Sf. Ioan Damaschin Experienţa gândirii

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Sf. Ioan Damaschin Experienţa gândirii"

Transcript

1 Prof. Dr. Boris B. Brajović* Rezumat: Experienţa gândirii şi concepţia autorului despre creaţie în epoca medievală nu sunt văzute ca procese autonome, ci ca parte a practicii de reprezentare în cadrul concretului, mai presus de toate cerinţele şi aşteptările teologice. Tipice pentru gândirea medievală sunt sintezele în care filosofia este transformată în teologie, arta într-un mimesis al mimesisului, literatura într-o activitate de rugăciune. Diferitele fluxuri spirituale răsăritene şi apusene au dat naştere la două tipuri de gânditori: unul bizantin, bazat pe Grecia antică şi puterea sintezei, precum şi unul apusean scolastic, un intelectual sincretic ce se bazează pe gândirea critică. Sfântul Ioan Damaschin este întruchiparea unui gânditor bizantin, care cu o extraordinară uşurinţă a reapropriat şi a reformulat moştenirea intelectuală clasică şi creştină. Cuvinte cheie: a gândi, intelectual, scolastici, credinţă filosofică, eclectism. Încă din introducerea cărţii cu un titlu deosebit de semnificativ Thinking in the Middle Ages de Alain de Libera 1 (care este de fapt o continuare a renumitului studiu al lui Legoff asupra intelectualilor din anul ) ne confruntăm cu întrebarea absolut legitimă dacă în Evul Mediu există sau nu gânditori. Experienţa * Dr. Boris B. Brajović, profesor la Facultatea de Filosofie Nikšić, Universitatea din Muntenegru. bbbrajo@yahoo.gr. 1 Алан де Либера. Мислити у средњем веку, прев. А. Павловић, Београд: Плато, 2005, стр De fapt, Le Goff este un reprezentant al marii generaţii de istorici francezi, medievalişti excepţionali, care au fost orientaţi către jurnalul Annales, iar acest lucru a schimbat demersul metodologic în cercetarea proceselor istorice, punând accentul pe aşa-numitele analize ale istoriei totale şi nu asupra faptelor şi chestiunilor specifice. Vezi Jacques Le Goff, Srednjovekovna civilizacija zapadne Evrope, Jugoslavija: Beograd, Jacques Le Goff, Intelektualci u srednjem vijeku, Zagreb: Jesenski i Turk, RT, 94 (2012), nr. 1, p

2 gândirii şi noţiunea de autor şi creativitate în Evul Mediu fac parte dintre acele contradicţii legate de civilizaţie care au fost păstrate mult după antichitate în noile condiţii spirituale şi istorice. Gândirea apare în noile orientări nu ca un proces autonom, ci ca făcând parte din practici specifice în cadrul cerinţelor şi aşteptărilor reprezentative, în special teologice. Noi compuşi sunt caracteristici gândirii medievale compuşi în care filosofia se transformă în teologie, arta în mimesis al mimesisului, literatura în practica rugăciunii 3. Dar, ce anume semnifică şi indică un sistem de cunoaştere specific, a cărui armonie discreditată este descrisă în definiţiile epocii moderne prin termeni precum: transformare, compilare, pregătire şi aşa mai departe? Căci magistri scolastici, conştiinţa lor de sine de a fi un tip distinct de gânditori intelectuali în universităţi şi mănăstiri, colegii şi şcoli (deseori s-a întâmplat să fie pe acelaşi subiect şi domeniu), au provenit nu atât dintr-o criză teologică, cât dintr-o criză academică, care a fost accelerată atât de traducerile textelor lui Aristotel, cât şi de revoluţia urbană din secolul al XIII-lea. Ceea ce a apărut după criza academică este o consecinţă a procesului de secularizare, în care Divinul devine proscris, iar Deus revelatus devine Deus absconditus datorită forţelor centrifuge ale noului secol. A filosofa (philosophein) în cadrul credinţei şi a medita în Evul Mediu în Răsăritul Europei, în cadrul commonwealth-ului bizantin nu este acelaşi lucru şi nici nu are aceleaşi consecinţe ca în Apus. Motivele acestui fapt sunt numeroase, însă mai ales istorice, iar eu le-aş numi elenistice. Şi acest lucru nu înseamnă altceva decât a spune că Bizanţul, în lunga sa istorie de o mie de ani, după cum se spune de obicei, nu s-a mutat şi nu a fost separat de cercul civilizaţiei antice. Cea mai bună dovadă a acestei atitudini sunt programele educaţionale bizantine, precum: Biblioteca lui Photius 4 şi lexiconul din secolul al X-lea, intitulat Suda, în care predomină autorii şi textele antice şi unde există doar câteva surse medievale bizantine 5. Demostene ocupă acelaşi loc ca şi Sfântul Grigorie de Nyssa, Apolonius Discolus şi Ermogene din Tars sunt studiaţi şi citiţi ca şi cei mai buni scriitori creştini. Putem spune împreună cu Marios Begzos că Aristotel şi Platon nu sunt în Constantinopol scriitori antici, ci bizantini, în măsura în care ar trebui să vorbim despre teologia patristică ca teologie aristoteliană 6. Prezenţa lor permanentă în lumea bizantină a susţinut structural un sistem de educaţie care va deveni Studii şi articole 3 Mai mult informaţii despre aspectele noii estetici în studiul: Виктор Бичков, Естетика Отаца Цркве. Апологет. Блажени Августин, Службени гласник: Хришћански културни центар, Београд, 2010, p. 19 ff. 4 Este interesant faptul că în Biblioteca lui Photius, care constă în comentarii şi rezumare a 279 de lucrări, doar oatru dintre acestea sunt scrise după anul 600 e.n. 5 Vezi: Сирил Манго, Византијска књижевост као криво огледало, прев. М. Бабић, Карпос, 2009, p Vezi: Μάριος Περικλέους Μπέγζος, Διόνυσος και Διονύσιος. Ελληνισμός και Χριστιανισμός στη Συγκριτική Φιλοσοφία της Θρησκείας, Αθήνα, εκδόσεις Ελληνικά Γράμματα, 2000, p

