LJUDSKA UNIVERZA NOVA GORICA. MATEMATIKA 1 2. del. EKONOMSKI TEHNIK PTI gradivo za interno uporabo. Pripravila: Mateja Strnad Šolsko leto 2011/12
|
|
- Ἀδάμ Κουβέλης
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 LJUDSKA UNIVERZA NOVA GORICA MATEMATIKA 1 2. del EKONOMSKI TEHNIK PTI gradivo za interno uporabo Pripravila: Mateja Strnad Šolsko leto 2011/12
2 KAZALO 1 POLINOMI Polinomi VAJE Operacije v množici polinomov Seštevanje in odštevanje Množenje polinomov Deljenje polinomov Operacije v množici polinomov - VAJE Hornerjev algoritem Hornerjev algoritem VAJE Ničle polinoma Iskanje ničel s Hornerjevim algoritmom Ničle polinoma - VAJE Graf polinoma Graf polinoma VAJE Polinomske neenačbe Polinomske neenačbe VAJE RACIONALNE FUNKCIJE GRAF RACIONALNE FUNKCIJE Definicijsko območje Ničle in obnašanje v okolici ničel Poli in obnašanje v okolici polov Presečišče z ordinatno osjo Predznak Obnašanje grafa daleč od koordinatnega izhodišča Graf racionalne funkcije - VAJE RACIONALNA ENAČBA Racionalna enačba VAJE Racionalna neenačba Racionalna neenačba VAJE EKSPONENTNA FUNKCIJA IN EKSPONENTNA ENAČBA i
3 3.1 Eksponentna funkcija Eksponentna funkcija VAJE Eksponentna enačba Eksponentna enačba VAJE LOGARITEMSKA FUNKCIJA IN LOGARITEMSKA ENAČBA Logaritmi Pravila za računanje logaritmov Prehod k novi osnovi Logaritmi VAJE Logaritemska funkcija Logaritemska funkcija - VAJE Logaritemska enačba Logaritemska enačba VAJE KOTNE FUNKCIJE Sinus in kosinus Sinus in kosinus VAJE Lastnosti funkcij sinus in kosinus Lastnosti funkcij sinus in kosinus VAJE Grafa funkcij sinus in kosinus Grafa funkcij sinus in kosinus VAJE Tangens in kotangens Tangens in kotangens VAJE Adicijski izreki Adicijski izreki VAJE Naklonski kot premice in kot med dvema premicama Naklonski kot premice in kot med dvema premicama VAJE ii
4 POLINOMI 1 POLINOMI Naj bo nenegativno celo število,,,,, realna števila in 0. Polinom stopnje je funkcija = ,,,, koeficienti polinoma konstantni koeficient ali konstantni člen koeficient člena z največjo stopnjo imenujemo vodilni koeficient vodilni člen Stopnja polinoma je enaka najvišjemu eksponentu spremenljivke, ki nastopa v enačbi. Nekatere polinome že poznamo: konstantna funkcija: = linearna funkcija: = + ; 0 kvadratna funkcija: = + + ; 0 Polinoma sta enaka, če imata enaki stopnji in enake koeficiente pri potencah iste stopnje. Vrednost polinoma pri dani vrednosti spremenljivke dobimo tako, da v polinomu nadomestimo spremenljivko z dano vrednostjo in dobljenemu aritmetičnemu izrazu izračunamo vrednost. 1.1 POLINOMI VAJE 1. Določi stopnjo, vodilni koeficient, vodilni člen in prosti člen polinoma a. = d. = + 3 b. = c. = Izračunaj vrednost polinoma = v točkah: =1,=0,= 2 in =4. 3. Določi koeficienta in tako, da bosta polinoma = in = enaka. 4. Za kateri števili in je +2+=4 3? 5. Poišči realna števila, in, za katera je + 4+= Določi stopnjo polinoma = in izračunaj vrednost polinoma za =0,=2 in = Zapiši polinom druge stopnje, za katerega je 1=4, 1=6 in 0=3. 8. Zapiši polinom druge stopnje, ki ima vodilni koeficient enak 3, prosti člen pa enak 3, pri =2 pa vrednost 5. 1
5 POLINOMI 9. Zapiši polinom tretje stopnje, če velja 1=1, 1=1, vodilni koeficient je enak 2, prosti člen pa OPERACIJE V MNOŽICI POLINOMOV Seštevanje in odštevanje Dva polinoma seštejemo (odštejemo) tako, da seštejemo (odštejemo) koeficiente pri potencah iste stopnje. Stopnja vsote (razlike) je enaka višji od stopenj sumandov. Če seštevamo polinoma iste stopnje in sta njuna vodilna koeficienta nasprotni števili, ima vsota polinoma nižjo stopnjo. Če odštevamo polinoma iste stopnje z enakima vodilnima koeficientoma, ima razlika polinomov nižjo stopnjo. ZGLED: = = = Množenje polinomov Množenje polinoma s številom Polinom pomnožimo s številom različnim od 0 tako, da z njim pomnožimo vse njegove koeficiente. Stopnja polinoma pomnoženega s številom je enaka stopnji prvotnega polinoma. ZGLED Polinom = pomnožimo s 3. 3 = Dva polinoma zmnožimo tako, da vsak člen prvega polinoma pomnožimo z vsakim členom drugega polinoma. Stopnja produkta dveh polinomov je enaka vsoti stopenj obeh polinomov. ZGLED = =4 +1 = = = = = Stopnja produkta je 5 (3 +2) 2
6 POLINOMI Deljenje polinomov Osnovni izrek o deljenje polinomov: Za polinom stopnje in polinom stopnje ( ) obstajata natanko določena polinoma in, da velja: = + Polinom, ki je kvocient pri deljenju polinoma s polinomom, je polinom stopnje, ostanek pa je polinom, ki je nižje stopnje od stopnje delitelja, torej stopnje nižje od. Če je polinom deljiv s polinomom, je ostanek =0 in lahko pišemo: = ZGLED Delimo polinom = s polinomom = 4+1. ( 3x 4 + 2x 3-4x + 1 ) : ( x 2-4x + 1 ) = 3x x ( 3x 4-12x 3 + 3x 2 ) 14x 3-3x 2-4x ( 14x 3-56x x ) 53x 2-18x ( 53x 2-212x + 53 ) 194x = Operacije v množici polinomov - VAJE 1. Seštej polinoma a. +2 in +3+1 b in 5 +6 c in Odštej polinoma a in + 3 b in 2 +4 c in Dani so polinomi = 3, =2 + 4 in = Izračunaj: a. + b. c. 2+ d
7 POLINOMI 4. Izračunaj produkte in določi stopnje polinomov! a. = +3+4 in = 2 b. = in =4 +1 c. = 2 +2 in = + 5. Deli polinoma a. = +4+1 in = 2 b. = in = 7 c. = in = 3 d. = 4 2 in = +1 e. = in = Ugotovi, ali je polinom deljiv s polinomom. a. = in =+3 b. = in = HORNERJEV ALGORITEM Hornerjev algoritem je metoda za reševanje polinomskih enačb. Hornerjev algoritem uporabljamo: za iskanje vrednosti polinoma v dani točki, za deljenje polinoma z linearnim polinomom, za iskanje ničel. Polinom = delimo z linearnim polinomom =. Za deljenje uporabimo Hornerjev algoritem. Postopek si poglejmo na konkretnem primeru: Delimo polinom = s polinomom = 2. Postopek reševanja: Pri reševanju si pomagamo s tabelo. V prvo vrstico zapišemo koeficiente polinoma, na levo stran v drugo vrstico pa število Postopek računanja: vodilni koeficient prepišemo v tretjo vrstico. Pomnožimo ga s in rezultat zapišemo v drugo vrstico pod drugi koeficient polinoma. Nato seštejemo in. Rezultat zapišemo v istem stolpcu v tretjo vrstico. Ta rezultat zopet množimo s in postopek nadaljujemo. 4
8 POLINOMI = = koeficienti kvocienta ostanek = = = Hornerjev algoritem VAJE 1. S Hornerjevim algoritmom deli polinome a. = in = 3 b. =2 2 4 in =+1 c. = in = 2 2. S Hornerjevim algoritmom določi vrednost polinoma a. = +3+5 v točki = 2 b. = v točki =1 c. = v točki =3 3. Ali je polinom = deljiv s polinomoma 3 in +2? 1.4 NIČLE POLINOMA Število je ničla polinoma, če je =0. Ničle polinoma = so rešitve enačbe: =0 Ostanek pri deljenju polinoma z linearnim polinomom je enak 0 natanko takrat, ko je =0. To pomeni, da je ničla polinoma natanko takrat, ko je polinom deljiv z linearnim polinomom. Polinom -te stopnje lahko zapišem v ničelni obliki: =,,, so ničle polinoma. Polinom -te stopnje ima kvečjemu realnih ničel. Ko polinom razcepimo, se lahko kakšen faktor pojavi več kot enkrat. Recimo, da nastopa faktor -krat. Potem pravimo, da je -kratna ničla polinoma. 5
9 POLINOMI Ničle polinoma poiščemo z razstavljanjem ali s Hornerjevim algoritmom ZGLED Poišči ničle polinoma = z razstavljanjem! =0 ( )=0 (+2) 3(+2)=0 (+2) ( 3)=0 (+2) + 3 3=0 Ničle so: =0 = 2 = 3 = Iskanje ničel s Hornerjevim algoritmom Izmed možnih ničel s pomočjo Hornerjevega algoritma poiščemo pravo. možne cele ničle so delitelji prostega člena možne racionalne ničle iščemo med ulomki oblike ±, pri čemer je delitelj prostega člena in delitelj vodilnega koeficienta. ZGLED Poišči ničle polinoma = Možne cele ničle so delitelji števila 12: ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12 Vsako možno ničlo vstavimo kot število v Hornerjev algoritem. Začnimo po vrsti s +1: =1 je ničla polinoma, ker je ostanek enak 0. = = Ostale ničle iščemo med možnimi ničlami. 6
10 POLINOMI Možne cele ničle so delitelji števila 12: ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12 Vstavimo v Hornerjev algoritem 1: =1 ni ničla, ker ostanek ni enak 0. Vstavimo v Hornerjev algoritem -1: = 1 ni ničla, ker ostanek ni enak 0. Vstavimo v Hornerjev algoritem 2: =2 je ničla polinoma, ker je ostanek enak 0. Dobili smo količnik = 6, ki je druge stopnje in ga bomo razstavili po Vietovem pravilu. = = ničelna oblika polinoma Ničle polinoma so: =1, =2, =3, = Ničle polinoma - VAJE 1. Ugotovi ali je število 2 ničla polinoma a. = 4+4 c. = b. = Zapiši vse ničle danega polinoma in določi njihovo večkratnost a. = 1 b. = 2 c. = +3 d. =+3 2 e. =
