή. Στις παραγράφους του κεφαλαίου αυτού θα ορισθούν: η κίνηση και η στήριξη στερεού σώματος, οι αντιδράσεις και τα φορτία διατομής, οι εξισώσεις στατικής ι- σορροπίας, και θα δοθούν παραδείγματα επίλυσης χωρικών φορέων με όλες τις μεθόδους που αναπτύχθηκαν στους επίπεδους φορείς. 8. ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΣΤΟ ΧΩΡΟ Θα μελετηθούν κατ αρχάς δύο θεμελιώδεις μετακινήσεις του στερεού σώματος από τη σύνθεση των οποίων προκύπτει η γενική του κίνηση. α. Παράλληλη μετάθεση (μεταφορική κίνηση) Κατ αυτήν όλα τα σημεία του σώματος μετακινούνται κατά ίσα και παράλληλα διαστήματα και συνεπώς η κίνηση αυτή εκφράζεται από ένα διάνυσμα u(u,u,u ).

11 649 Σ u Σ u Α Α u u Σχ. 8. Στο σχ. 8. η μετακίνηση του σώματος από τη θέση Σ στη θέση Σ έχει διάνυσμα μεταφοράς το u= AA. Οι βαθμοί ελευθερίας της μετακίνησης αυτής είναι οι τρεις συνιστώσες u, u, u. β. Περιστροφή γύρω από έναν άξονα Το στερεό σώμα του σχ. 8. περιστρέφεται γύρω από τον άξονα εε. Μία δε περιστροφή κατά γωνία ω παριστάνεται μ ένα διάνυσμα ω(ω, ω, ω ) στη διεύθυνση εε και αυτή τη γωνία τη διαγράφουν όλα τα σημεία του σώματος. ω ε ω ε ω ω Σχ. 8. Οι βαθμοί ελευθερίας της κίνησης αυτής είναι οι συνιστώσες ω,ω,ω. Η ανάλυση της μεταφορικής ή της περιστροφικής κίνησης γύρω από άξονα σε τρεις συνιστώσες, σημαίνει ότι το στερεό σώμα μπορεί να βρεθεί στην τελική του θέση για κάθε μια κίνηση αντίστοιχα, διαγράφοντας πρώτα τη μετακίνηση u, ή ω, μετά τη μετακίνηση u ή ω και τέλος τη μετακίνηση u, ω.

12 65 γ. Γενική κίνηση Η μετακίνηση ενός στερεού σώματος από την αρχική θέση Σ στην τελική Σ μπορεί να γίνει με την εξής διαδικασία: (σχ. 8.) ω Β Σ ω Α u B Σ u Α u ω u ω u ω u, ω προβολές των u, ω αντίστοιχα στο επίπεδο (, ) Σχ. 8. Επιλέγεται αυθαίρετα ένα σημείο του Α και το σώμα υφίσταται παράλληλη μετάθεση μέχρι το Α να πέσει στο Α (διάνυσμα παράλληλης μετάθεσης u= AA. Περιστρέφεται στη συνέχεια κατά γωνία ω γύρω από άξονα που διέρχεται από το Α μέχρι να συμπέσει στην τελική του θέση Σ. Αν στην παραπάνω διαδικασία επιλεγόταν ένα διαφορετικό σημείο Β του σώματος, τότε n παράλληλη μετάθεση θα ήταν η u= BB και το διάνυσμα ω που θα διερχόταν από το σημείο Β θα ήταν παράλληλο και ίσο μ αυτό του σημείου Α. Από την επιλογή επομένως του σημείου του σώματος ως προς το οποίο αναφέρεται η μετακίνησή του, εξαρτώνται μόνο το σημείο εφαρμογής της u και το σημείο εφαρμογής της ω. Συμπέρασμα: Οι ελευθερίες μετακίνησης του στερεού σώματος στο χώρο είναι έξι. Οι u,u,u του διανύσματος παράλληλης μετατόπισης u και ω,ω,ω του διανύσματος περιστροφής ω. Το ότι οι ελευθερίες μετακίνησης ενός στερεού σώματος είναι έξι μπορεί να προκύψει και από την εξής διαπίστωση: H θέση ενός στερεού σώματος στο σύστημα συντεταγμένων Ο καθορίζεται από τη θέση τριών σημείων του, έστω Α, Β, Γ. Για τον προσδιορισμό δε της θέσης των σημείων αυτών απαιτούνται, για το Α τρεις συντεταγμένες, για το Β δύο γιατί απέχει γνωστή απόσταση από το Α, και για το Γ μία γιατί είναι γνωστή η απόστασή του από το Α και από το Β. Επομένως οι ελευθερίες μετακίνησης είναι έξι.

13 65 8. ΣΤΗΡΙΞΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΣΤΟ ΧΩΡΟ Για να στηριχθεί ισοστατικά ένα στερεό σώμα θα πρέπει να παγιωθούν και οι έξι ελευθερίες μετακίνησής του. Αυτό μπορεί να γίνει απλά με έξι δεσμικές ράβδους ό- πως π.χ. στο σώμα του σχ Στη στήριξη αυτή παρατηρούμε τα εξής: 4 Σχ. 8.4 Οι τρεις ράβδοι κατά τον άξονα στα σημεία,, απαγορεύουν τις μετακινήσεις u,ω,ω και επιτρέπουν τις μετακινήσεις u,u,ω. Μία επιπλέον ράβδος κατά τη διεύθυνση αυτή θα έκανε υπερορισμένη την απαγόρευση των μετακινήσεων αυτών και οι υπόλοιπες ράβδοι δεν θα επαρκούσαν για την απαγόρευση των υπόλοιπων μετακινήσεων. Η προσθήκη των ράβδων στο και στο κατά τη διεύθυνση απαγορεύει τις μετακινήσεις u,ω. Οι ράβδοι αυτές είναι επίσης οι ελάχιστες κατά τη διεύθυνση αυτή για την απαγόρευση των μετακινήσεων αυτών. Η προσθήκη τέλος της ράβδου στο 4 κατά τη διεύθυνση απαγορεύει και τη μετακίνηση u. Οι έξι ράβδοι της ισοστατικής στήριξης μπορούν να συνδυασθούν κατά ποικίλους τρόπους στη στήριξη ενός χωρικού φορέα. Τους συνδυασμούς αυτούς τους βλέπει κανείς στα διάφορα εφέδρανα στήριξης των κατασκευών. Στο σχ. 8.5 υπάρχουν μερικά τέτοια είδη εφεδράνων στήριξης καθώς και εφεδράνων σύνδεσης των δοκών και σημειώνονται οι μετακινήσεις τις οποίες αυτά επιτρέπουν, καθώς και οι αντιδράσεις κατά τις διευθύνσεις των μετακινήσεων που απαγορεύουν. Παράδειγμα φορέα ισοστατικής στήριξης είναι το πλαίσιο του σχ. 8.6 στο οποίο η κυλινδρική καμπτική άρθρωση στο Α και η σφαιρική δικινητή άρθρωση στο Β α- σκούν τις έξι αντιδράσεις που φαίνονται στο σχήμα. Οι κατασκευές είναι φορείς με πολύ μεγάλο συνήθως βαθμό στατικής αοριστίας. Το μονόροφο πλαίσιο π.χ. του σχ. 8.7α έχει n = 6 = 7, όπως προκύπτει από την αναγωγή του σε ισοστατικούς προβόλους (σχ. 8.7β) με τις τομές στους κλειστούς βρόγχους που ισοδυναμεί η καθεμία με την αφαίρεση έξι ράβδων. Όπως στους επίπεδους φορείς, έτσι και στους χωρικούς, υπάρχουν περιπτώσεις διάταξης των ράβδων στήριξης οι οποίες επιτρέπουν απειροστή ή πεπερασμένη κινητότητα, και για το λόγο αυτό πρέπει να αποφεύγονται. Αναφέρονται οι εξής περιπτώσεις: α) Δεν επιτρέπεται οι άξονες των έξι ράβδων στήριξης να τέμνονται προεκτινόμενες σε μία ευθεία, γιατί τότε ο φορέας έχει απειροστή ή πεπερασμένη περιστροφή γύρω από την ευθεία αυτή.

