Z Matlabom ali Octave v Numerične metode
|
|
- Ἀναίτις Μεταξάς
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 1 / 42 Z Matlabom ali Octave v Numerične metode Andrej Perne Fakulteta za elektrotehniko pomlad jesen 2012
2 2 / 42 Vsebina UNIX Osnovni ukazi Elementarne funkcije Funkcije za delo z vektorji Funkcije za delo z matrikami Programiranje, m-datoteke Risanje grafov in razno
3 3 / 42 mkdir: nova mapa Ukazi v UNIX-u I Z ukazom mkdir MojaMapa ustvarimo novo mapo z imenom MojaMapa. cd: prehajanje med mapami Z ukazom cd MojaMapa se iz mape, ki vsebuje mapo MojaMapa, preselimo v mapo MojaMapa. Z ukazom cd.. se iz mape MojaMapa preselimo v mapo, ki vsebuje mapo MojaMapa. rmdir: izbris mape Z ukazom rmdir MojaMapa izbrišemo mapo z imenom MojaMapa. ls ali dir: izpis vseh map in datotek, ki se nahajajo v trenutni mapi man: pomoč
4 4 / 42 Ukazi v UNIX-u II cp: kopiranje datoteke Z ukazom cp vaja.txt Vaja skopiramo datoteko vaja.txt, ki se nahaja v trenutni mapi, v mapo Vaja, ki se nahaja v trenutni mapi. rm: brisanje datoteke Z ukazom rm vaja.txt izbrišemo datoteko vaja.txt, ki se nahaja v trenutni mapi. mv: preimenovanje datoteke Z ukazom mv vaja.txt naloga.txt preimenujemo datoteko vaja.txt v naloga.txt. matlab: zagon Matlaba octave: zagon Octave
5 5 / 42 Osnovni ukazi help, clear, exit, who, what help: pomoč v Matlabu oz. Octave Z ukazom help exp izpišemo uporabo in primere za ukaz exp. clear: izbris spremenljivk Z ukazom clear all izbrišemo vse spremenljivke. Z ukazom clear x izbrišemo spremenljivko x. exit ali quit: izhod iz Matlaba oz. Octave who: informacija o trenutno uporabljenih spremenljivkah whos: informacija o trenutno uporabljenih spremenljivkah v daljši obliki what: izpis vseh m-datotek v trenutni mapi
6 6 / 42 Ukaza format in diary format: oblikovanje izpisa na zaslonu Z ukazom format long spremenimo izpis števil v daljši izpis na 14 decimalk. Z ukazom format short spremenimo izpis števil v krajši izpis na 4 decimalke. Ta izpis je privzet. diary: zapis v datoteko Z ukazom diary vaja.txt ustvarimo tekstovno datoteko vaja.txt, kamor se zapisuje vse kar se izpiše na zaslon. Z ukazom diary off izklopimo zapis na datoteko. Z ukazom diary on ponovno vklopimo zapis na datoteko.
7 7 / 42 Algebrske operacije, decimalna števila, konstante Za računanje z realnimi (in kompleksnimi) števili imamo na voljo naslednje algebrske operacije. +, - : seštevanje, odštevanje *, / : množenje, deljenje : potenciranje Decimalno število zapišemo z decimalno piko. Najpogostejše konstante: pi : število π exp(1) : osnova naravnega logaritma e i ali j : imaginarna enota i
8 8 / 42 Relacijski in logični (Boolovi) operatorji Relacijski operatorji: == : enako = : različno < : manjše Logični operatorji: & : logični in (in hkrati) : logični ali : logični ne (negacija) <= : manjše ali enako > : večje >= : večje ali enako
9 9 / 42 Funkcije sqrt, abs, exp, log, log10 Z ukazom help elfun izpišemo spisek vseh elementarnih funkcij (samo v Matlabu). Argumente funkcij pišemo v okroglih oklepajih ( ). sqrt: kvadratni koren ( x) abs: absolutna vrednost ( x ) exp: eksponentna funkcija (e x ) log: naravni logaritem (ln x) log10: desetiški logaritem (log x) sqrt(9) 3 abs(-1) 1 exp(0) 1 log(1) 0 log10(10) 1
10 10 / 42 Trigonometrične in krožne funkcije sin: sinus (sin x) cos: kosinus (cos x) tan: tangens (tg x) cot: kotangens (ctg x) asin: arcus sinus (arcsin x) acos: arcus kosinus (arccos x) atan: arcus tangens (arctg x) acot: arcus kotangens (arcctg x) sin(pi) 0 cos(0) 1 tan(pi/4) 1 cot(pi/2) 0 asin(1) acos(-1) atan(1) acot(-1)
11 11 / 42 Funkcije nad kompleksnimi števili real: realna komponenta imag: imaginarna komponenta conj: konjugirana vrednost kompleksnega števila abs: absolutna vrednost angle: kot real(4+3*i) 4 imag(4+3*i) 3 conj(4+3*i) 4-3*i abs(4+3*i) 5 angle(4+3*i)
12 12 / 42 Zaokrožitvene funkcije in ostanek pri deljenju fix: zaokrožanje na najbližje celo število proti 0 floor: zaokrožanje navzdol ceil: zaokrožanje navzgor round: zaokrožanje k najbližjemu celemu številu mod(x,y): ostanek pri deljenju x z y rem(x,y): ostanek pri deljenju x z y fix(1.8) 1 fix(-1.8) -1 floor(1.8) 1 ceil(1.8) 2 round(-1.8) -2 mod(5,2) 1 mod(-5,2) 1 rem(5,2) 1 rem(-5,2) -1
13 13 / 42 Specialne funkcije sign, gamma in beta Funkcija sign(x) vrne predznak števila x. 1; x > 0 sign(x) = 0; x = 0 1; x < 0 gamma(x): funkcija gama Γ(x) = 0 t x 1 e t dt, x > 0 beta(x,y): funkcija beta B(x, y) = 1 0 x > 0, y > 0 t x 1 (1 t) y 1 dt, sign(-5) -1 sign(5) 1 gamma(1/2) sqrt(pi) beta(1,2) 0.5
14 14 / 42 Faktorji in praštevila primes(n): izpis vseh praštevil, ki so manjša ali enaka N primes(10) factor(n): izpis vseh praštevilskih faktorjev števila N factor(10) 2 5 isprime(p): ali je število p praštevilo? isprime(2) 1 isprime(4) 0
15 15 / 42 Vektorji in polja Vektor pišemo v oglatih oklepajih [ ]. Decimalno število zapišemo z decimalno piko. Komponente vektorja ločimo z vejicami ali presledki. x = [1.65, 2.23, 1.99] y = [ ] Do komponent vektorja dostopamo z okroglimi oklepaji ( ). Več komponent izpišemo z operatorjem :. Kot primer izpišimo prvo komponento vektorja x ter drugo do četrto komponento vektorja y. x(1) 1.65 y(2:4) [2 3 4]