11 POLINOMI 3. Razstavi dane polinome in zapiši njihove realne ničle a. = 25 b. ()= 49 c. ()= S Hornerjevim algoritmom poišči ničle polinoma a. = 3+2 b. = Določi ničle polinomov a. = b. =4 3+1 d. ()= +5 6 e. = c. = c. = d. = Določi polinom druge stopnje z ničlama 2 in 4, če je 1=9. 7. Določi polinom četrte stopnje z ničlami 0, 2 (dvojna) in 5, katerega graf vsebuje točko 1, GRAF POLINOMA Graf polinoma = , 0 je neprekinjena krivulja, ker je polinom zvezna funkcija. Graf bomo vsaj približno lahko narisali, če bomo preučili: 1. definicijsko območje Polinom je definiran za vsa realna števila. :, 2. presečišče z abscisno osjo Presečišča grafa z abscisno osjo so v ničlah polinoma, to so vrednosti, za katere je =0 oziroma =0. 3. obnašanje grafa v okolici ničle Obnašanje grafa v okolici ničle je odvisno od "kratnosti" te ničle. Če je ničla lihe stopnje (enkratna, trikratna, petkratna, ), graf polinoma seka abscisno os. Polinom v lihi ničli spremeni predznak. 8
12 POLINOMI Če je ničla sode stopnje (dvakratna, štirikratna, šestkratna, ), se graf polinoma dotika abscisne osi. Polinom v sodi ničli ne spremeni predznaka. 4. obnašanje grafa polinoma, ko se oddaljuje od koordinatnega izhodišča Obnašanje grafa je odvisno od predznaka vodilnega koeficienta in od eksponenta : a n pozitiven n sod a n pozitiven n lih a n negativen n sod a n negativen n lih x + p (x) + p (x) + p (x) p (x) x p (x) + p (x) p (x) p (x) + graf p(x) 5. presečišče z ordinatno osjo Presečišče na ordinatni osi je enako prostemu členu polinomske funkcije. 6. predznak Predznak določimo s pomočjo številske premice, na katero nanesemo ničle. Predznak določimo na enem intervalu in zapišemo še ostale predznake. Upoštevamo pravilo, da v ničlah lihe stopnje funkcija spremeni predznak, v ničlah sode stopnje pa ga ne spremeni Graf polinoma VAJE 1. Nariši graf polinoma a. = b. = 2 2 c. 3 4 d. 2 e. 3 4 f. 1 g h. 3 4 i
13 1.6 POLINOMSKE NEENAČBE Naj bo dan polinom, 0 Če želimo izračunati, za katere vrednosti so vrednosti polinoma pozitivne, moramo rešiti neenačbo: >0 >0 Druge oblike polinomske neenačbe: <0, 0, 0 Rešitev neenačbe so realna števila z intervala ali unije intervalov. Postopek reševanja polinomskih neenačb: 1. Vse člene damo na isto stran neenačbe. 2. Poiščemo ničle polinoma na neničelni strani neenačbe. 3. Z ničlami razdelimo os na podintervale. 4. Določimo predznak polinoma na posameznem intervalu. Upoštevamo večkratnost ničel. 5. Odčitamo rešitev neenačbe in jo zapišemo Polinomske neenačbe VAJE 1. Nariši graf polinoma in določi tiste vrednosti spremenljivke, za katere je >0. 2. Nariši graf polinoma = in določi tiste vrednosti spremenljivke, za katere je <0. 3. Nariši graf polinoma =4 3 in določi tiste vrednosti spremenljivke, za katere je Nariši graf polinoma = 13+2 in določi tiste vrednosti spremenljivke, za katere je Reši neenačbo a. 2+3>0 b. +4 4>0 c. +<0 d e
14 RACIONALNE FUNKCIJE 2 RACIONALNE FUNKCIJE Racionalna funkcija je kvocient dveh tujih si polinomov in, kjer 0. Polinoma sta si tuja, če nimata skupnih ničel., GRAF RACIONALNE FUNKCIJE Graf racionalne funkcije bomo lahko približno narisali, če bomo preučili: definicijsko območje, ničle in obnašanje v okolici ničel, pole in obnašanje v okolici polov, presečišče z ordinatno osjo, predznak, obnašanje grafa daleč od koordinatnega izhodišča Definicijsko območje Definicijsko območje racionalne funkcije je množica realnih števil brez ničel imenovalca. V ničlah imenovalca racionalna funkcija ni definirana, te točke so poli racionalne funkcije. : č Ničle in obnašanje v okolici ničel Ničle racionalne funkcije so ničle polinoma v števcu, torej tam, kjer je 0. Če je ničla polinoma lihe stopnje, graf v njej seka abscisno os, funkcija v taki ničli spremeni predznak. Če je ničla polinoma sode stopnje, se graf v njej dotakne abscisne osi, funkcija v taki ničli ne spremeni predznaka Poli in obnašanje v okolici polov Poli racionalne funkcije so ničle polinoma v imenovalcu. Poli so tam, kjer je 0. V polih racionalna funkcija ni definirana, graf racionalne funkcije ima v polu navpično asimptoto. 11
15 RACIONALNE FUNKCIJE Če je pol lihe stopnje (liha ničla polinoma ), funkcija pri prehodu čez pol spremeni predznak. Če je pol sode stopnje (soda ničla polinoma ), funkcija pri prehodu čez pol ne spremeni predznaka Presečišče z ordinatno osjo Graf racionalne funkcije seka ordinatno os v točki 0,, kjer je Predznak Predznak določimo s pomočjo številske premice, na katero nanesemo ničle in pole. Predznak določimo na enem intervalu in zapišemo še ostale predznake. Upoštevamo pravilo, da v ničlah oziroma polih lihe stopnje funkcija spremeni predznak, v ničlah oziroma polih sode stopnje pa ga ne spremeni Obnašanje grafa daleč od koordinatnega izhodišča Vodoravne asimptote določajo vrednost, ki se jim približuje funkcija, ko gre ali. Racionalna funkcija se daleč od izhodišča obnaša kot količnik vodilnih členov. ± Glede na stopnjo polinoma in ločimo tri možnosti. Naj bo stopnja polinoma enaka in stopnja polinoma q enaka. 1. Stopnja v števcu je nižja od stopnje v imenovalcu, <: os (0) je vodoravna asimptota funkcije. Graf racionalne funkcije se daleč od izhodišča približuje abscisni osi. 2. Stopnji v števcu in imenovalcu sta enaki, : vodoravna asimptota funkcije je premica. Graf racionalne funkcije se daleč od izhodišča približuje vodoravni asimptoti. 3. Stopnja števca je večja od stopnje imenovalca, >: Funkcija nima vodoravne asimptote ampak ima poševno asimptoto. Enačbo poševne asimptote dobimo tako, da polinom v števcu delimo s polinomom v imenovalcu. 12
16 RACIONALNE FUNKCIJE Graf racionalne funkcije - VAJE 1. Zapiši točke v katerih racionalna funkcija ni definirana a. c. b. d. 2. Določi definicijsko območje racionalne funkcije a. b. 3. Zapiši ničle racionalne funkcije a. b. c. d. c. d. 4. Določi ničle in presečišče z ordinatno osjo za racionalno funkcijo a. b. 5. Zapiši enačbo vodoravne asimptote za funkcijo a. b. 6. Nariši graf racionalne funkcije a. b. c. d. e. c. c. d. f. g. h. i. j. 2.2 RACIONALNA ENAČBA Kadar iščemo tak, pri katerem imata dve racionalni funkciji enako vrednost (tam se njuna grafa sekata), moramo rešiti racionalno enačbo oblike:, kjer so,,, polinomi Enačba je smiselna le za take, za katere je 0 in 0. 13
17 RACIONALNE FUNKCIJE Preoblikujmo enačbo: 0 0 Ulomek je enak 0, kadar je števec enak 0, imenovalec pa različen od 0. Tako poiščemo rešitve enačbe: 0; Racionalna enačba VAJE 1. Zapiši vrednosti spremenljivke, za katere ulomki v enačbi nimajo pomena a. c. = b. 2 = 2. Reši enačbo a. =0 b. 1 c. d. =9 e. 6 f. g. 0 h. 3. Dana je funkcija. Nariši graf funkcije in poišči njegova presečišča s premico 3= RACIONALNA NEENAČBA Racionalne neenačbe so oblike: >0, <0, 0, 0 in sta polinoma, 0. Strategija reševanja racionalnih neenačb: 1. Vse člene damo na isto stran neenačbe in na skupni imenovalec. 2. Ulomek na neničelni strani enačbe okrajšamo. 3. Poiščemo ničle in pole dobljene racionalne funkcije. 4. Z ničlami in poli razdelimo os na podintervale. 5. Določimo predznak racionalne funkcije na posameznem podintervalu (upoštevamo obnašanje grafa v okolici ničel in polov). 6. Odčitamo rešitev neenačbe. 14
18 EKSPONENTNA FUNKCIJA IN EKSPONENTNA ENAČBA Racionalna neenačba VAJE 1. Nariši graf racionalne funkcije katere je >0. 2. Nariši graf racionalne funkcije = katere je Nariši graf racionalne funkcije = katere je Nariši graf racionalne funkcije = katere je Reši neenačbo a. 0 b. 0 c. 0 in določi tiste vrednosti spremenljivke, za in določi tiste vrednosti spremenljivke, za in določi tiste vrednosti spremenljivke, za in določi tiste vrednosti spremenljivke, za d. e. f. 1< EKSPONENTNA FUNKCIJA IN EKSPONENTNA ENAČBA 3.1 EKSPONENTNA FUNKCIJA Eksponentna funkcija z osnovo je funkcija oblike je pozitivno realno število, 1. Definicijsko območje je množica vseh realnih števil. Lastnosti eksponentnih funkcij za >: definirane so za vsa realna števila ( ) zaloga vrednosti je množica pozitivnih realnih števil ( ) grafi sekajo ordinatno os v točki 1,0 so naraščajoče funkcije so navzdol omejene z 0, navzgor pa niso omejene os je vodoravna asimptota 15
