Sveuč ilište u Zagrebu. Fakultet elektrotehnike i računarstva. Zavod za elektroničke sustave i obradbu informacija. Prof. dr.sc.

Transcript

1 Svč iliš Zgrb Fl lrohi i rčrv Zvod z lroič v i obrdb iformcij Prof. dr.c. Hrvoj Bbić SIGNALI I SUSTAVI Zgrb 996.

2

3 SADRŽAJ. UVOD U SIGNALE I SUSTAVE.... VREMENSKE FUNKCIJE - SIGNALI.... OPERACIJE NA SIGNALU Trformcij vrm oi igl Trformcij podrčj igl PRESLIKAVANJE SIGNALA....4 OPERACIJE MEĐU SIGNALIMA....5 REALNI I APSTRAKTNI OBJEKTI BLOKOVSKI DIJAGRAMI I SPAJANJE PODSUSTAVA U SUSTAV...6. KONTINUIRANI SUSTAVI BEZ MEMORIJE.... FUNKCIJSKI BLOK S JEDNIM ULAZOM I JEDNIM IZLAZOM.... FUNKCIJSKI BLOK S VIŠE ULAZA SPAJANJE FUNKCIJSKIH BLOKOVA U SUSTAV EKSPLICITNI I IMPLICITNI SUSTAVI FORMULACIJE I RJEŠENJA JEDNADŽBI SUSTAVA Eplicii v Spjj prlli log Spjj d Implicii vi REALIZACIJE NEKIH KARAKTERISTIKA EKVIVALENCIJA I APROKSIMACIJA SUSTAVA LINEARNOST SUSTAVA APROKSIMACIJA NELINEARNOG SUSTAVA LINEARNIM Ujcj povr vz liro Lirizcij fcijog blo viš lz i izlz MODELI MEMORIJSKIH SUSTAVA SUSTAV U KONAČNOM INTERVALU MODELI VREMENSKI KONTINUIRANIH SUSTAVA Modl vrijblm j Gomrij irprcij rjšj Klificij v Ovori ili plicii v Opći modl v lzo izlzim vrijblm MODELI VREMENSKI DISKRETNIH SUSTAVA SIMULACIJA SUSTAVA SUSTAVI PRVOG REDA...63

4 4. BLOK DIJAGRAM KLASIFIKACIJA SUSTAVA PRVOG REDA S OBZIROM NA FUNKCIJE BEZMEMORIJSKOG DIJELA STANJE RAVNOTEŽE I NJEGOVA STABILNOST VLADANJE I SVOJSTVA SUSTAVA PRVOG REDA Liri v NELINEARNI SUSTAV Pojv o i rlcijih ocilcij v prvog rd Klificij vldj oomog v prvog rd Pobđi liri v I rd Vrmi promjljivi liri v prvog rd SUSTAVI DRUGOG REDA DEFINICIJA I BLOK DIJAGRAM VLADANJE I SVOJSTVA SUSTAVA DRUGOG REDA Liri v vrmi l Vrmi promjjiv v drgog rd Nliri v drgog rd OPĆI LINEARNI SUSTAVI PRIMJERI SIGNALA U KONTINUIRANOM VREMENU Kompl pocijl Dirc-ov dl fcij LINEARNE OPERACIJE MEĐU SIGNALIMA ULAZNO IZLAZNI MODEL LINEARNOG SUSTAVA VREMENSKI STALNI SUSTAVI SVOJSTVA KONVOLUCIJE HARMONIJSKA POBUDA KONVOLUCIJSKOG SUSTAVA LAPLACEOVA TRANSFORMACIJA SVOJSTVA DVOSTRANE L-TRANSFORMACIJE INVERZIJA LAPLACEOVE TRANSFORMACIJE LINEARNI DIFERENCIJALNI SUSTAVI MODEL SUSTAVA S ULAZNO IZLAZNIM VARIJABLAMA KLASIČNE METODE RJEŠAVANJA VREMENSKI STALNI SUSTAVI OBLICI VLASTITOG TITRANJA SUSTAVA O STABILNOSTI SLOBODNOG ODZIVA AMPLITUDE VLASTITOG TITRANJA SUSTAVA PRISILNI ODZIV SUSTAVA TRANSFER FUNKCIJA LINEARNOG VREMENSKI INVARIJANTNOG SUSTAVA Impli odziv v i ovolciji igrl...36

5 7.9 TRANSFER FUNKCIJA SLOŽENIH SUSTAVA Prlli poj podv Kdi poj podv Pri poj podv - v povrom vzom ULAZNO IZLAZNI MODEL SUSTAVA S VIŠE ULAZA I IZLAZA Trfr mric v viš lz i izlz MODEL S VARIJABLAMA STANJA LINEARNOG SUSTAVA Blo dijgrm lirog v Rzlgj v jdovij podv i lm RAZLAGANJE SUSTAVA I PRIJELAZ U MODEL S VARIJABLAMA STANJA Dir mod Iriv mod Prll mod TRANSFORMACIJA VARIJABLI STANJA UPRAVLJIVOST I OSMOTRIVOST SUSTAVA ODZIV I SVOJSTVA LINEARNIH SUSTAVA ODZIV NEPOBUĐENOG SUSTAVA ODREĐIVANJE FUNDAMENTALNE MATRICE RAZVOJEM U RED KLASIČNA METODA ODREĐIVANJA FUNDAMENTALNE MATRICE GEOMETRIJSKA INTERPRETACIJA RJEŠENJA ODREĐIVANJE ΦT POMOĆU L - TRANSFORMACIJE LEVERIEROV ALGORITAM [] SYLVESTROV RAZVOJ ZA FUNDAMENTALNU MATRICU ODZIV POBUĐENOG LINEARNOG SUSTAVA IMPULSNI ODZIV SUSTAVA ODZIV STANJA SUSTAVA NA STEPENICU EKSPONENCIJALNE POBUDE ODZIV SUSTAVA L - TRANSFORMACIJOM UVOD U VREMENSKI DISKRETNE SIGNALE I SUSTAVE OSNOVNI NIZOVI OSNOVNE OPERACIJE NA NIZOVIMA I ELEMENTI DISKRETNOG SUSTAVA OSNOVNE MEMORIJSKE I PREDIKCIJSKE OPERACIJE MODEL VREMENSKI DISKRETNOG SUSTAVA SUSTAVI PRVOG I DRUGOG REDA SUSTAVI PRVOG REDA LINEARNI VREMENSKI INVARIJANTAN SUSTAV VREMENSKI PROMJENJIVI SUSTAV NELINEARNI SUSTAV SUSTAVI DRUGOG REDA LINEARNI SUSTAV DRUGOG REDA...9

6 .7 VREMENSKI PROMJENJIV SUSTAV DRUGOG REDA NELINEARNI SUSTAV DRUGOG REDA VREMENSKI DISKRETNI LINEARNI SUSTAVI MODEL SUSTAVA S ULAZNO-IZLAZNIM VARIJABLAMA RJEŠAVANJE JEDNADŽBE DIFERENCIJA FREKVENCIJSKE KARAKTERISTIKE VREMENSKI DISKRETNOG SUSTAVA JEDINIČNI ODZIV DIFERENCIJSKOG SUSTAVA KONVOLUCIJSKA SUMACIJA DEKONVOLUCIJA...7. Z-TRANSFORMACIJA...8. UVOD...8. SVOJSTVA Z-TRANSFORMACIJE....3 INVERZNA Z-TRANSFORMACIJA RJEŠENJE JEDNADŽBI DIFERENCIJA UPOTREBOM Z-TRANSFORMACIJE MODEL LINEARNOG VREMENSKI DISKRETNOG SUSTAVA S VARIJABLAMA STANJA UVOD JEDNADŽBE STANJA U DOMENI Z-TRANSFORMACIJE PRIJELAZ IZ MODELA S ULAZNO-IZLAZNIM VARIJABLAMA U MODEL S VARIJABLAMA STANJA ODZIV LINEARNIH VREMENSKI DISKRETNIH SUSTAVA RJEŠENJE VEKTORSKE JEDNADŽBE DIFERENCIJA Z-TRANSFORMACIJOM UPRAVLJIVOST STANJA DISKRETNOG SUSTAVA OSMOTRIVOST SUSTAVA SUSTAV S POVRATNOM VEZOM POVRATNA VEZA S IZLAZA SUSTAVA EKVIVALENCIJA VREMENSKI KONTINUIRANOG I DISKRETNOG SIGNALA I SUSTAVA VREMENSKA DISKRETIZACIJA TIPKANJEM KONTINUIRANOG SIGNALA OBNAVLJANJE KONTINUIRANOG SIGNALA IZ DISKRETNOG ANTIALIASING FILTRI DISKRETIZACIJA SPEKTRA KONTINUIRANOG SIGNALA OBNAVLJANJE KONTINUIRANOG SPEKTRA IZ DISKRETNOG DIMENZIONALNOST SIGNALA DISKRETNA FOURIEROVA TRANSFORMACIJA BRZA FOURIEROVA TRANSFORMACIJA LITERATURA...4

