Συχνότητα και µήκος κύµατος στο φαινόµενο Doppler

Transcript

1 Σχνότητα και µήκος κύµατος στο φαινόµενο Doppler ύο ατοκίνητα και Β κινούνται σε εθύγραµµο δρόµο µε την ίδια ταχύτητα Β 0m/, πλησιάζοντας προς ακίνητο παρατηρητή Γ, όπως στο σχήµα. Στο ατοκίνητο Β έχει προσαρµοσθεί σειρήνα πο παράγει ήχο σχνότητας 300Ηz. i) Ποια η σχνότητα το ήχο πο ακούει ο παρατηρητής Γ και ποια ο οδηγός το ατοκινήτο (ας τον ονοµάσοµε παρατηρητή ); ii) Ποια τα αντίστοιχα µήκη κύµατος των δύο ήχων πο ακούνε οι παρατηρητές; ίνεται η ταχύτητα το ήχο 340m/. πάντηση: i) O ακίνητος παρατηρητής Γ ακούει ήχο σχνότητας: Γ - 340m/ Γ 300Hz 3400Hz (340 0)m/ ντίστοιχα ο παρατηρητής ακούει ήχο σχνότητας: - - ηλαδή ενώ ο ακίνητος παρατηρητής Γ ακούει ήχο µεγαλύτερης σχνότητας, ο α- κούει ήχο µε την ίδια σχνότητα µε ατόν πο παράγει η πηγή. ii) Η πηγή εκπέµπει ήχο σχνότητας: 340m/ λ 300Hz Το αντίστοιχο µήκος κύµατος το ήχο πο ακούει ο παρατηρητής Γ είναι: λ Γ λ- Τ αφού η πηγή το ήχο κινείται προς ατόν, άρα: m

2 λ Γ 340m/ 0m/ 0,1m 300Hz Ο παρατηρητής αποµακρύνεται από την πηγή το ήχο, σνεπώς η ταχύτητα το ή- χο ως προς ατόν είναι: λ - λ 340m/ 0m/ 300Hz 0,1m Προσέξτε: Ενώ ο παρατηρητής δεν αντιλαµβάνεται µεταβολή στην σχνότητα το ήχο πο ακούει, αλλά ο ήχος ατός έχει διαφορετικό µήκος κύµατος, από το µήκος κύµατος το ήχο πο εκπέµπει η πηγή. dmargari@ch.gr

3 Σχνότητα και µήκος κύµατος στο φαινόµενο Doppler ύο ατοκίνητα και Β κινούνται σε εθύγραµµο δρόµο µε την ίδια ταχύτητα Β0m/, πλησιάζοντας προς ακίνητο παρατηρητή Γ, όπως στο σχήµα. Στο ατοκίνητο Β έχει προσαρµοσθεί σειρήνα πο παράγει ήχο σχνότητας 300Ηz. i) Ποια η σχνότητα το ήχο πο ακούει ο παρατηρητής Γ και ποια ο οδηγός το ατοκινήτο (ας τον ονοµάσοµε παρατηρητή ); ii) Ποια τα αντίστοιχα µήκη κύµατος των δύο ήχων πο ακούνε οι παρατηρητές; ίνεται η ταχύτητα το ήχο 340m/. πάντηση: δηλαδή ενώ ο ακίνητος παρατηρητής Γ ακούει ήχο µεγαλύτερης σχνότητας, ο ακούει ήχο µε την ίδια σχνότητα µε ατόν πο παράγει η πηγή. ii) Το µήκος κύµατος το ήχο πο εκπέµπεται από την πηγή, όταν είναι ακίνητη, είναι: πο εκπέµπει µια ακίνητη πηγή.

4 Φαινόµενο Doppler, σχνότητες και µήκη κύµατος. Ένα τρένο κινείται εθύγραµµα µε ταχύτητα 34m/. Πάνω το πάρχει µια ηχητική πηγή πο παράγει ήχο σχνότητας 680Ηz, ενώ δο επιβάτες και Β βρίσκονται εναλλάξ της πηγής, όπως στο σχήµα, ακίνητοι ως προς το τρένο. i) Ποιας σχνότητας ήχο ακούει καθένας επιβάτης; ii) Να βρεθεί το µήκος κύµατος το ήχο πο ακούνε οι δο επιβάτες. ίνεται η ταχύτητα το ήχο 340m/. πάντηση: Στο σχήµα έχον σχεδιαστεί οι ταχύτητες των δο επιβατών και της ηχητικής πηγής, όπο: Β τ. i) Ο επιβάτης ακούει ήχο σχνότητας: όπο αφού ο επιβάτης είναι πάνω στο τρένο και έχει την ταχύτητα το τρένο. Έτσι:

5 ντίστοιχα για τον επιβάτη Β θα έχοµε: Παρατηρούµε δηλαδή ότι οι δο επιβάτες ακούνε ήχος µε την ίδια σχνότητα και µάλιστα α- κούνε τη σχνότητα το ήχο πο παράγει η πηγή, πράγµα αναµενόµενο αφού δεν πάρχει σχετική κίνηση µεταξύ πηγής και παρατηρητών. ii) Ο επιβάτης ακούει ήχο από µια πηγή πο τον πλησιάζει, σνεπώς µε µήκος κύµατος πο δίνεται από τη σχέση: λ λ - Τ όπο λ το µήκος το κύµατος αν η πηγή ήταν ακίνητη. λ και µε αντικατάσταση: λ m 0, 45m 680 ντίστοιχα ο επιβάτης Β ακούει ήχο από µια πηγή πο αποµακρύνεται, σνεπώς: + λ + και µε αντικατάσταση: λ m 0, 55m 680 Σχόλιο. φού δεν πάρχει σχετική κίνηση µεταξύ των δύο επιβατών και της πηγής το ήχο, δεν µεταβάλλεται η σχνότητα το ήχο πο ακούνε οι επιβάτες. τό όµως δεν σηµαίνει ότι οι ήχοι πο ακούνε, έχον και το ίδιο µήκος κύµατος!!! φού η πηγή κατεθύνεται προς τον επιβάτη, ατός θα ακούει ήχο µικρότερο µήκος κύµατος από το αντίστοιχο µήκος κύµατος το ήχο πο εκπέµπει η ακίνητη πηγή, ενώ το αντίστροφο ισχύει για τον Β επιβάτη. είτε και το παρακάτω σχήµα, όπο ανάγλφα µπορούµε να παρατηρήσοµε τα παραπάνω.