16 16 / 42 Algebrske operacije s polji Pri poljih je potrebno pri nekaterih operacijah pred operatorjem uporabljati PIKO. +, - : seštevanje, odštevanje.*,. : množenje, potenciranje./,.\ : desno deljenje, levo deljenje : transponiranje Skalarni in vektorski produkt vektorjev izračunamo s funkcijama dot in cross. dot(x,y) : skalarni produkt vektorjev x in y cross(x,y) : vektorski produkt vektorjev x in y
17 17 / 42 Ukaz linspace in operator : Z ukazom linspace(a,b,n) zgradimo vektor z n ekvidistantnimi komponentami med a in b. Kot primer definirajmo vektor s sedmimi ekvidistantnimi komponentami med 0 in 3. z = linspace(0,3,7) z=[ ] Z operatorjem : zgradimo vektor z ekvidistantnimi komponentami. Privzeti korak je 1. Kot primer definirajmo vektora med 0 in 6 s korakoma 1 in 2. z = 0:6 z = [ ] z = 0:2:6 z = [ ]
18 18 / 42 Vektorske funkcije length, min, max, sum, prod length: število komponent min: najmanjša komponenta max: največja komponenta sum: vsota komponent prod: produkt komponent cumsum: kumulativna vsota komponent cumprod: kumulativen produkt komponent length(x) 3 min(y) 1 max(y) 5 sum(x) 5.87 prod(y) 120 cumsum(x) [ ] cumprod(y) [ ]
19 19 / 42 Funkcija norm Z ukazom norm izračunamo normo vektorja. Privzeta je evklidska ali druga norma. norm(x) ali norm(x,2): evklidska norma x 2 = n i=1 x 2 i norm(x,1): prva norma n x 1 = x i i=1 norm(x,inf): neskončna norma x = max 1 i n x i norm(y) norm(y,1) 15 norm(y,inf) 5
20 20 / 42 Vektorske funkcije diff, sort, unique, find diff(x): vektor razlik med sosednjima komponentama vektorja x diff(y) [ ] sort(x): urejen vektor x issort(x): ali je vektor x urejen? unique(x): urejen vektor x, kjer se vsako število pojavi samo enkrat find(x): iskanje neničelnih elementov v vektorju x, kjer kot rezultat dobimo vektor indeksov, kjer se nahajajo neničelni elementi z = [1 0 2]; find(z) [1 3]
21 21 / 42 Statistične funkcije mean, var, std, cov mean(x): srednja vrednost x = 1 n x i n i=1 var(x): disperzija var(x) = 1 n (x i x) 2 n 1 i=1 std(x): standardna deviacija std(x) = var(x) cov(x,y): kovarianca mean(y) 3 mean(x) var(y) 2.5 var(x) std(y) std(x) cov(x,y(1:3))
22 22 / 42 Množice Vektorje v primeru uporabe teh funkcij razumemo kot množice komponent vektorjev. union(x,y): unija množic x in y intersect(x,y): presek množic x in y setdiff(x,y): razlika množic x in y ismember(p,x): ali je število p element množice x? ismember(2,x) 0 ismember(2,y) 1
23 23 / 42 Matrike Matriko pišemo v oglatih oklepajih [ ]. Decimalno število napišemo z decimalno piko. Elemente v vrstici ločimo s presledkom ali vejico, vrstice pa ločimo s podpičjem. A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9] Do elementov matrike dostopamo z okroglimi oklepaji ( ). Več elementov izpišemo z operatorjem :. Kot primer izpišimo element matrike A, ki leži v drugi vrstici in tretjem stolpcu, ter podmatriko matrike A od prve do druge vrstice in od drugega do tretjega stolpca. A(2,3) 6 A(1:2,2:3) [ ]
24 24 / 42 Algebrske operacije z matrikami +, - : seštevanje, odštevanje *, : množenje, potenciranje /, \ : desno deljenje, levo deljenje ali transpose : transponiranje Nekatere druge operacije z matrikami: fliplr(a): zrcaljenje matrike A levo desno flipud(a): zrcaljenje matrike A gor dol
25 25 / 42 Matrične funkcije size, max, min, sum size(a): dimenzije matrike A (število vrstic in stolpcev) size(a) 3 3 max(a): vektor največjih elementov v stolpcih matrike A max(a) [7 8 9] max(max(a)) 9 min(a): vektor najmanjših elementov v stolpcih matrike A min(a) [1 2 3] min(min(a)) 1 sum(a,1): vektor vsot elementov po stolpcih matrike A (privzeto) sum(a,2): vektor vsot elementov po vrsticah matrike A
26 26 / 42 Matrična funkcija diag diag(a): diagonala matrike A (privzeto n = 0) diag(a,n): n-ta naddiagonala (poddiagonala) matrike A diag(a,1): prva naddiagonala matrike A diag(a,-1): prva poddiagonala matrike A diag(a) [1 5 9] diag(x): sestavimo diagonalno matriko A, ki ima na diagonali elemente vektorja x diag(diag(a)): diagonalna matrika, ki ima na diagonali diagonalne elemente matrike A diag([1 2 3]) diag(diag(a))
27 27 / 42 Matrične funkcije triu, tril triu(a): zgornji trikotnik matrike A (privzeto n = 0) triu(a,n): zgornji trikotnik od n-te naddiagonale naprej triu(a,1): strogi zgornji trikotnik matrike A triu(a) triu(a,1) tril(a): spodnji trikotnik matrike A (privzeto n = 0) tril(a,-n): spodnji trikotnik od n-te poddiagonale naprej tril(a,-1): strogi spodnji trikotnik matrike A tril(a) tril(a,-1)
28 28 / 42 Matrične funkcije za konstrukcijo matrik ones(n,m): matrika dimenzije n m iz samih enic [ ] ones(2,3) zeros(n,m): matrika dimenzije n m iz samih ničel [ ] 0 0 ones(2,2) 0 0 eye(n): identična matrika dimenzije n n [ ] 1 0 eye(2) 0 1 rand(n,m): naključna matrika dimenzije n m
29 29 / 42 Ukaza reshape in sparse Z ukazom reshape(x,n,n) iz vektorja dolžine n 2 konstruiramo matriko dimenzije n n tako, da elemente zložimo po stolpcih. x = [ ]; reshape(x,3,3) Z ukazom sparse(i,j,a,m,n) sestavimo razpršeno matriko dimenzije m n, kjer so v vektorju i shranjeni indeksi vrstic, v vektorju j indeksi stolpcev in v vektorju a elementi matrike. i = [1 2]; j =[3 1]; a=[9 5]; sparse(i,j,a,3,3)