7 . UVOD U SIGNALE I SUSTAVE Čo lžimo pojmom v. Pojm j vom opći i šo g j prcizo dfiiri. Z vći porb mož prihvii d j v cjli vlj od mđobo vzih obj gdj vojv obj i jihov ircij odrđj vldj i vojv cjli. Rzliči v možmo idificiri prirodim i ljdim vorvim. Odrdii podii vldj og v ili rliziri v žljih vojv ljči j problm vliom broj djloi pobic rzličiih gr hi. Vzo im pooji porb d vi dirj jihov vojv viivo obhv. Ovo poljdj vij vodi mmič pop. Šoviš viiv liz v rzličiim zvim diciplim i grm hi vodi rdovio i mmič pop. Sp ih pop ziv d orijom v. T orij o i mmi primjjiv j iz dicipli. Mmiči popci rž rščišćvj i prcizirj pojmov vođj prih ocpcij prdvljj rlog v mmičim formlizmom. Pogod mmiči opi og rlog v ziv mmičim modlom og v ili pri v. U jdom rlom v možmo idificiri rib rrii ili mjrljiv vliči oj rlv z vldj og v pr. po rj brzi. T vliči mog izrzii viivo brojm odgovrjćih jdiic. Vldj v ili proci v implicirj mijjj rlvih vliči rdovio zvioi od vrm i proor. Shvćjći vliči o vrijbl v vrijbl fcij ih zviih vrijbli oj mog irpriri o proor oordi i/ili vrijm. Svi viš vrijbli zivj višdimziolim. U ovom prdm ć liziri vi jdom zviom vrijblom i očim brojm zviih vrijbli pr. brzj prii o boj goć mprr id.. Vrijbl irprirmo o vrijm o d ć vrijbl v bii fcij vrm. Ao žlimo zi primjr šo dogđ lričom irjom rg rlv vliči po odzor i rj roz vi. Njih možmo prii vrm. Pri idificiji vrijbli možmo pojprij rzliovi o zv. lz oj jč vldj v i o zv. izlz ojim v jč vji vij ili ooliš. U pobđom irjom rg o mož bii po izvor lz po odzor izlz vrijbl. Djlovj v " ooliš" držo j či o lz vliči odrđj izlz p v možmo dfiiri o rlcij izmđ lzih i izlzih vrijbli. Njprij ćmo diiri ozčvj i dfiirj vrijbli v o fcij zvi vrijbl vrm ij ćmo o dfiiciji obj i očo o pjj obj v.

8 UVOD U SIGNALE I SUSTAVE. Vrm fcij - igli Vrijbl v o vrm fcij čo ižjroj lirri zivj iglim. Siglom općio mr fom oji oi iformcij. U v rlv vrijbl o iformcij o procim v. Vrijbl fizilom v fizil vliči o šo po rj prii brzj id. Vrm fcij ili igl ozčvmo mlim lovim v. S ozčvmo r vrijdo fcij r. Smr o ij pobo ozčo d prož pro vih rlih vrijdoi odoo pro cijl vrm oi F R pripd p rlih brojv. Ao vrijdoi ogrič podp T F R vrm oi d možmo pii T pripd p T. Dom igl j dl podp ili p rlih brojv. Kodom igl j p U oji zovmo podrčj mplid ili rih vrijdoi igl R{} U U. Sigl j dfiir o fcij :T U dl o p prov vrijdoi T.. { } Ao vrm fcij prdočimo grfiči o rivlj izd vrm oi od j igl cijli grf oji prož pro T. Sl.. Sigl j p prov { } z v vrijdoi oji pripdj p T ili z v T. Sp vih igl oi T i podrčjm mplid U mož ozčii U. U {: T U}.. U om lčj mož mri vrijblom čij podrčj čii l ili p vrmih fcij ojm pripd U. Mormo rzliovi podrčj od j. R [] od podrčj j. R []. Prvi j p brojv do j drgi p vrmih fcij p rzličio i ozčvj. R [] U i R [] U. Prpovimo d j i d < zči ogričj rih vrijdoi.

9 UVOD U SIGNALE I SUSTAVE 3 S drg r prpov d om irvl vrijdi d < povlj ogričj fcij. U prvom lčj R [] U F R do j R [] U. p vih fcij oj zdovoljvj prvo i drgo ogričj. Cijl fcij ozčv ili {} do j j vrijdo r. D bi ozčio gm ili odjč fcij irvl čo porbljv oz. { }..3 Irvl ziv irvlom promrj. O mož bii ovor zvor [ ] i polovor ] [. N primjr zdjmo vrmi igl oi T [ i podrčjm U F R gdj broj iz T irprirmo o broj di broj iz U o broj jdiic rih vrijdoi igl Voli Nwo mr di. U gorjm primjr o igl T mož j iz prbrojivog p F R p j o igl pri ili oiir. Sigli vom vrmom oi zivj vrmi prii ili vrmi oiiri igli. Kd j o igl T iz prbrojivog p r { } žmo d j o igl dir. Vrmi igl čij j o T prbrojiv p vrmih r T { } ziv vrmi dir igl Sl.. Vrmi rci mog pordi rći iz < < <. Uvli mo idcij lm p T T šo zči d mo vrm r pridržili p cijlih brojv Z. Niz vrmih r možmo dl prdvii fcijom : Z F R gdj j ili vrijdo iz cijlom broj Z oji zov id ili or iz. { K }; Z K Nizovi ozčvj ili {} Z ili { } Z gdj rci z oj j igl dfiir. Niz r { K} j fcij : Z T id šo m omogćj d r primo pro jihov vr vliči broj di go pro jihovog rdog broj ili or o j fcij odoo j blic poz. Bdći d vrijm pro r iz { } zim o rogo rći j. oj z oji vrijdi: > ϑ > ϑ

10 UVOD U SIGNALE I SUSTAVE 4 Njjdoviji i jdo primjm jvžiji j rimiči iz. { T T } { T T } T ili.3 Z gdj j T o v vrm p vrijdi: T Z. Dirizcij vrm j ovdj jdoli. T T 3T 4T Sl..3 Ao j vrm o igl oiirog i dirog drž očom irvl govorimo o očoj vrmoj oi. T [ ] FR Polboč vrm o omđ lijv: T [ ] FR ili ili K [ ] Z. K [ ] Z ziv "d" polboč vrm o i obro. Boč vrm o ij omđ Sl..4 T - FR ili K - Z. Kd j podrčj mplid igl U F R prbrojiv podp p rlih brojv F R d j podrčj mplid igl prio ili oiiro. Sigli vim podrčjm zivj vizirim ili logim. Kd j podrčj mplid igl iz prbrojivog p U { N } žmo d j podrčj igl diro. To j prbrojiv p mogćih mplid ili rih vrijdoi igl. U {......}. Idcijom lm U p U mi mo mplid igl pridržili p cijlih brojv Z. Niz mplidih ivo možmo dl prdvii fcijom : Z U

11 UVOD U SIGNALE I SUSTAVE 5 gdj j mogć vrijdo mplid ozč cijlim brojm Z oji zov id ili or mplid. Niz mogćih mplid j fcij id { N } Z N.3b omogćj d mplid viš primo pro jihov vr vliči go pro rdog broj ivo rvo o zmo vz izmđ mplidog ivo i jgovog rdog broj. Zbog jdozč i jdov vz izmđ mplidih ivo i broj id porbljv rogo rći iz z oji vrijdi > ν > Njjdoviji i jdo primjm jvžiji iz j rimiči iz. ν {...-Q - Q Q...} ili {...-Q - Q Q... }.4 gdj j Q o v mplid ili vizciji irvl p vrijdi Q Z..5 4Q 3Q Q Q Sl..5 Sigl dirim mplidm ili rim vrijdoim ziv vizirim. Broj ozčv mplid p viziri igl mož prdvii fcijom :T N j. { T N} c gdj j T c F R oiir vrm o. Sigl im dirim rcim č od mogčih vrijdoi p j bolj pii { T } Vž lčj j d rci rimiči iz Sigl j o lici Sl..6. c. { K N}.

12 UVOD U SIGNALE I SUSTAVE Q 3Q Q Q T T 3T 4T 5T 6T 7T Sl..6 Njm j lič vrmi dir igl ljdćoj lici. Ovdj immo lčj vrmi dirog igl oji j vizir. Q Q Sl..7 Iz pozvj Q- iz.4 oji j d pr. brojm vol i T- iz.3 oji j d brojm di možmo zi v j vrmi diri i mplido viziri igl prdvlj izom { } K Z N Z Npr. { 7 3 } z Q 375V i T 7µ r vrijdo vizirog igl ri T izoi Q. Pozi vrmi diri i mplido diriziri igl lži o mod ojim možmo prii proc digilim lopovim. Dljji primjr j ficijo polovj gdj rčj brojvim ovčih jdiic provod rj og vrmog irvl dvo vrlo.... Oprcij igl Promj igl dogđj d igl prolzi roz mdij ili v. Rlizcijom pogodog v mog rformcij i modificij igl čiii vim d bd pogod z izdvjj odrđih iformcij oj igl oi ili prilgodii igl prijo roz odrđi mdij d bi iformcij mogl priji dlji. Vž oprcij jdom igl mog vri modificirj vrm i modificirj mplid oi igl. D oigr jdozčo pri modificirj oi ob mjr j. od r ov o i obro modificij rb provi fcijm oj imj ivrzij. To ć bii moooo rć ili pdjć fcij.

13 UVOD U SIGNALE I SUSTAVE 7.. Trformcij vrm oi igl Fcij τ:t T prliv r o T ov T. Tr lijdi iz τ i r vrijdo ovog igl j Nov fcij j ompozicij - τ T..6 oτ. Primjr lir rformcij vrm oi: τ / T τ T T. Immo primjr lir omprij ili zj > i pzij ili rzj < igl vrm. Pri om mož doći i do vrm ivrzij olio j <. Općio o j fcij τ moooo pdjć doći ć do vrm ivrzij. U općm lčj d j τ lir fcij immo lir omprij ili pzij vrm oi ili l.

