f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l +

Transcript

1 Semnul local al unei funcţii care are limită. Propoziţie. Fie f : D (, d) R, x 0 D. Presupunem că lim x x 0 f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. Demonstraţie. Deoarece l 0, folosind condiţia ε δ, cu ε = l > 0, rezultă că δ > 0 astfel încât x D\{x 0 }, cu d(x, x 0 ) < δ, avem f(x) l < ε, deci x S(x 0, δ) D\{x 0 }, l l l < f(x) < l +. Dacă l > 0, atunci f(x) > l > 0, iar dacă l < 0, atunci f(x) < l < 0, deci, în ambele situaţii, sgnf(x) = sgnl, x S(x 0, δ) D\{x 0 }. Limite iterate. Pentru funcţiile de variabile (sau, mai general, de p variabile) se pot considera de asemenea aşa-numitele limite iterate: lim lim f(x, y) şi lim lim f(x, y), care, dacă există, nu sunt neapărat x x 0 y y 0 y y 0 x x 0 egale. Observaţie. 1) Se poate întâmpla ca limitele iterate să existe şi să fie egale, dar limita globală (în ansamblul variabilelor): f(x, y) să nu existe. lim (x,y) (x 0,y 0) ) Se poate întâmpla ca limitele iterate să nu existe (sau să nu existe una dintre ele), dar limita globală să existe. 3) Dacă există limita globală şi dacă există lim f(x, y), f(x, y) şi lim x x 0 y y 0 atunci există ambele limite iterate şi sunt egale cu limita globală. 4) Dacă există ambele limite iterate şi sunt diferite, atunci nu există limita globală. Exemplu. Ne propunem să studiem limitele iterate şi limita globală în (0, 0) pentru funcţia f(x, y) = x y+x +y, (x, y) R \{(x, y); x + y = 0}. Avem: lim lim x 0y 0 lim f(x, y) = lim f(x, y). x 0 x+y x+x x y+y = 1, lim lim f(x, y) = lim y 0x 0 y 0 y De altfel, acelaşi rezultat se obţine şi astfel: f(( 1 n+1 n, 0)) = n f(( 1 n, 1 n )) = 1 n 0 1. = 1, deci 1, iar FUNCŢII CONTINUE 1

2 Fie f : D (, d 1 ) (Y, d ) şi a D (prin urmare, a poate fi punct izolat sau punct de acumulare pentru D). Definiţie. i) (cu vecinătăţi) Spunem că funcţia f este continuă în punctul a D dacă V V(f(a)), U V(a) astfel încât x U D, f(x) V (sau, echivalent, f(u D) V ) ii) O funcţie care nu este continuă într-un punct se spune că este discontinuă în punctul respectiv. iii) Funcţia f se numeşte continuă (global) pe mulţimea D dacă este continuă în fiecare punct din D. Observaţie. Dacă a D este punct izolat pentru D, atunci f este continuă în a. Într-adevăr, a fiind punct izolat, U 0 V(a) astfel încât U 0 D = {a}. Prin urmare, V V(f(a)), U 0 V(a) astfel încât f(u 0 D) = f({a}) V, deci f este continuă în a. Teoremă. Fie f : D (, d 1 ) (Y, d ) şi a D D. Atunci f este continuă în a dacă şi numai dacă lim f(x) = f(a). Demonstraţie. Necesitatea. Presupunem că f este continuă în a. Atunci, V V(f(a)), U V(a) astfel încât f(u D) V, de unde, cu atât mai mult, f(u D\{a}) V, ceea ce înseamnă că lim f(x) = f(a). Suficienţa. Presupunem că lim f(x) = f(a). Atunci, V V(f(a)), U V(a) astfel încât f(u D\{a}) V. Întrucât şi f({a}) V, rezultă că f(u D) V, deci f este continuă în a. Consecinţă. Fie f : D (, d 1 ) (Y, d ) şi a D. Atunci f este continuă în a dacă şi numai dacă ori a este punct izolat, ori a D D şi lim f(x) = f(a). Din teorema anterioară şi teorema de caracterizare a existenţei limitei unei funcţii într-un punct, rezultă imediat: Teoremă (de caracterizare a continuităţii punctuale). Următoarele afirmaţii sunt echivalente: i) f este continuă în punctul a (definiţia cu vecinătăţi); ii) (definiţia cu sfere) S Y (f(a), ε), S (a, δ) astfel încât x S (a, δ) D, f(x) S Y (f(a), ε); iii) (caracterizarea analitică cu ε δ) ε > 0, δ(ε) > 0 astfel încât x D, cu d 1 (x, a) < δ, avem d (f(x), f(a)) < ε; iv) (caracterizarea cu şiruri) (x n ) n D, x n a f(xn ) Y f(a). Teoremă. (caracterizarea pe componente pentru funcţii vectoriale) Funcţia f = (f 1, f,..., f q ) : D R p R q este continuă în punctul a D dacă şi numai dacă toate componentele sale f i, i = 1, q, sunt funcţii continue în a.

