Teme predavanja. Teorija signala. Motivacija za T-F analizu. Motivacija za T-F analizu. Grupno kašnjenje. Motivacija za T-F analizu

Transcript

1 Dr. sc. Dmir Sršić -7 Tm prdvnj Torij signl rof. dr. sc. Dmir Sršić hp://s.soi.fr.hr Moivcij vrmnso-frvncijs obrd STT ourirov rnsformcij n vrmnsom ovoru dfinicij, svojsv, primjri. Disrn STT, Gborov spnij dfinicij, svojsv. Moivcij T- nliu ourirov nli dj nm uvid u frvncijsi sdržj nliirnog signl. od pojmom frvncijsi sdržj podrumijvju s hrmonijs funcij. rmonijs funcij nisu loliirn u vrmnu. Sog rul nli nm splicinu vrmnsu dimniju. Moivcij T- nliu Signl promjnjivih svojsv: dv sinus. Vid s ili vrmnsi ili frvncijsi odnosi. 3 Moivcij T- nliu Vrmnsi odnosi su ugrđni u frvncijsu rrisiu, li nisu uvij splicino vidljivi. on mjr, oj s dobiv i fn rrisi j grupno šnjnj: j A ϕ T. dϕ, d Grupno šnjnj Grupno šnjnj im jsn smiso o s frvncijsi sdržj nliirnog signl dogđ u jdnoj vrmnsoj oči T. dϕ d r 5-5 phi ngivni ngib šnjnj r 6

2 Dr. sc. Dmir Sršić -7 Grupno šnjnj Grupno šnjnj nij dobr mjr o s idnični frvncijsi sdržj nliirnog signl dogđ u viš vrmnsih oč T. dϕ d r phi srdnji ngib Trnun frvncij Anlogn mjr omplsn signl u vrmnsoj domni j rnun frvncij: jφ dφ, f. d Njin j smiso ođr upin o u idničnoj vrmnsoj oči posoji viš od jdn frvncij u signlu r 7 8 Vrmnso frvncijs T- nli, f Žlimo vu rnsformciju d isovrmno opžmo vrmns i frvncijs odnos f T n vrmnsom ovoru - STT Umjso j g j g lolni nliirjući ovor žljnih svojsv u obj domn, pom. Rul: STT., g j Z rln g n rb onjugcij mi ćmo o u nsvu čso podrumijvi. d 9 STT, g Rul, očio: j im dimniju viš od dimnij signl, ovisi o odbrnom vrmnsom ovoru. uncij rlgnj čin nprbrojiv i rdundnn sup po i : { j g } d STT, rlučivos { j g } Uslijd ovor g, funcij rlgnj su loliirn u vrmnu i frvnciji. inj: gdj su cnri oncnrcij nrgij i oli j fivn širin funcij rlgnj u obj domn?

3 Dr. sc. Dmir Sršić r r r r STT, srdiš oncnrcij Srdiš oncnrcij nrgij u vrmnsoj domni: c g g j d g j d g Z funciju g ončn nrgij supsiucijom dobivmo c g. Njčšći ibor j g simričn oo nul g, d j c. Srdiš oncnrcij j u popunosi odrđno vrmnsim pomom, v j linrn. d d 3 STT, srdiš oncnrcij U frvncijsoj domni on w immo: { j g j w } { G w } Srdiš oncnrcij u frvncijsoj domni j: w c wg G j w w j w w dw dw wg G w w dw w G. dw Njčšći ibor j nisopojsni G w simričn oo nul w G, d j w c. V j linrn. STT, fivn širin Vrmns fivn širin: j g d g Δ g j d g rvncijs fivn širin: Δ f j w w G w j w G w dw dw d d K Δ G Δ g 5 STT, rlučivos { j g } Cnri oncnrcij nrgij funcij rlgnj u obj domn su linrno ovisni o pomu i frvnciji. Efivn širin funcij rlgnj u obj domn j onsnn i dfinirn svojsvim vrmnsog ovor. Odnos širin dj princip nodrđnosi. 6 Ibor ovor rvouni u vrmnu rvouni u frvnciji Ibor ovor Idln lolicij u jdnoj domni urouj lošu loliciju u drugoj. Njmnji produ fivnih širin dj Gussov ovor r r