14 UVOD U SIGNALE I SUSTAVE 8 h r h r > h r < Sl..8 Jdov li vž lčj j i vrm rlcij igl gdj j Vliči ϑ j o ϑ F R. Sigl τ ϑ T.7 ili τ ϑ T. ϑ T.8

15 UVOD U SIGNALE I SUSTAVE 9 ϑ < ϑ Sl..9 j vrmi pom p ri ili i z o zvio d li j ϑ> ili ϑ<. U općm lčj i o šjj ili rjj mož ođr bii fcij vrm. To j lčj vrm modlcij igl... Trformcij podrčj igl N j T o igl. Podrčj izvorog rog igl j U. :T U mož prlii ovo podrčj U fcijom ϕ:u U. Trformcij podrčj izvorog igl pro fcij ϕ rzlir ovom igl oji j dfiir ϕ T..9 Vrijdo j pridrž vrijdoi iom r. Trformcij podrčj j fcij od fcij odoo ompozicij ϕ o.. Priom fcij ϕ rb imi ivrzij o žlimo imi mogćo d iz ovog igl poovo jdozčo odrdimo ri igl pr. [ ] 3 v 3 v v Sl.. ili [ ] [ ] v h Arh v.

16 UVOD U SIGNALE I SUSTAVE v Sl.. "Ogričvjć" fcij ϕ j dfiir ϕ < - - Sl.. Im ivrzij mo do j <. ϕ. Sv vrijdoi z > prlivj oč ϕ < oč ϕ. U v ri primjr imli mo lir rformcij podrčj igl. Primjr lir rformcij podrčj j: v. To j lčj možj igl oom. Z > igl j liro pojč ili < olblj. Z lčj d j < žmo d j igl ivrir..3 Prlivj igl U ložij oprcij igl pd prlivj igl. Prlivj mož bii ro d id pro obič fcij f oj roj vrijdoi igl jdozčo pridržj vrijdo rzlirjćg igl v r o mo o pozli od rformcij podrčj igl broj pridržj broj. v f v f U v V. Još ložij prlivj igl j d fcij ili opror igl pridržj igl odoo d fcij cjlii ili gm prliv fcij. v F U v V.

17 UVOD U SIGNALE I SUSTAVE Sl..3 Primjr ovvog prlivj j igrirj. Ao fcij ili opror F igl dfiirom irvl [ ] pridržj igl v iz irvl [ ] mož pii v F [ ] [ ] Sl..4 Pri om r vrijdo v gdj j [ ] zvii od igl iz cijlog irvl odoo vih rih vrijdoi τ iz og irvl τ [ ]. Izrz z r vrijdo mož pii v F [ ] gdj j F fciol oji fciji [ ] pridržj broj v. Pobic zimljiv dvij mogćoi: i d v zvii iljčivo od gm prij r v F m ii iljčivo od gm polij r v. F p Njčšć o gmi igl polbočim vrmim oim i v Fm ii v Fp.3.4 gdj prvi fciol F m mož mri mmorijim jr v r vrijdoi igl τ iz irvl τ odoo cijl "prošlo" odrđj r vrijdo v.

18 UVOD U SIGNALE I SUSTAVE Tr zimmo o r promrj odoo "dšjo". T oprcij rd vi p zo zivj mmoriji. - Sl..5 Drgi fciol F p mož zvi prdiivim jr j r vrijdo igl v odrđ vim rim vrijdoim τ iz irvl τ dl gmom igl iz cijl "bdćoi". Gric izmđ "mmorijog" i "prdiivog" prlivj j ro prlivj od ojg j r vrijdo v odrđ iljčivo rom vrijdoi. v f..5 Tr vrijdo d pridržj lijvoj ili doj vrmoj poloi p irvli.3 i.4 polzvori ] ili [. Opći lčj d j v odrđ pobdom iz irvl možmo zvi mmorijo-prdiivim ili zlim prlivjm. U lčj lirog opror odoo prlivj z ojg vrijdi v F α β αf βf.6 r vrijdo v j odrđ lirim fciolom v h τ τ dτ ili v h τ τ dτ.7 o ć pozi rćm poglvlj gdj j h ozv ži ili Gr-ov fcij..4 Oprcij mđ iglim Djlovj viš igl oj dj jd rzlirjći igl mož opii običom fcijom v f 3.8 Sigl v mož dobii iz ompo i. U općm lčj o ć bii lir ombicij pr. [ ] v Mož bii i lir ombicij pr..

19 UVOD U SIGNALE I SUSTAVE 3 v α β..8 Čo fcij f dd rzložii jdov oprcij. Ao o mog dlj pojdovii zivmo ih lmrim. U lčj lir fcij f o prhodom primjr v dobiv možjm ompoi i žiim om α i β zbrjj. Ovdj immo lmr oprcij možj igl oom zbrjj "pojčih" ompoi. Ao o α i β govorimo o zbrjj igl. v v..9 Drg vž lmr oprcij mđ iglim j možj igl. Primjr: v v.. ω co ; A v A α co ω. Ovj obli mož irpriri o ii igl čij mplid mijj pocijlo. Amplid o prmr iog igl j ovdj vrm fcij. Ao i prmr igl mijj ld om vrmom fcijom ili iglom ž d j izvori igl modlir. Tvi igli porbljvj omicijm omici i mjrj. Izvori igl običo ziv oiocm oj oji djlj prmr iglom modlcij ili iformcij. U dšjoj hici pobic omicijm oilc j rdovio ii igl ili pli iz čiji prmri mog modliri vrmoj ili mplidoj oi. Ao fcij f rb prdvii očim brojm lmrih oprcij jd od či j d o prdvi Tlorovim rdom viš vrijbli li očim brojm člov rd drgo poglvlj. Prlivj viš igl 3 jd rzlirjći v mož bii ložij o. j. prlivj fcij fcij ili gm igl gm α v F.... gdj opror F mož bii vrlo lož. Bi j lificij opror lir ili lir. Ao j opror F lir.8 bi ć mogć odrdii rzlirjći igl v o lir ombicij zvio rformirih igl i šo mož zčjo pojdovii dobivj odziv v.

20 UVOD U SIGNALE I SUSTAVE 4.5 Rli i pri obji Oov vrh orij v j d omogći liičim i mričim modm odrđivj vojv dih v ili iz rlih v ržih vojv. Io j oovi obj ili v ovdj rl obj ili v jčšć fizili ojm pridrži ribi mjrljiv vliči rlvi z jgovo vldj odrđoj primji liz i iz v vršimo mmičim popcim rdći mmičim modlom v. Rlvi ribi ovdj pojvljj o vrijbl prmri i rlcij mđ jim. U oriji dl rdimo prim objim ojg čii p ih vliči-vrijbli i p rlcij mđ jim. Uzmimo d j obj rrizir pom lgbrih rlcij mđ vrijblm 3 : R 3 R 3 R. 3 3 Kd vrijbl mijjj vrmom p rlcij mož pr. bii v običih difrcijlih jddžbi jd zvi vrijbl. d d d 33 d d d 3 3 d d d v d d d 3. Nzivmo ih difrcijli vi ili vi zbijim prmrim. Privo proorih oordi o zviih vrijbli di ć prcijl difrcijl jddžb. Tv v zivmo vim rpodijljim prmrim. Ao rlcij oj rrizirj i obj bz pob pcificij oj vrijbl prdvlj zro proc oj poljdic odoo "pobd" v i jgov "odziv" govorimo o orijirom obj. Ao vrijbl mog podijlii "lz" i "izlz" d govorimo o orijirom obj d j podjl proizvolj i m implicij fizil zlo izmđ lz i izlz. Primjr z orijiri obj j lriči opor gdj vrijbl po i rj. Možmo zi po o zro rj o poljdic ili p rj o zro po o poljdic. Primjr orijirog obj j lroičo pojčlo od ojg možmo idificiri lz i izlz vrijbl. Ulz vrijbl ovdj možmo zi o izlz.

21 UVOD U SIGNALE I SUSTAVE 5 U rlom obj mjrljiv vliči izbr o vrijbl jihovi odoi odrđi idcijom primlo ili ddcijom iz prirodih zo lž lzoizlzom rlcijom. Apri obj oji im i vrijbl i rrizir j iom izlzolzom rlcijom o i rli obj ziv modlom rlog obj. S drg r rli obj ziv jdom rlizcijom prog obj. Apri obj im mož imi ijd jd ili viš rlizcij. D bi dfiirli pri obj zmimo d j rđi pr vrmih fcij dfiirih irvl [ ]. Apri obj S dfiirmo o p rđih prov vrijbli odoo rlcij oj vzj lobod vrijbl i zvi : S { U Y}.. Ko proci v rdovio vrm i/ili proor vrijbl v fcij zvi vrijbl T gdj j T rđi p ili podp rlih brojv T F R. Vrijbl i bilo v fcij vrm go lmi p prihvljivih fcij. U { : T U} i { : T Y} Y.3 oj vom T pridržj r vrijdo lz U i izlz Y. Spovi rih vrijdoi U i Y rdovio povi rlih brojv ili vori proori U FR m Y FR r. Sv j dl rrizir rlcijom S oj pridržj fciji lz ili pobdi fcij izlz ili odziv. Apri obj S j dl odrđ vpošć lzoizlzih prov oji pripdj S-. Ao j obj S iz. modl rlog v žmo d j S lzo-izlzi modl v. Rlcij S prpovlj općio jdozč vz izmđ pobd i odziv v. Kd j vz jdozč v mož prizi F gdj j F fcij opror ili rformcij fcij pobd. U om lčj v vrši oprcij igl odoo prlivj lz fcij izlz. Pri om či oji j izlz odrđ pobdom j vrlo zčj z lificij v. Bi log igr iz ojg vrmog irvl pobd odrđj broj j. r vrijdo izlz o šo j pomo od prlivj igl.3 i.4. Možmo rzliovi: i Bzmmorij ili r v z oj vrijdi f. Tr vrijdo izlz j odrđ jdio rom vrijdošć lz. Ao izlz zvii pordo od r vrm mo pordo pro oj j fcij vrm zgrdi immo. ii Mmorij ili zl v z oj vrijdi F ].