3 Prof. Dr. Boris B. Brajović universal şi bazat pe lingvistica antică generală şi pe tradiţia filosofică. Cel mai bun exemplu de gânditor reprezentativ bizantin de tip răsăritean este Sfântul Ioan Damaschin. Întocmai în persoana şi activitatea sa se reunesc cele două elemente importante, opuse profilului intelectual al gânditorilor medievali occidentali. Acestea sunt: încrederea puternică şi competentă în tradiţiile filosofice antice şi derogarea iconofilă a oricărei forme de secularizare 7. Ioan Damaschin este întruchiparea unui gânditor bizantin care, cu o uşurinţă uimitoare a reapropriat şi a transformat moştenirea filosofiei antice creştine. De aceea a fost adesea numit teologul recapitulării 8 de către gânditorii bizantini. Este deci interesant că tocmai sistemul de cunoaştere al lui Damaschin a fost subestimat de Jaroslav Pelikan, care l-a evaluat ca fiind tern şi vag 9. Deşi remarcă faptul că opera lui este foarte departe de încheierea scolasticii, Pelikan aparţine grupului de teoreticieni care repetă o direcţie ce a calificat opera lui Damaschin ca un conglomerat de elemente de filosofie şi patristică greacă 10. Totuşi, problema dependenţei lui Damaschin de o tradiţie anterioară este adesea evidenţiată în mod necritic ca o chestiune de importanţă maximă, care împiedică în mare măsură înţelegerea concepţiei sale. Mai mult, caracterizarea celui mai mare volum al operei sale ca fiind o compilaţie nu pare să ajute la identificarea structurii interne şi a conceptelor de bază care străbat opera sa. Întreaga dezbatere asupra originalităţii lui Damaschin, care continuă şi astăzi şi care indică drept unic criteriu al operei sale o noţiune de eclectism, susţine că Damaschin este ultimul dintr-o mulţime de Părinţi greci, care, pur şi simplu, a abstractizat şi a repetat, chiar cu succes lucrările predecesorilor săi. Această chestiune este şi mai importantă, întrucât lucrările lui Damaschin au avut un impact major asupra gândirii bizantine, au fost traduse şi discutate în lumea islamică şi faţă de care nici chiar filosofii latini, în cea mai mare parte scolastici, nu au rămas indiferenţi. Cu excepţia interesului de înţeles până la urmă care a fost declanşat datorită influenţei lucrării lui Damaschin asupra gramatologiei Bisericii, teologiei şi istoriei ideilor 7 Averniceff vorbeşte despre relaţia dintre iconoclasm şi secularizare doar în trecere. Vezi: С.С. Аверницев, Византијска философија, приватно издање Д. Џамбића, Београд, 2009, Marcos Eugenicos, About the other quotations to the Manuel Caleca (Canonicus Graecus 49, л. 64: Oxford, Boldleian Library). Nu trebuie să neglijăm faptul că cultura antichităţii târzii a realizat de fapt o pregătire pentru codificarea tradiţiei doctrinare, creând o serie de compendii şi compilaţii. 9 Citat conform cu: Герхард Подскалски, Теологија и философија у Византији. Спор око теолошке методике у духовној историји позне Византије (XIV/XV), његове систематске основе и историјски развој, ПБФ/Институт за теолошка истраживања, Београд, 2010, p Ibidem, p. 37. Ar trebui să menţionăm totuşi excepţia lui Nicos Matsucas, care în lucrarea sa Istoria Filosofiei Bizantine, contrar curentului dominant, s-a referit la filosofia lui Damaschin ca fiind remarcabilă într-un secol (secolul al VIII-lea e.n.) care a integrat, în cel mai bun mod posibil, aspiraţiile gândirii bizantine până la acea vreme. Mulţi bizantinologi se referă la secolul al VIII-lea prin termenul aparţinând lui Gibbon, ca fiind cel întunecat. 60