19 EKSPONENTNA FUNKCIJA IN EKSPONENTNA ENAČBA Lastnosti eksponentnih funkcij za <<: definirane so za vsa realna števila ( ) zaloga vrednosti je množica pozitivnih realnih števil ( ) grafi sekajo ordinatno os v točki 1,0 so padajoče funkcije so navzdol omejene z 0, navzgor pa niso omejene os je vodoravna asimptota V naravoslovju pogosto naletimo na posebno eksponentno funkcijo =. Število je iracionalno število. Imenujemo ga Eulerjevo število Eksponentna funkcija VAJE 1. Določi osnovo eksponentne funkcije, če je a. 38 b d. 16 c Tabeliraj funkcijo na danem intervalu s korakom a. 3, 2, 4, 1 b., 8, 6, 2 3. V isti koordinatni sistem nariši grafa funkcij a. 4, b., 4. Določi osnovo eksponentne funkcije, če njen graf poteka skozi točko a. 2, 36 b. 2, 3.2 EKSPONENTNA ENAČBA Enačba je eksponentna, če neznanka nastopa samo v eksponentu. Pri reševanju upoštevamo pravila za računanje s potencami in poskušamo enačbo preoblikovati v eno od naslednjih oblik, iz katerih potem sklepamo o rešitvi: 0 = reševanje nadaljujemo z logaritmiranjem. Rešitev je lahko ena, več ali pa ni rešitev. 16
20 LOGARITEMSKA FUNKCIJA IN LOGARITEMSKA ENAČBA ZGLED: 7 7 3=2+5 = Eksponentna enačba VAJE 1. Reši enačbe a. 3 =81 b. = c. 5 =5 5 d. 2 = e. 10 =0,01 f. 5 =0,2 2. Reši enačbe a =90 b =0 c =28 g. 7 =1 h. = i. 4 :4 = j. 3 :3 = 3 k. 5 =7 l. 3 8 =0 4 LOGARITEMSKA FUNKCIJA IN LOGARITEMSKA ENAČBA 4.1 LOGARITMI Zapis: log logaritmand (argument) osnova Beremo: logaritem števila z osnovo Logaritem s pozitivno osnovo je tisti eksponent, pri katerem je potenca z osnovo enaka številu. log, če in samo če je kjer je a pozitivno realno število in 1. ZGLED: log 81=4, ker je 3 =81 Logaritme z osnovo 10 imenujemo desetiški logaritmi. Pri desetiškem logaritmu opuščamo pisanje osnove in namesto log uporabimo okrajšavo log. Logaritme z osnovo imenujemo naravni logaritmi. Za naravni logaritem se je uveljavila oznaka log ln. 17
21 LOGARITEMSKA FUNKCIJA IN LOGARITEMSKA ENAČBA Pravila za računanje logaritmov Logaritem produkta je enak vsoti logaritmov posameznih faktorjev: log log log Logaritem potence je enak produktu eksponenta in logaritma osnove potence: log log Logaritem količnika je enak razliki logaritma deljenca in delitelja: log log log Pri poljubno osnovi >0, 1, velja za vsak realen : log 1=0, ker je 1; log =1, ker je =; log =, ker je = Prehod k novi osnovi Včasih je treba zapisati logaritem pri drugi osnovi. Takrat uporabljamo obrazec: log log log ZGLED: Zapišimo log 7 z logaritmom osnove 7: log Logaritmi VAJE 1. Izračunaj a. log 8 b. log 81 c. log 18 d. log e. log6 2. Izračunaj s kalkulatorjem na dve decimalni mesti natančno a. 2log613log2+log65 b. ln0,1 ln14+ln0,5 ln2,55 3. Izrazi z logaritmi z osnovo pozitivnih števil, in a. log b. log c. log d. log e. log
22 LOGARITEMSKA FUNKCIJA IN LOGARITEMSKA ENAČBA 4. Izrazi z logaritmi pozitivnih števil, in a. log10 b. log c. log 5. Zapiši kot logaritem enega samega izraza a. log +log +log b. 3log 5log d. log d. 2log 2 log 4 c. 2log + log 6. Brez uporabe kalkulatorja izračunaj a. log12 log30+log250 b. 2log 36 log 9 7. Izračunaj na 3 mesta natančno a. log 7 d. log b. log 10 c. log5 4.2 LOGARITEMSKA FUNKCIJA Naj bo >0 in 1. Logaritemska funkcija z osnovo je funkcija log, pri čemer je log natanko takrat, ko je. Definicijsko območje je množica pozitivnih realnih števil. Logaritemsko funkcijo z osnovo dobimo iz eksponentne funkcije z osnovo tako, da zamenjamo vlogi neodvisne in odvisne spremenljivke. Funkcija log je inverzna eksponentni funkciji. Lastnosti logaritemskih funkcij za >: definirane so za vsa pozitivna realna števila ( ) zaloga vrednosti je množica realnih števil ( ) imajo ničlo pri 1 so naraščajoče ordinatna os je navpična asimptota funkcije so navzdol in navzgor neomejene 19
23 LOGARITEMSKA FUNKCIJA IN LOGARITEMSKA ENAČBA Lastnosti logaritemskih funkcij za <<: definirane so za vsa pozitivna realna števila ( ) zaloga vrednosti je množica realnih števil ( ) imajo ničlo pri 1 so padajoče ordinatna os je navpična asimptota funkcije so navzdol in navzgor neomejene Zaradi povratne enoličnosti eksponentne funkcije je tudi logaritemska funkcija povratno enolična. Če je >0 in 1, potem za poljuben par realnih števil in iz log log sledi Logaritemska funkcija - VAJE 1. Določi osnovo logaritemske funkcije log, če je a. 2 1 d. 8 b c V isti koordinatni sistem nariši grafa danih funkcij a. log, log b. log, log 3. Določi definicijsko območje funkcije a. log 1 b. log 2 1 c. log 3 d. 3log LOGARITEMSKA ENAČBA Pri reševanju logaritemskih enačb si pomagamo z: definicijo logaritma log lastnostjo povratne enoličnosti iz log log sledi z drugimi pravili za računanje z logaritmi. 20
24 KOTNE FUNKCIJE Logaritemska enačba VAJE 1. Reši enačbo a. log b. log 1=3 c. log 2 = d. ln3+5=2 e. log 8=1 f. log 20=1 g. log 4 3=1 2. Reši enačbo a. log 5 4=1 d. log 3+10=2 b. log +2+5=3 c. log 13 26= 2 3. Reši enačbo a. log log 3 2=0 b. log2+1 log=0 c. log +4=log 2+2 d. log+1+log 2=1 e. log+1=log2 f. log 3 6 log 5=log 7+3+log 3 g. log3+log+1=log12 h. log 2+log+1=log+4+log 3 4. Reši eksponentne enačbe tako, da enačbo logaritmiraš a. 3 =5 b. 2 =7 c. 4 =3 d. 6 =12 5 KOTNE FUNKCIJE 5.1 SINUS IN KOSINUS Če nas ne zanima lega kota v ravnini, ampak le velikost kota, lahko postavimo kot v standardno lego. Vrh kota je v izhodišču pravokotnega koordinatnega sistema, začetni krak kota sovpada s pozitivnim poltrakom abscisne osi, smer vrtenja je ista kot pri originalnem kotu. Pravimo, da leži kot v I., II., III. ali IV. kvadrantu, če leži njegov končni krak v standardni legi v I., II., III. ali IV. kvadrantu. 21
25 KOTNE FUNKCIJE Od začetnega h končnemu kraku danega kota lahko pridemo tudi tako, da poltrak še dodatno zavrtimo za poljubno število polnih obratov v pozitivni ali negativni smeri. Tako dobljeni kot se za večkratnik polnega kota razlikuje od danega kota. Torej velja: 360 za Ÿ ZGLED V katerem kvadrantu leži dani kot? 230 o o o Ker je 180 < 230 < 270, leži kot 230 v III. kvadrantu o Velja: = 300 in o o o o o < 360 <, torej leži kot 1380 v IV. kvadrantu. Doslej smo kote merili s stopinjami. Za računanje s kotnimi funkcijami, pa je primernejše merjenje kotov v radianih. Osnovna zveza za preračunavanje kotnih stopinj v radiane in obratno je: o 180 =π radianov. o π 1 = radianov 180 Tabela za pretvarjanje vrednosti nekaterih pomembnejših kotov iz stopinj v radiane in obratno in vrednosti kotnih funkcij sin in cos za ostre kote: stopinje π π π π 3π radiani 0 π 2π V ravnini, opremljeni s koordinatnim sistemom, naj bo krožnica s središčem v izhodišču koordinatnega sistema in s polmerom 1, imenujemo jo enotska krožnica. Te kote lahko prikažemo tudi na enotski krožnici. ZGLED Pretvori v radiane! π 270 = 270 radianov 180 3π = radianov 2 Sinus kota je enak kosinusu komplementarnega kota: sincos 2 cos=sin 2 22
26 KOTNE FUNKCIJE Predznak funkcij sinus in kosinus je odvisen od kvadranta, v katerem leži kot. II. kvadrant sin>0 cos<0 I. kvadrant sin>0 cos>0 III. kvadrant sin<0 cos<0 IV. kvadrant sin<0 cos>0 Pri določanju vrednosti kotnih funkcij za neostre kote si lahko pomagamo z ostrimi koti tako, da kotne funkcije neostrega kota β prevedemo na kotne funkcije ostrega kota α : π < β < π (premični krak kota β je v drugem kvadrantu) 2 α = π β sinsin coscos 3π π < β < (premični krak kota β je v tretjem kvadrantu) 2 α = β π sinsin coscos 3π < β < 2π (premični krak kota β je v četrtem kvadrantu) 2 α = 2 π β sinsin coscos ZGLED Prevedi na kotne funkcije ostrih kotov! sin 120 Kot 120 leži v II. kvadrantu, zato je sin 120 = sin = sin 60 cos 120 Kot 120 leži v II. kvadrantu, zato je cos 120 = cos = cos 60 23
27 KOTNE FUNKCIJE 7π sin 6 7π Kot leži v III. kvadrantu, zato je 6 7π 7π 7π 6π π sin = sin π = sin = sin π cos 6 7π Kot leži v III. kvadrantu, zato je 6 7π 7π 7π 6π π cos = cos π = cos = cos Vrednost funkcije sinus in kosinus se ne spremeni, če vrednosti kota prištejemo večkratnik kota 2 oz. 360 sin+2=sin cos+2=cos Za vsak kot α velja osnovna identiteta: ZGLED Poišči 2 2 sin α + cos α = 1 cos α, če je sin in leži α v II. kvadrantu! sin cos 1 +cos =1 cos =1 cos = cos=± Ker je za vsak α, ki leži v II. kvadrantu, cos= cos α negativen je naša rešitev: Sinus in kosinus VAJE 1. Izrazi kot v radianih a. 180 b. 45 c. 150 d
28 KOTNE FUNKCIJE 2. Izrazi kot v stopinjah a. d. b. c. 3. Določi predznak vrednosti kotne funkcije a. sin75 b. sin289 c. cos230 d. cos e. sin 4. V enotskem krogu nariši kot, katerega sinus je a. 1 b. 0,5 f. cos g. cos h. sin d. c. 5. V enotskem krogu nariši kot, katerega kosinus je a. 25 c. 1 b. 0,4 d. 6. Izračunaj natančno sin, če je: a. cos= ; sin>0 c. cos= ; 180 <<270 b. cos= ; 0 <<90 d. cos= ; << 7. Izračunaj natančno cos, če je: a. sin= ; cos>0 b. sin= ; 270 <<360 d. sin= ; << c. sin= ; 0 <<90 8. Izrazi s kotno funkcijo ostrega kota, manjšega od 45 a. sin850 c. cos1025 b. sin1225 d. cos Natančno izračunaj a. sin150 e. sin b. cos330 f. cos c. sin945 d. cos Uredi po velikosti a. sin720,sin300,sin150,sin90,sin270 b. cos0,cos60,cos540,cos120,cos Natančno izračunaj a. b. c.