22 UVOD U SIGNALE I SUSTAVE 6 Tr vrijdo izlz iz v r zvii od pobd prij r i pobd r od pobd iz r. Prvo dolzi zro p od poljdic. "Prošlo" i "dšjo" pobd odrđj "dšjo" izlz. To j vojvo rlih v. Primjr lirog v: h τ τ dτ iii Prdiiv ili izl ili icipiv z oj vrijdi F [ gdj j izlz odrđ dšjom i bdćom pobdom li prošlom šo prdvlj prdviđj ili prdicij. Primjr: h τ τ dτ iv Mmorijo-prdiiv ili zl v z oji vrijdi F Primjr: h τ τ dτ Vrmi zli vi čo dobivj o rzl iz idlizirih zhjv iz ili opimizcij. Nzli vi ovrivi mo gdj vrijdoi vrijbli zvi od proorih oordi ili pohrji prooro rporđ locij. Oprcij d vrš izmđ i rdći izv rlog vrm šo čo rd digil rčl..6 Bloovi dijgrmi i pjj podv v Orijiri pri obj ili v prdvlj grfiči obli prvoi ozčim lzim i izlzim vrijblm. F [ ] [ ] F 3 4 Sl..6 Sv lr vrijbl j pridrž priljčici rmil. Sv viš lz i izlz mož jdovo rzložii viš v viš lz li mo po jdim izlzom Sl..7. Prm om iš gbi od općioi o i podv rdcirmo obj jdim izlzom i viš lz. Spjj vlj ogričj pojdi vrijbl d bd jd priljčicm oj vz šo mož izrći jddžbm pjj.

23 UVOD U SIGNALE I SUSTAVE 7 G 3 G G 3 3 Sl..7 Dv i viš obj ili podv mog pojii o d zjdo či jd loži v dl op v ld prijd dom dfiicijom. Svi od ojih j vlj loži v zov podvi. Uzmimo d dv v S i S oji imj lz { i i m } i { j j m } izlz { r } i { l l r }. Dv v S i S poj o j brm jd vrijbl i lz v S izjdč jdom vrijblom izlz v S z vi j. i l r i [ m ] i l [ ].4 ili j [ m ] i [ ]..4b j r U općm lčj pjj podv i S i S loži v S rbj bii odrđi lzi { m} i izlzi { p p r} S- lzim odoo izlzim podv o pojdii lzi i izlzi podv poji. To izrič jddžb pjj. N dv v S i S d F F. Uzmimo primjr d j m m 3 r r 3 m i r 3 j. F F F 3 F 3 3 F3 3 Jddžb pjj mog bii primjr Ulzi S Ulzi S 3 z T Vrijbl ložog v S d primjr jddžbm: Ulzi S Izlzi S 3 3 z T

24 UVOD U SIGNALE I SUSTAVE 8 3 Spojo v S i S mož grfiči prizi vim o bloovim. Izjdč vrijbl priz crom oj pozj povzo pojdiih lz S i S izlzim S i S odoo lzim v S i pojdiih izlz S i S izlzim v S čići o blo dijgrm. N lici j priz dijgrm v S prm gorjm primjr jddžbi pjj. 3 S S 3 S 3 Sl..8 Bloovi dijgrm odgovrjćim pjjim j vrlo prgld či pozivj ircij vrijbli podv. Pri pjj v odoo izjdčvj pojdiih vrijbli pooj rricij. Obzirom d ocp v lz vrijbl lobod izlz zvi od jih lz vrijbl bilo oj vrijdoi U ili fcij U mog izjdčii bilo ojom lzom vrijblom ložog v. Ulz vrijbl pr. podv S gžir prdjm pop mož izjdčii bilo ojom izlzom vrijblom pr. v S. Bdći d pojdii izlzi podv diiri mo jihovim lzim izlz vrijbl mog izjdčvi mđobo. Sv izlz vrijbl podv mog bii izlz vrijbl ložog v li mor bii brm jd izlz v S. Ogričj izjdčvj vrijbli podv mog izrći pom prvil pjj oj vrijd z bloov dijgrm. Sp ih prvil j:. Izlzi iz bloov pjj mđobo.. Svi lz blo pj izlz og blo ili j lz poji loži v. Svi lzi podv gžiri. 3. Izlz blo mož bii izlz ložog v. Njmj jd izlz podv j izlz pojog v. Nvdi primjr pjj S i S loži v S lijdi prvil pjj. Složim vom S d F...5 F F5...5

25 UVOD U SIGNALE I SUSTAVE 9 mož vjo mri v vlj od S i S gdj vrijbl S d : Ulzi S Izlzi iz S N mlj ovih jddžbi bloovi dijgrm j S S S Sl..9 U ovom lčj lzi djlj izlz d lzi jč izlz i. Prizi v S lož j od dv v S i S oji i mđobo poji mil rij dfiicij pojih v. Kžmo d j v S lož od dv zvi podv. Slgj ili iz v ompliji v vrš rdovio mjrom d iz jdovijih podv dobij loži v zdih ili žljih vojv oj mć primj. S drg r obri pop rzlgj ili liz ložog v jdovij podv vrši mjrom d dobij dobr vid vldj v i jcj pojdiih podv d omogći jgov rlizcij jdovijim podvim. Z rzlgj mđim morj pooji vji vivlcij j. fcij izmđ izlz i lz ložog v mor bii ov d dopš jo rzlgj ombicij fcij oj vod jdovij fcij izmđ izlz i lz podv. Tj pop dobivj olio jdovijih podv ij vij jdozč. Rzlgj v zo mož rzliri rzličiom po broj i ip podv i rzmljivo či o podvi poji. Vlii broj vrijbli i ložo fcij v rži dljij rzlgj ložog v vći broj mđobo vzih jdovijih podv. T prdvljj mog mljii pop vođj fcijih vz izmđ viš vrijbli viš podv oji oigrvj fcij vz izmđ mjg broj vrijbli ili č izmđ mo dvij vrijbl jd lz i jd izlz.

26 UVOD U SIGNALE I SUSTAVE Drg mogćo rzlgj ovr pop d jd blo ložom fcijom rzloži vivli p povzih bloov jdovijim fcijm ili po mogćoi lmrim oprcijm o šo zbrjj i možj igrcij ili jdovo šjj igl dl oprcij oj mog čiii jdovijim. Ovi poljdji obji običo zivj lmim. Opii pop j liz ili dompozicij-rzlgj omplog v jdovij podv ili lm. Elmi imj rdovio jdov rlizcij p mog ioriii o grđvi bloovi z lgj fizilo-ovrivih v. Siz ili ompozicij j lgj podv ili lm rr d bi dobio v zdih vojv. U ob lčj rdi o p podv ili lm oji mđobo poji v v rr. Kvi lmi zi i o pjj rr odrdi ć l v.

27 . KONTINUIRANI SUSTAVI BEZ MEMORIJE Modli v bz mmorij pri vi čiji izlzi igl bilo ojm r zvii jdio od vrijdoi lzog igl r. U ovom dijl ocrir ćmo v oji opii oiirim rlim fcijm ili rlcijm. Mi ćmo jd vr modl oiirih v bz mmorij dfiiri lom blo dijgrm. Elmi v fciji bloovi. Svi blo j opi po odjčcim priom fcijom f. ili f... oj j oč z oč rgm. Svi fciji blo im jd izlz oji im rl vrijdo i jd ili viš lz i oji imj rl vrijdo. f... m i FR 3 f... Sl... Fciji blo jdim lzom i jdim izlzom Ao z obj jdim lzom i jdim izlzom vrijdi z vi f. gdj j f fcij oj pridržj vrijdo izlz vrijbl r vrijdoi lz vrijbl r žmo d j f bzmmoriji lm zv. fciji blo. Fcij vz izmđ lz i izlz blo jdim lzom i jdim izlzom mož di rivljom rvii oj ziv rriiom blo ili lm. To ovr mogćoi porb grfičih pop odrđivj rrii ložih v. Sl.. Sl..b Fcij vz mož di i izom dirih vrijdoi ili obli blic. Fcij vz prpovlj jdozč vz izmđ zvi i zvi j. voj rloj vrijdoi - pridrž j jd vrijdo -. Ko pozj rrii Sl.. i b z v vrijdo - oi odgovr mo jd i mo jd mogć

28 KONTINUIRANI SUSTAVI BEZ MEMORIJE vrijdo z. Fciji blo j v d -om možmo jdozčo odrdii. O j dl prvlj od r lz jgov izlz dj zvi vrijbl. Io mož govorii općio o implicioj fciji Φ i ivrzoj fciji f rriici o gomrijoj irprciji Φ ip od fcijog blo lz i lz vrijbl mr lobodom izlz zviom. Dvij rrii Sl... i b rzlij. Prv j moooo rć jr joj rmii d d > > mijj polri do drg o ij d d <. Mooo fcij imj ivrzij. Njihov ivrzij ođr j fcij. Ivrzij fcij Sl..b im z jd izbri om irvl vrijbl i ri rzliči -. Nij dl fcij go rlcij. Nd vz zivl višzčom fcijom. Sl..3. Sl..4b Sl..3 Sl..4 Ao f im odjč prll oi d ivrzij ij jdozč jr d prllom dijl jdoj vrijdoi z pripd bočo vrijdoi -. Sl..4. i b. Prgld ipičih rrii lm odoo fcijih bloov lroici i omici j ljdćoj blici.