30 30 / 42 Linearna algebra I det(a): determinanta matrike A eig(a): lastne vrednosti in lastni vektorji matrike A poly(a): karakteristični polinom matrike A norm(a): norma matrike A rank(a): rang matrike A inv(a): inverz matrike A cond(a): pogojenostno število matrike A trace(a): sled matrike A (vsota diagonalnih elementov)
31 31 / 42 Linearna algebra II rref(a): reducirana oblika matrike A null(a): ničelni prostor matrike A orth(a): ortonormalna baza matrike A lu(a): LU razcep matrike A chol(a): razcep Choleskega matrike A qr(a): QR razcep matrike A svd(a): singularni razcep matrike A
32 32 / 42 Sistem linearnih enačb Linearen sistem Ax = b rešimo z ukazom x = A \ b (levo deljenje). Kot primer vzemimo A = , b = A = [1 2 1; 2 1 2; 1 1 2]; b = [4 5 4] ; x = A \ b [1 1 1]
33 33 / 42 Zanki for in while Za programiranje imamo na voljo zanki for in while. For zanka izvede določeno število ponovitev, while zanka pa se izvaja dokler je pogoj izpolnjen. Iz zanke lahko izstopimo z ukazom break. for spremenljivka = pogoj stavki end while pogoj stavki end x = zeros(1,5); for i=1:5 x(i) = i 2; end; a = 100; while a > 10 a = a/2; end;
34 Stavka if in switch Za programiranje imamo na voljo imamo na voljo pogojna stavka if in switch, ki izvajata ukaze glede na pogoj. if pogoj stavki elseif pogoj stavki else pogoj stavki end if n > 5 a = 1; else a = 0; end; switch pogoj case vrednost stavki case vrednost1, vrednost2 stavki otherwise stavki end 34 / 42
35 35 / 42 m-datoteke Poznamo dva tipa m-datotek: skripte in funkcije. Skripte so zgolj daljše kode, ki jih ne želimo pisati v ukazno vrstico. Funkcije pa se vedno začnejo z ukazom function. Funkcijam podamo vhodne in izhodne argumente. Tako napisano funkcijo kličemo na enak način kot vgrajene funkcije. Ime m-datoteke naj bo enako imenu funkcije. Kot primer napišimo funkcijo, ki izračuna obseg in ploščino kroga z danim polmerom r. function [o,p] = krog(r) o = 2*pi*r; p = pi*r 2; [o,p] = krog(3) o = p =
36 36 / 42 Ukaza inline in eval Z ukazom inline definiramo notranje funkcije. Kot primer definirajmo funkcijo f (x) = x 2 in izračunajmo njeno vrednost v točki 2. f = inline( x f(2) 4 2, x ); Z ukazom eval izračunavamo funkcije. Argument mora biti podan kot niz. Funkcijo f (x) = x 2 zapišimo kot niz in izračunajmo njeno vrednost v točki 2. f = x 2 ; x = 2; eval(f) 4
37 37 / 42 Ukaz plot: risanje grafov funkcij Z ukazom plot(x,y) narišemo graf funkcije, ki je podana z vektorjema x (x koordinate) in y (y koordinate). Kot primer narišimo funkcijo y = sin x na intervalu [0, 2π]. x = 0:0.01:2*pi; y = sin(x); plot(x,y) Sliki lahko dodamo naslov, oznake na obeh oseh in legendo. titel: naslov xlabel: oznake na x-osi ylabel: oznake na y-osi legend: legenda
38 axis: osi Ukazi za delo s slikami Z ukazom axis equal določimo, da sta enoti na obeh oseh enaki. Z ukazom axis([-5,5,-3,3]) določimo, da se graf funkcije izriše na intervalu [ 5, 5] na x-osi in [ 3, 3] na y-osi. hold: zadržanje slike Z ukazom hold on zadržimo sliko, da lahko na isto sliko narišemo nov graf. Z ukazom hold off izklopimo zadržanje slike. grid: mreža Z ukazom grid on vklopimo mrežo. Z ukazom grid off izklopimo mrežo. Poleg osnovnega ukaza plot imamo za izris slik na voljo še druge ukaze, npr. semilogy (logaritemska skala na y-osi) in plot3 (grafi v 3 dimenzijah). 38 / 42
39 39 / 42 Opcije za izris grafov funkcij Obsežen seznam opcij dobimo z ukazom help plot. Nekatere pomembnejše so naštete spodaj. Zapišemo jih v enojnih navednicah. Barve: b modra, g zelena, r rdeča, y rumena, k črna, w bela. Črte: - polna, : pikčasta, - črtkasta, -. pikčasto-črtkasta. Debelina črt: LineWidth,2 dvojna debelina. Markerji:. točka, o krogec, x x-znak, + plusek, * zvezdica.
40 40 / 42 Primer opremljenega grafa Narišimo na isto sliko grafa funkcij y = sin x z rdečo črtkasto črto ter y = cos x z modro polno črto na intervalu [ π, 2π]. Maksimume in minumume obeh funkcij označimo z zelenimi krogci, ničle pa s črnimi x-znaki. Dodajmo še naslov, oznake na obeh oseh, mrežo ter legendo. x = -pi:0.01:2*pi; y = sin(x); z = cos(x); plot(x,y, r-,x,z, b- ); hold on; grid on; axis equal; axis([-pi 2*pi ]); title( Grafa funkcij sinus in kosinus ); xlabel( x ); ylabel( y ); xx = [-pi -pi/2 0 pi/2 pi 3*pi/2 2*pi]; plot(xx,[ ], go ); plot(xx,zeros(1,7), kx ); legend( sinus, kosinus, ekstremi, nicle );
41 41 / 42 Ukazi za delo s polinomi Z ukazom polyval(p,x) izračunamo vrednost polinoma p v točki x. Polinom podamo z vektorjem koeficientov, ki so urejeni po padajočih potencah x-a. Z ukazom roots(p) izračunamo ničle polinoma p. Kot primer izračunajmo vrednost polinoma p(x) = x 3 3x + 2 v točki x = 2 ter njegove ničle. polyval([ ],2) 4 roots([ ]) [-2 1 1] Z ukazom polyfit(x, y, n) določimo koeficiente interpolacijskega polinoma stopnje n, kjer za interpolacijske točke vzamemo pare komponent iz vektorjev x in y. Z ukazom spline(x,y) določimo kubični zlepek, kjer za interpolacijske točke vzamemo pare komponent iz vektorjev x in y.