3 Exemple. i) Orice funcţie constantă f : (, d) (, d) este continuă pe deoarece a şi (x n ) n, x n a f(xn ) = c f(a) = c. ii) Aplicaţia identică i : (, d) (, d) este continuă pe deoarece a şi (x n ) n, x n a i(xn ) = x n i(a) = a. iii) f : (R, d 0 ) (, d) (d 0 metrica discretă) este continuă pe R deoarece d a R arbitrar, fixat, x 0 n a, n1 N astfel ca n n 1, d 0 (x n, a) < 1, deci x n = a, n n 1. Prin urmare, f(x { n ) = f(a), n n 1, de unde f(x n ) f(a). iv) Fie f : R x y R, f(x, y) = x +y. Observăm că f este continuă pe R. Într-adevăr, f este continuă în (0, 0) : lim f(x, y) = lim x y x +y = lim 0 = f(0, 0) şi f este continuă în orice punct din R \{(0, 0)} : Fie (x n, y n ) n R, (x n, y n ) (x 0, y 0 ) (0, 0), oarecare. Atunci x 0 0 sau y 0 0, de unde, (eventual de la un loc încolo), x n 0 sau y n 0, deci (x n, y n ) (0, 0), n n 0. Prin urmare, f(x n, y n ) = x n yn x x 0 y0 n +y n x 0 +y 0 = f(x 0, y 0 ). Teoremă (continuitatea compunerii). Dacă f : (, d 1 ) (Y, d ) este continuă în a şi g : (Y, d ) (Z, d 3 ) este continuă în b = f(a) Y, atunci g f : (, d 1 ) (Z, d 3 ) este continuă în a. Demonstraţie. (x n ) n, x n a f(xn ) Y f(a) (g f)(x n ) = g(f(x n )) Z g(f(a)) = (g f)(a). Teoremă (de caracterizare a continuităţii globale). Fie f : (, d 1 ) (Y, d ). Următoarele afirmaţii sunt echivalente: i) f este continuă pe ; ii) D τ Y f 1 (D) τ ( altfel spus, f întoarce mulţimi deschise în mulţimi deschise); iii) Fînchisă Y = f 1 (F ) este închisă în ( altfel spus, f întoarce mulţimi închise în mulţimi închise); iv) A f(a) f(a). Demonstraţie. i) iv): A, y f(a), x A astfel ca f(x) = y. Deoarece x A, (x n ) n A, x n x. Întrucât f este continuă pe, f(x n) f(x). Prin urmare, (f(x n )) n f(a) aşa încât f(x n ) f(x) = y f(a). iv) = iii): Fînchisă Y, fie A = f 1 (F ). Avem f(f 1 (F )) f(f 1 (F )) F = F, deci (f 1 (F )) f 1 (F ), adică, echivalent, f 1 (F ) este închisă. iii) ii): D τ Y, Y \D este închisă în Y, deci din ipoteză f 1 (Y \D) = f 1 (Y )\f 1 (D) = \f 1 (D) este închisă în, deci f 1 (D) este deschisă în. ii) = i): Fie x 0 oarecare, fixat. Arătăm că f este continuă în x 0 folosind definiţia cu sfere. Fie deci S Y (f(x 0 ), ε) oarecare. Deoarece S Y (f(x 0 ), ε) x x +y y = 3