29 KONTINUIRANI SUSTAVI BEZ MEMORIJE 3 SKOKOVITE I LOMLJENE KARAKTERISTIKE NAZIV SIMBOL FUNKCIJA GRAF Pojčlo Limir < < < > Kompror jd rzi > g < - Prg > < Apol vrijdo Prg zićjm < < < > Mrv zo < < < > - Mrv zo zićjm M M < m m < < < < < < m > m -m M - -M m Kompror dvij rzi < < < > - -

30 KONTINUIRANI SUSTAVI BEZ MEMORIJE 4 NAZIV SIMBOL FUNKCIJA GRAF Kvizor A/D ov. mq mq mq<<mq mq<<mq Q q Spič lir fcij mq mq m < <mq mq<<m q Q q Spič lir fcij Q q < < q Q q GLATKE KARAKTERISTIKE NEPREKINUTE DERIVACIJE NAZIV SIMBOL FUNKCIJA GRAF Simrič lir fcij h h Aimrič lir fcij - Prbol Npr prbol < > Pr prbol višg rd

31 KONTINUIRANI SUSTAVI BEZ MEMORIJE 5 NAZIV SIMBOL FUNKCIJA GRAF Npr prbol rd višg Prbol 3.rd prvc g. gib 3-3 Bipolri ompror h h Bipolri dompror Arh Arh TIPIČNI RELACIJSKI BLOKOVI VIŠEZNAČNE FUNKCIJE NAZIV SIMBOL FUNKCIJA GRAF Kompror hirzom Kompror dvij rzi hirzom

32 KONTINUIRANI SUSTAVI BEZ MEMORIJE 6 NAZIV SIMBOL FUNKCIJA GRAF Ivrz fcij f f Horizol prbol

33 KONTINUIRANI SUSTAVI BEZ MEMORIJE 7. Fciji blo viš lz Fciji blo dvij lz vrijbl v mož prdvii gomrijom plohom proor v. Sl..5. i b. v v Sl..5 Sl..5b Čšć mđim porbljv prdvljj rrii pom rivlj rvii fv gdj oiiro dj vz od z olio izo v- o prmr ili obro. Krrii lroičih lm. Z liič pop modlirj rrii lm porbljvmo lmr fcij jčšć poliom i rcd fcij. Tođr porbljvj grfiči prizi i blic mričih pod. Z rl rrii lm čo porbljvj i grblj proimcij o primjr lir ili prbolič fcij po odjčcim rrii. Nd fciji blo mož prizi jdovijim lmim mrim zbrjlim i mlipliorim možilim oji vrš oprcij mirj odoo mliplicirj igl. Z igl izlz iz mr r vrijdi:.. 3 Σ 3 Sl..6 3 Z igl izlz iz mliplior r vrijdi:..3 3

34 KONTINUIRANI SUSTAVI BEZ MEMORIJE 8 Π 3 Sl..7 3 Mliplicij oom vrši lm zv pojčlo. Izlz iz pojčl r d j..4 Sl..8 Spjjm gorjim lm mož fciji blo gdj j fcij poliom K.5 prdvii očim brojm mr i mliplior. Rzmljivo j d lčj rcd fcij j broj lm ži bočo. Trcd fcij mđim mož proimiri očim brojm oprcij odoo lm. Fciji blo mož bii i vrmi promjljivi lm. Korići šo ložijim lmim i pomoćim iglim mož rliziri vrmi promjljivi lm gdj j j loži lm vrmi l pomoći igl vrši žlj vrijcij fcij ili prmr. Primjr: 3 3 Sl..9 Kocp fcijog blo jdim lzom i jdim izlzom mož proširii blo viš lz i izlz i obro.

35 KONTINUIRANI SUSTAVI BEZ MEMORIJE 9 f 3 4 Sl...3 Spjj fcijih bloov v Sp prvil pjj lm ili fcijih bloov j o lijdi:. Izlzi dv blo pjj.. Svi lz blo pj izlz og blo ili j lz poji v. 3. Smo jd izlz blo j izlz pojog v. Svi oli izlzi morj bii poji lz ih bloov. Rzlirjći v ć bii op v viš lz i jdim izlzom. Mmič irprcij pjj: d god priljčic bloov propoj vrijbl priljčicm vz priilj d imj i vrijdoi. Vodći rč o p lm i p prvil pjj oj mog izrći pom jddžbi pjj mi možmo ovii d li i v pd rzmr l. Svi blo dj vrijdo izlz zvioi od jgovih lz. Uzmimo dv blo: z f i gvw. N propoji prm lici: f z v w 3 g Sl.. odl lijd odrđ jdoi: v z i w jddžb pjj. Prv jddžb ž d j izlz iz blo poj prvim lzom blo g šo zči d izlz iz f djlj o lz g. Jddžb mog bii lož o d dobij izlz o fcij od lz poji v. Elimicijom vrijbli z v i w dobivmo g f..6 Z zdi mož odrdii bdći d zmo fcij f i g pro jddžbi pjj ob rgm fcij g. Ao j primjr g vw v w f izlzi v w z 3 h Sl..

36 KONTINUIRANI SUSTAVI BEZ MEMORIJE 3 Mi mo dobili ov fcij h oj voj vrijdoi pridržj. To zči d poji v možmo prizi jdim fcijim bloom oji mož op bii mr lmom jdog vćg v. Možmo dfiiri i drg l v viš lz i izlz lgjm lm rij rzmr l jdim zjdičim lzom i izlzom o pr.. f g Sl..3 h g v h v v f f f Sv viš lz i izlz mož prdvii pom jddžbi i bloom f Sl f.7 f. 3 f 3 3 Uvođjm vor lz [ m ] i vor izlz [ r ]. Bzmmoriji v mož prizi gdj j f vor fcij. 4 f..8.4 Eplicii i implicii vi Svi bz mmorij mog podijlii dvij grp: plici i implici v. Z l v oj rzmrmo podjl mož izvršii prm om d li igl vom p roz v čii plj. Eplicii v m plji do implicii im jd ili viš. T podjl mogć j izvršii i mlj zv. li pjj. Mi možmo pjj v Sl..5 prizi liom f g Sl..5

37 KONTINUIRANI SUSTAVI BEZ MEMORIJE 3 g: f.9 f:. Svi fciji blo im jd rd lii gdj vdi lzi i fciji bloovi čiji izlzi prdvljj lz rzmri fciji blo. Izlz vrijbl ozč ozom fcijog blo. U šm primjr prvi rd ž d j prvi lz fcijog blo g poj izlz fcijog blo f drgi lz lz v. Kžmo d j li orir o rdci mog ložii o d vom r im fcij ili vrijbl do od dvooč možmo ći lijvo od dvooč gdj izd og r ili j lz v. Ko vidi gorj li ij orir jr prvom r pojvljj f d g ij bilo rij. Li ć poi orir o zmijimo r: f :. g: f. jr ovom lčj vo im do od dvooč pojvljj izd og r lijvo od dvooč. Drgim rijčim orir poj li lž fcij bloov j či d vi lz fciji blo j izlz iz og blo pcificirog rij ili j lz v. Nprvimo d li z blo dijgrm priz lijdćoj lici f f Sl..6 f : f ili f : f f : f f : f. Vidimo d bilo oji rdolijd rd mož ipii zhjv d j lz i fciji blo pcificir r izd rzmrog r. Ovv li mož oriri. To j poljdic čijic d blo dijgrm immo plj. U prvi blo lzi pozom vrijblom vć oj vri žlimo izrči ili pridržii oj vrijdoi -. U vri d bi izrčli vrijbl mormo izrči izlz iz blo f odoo blo f z o bi morli pozvi vrijbl. Zljčimo: Z rzmr l v dfiirmo plicii v o oj oji vij mož opii orirom pojom liom. Implicii v j oj oji mož opii orirom pojom liom. Implicii v blo dijgrm im jmj jd plj. To j v o ž povrom vzom. Gorj dfiicij mož proširii v viš izlz. U mlim vim lo vidi iz blo dijgrm d li i v im povr vz ili. Spoj li dj m či z ovljvj rdi li o pliciom v d j v vli gdj vizl ipcij mož dovi do pogršog zljč.