42 42 / 42 Ukaz quad: numerično integriranje Z ukazom quad(f,a,b) numerično izračunamo določeni integral funkcije f na intervalu [a, b]. Kot primer izračunajmo integral f = inline( x 2 ); quad(f,0,1) x 2 dx. Z ukazom trapz(y) z uporabo trapeznega pravila izračunamo določeni integral funkcije, ki je podana z vektorjem funkcijskih vrednosti y za enotske razmike. Kot primer izračunajmo integral 3 0 (x + 1)dx, kjer je vhodni podatek vektor y = (1, 2, 3, 4). y = [ ]; trapz(y) 7.5
Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 14. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 14. november 2013 Kvadratni koren polinoma Funkcijo oblike f(x) = p(x), kjer je p polinom, imenujemo kvadratni koren polinoma
Διαβάστε περισσότεραmatrike A = [a ij ] m,n αa 11 αa 12 αa 1n αa 21 αa 22 αa 2n αa m1 αa m2 αa mn se števanje po komponentah (matriki morata biti enakih dimenzij):
4 vaja iz Matematike 2 (VSŠ) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 matrike Matrika dimenzije m n je pravokotna tabela m n števil, ki ima m vrstic in n stolpcev: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n
Διαβάστε περισσότεραTretja vaja iz matematike 1
Tretja vaja iz matematike Andrej Perne Ljubljana, 00/07 kompleksna števila Polarni zapis kompleksnega števila z = x + iy): z = rcos ϕ + i sin ϕ) = re iϕ Opomba: Velja Eulerjeva formula: e iϕ = cos ϕ +
Διαβάστε περισσότεραKotne in krožne funkcije
Kotne in krožne funkcije Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku Avtor: Rok Kralj, 4.a Gimnazija Vič, 009/10 β a c γ b α sin = a c cos= b c tan = a b cot = b a Sinus kota je razmerje kotu nasprotne katete
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 21. november 2013 Hiperbolične funkcije Hiperbolični sinus sinhx = ex e x 2 20 10 3 2 1 1 2 3 10 20 hiperbolični kosinus coshx
Διαβάστε περισσότεραFunkcijske vrste. Matematika 2. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 2. april Gregor Dolinar Matematika 2
Matematika 2 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 2. april 2014 Funkcijske vrste Spomnimo se, kaj je to številska vrsta. Dano imamo neko zaporedje realnih števil a 1, a 2, a
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 12. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 12. november 2013 Graf funkcije f : D R, D R, je množica Γ(f) = {(x,f(x)) : x D} R R, torej podmnožica ravnine R 2. Grafi funkcij,
Διαβάστε περισσότεραIterativno reševanje sistemov linearnih enačb. Numerične metode, sistemi linearnih enačb. Numerične metode FE, 2. december 2013
Numerične metode, sistemi linearnih enačb B. Jurčič Zlobec Numerične metode FE, 2. december 2013 1 Vsebina 1 z n neznankami. a i1 x 1 + a i2 x 2 + + a in = b i i = 1,..., n V matrični obliki zapišemo:
Διαβάστε περισσότεραOdvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 5. december Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 5. december 2013 Primer Odvajajmo funkcijo f(x) = x x. Diferencial funkcije Spomnimo se, da je funkcija f odvedljiva v točki
Διαβάστε περισσότερα*M * Osnovna in višja raven MATEMATIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Sobota, 4. junij 2011 SPOMLADANSKI IZPITNI ROK. Državni izpitni center
Državni izpitni center *M40* Osnovna in višja raven MATEMATIKA SPOMLADANSKI IZPITNI ROK NAVODILA ZA OCENJEVANJE Sobota, 4. junij 0 SPLOŠNA MATURA RIC 0 M-40-- IZPITNA POLA OSNOVNA IN VIŠJA RAVEN 0. Skupaj:
Διαβάστε περισσότεραIntegralni račun. Nedoločeni integral in integracijske metrode. 1. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: (a) dx. (b) x 3 +3+x 2 dx, (c) (d)
Integralni račun Nedoločeni integral in integracijske metrode. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: d 3 +3+ 2 d, (f) (g) (h) (i) (j) (k) (l) + 3 4d, 3 +e +3d, 2 +4+4 d, 3 2 2 + 4 d, d, 6 2 +4 d, 2
Διαβάστε περισσότεραV tem poglavju bomo vpeljali pojem determinante matrike, spoznali bomo njene lastnosti in nekaj metod za računanje determinant.
Poglavje IV Determinanta matrike V tem poglavju bomo vpeljali pojem determinante matrike, spoznali bomo njene lastnosti in nekaj metod za računanje determinant 1 Definicija Preden definiramo determinanto,
Διαβάστε περισσότεραGimnazija Krˇsko. vektorji - naloge
Vektorji Naloge 1. V koordinatnem sistemu so podane točke A(3, 4), B(0, 2), C( 3, 2). a) Izračunaj dolžino krajevnega vektorja točke A. (2) b) Izračunaj kot med vektorjema r A in r C. (4) c) Izrazi vektor
Διαβάστε περισσότεραPodobnost matrik. Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Diagonalizacija matrik
Podobnost matrik Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Matjaž Željko FKKT Kemijsko inženirstvo 14 teden (Zadnja sprememba: 23 maj 213) Matrika A R n n je podobna matriki B R n n, če obstaja obrnljiva
Διαβάστε περισσότεραBooleova algebra. Izjave in Booleove spremenljivke
Izjave in Booleove spremenljivke vsako izjavo obravnavamo kot spremenljivko če je izjava resnična (pravilna), ima ta spremenljivka vrednost 1, če je neresnična (nepravilna), pa vrednost 0 pravimo, da gre
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIČNI IZRAZI V MAFIRA WIKIJU
I FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Jadranska cesta 19 1000 Ljubljan Ljubljana, 25. marec 2011 MATEMATIČNI IZRAZI V MAFIRA WIKIJU KOMUNICIRANJE V MATEMATIKI Darja Celcer II KAZALO: 1 VSTAVLJANJE MATEMATIČNIH
Διαβάστε περισσότεραOdvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 10. december 2013 Izrek (Rolleov izrek) Naj bo f : [a,b] R odvedljiva funkcija in naj bo f(a) = f(b). Potem obstaja vsaj ena
Διαβάστε περισσότεραDiferencialna enačba, v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci
Linearna diferencialna enačba reda Diferencialna enačba v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci d f + p= se imenuje linearna diferencialna enačba V primeru ko je f 0 se zgornja
Διαβάστε περισσότεραMatematika I (VS) Univerza v Ljubljani, FE. Melita Hajdinjak 2013/14. Pregled elementarnih funkcij. Potenčna funkcija. Korenska funkcija.
1 / 46 Univerza v Ljubljani, FE Potenčna Korenska Melita Hajdinjak Matematika I (VS) Kotne 013/14 / 46 Potenčna Potenčna Funkcijo oblike f() = n, kjer je n Z, imenujemo potenčna. Število n imenujemo eksponent.