14 65 Εφέδρανα - Κινητότητες Συμβολισμός - Αντιδράσεις Εφέδρανα - Κινητότητες Συμβολισμός - Αντιδράσεις ω u ω u ω R ω M R R R M ω M R ω u ω R R ω R R M ω u ω ω R R M R M R R M ω ω ω R R R ω ω ω R R R ω ω R M R R ω R R M R M Σχ. 8.5 Εφέδρανα στήριξης - μηχανισμοί σύνδεσης δοκών

15 65 A A M AX B Σχ. 8.6 A M AZ B A α. β Σχ. 8.7 β) Δεν επιτρέπεται για την παγίωση ορισμένων διευθύνσεων μετακίνησης ο αριθμός των ράβδων που χρησιμοποιείται να είναι μεγαλύτερος από τον ελάχιστο που απαιτείται, γιατί τότε οι υπόλοιπες ράβδοι δεν επαρκούν να παγιώσουν τις υπόλοιπες διευθύνσεις μετακίνησης. Για το λόγο αυτό: τέσσερεις ράβδοι δεν επιτρέπεται να διέρχονται από το ίδιο σημείο γιατί τρεις αρκούν να παγιώσουν το σημείο αυτό τέσσερεις ράβδοι δεν πρέπει να βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο γιατί από τους επίπεδους φορείς είναι γνωστό ότι τρεις ράβδου αρκούν να παγιώσουν το επίπεδο αυτό τρεις ράβδοι που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο δεν πρέπει να τέμνονται στο ίδιο σημείο γιατί δύο ράβδοι αρκούν για την παγίωση του σημείου αυτού. 8.4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΑΤΙΚΗΣ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ Ένα στερεό σώμα στο οποίο επιδρά ένα σύνολο δυνάμεων, ισορροπεί (ή έχει ο- μαλή μεταφορική ή περιστροφική κίνηση) όταν σύμφωνα με τη θεμελιώδη αρχή της δυναμικής, ισχύουν ως προς οποιαδήποτε σύστημα συντεταγμένων οι εξισώσεις: ΣF=, ΣΜ= 8. Οι εξ. 8. αναφερόμενες στο σύστημα συντεταγμένων (σ.σ.) Ο αναλύονται

16 654 στις εξισώσεις ΣF ΣF ΣF ΣM ΣM ΣM 8. οι οποίες εκφράζουν τις στατικές συνθήκες ισορροπίας του σώματος στο χώρο. Για τη διατύπωση των εξ. 8. σ ένα στερεό σώμα δίδονται οι παρακάτω ορισμοί M F Ροπή δύναμης ως προς σημείο (σχ. 8.8). O r Ορίζεται από τη σχέση M= r F d της οποίας το μέτρο είναι M= F d και είναι ένα διάνυσμα κάθετο στο επίπεδο που ορίζουν η F και το σημείο Ο. Παριστάνεται με ένα διπλό βέλος, με φορά δεξιόστροφης περιστροφής Σχ. 8.8 ε Ροπή δύναμης ως προς άξονα (σχ. 8.9). F Αν F είναι η προβολή της F σ ένα επίπεδο π κάθετο στον άξονα εε, τότε η αξονική ροπή της F ως προς τον άξονα εε ορίζεται από τη σχέση O r Μ= r F 8. π d F της οποίας το μέτρο είναι M= F d. Η M είναι ένα διάνυσμα κάθετο στο επίπεδο π ε και παριστάνεται με διπλό βέλος με φορά δεξιόστροφης Σχ. 8.9 περιστροφής. Προφανώς η M είναι ανε- ξάρτητη από τη θέση του επιπέδου π. Έστω τώρα η δύναμη F η οποία αναφέρεται στο σ.σ. Ο (σχ. 8.). Αυτή αναλύεται στις συνιστώσες F,F,F και η ροπή της F στις αξονικές συνιστώσες M,M,M οι οποίες υπολογίζονται από τις σχέσεις M = F -F M = F -F M = F -F 8.4 Στο σχ. 8. φαίνεται ο τρόπος υπολογισμού της M που είναι ίδιος και για τις M,M. Αν επομένως σ ένα σώμα ενεργεί μια ομάδα δυνάμεων F, F F n στα σημεία ( i, i, i), τότε τα συνιστάμενα φορτία εκφράζονται από τις σχέσεις FΣ = ΣF i FΣ = ΣF i FΣ = ΣF i MΣ = Σ(Fii -Fi i ) MΣ = Σ(Fii -Fi i ) MΣ = Σ(Fii -Fi i ) 8.5 από τις οποίες προκύπτουν οι στερεοστατικές συνθήκες ισορροπίας ΣFΣ ΣFΣ ΣFΣ Σ(Fii - Fi i ) Σ(Fii - Fi i ) Σ(Fii - Fi i ) 8.6 οι οποίες ισχύουν ως προς οποιοδήποτε σύστημα συντεταγμένων.