38 KONTINUIRANI SUSTAVI BEZ MEMORIJE 3.5 Formlcij i rjšj jddžbi v.5. Eplicii v Formlcij jddžbi jdog pliciog v j dir. Provodi mlj poj li ili blo dijgrm. Jdovo piš lzo-izlz jddžb z vi fciji blo rdolijd dom orirom pojom liom. Uzmimo primjr v Sl..7: f f f 3 v w Sl..7 [ ] { }. : : : f f f f w v f f f f v f w f f f v f. N mlj pozvj i mi možmo odrdii j. mi možmo odrdii h. Ao primjr:. 4 3 vw vw w v f v w v v f v f Z primjr: i izlzi v 4 w 5. U pliciom v rčj prm pojoj lii vij j lgo jr j li orir i vom or r mi rčmo vličim oj poz ili izrč prhodim orcim. To j či ojm mlj progrmi z rčlo z rčj izlz ovvih v. U pogodom jzi gorji problm rjšv :. zovi poprogrm z i pohri v. zovi poprogrm z v i pohri w 3. zovi poprogrm z vw i pohri. Progrmi z rčlo mog pii z vrlo vli i lož v ićm pjj do vi plicii. Rzmljivo j ij vij žo ii požljo ići roz poj li cilj formlcij jddžbi. O mog pii čo mo vidom blo dijgrm porbljvjći miiml broj vrijbli. Primjr: Mliplior prvlj bloovim z vdrirj

39 KONTINUIRANI SUSTAVI BEZ MEMORIJE 33. v / w Sl..8 Jddžb mog pii vidom blo dijgrm ovog pliciog v odl lijdi v w w v 4 [ ]. 4 Ovj v prdvlj rlizcij mliplior logom rčl. Njjdovij pjj bloov jdim lzom i jdim izlzom oj dj plici v pjj prlli log i d..5. Spjj prlli log Blo dijgrm Sl..9. f f f f f f f f f.3 f Sl..9 ziv prlli poj ili log v. Z vći broj v prllo ložih f f..4 Krrii prllog log dobiv zbrjjm rrii bloov. Ordi i rzlirjć rrii dobivj zbrjjm ordi rrii f i f z pogod broj pci i i. i

40 KONTINUIRANI SUSTAVI BEZ MEMORIJE 34 f f Sl.. Sl..b Odbijjm ordi mož dogodii rrii rzli o rži f f f..5.3 Spjj d Blo dijgrm Sl... f v f f v v f f f.5 Sl.. ziv dom v. Fcij d j fcij od fcij odoo ompozicij fcij f i f. f f o f..6 Z d vćim brojm bloov vrijdi f f f f o f f o f K f oko f. K Promj rdolijd bloov di dj drgčij fcij d. Krrii d dobiv grfičim popom o lici:.7 f v f f v f v Sl..

41 KONTINUIRANI SUSTAVI BEZ MEMORIJE 35 Prvr z 9 rrii f omogćj d iz pogodog broj lzih vliči i odrdi v i..5.4 Implicii vi Formlcij jddžbi jdog impliciog v dl vog oji im plj povr vz mož bii provd privrmim pridom plji povr vz d bi dobio plicii v. U dobiv jddžb pliciog v dodj jddžb oj izržvj zvrj plji. Uzmimo primjr Sl..3. v w f f f 3 Sl..3 Spoj li j: f : f f : f 3 f.8 f 3 : f. D bimo dobili plicii v priimo plj i ozčimo vrijbl priljčic. Shvimo priljčic o ov lz odoo izlz. q v w f f f 3 Q q Sl..4 Q Spoj li pliciog v ili v ovorim pljm j: f f f 3 : q : q : f f v w f q f q 3 f w v.9 gdj q i q mr o lzi v. Zvrj plji izrčo j dv lijdć popr vj: q w i q. Nporb vrijbl v i w mog limiiri o d izrz vrijbl povrih vz q i q. q q w q 3 f q f q f q q q f f q f Φ q q q 3 3 q Ψ. f q f Ψ λ. 3

42 KONTINUIRANI SUSTAVI BEZ MEMORIJE 36 Jddžb implici i dj vrijdoi vrijbli q i q zvioi od jih mih i lz v. Mi možmo izrči q do zmo q. Tj problm d mož rijšii liiči li rdovio dd rijšii mriči irivim popcim. Kod liičog pop d j lš izrzii lz o fcij izlz dl odrdii ivrz fcij. Irivi pop poč prpovljom vrijdoi q jddžbi i provodi or po or. [ f3 q f ] [ f q f q ] q f q q f 3. Z i izo vrijbl izrč proimcij q oj ć porijbii z rčj lijdć očij vrijdoi q id. Povljj pop vlj do jddžb ij zdovolj do žlj očoi. Njjdovij pjj bloov jdim lzom i jdim izlzom implicii v j pjj pr o lici v ± f f f v f ± v. Sl..5 To j v povrom vzom oj mož bii poziiv v ili giv v. Ulz mož izrzii v f m m f. šo prdvlj ivrz fcij v povrom vzom. Dobiv pop zbrjj odoo odzimj pci i i v i dobivih z olio izlzih vliči i odoo f ; f f m f.3 Ovdj prpovlj d v fcij ojim rdimo imj ivrzij. Grfiči popci rriim lši i d o ij lčj. Uzmimo primjr v rriim o Sl..6.

43 KONTINUIRANI SUSTAVI BEZ MEMORIJE 37 f v f Sl..6 Sl..6b Sv givom povrom vzom im ć rrii oj dobij iz f f. v f - f - f f Sl..7 Sl..7b Sl..7c Sv poziivom povrom vzom f f Sl..8 Sl..8b Do prvom lčj iz fcijih bloov dobio op fciji drgom lčj rzlirjći v j rlciji. Primjr: Sv povrom vzom z dobivj ivrz fcij.

44 KONTINUIRANI SUSTAVI BEZ MEMORIJE 38 v - f g f v g v Sl..9 Blo f j pojčlo vrlo vliog pojčj o d j jgov izlz proporciol lz do j o pojčj vrlo vlii rli broj. Blo g j rrizir fcijom v g oj im ivrzij g. Formlcij jddžb vodi g gdj mož izrzii plicio pomoć. g. Ko pojčlo im vlio pojčj >> dobi ćmo vrlo dobr proimcij odoo ivrz fcij g g. Ko pozlo primji jdovih v povrom vzom implicii vi morj bii fciji vi io bloovi fciji go mog bii i rlciji o d z jd vrijdo lz mož bii viš vrijdoi izlz ili p rlo rjšj možd i pooji. Ovo poljdj možmo dmoriri običim mrom povrom vzom Sl..3 Z rzličii od l m rjšj z j. m mogćg rlog izlz oim z d mož bii bilo oji. Krrii j -oi. Drgi lčj immo o prpovimo d blo f j lijdilo blo g vrši vdrirj g rijm primjr šo vodi jddžb. Ov jddžb zdovolj j z dvij vrijdoi z j. i. Krrii j prbol oj prijc ordi očm i i im jm /4/. Dv gorj primjr ilrirj dv oov pij poz o gzicij i jdozčo rjšj jddžbi. Vidimo d implicii vi grlo rriziri mmičim rlcijm i žo fcijm io vlji od fcijih bloov. Z prvi primjr immo d j v rrizir l rlcijom dl rlcijom oj m

45 KONTINUIRANI SUSTAVI BEZ MEMORIJE 39 lzo-izlzih prov do drgom primjr immo prov i šo zj d rdi o fcijoj vzi izmđ lz i izlz. Io od ovih bzmmorijih v možmo dobii j odgovor o vldj jihovo vldj d mmoriji mož bii vom ložo. Kod jdovih impliciih v ij žo ići roz cijl procdr pridj povrih vz i pij pojih li vć j mogć jddžb pii mlj vid blo dijgrm šo ć bii lčj od vliih v i pij progrm z rčlo..6 Rlizcij ih rrii 3 -V -V 3 -V 3 V V V 3 Sl..3 v l l - v v v 3 Sl..3 l l Ep 3 3 l - z >> /v z v > v 7 5 Sl..33

46 KONTINUIRANI SUSTAVI BEZ MEMORIJE 4.7 Evivlcij i proimcij v Dfiicij: Dv v vivl o z v mogć lz vrijdoi jihovi lzo-izlzi odoi idiči. Pojm vivlcij j zčj jr j lizi čo porbo pojdovii rr v bz promj lzo-izlzih odo v. Dfiicij: Dv v proimivo vivl o z v mogć idič lz imj proimivo jd izlz. Ov dfiicij j ompl do ij pcificir či z ipiivj d li dv izlz približo jd. Im mogo či z dfiicij proimivo jdih igl vi od jih prdoim i docim z odrđ primj. N primjr: Dv izlz i dv v mog mri približo jdim o j jvći izo polog izo odpj ε m m < ε md b mji od dozvoljog ε md. Drg mogćo rrizcij fiv grš j igrl vdr odpj ε f b [ ] d < ε b.4 mji od dozvoljog ε fd. Mj odpj ooliš jd oč prdvljj poliomom -og pj rzvojm Tlorov rd. δ [ ] δ δ δ δ K R.5!!!. Grš procjjj člom. Nvdi čii rrizcij grš porbljvj oriji proimcij i mog poopćii z vor fcij j. z bzmmorij v viš lz i izlz..8 Liro v Liri v bz mmorij j vrlo vž podp oiirih v bz mmorij oji zdovoljv vj liroi. Dfiicij: Sv jdim lzom i jdim izlzom j lir o zdovoljv vj f fd b f b f.6 z v rl vrijdoi b i. Tj vj j dovolj i ž. Drgim rijčim fciji blo vrši lir oprcij bz mmorij o j gorji vj zdovolj. Složi

47 KONTINUIRANI SUSTAVI BEZ MEMORIJE 4 v oji zdovoljv vj liroi mor žo bii vlj od lm ili podv oji liri. N primjr v Arh. h. Sl..34 j lir li bdći d jgovi lmi i ž d ij rro lir. Svi v oji j rro lir vi lmi liri lir j i oprciji. Sv dv lz i i izlzom f j lir o j f b b f bf z v rl vrijdoi b i. Lo vidi iz dfiicij d j lir v viš lz ođr lir obzirom vi pojdii lz d oli lzi jdi li. Obro mđim vrijdi općio jr mož pooji lir v z lz j do oli lzi i oim z i j li o mor bii z bilo oji j. Liri v f bz mmorij lzim do i izlzom mož vij bii rrizir lzo-izlzom rlcijom [ ii L ] M.7 gdj i rl o. Izlz lirog v lz do jd j mi izlz iz idičih v od ojih -i im lz v ol lz jd li. N primjr: f f f f. 3 3 Ao j v lz i m izlz rb m m vrijdoi oi z rrizcij vog v. M M L m L M M A. m m.9 Aproimcij lirog v lirim U lizi v vrlo j vž lčj proimcij lirog v lirim. Nlir fcij blo f rzvij Tlorov rd ooliš jd oč rd oč do grš mož ocijii drgom drivcijom o šo j pomo prij. f f f δ f f δ..8

