Prikaz sustava u prostoru stanja

Transcript

1 Prikaz sustava u prostoru stanja Prikaz sustava u prostoru stanja je jedan od načina prikaza matematičkog modela sustava (uz diferencijalnu jednadžbu, prijenosnu funkciju itd). Promatramo linearne sustave s vremenski nepromjenljivim, odnosno konstantnim koeficijentima. Linearna jednadžba znači da imamo linearnu kombinaciju ulaznih i izlaznih varijabli. Sustavi su n-tog reda, što znači da imaju n elemenata za pohranjivanje energije. Matematički model takvih sustava je linerna diferencijalna jednadžba n-tog reda.

2 Jedan od načina prikaza sustava n-tog reda je pomoću n diferencijalnih jednadžbi prvog reda. Broj varijabli stanja je određen redom sustava. Ovakav kompaktan zapis diferencijalnih jednadžbi prvog reda zgodan je za matrični način prikaza.

3 Kod linearnih sustava s više ulaza u više izlaza prethodni oblik zapisa se modificira na sljedeći način: Prethodne zapise za sustave s jednim ili više ulaza i izlaza možemo skraćeno prikazati u sljedećem obliku: gdje su: x vektor varijabli stanja u vektor ulaznih varijabli y vektor izlaznih varijabli A matrica stanja ili matrica sustava B ulazna matrica C izlazna matrica D matrica direktnog preslikavanja ulaza na izlaz

4 Varijable stanja određuju matricu A koja je dimenzija n x n. Matricu B je dimenzija n x p, gdje je p broj ulaza. Matrica C je dimenzija r x n, gdje je r broj izlaza. Matrica D je dimenzija r x p i određena je direktnim vezama između ulaza i izlaza. Moguće je više različitih prikaza istog sustava u prostoru stanja, ovisno o izboru varijabli stanja. Kako usporediti dva prikaza u prostoru stanja, odnosno dva skupa matrica A, B, C i D? Iz prostora stanja je potrebno prijeći u oblik prijenosne funkcije pa ih onda usporediti. Izlazi iz integratora su varijable stanja. Izlazi iz pojacala su linearno zavisni o varijablama stanja i kao takvi ne predstavljaju novu informaciju. U Matlabu postoji blok State Space.

5 Nelinearne sustave opisuju nelinearne diferencijalne jednadžbe n-tog reda. I ove jednadžbe možemo prikazati pomoću n nelinearnih diferencijalnih jednadžbi prvog reda, odnosno u vektorskom obliku pomoću vektora derivacija varijabli stanja: Diferencijalne jednadžbe za sustave s jednim ulazom i jednim izlazom prikazivali smo grafički pomoću blokovskih shema i grafa toka signala. Slično, sustave opisane s n diferencijalnih jednadžbi prvog reda, možemo prikazati vektorskim blokovskim shemama:

6 Određivanje prikaza sustava u prostoru stanja Do opisa sustava u prostoru stanja može se doći iz: blokovske sheme diferencijalne jednadžbe ili prijenosne funkcije (za sustave s jednim ulazom i jednim izlazom) diferencijalne jednadžbe ili prijenosnih funkcija (za sustave s više ulaza i više izlaza) U slučaju sustava s jednim ulazom i jednim izlazom koristi se direktna metoda transformacije. U slučaju sustava s više ulaza i više izlaza koristi se direktna metoda uz transformaciju u kanonički upravljivi oblik. Određivanje jednadžbi varijabli stanja iz diferencijalne jednadžbe sustava s jednim ulazom i jednim izlazom n-ta derivacija izlazne varijable se prikaže kao funkcija ostatka diferencijalne jednadžbe. Diferencijalna jednadžba n-tog reda zamjenjuje se s n diferencijalnih jednadžbi prvog reda na način kako slijedi:

7 U matričnom obliku gornji sustav se može prikazati na sljedeći način: Varijable stanja su izlazi iz integratora u blokovskoj shemi.