17 655 F (,,) F M F Σχ, 8. O F F F F Στις εξ. 8.6 είναι δυνατόν να αντικατασταθεί μία, δύο ή και τρεις εξισώσεις δυνάμεων με αντίστοιχες εξισώσεις ροπών, χωρίς να είναι δυνατό να συμβεί το αντίθετο, και να έχουμε έτσι τέσσερεις, πέντε ή έξι εξισώσεις ροπών, υπό την προϋπόθεση στην τελευταία περίπτωση να μην υπάρχει ευθεία που να τέμνει και τους έξι άξονές τους. 8.5 ΑΝΤΙΔΡΑΣΕΙΣ Επιλέγεται ένα σ.σ. Ο για ολόκληρο το φορέα (καθολικό σύστημα συντεταγμένων) (κ.σ.σ.) και τίθενται στις στηρίξεις οι αντιδράσεις τις οποίες αυτές μπορούν να παραλάβουν, κατά τις διευθύνσεις των αξόνων του συστήματος αναφοράς. Για έναν ισοστατικό φορέα οι αντιδράσεις είναι έξι, όσες και οι συνθήκες ισορροπίας που μπορούν να διατυπωθούν (εξ. 8.6) και από την επίλυσή τους υπολογίζονται οι άγνωστες αντιδράσεις. 8.6 ΦΟΡΤΙΑ ΔΙΑΤΟΜΗΣ Έστω η δοκός ΑΒ του σχ. 8.α η οποία κόπηκε από ένα γραμμικό χωρικό φορέα. Για να σχεδιασθεί το διάγραμμα ελευθέρου σώματος, ορίζεται γι αυτήν ένα σύστημα συντεταγμένων (τοπικό σύστημα συντεταγμένων) (τ.σ.σ.) και τίθενται τα φορτία διατομής κατά την διεύθυνση των αξόνων του. Η θετική φορά των φορτίων διατομής της δεξιάς διατομής επιλέγεται να είναι ίδια μ αυτήν του συστήματος αναφοράς, ενώ των φορτίων διατομής της αριστερής διατομής η αντίθετη. Τα φορτία διατομής διακρίνονται σε αξονικά N, διατμητικά Q,Q, ροπές στρέψης M = T και ροπές κάμψης M, M, δηλ. έξι τον αριθμό. Ως προς την επιλογή του σ.σ. Ο της δοκού ΑΒ του σχ. 8. πρέπει να πούμε ότι έγινε με κριτήριο η θετική φορά των N,Q,M να είναι ίδια μ αυτή που ορίσθηκε στους επίπεδους γραμμικούς φορείς. Έτσι η ίνα αναφοράς για τα μεγέθη Q, M είναι στην κάτω επιφάνεια της δοκού (αυτή που δείχνει το βέλος του άξονα ). Επίσης τα μεγέθη Q,M για το σύστημα αυτό συντεταγμένων έχουν την ίνα αναφοράς

18 656 α. M M Q Q N M M Q Q N M A B M β. M M N Q Q M Q Q N M M Σχ. 8. Φορτία διατομής στην πίσω πλευρά της δοκού (αντίθετη αυτής που δείχνει το βέλος του άξονα ). Στο σχ. 8. β φαίνονται επίσης τα θετικά φορτία διατομής σε μία τομή i της δοκού AB. A M M Β διατομή δοκού h b I = bh M b A Β h I = hb M M M h Στενά ορθογώνια (b< h ) I D = bh b (,6 ) h A Β b Πλατιά ορθογώνια I D = bh h h (,6,5 5 ) b b 5 Σχ. 8. Παραμορφώσεις δοκού λόγω M, M, M

19 657 Μετά τον ορισμό των διευθύνσεων και των προσήμων των φορτίων διατομής μπορούν να διατυπωθούν για τη δοκό ΑΒ οι συνθήκες ισορροπίας ΣF ΣF ΣF ΣM ΣM ΣF από τις οποίες υπολογίζονται τα άγνωστα φορτία διατομής. Τα φορτία διατομής μιας δοκού ενός φορέα του χώρου προφανώς δεν μπορούν να αναφέρονται όπως στους επίπεδους φορείς σ ένα καθολικό σύστημα συντεταγμένων παρά μόνο σ ένα τοπικό σύστημα συντεταγμένων. Έτσι για κάθε μία δοκό θα πρέπει να ορίζεται ένα τ.σ.σ. με βάση το οποίο θα ορίζονται τα φορτία διατομής και θα καθίσταται δυνατή η διατύπωση των συνθηκών ισορροπίας. Στο σχήμα 8. φαίνεται η παραμόρφωση της δοκού ΑΒ λόγω καθαρής κάμψης από M, λόγω καθαρής κάμψης από M και λόγω στρέψης από M. 8.7 ΕΠΙΛΥΣΗ ΧΩΡΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ Οι μέθοδοι επίλυσης των επίπεδων γραμμικών φορέων εφαρμόζονται και στην επίλυση των χωρικών γραμμικών φορέων αρκεί να λαμβάνονται υπόψη τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά των φορέων αυτών. Έτσι εκτός από τα φορτία διατομής Q,M,N των επίπεδων φορέων πρέπει να υπολογίζονται και τα Q,M,M. Στον πίνακα. των μετακινήσεων των επίπεδων φορέων αν προστεθούν οι αντίστοιχοι όροι των φορτίων αυτών προκύπτει ο πίνακας 8.. Πίνακας 8. Μετακινήσεις ισοστατικών χωρικών φορέων ) Λόγω εξωτερικής φόρτισης Μ,pM, Μ,pM, Μ,pM, Q,pQ, δip = Ú ds I Ú ds I Ú ds KQ I Ú ds E E E GF D Q Q N N S S +,p,,p, r,p r,r KQÚ ds ds GF + Ú EF + Â EFr ) Λόγω θερμοκρασιακών μεταβολών dδt αδt δ = ÚΜ ds + ÚM ds + Ú N αtds + Â S αt l h h i, θ,,, r, r r ) Λόγω διαφορών συναρμογής (ρήκτη) Â δ i, k = M j, Δφ j + M j, Δφ j + Q j, Δh j + Q j, Δh j + N j, Δs j ) + S r, Δ l r j 4) Λόγω υποχώρησης στηρίξεων Â δ =- R u + R u + R u + M φ + M φ ) i, w j, j j, j j, j j, j j, j l Â

20 658 Στα απλά παραδείγματα που ακολουθούν, επιλύονται ισοστατικοί χωρικοί φορείς και υπερστατικοί χωρικοί φορείς με τη μέθοδο ευκαμψίας και τη μέθοδο δυσκαμψίας. Η σύντομη ανάπτυξη του κεφαλαίου αυτού δεν έχει σαν στόχο να αποκτήσει ο σπουδαστής την ικανότητα επίλυσης τέτοιων φορέων η οποία είναι υπόθεση του υπολογιστή, αλλά να γνωρίσει τα χαρακτηριστικά τους. Παράδειγμα 8.: Στο φορέα του σχ. 8. να βρεθούν: α) Τα διαγράμματα των φορτίων διατομής Q,Q,M,M,M β) Η ελαστική γραμμή κατά τη διεύθυνση και η ελαστική γραμμή κατά τη διεύθυνση. (Να ληφθούν υπόψη παραμορφώσεις μόνο λόγω ροπών). γ) Η στροφή της διατομής της κάθετης στον άξονα στο Β έναντι της διατομής της κάθετης στον άξονα στο Α. δ) Η γραμμή επιρροής [M A ] για κίνηση φορτίου P = στο φορέα ABC, και η γραμμή επιρροής [M ] για κίνηση φορτίου P = στο φορέα ABC. A Δεδομένα: Διατομή δοκών,5,5m, E= KN/m, ν=,5. Για την επίλυση υπολογίζονται τα παρακάτω μεγέθη. 6 Διατομή δοκών,5,5 6,5,5 ΕI = = 5 KN m 6,5,5 = = KN m E G= = = 8 KN/m (+ v) (+,5) 6 6 5,5,5 - D = bh Á-,6 +,5 = 4,6 5 I Ê Ë,5,5 ˆ (βλέπε σελ. 9) 6 - GI = 8,4 = 6,8 D GF = 5 α) Ο φορέας είναι ένας πρόβολος στο χώρο σε σχήμα γάμα και είναι ισοστατικός. Σχεδιάστηκε δε με όλες του τις διαστάσεις χάριν εποπτείας. Αντιδράσεις Ορίζεται το κ.σ.σ. του σχ. 8., τίθενται στην πάκτωση Α οι αντιδράσεις τις οποίες αυτή μπορεί να παραλάβει και διατυπώνονται οι εξισώσεις ισορροπίας ΣF NA + P fi NA =- ΣF QA + P fi QA =-