6 Ναι, αλλά θα ρωτήσει κάποιος αφού η σχνότητες είναι ίσες, γιατί έχοµε διαφορετικά µήκη κύµατος; Η απάντηση κρύβεται στην ταχύτητα διάδοσης το ήχο ως προς τος δύο επιβάτες. Η ταχύτητα ατή για τον επιβάτη είναι: Ενώ για τον Β έχοµε: - λ + λ Β Έτσι ο επιβάτης ακούει ήχο µικρότερο µήκος κύµατος από το µήκος κύµατος το ήχο της ακίνητης πηγής (λ / 0,5m) ενώ ο Β ήχο µε µεγαλύτερο µήκος κύµατος. dmargari@ch.gr

7 Φαινόµενο Doppler και κινήσεις. Ένα ατοκίνητο κινείται σε εθύγραµµο δρόµο µε σταθερή ταχύτητα 0m/ περνώντας µπροστά από ένα ακίνητο περιπολικό της αστνοµίας τη στιγµή t 0 0. Τη στιγµή t 1 7 το περιπολικό βάζει σε λειτοργία την σειρήνα το και τατόχρονα ξεκινά να κινείται µε σταθερή επιτάχνση αm/, ακολοθώντας το ατοκίνητο. Η αρχική σχνότητα πο ακούει ο οδηγός το ατοκινήτο είναι 6400Ηz και η τελική 6800Ηz. Πόσο απέχον τα δύο οχήµατα την χρονική στιγµή πο: i) σταµατά να ηχεί η σειρήνα. ii) παύει να ακούει ήχο ο οδηγός το οχήµατος. ίνεται η ταχύτητα το ήχο 340m/. πάντηση: Τη στιγµή πο ξεκινά να παράγει ήχο η σειρήνα, µε σχνότητα, η ταχύτητα το περιπολικού είναι µηδενική. Όταν λοιπόν ατός ο ήχος φτάσει στον παρατηρητή (ο οδηγός το ατοκινήτο), ατός θα ακούσει ήχο σχνότητας: όπο η ταχύτητα το ήχο. Λύνοντας ως προς παίρνοµε: - 340m/ 6400Hz 6800Hz - (340 0)m/ Τη στιγµή πο σταµατά να εκπέµπει ήχο η σειρήνα, το περιπολικό έχει ταχύτητα. Σνεπώς µε βάση την τελική σχνότητα πο θα ακούσει ο παρατηρητής, µπορούµε να πολογίσοµε την ταχύτητα το περιπολικού: - - 0m/. Η κίνηση όµως το περιπολικού είναι εθύγραµµη οµαλά επιταχνόµενη για την οποία έχοµε: α t 0m/ t a m/ 10

8 Η σειρήνα δηλαδή ήχησε για χρονικό διάστηµα 10, σνεπώς µέχρι την χρονική στιγµή t t 1 + t37. i) ς πάροµε την αρχική θέση των δύο οχηµάτων, σαν x 0 0. Τη στιγµή πο σταµατά η σειρήνα, το κινητό έχει µετατοπισθεί κατά: x 1 t 0m/ m Ενώ το περιπολικό βρίσκεται στη θέση: x ½ α t ½ 10 m 100m. Σνεπώς η ζητούµενη απόσταση είναι d 1 x 1 -x 640m. ii) Τη στιγµή πο φεύγει από την σειρήνα ο τελεταίος κµατοπαλµός το ήχο, το περιπολικό βρίσκεται στη θέση x, ο ήχος θα κινηθεί µε σταθερή ταχύτητα και µετά από χρονικό διάστηµα t θα φτάσει στο ατί το οδηγού το οχήµατος. Στο διάστηµα ατό ο ήχος θα διανύσει απόσταση: t ενώ αντίστοιχα το ατοκίνητο θα µετατοπισθεί κατά: x 1 t. λλά d 1 + x t d 1 + t t d ηλαδή χρειάστηκε δετερόλεπτα για να φτάσει ο τελεταίος ήχος στον παρατηρητή. Σε ατό το χρονικό διάστηµα το όχηµα µετατοπίζεται κατά: x 1 t 40m Ενώ το περιπολικό κατά x 0 t + ½ α t x 0m/ + ½ m/ 44m Κατά σνέπεια η απόσταση των δύο οχηµάτων είναι: d d 1 + x 1 - x 640m+40m-44m 636m. dmargari@ch.gr

9 Κρούση και Doppler Σώµα µάζας m 1 κινούµενο οριζόντια µε ταχύτητα µέτρο v 1 15m/ σγκρούεται κεντρικά και ελαστικά µε άλλο σώµα µάζας m πο είναι αρχικά ακίνητο. Τα δύο σώµατα φέρον ανιχνετές σχνοτήτων, αµελητέας µάζας. Σε σηµείο Σ όπως στο σχήµα, πάρχει ακίνητη ηχητική πηγή, πο εκπέµπει σνεχώς ήχο, σταθερής σχνότητας 1700Hz. Η ταχύτητα το ήχο στον ακίνητο αέρα είναι v340 m/. ν το σώµα m 1 χάνει κατά την κρούση το 64% της κινητικής το ενέργειας κινούµενο αντίρροπα σε σχέση µε την αρχική φορά κίνησής το, να βρεθούν: α) ο λόγος των µαζών m 1 /m β) οι σχνότητες πο καταγράφον οι ανιχνετές αµέσως µετά την κρούση γ) ν µετά την κρούση κάθε σώµα παροσιάζει τριβή ολίσθησης µε το οριζόντιο επίπεδο, µε σντελεστή µ0,1, να προσδιορίσετε τη χρονική στιγµή κατά τη διάρκεια της κίνησης των δύο σωµάτων, όπο ο ανιχνετής το σώµατος m 1 καταγράφει σχνότητα κατά 5Hz µεγαλύτερη της αντίστοιχης το ανιχνετή το σώµατος µάζας m. Να θεωρήσετε, ότι οι ανιχνετές δεν καταστρέφονται κατά την κρούση. Το σώµα µάζας m 1 κατά την κίνησή το δεν σναντά την πηγή. ίνεται g10m/. Λύση:

10 α) Το σώµα µάζας m 1 διατηρεί το 36% της κινητικής το ενέργειας, δηλαδή το 60% το µέτρο της ταχύτητας το v 1, σνεπώς v 1-0,6v 1. πό τον τύπο v 1 m 1 -m /m 1 +m v 1 προκύπτει τελικά m 1 /m 1/4 β) Προφανώς v m 1 /m 1 +m v 1 > v 6m/ άρα 1 v+ v 1 /v 340+9/ > Hz και v- v /v 340-6/ > 1670Hz γ) Για το σώµα µάζας m 1 µετά την κρούση ισχύει: v 1 v 1 -αt όπο α µ g 1m/ ντίστοιχα για το σώµα µάζας m v v -αt µε α1m/ Σνεπώς 1 v +( v 1 -αt)/v > t/ > t και v- (v -αt)/v > αt/ > t θέλοµε 1 +5 >1745-5t1670+5t+5> 5010t > t5 Λύση σµβατή µε τος ολικούς χρόνος κίνησης t 1 v 1 /α9 και t v /α6 Ζωνιόπολος Θωµάς

11 Φαινόµενο Doppler Ένας παρατηρητής κινείται σε εθύγραµµο δρόµο µε σταθερή ταχύτητα 0m/ και σε µια στιγµή t0 και ενώ απέχει d50m από προπορεόµενη πηγή ήχο, η οποία κινείται µε ταχύτητα 10m/, ακούει ήχο σχνότητας Ηz. i) Ποια η σχνότητα το ήχο πο παράγει η πηγή; ii) Ποια σχνότητα θα ακούει ο παρατηρητής τη χρονική στιγµή t 1 10; ίνεται η ταχύτητα το ήχο στον αέρα 340m/. Λύση i) Τη χρονική στιγµή t0 ο παρατηρητής πλησιάζει την πηγή πο αποµακρύνεται, οπότε η εξίσωση (1) γίνεται: οπότε λύνοντας ως προς την σχνότητα της πηγής παίρνοµε: K3600Ηz 3500Ηz ii) ν τη χρονική στιγµή t0 ο παρατηρητής θεωρήσοµε ότι βρίσκεται στη θέση x0, τότε η θέση το τη στιγµή t 1 θα βρίσκεται στη θέση x Kt0m/K1000m, ενώ η πηγή θα βρίσκεται στη θέση x d+ Kt 50m+10m/K10150m, οπότε ο παρατηρητής έχει προσπεράσει τη πηγή. Έτσι η εξίσωση (1) γίνεται: Hz 3394Hz dmargari@ch.gr

12 ΚΥΛΙΣΗ ΚΙ DOPPLER πό την κορφή κεκλιµένο επιπέδο γωνίας κλίσης φ, αφήνοµε ελεύθερο να κινηθεί ένα σµπαγή κύλινδρο µάζας kg και ακτίνας 0.m, στο κέντρο το οποίο έχοµε προσαρµόσει δέκτη ηχητικών κµάτων αµελητέας µάζας. Ένας ποµπός ηχητικών κµάτων βρίσκεται στη βάση το κεκλιµένο επιπέδο, σε διεύθνση παράλληλη στο κεκλιµένο επίπεδο πο διέρχεται από το κέντρο µάζας το κλίνδρο και εκπέµπει κύµατα σχνότητας 680Hz. O κύλινδρος κλίεται χωρίς να ολισθαίνει και ελάχιστα πριν φτάσει στη βάση το κεκλιµένο ο δέκτης µετρά τη σχνότητα των ηχητικών κµάτων ίση µε 688Hz. α. Να βρεθεί η ταχύτητα µε την οποία φτάνει στη βάση το κεκλιµένο επιπέδο ο κύλινδρος. β. Να βρεθεί το ύψος το κεκλιµένο επιπέδο από το οποίο αφέθηκε ο κύλινδρος. γ. Να βρείτε την επιτάχνση το κέντρο µάζας το κλίνδρο. δ. Να παραστήσετε γραφικά τη σχνότητα το ήχο πο µετράει ο δέκτης ηχητικών κµάτων µέχρι τη στιγµή πο φτάνει στη βάση το κεκλιµένο επιπέδο, σε σνάρτηση µε το χρόνο t και να πολογίσετε τη στροφορµή το κλίνδρο τη χρονική στιγµή πο η σχνότητα πο µετράει ο δέκτης είναι 684Hz. ίνονται: H ροπή αδράνειας το κλίνδρο ως προς τον άξονα πο είναι κάθετος στο επίπεδό το και διέρχεται από το κέντρο µάζας το Ιcm1/ ΜR², ηµφ0.3, g10m/² και η ταχύτητα διάδοσης το ήχο ως προς τον ακίνητο αέρα ηχ. 340 m/. ΠΝΤΗΣΗ α. Η σχνότητα πο µετράει ο δέκτης κινούµενος προς την ακίνητη πηγή µε ταχύτητα cm δίνεται από την σχέση : u + u 340+ u u 4 m / ηχ cm cm S cm uηχ. 340 β. Για την σύνθετη κίνηση το κλίνδρο στο κεκλιµένο επίπεδο εφαρµόζω την αρχή διατήρησης της µηχανικής ενέργειας, γιατί η στατική τριβή παρόλο πο είναι µη διατηρητική δύναµη δεν προκαλεί θερµικές απώλειες και το σνολικό της έργο είναι µηδενικό, άρα: Eµηχ.(αρχ.) Εµηχ.(τελ.) Κ + U ΚT + UT ή ή Μgh 1/ M ucm² + 1/ Icm ω² (1) N Λόγω της κύλισης : ucm ω R ω ucm/r και αcm αγων. R αγων. αcm /R Και τελικά από την (1) έχοµε : ποµπός ucm φ Wx W Wy Tστ h Μgh 1/ M ucm² + 1/ 1/ M R² (ucm/r)² ή