4 creştine, această lucrare s-a confruntat adesea cu un anume fel de paternalism, pentru că a fost considerată primul exemplu semnificativ al scolasticismului din Evul Mediu târziu şi primul model real de compendii teologice din secolele al XII-lea şi al XIII-lea. Modelul de summa scolastică a fost reprodus de Toma d Aquino din conceptul de cunoaştere enciclopedică colectivă creat de Sfântul Ioan Damaschin. Totuşi, deseori chiar şi astfel de lecturi şi sarcini amplifică corelarea cu scolasticismul medieval cu privire la aplicarea metodelor şi nuanţelor aristoteliene în Damasc, mai degrabă decât explorarea diferenţelor fundamentale dintre aceste două discursuri teologice. Eclectismul patristic, despre care vorbim, este un tip de eclectism aproape diferit, dacă este să îl comparăm cu cel din perioada Antichităţii târzii, şi este total opus sincretismului de orice fel. Acel tip de eclectism patristic cuprinde întreaga filosofie bizantină în diferenţierea sa vizuală dintre aristotelianism şi platonism, care l-a condus pe Damaschin în mod repetat mai aproape de primul caz, însă care, uneori, l-a făcut să fie o excepţie platonică. Totuşi, nu ne lipseau astfel de interpretări ale lui Damaschin, care au dorit să îl considere reprezentant al neoplatonismului creştin sau ca exemplu remarcabil de misticism şi de logică aristoteliană în zona dogmei creştine 11. Deşi ambele motive anterioare au avut primul şi decisivul impact în abordarea personalităţii lui Damaschin, acestea au determinat parţial şi o metodă a acestei speculaţii şi abordări. Capitolele Filosofice (Dialectica), care sunt adesea privite ca un tip de fundament filosofic al dogmei, acceptă cu succes ceea ce se cheamă antic (în opoziţie faţă de lecturile scolastice ale lui Aristotel) şi promovează procesul de controlare, diferenţiere şi grefare a conceptelor şi categoriilor filosofice 12. Să ne aducem aminte că Damaschin a descoperit un sens al conceptelor teologice şi filosofice elementare, precum, esenţă - natură, hypostasis - persoană - homousios şi aşa mai departe. Aceasta ne conduce într-un spaţiu al declaraţiei şi definirilor filosofiei şi teologiei în Evul Mediu ca perioadă în care Damaschin a trăit şi a activat. Prima şi principala problemă este definirea filosofiei şi diferenţierea sa de teologia creştină în discursul lui Damaschin. Deci, dacă această lucrare ar putea fi numită Fântâna Cunoaşterii, eu cu siguranţă nu voi spune că este a mea, ci o voi aduna şi voi scoate ceea ce oamenii divini şi înţelepţii au vorbit pe alocuri. Aşadar, ar trebui să cunoaştem definiţia exactă a ceea ce este filosofia 13. Studii şi articole 11 Aici mă refer la câteva afirmaţii generale: Κ. Λογοθέτης, Ἡ φιλοσοφία τῶν Πατέρων καί τοῦ Μέσου Αἰῶνος, том 1, (Ἀθήνα: Κολλάρος, 1930), p , E von Ivanka, Plato christianus (Paris: Puf, 1948), ; G. De Ruggiero, Storia della filosofia, том 2/б (Bari: Laterza, 1946), p Α. Σιάσος, Τά ὅρια τῆς κατηγοριακῆς σημαντικῆς, ΕΕΘΣΑΠΘ 27 (1982), p Sfântul Ioan Damaschin, Dialectica, 532 A. 61

5 Prof. Dr. Boris B. Brajović Strâns legată de acest subiect este chestiunea utilizării limbajului filosofic şi o nouă redefinire a categoriilor filosofice prin intermediul comentatorilor lui Aristotel, mai ales scrierile sale despre logică, şi prin meditaţia metafizicii neoplatonice. Primul răspuns istoric ar fi un memento că în vremea lui Damaschin relaţia dintre aceste două spaţii a fost cu totul diferită faţă de situaţia actuală. În mentalitatea bizantină societatea, politica, filosofia, arta, viaţa de zi cu zi sunt o singură unitate istorică, iar omiterea acestui eveniment limitează înţelegerea corectă a problemei dintr-o cronologie diferită. Ce anume determină autenticitatea unei probleme filosofice: contextul său, diferenţierea terminologică sau răspunsurile oferite de text indiferent de ipoteza iniţială? Ar putea să fie un text filosofic caracterizat drept filosofic sau teologic, în ambele cazuri, când este independent de metodă şi când încearcă să soluţioneze şi să revoce o chestiune filosofică? Nu-i aşa că un spaţiu hermeneutic al filosofiei este suprimat şi adus la absurd în cazul în care ignoră, omite şi dezactivează în mod pragmatic anumite zone marginale care se întrunesc în miezul dilemei, în momentul în care este deschisă o nouă problemă relativ cu uşurinţă şi fără pregătirea corespunzătoare? Nu-i aşa că scopul hermeneutic filosofic este înţelegerea pe cât de mult posibil, verificarea oricărei decizii şi reconsiderarea limitelor gândirii? În această descentralizare şi policentricitate este oferită o transparenţă a graniţelor dintre gândirea filosofică şi cea teologică. Eclectismul patristic al lui Damaschin are un criteriu de diagnosticare prin care fiecare gând trebuie să fie atestat şi verificat, iar acest criteriu este o experienţă şi experienţa sa personală. Statutul cunoaşterii este determinat de Damaschin în baza experienţei sale personale. Totuşi, acest lucru nu înseamnă că experienţa sa personală, în subiectivitatea sa, este un criteriu epistemologic ca atare pentru că include experienţa tuturor celor iniţiaţi de Duhul Sfânt. Potrivit Tatălui, noţiunea de experienţă include percepţia senzorială a tuturor lucrurilor, a fiecărei fiinţe şi existenţe, inclusiv Dumnezeu. «Nu voi spune orice» (ceea ce este al meu şi ce este nou), deoarece cred că ceea ce se spune despre Transcendent este adevărul, confirmat de caracterul ierurgic al fiecărei filosofii creştine, ne învaţă Damaschin în primele fraze din introducerea sa la Dialectica. Dar de vreme ce rodul neascultării este moartea, iar discipolul ascultător şi modest al lui Hristos devine exaltat şi primeşte Harul iluminării şi, deschizându-şi gura, devine plin de Duh, iar mintea sa devine curată şi primeşte darul de a grăi de îndată ce îşi deschide gura, dar devine cel prin care grăieşte Duhul Sfânt, pentru toate acestea, supunându-mă lui Hristos în favoarea ta, Cel care stăpâneşte în mijlocul nostru, mă supun poruncii tale şi îmi deschid gura, sperând ca, prin rugăciunile tale, se vor umple de 62