29 KOTNE FUNKCIJE Lastnosti funkcij sinus in kosinus Periodičnost Naj bo α poljuben kot v standardni legi. Če ga povečamo za polni kot, se končna kraka obeh kotov ujemata in sekata enotsko krožnico v isti točki. Zato je sin α = sinα in cos( α ) = cosα ali sin( α + 2π ) = sin α in cos( α + 2π ) = cosα. Funkciji sinus in kosinus sta periodični funkciji s periodo 2 π. Prav tako se vrednost obeh funkcij ponovi, če kot povečamo ali zmanjšamo za poljubno število polnih kotov. Zato za poljubno celo število k velja sin( α + k 2π ) = sinα cos( α + k 2π ) = cosα Vsak cel večkratnik števila 2 π je perioda funkcije sinus in kosinus. Najmanjša pozitivna perioda je število 2 π, pravimo mu tudi osnovna perioda funkcij sinus in kosinus. Lihost in sodost Kosinus je soda funkcija, sinus je liha funkcija: cos( α ) = cosα sin( α ) = sinα ZGLED Poenostavi izraz! 1 1+cos cos = 1 = 1+cos cos = = 1 cos+1+cos (1+cos)(1 cos) = 2 = 1 cos = = 2 sin 26
30 KOTNE FUNKCIJE Lastnosti funkcij sinus in kosinus VAJE 1. Natančno izračunaj a. b. 2. Poenostavi izraze a. sin sin b Grafa funkcij sinus in kosinus Funkcijo sinus smo definirali na množici, zaloga vrednosti funkcije pa je interval 1,1. : 1,1 : sin Graf funkcije sin, je množica točk, ;, sin Lastnosti funkcije sinus: ničle ima pri 0,, 2, 3, ; Ÿ maksimum 1 doseže pri, 2, ; Ÿ minimum 1 doseže pri, 2, je periodična z osnovno periodo 2 je liha, saj je sin sin je omejena, spodnja meja je 1, zgornja meja je 1 ; Ÿ 27
31 KOTNE FUNKCIJE Funkcija kosinus je definirana za vsa realna števila. : 1,1 : cos Graf funkcije kosinus ima enako obliko kot graf funkcije sinus, le da je premaknjen za v levo. Graf funkcije cos, je množica točk, ;, cos Lastnosti funkcije kosinus: ničle ima pri,,, ; Ÿ maksimum 1 doseže pri 0, 2, 4, ; Ÿ minimum 1 doseže pri, 3, 5, ; Ÿ je periodična z osnovno periodo 2 je soda, saj je cos cos je omejena, spodnja meja je 1, zgornja meja je Grafa funkcij sinus in kosinus VAJE 1. Reši enačbo a. sin 0 b. cos 0 c. sin 1 d. cos 1 2. Izračunaj ničle dane funkcije in določi tiste vrednosti spremenljivke, pri katerih ima funkcija največjo oz. najmanjšo vrednost a. sin 2 c. sin b. cos 3 28
32 KOTNE FUNKCIJE 5.2 TANGENS IN KOTANGENS Funkcija tangens je kvocient funkcij sinus in kosinus sin tan cos Definirana je povsod razen v ničlah imenovalca, to je v ničlah funkcije kosinus: ; cos 0 ; Ÿ 2 V točkah ; Ÿ so poli. V polih ima funkcija tangens navpične asimptote. Ničle funkcije tangens so ničle števca, torej ničle funkcije sinus: ; Ÿ Funkcija tangens je periodična z osnovno periodo : tan tan Funkcija tangens je liha: tan tan Lastnosti funkcije tangens: je periodična s periodo je liha funkcija je odsekoma naraščajoča ni omejena zaloga vrednosti je množica realnih števil Funkcija kotangens je kvocient funkcij kosinus in sinus cos cot sin 29
33 KOTNE FUNKCIJE Definirana je povsod razen v ničlah imenovalca, to je v ničlah funkcije sinus: ; sin 0 ; Ÿ Pri večkratnikih števila ima funkcija kotangens pole, v polih pa navpične asimptote. Ničle funkcije kotangens so ničle števca, torej ničle funkcije kosinus: ; Ÿ Funkcija kotangens je periodična z osnovno periodo : cot cot Funkcija kotangens je liha: cot cot Podobno kot pri sinusu in kosinusu lahko tudi tangens in kotangens kotov, večjih od, prevedemo na tangens in kotangens ostrega kota. Tangens in kotangens sta pozitivna v točkah, v katerih imata sinus in kosinus enak predznak, sicer sta negativna. Tangens in kotangens sta pozitivna v I. in III. kvadrantu in negativna v II. in IV. kvadrantu. Veljata zvezi: 1 tan 1 cot Tangens in kotangens VAJE 1. Izračunaj a. tan 135 tan 585 b. c. d. 30
34 KOTNE FUNKCIJE 2. Izračunaj tan, če je: a. kot oster in sin= b. kot top in cos= 3. Izračunaj sin in cos, če je a. kot oster in tan=2 c. 180 <<270 in sin= d. <<2 in cos= d. 270 <<360 in tan= b. kot top in tan= c. 180 <<270 in tan= 5.3 ADICIJSKI IZREKI Za poljubna kota in veljajo adicijski izreki: sinus vsote kotov sinsincoscossin sinus razlike kotov sinsincoscossin kosinus vsote kotov coscoscossinsin kosinus razlike kotov coscoscossinsin tangens vsote kotov tan tantan 1 tantan tangens razlike kotov tan = tan tan 1+tantan ZGLED: cos+ 3 =coscos 3 sinsin 3 = =cos 1 2 sin 3 2 = = 1 2 cos 3 2 sin Poišči natančno vrednost za cos75! cos75 =cos = =cos30 cos45 sin30 sin45 = = = = = =
35 KOTNE FUNKCIJE Kosinus in sinus dvojnega kota izrazimo s funkcijama kosinus in sinus enojnega kota takole: cos2=cos sin sin2=2sincos Adicijski izreki VAJE 1. Izračunaj sin in cos, če je a. 375 c. 465 b Izračunaj a. sin65 cos25 cos65 sin25 b. cos63 cos17 sin63 sin17 3. Naj bo kot oster. Izračunaj a. sin+ in cos 135, če je sin= b. sin in cos 120, če je cos= 4. Naj bo 180 <<270. Izračunaj a. sin+150 in cos+150, če je sin= b. sin in cos+, če je sin= 5. Izračunaj sin+ in cos+, če a. sta kota in topa, cos= in cos= b. sta kota in ostra, cos= in cos= c. je sin=,180 <<270 in sin=,270 << Skrči izraz a. sin+270 cos 180 b. cos 45 +cos+45 c. sin+60 sin Izračunaj tan+ in tan, če je a. tan=2 b. tan= 8. Izračunaj sin2 in cos2, če je: a. sin=,0 <<90 c. sin=,<< b. cos=,<< d. cos= 32
36 KOTNE FUNKCIJE 5.4 NAKLONSKI KOT PREMICE IN KOT MED DVEMA PREMICAMA Naklonski kot premice v koordinatnem sistemu je kot, ki ga premica oklepa s pozitivno smerjo osi. O naklonskem kotu premice odloča koeficient v enačbi premice, ki ga imenujemo tudi smerni koeficient premice. Smerni koeficient premice je enak tangensu naklonskega kota premice. tan ZGLED Poiščimo naklonski kot premice 4+3. tan=4 =75 58 Kot ϕ med premicama s smernima koeficientoma in izračunamo z enačbo: tan 1+ ZGLED Izračunajmo kot med premicama =2 5 in = 2. =2 = tan tan tan tan 1 =1 =45 33
37 KOTNE FUNKCIJE Naklonski kot premice in kot med dvema premicama VAJE 1. Določi naklonski kot premice a. 64 b. = 7 c Določi naklonski kot premice, ki poteka skozi točki a. 1,2 in 2,4 b. 0,3 in 4,3 3. Izračunaj kot med premicama a. =2 3 in =5+4 b. =3+1 in = 2+1 c. =2+5 in = 2 d. 2 6=0 in +2 8=0 e. 64 2=0 in d. 3 +5=0 e =0 f. 1 c. 2,3 in 1,1 d. 1,0 in 1,3 34