13 gh 3/4 ucm² ή h 1.m γ. Για την σύνθετη κίνηση το κλίνδρο εφαρµόζοµε θεµελιώδη νόµο µεταφορικής και στροφικής κίνησης, δηλαδή : Σ Fx M acm Mgηµφ Τ στ. M acm() και Σ τ Ιcm aγων. Τστ. R M R aγων. Τ στ. M R aγων. M a πό () και (3) προσθέτοντας κατά µέλη έχοµε : 3 gηµφ Mgηµφ M αcm acm acm m / 3 cm (3) δ. Για τη σχνότητα πο καταγράφει ο δέκτης ισχύει : u + u ηχ cm S και ucm αcm t uηχ. Όταν φτάνει στη βάση το κεκλιµένο επιπέδο πέρασε χρόνος t ucm / αcm εποµένως θα είναι : u + u u + a t ηχ cm ηχ cm S S uηχ. uηχ t t ( SI..)(4) 340 όπο 0 t (Hz) t() Όταν ο δέκτης µετράει σχνότητα 684 Hz από την (4) προκύπτει ότι : t ή t 1 και επειδή ω αγων. t αcm /R. t 10 rad/ Άρα η στροφορµή το κλίνδρο την στιγµή t 1 θα είναι: L Icm ω 1/Μ R² ω ή L 0.4kg m²/ Στελίο Κωνσταντίνος

14 ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΚΗΣΗ ύο ηχητικές πηγές S 1 και S βρίσκονται ακίνητες σε αρκετή απόσταση µεταξύ τος και εκπέµπον ήχος της ίδιας σχνότητας 680Hz και το ίδιο πλάτος αποµάκρνσης, m. Ένας ακίνητος παρατηρητής στο χώρο ανάµεσα στις δύο πηγές, διαπιστώνει ότι τα ηχητικά κύµατα πο διαδίδονται µε αντίθετη φορά στη διεύθνση της εθείας πο διέρχεται από τις δύο πηγές, σµβάλον και δηµιοργούν στάσιµο διαµήκες ηχητικό κύµα στο χώρο ατό. ν η ταχύτητα διάδοσης το ήχο στον αέρα είναι 340m/ και θεωρήσοµε ως αρχή µέτρησης των αποστάσεων (x 0) µια κοιλία αποµάκρνσης το στάσιµο κύµατος, ενώ ως αρχή µέτρησης των χρόνων (t 0), τη χρονική στιγµή πο η φάση της ταλάντωσης στη θέση x 0 είναι µηδέν, τότε:. 1. Να γράψετε την εξίσωση αποµάκρνσης το στάσιµο διαµήκος ηχητικού κύµατος.. Να πολογίσετε τη θέση της τρίτης κοιλίας αποµάκρνσης, στον θετικό ηµιάξονα, το στάσιµο διαµήκος ηχητικού κύµατος. 3. ν θεωρήσοµε µια ποσότητα µάζας αέρα kg στη θέση της τρίτης κοιλίας αποµάκρνσης, να πολογίσετε τη µέγιστη κινητική της ενέργεια. 4. Το ανθρώπινο ατί ανιχνεύει µεταβολές της πίεσης το αέρα σε σχέση µε την κανονική ατµοσφαιρική πίεση, p atm. Εξηγήστε το γεγονός ότι οι δεσµοί πίεσης, δηλαδή οι θέσεις στις οποίες ένας ακίνητος παρατηρητής δεν θα ακούει ήχο λόγω το στάσιµο ηχητικού κύµατος, σµπίπτον µε τις κοιλίες αποµάκρνσης των σωµατίων το αέρα. Να βρείτε την εξίσωση πο δίνει τις θέσεις των δεσµών πίεσης. Ένας δεύτερος παρατηρητής κινείται µε σταθερή ταχύτητα 1m/, στην εθεία πο ενώνει τις δύο πηγές µε κατεύθνση από την πηγή S 1 στην πηγή S. Β. 1. Ποια είναι η σχνότητα το διακροτήµατος πο ακούει ο κινούµενος παρατηρητής;. Ποια είναι η σχνότητα το ήχο πο ακούει ο κινούµενος παρατηρητής από τη σνήχηση των δύο πηγών; 3. Πόσες µεγιστοποιήσεις το πλάτος το ήχο ακούει ο κινούµενος παρατηρητής σε χρονική διάρκεια 5; 4. ν θεωρήσοµε ότι σε µια σγκεκριµένη χρονική στιγµή ο κινούµενος παρατηρητής διέρχεται από τη θέση x 0 και αντιλαµβάνεται µηδενισµό το πλάτος πίεσης το ήχο λόγω διακροτήµατος, να αποδείξετε ότι οι θέσεις από τις οποίες, διερχόµενος ο κινούµενος παρατηρητής θα αντιλαµβάνεται µηδενισµό το πλάτος πίεσης το ήχο λόγω διακροτήµατος, είναι ίδιες µε τις θέσεις στις οποίες έχοµε δεσµούς πίεσης (κοιλίες αποµάκρνσης) για το στάσιµο διαµήκες ηχητικό κύµα. ίνεται π 10 ΛΥΣΗ. 1. πό τη θεµελιώδη εξίσωση της κµατικής έχοµε: λ λ λ 0, 5m. 1 1 Η περίοδος το κύµατος είναι: T T Το πλάτος αποµάκρνσης των κµάτων πο σµβάλλον είναι:,9 10 m. Η εξίσωση αποµάκρνσης το στάσιµο κύµατος είναι: πx πt 8 y σν ηµ y 5,8 10 σν(4πx)ηµ ( 1360πt ) (S.I). λ Τ. Ο προσδιορισµός των θέσεων των κοιλιών αποµάκρνσης γίνεται µε την ίδια µαθηµατική διαδικασία όπως και στα στάσιµα λ κύµατα σε µια τεντωµένη χορδή και είναι: x κ, κ : 0, ± 1, ±... Η θέση της 3 ης κοιλίας αποµάκρνσης στον θετικό λ ηµιάξονα αντιστοιχεί στο κ και είναι x x 0,5m. 3. Η µέγιστη τιµή το µέτρο της ταχύτητας ταλάντωσης µιας κοιλίας είναι: 5 ω π 7,9π 10 m /. max max Η µέγιστη κινητική ενέργεια της µάζας kg είναι: 1 15 Kmax m max Kmax 1,6 10 J. 4. Το ανθρώπινο ατί ανιχνεύει µεταβολές της πίεσης το αέρα σε σχέση µε την κανονική ατµοσφαιρική πίεση. Οι θέσεις πο δεν θα ακούµε ήχο θα είναι εκείνες πο αντιστοιχούν σε δεσµούς πίεσης. Πρόκειται για σηµεία στα οποία η πίεση δεν µεταβάλλεται σε σχέση µε την κανονική ατµοσφαιρική.