6 Duh şi că nu voi grăi vorbe ce sunt rodul propriei mele minţi, ci al Duhului Sfânt, Cel ce îi luminează pe cei orbi, grăind şi exprimând ceea ce El îmi va dărui mie 14. Damaschin este un teolog care exprimă în mod liturgic semnificaţia Revelaţiei lui Dumnezeu, este un liturghisitor al Simţirii lui Dumnezeu. Există trei proceduri metodologice care iau naştere dintr-o astfel de poziţionare teologică. În primul rând: încrederea în experienţă, în al doilea rând: evocarea tradiţiilor şi în treilea rând: folosirea complementară şi selectivă a cunoaşterii filosofice. Mai mult, opera lui Damaschin oferă un studiu filosofic integral, deoarece rezumă metodic tradiţiile teologice şi filosofice anterioare. Scrierile lui Damaschin dezvăluie cunoaşterea cunoaşterii, precum şi cunoaşterea problemei relaţiei dintre cunoaştere, tradiţie şi revelaţie. O asemenea lectură şi înţelegere este consecinţa experienţială a acelei tradiţii agrapha dogmata, în care doar adepţii botezului vor fi introduşi. De fapt, la Damaschin avem un caz de istorie perceptivă a numinosului sau, cu alte cuvinte, avem de-a face cu ceea ce Sfântul Vasile cel Mare numea dogmă sau ceea ce Augustin a stabilit ca fiind verbum interius. Tradus de dictonul hermeneutic, am putea spune că tot ceea ce este universal nu poate fi spus fără răgaz sau verbus signatus nu corespunde în totalitate unui actus exercitus. Elaborând noţiunea de dogmă, Sfântul Vasile s-a opus, de fapt, principiului de sola scriptura care, secole mai târziu, în redacţia protestantă de ştiri a lui Luther, va deveni principiul universal al hristologiilor polimorfe 15. Principiul conform căruia Scripturile sunt sui interpres ipsius, adică faţă de care înţelegerea şi dezvăluirea întregului element are loc întotdeauna în acel literal verbum, va duce lipsă de acea tradiţie patristică sacramentală. Şi acela este Adevărul-cheie relevat de Dumnezeu sau, după cum defineşte episcopul Atanasie Jevtic, tradiţia vie este experienţa permanentă inaccesibilă şi cedarea în faţa tainei acelui lucru care face credinţa şi practica Bisericii sau, mai bine zis, tradiţia vieţii şi credinţei Bisericii ca Mister al lui Dumnezeu întru Hristos 16. Într-una dintre cele mai renumite citate patristice, cea a Sfântului Vasile cel Mare din lucrarea sa Despre Sfântul Duh 17, găsim esenţa teologiei ortodoxe: Legat de învăţăturile şi predicile care se ţin în Biserică, unele dintre acestea le avem ca învăţături scrise, iar altele le-am primit prin tradiţia apos- Studii şi articole 14 Sfântul Ioan Damaschin, Dialectica, 524 B. 15 Vezi noţiunea Hristologiilor polimorfe de la începutul creştinismului în articolul: Paul Foster, Polymorfic Christology, its origins and development in early Christianity, Journal of Theological Studies, NS, vol. 58, Pt 1, aprilie, A se vedea Владика Атанасије Јевтић, Живо предање у Цркви, Братство Св. Симеона Мироточивог; Видослов, Врњачка Бања, Ман. Тврдош, 1998, p. 197 ff. 17 Sfântul Vasile cel Mare, Despre Sfântul Duh, Ch 27, 66./ 63

7 Prof. Dr. Boris B. Brajović tolică în taină (în secret). Ambele au aceeaşi putere şi însemnătate pentru Dreapta Credinţă (cf. 1 Tim 3, 16). Şi acest lucru, desigur, nu îl va nega nimeni care are chiar şi o puţină experienţă legată de instituţiile bisericii. De fapt, avem de-a face cu o teologie ambiguă care poate fi înţeleasă doar în cadrul Bisericii pentru că una este dogma, alta este kerygma. Prima trebuie ţinută sub tăcere, iar cealaltă trebuie să fie anunţată în mod public (άλλο γάρ δόγμα και άλλο κήρυγμα. To μεν γάρ σιωπάται, τα δε κηρύγματα δημοσιεύεται). Legitimitatea celor două (tăcerea şi anunţul public) provine dintr-un exces crescând al Infinitului, din simţul Înţelegerii, care se separă de manifestarea sau de prezenţa existenţei 18. Chestiunea originalităţii gândirii Sfântului Ioan Damaschin, precum şi originalitatea tipului bizantin de gânditor, în general, reprezintă doar un aspect periferic în acel discurs istorico-filosofic în care există un imperativ filosofic, faptul că este permis a gândi şi a vorbi doar detaşat şi neimplicat în niciun fel de certitudine, chiar dacă ar fi vorba despre certitudinea divină. Iar pentru un bizantin, mai ales pentru unul cum a fost Sfântul Ioan Damaschin, fără implicare nu poate exista nici o cunoaştere a adevărului şi a vieţii E. Levinas, Kad Bog upada u mišljenje, NIP Glas Hecegovine, Trebinje, 2008, p.101;