Διαβάστε περισσότερα1. Definicijsko območje, zaloga vrednosti. 2. Naraščanje in padanje, ekstremi. 3. Ukrivljenost. 4. Trend na robu definicijskega območja
ZNAČILNOSTI FUNKCIJ ZNAČILNOSTI FUNKCIJE, KI SO RAZVIDNE IZ GRAFA. Deinicijsko območje, zaloga vrednosti. Naraščanje in padanje, ekstremi 3. Ukrivljenost 4. Trend na robu deinicijskega območja 5. Periodičnost
Διαβάστε περισσότεραΣύστηµα επεξεργασίας πινάκων και συναρτήσεων τους για εφαρµογές αριθµητικής ανάλυσης και γραφικής παρουσίασης.
MATLAB 1 MATLAB (MATrix LABoratory) Σύστηµα επεξεργασίας πινάκων και συναρτήσεων τους για εφαρµογές αριθµητικής ανάλυσης και γραφικής παρουσίασης. ηµιουργήθηκε απο τον C. Moler, αρχικά σαν εργαλείο διαχείρισης
Διαβάστε περισσότεραΒασικά στοιχεία του MATLAB
ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ Εξοικείωση µε το περιβάλλον του MATLAB και χρήση βασικών εντολών και τεχνικών δηµιουργίας προγραµµάτων, συναρτήσεων
Διαβάστε περισσότεραKODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK
1 / 24 KODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK Štefko Miklavič Univerza na Primorskem MARS, Avgust 2008 Phoenix 2 / 24 Phoenix 3 / 24 Phoenix 4 / 24 Črtna koda 5 / 24 Črtna koda - kontrolni bit 6 / 24
Διαβάστε περισσότεραFunkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja D R priredi neko število f (x) R.
II. FUNKCIJE 1. Osnovni pojmi 2. Sestavljanje funkcij 3. Pregled elementarnih funkcij 4. Zveznost Kaj je funkcija? Definicija Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja D R priredi
Διαβάστε περισσότεραVAJE IZ MATEMATIKE za študente gozdarstva. Martin Raič
VAJE IZ MATEMATIKE za študente gozdarstva Martin Raič OSNUTEK Kazalo 1. Ponovitev 2 2. Ravninska in prostorska geometrija 5 3. Linearna algebra 7 4. Ponavljanje pred kolokvijem 8 M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE(GOZDARSTVO)
Διαβάστε περισσότεραZačetni tečaj MATLAB. Avtorja: Poldi Herman, univ. dipl. inž. el. Andraž Žertek, univ. dipl. inž. el.
Začetni tečaj MATLAB Avtorja: Poldi Herman, univ. dipl. inž. el. Andraž Žertek, univ. dipl. inž. el. April 2007 Vsebina Vsebina... 2 1. Uvod... 3 Orodja (toolbox)... 4 Pomoč... 4 Pomoč v delovnem oknu...
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στη Γεώργιος Γεωργίου & Χρίστος Ξενοφώντος
Εισαγωγή στη Γεώργιος Γεωργίου & Χρίστος Ξενοφώντος Τμήμα Μαθηματικών και Στατιστικής Πανεπιστήμιο Κύπρου Μάϊος 7 . ΕΙΣΑΓΩΓΗ Το MATLAB είναι ένα σύγχρονο ολοκληρωμένο μαθηματικό λογισμικό πακέτο που χρησιμοποιείται
Διαβάστε περισσότεραD f, Z f. Lastnosti. Linearna funkcija. Definicija Linearna funkcija f : je definirana s predpisom f(x) = kx+n; k,
Linearna funkcija Linearna funkcija f : je definirana s predpisom f(x) = kx+n; k, n ᄀ. k smerni koeficient n začetna vrednost D f, Z f Definicijsko območje linearne funkcije so vsa realna števila. Zaloga
Διαβάστε περισσότεραKotni funkciji sinus in kosinus
Kotni funkciji sinus in kosinus Oznake: sinus kota x označujemo z oznako sin x, kosinus kota x označujemo z oznako cos x, DEFINICIJA V PRAVOKOTNEM TRIKOTNIKU: Kotna funkcija sinus je definirana kot razmerje
Διαβάστε περισσότερα13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa
13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa Bor Plestenjak NLA 25. maj 2010 Bor Plestenjak (NLA) 13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa 25. maj 2010 1 / 12 Enostranska Jacobijeva
Διαβάστε περισσότεραIZPIT IZ ANALIZE II Maribor,
Maribor, 05. 02. 200. (a) Naj bo f : [0, 2] R odvedljiva funkcija z lastnostjo f() = f(2). Dokaži, da obstaja tak c (0, ), da je f (c) = 2f (2c). (b) Naj bo f(x) = 3x 3 4x 2 + 2x +. Poišči tak c (0, ),
Διαβάστε περισσότερα1 Πίνακες και διανύσματα στο MATLAB
1 Πίνακες και διανύσματα στο MATLAB Η λέξη MATLAB προέρχεται από τα πρώτα γράμματα των λέξεων MATrix LABoratory (εργαστήριο πινάκων). Το όνομά του λογισμικού φανερώνει την έμφαση που έδωσαν οι συγγραφείς
Διαβάστε περισσότεραOznake in osnovne definicije
Oznake in osnovne definicije B Plestenjak, JKozak: Numerične metode 2011-2012 1 / 53 Sistem n linearnih enačb z n neznankami a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b
Διαβάστε περισσότεραZaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 22. oktober Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 22. oktober 2013 Kdaj je zaporedje {a n } konvergentno, smo definirali s pomočjo limite zaporedja. Večkrat pa je dobro vedeti,
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA FOURIERJEVA TRANSFORMACIJA
29.03.2004 Definicija DFT Outline DFT je linearna transformacija nekega vektorskega prostora dimenzije n nad obsegom K, ki ga označujemo z V K, pri čemer ima slednji lastnost, da vsebuje nek poseben element,
Διαβάστε περισσότεραOsnove linearne algebre
Osnove linearne algebre Matrike Matrika razsežnosti n m je A = a 1 1 a 1 2 a 1 m a 2 1 a 2 2 a 2 m a n 1 a n 2 a n m Če je n = m, tedaj matriko imenujemo kvadratna matrika Elementi matrike so lahko realna
Διαβάστε περισσότεραMatrike. Poglavje II. Matrika je pravokotna tabela realnih števil. Na primer: , , , 0 1