15 Εποµένως τα σωµάτια το ελαστικού µέσο δεν πρέπει ούτε να πλησιάζον, ούτε και να αποµακρύνονται µεταξύ τος, άρα θα πρέπει να δονούνται σε φάση έτσι ώστε η µεταξύ τος απόσταση να παραµένει σχεδόν σταθερή. Η σνθήκη ατή ικανοποιείται µόνο στις θέσεις πο αποτελούν κοιλίες αποµάκρνσης (σηµεία Η, Θ, Ι). ντίθετα οι κοιλίες πίεσης βρίσκονται σε σηµεία εκατέρωθεν των οποίων τα σωµάτια το αέρα δονούνται µε αντίθετη φάση, είτε πλησιάζοντας το ένα το άλλο οπότε η πίεση αξάνει (σηµεία, Ζ), είτε αποµακρνόµενα το ένα από το άλλο οπότε η πίεση ελαττώνεται (σηµεία Γ, Ε). Η σνθήκη ατή ικανοποιείται µόνο στις θέσεις πο αποτελούν δεσµούς αποµάκρνσης (σηµεία Γ,, Ε, Ζ). Σνεπώς οι θέσεις των δεσµών πίεσης τατίζονται µε τις θέσεις των κοιλιών αποµάκρνσης και κατά σνέπεια η σχέση πο δίνει τις θέσεις τος θα είναι: x κλ/, κ: 0, ± 1, ±, ± 3, Β. 1. Ο κινούµενος παρατηρητής λόγω φαινοµένο Doppler ακούει διακροτήµατα. Η σχνότητα το ήχο πο αντιλαµβάνεται ο κινούµενος παρατηρητής από την πηγή S είναι: 1 680Hz 1 678Hz. Η σχνότητα το ήχο πο αντιλαµβάνεται ο κινούµενος παρατηρητής από την πηγή S είναι: 680Hz 1 68Hz. 340 Η σχνότητα των διακροτηµάτων πο ακούει ο κινούµενος παρατηρητής είναι: δ 1 δ 4Hz.. Η σχνότητα το ήχο πο ακούει ο κινούµενος παρατηρητής από τη σνήχηση των δύο πηγών είναι: Hz. N 3. Το πλήθος των µεγιστοποιήσεων το πλάτος το ήχο δίνεται από τη σχέση: δ N δ t N 0 µέγιστα. t + 4. Η σχνότητα το διακροτήµατος δίνεται από τη σχέση: δ 1 δ. 1 Η περίοδος το διακροτήµατος δίνεται από τη σχέση: Tδ Tδ. δ Ο κινούµενος παρατηρητής θα αντιλαµβάνεται µηδενισµό το πλάτος πίεσης το ήχο σε χρονικά διαστήµατα t κ Τ δ, κ µετά τη διέλεσή το από τη θέση x0, διερχόµενος από τις θέσεις x t x κ Τδ x κ. Όµως λ σνεπώς λ x κ, κ. Παρατηρούµε ότι οι θέσεις µηδενισµού το πλάτος πίεσης το ήχο λόγω διακροτήµατος είναι ίδιες µε τις θέσεις των δεσµών πίεσης (κοιλιών αποµάκρνσης) το στάσιµο ηχητικού διαµήκος κύµατος. ΠΡΟΣΘΕΤ ΣΤΟΙΧΕΙ (απεθύνονται κρίως στος σναδέλφος καθηγητές). 1. Για την επίλση της άσκησης θεωρήσαµε ότι το πλάτος αποµάκρνσης της ταλάντωσης των σωµατίων το αέρα παραµένει αµετάβλητο καθώς το κύµα διαδίδεται στον αέρα. Στην πραγµατικότητα, καθώς το κύµα αποµακρύνεται από την πηγή, λόγω το σφαιρικού µετώπο το, η κίνηση µεταδίδεται σε ολοένα και µεγαλύτερες σφαιρικές επιφάνειες οι οποίες έχον µεγαλύτερο πλήθος σωµατίων, µε σνέπεια το πλάτος αποµάκρνσης της ταλάντωσης των σωµατίων το αέρα να ελαττώνεται.. Το ανθρώπινο ατί µπορεί να ανιχνεύει κινήσεις των σωµατίων το αέρα για αποστάσεις οι οποίες είναι µερικές φορές µεγαλύτερες από το µέγεθος των ίδιων των σωµατίων το αέρα, κάτι πο είναι σε σµφωνία µε την τιµή το πλάτος αποµάκρνσης πο έχει δοθεί στην άσκηση. 3. Το ανθρώπινο ατί µπορεί να ανιχνεύσει διακροτήµατα πο δηµιοργούνται από δύο απλούς ήχος όταν η σχνότητά τος είναι περίπο µέχρι 7Hz, εποµένως η τιµή της δ πο βρέθηκε στην άσκηση είναι εντός ατού το ορίο. 4. Το ανθρώπινο ατί ανιχνεύει µεταβολές της πίεσης το αέρα σε σχέση µε την κανονική ατµοσφαιρική πίεση. Οι µεταβολές της πίεσης το αέρα θέτον το τύµπανο σε ταλάντωση η οποία διαδίδεται µέσω των οσταρίων και της ωόδος θρίδας στο γρό το κοχλία, θέτοντας σε εξαναγκασµένη ταλάντωση τον βασικό µένα. Σε κάθε σχνότητα αντιστοιχεί και διαφορετική περιοχή έντονης ταλάντωσης το βασικού µένα. πό το σύνολο των νερικών ινών, µόνο εκείνες πο καταλήγον στα κύτταρα το οργάνο Corti, της περιοχής το βασικού µένα πο ταλαντώνεται µε µέγιστο πλάτος, διαβιβάζον τα αντίστοιχα ερεθίσµατα στον εγκέφαλο προκαλώντας το ποκειµενικό αίσθηµα το ήχο. 5. y H στιγµιαία µεταβολή της πίεσης ως προς την κανονική ατµοσφαιρική πίεση p atm δίνεται από τη σχέση: p - x (1) όπο το µέτρο ελαστικότητας όγκο το µέσο διάδοσης το κύµατος και y x η µερική παράγωγος της αποµάκρνσης y σναρτήσει της θέσης x σε µια ορισµένη χρονική στιγµή t.