21 659 ΣF qa - P fi QA = ΣΜA ΜA -P,= fi MA = 4 ΣΜ Μ -P = fi M = 6 A A ΣΜA ΜA -P,-P = fi MA = 4 A Παρατήρηση: Η ροπή της P ως προς Α ισούται με MA = AC P και είναι ένα διάνυσμα κάθετο στο επίπεδο που ορίζουν η P και το σημείο Α. Αλλά επειδή AC = ( + ) είναι B c c P M A = (c + c)p = C = cp + cp =-MA -MA A (κ.σ.σ.) όπου MA = cp =,P επειδή P ^ c MA = cp = P επειδή P ^ c. Οι τιμές των M A, M A προκύπτουν εύκολα και χωρίς την παραπάνω ανάλυση και γι αυτό μπορούν να τίθενται αμέσως στις συνθήκες ισορροπίας. Φορτία διατομής Επιλέγονται τα τ.σ.σ. των δοκών ΑΒ και ΒC που φαίνονται στο σχ. 8.. Δοκός BC: Από το διάγραμμα ελευθέρου σώματος που προκύπτει από μία τομή σε απόσταση i από το C (σχ 8.α) προκύπτει: ΣF Ni ΣF Qi - P Qi = ΣF Qi - P Qi = ΣΜi Mi ΣΜi Mi + P i Mi =-P i (i =, Mi =-, =- 4) ΣΜi Mi - P i Mi = P i (i =, Mi =, = ) Δοκός ΑΒ: Από το διάγραμμα ελευθέρου σώματος του σχ. 8.b προκύπτει ΣF Ni + ΣF Qi - ΣF Qi + ΣMi Mi - 4 ΣMi Mi i Mi =- 6 + i δ (i = MB ) ΣMi Mi i Mi =- 4 + i δ (i = MB =-)

22 66 (κ.σ.σ.) Ο, C P = P = M ZA Q ZA M YA B P = A Q YA N XA M XA M i Q i M i Q i P = P = M i M i Q i N i Q i M i i N i i M i a b N,p : T = M,p : 4 Q,p : M,p : 4 6 Q,p : M,p : 4 Σχ. 8.

23 66 Για τον έλεγχο της ορθότητας της επίλυσης εξετάζεται η ισορροπία κόμβου B: ΣF = - ΣΜ = 4-4= 4 B 4 ΣF = - ΣΜ ΣF = - ΣΜ = - = Τα διαγράμματα των φορτίων διατομής υπάρχουν στο σχ. 8.. β) Στους επίπεδους γραμμικούς φορείς είδαμε ότι με τη μέθοδο Mohr υπολογίζονται κάθετες μετακινήσεις καθώς και η ελαστική γραμμή των μετακινήσεων αυτών. Στους χωρικούς φορείς, με τη μέθοδο Mohr μπορεί να υπολογισθεί η ελαστική γραμμή κατά τη διεύθυνση λόγω των ροπών M, καθώς και η ελαστική γραμμή κατά τη διεύθυνση λόγω των ροπών M. Λόγω των ροπών M υπολογίζεται η στροφή μιας διατομής έναντι μιας άλλης. Ελαστική γραμμή κατά τη διεύθυνση. Για τον υπολογισμό των βυθίσεων u B,u C υπολογίζονται στο σχ. 8.4 τα διαγράμματα ροπών τους για μοναδιαίο φορτίο στο Β και C αντίστοιχα οπότε από την εξίσωση του πίνακα 8. προκύπτει: M,p M, - ub = Ú ds = (-6)(-) =,46 m 5 M,p M, M,p M, È uc = Ú ds + ds ( 4)(,), ( 6)( ) Ú = GI Í Î D , =,68 +,74 m = 4,4 m. 6,8 Δοκός BC (ελαστικό φορτίο M,p /E I ) - -,( -4) u =,46 + 4,4 + ωd = l l 6 Ê ˆ - = Á,46 + 4,4 -,ω Ë D ) l l / l,5 / l,5 / l, u =,46,75 + 4,4,5 -,,8) =, u = (,46,5 + 4,4,5 -,,75) =,9 - - u = (,46,5+ 4,4,75 -, 44) = 4,56

24 66 Δοκός ΒΑ: (ελαστικό φορτίο M /E I ),p (-6) Ê ˆ u =,46 + ωd = Á,46 -,7ω l I Ë D 6E l - - / l,5 / l,5 / l, u = (,46,75-,7,44) =,5 - - u = (,46,5 -,7,75) =,8 - - u = (,46,5 -,7,8),97 Ελαστική γραμμή κατά τη διεύθυνση. M M ub = Ú ds = [(-)(- - 4)] =,77-6,p, - M M È uc = Ú ds = =- I Í (,), ( 4) Î 7,9 E 6,p, - Δοκός ΒΑ (ελαστικό φορτίο M,p /E I ) - (-) (-) u =,77 + ωr + ωd = l 6 Ê ˆ - = Á,77-4,54ω - Ë R,46ω D l / l,5 / l,5 / l, u = (,77,75 =-4,54,875 -,46,44) = 6, u = (,77,5-4,54,5 -,46,75) =,. - - u = (,77,5-4,54, -,46,57),66. Δοκός BC (ελαστικό φορτίο M,p /E I ) - -, Ê ˆ u =-7,9 + ωd + Á- 7,9 +, ω l I Ë D 6E l / l,5 / l,5 / l, u =- ( 7,9,5 +,,8) =-, u =- ( 7,9,5 +,,75) =-, u =- ( 7,9,75 +,,44) =-5,888

25 66 Υπολογισμός της B C u B A Αντιδράσεις ΣF A - = fi A = ΣΜA MA - = fi MA = Στο τοπικό σ.σ. είναι MA =- M, : Υπολογισμός της B M, :, M, : C u C A, Αντιδράσεις ΣF A - = fi A = ΣΜ MA -,= fi MA =, ΣΜ MA - = fi MA = Φορτία διατομής Δοκός (ΒC) ΣΜB MB +, MB =-, Δοκός (ΒA) ΣΜ MB -,= fi ΜB =, ΣΜB MB + - = fi ΜB, Υπολογισμός της u B, C B Αντιδράσεις ΣMA MA - = fi MA = Φορτία διατομής ΣMB MB + - = fi MB Για το τοπικό σ.σ. είναι: MA =- M, : Σχ. 8.4

26 664 Υπολογισμός της M, : B C u C A, Αντιδράσεις ΣM MA -,= fi MA =, Φορτία διατομής ΣM,B M,B -, fi MB =,, E.Γ. κατά τη διεύθυνση,46 4,4 4,56,9,9,8,97 E.Γ. κατά τη διεύθυνση 7,9,877 5,888,97,77 6,78,,66 Σχ, 8.4 (συνέχεια) Γ.Ε. [Μ A ] Γ.Ε. [Μ A ] C, C Β C C Β Β A Β A M A M A Β A Β rad A rad Σχ. 8.5