38 REŠITVE Matematika 1 2. Del Polinomi in Racionalne funkcije 1.1 Polinomi 1. a. b. c. d. stopnja vodilni koeficient vodilni člen 5 4 prosti člen =4,0=4, 2=10,4=88 3. =0,= 7 4. =4,= =2,=3,=5 6. stopnja: 4; 0=1,2=57, 1=6 7. = = = Operacije v množici polinomov 1. a b c a b c a b c d a b c a. =+6,=13 b. = 5,=67 c. = +5+5,= 3 d. = 3,= 4+1 e. =2 5+12,= a. ne b. da 1.3 Hornerjev algoritem 1. a. = +3,=2 b. = ,= 1 c. = ,=62 2. a. 2=3 b. 1=0 c. 3= z 3 je deljiv, z +2 je deljiv 1
39 1.4 Ničle polinoma 1. a. ni ničla b. je ničla c. ni ničla 2. a. =1 (2. st) b. =2 (3. st) c. =0 (1. st), = 3 (1. st) d. = 3 (2. st), =2 (1. st) e. =0 (1. st), = 1 (4. st), =2 (4. st), = 2 (5. st) 3. a. =+5 5 =0 (1. st), = 5 (1. st), =5 (1. st) b. = +7 7 =0 (2. st), = 7 (1. st), =7 (1. st) c. =+1 3 =0 1 (1. st), =3 (1. st) d. =+6 1 =0 (1. st), = 6 (1. st), =1 (1. st) e. = = 1 (1. st), = 5 (1. st), =5 (1. st) 4. a. =1 (2. st), = 2 (1. st) b. = 1 (1. st), =2 (1. st), =3 (1. st) c. =0 (1. st), = 1 (3. st) 5. a. = 1 (1. st), =2 (1. st), =5 (1. st) b. = 1 (1. st), = (2. st) c. =1 (1. st), =2 (1. st), = (1. st) d. =0 (1. st), =2 (2. st), =5 (1. st) 6. = = Graf polinoma 1. a. ničle: = 1, =0, =1 b. ničle: = 1, =0, =1 c. ničle: = 1, =0, =4 d. ničle: = 2, =0, =1 e. ničle: =0, =, =1 f. ničle: = 1, =1 2
40 g. ničle: =, =1 h. ničle: = 1, =1 i. ničle: = 1, =0, = 1.6 Polinomske neenačbe 1., 1 0, 2., 2 0,2 3.,0 1, 4.,1 5. a. 3,1 b. 4, 1 1, c. 1,0 1, d. 0 1, e., 4 0,2 2.1 Graf racionalne funkcije 1. a. =0 b. =5 c. = d. = 2, =7 2. a. : 0 b. : 6 c. : 3,7 d. : 5,0,5 3
41 3. a. =6 b. = c. = 8, =1 d. =0, =2+ 2, = a. N: = 2; 0= 2 b. N: = 3; 0= 2 c. N: = 5, =9; 0= 5 5. a. =0 b. =0 c. =1 d. =1 6. a. N: / P: = 2 A: =0 b. N: / P: =0 A: =0 c. N: = 2 P: = 1, =1 A: =0 d. N: = P: = 2, =1 A: =0 e. N: =0, =2 P: = 2, =1 A: =0 f. N: =0 P: =1 A: =1 g. N: =1 P: = 2 A: =2 h. N: =0 P: =2, = 2 A: =1 i. N: =1 P: = 1, = 2 A: =1 j. N: = 1, =3 P: =0, A: = Racionalna enačba 1. a. = 3 b. = 1,=2 c. = 3,=5 2. a. R=3 b. R= 2 c. R=1 d. R= e. ni rešitve f. R= g. R=1, d. ni rešitve 4
42 3. N: = 3, =3 P: =1, A: = 1 = 3,0 = 1,2 =2,5 2.3 Racionalna neenačba 1. N: / P: = 3, A: =0, 3 2. N: =0 P: = 2, A: = 1, 2 0, 3. N: = P: =3, A: =3, 3, 4. N: =0 P: =, A: =1 0, 5. a. 5, b., 4 7, c. 2,4 d.,10 e., 2, f. 5,0 0, 5 5
D f, Z f. Lastnosti. Linearna funkcija. Definicija Linearna funkcija f : je definirana s predpisom f(x) = kx+n; k,
Linearna funkcija Linearna funkcija f : je definirana s predpisom f(x) = kx+n; k, n ᄀ. k smerni koeficient n začetna vrednost D f, Z f Definicijsko območje linearne funkcije so vsa realna števila. Zaloga
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 14. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 14. november 2013 Kvadratni koren polinoma Funkcijo oblike f(x) = p(x), kjer je p polinom, imenujemo kvadratni koren polinoma
Διαβάστε περισσότεραcot x ni def. 3 1 KOTNE FUNKCIJE POLJUBNO VELIKEGA KOTA (A) Merske enote stopinja [ ] radian [rad] 1. Izrazi kot v radianih.
TRIGONOMETRIJA (A) Merske enote KOTNE FUNKCIJE POLJUBNO VELIKEGA KOTA stopinja [ ] radian [rad] 80 80 0. Izrazi kot v radianih. 0 90 5 0 0 70. Izrazi kot v stopinjah. 5 8 5 (B) Definicija kotnih funkcij
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 12. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 12. november 2013 Graf funkcije f : D R, D R, je množica Γ(f) = {(x,f(x)) : x D} R R, torej podmnožica ravnine R 2. Grafi funkcij,
Διαβάστε περισσότεραMatematika I (VS) Univerza v Ljubljani, FE. Melita Hajdinjak 2013/14. Pregled elementarnih funkcij. Potenčna funkcija. Korenska funkcija.
1 / 46 Univerza v Ljubljani, FE Potenčna Korenska Melita Hajdinjak Matematika I (VS) Kotne 013/14 / 46 Potenčna Potenčna Funkcijo oblike f() = n, kjer je n Z, imenujemo potenčna. Število n imenujemo eksponent.
Διαβάστε περισσότεραTretja vaja iz matematike 1
Tretja vaja iz matematike Andrej Perne Ljubljana, 00/07 kompleksna števila Polarni zapis kompleksnega števila z = x + iy): z = rcos ϕ + i sin ϕ) = re iϕ Opomba: Velja Eulerjeva formula: e iϕ = cos ϕ +
Διαβάστε περισσότεραKotne in krožne funkcije
Kotne in krožne funkcije Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku Avtor: Rok Kralj, 4.a Gimnazija Vič, 009/10 β a c γ b α sin = a c cos= b c tan = a b cot = b a Sinus kota je razmerje kotu nasprotne katete
Διαβάστε περισσότεραMatematika. Funkcije in enačbe
Matematika Funkcije in enačbe (1) Nariši grafe naslednjih funkcij: (a) f() = 1, (b) f() = 3, (c) f() = 3. Rešitev: (a) Linearna funkcija f() = 1 ima začetno vrednost f(0) = 1 in ničlo = 1/. Definirana
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 21. november 2013 Hiperbolične funkcije Hiperbolični sinus sinhx = ex e x 2 20 10 3 2 1 1 2 3 10 20 hiperbolični kosinus coshx
Διαβάστε περισσότεραOdvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 5. december Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 5. december 2013 Primer Odvajajmo funkcijo f(x) = x x. Diferencial funkcije Spomnimo se, da je funkcija f odvedljiva v točki
Διαβάστε περισσότεραKotni funkciji sinus in kosinus
Kotni funkciji sinus in kosinus Oznake: sinus kota x označujemo z oznako sin x, kosinus kota x označujemo z oznako cos x, DEFINICIJA V PRAVOKOTNEM TRIKOTNIKU: Kotna funkcija sinus je definirana kot razmerje
Διαβάστε περισσότεραDiferencialna enačba, v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci
Linearna diferencialna enačba reda Diferencialna enačba v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci d f + p= se imenuje linearna diferencialna enačba V primeru ko je f 0 se zgornja
Διαβάστε περισσότεραZaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 15. oktober Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 15. oktober 2013 Oglejmo si, kako množimo dve kompleksni števili, dani v polarni obliki. Naj bo z 1 = r 1 (cosϕ 1 +isinϕ 1 )
Διαβάστε περισσότεραFunkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja D R priredi neko število f (x) R.