Poglavje II Matrike Matrika je pravokotna tabela realnih števil Na primer: [ ] 1 1 1, 2 3 1 1 0 1 3 2 1, 0 1 4 [ ] 2 7, Matrika je sestavljena iz vrstic in stolpcev Vrstici matrike [ ] 1 1 1 2 3 1 [ ]
Διαβάστε περισσότεραNa pregledni skici napišite/označite ustrezne točke in paraboli. A) 12 B) 8 C) 4 D) 4 E) 8 F) 12
Predizpit, Proseminar A, 15.10.2015 1. Točki A(1, 2) in B(2, b) ležita na paraboli y = ax 2. Točka H leži na y osi in BH je pravokotna na y os. Točka C H leži na nosilki BH tako, da je HB = BC. Parabola
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 1 UNIVERZITETNI ŠTUDIJSKI PROGRAM BIOKEMIJA 1. LETNIK
abc MATEMATIKA 1 UNIVERZITETNI ŠTUDIJSKI PROGRAM BIOKEMIJA 1. LETNIK ŠTEVILA PRIBLIŽNO RAČUNANJE PRIBLIŽNO RAČUNANJE Ta fosil dinozavra je star 7 milijonov in šest let, pravi paznik v muzeju.??? Ko sem
Διαβάστε περισσότεραΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι Ενότητα 11: MATLAB
ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι Ενότητα 11: MATLAB Μιχάλης Δρακόπουλος Σχολή Θετικών επιστημών Τμήμα Μαθηματικών MATLAB 61 MATLAB (MATrix LABoratory) Σύστηµα επεξεργασίας πινάκων και συναρτήσεων τους για εφαρµογές αριθµητικής
Διαβάστε περισσότερααριθµητικούς υπολογισµούς, δίχως προγραµµατισµό σε συµβατικές γλώσσες (Fortran, C)
2 Τι είναι το Matlab? Το Matlab (MATrix LABoratory) είναι ένα interactive σύστηµα για: αριθµητικούς υπολογισµούς, δίχως προγραµµατισµό σε συµβατικές γλώσσες (Fortran, C) γρήγορη ανάπτυξη και έλεγχο αλγορίθµων,
Διαβάστε περισσότεραLastne vrednosti in lastni vektorji
Poglavje VIII Lastne vrednosti in lastni vektorji V tem poglavju bomo privzeli, da so skalarji v vektorskih prostorih, koeficienti v matrikah itd., kompleksna števila. Algebraične operacije seštevanja,
Διαβάστε περισσότερααριθµητικούς υπολογισµούς, δίχως προγραµµατισµό σε συµβατικές γλώσσες (Fortran, C)
1 Τι είναι το Matlab? Το Matlab (MATrix LABoratory) είναι ένα interactive σύστηµα για: αριθµητικούς υπολογισµούς, δίχως προγραµµατισµό σε συµβατικές γλώσσες (Fortran, C) γρήγορη ανάπτυξη και έλεγχο αλγορίθµων,
Διαβάστε περισσότεραZaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 15. oktober Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 15. oktober 2013 Oglejmo si, kako množimo dve kompleksni števili, dani v polarni obliki. Naj bo z 1 = r 1 (cosϕ 1 +isinϕ 1 )
Διαβάστε περισσότερα1 η Εργαστηριακή Άσκηση Εισαγωγή στο MATLAB
Πανεπιστήμιο Πειραιώς Σχολή Τεχνολογιών Πληροφορικής & Επικοινωνιών Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων Εργαστήριο Τηλεπικοινωνιακών Συστημάτων 1 η Εργαστηριακή Άσκηση Εισαγωγή στο MATLAB Μάθημα: Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες
Διαβάστε περισσότεραReševanje sistema linearnih
Poglavje III Reševanje sistema linearnih enačb V tem kratkem poglavju bomo obravnavali zelo uporabno in zato pomembno temo linearne algebre eševanje sistemov linearnih enačb. Spoznali bomo Gaussovo (natančneje
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραVEKTORJI. Operacije z vektorji
VEKTORJI Vektorji so matematični objekti, s katerimi opisujemo določene fizikalne količine. V tisku jih označujemo s krepko natisnjenimi črkami (npr. a), pri pisanju pa s puščico ( a). Fizikalne količine,
Διαβάστε περισσότεραOsnove matematične analize 2016/17
Osnove matematične analize 216/17 Neža Mramor Kosta Fakulteta za računalništvo in informatiko Univerza v Ljubljani Kaj je funkcija? Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra. Bojan Orel Fakulteta za računalništvo in informatiko
Linearna algebra Bojan Orel Fakulteta za računalništvo in informatiko 23. februar 205 CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 52.64(075.8)(0.034.2) OREL, Bojan
Διαβάστε περισσότεραUniverza v Mariboru. Uporaba matematičnih metod v logistiki 1 Priročnik
Univerza v Mariboru Fakulteta za logistiko Uporaba matematičnih metod v logistiki 1 Priročnik BOJANA ZALAR Celje 2009 Izdala: Fakulteta za logistiko Univerze v Mariboru Naslov: Uporaba matematičnih metod
Διαβάστε περισσότεραINŽENIRSKA MATEMATIKA I
INŽENIRSKA MATEMATIKA I REŠENE NALOGE za izredne študente VSŠ Tehnično upravljanje nepremičnin Marjeta Škapin Rugelj Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo Kazalo Števila in preslikave 5 Vektorji 6 Analitična
Διαβάστε περισσότεραDefinicija. definiramo skalarni produkt. x i y i. in razdaljo. d(x, y) = x y = < x y, x y > = n (x i y i ) 2. i=1. i=1
Funkcije več realnih spremenljivk Osnovne definicije Limita in zveznost funkcije več spremenljivk Parcialni odvodi funkcije več spremenljivk Gradient in odvod funkcije več spremenljivk v dani smeri Parcialni
Διαβάστε περισσότεραηµιουργία αρχείου στον matlab editor Πληκτρολόγηση ακολουθίας εντολών
Προγραµµατισµός Αρχεία εντολών (script files) Τυπικό hello world πρόγραµµα σε script ηµιουργία αρχείου στον matlab editor Πληκτρολόγηση ακολουθίας εντολών disp( ( 'HELLO WORLD!'); % τυπική εντολή εξόδου
Διαβάστε περισσότεραProgramski jezik MATLAB
Dejan Zupan Programski jezik MATLAB KRATEK TEČAJ Stran 1 od 114 Katedra za mehaniko Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo Univerza v Ljubljani [10.10.2007] Zakaj Matlab? RAZŠIRJENOST IN DOSEGLJIVOST PRILAGOJEN