Curs 4 Serii de numere reale

Curs 4 Serii de numere reale Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni

Διαβάστε περισσότερα

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a. Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă

Διαβάστε περισσότερα

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:

Διαβάστε περισσότερα

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare 1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe

Διαβάστε περισσότερα

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii

Διαβάστε περισσότερα

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele

Διαβάστε περισσότερα

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ

Διαβάστε περισσότερα

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gh. Asachi Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia

Διαβάστε περισσότερα

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006 Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale

Διαβάστε περισσότερα

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă. III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar

Διαβάστε περισσότερα

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.

Διαβάστε περισσότερα

riptografie şi Securitate

riptografie şi Securitate riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare

Διαβάστε περισσότερα

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,

Διαβάστε περισσότερα

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1 1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2

Διαβάστε περισσότερα

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE. 5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este

Διαβάστε περισσότερα

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,

Διαβάστε περισσότερα

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia

Διαβάστε περισσότερα

4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica

Διαβάστε περισσότερα

MARCAREA REZISTOARELOR

MARCAREA REZISTOARELOR 1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea

Διαβάστε περισσότερα

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2 5.4. MULTIPLEXOARE Multiplexoarele (MUX) sunt circuite logice combinaţionale cu m intrări şi o singură ieşire, care permit transferul datelor de la una din intrări spre ieşirea unică. Selecţia intrării

Διαβάστε περισσότερα

Ακαδημαϊκός Λόγος Κύριο Μέρος

Ακαδημαϊκός Λόγος Κύριο Μέρος - Επίδειξη Συμφωνίας În linii mari sunt de acord cu...deoarece... Επίδειξη γενικής συμφωνίας με άποψη άλλου Cineva este de acord cu...deoarece... Επίδειξη γενικής συμφωνίας με άποψη άλλου D'une façon générale,

Διαβάστε περισσότερα

Εμπορική αλληλογραφία Ηλεκτρονική Αλληλογραφία

Εμπορική αλληλογραφία Ηλεκτρονική Αλληλογραφία - Εισαγωγή Stimate Domnule Preşedinte, Stimate Domnule Preşedinte, Εξαιρετικά επίσημη επιστολή, ο παραλήπτης έχει ένα ειδικό τίτλο ο οποίος πρέπει να χρησιμοποιηθεί αντί του ονόματος του Stimate Domnule,

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1 Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element

Διαβάστε περισσότερα

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice 1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă

Διαβάστε περισσότερα

a. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 %

a. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 % 1. Un motor termic funcţionează după ciclul termodinamic reprezentat în sistemul de coordonate V-T în figura alăturată. Motorul termic utilizează ca substanţă de lucru un mol de gaz ideal având exponentul

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0 Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,

Διαβάστε περισσότερα

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare

Διαβάστε περισσότερα

Integrala nedefinită (primitive)

Integrala nedefinită (primitive) nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei

Διαβάστε περισσότερα

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005. SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care

Διαβάστε περισσότερα

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2 .1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,

Διαβάστε περισσότερα

Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare

Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare

Διαβάστε περισσότερα

Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice

Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice Olimpiada de Fizică - Etapa pe judeţ 15 ianuarie 211 XI Problema a II - a (1 puncte) Diferite circuite electrice A. Un elev utilizează o sursă de tensiune (1), o cutie cu rezistenţe (2), un întrerupător

Διαβάστε περισσότερα

5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE

5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE 5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.

Διαβάστε περισσότερα

Curs 2 Şiruri de numere reale

Curs 2 Şiruri de numere reale Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un

Διαβάστε περισσότερα

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:, REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii

Διαβάστε περισσότερα

V O. = v I v stabilizator

V O. = v I v stabilizator Stabilizatoare de tensiune continuă Un stabilizator de tensiune este un circuit electronic care păstrează (aproape) constantă tensiunea de ieșire la variaţia între anumite limite a tensiunii de intrare,

Διαβάστε περισσότερα

Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36].

Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Componente şi circuite pasive Fig.3.85. Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Fig.3.86. Rezistenţa serie echivalentă pierderilor în funcţie

Διαβάστε περισσότερα

Foarte formal, destinatarul ocupă o funcţie care trebuie folosită în locul numelui

Foarte formal, destinatarul ocupă o funcţie care trebuie folosită în locul numelui - Introducere Αξιότιμε κύριε Πρόεδρε, Αξιότιμε κύριε Πρόεδρε, Foarte formal, destinatarul ocupă o funcţie care trebuie folosită în locul numelui Αγαπητέ κύριε, Αγαπητέ κύριε, Formal, destinatar de sex

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare

Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R În cele ce urmează, vom studia unele proprietăţi ale mulţimilor din R. Astfel, vom caracteriza locul" unui punct în cadrul unei mulţimi (în limba

Διαβάστε περισσότερα

1.7. AMPLIFICATOARE DE PUTERE ÎN CLASA A ŞI AB

1.7. AMPLIFICATOARE DE PUTERE ÎN CLASA A ŞI AB 1.7. AMLFCATOARE DE UTERE ÎN CLASA A Ş AB 1.7.1 Amplificatoare în clasa A La amplificatoarele din clasa A, forma de undă a tensiunii de ieşire este aceeaşi ca a tensiunii de intrare, deci întreg semnalul

Διαβάστε περισσότερα

5.1. Noţiuni introductive

5.1. Noţiuni introductive ursul 13 aitolul 5. Soluţii 5.1. oţiuni introductive Soluţiile = aestecuri oogene de două sau ai ulte substanţe / coonente, ale căror articule nu se ot seara rin filtrare sau centrifugare. oonente: - Mediul

Διαβάστε περισσότερα

6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă

6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă Semiar 5 Serii cu termei oarecare Probleme rezolvate Problema 5 Să se determie atura seriei cos 5 cos Soluţie 5 Şirul a 5 este cu termei oarecare Studiem absolut covergeţa seriei Petru că cos a 5 5 5 şi

Διαβάστε περισσότερα

Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii.

Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. Seminarul 1 Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. 1.1 Breviar teoretic 1.1.1 Esalonul Redus pe Linii (ERL) Definitia 1. O matrice A L R mxn este in forma de Esalon Redus pe Linii (ERL), daca indeplineste

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.

Διαβάστε περισσότερα

Criptosisteme cu cheie publică III

Criptosisteme cu cheie publică III Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.

Διαβάστε περισσότερα

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3 SEMINAR 2 SISTEME DE FRŢE CNCURENTE CUPRINS 2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere...1 2.1. Aspecte teoretice...2 2.2. Aplicaţii rezolvate...3 2. Sisteme de forţe concurente În acest

Διαβάστε περισσότερα

O generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013

O generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013 O generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013 Marius Tărnăuceanu 1 Aprilie 2013 Abstract În această lucrare vom prezenta un rezultat ce extinde Problema

Διαβάστε περισσότερα

Valori limită privind SO2, NOx şi emisiile de praf rezultate din operarea LPC în funcţie de diferite tipuri de combustibili

Valori limită privind SO2, NOx şi emisiile de praf rezultate din operarea LPC în funcţie de diferite tipuri de combustibili Anexa 2.6.2-1 SO2, NOx şi de praf rezultate din operarea LPC în funcţie de diferite tipuri de combustibili de bioxid de sulf combustibil solid (mg/nm 3 ), conţinut de O 2 de 6% în gazele de ardere, pentru

Διαβάστε περισσότερα

Studiu de caz sinoptic al unei părți a tradiției ortodoxe academice

Studiu de caz sinoptic al unei părți a tradiției ortodoxe academice Ortodoxia 2/2014, pp. 172-242 Părintele bisericesc sau Sfântul Părinte, martor al lucrării Sfântului Duh în Biserică și în membrii acesteia. Noțiunea de Părinte bisericesc în tradiția patristică, originea

Διαβάστε περισσότερα

Cursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15

Cursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15 MĂSURI RELE Cursul 13 15 Măsuri reale Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi f : R o funcţie -măsurabilă. Cum am văzut în Teorema 11.29, dacă f are integrală pe, atunci funcţia de mulţime ν : R, ν()

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval

Διαβάστε περισσότερα

Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.

Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera. pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu

Διαβάστε περισσότερα

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu Primul test de selecție pentru juniori I. Să se determine numerele prime p, q, r cu proprietatea că 1 p + 1 q + 1 r 1. Fie ABCD un patrulater convex cu m( BCD) = 10, m( CBA) = 45, m( CBD) = 15 și m( CAB)

Διαβάστε περισσότερα

10. STABILIZATOAE DE TENSIUNE 10.1 STABILIZATOAE DE TENSIUNE CU TANZISTOAE BIPOLAE Stabilizatorul de tensiune cu tranzistor compară în permanenţă valoare tensiunii de ieşire (stabilizate) cu tensiunea

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune

1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune .3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este

Διαβάστε περισσότερα

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este

Διαβάστε περισσότερα

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3) BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul

Διαβάστε περισσότερα

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii

Διαβάστε περισσότερα

Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015

Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Societatea de Ştiinţe Matematice din România Ministerul Educaţiei Naţionale Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Problema 1. Arătaţi că numărul 1 se poate reprezenta ca suma

Διαβάστε περισσότερα

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare

Διαβάστε περισσότερα

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei

Διαβάστε περισσότερα

Principiul Inductiei Matematice.