II. FUNKCIJE 1. Osnovni pojmi 2. Sestavljanje funkcij 3. Pregled elementarnih funkcij 4. Zveznost Kaj je funkcija? Definicija Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja D R priredi
Διαβάστε περισσότεραFunkcijske vrste. Matematika 2. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 2. april Gregor Dolinar Matematika 2
Matematika 2 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 2. april 2014 Funkcijske vrste Spomnimo se, kaj je to številska vrsta. Dano imamo neko zaporedje realnih števil a 1, a 2, a
Διαβάστε περισσότεραOdvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 10. december 2013 Izrek (Rolleov izrek) Naj bo f : [a,b] R odvedljiva funkcija in naj bo f(a) = f(b). Potem obstaja vsaj ena
Διαβάστε περισσότερα*M * Osnovna in višja raven MATEMATIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Sobota, 4. junij 2011 SPOMLADANSKI IZPITNI ROK. Državni izpitni center
Državni izpitni center *M40* Osnovna in višja raven MATEMATIKA SPOMLADANSKI IZPITNI ROK NAVODILA ZA OCENJEVANJE Sobota, 4. junij 0 SPLOŠNA MATURA RIC 0 M-40-- IZPITNA POLA OSNOVNA IN VIŠJA RAVEN 0. Skupaj:
Διαβάστε περισσότερα1. Definicijsko območje, zaloga vrednosti. 2. Naraščanje in padanje, ekstremi. 3. Ukrivljenost. 4. Trend na robu definicijskega območja
ZNAČILNOSTI FUNKCIJ ZNAČILNOSTI FUNKCIJE, KI SO RAZVIDNE IZ GRAFA. Deinicijsko območje, zaloga vrednosti. Naraščanje in padanje, ekstremi 3. Ukrivljenost 4. Trend na robu deinicijskega območja 5. Periodičnost
Διαβάστε περισσότεραPRIMER UPORABE FUNKCIJ 2. FUNKCIJE ENE SPREMENLJIVKE DEFINICIJA IN LASTNOSTI FUNKCIJE. Upogibni moment. M(X )=F A x qx2 2
3 4 PRIMER UPORABE FUNKCIJ Upogibni moment 2. FUNKCIJE ENE SPREMENLJIVKE T (x) =F A qx M(X )=F A x qx2 2 1 2 DEFINICIJA IN LASTNOSTI FUNKCIJE Naj bosta A in B neprazni množici. Enolična funkcija f : A
Διαβάστε περισσότεραZaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 22. oktober Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 22. oktober 2013 Kdaj je zaporedje {a n } konvergentno, smo definirali s pomočjo limite zaporedja. Večkrat pa je dobro vedeti,
Διαβάστε περισσότεραSEMINARSKA NALOGA Funkciji sin(x) in cos(x)
FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Praktična Matematika-VSŠ(BO) Komuniciranje v matematiki SEMINARSKA NALOGA Funkciji sin(x) in cos(x) Avtorica: Špela Marinčič Ljubljana, maj 2011 KAZALO: 1.Uvod...1 2.
Διαβάστε περισσότεραMnožico vseh funkcijskih vrednosti, ki jih pri tem dobimo, imenujemo zaloga vrednosti funkcije f. Oznaka: Z f
Funkcije Funkcija f : A B (funkcija iz množice A v množico B) je predpis (pravilo, postopek, preslikava, formula,..), ki danemu podatku x A priredi funkcijsko vrednost f (x) B. Množica A je množica vseh
Διαβάστε περισσότεραVaje iz MATEMATIKE 8. Odvod funkcije., pravimo, da je funkcija f odvedljiva v točki x 0 z odvodom. f (x f(x 0 + h) f(x 0 ) 0 ) := lim
Študij AHITEKTURE IN URBANIZMA, šol l 06/7 Vaje iz MATEMATIKE 8 Odvod funkcije f( Definicija: Naj bo f definirana na neki okolici točke 0 Če obstaja lim 0 +h f( 0 h 0 h, pravimo, da je funkcija f odvedljiva
Διαβάστε περισσότεραmatrike A = [a ij ] m,n αa 11 αa 12 αa 1n αa 21 αa 22 αa 2n αa m1 αa m2 αa mn se števanje po komponentah (matriki morata biti enakih dimenzij):
4 vaja iz Matematike 2 (VSŠ) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 matrike Matrika dimenzije m n je pravokotna tabela m n števil, ki ima m vrstic in n stolpcev: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n
Διαβάστε περισσότεραNa pregledni skici napišite/označite ustrezne točke in paraboli. A) 12 B) 8 C) 4 D) 4 E) 8 F) 12
Predizpit, Proseminar A, 15.10.2015 1. Točki A(1, 2) in B(2, b) ležita na paraboli y = ax 2. Točka H leži na y osi in BH je pravokotna na y os. Točka C H leži na nosilki BH tako, da je HB = BC. Parabola
Διαβάστε περισσότεραIZPIT IZ ANALIZE II Maribor,
Maribor, 05. 02. 200. (a) Naj bo f : [0, 2] R odvedljiva funkcija z lastnostjo f() = f(2). Dokaži, da obstaja tak c (0, ), da je f (c) = 2f (2c). (b) Naj bo f(x) = 3x 3 4x 2 + 2x +. Poišči tak c (0, ),
Διαβάστε περισσότεραOsnove matematične analize 2016/17
Osnove matematične analize 216/17 Neža Mramor Kosta Fakulteta za računalništvo in informatiko Univerza v Ljubljani Kaj je funkcija? Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja
Διαβάστε περισσότεραKOTNI FUNKCIJI SINUS IN COSINUS
Univerza v Ljubljani Fakulteta za matematiko in fiziko KOTNI FUNKCIJI SINUS IN COSINUS Seminarska naloga pri predmetu Komuniciranje v matematiki Avtor: Zalka Selak Mentor: prof. dr. Tomaţ Pisanski KAZALO:
Διαβάστε περισσότερα1 MNOŽICE ŠTEVIL. NARAVNA, CELA, RACIONALNA, REALNA ŠTEVILA
1 MNOŽICE ŠTEVIL. NARAVNA, CELA, RACIONALNA, REALNA ŠTEVILA 1. Naštej lastnosti osnovnih računskih operacij v množici naravnih števil. 2. Kakšen je vrstni red računskih operacij v množici celih števil?
Διαβάστε περισσότερα1. UREJENE OBLIKE KVADRATNE FUNKCIJE
1. UREJENE OBLIKE KVADRATNE FUNKCIJE A) Splošna oblika Definicija 1 : Naj bodo a, b in c realna števila in a 0. Realno funkcijo: f : x ax + bx + c imenujemo kvadratna funkcija spremenljivke x v splošni
Διαβάστε περισσότεραdiferencialne enačbe - nadaljevanje
12. vaja iz Matematike 2 (VSŠ) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 diferencialne enačbe - nadaljevanje Ortogonalne trajektorije Dana je 1-parametrična družina krivulj F(x, y, C) = 0. Ortogonalne
Διαβάστε περισσότεραSplošno o interpolaciji
Splošno o interpolaciji J.Kozak Numerične metode II (FM) 2011-2012 1 / 18 O funkciji f poznamo ali hočemo uporabiti le posamezne podatke, na primer vrednosti r i = f (x i ) v danih točkah x i Izberemo
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA FOURIERJEVA TRANSFORMACIJA
29.03.2004 Definicija DFT Outline DFT je linearna transformacija nekega vektorskega prostora dimenzije n nad obsegom K, ki ga označujemo z V K, pri čemer ima slednji lastnost, da vsebuje nek poseben element,
Διαβάστε περισσότεραKODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK
1 / 24 KODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK Štefko Miklavič Univerza na Primorskem MARS, Avgust 2008 Phoenix 2 / 24 Phoenix 3 / 24 Phoenix 4 / 24 Črtna koda 5 / 24 Črtna koda - kontrolni bit 6 / 24
Διαβάστε περισσότεραvezani ekstremi funkcij
11. vaja iz Matematike 2 (UNI) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 ekstremi funkcij več spremenljivk nadaljevanje vezani ekstremi funkcij Dana je funkcija f(x, y). Zanimajo nas ekstremi nad
Διαβάστε περισσότεραMatematika vaja. Matematika FE, Ljubljana, Slovenija Fakulteta za Elektrotehniko 1000 Ljubljana, Tržaška 25, Slovenija
Matematika 1 3. vaja B. Jurčič Zlobec 1 1 Univerza v Ljubljani, Fakulteta za Elektrotehniko 1000 Ljubljana, Tržaška 25, Slovenija Matematika FE, Ljubljana, Slovenija 2011 Določi stekališča zaporedja a
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. Diferencialne enačbe drugega reda
Matematika 2 Diferencialne enačbe drugega reda (1) Reši homogene diferencialne enačbe drugega reda s konstantnimi koeficienti: (a) y 6y + 8y = 0, (b) y 2y + y = 0, (c) y + y = 0, (d) y + 2y + 2y = 0. Rešitev:
Διαβάστε περισσότεραIntegralni račun. Nedoločeni integral in integracijske metrode. 1. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: (a) dx. (b) x 3 +3+x 2 dx, (c) (d)
Integralni račun Nedoločeni integral in integracijske metrode. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: d 3 +3+ 2 d, (f) (g) (h) (i) (j) (k) (l) + 3 4d, 3 +e +3d, 2 +4+4 d, 3 2 2 + 4 d, d, 6 2 +4 d, 2
Διαβάστε περισσότεραReševanje sistema linearnih
Poglavje III Reševanje sistema linearnih enačb V tem kratkem poglavju bomo obravnavali zelo uporabno in zato pomembno temo linearne algebre eševanje sistemov linearnih enačb. Spoznali bomo Gaussovo (natančneje
Διαβάστε περισσότεραDragi polinom, kje so tvoje ničle?
1 Dragi polinom, kje so tvoje ničle? Vito Vitrih FAMNIT - Izlet v matematično vesolje 17. december 2010 Polinomi: 2 Polinom stopnje n je funkcija p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, a i R.
Διαβάστε περισσότεραDefinicija. definiramo skalarni produkt. x i y i. in razdaljo. d(x, y) = x y = < x y, x y > = n (x i y i ) 2. i=1. i=1
Funkcije več realnih spremenljivk Osnovne definicije Limita in zveznost funkcije več spremenljivk Parcialni odvodi funkcije več spremenljivk Gradient in odvod funkcije več spremenljivk v dani smeri Parcialni
Διαβάστε περισσότεραFunkcije več spremenljivk
DODATEK C Funkcije več spremenljivk C.1. Osnovni pojmi Funkcija n spremenljivk je predpis: f : D f R, (x 1, x 2,..., x n ) u = f (x 1, x 2,..., x n ) kjer D f R n imenujemo definicijsko območje funkcije
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALI RACIONALNIH FUNKCIJ
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA NIKA HREN INTEGRALI RACIONALNIH FUNKCIJ DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA, 203 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA MATEMATIKA - RAČUNALNIŠTVO NIKA HREN Mentor: izr.