4 Dr. sc. Dmir Sršić -7 Rlučivos u T- rvnini Rlučivos u T- rvnini Srdiš lipsi prdsvljju cnr funcij rlgnj,, dimnij fivn širin. Svojsv, odnosno gomrij funcij rlgnj u Smnjnj fivn širin u jdnoj domni povćnj rolucij dovodi do povćnj u drugoj smnjnj rolucij. T- rvnini j onsnn. 9 Rlučivos u T- rvnini Dv sinus,, Smnjnj fivn širin u jdnoj domni povćnj rolucij dovodi do povćnj u drugoj smnjnj rolucij r 6 8 r Dv sinus, Gussov ovor Dv sinus, širi Gussov ovor Lijvo: mpliud, dsno f 3 Vć nodrđnos u vrmnu, mnj u frvnciji.

5 Dr. sc. Dmir Sršić -7 Dv sinus, uži Gussov ovor STT, invrn formul, g j d Anlogijom s ourirovim ingrlom, prposvimo d posoji invrn formul obli: j, h d d π C Vć nodrđnos u frvnciji, mnj u vrmnu. 5 gdj j h sd npon funcij, C npon onsn. 6 STT, invrn formul STT, invrn formul π C g, j d h romijnimo rdoslijd ingrcij: π C j d d j d g h d d 3 πδ Ingrl pro Dircov funcij lo rijšimo. 7 g h d C Očio, jdnos mor vžii: Dobr ibor: g h d C h g, g d g C. 8 STT, invrn formul STT rnsformcijsi pr j:, g j d, j, g π g d d; u jdini uvj d j ovor g ončn nrgij. Ao s g odbr v d mu j nrgij jdn, ir s pojdnosvljuj. 9 osup rčunnj STT A Ko ni ourirovih rnsformcij rliči vrmns pom :, j [ g ] d,, ourir[ g ]. [ ] [ ] [ 3 ] 3 3 5

6 Dr. sc. Dmir Sršić -7 osup rčunnj STT osup rčunnj STT B Ko slog filrcij rliči frvncijs pom :, Z vži:, j [ ] g d. g [ ] d. Dobivni ir prdsvlj onvolucijsi ingrl funcij i g. 3 Konvolucij i g odgovr filrirnju: Z immo:, j [ ] g [ ] d. G-w šo možmo prii o: j G-w,, Množnju s j odgovr pom u ourirovoj domni: w. 3 STT o slog filr Jdnosvnom supsiucijom frvncijsi pom signl možmo ndomjsii frvncijsim pomom filr. Končno, STT možmo rčuni slogom vidisnnih filr: j j G-w, G-w, G -w j, G -w, j Disricij STT j g d, Disricij uslđn s rlučivošću: m T; Ω. [ mt, Ω] g mt jω d 33 3 Disricij STT [ mt, Ω] g mt jω uncij rlgnj čin prbrojiv sup: Ω { } g m, mt g m, g disrni d jω mt { { disrni vrmnsi frvncijsi pom pom jdnoli vnicij T- rvnin 35 Disricij STT D li s i disrnog sup oficijn [m, ] mož rsuriri nliirni signl i o n numriči sbiln nčin? [ m, ], m g m Ronsrucijs invrn formul pon j pod nivom Gborov spnij signl. [m,] j mjr sdržj n lociji mt, Ω. Kd j moguć ronsrucij? 36 6