27 665 γ) Σύμφωνα με την εξ..5 (σελ. 9) είναι Ú T 4 - T,B = d =,66 rad GI 6,8 D δ) Οι απλές αυτές γραμμές επιρροής προκύπτουν εύκολα από την εύρεση των τιμών τους για μοναδιαίο φορτίο στο C και στο Β. Εδώ θα υπολογισθούν με την κινηματική μέθοδο για να εφαρμοσθεί η μέθοδος αυτή σ ένα χωρικό φορέα. [M A ] : (φορτίο P = κινείται στο φορέα ABC) Αφαιρείται από την πάκτωση Α μία ράβδος έτσι που να προκύψει κυλινδρική άρθρωση η οποία δεν παραλαμβάνει ροπές M A (MA ), και προκαλείται αρνητική μοναδιαία μετακίνηση (ΔφA =- ). Η γραμμή των βυθίσεων της δοκού ΑΒ κατά τη διεύθυνση του τοπικού συστήματος αναφοράς της, καθώς και η γραμμή των βυθίσεων της δοκού BC κατά τη διεύθυνση του τοπικού συστήματος αναφοράς της, συμπίπτουν με την [M A ] (σχ. 8.5). [M A ] : (φορτίο P = κινείται στο φορέα ABC) Αφαιρείται από την πάκτωση Α μία ράβδος έτσι που να προκύψει κυλινδρική άρθρωση η οποία δεν παραλαμβάνει ροπές M A (MA ) και προκαλείται αρνητική μοναδιαία μετακίνηση. Η γραμμή των βυθίσεων της δοκού ΑΒ κατά τη διεύθυνση του τ.σ.σ. καθώς και η γραμμή των βυθίσεων της δοκού BC κατά τη διεύθυνση του τ.σ.σ συμπίπτουν με την [M A ] (σχ. 8.5). Παράδειγμα 8.: Για το πλαίσιο του σχ. 8.6 να βρεθούν α) Τα διαγράμματα των φορτίων διατομής β) Η ελαστική γραμμή της δοκού DE κατά την διεύθυνση. γ) Η στροφή φ του κόμβου Ε. (Να ληφθούν υπόψη μετακινήσεις μόνο λόγω ροπών για τα ερωτήματα α, και β). Δεδομένα: = KN m, = 5 KN m, GID = 9 KN m, GF = 4 KN. Αντιδράσεις: O φορέας είναι ισοστατικός. Ορίζεται το κ.σ.σ. του σχ. 8.6, φέρονται τα διανύσματα των αντιδράσεων των οποίων οι δείκτες, όπως και οι δείκτες των εξωτερικών φορτίων αναφέρονται στο κ.σ.σ. και διατυπώνονται οι συνθήκες ισορροπίας

28 666 ΣF A + C -F -q 6 A = 6, ΣF = - A + F A = ΣF A + B + C -q = A = 9,6 ΣΜA ΣΜA C 6-F 6 C = = = B 8-q 5,5-q 6 6 = B,94 ΣMΖΑ -C 6+ q 6 -F C =,67 Φορέας F = D Β q = KN/m E G q = KN/m F =5 C F 6 Β =,94 A,5 C = C =,67 A =6, A = A =9,6 8 6 Φορτία διατομής N A QA A Q A Σχ. 8.6 ΣF NA + 9,6 NA =- 9,6 ΣF QA + = QA =- ΣF QA + 6, QA =- 6, 9,6 6,

29 667 M E M E N E Q E Q E E M E ΣF NE + 9,6 NE =- 9,6 ΣF QE + QE =- ΣF QE + 6, - 5 QE =- 48, A F =5 ΣME ME ΣΜE ME + 6, 6-5,5 ME =- 7,48 ΣΜE ME - 6 ME = 6 9,6 6, q = ΣF ND ΣΜD MD F = Q D M D Q D N D M D M D ΣF QD = SMD ΣMD =-,5=- 9 ΣF QD =- =- 6 ΣMD MD =- =- ΣF ND D M D Q D Q D N D M D ΣF QD - QD = ΣF QD -, 94 + QD = 4,94,94 M D ΣΜD MD ΣΜD MD +,5 MD =- 9 ΣΜΖD MD + MD =-

30 668 F = D,94 ΣF NE q = ΣF E fi Q - fi Q = ΣF fi Q + -,94 QE =- 9,6 ΣME M ME ΣΜE M + 5,5-,94 8 ME = 97,5 ΣΜE ME + fi ME =- M Q E Q M N E M N C Q C Q C ΣF NC + NC =- ΣF QC C,67 ΣF QC +,67 QC =-,67 M MF N F Q F F Q F M F ΣF NC + fi NC =- ΣF QF ΣF Q +,67 fi QF =-,67 ΣMF MF ΣMF M +,67 6 fi MF =- 7, ΣΜF MF C,67

31 669 M F Q F M F N F M F Q F F 7,,67 ΣF NF ΣF QF -,67 fi QF =,67 ΣF QF + fi QF =- ΣM MF + 7, fi MF =- 7, ΣM ME ΣM MF M E E Q E N M E M E Q E F q = 7,,67 ΣF NE ΣF QE -, QE =- 48, ΣF QE + = QE =- ΣME ME + 7,= ME =- 7, ΣME M - 6= M ΣME ME -, = ME =- Έλεγχος ισορροπίας του κόμβου Ε 97,5 9,6 7,48 E 48, 9,6 7, 48, 6 6 ΣF 48, - 48, ΣF - + ΣF 9, ,6 ΣΜ 6-6 ΣΜ - 7, + 97,5-7,5 ΣΜ - Τα διαγράμματα των φορτίων διατομής υπάρχουν στο σχ. 8.7

32 67 7,,96 N,p: 9,6,67 48 Q,p: M,p: 9 7,48 f=6 M,p: 6 97,5 7, 4,94 6 Q,p: 9,6 48,,67 M,p: 6 6, Σχ. 8.7 Διαγράμματα των φορτίων διατομής λόγω P β) Στο σχ. 8.8 και στο σχ. 8.9 υπολογίζονται τα διαγράμματα M, για PD = και PE = αντίστοιχα. Από την εξίσωση του πίνακα 8. προκύπτει M,pM, M,pM, M,pM, ud = ds+ ds+ ds GI Ú Ú Ú = D È = + ( 7,48)( 8) Í Î + ( 8)[( ) ( )] [ 7,)( 8) 6] - - = ,,8,78 75,8 m = + + = ue = = 6 +,44 = 7,44 m. 5 Το ελαστικό φορτίο της δοκού DE είναι w= M,p /E I. Για τη διατύπωση δε της

