π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

Transcript

1 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =, b = ; c) f () =, a = 0, b = 1; d) f () =, a = 0, b = ; e) f () = 6, a =, b = 3; f) f () = + 8, a = 4, b = ; 1 1 g) f ( ) = , a =, b = ; h) f ( ) = 1 5 3, a =, b = ; 3 4 i) f () = 3 + 1, a = 1, b = 1; j) f () = , a =, b = 3; k) f () = sin, a = 0, b = ; l) f () = cos, a =, b = ; m) f () = ln( ), a = 1, b = 1; n) f () = ln(10 ), a = 3, b = 3; o) f () = ln(7 ), a = 3, b = ; p) f () = ln( ), a = 3, b = 1; q) f () = ln( ), a = 1, b = ; r) s) t) u) v) f ( ) =, [a, b] = D f ; f ( ) 6 5 =, [a, b] = D f ; 5 ( ) 1 f = e, a = 5, b = 5; 4 e f ( ) = 1, [a, b] = D f ; 9 8 e f ( ) = 1, [a, b] = D f ; w) f () = ( ) e, a = 1 3, b = 3 + 1; ) f () = (3 ) e, a = 3, b = 3 ; y) z) 5 f ( ) =, a = 5, b = 5; 36 4 f ( ) =, a =, b =. + 1 mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač 1

2 3. Zadovoljava li realna funkcija f ( ) = 4 definirana na segmentu [ 8, 8] uvjete Rolleova poučka? Ako da, odredite barem jedan c 8, 8 takav da je f '(c) = 0. Ako ne, obrazložite svoj odgovor. 3. Zadovoljava li realna funkcija f () = ctg definirana na segmentu Rolleova poučka? Ako da, odredite barem jedan c ne, obrazložite svoj odgovor. 3, 3, uvjete takav da je f '(c) = 0. Ako 4. Zadana je realna funkcija f () = cos čija je domena D f = [0, ]. Postoji li c 0, takav da je tangenta povučena na graf funkcije f () u točki T = (c, f (c)) usporedna s pravcem kroz točke A = (0, f (0)) i B = (, f ())? Ako postoji, odredite jednadžbu te tangente. Ako ne postoji, obrazložite svoj odgovor. 5. Zadana je realna funkcija f ( ) ( 4) 3 = čija je domena D f = [0, 8]. Postoji li c 0, 8 takav da je tangenta povučena na graf funkcije f () u točki T = (c, f (c)) usporedna s pravcem kroz točke A = (0, f (0)) i B = (8, f (8))? Ako postoji, odredite jednadžbu te tangente. Ako ne postoji, obrazložite svoj odgovor. 6. a) Realna funkcija f : R R definirana je propisom 011 f ( ) = ( k). k = 0 Odredite ukupan broj međusobno različitih nultočaka funkcije f'(). (Naputak: Promatrajte funkciju f na segmentima [k, k + 1], za k = 0, 1,, 011, i primijenite Rolleov poučak.) b) Realna funkcija f : R R definirana je propisom n f ( ) = ( k). k = 0 Odredite ukupan broj međusobno različitih nultočaka funkcije f '() kao funkciju argumenta n. 7. Neka je f realna funkcija neprekidna na segmentu [a, b] i derivabilna na intervalu a, b. Pokažite da realna funkcija F definirana na segmentu [a, b] propisom mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač

3 f ( ) 1 F( ) : = b f ( b) 1 a f ( a) 1 zadovoljava uvjete Rolleova poučka. Primijenite taj poučak na navedenu funkciju i odatle izvedite Lagrangeov poučak. 8. Provjerite da realna funkcija f () definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Lagrangeova poučka, pa (s točnošću od 10 5 ) odredite barem jedan c a, b takav da je f (b) f (a) = (b a) f '(c) ako je: a) f () =, a = 0, b = 1; b) f () =, a = 1, b = 0; c) f () =, a = 1, b = 4; d) f () = 4, a =, b = 8; e) f () = + + 1, a = 3, b = 1; f) f () =, a =, b = 1; g) f () = 3 +, a = 1, b = ; h) f () = 3, a =, b = 1; i) f () = sin( ), a =, b = ; j) f () = + sin, a = 0, b = ; k) f () = cos(3 ), a =, b = ; l) f() = cos, a =, b = ; m) f () = tg(4 ), a = 0, b = ; 16 n) f () = + tg, a = 0, b = 1; o) f () = ctg(5 ), a =, b = ; 0 10 p) f () = ctg, a = 1, b = ; q) f () = e, a = 0, b = 1; r) f () = e, a = 1, b = ; s) f () = e + + 1, a = 0, b = 1; t) f () = 3 e , a = 1, b = 0; u) f () = e , a = 0, b = 1; v) f () = ln, a = 1, b = ; w) f () = ln +, a = 1, b = ; mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač 3