7 Dr. sc. Dmir Sršić -7 orbn svojsv orbn svojsv Signl ončn nrgij mor s prslii u spr ončn nrgij n nužno is. Enrgij signl: d Enrgij spr: m Uvj vodi n formulciju: m [ m, ] B [ m, ] d B j n poiivn onsn 37 Invrn rnsformcij mor spr ončn nrgij vrii u signl ončn nrgij. A Uvj vodi n formulciju: A d Ob uvj jdno: d m m < A B <. [ m, ] A j n poiivn onsn [ m, ] B d, 38 Dovoljn uvj Ronsrucij j moguć i o n numriči sbiln nčin o posoj dvij onsn A i B oj vrijdi: A [ ] { m, B { m, nrgij signl 3 nrgij signl nrgij oficijn < A B < Rlgnj mož bii i rdundnno ili nuniformno, onsn A i B dju nrgsi ovir rnsformcij ngl. frm. 39 Dovoljn uvj Ko u onrnom slučju Gborov spnij pronći dovoljvjuć funcij rlgnj { }? g m, Toriju ovir ng. frm hory slučj GE, odnosno disrn STT, iučvli su Wyl, isnbrg, Gbor i mnogi drugi. Jdn od vžnijih rul j orm oipvnj. Nužn uvj ronsrucij Tm prdvnj TΩ > π podoipvnj ronsrucij nij moguć. TΩ π grnični riični slučj moguć ronsrucij, n mogu s posići dobr svojsv lolicij u obj domn. TΩ < π ndoipvnj moguć ronsrucij, rdundnno rlgnj, mogu s posići dobr svojsv u obj domn. Moivcij njdnoliu rlučivos CWT Koninuirn wvl rnsformcij dfinicij, svojsv, primjri. DWT - Disrn wvl rnsformcij dfinicij, svojsv, DWT filrsi slog. 7

8 Dr. sc. Dmir Sršić -7 Moivcij njdnoliu rlučivos Koninuirn wvl rnsformcij Rlučivos rlgnj j od STT- odrđn svojsvim vrmnsog ovor. Odbrni ompromis uslijd princip nodrđnosi vrijdi cijlu T- rvninu. Čso jdn vrmns oč nliirnog signl im složn frvncijsi sdržj. Z v signl bi odgovrl nli oj nm onsnnu roluciju. U om slučju bi uupno odrđnj složnog signl moglo bii prcinij od odrđnj u jdnoj oči T- rvnin. 3 Umjso g ψ ψ lolni nliirjuć funcij žljnih svojsv u obj domn, pom, sl. Rul: CWT., ψ d j Z rln ψ n rb onjugcij mi ćmo o u nsvu čso podrumijvi. CWT, ψ d Rul, : im dimniju viš od dimnij signl, ovisi o odbrnom vliću ψ, funcij rlgnj nij ogrničn smo n omplsnu hrmonijsu funciju j, vlić ψ osigurv žljn svojsv rlgnj, nliirjuću funciju pomičmo, sžmo ili rsžmo slu i usporđujmo s, sl j vličin obrnuo proporcionln frvnciji. 5 CWT, rlučivos ψ Ovor ψ odrđuj loliciju u vrmnu i sli. inj: gdj su cnri oncnrcij nrgij i oli j fivn širin funcij rlgnj u obj domn? 6 CWT, srdiš oncnrcij Srdiš oncnrcij nrgij u vrmnsoj domni: sups. ψ d ψ d c d ψ d d ψ d ψ ψ d d ψ ψ d d ψ. 7 CWT, srdiš oncnrcij Končno, srdiš oncnrcij nrgij u vrmnsoj domni j:. ψ c Čs li n i jdini ibor j ψ simričn oo nul ψ, d j c. Srdiš oncnrcij j u popunosi odrđno vrmnsim pomom, v j linrn. 8 8

9 Dr. sc. Dmir Sršić r r CWT, srdiš oncnrcij U frvncijsoj domni immo: ψ Ψ c Ψ Ψ Ψ j j d d j { } Srdiš oncnrcij u frvncijsoj domni j: /. c V srdiš c i sl nij linrn! Ψ d Ψ. Ψ d 9 Δ CWT, fivn širin Vrmns fivn širin: Δ ψ ψ d d... Δψ rvncijs fivn širin: f Ψ Ψ Ψ j j d d Δ Ψ K Δ Δ f Δ ψ Δ Ψ 5 CWT, rlučivos c ψ, c Ψ. Δ Δ f Δ ψ, Δ Ψ Cnri oncnrcij nrgij funcij rlgnj u obj domn su linrno ovisni o pomu i nlinrno ovisni o sli. Efivn širin funcij rlgnj u obj domn j promjnjiv, li j produ širin onsnn i odrđn svojsvim ovor Ψ.. Δ Δ f cons. 5 Rlučivos u T- rvnini / Srdiš lipsi prdsvljju cnr funcij rlgnj, /, dimnij fivn širin. Svojsv, odnosno gomrij funcij rlgnj u T- rvnini j promjnjiv!! 5 Rlučivos: CWT i STT CWT STT rimjri wvl funcij Morl: ψ cos5. STT: onsnn rolucij n cijloj T- rvnini. CWT: finij rolucij u frvncijsoj domni N, finij rolucij u vrmnsoj domni V r