16 πx π Η εξίσωση αποµάκρνσης το στάσιµο κύµατος είναι: y σν ηµ t λ Τ (). πx πt πό τις σχέσεις (1) και () έχοµε: p pmaxηµ ηµ λ Τ όπο p (πλάτος πίεσης) η µέγιστη τιµή το µέτρο της max µεταβολής της πίεσης ως προς την κανονική ατµοσφαιρική πίεση, p atm, των κµάτων πο σµβάλλον, η οποία δίνεται από π τη σχέση p max. πό την εξίσωση φαίνεται ότι το πλάτος πίεσης σε κάθε σηµείο καθορίζεται από τον παράγοντα λ πx p ηµ, οπότε οι θέσεις των κοιλιών πίεσης δίνονται από τη σχέση λ max λ x (κ + 1), κ και οι θέσεις των δεσµών 4 λ πίεσης από τη σχέση x κ, κ, όπως δηλαδή προέκψε από τη λύση της άσκησης µε άλλο τρόπο. 6. Ο κινούµενος παρατηρητής αντιλαµβάνεται τα δύο ηχητικά κύµατα µε ίδια πλάτη αποµάκρνσης, ίδια µήκη κύµατος αφού οι πηγές είναι ακίνητες, αλλά µε παραπλήσιες σχνότητες 1,, λόγω φαινοµένο Doppler.Οι εξισώσεις αποµάκρνσης των δύο πx ηχητικών κµάτων είναι: yηµ 1 π1t- λ και πx y ηµ πt- όπο x η σντεταγµένη θέσης στο σύστηµα λ αναφοράς το κινούµενο παρατηρητή. Εφαρµόζοντας την αρχή της επαλληλίας για τα παραπάνω κύµατα προκύπτει ένα - 1 πx + 1 κµατικό σύστηµα µε εξίσωση: yσν π t- ηµ π t λ (1) το οποίο έχει σχνότητα + 1, πλάτος - 1 διαµορφωµένο στο χώρο και το χρόνο από µία περιβάλλοσα πο µεταβάλλεται πολύ αργά µε σχνότητα, παροσιάζοντας διακροτήµατα µε σχνότητα δ 1 - τη θέση:.εφαρµόζοντας στη σχέση (1) το µετασχηµατισµό το Γαλιλαίο για xx- t (όπο x και x οι σντεταγµένες θέσεις στο σύστηµα αναφοράς το κινούµενο και το ακίνητο - + παρατηρητή αντίστοιχα ) και τις σχέσεις 1,, προκύπτει η εξίσωση πο περιγράφει το φαινόµενο πο αντιλαµβάνεται ο ακίνητος παρατηρητής, δηλαδή την εξίσωση αποµάκρνσης το στάσιµο διαµήκος ηχητικού κύµατος : πx πt y σν ηµ λ Τ. ΒΙΒΛΙΟΓΡΦΙ ΚΩΤΣΟΠΟΥΛΟΣ ΓΙΝΝΗΣ ΛΙΝΕΡΗΣ ΜΡΙΝΟΣ ΠΝΓΙΩΤΚΗΣ ΜΠΜΠΗΣ ΠΠ ΚΗ ΡΕΝ ΠΟΤΜΙΝΚΗΣ ΚΩΣΤΣ ΣΠΡΟΥ ΚΤΕΡΙΝ ΦΡΓΚΙ ΚΗΣ ΒΣΙΛΗΣ