Διαβάστε περισσότεραPodobnost matrik. Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Diagonalizacija matrik
Podobnost matrik Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Matjaž Željko FKKT Kemijsko inženirstvo 14 teden (Zadnja sprememba: 23 maj 213) Matrika A R n n je podobna matriki B R n n, če obstaja obrnljiva
Διαβάστε περισσότεραBooleova algebra. Izjave in Booleove spremenljivke
Izjave in Booleove spremenljivke vsako izjavo obravnavamo kot spremenljivko če je izjava resnična (pravilna), ima ta spremenljivka vrednost 1, če je neresnična (nepravilna), pa vrednost 0 pravimo, da gre
Διαβάστε περισσότεραNavadne diferencialne enačbe
Navadne diferencialne enačbe Navadne diferencialne enačbe prvega reda V celotnem poglavju bo y = dy dx. Diferencialne enačbe z ločljivima spremeljivkama Diferencialna enačba z ločljivima spremeljivkama
Διαβάστε περισσότεραDomače naloge za 2. kolokvij iz ANALIZE 2b VEKTORSKA ANALIZA
Domače naloge za 2. kolokvij iz ANALIZE 2b VEKTORSKA ANALIZA. Naj bo vektorsko polje R : R 3 R 3 dano s predpisom R(x, y, z) = (2x 2 + z 2, xy + 2yz, z). Izračunaj pretok polja R skozi površino torusa
Διαβάστε περισσότεραRealne funkcije. Elementarne funkcije. Polinomi in racionalne funkcije. Eksponentna funkcija a x : R R + FKKT Matematika 1
Realne funkcije Funkcija f denirana simetri nem intervalu D = ( a, a) ali D = [ a, a] (i) je soda, e velja f(x) = f( x), x D; (ii) je liha, e velja f(x) = f( x), x D. Naj bo f denirana D f in x 1, x 2
Διαβάστε περισσότεραMatematika. BF Lesarstvo. Zapiski ob predavanjih v šolskem letu 2010/2011
Matematika BF Lesarstvo Matjaž Željko Zapiski ob predavanjih v šolskem letu 00/0 Izpis: 9 avgust 0 Kazalo Števila 5 Naravna števila 5 Cela števila 6 3 Racionalna števila 6 4 Realna števila 7 5 Urejenost
Διαβάστε περισσότεραINŽENIRSKA MATEMATIKA I
INŽENIRSKA MATEMATIKA I REŠENE NALOGE za izredne študente VSŠ Tehnično upravljanje nepremičnin Marjeta Škapin Rugelj Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo Kazalo Števila in preslikave 5 Vektorji 6 Analitična
Διαβάστε περισσότερα= Števila 264, 252, 504 zapiši kot produkt praštevil in poišči njihov skupni največji delitelj in
PRIPRAVA NA POM REALNA ŠTEVILA in PKS. Izračunaj: ( ( ) ( )) (( ) ) [ ] ( ( ) ) 4 0 ( ) ( ) 4 + 6 7 4 + + 4 + = 0 4 0 ( + ) 5 + ( 0) ( ) + (( 5) + ( ) ( ) ) = [ ]. Poenostavi in rezultat razstavi: ( +
Διαβάστε περισσότεραEnačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba.
1. Osnovni pojmi Enačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba. Primer 1.1: Diferencialne enačbe so izrazi: y
Διαβάστε περισσότεραAnaliza 2 Rešitve 14. sklopa nalog
Analiza Rešitve 1 sklopa nalog Navadne diferencialne enačbe višjih redov in sistemi diferencialnih enačb (1) Reši homogene diferencialne enačbe drugega reda s konstantnimi koeficienti: (a) 6 + 8 0, (b)
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta
Matematika Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta 6. november 200 Poglavje 2 Zaporedja in številske vrste 2. Zaporedja 2.. Uvod Definicija 2... Zaporedje (a n ) = a, a 2,..., a n,... je predpis,
Διαβάστε περισσότεραNumerično reševanje. diferencialnih enačb II
Numerčno reševanje dferencaln enačb I Dferencalne enačbe al ssteme dferencaln enačb rešujemo numerčno z več razlogov:. Ne znamo j rešt analtčno.. Posamezn del dferencalne enačbe podan tabelarčno. 3. Podatke
Διαβάστε περισσότεραZBIRKA REŠENIH NALOG IZ MATEMATIKE I
Univerza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko Andrej Perne ZBIRKA REŠENIH NALOG IZ MATEMATIKE I Skripta za vaje iz Matematike I (UNI + VSP) Ljubljana, množice Osnovne definicije: Množica A je podmnožica
Διαβάστε περισσότεραUniverza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko MATEMATIKA. Polona Oblak
Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko MATEMATIKA Polona Oblak Ljubljana, 04 CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 5(075.8)(0.034.) OBLAK,
Διαβάστε περισσότεραSproščeno srečanje in izmenjava prvih vtisov. Režim v novem šolskem letu:
1. ura Tema: Uvodna ura Oblika: Poglavje: 1. Prva ura po poletnih počitnicah: Sproščeno srečanje in izmenjava prvih vtisov. Režim v novem šolskem letu: 2. Učbeniki. kontrolne naloge spraševanje 3. Hiter
Διαβάστε περισσότερα6. Kako razstavimo razliko kvadratov a2 - b2? Ali se vsota kvadratov a2 + b2 da razstaviti v množici realnih števil?
USTNA VPRAŠANJA IZ MATEMATIKE šolsko leto 2005/2006 I. NARAVNA IN CELA ŠTEVILA 1. Naštejte lastnosti operacij v množici naravnih števil. Primer: Izračunajte na dva načina vrednosti izrazov 2. Opišite vrstni
Διαβάστε περισσότεραInterpolacija in aproksimacija funkcij
Poglavje 4 Interpolacija in aproksimacija funkcij Na interpolacijo naletimo, kadar moramo vrednost funkcije, ki ima vrednosti znane le v posameznih točkah (pravimo jim interpolacijske točke), izračunati
Διαβάστε περισσότεραUniverza v Mariboru. Fakulteta za logistiko MATEMATIKA. Univerzitetni učbenik
Univerza v Mariboru Fakulteta za logistiko MATEMATIKA Univerzitetni učbenik AJDA FOŠNER IN MAJA FOŠNER Junij, 2008 Kazalo 1 Množice 5 11 Matematična logika 5 12 Množice 10 2 Preslikave 18 21 Realne funkcije
Διαβάστε περισσότεραV tem poglavju bomo vpeljali pojem determinante matrike, spoznali bomo njene lastnosti in nekaj metod za računanje determinant.
Poglavje IV Determinanta matrike V tem poglavju bomo vpeljali pojem determinante matrike, spoznali bomo njene lastnosti in nekaj metod za računanje determinant 1 Definicija Preden definiramo determinanto,
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO MATEMATIKA II
UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO Petra Žigert Pleteršek MATEMATIKA II Maribor, 2016 Kazalo Uvod v linearno algebro 1 1.1 Matrike................................ 1 1.2 Računanje
Διαβάστε περισσότεραVPRAŠANJA ZA POKLICNO MATURO IZ MATEMATIKE
VPRAŠANJA ZA POKLICNO MATURO IZ MATEMATIKE ŠTEVILSKE MNOŽICE NARAVNA ŠTEVILA 1. Naštej lastnosti osnovnih računskih operacij v N. Osnovne računske operacije so seštevanje in množenje (+, *): a) ZAKON O
Διαβάστε περισσότεραII. LIMITA IN ZVEZNOST FUNKCIJ
II. LIMITA IN ZVEZNOST FUNKCIJ. Preslikave med množicami Funkcija ali preslikava med dvema množicama A in B je predpis f, ki vsakemu elementu x množice A priredi natanko določen element y množice B. Važno
Διαβάστε περισσότεραFAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 4 Pisni izpit 22. junij Navodila
FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 4 Pisni izpit 22 junij 212 Ime in priimek: Vpisna št: Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja Veljale bodo samo rešitve na papirju, kjer
Διαβάστε περισσότερα1. Trikotniki hitrosti
. Trikotniki hitrosti. Z radialno črpalko želimo črpati vodo pri pogojih okolice z nazivnim pretokom 0 m 3 /h. Notranji premer rotorja je 4 cm, zunanji premer 8 cm, širina rotorja pa je,5 cm. Frekvenca
Διαβάστε περισσότεραVEKTORJI. Operacije z vektorji
VEKTORJI Vektorji so matematični objekti, s katerimi opisujemo določene fizikalne količine. V tisku jih označujemo s krepko natisnjenimi črkami (npr. a), pri pisanju pa s puščico ( a). Fizikalne količine,
Διαβάστε περισσότεραTema 1 Osnove navadnih diferencialnih enačb (NDE)
Matematične metode v fiziki II 2013/14 Tema 1 Osnove navadnih diferencialnih enačb (NDE Diferencialne enačbe v fiziki Večina osnovnih enačb v fiziki je zapisana v obliki diferencialne enačbe. Za primer
Διαβάστε περισσότερα11. Vaja: BODEJEV DIAGRAM
. Vaja: BODEJEV DIAGRAM. Bodejev diagram sestavljata dva grafa: a) amplitudno frekvenčni diagram in b) fazno frekvenčni diagram Decibel je enota za razmerje dveh veličin. Definicija: B B 0log0 A A db Bodejeve
Διαβάστε περισσότεραPONOVITEV SNOVI ZA 4. TEST
PONOVITEV SNOVI ZA 4. TEST 1. * 2. *Galvanski člen z napetostjo 1,5 V požene naboj 40 As. Koliko električnega dela opravi? 3. ** Na uporniku je padec napetosti 25 V. Upornik prejme 750 J dela v 5 minutah.
Διαβάστε περισσότεραDARJA POTOƒAR, FMF
7. ²olska ura Tema: Ponovitev Oblika: vaje B 1 Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku: A V α A 1 B 1 sin α = AA 1 V A = BB 1 V B cos α = V B 1 V B = V A 1 V A tan α = sin α cos α cos α cot α = sin α =
Διαβάστε περισσότεραGEOMETRIJA V RAVNINI DRUGI LETNIK
GEOMETRIJA V RAVNINI DRUGI LETNIK 2 1 Geometrija v ravnini 1.1 Osnove geometrije Točka je tisto, kar nima delov. Črta je dolžina brez širine. Ploskev je tisto, kar ima samo dolžino in širino. Osnovni zakoni,
Διαβάστε περισσότεραKotne funkcije poljubnega kota. Osnovne zveze med funkcijamo istega kota. Uporaba kotnih funkcij v poljubnem trikotniku. Kosinusni in sinusni izrek.