10 Dr. sc. Dmir Sršić r r Uspordb CWT-STT rimjri wvl funcij Sombrro: ψ C. / CWT Morl / STT Guss, rlni dio r 55 Širin ovor s mijnj, broj vlić isi. Širin ovor onsnn, broj vlić s mijnj. 56 Uspordb CWT-STT CWT n primjru Anliirni signl: dv sinus, Morlov wvl. ψ cos 5 /, CWT Morl STT Guss sl / Širin ovor s mijnj, produ Δ Δ f j onsnn. Širin ovor onsnn CWT n primjru CWT, invrn formul lolicij u frvnciji bolj N Vrlo prcin lolicij u vrmnu scls Absolu Vlus of C,b Cofficins for im or spc b 59 Anlogijom prposvimo d posoji invrn formul obli:, ψ d C, ψ d d gdj j C n npon onsn. 6

11 Dr. sc. Dmir Sršić -7 CWT, invrn formul CWT, invrn formul Ivod j sličn li složniji od STT-, p g ovdj n rproducirmo. ouj s d npon onsn inosi: Ψ C d Ψ j ourirov rnsformcij od ψ. Uvj prihvljivosi funcij ψ ujdno j i odrđn gornjim irom < C <. Lo s vidi d j ončn inos: Ψ C nužno d j Ψ. d Vlić n smij imi isosmjrnu omponnu, odnosno: ψ d. 6 6 CWT, rnsformcijsi pr osup rčunnj CWT Končno immo rnsformcijsi pr:, ψ d,, ; C ψ d d u < C < : Ψ C d, ψ d. 63 A U ourirovoj domni:, d, ψ j,, π Ψ d j, Ψ, π d Dobivni ir j ourir [Ψ]. 6 osup rčunnj CWT osup rčunnj CWT B Ko slog filrcij rliči sl :, ψ Z vži:, ψ d, [ ] d, Dobivni ir prdsvlj onvolucijsi ingrl funcij i ψ. 65 Konvolucij i ψ odgovr pojsnopropusnom filrirnju: Ψ-, Z immo:, d ψ Ψ-,, ojsnopropusni filr j promijnjn širin i srdišnj frvncij. 66

12 Dr. sc. Dmir Sršić -7 CWT o slog filr Disricij WT N j,,,... CWT možmo rčuni slogom njdnih filr: Ψ- Ψ-,, Ončimo srdiš pojs s c i fivnu širinu filr s Δ. Srdiš pojs j c /, fivn širin j Δ /. Ψ-, Srdiš pojs j c /, fivn širin j Δ /. 67, d, ψ Disricij uslđn s rlučivošću: mt j. mt - logrims podjl u sli frvnciji -pom uslđn s inosom sl 68 Disricij WT uncij rlgnj DWT [ m, ] ψ mt d ψ m, ψ mt njdnoli vnicij T- rvnin Uvj ronsrucij [ m, ] ψ m, m Ronsrucij j moguć i o n numriči sbiln nčin o posoj dvij onsn A i B oj vrijdi: A [ ] { m, B { m, nrgij signl 3 nrgij signl nrgij oficijn < A B < Kod DWT- n posoji vivln nužnog uvj TΩ π, oji j vrijdio Gborovu spniju Ovn DWT Kod wvl s lo mogu pronći orogonln b s dobrim loliirjućim svojsvim u obj domn šo nij bio slučj s Gborom. Z rliciju čs ibor j j. ovn podjl frvncijs sl. rdnos: mogućnos br rlicij filrsim slogovim. ψ m, ψ mt 7 Ovn DWT o slog filr onovno prižimo CWT filrsi slog. Ončimo,,, i oipmo uor rul. Zbrojn širin svih filr j > jdn j širini - og filr. { Ψ- Ψ- mτ, m T, Ψ- m T, roblm: N filri vrlo visoog rd! 7