17 Γενική άσκηση στο φαινόµενο DOPPLER Τι είναι το φαινόµενο Doppler; Ένας παρατηρητής αντιλαµβάνεται ήχο διαφορετικής σχνότητας από τη σχνότητα το ήχο πο εκπέµπει η πηγή, όταν µεταβάλλεται η µεταξύ τος απόσταση. Γιατί σµβαίνει ατό; ιότι ο κινούµενος παρατηρητής µετράει διαφορετική ταχύτητα ήχο από την πραγµατική, ενώ όταν κινείται η πηγή, ο παρατηρητής µετράει διαφορετικό µήκος κύµατος από το πραγµατικό. Όταν κινούνται και οι δύο τι σχνότητα και τι µήκος κύµατος µετράει ο παρατηρητής; Η χρονική διάρκεια το εκπεµπόµενο ήχο γίνεται αντιληπτή µε διαφορετική τιµή από τον παρατηρητή; Στο ίδιο χρονικό διάστηµα ο παρατηρητής αντιλαµβάνεται τον ίδιο αριθµό µηκών κύµατος πο εκπέµπει η πηγή; ν πάρχει ανάκλαση το ηχητικού σήµατος τι γίνεται; ν η ανακλαστική επιφάνεια κινείται; Έχει νόηµα κινούµενη ανακλαστική επιφάνεια; Μα στος πέρηχος το τοίχωµα της καρδιάς το εµβρύο µήπως είναι κάτι τέτοιο; Προσπάθησα να φτιάξω µια άσκηση πο να περιέχει όλες τις παραπάνω πληροφορίες, σµβατή µε το επίπεδο των εξετάσεων. πεθύνεται αποκλειστικά σε µαθητές, ελπίζοντας ότι θα σµπληρώσει τα κενά το σχολικού βιβλίο, ώστε να µη βρεθούν προ εκπλήξεως, όπως ο πογράφων 6 χρόνια πριν. ΣΚΗΣΗ Ηχητική πηγή κινείται πάνω σε εθεία, η οποία είναι κάθετη σε επίπεδη ανακλαστική επιφάνεια. Η πηγή εκπέµπει ήχο σχνότητας 1000 Hz και κινείται προς την ανακλαστική επιφάνεια µε σταθερή ταχύτητα 40 m/. Η ανακλαστική επιφάνεια κινείται προς την πηγή µε σταθερή ταχύτητα 0 40 m/. Μεταξύ της πηγής και της ανακλαστικής επιφάνειας πάρχει παρατηρητής, ο οποίος κινείται προς την πηγή µε σταθερή ταχύτητα 10 m/. Πίσω από την πηγή πάρχει παρατηρητής Β, ο οποίος κινείται αντίρροπα από την πηγή µε σταθερή ταχύτητα 10 m/.

18 1) Για τον παρατηρητή να πολογισθούν η σχνότητα και το µήκος κύµατος το ήχο πο λαµβάνει απ εθείας από την πηγή καθώς και το ήχο πο λαµβάνει από ανάκλαση. ) Όµοια για τον παρατηρητή Β να πολογισθούν η σχνότητα και το µήκος κύµατος το ήχο πο λαµβάνει απ εθείας από την πηγή καθώς και το ήχο πο λαµβάνει από ανάκλαση. 3) ν η πηγή εκπέµπει ηχητικό σήµα διάρκειας 0, για πόσο χρόνο λαµβάνει το σήµα απ εθείας από την πηγή ο παρατηρητής και για πόσο ο παρατηρητής Β; γνοείστε τη χρονική διάρκεια το ηχητικού σήµατος πο προέρχεται από ανάκλαση. 4) Σε χρονική διάρκεια 10 πόσα κύµατα εκπέµπονται από την πηγή, πόσα λαµβάνει ο παρατηρητής απ εθείας από την πηγή, πόσα ο Β απ εθείας από την πηγή και πόσα πέφτον στην ανακλαστική επιφάνεια; 5) Μεταξύ της πηγής και της ανακλαστικής επιφάνειας βρίσκεται 3ος παρατηρητής Γ, ο οποίος τη στιγµή πο αρχίζει να κινείται προς την πηγή µε σταθερή επιτάχνση α10 m/ απέχει από ατή 900m. Να βρεθεί ο ρθµός µεταβολής της σχνότητας πο αντιλαµβάνεται ο παρατηρητής Γ και ο αριθµός των κµάτων πο λαµβάνει ο παρατηρητής Γ απ εθείας από την πηγή µέχρι να την σναντήσει. ίνεται η ταχύτητα το ήχο ως προς τον αέρα 340 m/. πάντηση: Θεωρούµε ακίνητο ποθετικό παρατηρητή πάνω στην ανακλαστική επιφάνεια, ο οποίος αντιλαµβάνεται ήχο σχνότητας: o ο o 1000 o 167Hz. 300 S Ο ανακλώµενος ήχος θεωρούµε ότι προέρχεται από ακίνητη πηγή πάνω στην ανακλαστική επιφάνεια και έχει σχνότητα o167 Hz. 1) i) Ο παρατηρητής αντιλαµβάνεται τον ήχο απ εθείας από την πηγή µε σχνότητα:

19 S Hz 300 S Το µήκος κύµατος το ήχο απ εθείας από την πηγή πο µετράει ο παρατηρητής µπορεί να πολογιστεί µε δύο τρόπος: α) εφαρµόζοντας τη θεµελιώδη κµατική εξίσωση προσαρµοσµένη στα µεγέθη πο αντιλαµβάνεται ο παρατηρητής. Σγκεκριµένα ο παρατηρητής µετράει ταχύτητα ήχο πο έρχεται από την πηγή: m/. Οπότε: λ λ λ λ 0,3 1 1 m m 100 β) ο παρατηρητής µετράει µήκος κύµατος ίσο µε την απόσταση µεταξύ µιας µετωπικής επιφάνειας και της θέσης της πηγής τη στιγµή πο εκπέµπει το αµέσως επόµενο κύµα. Εφόσον η πηγή κινείται προς τον παρατηρητή ισχύει: ( S ) 300 λ T ST ( S ) T λ λ m λ 0,3m 1000 ii) Ο παρατηρητής αντιλαµβάνεται τον ανακλώµενο ήχο µε σχνότητα: 1 30 ' o ' 167 Hz ' 1351, 5Hz 300 o S Το µήκος κύµατος το ανακλώµενο ήχο πο µετράει ο παρατηρητής µπορεί να πολογιστεί µε δύο τρόπος: α) εφαρµόζοντας τη θεµελιώδη κµατική εξίσωση προσαρµοσµένη στα µεγέθη πο αντιλαµβάνεται ο παρατηρητής. Σγκεκριµένα ο παρατηρητής µετράει ταχύτητα ήχο πο έρχεται από την ποθετική πηγή στην ανακλαστική επιφάνεια: m/. Οπότε: 30 λ λ λ m λ m 1 1 ' ' ' ' ' 0, 367 ' 1351,5 β) ο παρατηρητής µετράει µήκος κύµατος ίσο µε την απόσταση µεταξύ µιας µετωπικής επιφάνειας και της θέσης της πηγής τη στιγµή πο εκπέµπει το αµέσως επόµενο κύµα. Εφόσον η πηγή κινείται προς τον παρατηρητή ισχύει: ( ) 300 λ ' T T ( ) T λ ' λ ' m λ ' 0,367m o o 0 0 o o o 167 ) i) Ο παρατηρητής Β αντιλαµβάνεται τον ήχο απ εθείας από την πηγή µε σχνότητα:

20 330 S , 4Hz S Το µήκος κύµατος το ήχο απ εθείας από την πηγή πο µετράει ο παρατηρητής Β µπορεί να πολογιστεί µε δύο τρόπος: α) εφαρµόζοντας τη θεµελιώδη κµατική εξίσωση προσαρµοσµένη στα µεγέθη πο αντιλαµβάνεται ο παρατηρητής. Σγκεκριµένα ο παρατηρητής Β µετράει ταχύτητα ήχο πο έρχεται από την πηγή ίση µε: m/. Οπότε: 330 λ λ λ m λ 0,38m 868,4 β) ο παρατηρητής µετράει µήκος κύµατος ίσο µε την απόσταση µεταξύ µιας µετωπικής επιφάνειας και της θέσης της πηγής τη στιγµή πο εκπέµπει το αµέσως επόµενο κύµα. Εφόσον η πηγή αποµακρύνεται από τον παρατηρητή ισχύει: ( + S ) 380 λ T+ ST ( + S ) T λ λ m λ 0,38m 1000 ii) Ο παρατηρητής Β αντιλαµβάνεται τον ανακλώµενο ήχο µε σχνότητα: 330 ' o ' 167 Hz ' 1397, 7Hz 300 o S Το µήκος κύµατος το ανακλώµενο ήχο πο µετράει ο παρατηρητής Β µπορεί να πολογιστεί µε δύο τρόπος: α) εφαρµόζοντας τη θεµελιώδη κµατική εξίσωση προσαρµοσµένη στα µεγέθη πο αντιλαµβάνεται ο παρατηρητής. Σγκεκριµένα ο παρατηρητής Β µετράει ταχύτητα ήχο πο έρχεται από την ποθετική πηγή στην ανακλαστική επιφάνεια ίση µε: U-U330 m/. Οπότε: 330 λ λ λ m λ m ' ' ' ' ' 0,367 ' 1393, 7 β) ο παρατηρητής µετράει µήκος κύµατος ίσο µε την απόσταση µεταξύ µιας µετωπικής επιφάνειας και της θέσης της πηγής τη στιγµή πο εκπέµπει το αµέσως επόµενο κύµα. Εφόσον η πηγή κινείται προς τον παρατηρητή ισχύει: ( ) 300 λ ' T T ( ) T λ ' λ ' m λ ' 0,367m o o 0 0 o o o 167 3) Η πηγή εκπέµπει ηχητικό σήµα σχνότητας 1000 Hz µε χρονική διάρκεια t0. Άρα από την πηγή εκπέµπονται:

21 N S N S ts N 10 t S 4 κύµατα Ο παρατηρητής αντιλαµβάνεται τον ήχο απ εθείας από την πηγή µε σχνότητα 100 Hz. Άρα τον ίδιο αριθµό κµάτων 0000 τον λαµβάνει σε χρονικό διάστη- µα: 4 N N 10 t t t 16,7 t 100 Ο παρατηρητής Β αντιλαµβάνεται τον ήχο απ εθείας από την πηγή µε σχνότητα Β868,4 Hz. Άρα τον ίδιο αριθµό κµάτων 0000 τον λαµβάνει σε χρονικό διάστη- µα: 4 N N 10 t t t 3 t 868, 4 Σµπέρασµα: Οι παρατηρητές, Β αντιλαµβάνονται τον ίδιο αριθµό κµάτων πο εκπέµπει η πηγή σε διαφορετικό χρονικό διάστηµα από το χρονικό διάστηµα εκπο- µπής τος από την πηγή. 4) Σε χρονική διάρκεια 10 η πηγή εκπέµπει: N t N N 4 S S S S 10 κύµατα Ο παρατηρητής λαµβάνει απ εθείας από την πηγή: N t N N , 10 κύµατα Ο παρατηρητής Β λαµβάνει απ εθείας από την πηγή: N t N N 4 868, , κύµατα Στην ανακλαστική επιφάνεια προσπίπτον: N t N N 4 o o o o 1, κύµατα Στην ίδια χρονική διάρκεια οι παρατηρητές λαµβάνον διαφορετικό αριθµό κ- µάτων από ατόν πο εκπέµπει η πηγή. ν κινείται προς την πηγή λαµβάνει περισσότερα, ενώ αν αποµακρύνεται από την πηγή λιγότερα. 5) Η πηγή κινείται εθύγραµµα και οµαλά, οπότε διανύει απόσταση: xs St. Ο παρατηρητής Γ κινείται εθύγραµµα οµαλά επιταχνόµενα, οπότε διανύει απόσταση: x 1 Γ at. Επειδή κινούνται αντίρροπα τη στιγµή της σνάντησης ισχύει:

22 1 xs + xγ t+ at t + t t + t 900 S Λύνοντας τη δετεροβάθµια εξίσωση βρίσκοµε: t10. Η σχνότητα πο αντιλαµβάνεται ο παρατηρητής Γ µέχρι να σναντήσει την πηγή δίνεται από τη σχέση: + at t Γ S Γ 1000 Γ ( t) Γ + t S ηλαδή για t0: Γ3400/3 Hz, ενώ για t10: Γ 4400/3 Hz. πό τη γραφική παράσταση Γφ(t) προκύπτει ότι (Hz) η σταθερή κλίση της ισούται µε το ρθµό µεταβολής της σχνότητας πο αντιλαµβάνεται ο πα ρατηρητής Γ: d Hz εϕω dt 10 3 ω 10 t() Ο αριθµός των κµάτων πο λαµβάνει ο παρατηρητής Γ µέχρι να σναντήσει την πηγή είναι ίσος µε το εµβαδό πο περικλείεται από τη γραφική παράσταση Γφ(t) και τον άξονα το χρόνο: N 10 N N 1, κύµατα. Θοδωρής Παπασγορίδης