Principiul Inductiei Matematice. Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei

Διαβάστε περισσότερα

1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR

1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR 1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR a) Să se exprime densitatea apei ρ = 1000 kg/m 3 în g/cm 3. g/cm 3. b) tiind că densitatea glicerinei la 20 C este 1258 kg/m 3 să se exprime în c) Să se exprime în kg/m 3 densitatea

Διαβάστε περισσότερα

Criterii de comutativitate a grupurilor

Criterii de comutativitate a grupurilor Criterii de comutativitate a grupurilor Marius Tărnăuceanu 10.03.2017 Abstract În această lucrare vom prezenta mai multe condiţii suficiente de comutativitate a grupurilor. MSC (2010): 20A05, 20K99. Key

Διαβάστε περισσότερα

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011 Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)

Διαβάστε περισσότερα

页面

页面 订单 - 配售 Εξετάζουμε την αγορά...luăm în considerare posibi 正式, 试探性 Είμαστε στην ευχάριστη Suntem θέση να încântați δώσουμε την să plasăm παραγγελία μας στην εταιρεία comandă σας pentru... για... Θα θέλαμε

Διαβάστε περισσότερα

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale. 5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța

Διαβάστε περισσότερα

CONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ

CONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ CONCURS DE ADMITERE, 7 iulie 207 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (30 puncte) ) (0 puncte) Să se arate că oricare ar

Διαβάστε περισσότερα

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii

Διαβάστε περισσότερα

Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)).

Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)). Teoremă. (Y = f(x)). Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism Demonstraţie. f este continuă pe X: x 0 X, S Y (f(x 0 ), ε), S X (x 0, ε) aşa ca f(s X (x 0, ε)) = S Y (f(x 0 ), ε) : y

Διαβάστε περισσότερα

Lucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b.

Lucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b. Lucrare Soluţii 28 aprilie 2015 Varianta 1 I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2 Definiţie. Numărul întreg p se numeşte număr prim dacă p 0,

Διαβάστε περισσότερα

VII.2. PROBLEME REZOLVATE

VII.2. PROBLEME REZOLVATE Teoria Circuitelor Electrice Aplicaţii V PROBEME REOVATE R7 În circuitul din fiura 7R se cunosc: R e t 0 sint [V] C C t 0 sint [A] Se cer: a rezolvarea circuitului cu metoda teoremelor Kirchhoff; rezolvarea

Διαβάστε περισσότερα

a. Caracteristicile mecanice a motorului de c.c. cu excitaţie independentă (sau derivaţie)

a. Caracteristicile mecanice a motorului de c.c. cu excitaţie independentă (sau derivaţie) Caracteristica mecanică defineşte dependenţa n=f(m) în condiţiile I e =ct., U=ct. Pentru determinarea ei vom defini, mai întâi caracteristicile: 1. de sarcină, numită şi caracteristica externă a motorului

Διαβάστε περισσότερα

11.3 CIRCUITE PENTRU GENERAREA IMPULSURILOR CIRCUITE BASCULANTE Circuitele basculante sunt circuite electronice prevăzute cu o buclă de reacţie pozitivă, folosite la generarea impulsurilor. Aceste circuite

Διαβάστε περισσότερα

Proiectarea filtrelor prin metoda pierderilor de inserţie

Proiectarea filtrelor prin metoda pierderilor de inserţie FITRE DE MIROUNDE Proiectarea filtrelor prin metoda pierderilor de inserţie P R Puterea disponibila de la sursa Puterea livrata sarcinii P inc P Γ ( ) Γ I lo P R ( ) ( ) M ( ) ( ) M N P R M N ( ) ( ) Tipuri

Διαβάστε περισσότερα

Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ

Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8

Διαβάστε περισσότερα

a) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A.

a) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A. Bac Variata Proil: mate-izica, iormatica, metrologie Subiectul I (3 p) Se cosidera matricele: X =, Y = ( ) si A= a) (3p) Sa se calculeze XY A b) (4p) Sa se calculeze determiatul si ragul matricei A c)

Διαβάστε περισσότερα

Conice - Câteva proprietǎţi elementare

Conice - Câteva proprietǎţi elementare Conice - Câteva proprietǎţi elementare lect.dr. Mihai Chiş Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Universitatea de Vest din Timişoara Viitori Olimpici ediţia a 5-a, etapa I, clasa a XII-a 1 Definiţii

Διαβάστε περισσότερα

Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu,

Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, vidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Capitolul 6 Amplificatoare operaţionale 58. Să se calculeze coeficientul de amplificare în tensiune pentru amplficatorul inversor din fig.58, pentru care se

Διαβάστε περισσότερα

Προσωπική Αλληλογραφία Επιστολή

Προσωπική Αλληλογραφία Επιστολή - Διεύθυνση Andreea Popescu Str. Reşiţa, nr. 4, bloc M6, sc. A, ap. 12. Turnu Măgurele Jud. Teleorman 06102. România. Ελληνική γραφή διεύθυνσης: Όνομα Παραλήπτη Όνομα και νούμερο οδού Ταχυδρομικός κώδικας,

Διαβάστε περισσότερα

Câmp de probabilitate II

Câmp de probabilitate II 1 Sistem complet de evenimente 2 Schema lui Poisson Schema lui Bernoulli (a bilei revenite) Schema hipergeometrică (a bilei neîntoarsă) 3 4 Sistem complet de evenimente Definiţia 1.1 O familie de evenimente

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul ASAMBLAREA LAGĂRELOR LECŢIA 25

Capitolul ASAMBLAREA LAGĂRELOR LECŢIA 25 Capitolul ASAMBLAREA LAGĂRELOR LECŢIA 25 LAGĂRELE CU ALUNECARE!" 25.1.Caracteristici.Părţi componente.materiale.!" 25.2.Funcţionarea lagărelor cu alunecare.! 25.1.Caracteristici.Părţi componente.materiale.