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στη Matlab Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση Διδάσκων: Γεώργιος Ακρίβης Βοηθός: Δημήτριος Ζαβαντής
Εισαγωγή στη Matlab Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση Διδάσκων: Γεώργιος Ακρίβης Βοηθός: Δημήτριος Ζαβαντής email: dzavanti@cs.uoi.gr Περιεχόμενα Τι είναι η Matlab; Ιστορικά Χρήσεις και στοιχεία της Matlab
Διαβάστε περισσότεραΣηµειώσεις MATLAB. Μιχάλης ρακόπουλος. Υπολογιστική Επιστήµη & Τεχνολογία, #01
Σηµειώσεις MATLAB Μιχάλης ρακόπουλος Υπολογιστική Επιστήµη & Τεχνολογία, #01 1 MATLAB (MATrix LABoratory) Σύστηµα επεξεργασίας πινάκων και συναρτήσεων τους για εφαρµογές αριθµητικής ανάλυσης και γραφικής
Διαβάστε περισσότερα8. Posplošeni problem lastnih vrednosti
8. Posplošeni problem lastnih vrednosti Bor Plestenjak NLA 13. april 2010 Bor Plestenjak (NLA) 8. Posplošeni problem lastnih vrednosti 13. april 2010 1 / 15 Matrični šop Dani sta kvadratni n n matriki
Διαβάστε περισσότεραKvadratne forme. Poglavje XI. 1 Definicija in osnovne lastnosti
Poglavje XI Kvadratne forme V zadnjem poglavju si bomo ogledali še eno vrsto preslikav, ki jih tudi lahko podamo z matrikami. To so tako imenovane kvadratne forme, ki niso več linearne preslikave. Kvadratne
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στο Matlab (μέρος β) Κολοβού Αθανασία, ΕΔΙΠ,
Εισαγωγή στο Matlab (μέρος β) Κολοβού Αθανασία, ΕΔΙΠ, akolovou@di.uoa.gr ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΠΙΝΑΚΩΝ Ορισμός πίνακα >>B=[3 5;9 7] B = 3 9 5 7 Ορισμός διανύσματος >>x = [ 2 5 ] x = Ανάστροφος y=x 2 5 y = 2 5 ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ
Διαβάστε περισσότεραAnaliza 2 Rešitve 14. sklopa nalog
Analiza Rešitve 1 sklopa nalog Navadne diferencialne enačbe višjih redov in sistemi diferencialnih enačb (1) Reši homogene diferencialne enačbe drugega reda s konstantnimi koeficienti: (a) 6 + 8 0, (b)
Διαβάστε περισσότεραUvod v R. 13. oktober Uvodni primer 3
Uvod v R Aleš Žiberna 13. oktober 2010 Kazalo 1 Uvodni primer 3 2 Osnovne informacije 13 2.1 Osnovne računske operacije................... 13 2.2 Spremenljivke........................... 15 2.3 Uporaba
Διαβάστε περισσότεραReševanje sistemov linearnih enačb
1 / 37 Reševanje sistemov linearnih enačb Meteorologija z geofiziko, I. stopnja http://ucilnica.fmf.uni-lj.si/ 2 / 37 Matrični zapis sistema linearnih enačb Sistem m linearnih enačb z n neznankami a 11
Διαβάστε περισσότεραSplošno o interpolaciji
Splošno o interpolaciji J.Kozak Numerične metode II (FM) 2011-2012 1 / 18 O funkciji f poznamo ali hočemo uporabiti le posamezne podatke, na primer vrednosti r i = f (x i ) v danih točkah x i Izberemo
Διαβάστε περισσότεραUporabna matematika za naravoslovce
Uporabna matematika za naravoslovce Zapiski predavanj Študijski programi: Aplikativna kineziologija, Biodiverziteta Študijsko leto 203/4 doc.dr. Barbara Boldin Fakulteta za matematiko, naravoslovje in
Διαβάστε περισσότεραMatematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum
Matematka Zadaci za drugi kolokvijum 8 Limesi funkcija i neprekidnost 8.. Dokazati po definiciji + + = + = ( ) = + ln( ) = + 8.. Odrediti levi i desni es funkcije u datoj tački f() = sgn, = g() =, = h()
Διαβάστε περισσότεραSKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK
SKUPNE PORAZDELITVE SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK Kovaec vržemo trikrat. Z ozačimo število grbov ri rvem metu ( ali ), z Y a skuo število grbov (,, ali 3). Kako sta sremelivki i Y odvisi
Διαβάστε περισσότεραAlgebraične strukture
Poglavje V Algebraične strukture V tem poglavju bomo spoznali osnovne algebraične strukture na dani množici. Te so podane z eno ali dvema binarnima operacijama. Binarna operacija paru elementov iz množice
Διαβάστε περισσότεραEnačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba.
1. Osnovni pojmi Enačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba. Primer 1.1: Diferencialne enačbe so izrazi: y
Διαβάστε περισσότεραMatematika. BF Lesarstvo. Zapiski ob predavanjih v šolskem letu 2009/2010
Matematika BF Lesarstvo Matjaž Željko Zapiski ob predavanjih v šolskem letu 009/00 Izpis: 9 januar 00 KAZALO Kazalo Števila 5 Naravna števila 5 Cela števila 6 3 Racionalna števila 6 4 Realna števila 7
Διαβάστε περισσότερα2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1
2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.
Διαβάστε περισσότεραΠληροφορική. Ενότητα 2: Α. Μεταβλητές. Όλα είναι πίνακες. Β. Δεδομένα. Σφάλματα. Δομές. Κωνσταντίνος Καρατζάς Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Πληροφορική Ενότητα 2: Α. Μεταβλητές. Όλα είναι πίνακες. Β. Δεδομένα. Σφάλματα. Δομές. Κωνσταντίνος Καρατζάς Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών
Διαβάστε περισσότεραKontrolne karte uporabljamo za sprotno spremljanje kakovosti izdelka, ki ga izdelujemo v proizvodnem procesu.
Kontrolne karte KONTROLNE KARTE Kontrolne karte uporablamo za sprotno spremlane kakovosti izdelka, ki ga izdeluemo v proizvodnem procesu. Izvaamo stalno vzorčene izdelkov, npr. vsako uro, vsake 4 ure.