48 KONTINUIRANI SUSTAVI BEZ MEMORIJE 4 f Sl..35 Od rd zdržv mo liri čl f' do o δ prdvlj odpj od liroi. Odpj čo prdvlj grfiči o fcij odpj lz ili odpj izlz. δ δ d d Sl..36 Iz dozvoljog odpj ć odrdii dozvolji prir lz d odoo dozvolji prir izlz d pri ojm v možmo mri lirim. T vliči rdovio ml prm prozj odoo zrivljoi rrii. Lir liz z zdovolj gorj vij ziv lizom z "mli igl". Aliz z "vlii igl" provodi d proci v iorišvj vlii dio rrii lirog blo ili lm. To j lir liz. Ol rrizcij odpj od liroi rliv pogrš liroi pol difrcijl pogrš liroi i rliv difrcijl pogrš liroi Ko difrcijl pogrš mož pii obli δ δr.9 ε d.3 d ε r d d..3

49 KONTINUIRANI SUSTAVI BEZ MEMORIJE 43 Igrcij po odoo dj p vrijdi vz izmđ pogrši d ε r &..3 d ε dξ ε δ r r d η.33 ε dη..34 r Apol grš mož dobii igrcijom difrcijl pogrš po izlz ili rliv difrcijl pogrš po lz..9. Ujcj povr vz liro Uzmimo o primjr lirog fcijog blo oji im ivrzij i formirjmo v povrom vzom dodim pojčlom oj ć povći pojčj plji povr vz. h h Sl..37 h Arh > Arh..35 Krrii v bz i povrom vzom priz Sl..38.

50 KONTINUIRANI SUSTAVI BEZ MEMORIJE 44 h Arh Arh Sl..38 Vidi d povr vz poprvlj liro r rpoloživih gric izlz. To mož vidji i iz izrz Arh. Z vć pojčj plji doprio lir ompo j mji prm om mj j i odpj od lir fcij. Poziiv povr vz Arh ć di Arh. Ovim dobiv modl ozvog Schmid-ovog bibilog lop lroici..9. Lirizcij fcijog blo viš lz i izlz Z liri fciji blo mož porijbii Tlorov rzvoj z v izlz o fcij viš vrijbli Rzvoj dj f K i K...36 i i m f i f i f i i fi K m K m človi višg rd..37 Ovo mož z v izlz pii pomoć Jcobijv mric m

51 KONTINUIRANI SUSTAVI BEZ MEMORIJE 45 f f f f f f f f f r m m r r m m M L M M L M..38 Zmrivjm viših člov v j ooliš oč f z ml odpj lir A..39

52 3. MODELI MEMORIJSKIH SUSTAVA 3. Sv očom irvl Kzli v bočom mmorijom j dfiir F ] pri om ] ljčj rivijli lčj d j ]. Sv dl ij bzmmoriji. Rl v primo ili promrmo rdovio očom irvl ojg ćmo zvi irvl promrj od do. O j ogrič počim rom i rjjim rom oji mož bii promjjiv d žlimo općio odrdii ili prdvidji vldj v vrm. Zim dl gm odziv gm pobd. ] ] o poljdic pobd ili Pobd oj č od mož podijlii dv gm i Sl. 3.. F ] ] > ] ]. 3. ] -T Sl. 3. Uzmimo o jdov primjr odziv vrmi log lirog v hτ h τ. O j d lirim prlivjm pobd: τ h τ dτ τ. Vldj vog v očom irvl ] mož iržii podjlom vrm igrcij ri irvl: ] ] oji dodirj. τ h τ dτ τ h τ dτ τ h τ dτ. Poljdji igrl j l o prpovimo zl v h τ z τ> do prvi igrl prdvlj odziv v pobdom prij. U irvl promrj ] j igrl dj odziv fcij g oj j poljdic pobd do r li ij poljdic pobd iz. Zči d r vrijdoi g z > zvi od rih

53 MODELI MEMORIJSKIH SUSTAVA 47 vrijdoi pobd τ z v τ> vć mo od prošlih vrijdoi pobd τ iz irvl τ - ]. Drgi igrl dj odziv oji j poljdic pobd iz irvl ]. Z g možmo rći d prdvlj proc v oji poljdic pohrj rgij mrij ili iformcij r v pobdom do r p mož pii o: τ h τ d g τ >. 3. Pri om g md j pri z v > ij poljdic pobd iz irvl ]. Bdći d zim gm odziv o poljdic gm pobd pogldjmo o ] ] zi obzir fcij g z >. Diirjmo ilriv primjr. R C v Uzmimo v od ojg j lzo-izlz rlcij obič difrcijl jddžb. Možmo zi lriči rg Sl. 3. i prii bijj odzor poim izvorom z RC. RC dv d v Sl. 3. Fcij h j d d h z > odziv pobd ć bii: v τ τ τ τ τ dτ τ dτ τ dτ τ dτ Odrđi igrl pobd iz ] dj i broj C p lijdi Prpovimo d zmo vrijdo v : v τ C τ dτ v C C v Uz pozi v dobi ćmo v jdozčo odrđ pobdom τ τ dτ > v v Vidimo d z > možmo odrdii ili prdvidji vldj v prći pobd iz irvl ] do prošl pobd možmo igoriri olio zmo j po odzor r. Ao j om o od j vim vžo vom pobdom iglo do og. ] 3.3 počog po v bi j mo jgov izo z dljj > vldj v. v j

54 MODELI MEMORIJSKIH SUSTAVA 48 vrlo zčj vliči i vz izmđ v i pobd promrom irvl ij jdozč do ij poz vliči v. O ziv počo j ovog v. Kod v opiih običim difrcijlim jddžbm rzl pobd iz irvl ] mož zi obzir jdim α ili viš brojv {α i }. Ti brojvi držvj iformcij o prošloi v o d z > vrijdi F F α 3.4 ] ] ] To j vojvo zlih v zbijim prmrim difrcijli vi. Izlz iz v r zvii od pobd irvl ] i j v r oj j j do brojm X F R. Sj j dl mliri f prošl pobd d brojm ili pom brojv. Z zl v opi običim difrcijlim jddžbm ć bii mogć oigri jdozč vz izmđ gm odziv i gm pobd ] ] vođjm jdog prmr ojim zim obzir prošl pobd iz irvl - ]. [ ] 3.5 ] F ] Ko šo lijdi iz prđšjg rzmrj općm lčj vom gm pobd ] odgovr viš izlzih gm. Svi pojdii gm pobd z p čii lzo-izlzi pr oji pripd S-. Jd či d jdivi pridrži voj pobdi oji zdvj vom pr jdog prmr ovog d j jdozčo odrđ i. To ć bii mogć z v zbijim prmrim o mo pozli šm primjr lirog v 3.3 gdj mož fcij g odrdii pozvjm broj v oji zovmo j v S v r. Sj v 3.3 pojvljj o prmr. Pop prmrizcij možmo ilriri lijdći či. Prpovimo d j v S prdvlj logom gdj voj rici immo pobd i odgovrjći odziv gdj pr fcij čii lzo-izlzi pr oji pripd S-. Bdći d im viš z jd prmrizcij mož hvii o ozčvj oih ric log ojim immo i pobd p izlzi d j jdozčo odrđ pobdom i prmrom-brojom ric p ric iim -om log. Eplici izrz z j v bilo ojm r mož ođr bii jdozčo odrđ počim jm i pobdom lz izlz i j 3.5. ] šo pricip mož bii izvdo iz rlcij Ao bimo rjo prili po odoo j pci šm primjr 3.3 mogli bimo bilo ojm r > zborvii proc rg z v <. Proc z > možmo prii orići pobd z > i j. Zo čo v i pri j p iz jg i pobd odrđj izlz iz v. Sv j opi općio dvij fcij ϕ i η.

55 MODELI MEMORIJSKIH SUSTAVA 49 [ ] ] ϕ > 3.5 [ ] η >. Kod zlog v pooji fcij ϕ oj iz počog r i j odjč pobd odjč ] ] i r T odrđj j v r j.. Ovdj fcij pridržj broj. Pooji i fcij η oj iz j i pobd r T odrđj izlz v r T. Ovdj brojvim i pridržj broj. Ovo opi v gdj domi log igr j v o jd ili p rjih vrijbli v zov modl vrijblm j ili modl j. Sp vrijbli { i i } čii j v o jihovo pozvj z T z pozvj odjč pobd z v r >. ] oigrv jdozčo odrđivj j i izlz Sv mož imi viš lzih { g } g m i izlzih { p } p r vrijbli šo z viš vrijbli j dfiir vor proor p vrijbl mog prdvii vorim lz j i izlz: FR m FR FR r. Sv om m mlirih f od prijšjih pobd opi j mo fcijom η [ ] η i čii l rih bzmmorijih ili ičih v. Uzvši obzir dom T i podrčj vrijbli v U X Y v mož orriziri omorom S {T U U Y Y X ϕ η} gdj T U U Y Y X rij di povi ϕ i η fcij. Zvio od pov i fcij ϕ i η mmičom modl v mož vri pojdi l oj modli odrđih rlih v. Torij vrši lificij v po podrčjim primj. Z vldj v vim j irlvo d li rdi o mijom biološom mhičom v vio možj brij obrdi igl govor ili lvizij li ili oomiji jd zmlj. Bi j mmič form modl v oji rzmr. O ć odrdii l v im i mod jgov liz i iz. Ovdj mo šći prpovili d obj ili v pozj lčjo vldj ohičo go j oo popo odrđo drmiiičo. Ao pogldmo omor možmo lificiri v lijdći či Vrmi oiir v Sv pd l v oiirim ili priim vrmom T F R o j vrm l oiir prbrojiv p vrmih r. Ao j fcij ϕ pri om još pri fcij vojih rgm žmo d j v gld. Kliči dimiči vi oji počli Nwoovom mhiom ovog ip i mog