33 67 εξίσωσης της ελαστικής γραμμής, επειδή η ίνα αναφοράς της DE βρίσκεται στην πίσω πλευρά από αυτή που δείχνει το βέλος του άξονα, η απόσταση μετράται από το F προς το D οπότε είναι: 8 (-) Ê ˆ u = ue + uβ + ωd = Á7, ,8-9,78ωD l l 6 Ë l l - / l,5 / l,5 / l, u = (7,44,75+ 75,8,5-9,78,44) =,4 m - - u = (7,44,5 + 75,8,5-9,78,75) = 7, u = (7,44,5 + 75,8,75-9,78,8) = 55,5 Η ελαστική γραμμή είναι σχεδιασμένη στο σχ. 8. γ) Στο σχ. 8. υπολογίζονται τα διαγράμματα M, για ME = οπότε είναι φ,p = (-7,)(-) 6 + (-7,48) 6 + (-) 6 GI 4,p D φ =-4,668-5,458 -, = 4,9 rad. D P D = B B = F E C C = 8 6 A A = 8 6 C = A = A = 8 Αντιδράσεις ΣF A C A 8 6 = - = = / ΣF ΣF = - + A A = A B C A = + + = =- ΣΜA ΣMA 6 C 6 C = - + = = = Β 8 = B ΣΜΑ - 8+ C 6= C = 8/ 6 8 α ΣΜ F α F C 6+ M fi M =- 8 M, :

34 k ΣΜ F k F M -C 6= k M F = 8 M, : 6 k ΣΜ E δ M E k F M + A 6= δ E Μ -C 6= k M E =- 8 δ M E = 6 M, : 8 6 α E 8 ΣΜ k ΣΜ E δ ΣΜ E α E M -P 8= k E M -A 6= δ E -Μ -C 6= α M E =- 8 k M E = 6 δ M E =- 8 Σχ. 8.8 Διαγράμματα Μ, για τον υπολογισμό της u D. D B B = A = E P E = A A = A = F C C = C = Αντιδράσεις ΣF A + C A ΣF - A + A = ΣF A + B + C A = ΣΜA -C 6+ P 6 C = ΣΜA = B 8-C 6 = B ΣΜΑ C.6 C M, : 6 δ ΣΜ E δ E - = fi δ E M C 6 M = 6 6 M, : k ΣΜ E k E - = fi k E = M A 6 M 6 Σχ. 8.9 Διαγράμματα Μ, για τον υπολογισμό της u E

35 67 D 75,8 55,5 7,95,47,44 E Σχ. 8. Ε.Γ της DE κατά τη διεύθυνση. D B Ø Ø E A M E = A =/6 Ø F C C =/6 Ø Αντιδράσεις ΣF C + A A ΣF A ΣF ΣΜA ΣΜ A C = 6 A A C B = + = = = C 6 = A = B 8 = ΣΜΑ M C 6 = - = = C 6 ΣΜ(FE) M(FE) + 6 M (FE) =- 6 M, : M, : k k k ΣΜ F MF + 6 fi MF =- 6 k k k ΣΜ E ME - 6 fi ME = 6

36 674 M, : k k k ΣΜ E ME - 6 fi ME = 6 Σχ. 8. Διαγράμματα M, για τον υπολογισμό της φ Ε. 8.8 ΧΩΡΟΔΙΚΤΥΩΜΑΤΑ Μόρφωση των χωροδικτυωμάτων: Κατ αντιστοιχία με τα επίπεδα δικτυώματα η μόρφωση ενός χωροδικτυώματος του οποίου οι κόμβοι είναι σφαιρικές αρθρώσεις, μπορεί να γίνει αν ληφθεί σαν βάση: η αρθρωτή σύνδεση τριών ράβδων οι οποίες στηρίζονται με άρθρωση η κάθε μια στο στερεό υπόβαθρο (σχ. 8.). Η προσθήκη ενός κόμβου στο στερεό αυτό σχηματισμό γίνεται με τρεις ράβδους οι οποίες καταλήγουν σε τρεις διαφορετικούς κόμβους. Η προσθήκη στη συνέχεια κατ αυτόν τον τρόπο και άλλων κόμβων δημιουργεί ένα ισοστατικό στερεό δικτύωμα. Για κάθε κόμβο ενός χωροδικτυώματος μπορούν να διατυπωθούν τρεις συνθήκες ισορροπίας δυνάμεων, ό- πως αυτές του σχ. 8. για τον κόμβο. Δ.Ε.Σ. P (P, P, P ) P α b c α b c S α S b S c Συνθήκες ισορροπίας Σχ. 8. Ï ΣF Sα cos α + Sb cos b + Sc cos c + P Ô Ì ΣF Sα cos α + Sb cos b + Sc cos c + P Ô Ó ΣF Sα cos α + Sbcos b + Sc cos c + P Ο τετραεδρικός σχηματισμός έξι ράβδων οι οποίες συνδέονται αρθρωτά στα άκρα τους (σχ. 8.). Η προσθήκη κόμβων στο σχηματισμό αυτό, η οποία γίνεται με τρεις ράβδους για τον καθένα, όπως π.χ. για τον κόμβο 5 του σχ. 8. δημιουργεί ένα ισοστατικό στερεό χωροδικτύωμα. Η ισοστατική στήριξη του δικτυώματος αυτού απαιτεί έξι ράβδους. Υπάρχει ένας πολύ μεγάλος αριθμός διαφορετικών χωροδικτυωμάτων που συναντώνται στις κατασκευές τα οποία μπο- Σχ

37 675 ρούν να ταξινομηθούν σε απλά, σύνθετα και ανώμαλα όπως και τα επίπεδα δικτυώματα. Στατικότητα των χωροδικτυωμάτων: Aν ρ : ο αριθμός των ράβδων k : ο αριθμός των κόμβων α : ο αριθμός των αντιδράσεων επειδή για κάθε κόμβο ισχύουν οι συνθήκες ΣF, ΣF, ΣF, ο βαθμός στατικής ισορροπίας n του φορέα δίδεται από τη σχέση n = (ρ+ α) - k 8.7 Αν n το χωροδικτύωμα είναι ισοστατικό Κινητότητα των χωροδικτυωμάτων: Επειδή ένα χωροδικτύωμα, που βάσει της εξ. 8.7 εμφανίζεται ισοστατικό ή υπερστατικό,δεν είναι κατ ανάγκη και στερεό, είναι απαραίτητο να εξετάζεται αν παρουσιάζει κινητότητα. Αυτό γίνεται με τρόπους ανάλογους των επίπεδων δικτυωμάτων (σελ. 57). Επίλυση χωροδικτυωμάτων: Γίνεται όπως και στα επίπεδα δικτυώματα με τη μέθοδο των κόμβων ή την μέθοδο των τομών. Παράδειγμα 8.: Στο χωροδικτύωμα του σχ. 8.4 να βρεθούν: α) Οι αξονικές δυνάμεις των ράβδων που συμβάλλουν στους κόμβους,., 4, 5 με τη μέθοδο των κόμβων. β) Οι αξονικές δυνάμεις των ράβδων του δευτέρου από δεξιά φατνώματος με τη μέθοδο των τομών Το δικτύωμα είναι ισοστατικό (ρ=48, k=8, α=6, 48+6= 8). Η μόρφωση που μπορούμε να θεωρήσουμε ότι έχει σαν βάση το τετράεδρο (,,, 4) στο οποίο προστίθενται διαδοχικά, ο κόμβος 5 με τις ράβδους S 5, S 5, S 54, ο κόμβος 6 με τις ράβδους S 6, S 64, S 65 κ.λπ. Επομένως είναι και στερεό. Αντιδράσεις ΣF -A - B + P7 + P fi A + B = ΣF - B + P fi B = ΣF A + B + C -P7 -P - P4 fi A + B + C = 4 ΣMA B + C -P4 8-P 6-P7 4-P -P5 fi B + C = ΣMA = C + P + P7 -P -P7 fi C = ΣMA B -P 6-P7 4-P fi B = 7 Από το σύστημα των εξισώσεων αυτών προκύπτει A =, B = 7, B =, A = 8, B =, C =. α) Η διατύπωση των συνθηκών ισορροπίας για κάθε κόμβο θα γίνει απευθείας