DN#3 (januar 2018) 3A Teme, ki jih preverja domača naloga: Kotne funkcije poljubnega kota. Osnovne zveze med funkcijamo istega kota. Uporaba kotnih funkcij v poljubnem trikotniku. Kosinusni in sinusni
Διαβάστε περισσότερα1 Fibonaccijeva stevila
1 Fibonaccijeva stevila Fibonaccijevo število F n, kjer je n N, lahko definiramo kot število načinov zapisa števila n kot vsoto sumandov, enakih 1 ali Na primer, število 4 lahko zapišemo v obliki naslednjih
Διαβάστε περισσότεραUniverza v Mariboru. Uporaba matematičnih metod v logistiki 1 Priročnik
Univerza v Mariboru Fakulteta za logistiko Uporaba matematičnih metod v logistiki 1 Priročnik BOJANA ZALAR Celje 2009 Izdala: Fakulteta za logistiko Univerze v Mariboru Naslov: Uporaba matematičnih metod
Διαβάστε περισσότεραIzpeljava Jensenove in Hölderjeve neenakosti ter neenakosti Minkowskega
Izeljava Jensenove in Hölderjeve neenakosti ter neenakosti Minkowskega 1. Najosnovnejše o konveksnih funkcijah Definicija. Naj bo X vektorski rostor in D X konveksna množica. Funkcija ϕ: D R je konveksna,
Διαβάστε περισσότεραRačunalniško vodeni procesi I
Šolski center Velenje Višja strokovna šola Velenje Trg mladosti 3, 33 Velenje Računalniško vodeni procesi I Osnove višješolske matematike Interno gradivo - druga, popravljena izdaja Robert Meolic. september
Διαβάστε περισσότεραMatematika. BF Lesarstvo. Zapiski ob predavanjih v šolskem letu 2009/2010
Matematika BF Lesarstvo Matjaž Željko Zapiski ob predavanjih v šolskem letu 009/00 Izpis: 9 januar 00 KAZALO Kazalo Števila 5 Naravna števila 5 Cela števila 6 3 Racionalna števila 6 4 Realna števila 7
Διαβάστε περισσότεραKvadratne forme. Poglavje XI. 1 Definicija in osnovne lastnosti
Poglavje XI Kvadratne forme V zadnjem poglavju si bomo ogledali še eno vrsto preslikav, ki jih tudi lahko podamo z matrikami. To so tako imenovane kvadratne forme, ki niso več linearne preslikave. Kvadratne
Διαβάστε περισσότεραOdvode odvisnih spremenljivk po neodvisni spremenljivki bomo označevali s piko: Sistem navadnih diferencialnih enačb prvega reda ima obliko:
4 Sisemi diferencialnih enačb V prakičnih primerih večkra naleimo na več diferencialnih enačb, ki opisujejo določen pojav in so medsebojno povezane edaj govorimo o sisemih diferencialnih enačb V eh enačbah
Διαβάστε περισσότεραDržavni izpitni center. Višja raven MATEMATIKA. Izpitna pola 2. Sobota, 4. junij 2011 / 90 minut
Š i f r a k a n d i d a t a : Državni izpitni center *M111401* Višja raven MATEMATIKA Izpitna pola SPOMLADANSKI IZPITNI ROK Sobota, 4. junij 011 / 90 minut Dovoljeno gradivo in pripomočki: Kandidat prinese
Διαβάστε περισσότεραLJUDSKA UNIVERZA NOVA GORICA
LJUDSKA UNIVERZA NOVA GORICA MATEMATIKA 1 1. del EKONOMSKI TEHNIK PTI gradivo za interno uporabo Pripravila: Mateja Strnad Šolsko leto 2011/12 KAZALO 1 ŠTEVILA... 1 1.1 NARAVNA IN CELA ŠTEVILA... 1 1.1.1
Διαβάστε περισσότεραAfina in projektivna geometrija
fina in projektivna geometrija tožnice () kiciraj stožnico v evklidski ravnini R, ki je določena z enačbo 6 3 8 + 6 =. Rešitev: tožnica v evklidski ravnini je krivulja, ki jo določa enačba a + b + c +
Διαβάστε περισσότεραOsnove linearne algebre
Osnove linearne algebre Matrike Matrika razsežnosti n m je A = a 1 1 a 1 2 a 1 m a 2 1 a 2 2 a 2 m a n 1 a n 2 a n m Če je n = m, tedaj matriko imenujemo kvadratna matrika Elementi matrike so lahko realna
Διαβάστε περισσότεραŠOLSKI CENTER NOVO MESTO
ŠOLSKI CENTER NOVO MESTO Srednja elektro šola in tehniška gimnazija M A T E M A T I K A USTNA VPRAŠANJA S PRIMERI ZA POKLICNO MATURO 006/007 NARAVNA ŠTEVILA Katera števila imenujemo naravna števila? Naštejte
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta
Matematika 1 Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta 21. april 2008 102 Poglavje 4 Odvod 4.1 Definicija odvoda Naj bo funkcija f definirana na intervalu (a, b) in x 0 točka s tega intervala. Vzemimo
Διαβάστε περισσότεραRačunski del izpita pri predmetu MATEMATIKA I
Kemijska tehnologija Visokošolski strokovni program Računski del izpita pri predmetu MATEMATIKA I 29. 8. 2013 Čas reševanja je 75 minut. Navodila: Pripravi osebni dokument. Ugasni in odstrani mobilni telefon.
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIČNI IZRAZI V MAFIRA WIKIJU
I FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Jadranska cesta 19 1000 Ljubljan Ljubljana, 25. marec 2011 MATEMATIČNI IZRAZI V MAFIRA WIKIJU KOMUNICIRANJE V MATEMATIKI Darja Celcer II KAZALO: 1 VSTAVLJANJE MATEMATIČNIH
Διαβάστε περισσότεραSpoznajmo sedaj definicijo in nekaj osnovnih primerov zaporedij števil.
Zaporedja števil V matematiki in fiziki pogosto operiramo s približnimi vrednostmi neke količine. Pri numeričnemu računanju lahko npr. število π aproksimiramo s števili, ki imajo samo končno mnogo neničelnih
Διαβάστε περισσότεραOsnovne lastnosti odvoda
Del 2 Odvodi POGLAVJE 4 Osnovne lastnosti odvoda. Definicija odvoda Odvod funkcije f v točki x je definiran z f f(x + ) f(x) (x) =. 0 Ta definicija je smiselna samo v primeru, ko x D(f), ita na desni
Διαβάστε περισσότεραAlgebraične strukture
Poglavje V Algebraične strukture V tem poglavju bomo spoznali osnovne algebraične strukture na dani množici. Te so podane z eno ali dvema binarnima operacijama. Binarna operacija paru elementov iz množice
Διαβάστε περισσότεραFrekvenčna analiza neperiodičnih signalov. Analiza signalov prof. France Mihelič
Frekvenčna analiza neperiodičnih signalov Analiza signalov prof. France Mihelič Vpliv postopka daljšanja periode na spekter periodičnega signala Opazujmo družino sodih periodičnih pravokotnih impulzov
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1. Jaka Cimprič
Matematika 1 Jaka Cimprič Predgovor Pričujoči učbenik je namenjen študentom tistih univerzitetnih programov, ki vključujejo samo eno leto matematike. Nastala je na podlagi izkušenj, ki jih imam s poučevanjem
Διαβάστε περισσότερα1 Seštevanje vektorjev in množenje s skalarjem
Poglavje I Vektorji Seštevanje vektorjev in množenje s skalarjem Za lažjo geometrično predstavo si najprej oglejmo, kaj so vektorji v ravnini. Vektor je usmerjena daljica, ki je natanko določena s svojo
Διαβάστε περισσότεραDefinicija 1. Naj bo f : D odp R funkcija. Funkcija F : D odp R je primitivna funkcija funkcije f, če je odvedljiva in če velja F = f.
Nedoločeni integral V tem razdelku si bomo pogledali operacijo, ki je na nek način inverzna odvajanju. Za dano funkcijo bomo poskušali poiskati neko drugo funkcijo, katere odvod bo ravno dana funkcija.
Διαβάστε περισσότεραVaje iz MATEMATIKE 2. Vektorji
Študij AHITEKTURE IN URBANIZMA, šol. l. 06/7 Vaje iz MATEMATIKE. Vektorji Vektorji: Definicija: Vektor je usmerjena daljica. Oznake: AB, a,... Enakost vektorjev: AB = CD: če lahko vektor AB vzporedno premaknemo
Διαβάστε περισσότεραSKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK
SKUPNE PORAZDELITVE SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK Kovaec vržemo trikrat. Z ozačimo število grbov ri rvem metu ( ali ), z Y a skuo število grbov (,, ali 3). Kako sta sremelivki i Y odvisi
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 1 UNIVERZITETNI ŠTUDIJSKI PROGRAM BIOKEMIJA 1. LETNIK
abc MATEMATIKA 1 UNIVERZITETNI ŠTUDIJSKI PROGRAM BIOKEMIJA 1. LETNIK ŠTEVILA PRIBLIŽNO RAČUNANJE PRIBLIŽNO RAČUNANJE Ta fosil dinozavra je star 7 milijonov in šest let, pravi paznik v muzeju.??? Ko sem
Διαβάστε περισσότεραKombinatorika. rekurzivnih enačb in rodovne funkcije. FMF Matematika Finančna matematika. Vladimir Batagelj. Ljubljana, april
FMF Matematika Finančna matematika Kombinatorika Reševanje rekurzivnih enačb in rodovne funkcije Vladimir Batagelj Math fun: Pascal triangle Ljubljana, april 2008 4. Dec 2012 različica: December 4, 2012
Διαβάστε περισσότερα