56 MODELI MEMORIJSKIH SUSTAVA 5 prdvii difrcijlim jddžbm. Spovi rih vrijdoi ođr prbrojivi. Ao j ϕ pri fcij gričim prijlzom mož pozi d v v mož opii difrcijlom jddžbom & f 3.5b g gdj f i g obič fcij. U om lčj žmo d j obj ili v difrcijl i d m j jddžb j difrcijlom obli. Svi zbijim prmrim opii običim difrcijlim jddžbm domii dio dšj orij v. Nzivj difrcijlim vim. Opći obli jddžb j j d 3.5. Z v obli ž d j pliciom obli. Eplicii obli mož dobii iz 3.5b difrcijlog obli rjšjm difrcijl jddžb z. Mđim obli 3.5 ć vij bii mogć vii difrcijli. Modl difrcijlog v mož prdvii bloovim dijgrmom dv fcij blo: i g v f li još m rb blo oji povzj & i. To mož bii difrcijor ili igror j. lm oji obvlj oprcij difrcirj odoo igrirj. Ko popcim rlizcij ovih oprcij i općio v igror pozo pogodijim bloovim dijgrmim difrcijih v rdovio lzimo igror. Blo igror priz j Sl Sl. 3.3 τ dτ 3.6 Izlz iz igror r j odrđ igrlom pobd irvl ] i vliči oj j imo izlz r. Dl z odrđivj porbo j pozvj izlz om počom r i pozvj fcij pobd irvl ]. Čijic d izlz igror r zvii od fcij pobd irvl vrv igror mmorij lm. Igrcij j oprcij oj fciji pobd pridržj broj. j dl fciol od pobd ] ]. Tr mož imi izo. Ao m i izlz oj igror i d odl lijdi d j igror lm bočo dgom mmorijom. Bdći d rdovio pozjmo igl pobd od og r mi zmo v j pobd djlovl prij i šo j izzvlo izlz. Mđim o zmo pozvj ] pobd prij ij porbo jr j jdozčo odrđ i ]. Sv prošlo

57 MODELI MEMORIJSKIH SUSTAVA 5 igror drž j pod i j pod j dovolj d pri jgov dljj dbi. Tv pod ziv j igror. Sj og mmorijog lm j pod oji j porb d odrdi jgov izlz om r z djlovj poz pobd počvši od do. U prom modl j o vrijdo vrijbl r i ziv počo j. Ko j mđim izbor počog r proizvolj mi možmo bilo ojm r zborvii proc lm z < i pobd z < ovii j lm i z poz odrdii izlz. Prm om vrijdo vrijbl bilo ojm r j j lm. Ko j od igror jgov izlz j jdo i vrijbl čij j pozvj r dovoljo d odrdi izlz r jgov izlz j jgovo j. Uz vdi lm igror možmo cri blo dijgrm v. Zbog općioi ćmo prpovii d v im viš vrijbli lz j i izlz šo ozčvmo vorim i. Uv ćmo ođr vrijbl z priprm j v 3. Modli vrmi oiirih v 3.. Modl vrijblm j &. U om v možmo ovii d j porbo jmj -vrijbli j d popoi opišmo jgovo vldj. Z v v žmo d j -og rd. Ndlj v mož bii pobđ vrmi promjljivim vličim oj modl prdvlj m vrijbli... m. Smr ćmo d o ompo lzog vor [... m] Io o r izlzih vrijbli... r formirj izlzi vor [... r ] Ulzi i izlzi vor i fcij vrm. Tr vrijdoi ozčvj i šo zči vrijdo fcij odoo r. Ulzi i izlzi vori lz višdimziolom vorom proor. Sp vih mogćih vrijdoi oj vor mož imi r zov lzi proor do j izlzi proor p vih mogćih vrijdoi oj mož imi vor r. FR m FR r Ozčimo p vrijbli j... o vor j [... ] Proor j d dfiirmo o p vih mogćih vrijdoi oj vor mož imi r. FR Sj v j po dfiiciji jmji p brojv vrijbli j oji prdvljj dovolj iformcij o prošloi v d bi odrdilo bdć vldj v. Sj č j odrđo ]

58 MODELI MEMORIJSKIH SUSTAVA 5 ϕ 3.7 gdj j ϕ jdozč vor fcij vojih rgm. Izlzi vor zvii od j i lz g 3.8 odoo od počog j i odjč pobd ] iz irvl ] ] g 3.9 Urj rr modl vrmi oiirog v vrijblm j oji od dv podv: bzmmorijog i mmorijog. F v f g Sl. 3.4 Bzmmoriji v im dv p lz: lzi vor i vor j i dv p izlz: izlzi vor i vor v oji priprm j. Z bzmmoriji podv vrijdi d z bilo oji možmo iz rih vrijdoi i izrči r vrijdoi v i šo j izrčo izrzim v f g. Mmoriji podv F vzj dv p vrijbli: vor j vorom z priprm j v. Pri om v j lz izlz ovog podv. Vor j o izlz ovog mmorijog podv zvii od prošlih vrijdoi jgovog lz j. vrijdoi vτ gdj <τ. Im viš oprcij oj mog dfiiri mmoriji podv. Ovdj ć zi igrcij oj vodi opi v pom običih difrcijlih jddžbi dl: v τ dτ 3. Svi opii difrcijlim jddžbm zivj difrcijlim vim. Alrivi obli dobij drivirjm j: d v ; d 3.

59 MODELI MEMORIJSKIH SUSTAVA 53 Sj j počo j v. Vor priprm j j ovdj brzi promj j. Jddžb j dimičog v zbijim prmrim : & f 3. g 3.3 Sv opi difrcijlim jddžbm ziv oiirim. Iz gorjih jddžbi proizlzi d z do počo j i pobd τ pro irvl < τ < možmo:. odrdii j v rjšjm vor difrcijl jddžb j. odrdii izlz picijom j i pobd lgbr jddžb g D bi dobil fcij ϕ porbo j rijšii vor difrcijl jddžb. Rjšj opć difrcijl jddžb z poči vj poz z v iz irvl [ ] i iz iog irvl [ ] j rl vor fcij ϕ o zdovoljv ϕ z vi iz [ ]. Rjšj j fcij počog r počog j i pobd iz irvl ]. ] ϕ ϕ 3.4 Pri ržj rjšj liiči ili oiirom ili dirom imlcijom morj iržii dv bi vojv rjšj:. Koji vji oigrvj gzicij odoo poojj rjšj. D li primjr ϕ id bočo očom vrm.. Ao rjšj pooji d li j jdivo j. d li z d poč vj pooji viš rjšj ili mo jdo. Ob pij vž mmičog i ižjrog oviš. U om rlom v očjmo jdivo rjšj ili lčj d m rjšj. Mož mđim dogodii d jddžb v pozj gzicij i jdivo rjšj. Rzlog om mož bii čijic d j porijblji mmiči modl proimiv i d zmrj i dio proc. Nž vj dobrog modlirj v j d jddžb imj jdivo rjšj o g rli v im. Uvji gzicij i jdivoi rjšj difrcijlih jddžbi mog ći lirri [3]. 3.. Gomrij irprcij rjšj Rjšj vor bii odrđj oordi... o fcij vrm ϕ ϕ... ϕ. Z v prvog rd rjšj mož prdvii rivljom rvii o šo pozj Sl. 3.5.

60 MODELI MEMORIJSKIH SUSTAVA 54 Sl. 3.5 Z v drgog rd rb ć rodimzioli proor Sl Sl. 3.6 Sl. 3.7 Ao irprirmo fcij ϕ i ϕ o prmr jddžb jd rivlj rvii žmo d j rivlj rjorij rvii j Sl Prmr j vrijm. Vrmi rci prdvljj oč rjoriji oj opij vrh vor j. Sv rćg rd im ć rjorij rodimziolom proor Sl. 3.8.

61 MODELI MEMORIJSKIH SUSTAVA 55 3 Sl. 3.8 Ov gomrij irprcij možmo progi i višdimzioli proor io g j mogć prdvii Klificij v Prvi či oji mć z lificij v j fcij v f. Dl oji či odrđj v odoo brzi promj j & v. Prio vrijbl zj d j v plici fcij vrm mo pordo pro i p o ozčvmo v oji j vrmi promjjiv. Vrmi promjjivi v d j & f 3.5 Ndlj o v ij pobđ z v jddžb j d 3..4 Ovori ili plicii v U jddžbi j mož imi obli oji dd oriri: & f ili & f & f zvio brzi rj j & od vrijbli j & f L & f L & f L & f K K m m 3 3 M m m 3.6 Td v možmo zvi ovorim pliciim odoo vom bz povrih vz. Rjšj p jddžbi mož dobii civom igrcijom jddžb iz jddžb počvši od o mo pobdim iglom p o ojoj j mo jd vrijbl j dobiv prhodom igrcijom id. očo doći do. Po obli fcij f možmo v lificiri liri i liri v. Ao j fcij v f lir j. o mož pii o lir ombicij vrijbli j i vrijbli pobd d j v lir proivom j lir. & A B 3.7