4 este deschisă în, conform cu ii), f 1 (S Y (f(x 0 ), ε)) este deschisă în. Întrucât x 0 f 1 (S Y (f(x 0 ), ε)), există S (x 0, δ) f 1 (S Y (f(x 0 ), ε)), de unde f(s (x 0, δ)) S Y (f(x 0 ), ε), ceea ce arată că f este continuă în x 0. Principiul contracţiei Definiţie. O funcţie f : (, d) (, d) este contracţie dacă λ (0, 1) (numită constanta contracţiei) astfel ca d(f(x), f(y)) λd(x, y), x, y (cu alte cuvinte, prin aplicarea unei contracţii unei perechi de puncte, distanţa dintre ele se contractă). Definiţie. O funcţie f : (, d 1 ) (Y, d ) se numeşte lipschitziană pe dacă L > 0 astfel încât d (f(x), f(y)) Ld 1 (x, y), x, y. Observaţie. Orice contracţie este evident funcţie lipschitziană. Exemple. i) f : R p R +, f(x) = x (norma euclidiană), x R p este lipschitziană pe R p (de constantă Lipschitz L = 1) datorită inegalităţii x y x y, x, y R p, care implică f(x) f(y) x y, x, y R p. ii) în R, orice funcţie derivabilă cu derivata mărginită pe un interval este lipschitziană pe intervalul respectiv (afirmaţia rezultă imediat în baza Teoremei lui Lagrange). Propoziţie. Orice funcţie lipschitziană f : (, d 1 ) (Y, d ) este continuă pe (deci orice contracţie este lipschitziană). Demonstraţie. Evident, a arbitrar, fixat, f este continuă în a : ε > 0, δ(ε) = ε L > 0 astfel încât x, cu d 1(x, a) < δ, avem d (f(x), f(a)) Ld 1 (x, a) < L ε L = ε. Definiţie. Dacă (, d) este un spaţiu metric şi f : (, d) (, d), un element x se numeşte punct fix al lui f dacă f(x ) = x. Teorema lui Banach de punct fix (principiul contracţiei) (teoremă de existenţă şi unicitate). Fie (, d) un spaţiu metric complet şi f : (, d) (, d) o contracţie. Atunci f admite un unic punct fix. Demonstraţie. I. Existenţa punctului fix. Întrucât f este contracţie, există λ (0, 1) astfel ca d(f(x), f(y)) λd(x, y), x, y. Fie x 0 oarecare şi considerăm x 1 = f(x 0 ), x = f(x 1 ) = (f f)(x 0 ),..., x n = f(x n 1 ),... (x n ) n este şir Cauchy: d(x 1, x ) = d(f(x 0 ), f(x 1 )) λd(x 0, x 1 ), 4

5 d(x, x 3 ) = d(f(x 1 ), f(x )) λd(x 1, x ) λ d(x 0, x 1 ),..., d(x n, x n+1 ) λ n d(x 0, x 1 ), n N, de unde, n, p N, ( ) d(x n, x n+p ) d(x n, x n+1 ) + d(x n+1, x n+ ) d(x n+p 1, x n+p ) d(x 0, x 1 )(λ n + λ n λ n+p 1 ) = d(x 0, x 1 )λ n 1 λp 1 λ d(x 0, x 1 )λ n 1 1 λ. i) Dacă d(x 0, x 1 ) = 0, atunci x 1 = f(x 0 ) = x 0, deci x 0 este punct fix. ii) Dacă d(x 0, x 1 ) > 0, cum lim n λn = 0, din ( ) rezultă că ε > 0, n 0 (ε) N astfel ca, n n 0, p N, d(x n, x n+p ) < ε, adică (x n ) n este şir Cauchy şi deci convergent în spaţiul metric complet (, d). Vom arăta că x = lim n x n este punct fix. n N, avem: d(x, f(x)) d(x, x n ) + d(x n, f(x)) = d(x, x n ) + d(f(x n 1 ), f(x)) d(x, x n ) + λd(x, x n 1 ) şi, cum lim n d(x n, x) = 0, rezultă că d(x, f(x)) = 0, deci f(x) = x. II. Unicitatea punctului fix. Dacă ar exista x y puncte fixe în, atunci am avea d(f(x), f(y)) = d(x, y) λd(x, y) < d(x, y), fals. Exemplu. (l, +, ) este spaţiu Banach, cu metrica d(x, y) = (x n y n ), x = (x n ) n, y = (y n ) n l. Funcţia f : l l, f(x) = ( xn ) n, x = (x n ) n l, este o contracţie a lui l în el însuşi şi are unicul punct fix, şirul nul 0 = (0) l. n=1 Homeomorfisme, izometrii Definiţie. f : (, d 1 ) (Y, d ) se numeşte homeomorfism (izomorfism topologic) dacă f este bijectivă şi bicontinuă (f, f 1 sunt continue). Dacă există un homeomorfism între două spaţii metrice, acestea se vor numi homeomorfe. Observaţie. i) Dacă f este homeomorfism, atunci f 1 este de asemenea homeomorfism. ii) Compunerea a două homeomorfisme este de asemenea homeomorfism. şi Definiţie. f : (, d 1 ) (Y, d ) se numeşte izometrie dacă f este bijectivă (conservă distanţele). ( ) d (f(x 1 ), f(x )) = d 1 (x 1, x ), x 1, x 5