8 Određivanje jednadžbi varijabli stanja iz diferencijalne jednadžbe sustava s jednim ulazom i jednim izlazom koji sadrže polove i nule Prijenosnu funkciju prikazujemo kao umnožak dvije prijenosne funkcije, odnosno uvodimo novu varijablu. Izlazi iz integratora predstavljaju varijable stanja.

9 Zapis u matričnom obliku (matrica A je ostala ista, drugačiji elementi vektora B i C). Opis prijenosnom funkcijom iz opisa jednadžbama varijabli stanja Zapis u matričnom obliku možemo transformirati u donje Laplaceovo područje: I je jedinična matrica. Lijevo dijeljenje za odrediti vektor X.

10 Slijedi izraz za prijenosnu matricu: Primjer: Odrediti opis pomoću varijabli stanja u matričnom obliku istosmjernog elektromotora prikazanog blokovskom shemom na sljedećoj slici: Blok shemu transformiramo tako da prijenosnu funkciju prikažemo pomoću integratora.

11 U gornjoj shemi blokovi su: ω- brzina vrtnje motora I a - struje armature U a - napon armature M t - moment tereta M - moment motora Iz blokovske sheme odabiremo sljedeće varijable stanja: x = ω x = i a Koristeći prethodnu blokovsku shemu možemo napisati sljedeće diferencijalne jednadžbe:

12 Zapis prethodnih diferencijalnih jednadžbi u matričnom obliku. x i x - varijable stanja u a i m t - ulazne varijable ω - izlazna varijabla Zadatak: Potrebno je sustav opisan prijenosnom funkcijom prikazati u prostoru stanja. Prijenosna funkcija je: GS ( ) = S + 3S + S + S + Sustav ima nule i polove. Potrebno je prijenosnu funkciju rastaviti na umnožak dvije prijenosne funkcije: Y( S) = G( S) U( S) Y( S) = G ( S) Z( S) Z( S) = G ( S) U( S)

13 G ( S) = S + 3S + G ( S) = S + S + Slijedi da je: Z( S) = U( S) S + S + Prebacivanjem gornjeg izraza u vremensko područje dobije se: && z + z& + z = u && z = z& z+ u x = z x& = x = z& x& = && z && z = x& = z& z+ u x& = x x + u x& 0 x 0 = + u x& x

14 ( ) ( ) Y( S) = G S Z S ( ) Y( S) = S + 3S + Z( S) Prebacivanjem gornjeg izraza u vremensko područje dobije se: y() t = && z() t + 3 z& () t + z() t yt () = && z+ 3z& + z && z = x x + u z& = x z = x y = ( x x + u) + 3x + x y = 3x x + u x y = [ 3 ] + u x Provjera u Matlabu (iz opisa u prostoru stanja dobiti prijenosnu funkciju). 0 A = 0 B =

15 D = [ 3 ] C = [num, den]=sstf(a, B, C, D) num = 3 den = Zadatak: Sustav drugog reda je opisan prijenosnom funkcijom. Potrebno je prikazati ovaj sustav u prostoru stanja. GS ( ) = + as + as Y( S) GS ( ) = U( S) Prebacivanjem gornjeg izraza u vremensko područje dobije se: a&& y+ ay& + y = u a && y = u y& y a a a

16 Blokovska shema sustava Diferencijalni jednadžbu drugog reda prikazat ćemo s dvije diferencijalne jednadžbe prvog reda. Određujemo varijable stanja. x = y x& = x = y& a x& && y u x x = = a a a 0 0 x& x = + u x& a x a a a x y = [ 0] x

17 Opis prijenosnom funkcijom iz opisa jednadžbama varijabli stanja GS ( ) = CSI ( A) B S SI A = a S + a a ( SI A) = adjungirana _ matrica det [ ] ( SI A) = a S + a a S + S + S a a a a S + a GS ( ) = [ 0] B a S + S + S a a a a GS ( ) = [ 0] a S S + S + a a a GS ( ) = = a a S + S + a a a ( as + as + ) a GS ( ) = ( as + as+ )