38 676 από το σχήμα του δικτυώματος (σχ. 8.4) γιατί στα διαγράμματα ελεύθερου σώματος των κόμβων δεν υπάρχει η απαραίτητη εποπτεία. Οι τρεις πλευρές του χωροδικτυώματος στο ίδιο σχήμα, σχεδιάσθηκαν για τον ευκολότερο υπολογισμό των συνημιτόνων των γωνιών προβολής. Στη διατύπωση των συνθηκών ισορροπίας το πρόσημο των αξονικών δυνάμεων δεν καθορίζεται από τη φορά των αξόνων του κ.σ.σ. αλλά από το αν είναι εφελκυστικές ή θλιπτικές όπως στα επίπεδα δικτυώματα. Κόμβος ΣF S cos45 S ΣF S4 + S4 =- ΣF S + S cos S Κόμβος ΣF S + S4 cos 4 + A fi S + S4,577 + S = 5 ΣF S5 + S4 cos 45 fi S5 + S4,577 S = 8 ΣF S4 cos 4 + AZ fi S4, S4 =-,8 Κόμβος ΣF S5 cos 5 + S ΣF S6 + S5 cos 56 + S4 cos 46 ΣF S + S cos = 4 4 S5,77+ 5 S5 =-, S6 + S5,77+ S4,77 S6 =- 5 S4,77 S4 Κόμβος 4 ΣF S4 cos 4 + S45 cos 546 ΣF - S4 + S47 -S4 cos 4 -S4 cos 4 ΣF S46 + S45 cos S4 cos 46 + S4 cos 46 -,8,865 + S45,77 Ô + S47 +,8,577 S + - = Ô 46 S45,77,8,577 S45 = 6, S47 = 8, S46 =-7,45 Κόμβος 5 ΣF S5cos 56 + S56 + S54 cos 456

39 677 ΣF = - S5 + S58 -S5 cos 5 ΣF S54 cos 45 - Ρ5 -,,77+ S56 + 6,77 Ô S58 +,,77 S54,77- Ô S56 =-,46 S58 =, S54 = 4,4 β) Τέμνονται οι ράβδοι του φατνώματος και σχεδιάζεται το διάγραμμα ελευθέρου σώματος του δεξιού τμήματος. Για το τμήμα αυτό, όπως και για το αριστερό, μπορούν να διατυπωθούν έξι συνθήκες ισορροπίας, όσες και οι άγνωστες αξονικές δυνάμεις και να υπολογισθούν οι αξονικές αυτές δυνάμεις. Για το φορέα του σχ. 8.4, επειδή από τον κόμβο διέρχονται τρεις άγνωστες αξονικές δυνάμεις, διατυπώνονται ως προς αυτόν τρεις συνθήκες ροπών οπότε υπολογίζονται οι S 4,, S 4,, S 5,, και μετά τρεις συνθήκες δυνάμεων ως προς όλο το τμήμα και υπολογίζονται και οι S,, S,, S,. Οι ροπές των διαφόρων δυνάμεων ως προς τον κόμβο, για να μπορούν να προστεθούν αριθμητικά στη διατύπωση των συνθηκών ισορροπίας, πρέπει να είναι αναλυμένες κατά τους άξονες,,. Η ανάλυση αυτή φαίνεται στις παραπάνω εξισώσεις. B,8 l : (M = Bl 8,6 = 7 = 4 M = Bl 8,5 = 7 = 4) B,4 l : (M =- Bl,5 =- =- M =- Bl 4,5 =- =-) B 7,5 l : (M = Bl7,4 = = 4 M =- Bl 7,8 =- =-4) C 6, l : (M = Cl 6, = = ) S 4,l 4, : (M =- S4,l 5, =-S4, M =- S4,l 4,5 =-S 5, ) S4, cos45 l4, fi M = S4, cos45l5, =,4S4, ÏÔ M =- S4, cos45l5, =-,4S4, S4, sin45 l4, fi Ì ÔÓ M =- S4, cos45l4,5 =-,4S4, = = -S4, -S5, -,4S4, S4, =- 5 S 4, l 4, : ΣΜ ΣΜ ΣΜ = 4, 4-4 +,4S + S4, =- 7, S -,4S S5, = = 5, 4, ΣF -S4,,77+ S,,577-7 ΣF -S, - S5, + S4, -S4,,77-S,,77-S,,577- ΣF -S,,865 -S,,77- + S, =-,7 S, =,44 S,8 =-,4

40 698 Δείκτες ευκαμψίας -Φορτιστικοί όροι Δοκός Α Για = είναι X = (A) 6,5 4,5 È Ê4,5ˆ Ê ˆ f = Í- 4,5 6 6 Á 6,5 - Á 6,5 = ÍÎ Ë Ë Α Για = είναι,5 (A) 6,5 È Ê ˆ Ê ˆ f = Í-,58 6 6,5 Á 6,5 - Á = 6,5 ÍÎ Ë Ë Α X = (A) f = 4,5 (A) f =,58 Δοκός B B B Δοκός C C C,5 X = X = 4 4 X 4 =,5,5 X = (B) f = 4,5 (B) f4 =,58 (B) f44 = 4,5 (B) f4 =,58 Για =,5 είναι (C) 8 5,5,5È Ê5,5ˆ Ê,5ˆ f = Í-Á - Á = 65E I 8 Î Ë 8 Ë 8 =,5755 Για =,5 είναι (C) 8,5,5È Ê,5ˆ Ê,5ˆ f = Í-Á - Á = 65E I 8 Î Ë 8 Ë 8 =,4 (A) f (C) f =,5755 (C) f =,4

41 699 Δοκός D D D X = 4,5,5 4 X 4 = (D) f =,5755 (D) f4 =,4 (D) f44 =,5755 (D) f4 =,4 Δοκός C C Δοκός D D kn/m,5,5 4,5,5 4 4 (c) 8 ÈÊ,5ˆ Ê,5ˆ Ê,5ˆ fρ = ÍÁ - Á + Á 4 5 ÎË 8 Ë 8 Ë 8 = 78,77 (c) - fρ =,5654 = 78,77 (D) 8 5,5,5È Ê5,5ˆ Ê,5ˆ fρ =- Í-Á -Á 65E I 8 Î Ë 8 Ë 8 =- 6,8 (D) 8,5,5È Ê,5ˆ Ê,5ˆ f4ρ =- Í-Á -Á 65E I 8 Î Ë 8 Ë 8 = 4,44 Δείκτες ευκαμψίας (A) (C) f = f + f = (4,5,5755) 6,755 + = (A) (D) f = f + f = (4,5,5755) 6,755 + = (B) (C) f = f + f = (4,5,5755) 6,755 + = (B) (D) f44 = f44 + f 44 = (4,5 +,5755) = 6,755 f = f =,58