6 Două spaţii metrice se numesc izometrice dacă există o izometrie între ele. Observaţie. i) Din condiţia ( ) rezultă că f este injectivă, deci în definiţia anterioară este suficient ca f să fie surjectivă. ii) Dacă f este izometrie, atunci şi f 1 este izometrie. Exemple. i) f : R R, f(x) = x, x R este izometrie. ii) f : R k R k, f(x) = x + a, x R k (a R k fixat) (translaţia) este izometrie, deoarece f este bijectivă şi (x 1 +a) (x +a) = x 1 x, x 1, x R k ( este norma euclidiană). iii) f : R R, f(x) = x 3 este homeomorfism. Probleme propuse. I. 1. Cercetaţi limitele iterate şi limita globală în (0, 0) pentru: i) f(x, y) = x sin 1 y, (x, y) R \{(x, y); y = 0}. ii) f(x, y) = (x + y) sin 1 x sin 1 y, (x, y) {(x, y); x 0, y 0}. { xy iii) f(x, y) = x +y. { xy. Fie f : R +sin(x 3 +y 5 ) R, f(x, y) = x +y 4. Arătaţi că deşi f are limite iterate în (0, 0), nu are limită în (0, 0) în ansamblul variabilelor. 3. Cercetaţi existenţa limitei în (0, 0) pentru funcţia f : R \{(0, 0)} R xy, f(x, y) = ( sin 1 x +y x +y, xy cos 1 x +y x +y ), (x, y) (0, 0). 4. Calculaţi lim f(x), f : R R 3, f(x) = ( 1+x 1 3 x 0 1+x 1, ( ax +b x ) 1 x, m 1+αx n 1+βx x ), a, b R + \{1}, α, β > 0, m, n N, m, n. 5. Studiaţi continuitatea{ pe mulţimea de definiţie a funcţiilor următoare: i) f : R x sin y R, f(x, y) = x +y ; { x ln(1+y ii) f : R ) R, f(x, y) = x +y ; { x ln(1+y ) x sin y iii) f : R R, f(x, y) = x +y ; { x sin x x+y sin y+z sin z, (x, y, z) (0, 0, 0) iv) f : R 3 R, f(x, y, z) = +y +z. 0, (x, y, z) = (0, 0, 0) 6

7 II. 1. Fie f, g : (, d 1 ) (Y, d ) două aplicaţii continue. Arătaţi că mulţimea A = {x ; f(x) = g(x)} este închisă.. Fie f, g : (, d 1 ) (Y, d ) două funcţii continue şi A o mulţime densă în. Arătaţi că dacă f(x) = g(x), x A, atunci f(x) = g(x), x. 3. Arătaţi că dacă (, d) este un spaţiu metric, atunci funcţia d : R + este continuă pe. 4. Fie (, d 1 ) un spaţiu metric complet şi f : (, d 1 ) (Y, d ) o funcţie continuă. Arătaţi că dacă (F n ) n este un şir descendent de mulţimi închise, nevide, cu şirul diametrelor (δ(f n )) n convergent la 0, atunci f( n=1 F n ) = n=1 f(f n ). 5. Fie f, g : (, d 1 ) (R, d u ) două aplicaţii continue. Arătaţi că mulţimea A = {x ; f(x) < g(x)} este deschisă, iar mulţimea B = {x ; f(x) g(x)} este închisă. 6. Fie f : (, d) (R, d u ) o aplicaţie continuă. Arătaţi că mulţimea A = {x ; f(x) < 0} este deschisă, iar mulţimea B = {x ; f(x) = 0} este închisă. 7. Fie f : (, d) (R, d u ). Arătaţi că dacă pentru orice λ R, mulţimile {x ; f(x) > λ} şi {x ; f(x) < λ} sunt deschise, atunci f este continuă pe. 8. Fie (, d) un spaţiu metric şi x 0 fixat. Dacă 0 < r < s, atunci mulţimea M = {x ; r < d(x, x 0 ) < s} este deschisă. inf y A 9. Fie (, d) un spaţiu metric şi A. Definim funcţia f A (x) = d(x, A)(= d(x, y)), x (distanţa de la punctul x la mulţimea A). Arătaţi că: i) f A este continuă pe ; ii) Dacă A, B sunt închise şi disjuncte, atunci mulţimile D A = {x ; d(x, A) < d(x, B)} şi D A = {x ; d(x, A) > d(x, B)} sunt deschise, disjuncte, A D A, B D B (această proprietate de a separa mulţimile închise disjuncte prin mulţimi deschise disjuncte se numeşte proprietate de normalitate (orice spaţiu metric este spaţiu normal). 10. Fie A (, d), A, S(A, r) = {x ; d(x, A) < r}, T (A, r) = {x ; d(x, A) r}, r > 0. Arătaţi că S(A, r) este deschisă, iar T (A, r) este închisă. 11. Precizaţi dacă funcţiile următoare sunt contracţii: i) (R, d), d(x, y) = x y, f : R R, f(x) = 1 5 arctgx; ii) (R +, d), d(x, y) = x y, f : R + R +, f(x) = x + 1; iii) ([ π 4, π ], d), d(x, y) = x y, f : [ π 4, π ] [ π 4, π ], f(x) = sin x; iv) ([1, 9], d), d(x, y) = x y, f : [1, 9] [1, 9], f(x) = x +. 7