4 1 e ) f () = ln ( ), a =, b = ; y) f ( ) =, a = 1, b = 4; z) f 3 ( ), = a = 1, b = Neka je f : [a, b] R funkcija derivabilna na a, b i takva da za svaki a, b vrijedi f '() = 0. Primjenom Lagrangeova poučka dokažite da tada postoji realan broj c takav da je f () = c, za svaki c [a, b]. Izvedite odatle da je f '() = 0 (na [a, b]) ako i samo ako je f konstantna funkcija (na [a, b]). 10. a) Neka je f : [a, b] R funkcija derivabilna na a, b i takva da za svaki a, b vrijedi f '() > 0. Primjenom Lagrangeova poučka dokažite da je tada f strogo rastuća funkcija na a, b. Izvedite odatle da je f strogo rastuća na a, b ako i samo ako je f '() > 0 za svaki a, b. b) Neka je f : [a, b] R funkcija derivabilna na a, b i takva da za svaki a, b vrijedi f '() < 0. Primjenom Lagrangeova poučka dokažite da je tada f strogo padajuća funkcija na a, b. Izvedite odatle da je f strogo padajuća na a, b ako i samo ako je f '() < < 0 za svaki a, b. 11. Dokažite da postoji barem jedan c 1, 3 takav da je tangenta povučena na graf funkcije f () = 1 u točki C = (c, f (c)) usporedna s pravcem kroz točke A = (1, f (1)) i B = (3, f (3)). Odredite sve takve vrijednosti c, pa napišite jednadžbu spomenute tangente u svakom pojedinom slučaju. 1. Dokažite da postoji barem jedan c 0, takav da je tangenta povučena na graf funkcije f () = 3 u točki C = (c, f (c)) usporedna s pravcem kroz točke A = (0, f (0)) i B = (, f ()). Odredite sve takve vrijednosti c, pa napišite jednadžbu spomenute tangente u svakom pojedinom slučaju. 13. Dokažite da postoji barem jedan c 1, 4 takav da je tangenta povučena na graf funkcije f () = u točki C = (c, f (c)) usporedna s pravcem kroz točke A = (1, f (1)) i B = (4, f (4)). Odredite sve takve vrijednosti c, pa napišite jednadžbu spomenute tangente u svakom pojedinom slučaju. 14. Dokažite da postoji barem jedan c 8, 7 takav da je tangenta povučena na graf 3 funkcije f () = 6 u točki C = (c, f (c)) usporedna s pravcem kroz točke A = (8, f (8)) i B = (7, f (7)). Odredite sve takve vrijednosti c, pa napišite jednadžbu spomenute tangente u svakom pojedinom slučaju. mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač 4

5 15. Dokažite da postoji barem jedan c ln, ln 3 takav da je tangenta povučena na graf funkcije f () = e u točki C = (c, f (c)) usporedna s pravcem kroz točke A = (ln, f (ln )) i B = (ln 3, f (ln 3)). Odredite sve takve vrijednosti c, pa napišite jednadžbu spomenute tangente u svakom pojedinom slučaju. 16. Dokažite da postoji barem jedan c e, e takav da je tangenta povučena na graf funkcije f () = ln u točki C = (c, f (c)) usporedna s pravcem kroz točke A = (e, f (e)) i B = (e, f (e )). Odredite sve takve vrijednosti c, pa napišite jednadžbu spomenute tangente u svakom pojedinom slučaju Dokažite da postoji barem jedan c, takav da je tangenta povučena na graf funkcije f () = sin u točki C = (c, f (c)) usporedna s pravcem kroz točke A =, f i 7 7 B =, f. Odredite sve takve vrijednosti c, pa napišite jednadžbu spomenute tangente u svakom pojedinom slučaju. 18. Dokažite da postoji barem jedan c, takav da je tangenta povučena na graf funkcije f () = cos u točki C = (c, f (c)) usporedna s pravcem kroz točke A = (, f ( )) i B = (, f ( )). Odredite sve takve vrijednosti c, pa napišite jednadžbu spomenute tangente u svakom pojedinom slučaju. 19. Brzi vlak je prešao udaljenost od Zagreba do Vinkovaca prosječnom brzinom od 80 km/h. Pokažite da postoji barem jedan trenutak (te vožnje) u kojemu je stvarna brzina gibanja vlaka iznosila 80 km/h. 0. Provjerite da realne funkcije f () i g () definirane na segmentu [a, b] zadovoljavaju uvjete Cauchyjeva poučka, pa (s točnošću od 10 5 ) odredite barem jednu vrijednost c f ( b) f ( a) f '( c) a, b takvu da vrijedi jednakost = ako je: g( b) g( a) g '( c) a) f () =, g () = + 1, a = 0, b = 1; b) f () =, g () = 1, a = 1, b = 3; c) f () = + + 1, g () = 1, a = 1, b = 1; d) f () = 3, g () = , a = 4, b = ; e) f () = 3 1, g () = + 1, a = 0, b = 1; f) f () = 1, g () = 3 + 1, a = 1, b = 0; g) f () = 3 + 1, g () = + + 1, a = 1, b = 1; h) f () = + 3, g () = 3 +, a = 0, b = ; i) f () = , g() = + + 1, a = 1, b = ; j) f () = 1, g () = 3 1, a = 0, b = ; mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač 5

6 3 k) f ( ) =, g( ) =, a = 0, b = 1; 3 l) f ( ) =, g( ) =, a = 1, b = 64; 1 1 m) f ( ) = +, g( ) =, a = 1, b = ; 1 1 n) f ( ) = +, g( ) =, a = 1, b = ; 1 1 o) f ( ) = 011 +, g( ) 01 =, a =, b = 1; p) f () = e, g () = 1, a = 0, b = 1; q) f () = e, g () = 1, a = 1, b = 0; r) f () = e 1, g () = e + 1, a = 0, b = 1; s) f () = ln( ) 1, g () = ln(3 ) + 1, a = 1, b = ; t) f () = sin, g () = cos, a = 0, b = ; u) f () = cos, g () = sin, a =, b = 0; v) f () = tg, g () = ctg, a =, b = ; 6 3 w) f () = ctg, g () = tg, a =, b = ; 3 6 ) f () = arcsin, g () =, a = 1, b = 1; y) f () = arccos, g () =, a = 1, b = 1; z) f () = arctg, g () = + 1, a = 0, b = 1. mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač 6