13 Dr. sc. Dmir Sršić -7 Ovn DWT o slog filr ilrsi slog s dcimcijom Idj rurivnu rliciju [n] h [n] v L mτ, m T, L 3 m T, L 3 h [n] N prhodnom sljdu imli smo oninuirn filr. Ovdj immo slog disrnih filr s dcimcijom. Dcimcij s forom nči odbcivnj svog drugog uor. D li j popun ronsrucij moguć? D li j moguć ovv filrsi slog dovsi u vu s ovnom DWT? v Ksdno rliirni filri mogu bii nčjno nižg rd Dcimor [n] v[n] U vrmnsoj domni: v[n] [n]. Šo immo u frvncijsoj domni? Krirjmo i [n] pomoćni signl u[n] v d mu j svi drugi uor nul: [] n n prn, u[] n n nprn. 75 Spr dcimirnog signl u [] n [ n] n prn, n nprn. Spr vog signl j: U j [ n] n prn jn Žlimo pisi sumu po svim n. Isorisi ćmo činjnicu: j π n jn n prn j π n n nprn [n] 3 5 u[n] 3 5 n v[n] n n 76 Spr dcimirnog signl [] n n prn jn j π [] n [] n j n n Člnovi u nprn n s mđusobno doidju. j j j U [ ] π v[n] u[n]. Ko u[n] sdrži smo prn uor, spr vrijdi V U/: j j π j V n n 77 j b c d π π π π π π π π j b c d π π π π π π b j π π π π π π π j V b b c c d π π π π π π c Spr signl frvncijsi ogrničnog n ±π/. Spr dcimirnog signl. 78 3

14 Dr. sc. Dmir Sršić -7 Spr dcimirnog signl Dcimirni signl u Z domni D signl nij bio frvncijsi ogrničn n ±π/, dcimcij bi osim rsnj uroovl i prlpnj spr ng. lising. Idničnim posupom u mjnu j dobivmo sljdć v: jπ [ ] U [ ] j V b b c c d π π π π π π V V U, 79 8 Inrpolor Inrpolor [n] u[n] [n] u[n] U vrmnsoj domni: u u [ n] [ n], [ n ]. [n] n u[n] 3 5 n U frvncijsoj domni: U j jn u[ n] u[ n] j n [ n] j Rul j sisnui spr: j j, j n Nprni uorci su nul. U Z-domni: U U. 8 8 Inrpolor Dcimor inrpolor j [n] u[n] π π π π π π sli U j sli π π π π π π π π Spr inrpolirnog signl s suio, priod spr inrpolirnog signl j π n viš π! Immo pojvu ponvljjućih sli spr. 83 U vrmnsoj domni: Vć smo poli d j spr vog signl: j j j π U [ ], U [ ]. u [] n [] n [n] n prn, n nprn. 3 5 n u[n] 3 5 n 8

15 Dr. sc. Dmir Sršić ilrsi slog s dcimcijom i inrpolcijom r U U Y Y Idj: n s lising omponn omponn oj su posljdic dcimcij i inrpolcij mđusobno ponišvju. [ ] [ ] L 86 opun ronsrucij Uvj popun ronsrucij možmo rdvojii n dv dijl. rvi j: [ ] [ ] L L [ ] [ ] Alising omponn i dv filr morju bii isog inos i supronog prdn. Ndlj: 87 Uvji popun ronsrucij Uvj ronsrucij b iobličnj: L Uvj ponišnj lising: roblm j, nrvno, pronći čvoru filr žljnih frvncijsih rrisi oji popuno ili prosimivno dovoljvju ov dv uvj. 88 Uvji R u mričnoj formi Mric m niv s još i nliirjuć modulcijs mric. Ndopunimo li mricu još jdnim rom, u supsiuciju dobivmo još jdn poni obli R uvj u mričnoj formi. [ ] [ ] L m 3 89 Uvji R u mričnoj formi Mric m niv s još i siniirjuć modulcijs mric. Krć pisn uvj popun ronsrucij u orišnj modulcijsih mric i L glsi: L L m m 3 3 I m m Tv filrsi slog nivmo biorogonlnim. 9 opun ronsrucij u mričnoj formi Jdndžb filrsog slog iržn pomoću modulcijs mric: U U [ ] U U L r U U Y Y