Διαβάστε περισσότεραΧρονικές σειρές 2 o μάθημα: Εισαγωγή στη MATLAB
Χρονικές σειρές 2 o μάθημα: Εισαγωγή στη MATLAB Εαρινό εξάμηνο 2018-2019 Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ Διδάσκουσα: Αγγελική Παπάνα Μεταδιδακτορική Ερευνήτρια Πολυτεχνική σχολή, Α.Π.Θ. & Οικονομικό Τμήμα, Πανεπιστήμιο
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO MATEMATIKA II
UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO Petra Žigert Pleteršek MATEMATIKA II Maribor, 2016 Kazalo Uvod v linearno algebro 1 1.1 Matrike................................ 1 1.2 Računanje
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Ηλεκτρονική Υγεία. Εργαστήριο 5 ο : MATLAB
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Ηλεκτρονική Υγεία Εργαστήριο 5 ο : MATLAB Αν. καθηγητής Αγγελίδης Παντελής e-mail: paggelidis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότερα1 Fibonaccijeva stevila
1 Fibonaccijeva stevila Fibonaccijevo število F n, kjer je n N, lahko definiramo kot število načinov zapisa števila n kot vsoto sumandov, enakih 1 ali Na primer, število 4 lahko zapišemo v obliki naslednjih
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. Diferencialne enačbe drugega reda
Matematika 2 Diferencialne enačbe drugega reda (1) Reši homogene diferencialne enačbe drugega reda s konstantnimi koeficienti: (a) y 6y + 8y = 0, (b) y 2y + y = 0, (c) y + y = 0, (d) y + 2y + 2y = 0. Rešitev:
Διαβάστε περισσότεραLinearne preslikave. Poglavje VII. 1 Definicija linearne preslikave in osnovne lastnosti
Poglavje VII Linearne preslikave V tem poglavju bomo vektorske prostore označevali z U,V,W,... Vsi vektorski prostori bodo končnorazsežni. Zaradi enostavnosti bomo privzeli, da je pripadajoči obseg realnih
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραFunkcije več spremenljivk
DODATEK C Funkcije več spremenljivk C.1. Osnovni pojmi Funkcija n spremenljivk je predpis: f : D f R, (x 1, x 2,..., x n ) u = f (x 1, x 2,..., x n ) kjer D f R n imenujemo definicijsko območje funkcije
Διαβάστε περισσότεραTadeja Kraner Šumenjak MATEMATIKA. Maribor, 2010
Tadeja Kraner Šumenjak in Vilma Šuštar MATEMATIKA Maribor, 2010 2 CIP-kataložni zapis o publikaciji Univerzitetna knjižnica Maribor CIP številka Avtor Naslov publikacije/avtor, kraj, založnik ISBN Naslov
Διαβάστε περισσότεραΓνωριμία με το MATLAB
Γνωριμία με το MATLAB Εισαγωγή Πινάκων u = [8 5-9] Εισάγει ένα διάνυσμα-γραμμή. s = [2;-5; 7] Εισάγει ένα διάνυσμα-στήλη. Α = [5-2 5; -2 7-8; 2 6 4] Εισάγει πίνακα 3x3. Βασικές Συναρτήσεις sa = abs(s)
Διαβάστε περισσότεραSEMINARSKA NALOGA Funkciji sin(x) in cos(x)
FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Praktična Matematika-VSŠ(BO) Komuniciranje v matematiki SEMINARSKA NALOGA Funkciji sin(x) in cos(x) Avtorica: Špela Marinčič Ljubljana, maj 2011 KAZALO: 1.Uvod...1 2.
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA SANDRA BOLTA LASTNE VREDNOSTI GRAFA DIPLOMSKO DELO
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA SANDRA BOLTA LASTNE VREDNOSTI GRAFA DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA, 2014 2 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA Študijska smer: Fizika in matematika SANDRA BOLTA
Διαβάστε περισσότερα11.5 Metoda karakteristik za hiperbolične PDE
11.5 Metoda karakteristik za hiperbolične PDE Hiperbolična kvazi linearna PDE ima obliko au xx + bu xy + cu yy = f, (1) kjer so a, b, c, f funkcije x, y, u, u x in u y, ter velja b 2 4ac > 0. Če predpostavimo,
Διαβάστε περισσότεραLJUDSKA UNIVERZA NOVA GORICA. MATEMATIKA 1 2. del. EKONOMSKI TEHNIK PTI gradivo za interno uporabo. Pripravila: Mateja Strnad Šolsko leto 2011/12
LJUDSKA UNIVERZA NOVA GORICA MATEMATIKA 1 2. del EKONOMSKI TEHNIK PTI gradivo za interno uporabo Pripravila: Mateja Strnad Šolsko leto 2011/12 KAZALO 1 POLINOMI... 1 1.1 Polinomi VAJE... 1 1.2 Operacije
Διαβάστε περισσότεραZBIRKA REŠENIH NALOG IZ MATEMATIKE II
Univerza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko Andrej Perne ZBIRKA REŠENIH NALOG IZ MATEMATIKE II Skripta za vaje iz Matematike II (UNI + VSP) Ljubljana, determinante Determinanta det A je število, prirejeno
Διαβάστε περισσότεραvezani ekstremi funkcij
11. vaja iz Matematike 2 (UNI) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 ekstremi funkcij več spremenljivk nadaljevanje vezani ekstremi funkcij Dana je funkcija f(x, y). Zanimajo nas ekstremi nad
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότερα1. VAJA IZ TRDNOSTI. (linearna algebra - ponovitev, Kroneckerjev δ i j, permutacijski simbol e i jk )
VAJA IZ TRDNOSTI (lnearna algebra - ponovtev, Kroneckerev δ, permutacsk smbol e k ) NALOGA : Zapš vektor a = [, 2,5,] kot lnearno kombnaco vektorev e = [,,,], e 2 = [,2,3,], e 3 = [2,,, ] n e 4 = [,,,]
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραΣημειώσεις Matlab. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ Μάθημα: Αριθμητική Ανάλυση Διδάσκων: Καθηγητής Θ.Η. Σίμος.
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ Μάθημα: Αριθμητική Ανάλυση Διδάσκων: Καθηγητής Θ.Η. Σίμος Σημειώσεις Matlab Γενικά a = 2 Εκχώρηση της τιμής 2 στη μεταβλητή a. b = 3; Εκχώρηση της τιμής
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στον επιστημονικό προγραμματισμό 2 o Μάθημα
Εισαγωγή στους Ηλεκτρονικούς Υπολογιστές Εισαγωγή στον επιστημονικό προγραμματισμό 2 o Μάθημα Λεωνίδας Αλεξόπουλος Λέκτορας ΕΜΠ email: leo@mail.ntua.gr url: http://users.ntua.gr/leo Μελάς Ιωάννης Υποψήφιος
Διαβάστε περισσότεραMatematika. Funkcije in enačbe
Matematika Funkcije in enačbe (1) Nariši grafe naslednjih funkcij: (a) f() = 1, (b) f() = 3, (c) f() = 3. Rešitev: (a) Linearna funkcija f() = 1 ima začetno vrednost f(0) = 1 in ničlo = 1/. Definirana
Διαβάστε περισσότεραVaje iz MATEMATIKE 2. Vektorji
Študij AHITEKTURE IN URBANIZMA, šol. l. 06/7 Vaje iz MATEMATIKE. Vektorji Vektorji: Definicija: Vektor je usmerjena daljica. Oznake: AB, a,... Enakost vektorjev: AB = CD: če lahko vektor AB vzporedno premaknemo
Διαβάστε περισσότεραπ π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Διαβάστε περισσότεραcot x ni def. 3 1 KOTNE FUNKCIJE POLJUBNO VELIKEGA KOTA (A) Merske enote stopinja [ ] radian [rad] 1. Izrazi kot v radianih.
TRIGONOMETRIJA (A) Merske enote KOTNE FUNKCIJE POLJUBNO VELIKEGA KOTA stopinja [ ] radian [rad] 80 80 0. Izrazi kot v radianih. 0 90 5 0 0 70. Izrazi kot v stopinjah. 5 8 5 (B) Definicija kotnih funkcij
Διαβάστε περισσότερα