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VII-a

Subiecte Clasa a VII-a lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate

Διαβάστε περισσότερα

Wissenschaftlich Einführung

Wissenschaftlich Einführung - Einleitung Σε αυτήν την εργασία/διατριβή θα αναλύσω/εξετάσω/διερευνήσω/αξιολογήσω... Allgemeine Einleitung einer Arbeit În acest eseu/această lucrare/teză voi examina/investiga/evalua/analiza... Για

Διαβάστε περισσότερα

riptografie şi Securitate

riptografie şi Securitate riptografie şi Securitate - Prelegerea 21.2 - Sistemul de criptare ElGamal Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Scurt istoric

Διαβάστε περισσότερα

Activitatea A5. Introducerea unor module specifice de pregătire a studenţilor în vederea asigurării de şanse egale

Activitatea A5. Introducerea unor module specifice de pregătire a studenţilor în vederea asigurării de şanse egale POSDRU/156/1.2/G/138821 Investeşte în oameni! FONDUL SOCIAL EUROPEAN Programul Operaţional Sectorial pentru Dezvoltarea Resurselor Umane 2007 2013 Axa prioritară nr. 1 Educaţiaşiformareaprofesionalăînsprijinulcreşteriieconomiceşidezvoltăriisocietăţiibazatepecunoaştere

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.5.ARENE

Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.5.ARENE Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.5.ARENE TEST 2.5.3 I. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare. 1. Sulfonarea benzenului este o reacţie ireversibilă.

Διαβάστε περισσότερα

III. Reprezentarea informaţiei în sistemele de calcul

III. Reprezentarea informaţiei în sistemele de calcul Metode Numerice Curs 3 III. Reprezentarea informaţiei în sistemele de calcul III.1. Reprezentarea internă a numerelor întregi III. 1.1. Reprezentarea internă a numerelor întregi fără semn (pozitive) Reprezentarea

Διαβάστε περισσότερα

Vectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt.

Vectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt. liberi 1 liberi 2 3 4 Segment orientat liberi Fie S spaţiul geometric tridimensional cu axiomele lui Euclid. Orice pereche de puncte din S, notată (A, B) se numeşte segment orientat. Dacă A B, atunci direcţia

Διαβάστε περισσότερα

TRATAT DE METAFIZICĂ

TRATAT DE METAFIZICĂ Nae Ionescu TRATAT DE METAFIZICĂ 1936 1937 [12 ianuarie 1937] I. INTRODUCERE Metafizica mărturisire de credinţă Moartea şi depăşirea limitelor condiţiei umane Metafizica încercare de echilibrare a omului

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 14. Asamblari prin pene

Capitolul 14. Asamblari prin pene Capitolul 14 Asamblari prin pene T.14.1. Momentul de torsiune este transmis de la arbore la butuc prin intermediul unei pene paralele (figura 14.1). De care din cotele indicate depinde tensiunea superficiala

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE

Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE TEST 2.4.1 I. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare. Rezolvare: 1. Alcadienele sunt hidrocarburi

Διαβάστε περισσότερα

Integrale cu parametru

Integrale cu parametru 1 Integrle proprii cu prmetru 2 3 Integrle proprii cu prmetru Definiţi 1.1 Dcă f : [, b ] E R, E R este o funcţie cu propriette că pentru orice y E, funcţi de vribilă x x f (x, y) este integrbilă pe intervlul

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l +

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l + Semnul local al unei funcţii care are limită. Propoziţie. Fie f : D (, d) R, x 0 D. Presupunem că lim x x 0 f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl,

Διαβάστε περισσότερα

Statisticǎ - curs 3. 1 Seria de distribuţie a statisticilor de eşantioane 2. 2 Teorema limitǎ centralǎ 5. 3 O aplicaţie a teoremei limitǎ centralǎ 7

Statisticǎ - curs 3. 1 Seria de distribuţie a statisticilor de eşantioane 2. 2 Teorema limitǎ centralǎ 5. 3 O aplicaţie a teoremei limitǎ centralǎ 7 Statisticǎ - curs 3 Cuprins 1 Seria de distribuţie a statisticilor de eşantioane 2 2 Teorema limitǎ centralǎ 5 3 O aplicaţie a teoremei limitǎ centralǎ 7 4 Estimarea punctualǎ a unui parametru; intervalul

Διαβάστε περισσότερα

3. REPREZENTAREA PLANULUI

3. REPREZENTAREA PLANULUI 3.1. GENERALITĂŢI 3. REPREZENTAREA PLANULUI Un plan este definit, în general, prin trei puncte necoliniare sau prin o dreaptă şi un punct exterior, două drepte concurente sau două drepte paralele (fig.3.1).

Διαβάστε περισσότερα

Cercul lui Euler ( al celor nouă puncte și nu numai!)

Cercul lui Euler ( al celor nouă puncte și nu numai!) Cercul lui Euler ( al celor nouă puncte și nu numai!) Prof. ION CĂLINESCU,CNDG, Câmpulung Voi prezenta o abordare simplă a determinării cercului lui Euler, pe baza unei probleme de loc geometric. Preliminarii:

Διαβάστε περισσότερα