16 Dr. sc. Dmir Sršić -7 Dijn filr Dijn filr: ponišnj lising Ko dijniri čvoru filr,,,? rijdlog: ponišnj lising odbri:, Očio, uvj ponišnj lising j dovoljn: Ko igld isi ibor u vrmnsoj domni? f, ; rposvimo d s rdi o filrim s ončnim impulsnim odivom. Nš ibor dj rjšnj s lrnirjućim prdncim impulsnog odiv: h h [ n] n n h [ ], f [] n h [ ]. n, b, c p, q, r, s, n p, -q, r, -s, f -, b, -c f 9 9 Dijn filr: ronsrucij b iobličnj Trb provjrii i uvj ronsrucij b iobličnj: L U svom od pribrojni jvlj s produ filr. Ončimo produ filr :,. j nisopropusni, visoopropusni produ filr. Dijn filr: ronsrucij b iobličnj U nš ibor vrijdi:, Uvj ronsrucij b iobličnj d glsi:. L Končno, rcp s ssoji od dv or: dijn N filr oji dovoljv gornji uvj, foricij u. Irčunvnj i Dijn N filr L,. Rd filr odrđuj sumu rdov filr i. Ao s rdi o IR filrim, dužin impulsnog odiv j dn sumom dužin i. osoj brojni nčini dijn. Uočimo vžno svojsvo : sv nprn poncij od imju oficijn jdn nuli, osim u L gdj j oficijn jdn jdn. 95 Dijn N filr Nprvi ćmo primjr. N j IR filr dužin p [ ] p [ ] p [ ] p [ 3] p [ ] p [ ] p [ ] p [ ] p [ ] p [ 3] p [ ] p [ ] L p [ ] p [ 3] p [ 5] U L3, slijdi: p [ ], p [ 3], p [ 5]. 96 6

17 Dr. sc. Dmir Sršić -7 Dijn N filr olupojsni filr Očio, prn poncij ndosju u iru ; nči, rdi s o nprnoj funciji. Očio, L j nprn. Zgodniji obli možmo dobii o normirmo pomnožimo s L o bi g cnrirli: L, L L, jr j L nprn. 97 Končno, uvj R glsi:. Tv s niv polupojsnim filrom. Sv prn poncij u su jdn nuli, osim onsnnog čln oji j jdn. Koficijni u nprn poncij su vrijbl dijn dcimirnog filrsog slog s dv pojs i popunom ronsrucijom. 98 rimjr Jdn dobr ibor j: p Q. p rvi čln osigurv nuloču višsruosi p n frvnciji π. Drugi čln j polinom v d vrijdi R uvj. Ao j polinom rd p, pouj s d j Q jdnončn. Tv filr nivmo binomnim ili msimlno glim ng. binomil, mfl. 99 rimjr Z p immo: q olinom Q j rd. q [ ] q, L, q.. q L, rimjr oricij u im viš vrijni: / / Z primjn j posbno nimljiv srdnji ibor. Tvim s filrsim slogom rliir rov DWT. rimjr Vrlo ilusrivn j slučj p: q q q, 3 6 q q q. Z cnrirnj množimo s 3 : q q q, 3 q q q 6q q q q 6q q 3 q q 6q q q q. 7

18 Dr. sc. Dmir Sršić -7 rimjr oricij Člnovi u prn poncij morju bii nul, onsnni čln mor bii jdn. To dj 3 jdndžb s 3 nponnic: q q 6q q q, q q,. rjšnj j: q,, q. 6 q 6, 6 6 c c, c 3. 3 Z ili u bilo ojm rdoslijdu birmo: ili c 3 ili c rd rd rd rd 3 Sv od foricij im svojsv pogodn odrđnu primjnu. Ibori for oji n sdrž c- - dju simričn filr: filr s linrnom fom. 8