42 7 f = f =,4 f = f f4 = f4 f4 = f4 =,4 f4 = f4 =,58 Εξίσωση ευκαμψίας 6,755,58,4,58 6,755,4,4 6,755,58,4,58 6,755 X -78,77 X - 6,8 + X -78,77 X -4,44 4 X,9 X -,44 = X,69 X -,5 4 Διαγράμματα ροπών κάμψης Η κάθε μία δοκός με τα υπεράριθμα φορτία σαν επιβεβλημένα φορτία επιλύεται και βρίσκεται το διάγραμμα M. A:,9,44 C:,9,59 B:,5,69,6 74, 67,,5 9,4,5 D: 5,69,59 Σχ. 8-4,69 7,45 8,45 Παράδειγμα 8.7: Να βρεθεί η εξίσωση δυσκαμψίας της σχάρας του σχ Δεδομένα: E I ίδιο για όλες τις δοκούς Στο σχ. 8.4 φαίνονται οι βαθμοί ελευθερίας της σχάρας της οποίας οι κόμβοι είναι ολόσωμοι: Στα σχ υπολογίζονται οι δείκτες δυσκαμψίας των κινηματικών καταστάσεων,, και στο σχ οι φορτιστικοί όροι. Λόγω της συμμετρίας του φορέα κατά και κατά οι υπόλοιποι δείκτες δυσκαμψίας των κόμβων,, 4 είναι κατ αντιστοιχία ίση με τους δείκτες δυσκαμψίας του κόμβου. Έτσι είναι:

43 7 A Φορέας C q = kn/m P = F 4,5 D H,5 Λεπτομέρεια κόμβου E G B,5 Βαθμοί ελευθερίας (d, d d ) d 7 d 9 d d d d4 d 8 4 d d d d 6 d 5 Σχ. 8.4 K.K. 4: k 4 = (k 4), k 4 = (k 5), k 4 =- (k 6), k 44 = (k ), k 54 = (k ), k 64 = (k ) k 74 = (k,), k 84 = (k, ), k 94 = (k,), k,4 = (k 7), k,4 = (k 8), k,4 = (k 9) K.K. 5: k 5 = (k 4 ), k 5 = (k 5 ), k 5 = (k 6 ), k 45 = (k ), k 55 = (k ), k 65 = (k ), k 75 = (k, ), k 85 = (k, ), k 95 = (k, ), k,5 = (k 7 ), k,5 = (k 8 ), k,5 = (k 9 ) K.K. 6: k 6 =-(k 4 ), k 6 = (k 5 ), k 6 = (k 6 ), k 46 = (k ), k 56 = (k ), k 66 = (k ), k 76 = (k, ), k 86 = (k, ), k 96 = (k, ), k,6 = (k 7 ), k,6 = (k 8 ), k,6 = (k 9 ) κ.λπ. Η αντιστοιχία αυτή επιτρέπει να γραφεί χωρίς άλλους υπολογισμούς η εξίσωση δυσκαμψίας.

44 7 K.K.- E k G k 7 k 9 k 8 k k 4 d = k A C Q, = Q, = =, Συνθήκες ισορροπίας M, Q E, k 6 k 5 k M, k Q, M, 4 B F k, k, k, D H QE, = QE, = =,5 Ροπές - τέμνουσες παγίωσης 6E I MA, = MA, = =,88,5 6E I M, = M, = = 6 ME, = ME, = =,5 6 M, = M, =,96,5 QA, = QA, = =,,5 Q, = Q, =,77,5 ΣF k -QA, -Q, -Q, - QE, ΣM ΣM fi k = 5,9 = k -MA, - M, fi k =-,88 = k -M, - ME, fi k,54 Q A, M A, Q, k M, k 6 k 4 Q, k 5 ΣF k4 + Q, fi k4 =-,77 ΣM k6 + M, fi k6 =-,96 ΣM k = fi 5 = M, Q, k 7 k 9 k 8 ΣF ΣM ΣM = k7 + Q, fi k7 =-, = k8 - M, fi k8 = = fi k9 k = 5,, -,88,,54, -,77,, -,96, -,,,,,, i Σχ. 8.4 T

45 7 K.K.- A E C k k k G k 7 k 9 k 8 k 4 k 6 k5 F 4 B k, k, k, H D Ροπές - τέμνουσες παγίωσης 4E I M, = M, = = 4 4E I ME, = = 4,8,5 GID TA, =,5GID,9 GID T, =,5GID,5 6E I QE, = =,88,5 6E I Q, = = GID T, =,4GI D,5,5 Συνθήκες ισορροπίας T A, k Q E, M, Q, k M E, T, ΣF ΣM = k QE, Q, k =-,88E = k -T, -TA, -M, - ME, fi k = 7,4 + - = fi I k 9 Q, M, k 7 k 8 ΣF k7 + Q, fi k7 =- ΣM k8 + M, fi k8 = T, k 4 k 6 k 5 ΣM k5 + T, fi k5 =-,5 k =-,88, 7,4,,, -,5,, -,,,,, i Σχ. 8.4 T

46 74 K.K.- A E C k k k 4 k k 7 k k, 9 k 8 k 6 k 5 F 4 B k, k, H D G 6 6 Q, =,96 Q I, =,96E,5,5 Ροπές - τέμνουσες παγίωσης 4 M, = =,6,5 4 MA, = = M, =,8,5 GID T, = T,,8 GID TE, =,46,5 6 QA, = =,5 Εξισώσεις ισορροπίας k k M Q A,, Q A, M, T, ΣF ΣM = k QA, Q, = k -T, -TE, -M, - MA, fi - + = fi k,54 fi k =,64E I k T E, k 4 M, Q, k 6 k 5 ΣF k4 - Q, fi k4,96 ΣM k6 - M, fi k6,8 k 7 k 9 T, ΣM K9 + T, fi K9 =-,8 k,54,,,64,,96,,,8,,, -,8,,, i Σχ T

47 75 K.K.- A E k C kn/m k k 7 k 4 k 8 k 6 k 9 k k 5 G F k, k, 4 B k, H D Ροπές - τέμνουσες παγίωσης M, = M, = 5,5 ME, = ME, =,4,5 MF, = MF, =,4 Q, = Q, = =,5 QE, = QE, = = 5,5 QF, = QF, = = 5 Συνθήκες ισορροπίας k M, k Q, k M E, Q E, ΣM ΣF = k - M, + ME, = k -Q, - QE, k = 4,58 k = 55 M F, k 7 k 9 Q F, k 8 ΣM = k8 - MF, + M, k8 =- 4,58 ΣF k7 -Q, - QE, k7 = 55 M, Q, k 4 P = ΣF k4 - P fi k4 = T ki = 55, 4,58,,,,, 55, - 4,58,,,, Σχ. 8.45

48 76 Εξίσωση δυσκαμψίας 5,9,88,54,77,96, + d 55,88 7,4,5 d 4,58,54,64,96,8,8 d,77,96 5,9,88,54, d4,5,88 7,4 d5,96,8,54,64,8. d6 +, 5,9,88,54,77,96 d7 55,88 7,4,5 d8 4,58,8,54,64.96,8 d9,,77,96 5,9,88,54 d 5,88 7,4 d,8,96,8,54,64 d